ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011auestad/sanns-stat/Forelesningsno...1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 4 Kontinuerlige tilfeldige

1

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

Kp. 4 Kontinuerlige tilfeldige variable;

Normalfordeling

3

Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

(eller: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger)

Vi har til nå sett på diskrete fordelinger- mulige verdier er atskilte punkter på tallinjen,f.eks. 0, 1, 2, 3, ...

I mange situasjoner er det naturlig at alle verdier på tallinjen (muligens en del av den) er mulige utfall.

4


Eks.: X=høyde til tilfeldig valgt kvinnelig UiS-student.

I prinsippet er enhver verdi i f.eks. intervallet [1.5m, 2.0m], et mulig utfall.

Vi kan ikke liste opp alle mulige utfall i en slik situasjon og knytte sannsynlighet til hvert av dem !

1.5m 2.0m

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

[153, 155)

[155, 157)

[157, 159)

[159, 161)

[161, 163)

[163, 165)

[165, 167)

[167, 169)

[169, 171)

[171, 173)

[173, 175)

[175, 177)

[177, 179)

[179, 181)

[181, 183)

[183, 185)

[185, 187)

5


For å beskrive fordeling av sannsynlighet på de forskjellige utfallene, brukes en kurve, f(x): 0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

155

160

165

170

175

180

185

x

f(x)

Vi sier at X er en kontinuerlig tilfeldig variabel, eller at X har kontinuerlig sannsynlighetsfordeling.

7


Kurven beskriver fordelingen av sannsynlighet på de forskjellige utfallene, ved at:

sannsynligheten er stor for verdier x der f(x) er stor.

Vi kan ikke betrakte enkeltverdier, men et intervall, [a, b], av verdier.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

155

160

165

170

175

180

185

xf(x)

��

��

b

a

f(x)dx

b)XP(ab])[a,P(X

a b

8


Def.: Kurven f(x) kalles sannsynlighetstetthetsfunksjonen til X.

1dx f(x) )3

dx f(x)b)XP(a

er b,ader b og a tallfor to 2)0 f(x) 1)

:at ha vimå f(x)nen etsfunksjoFor tetth

-

b

a

�

��

��

�

��

�

9


��

��

��

y

-

dx f(x)y)P(YF(y)

så fordelt, igkontinuerler Y Dersom

Y. tilfunksjonenfordelingser y),P(Y F(y) veddefinert

F funksjonenat sier vi Y l variabedigen tilfelFor :Def.

10


Forventning og varians for kontinuerlige variable:

� � 2-

2

-

�XE f(x)dx�)-(x Var(X)

�xf(x)dx E(X)

så f(x),tetthet med variabeltilfeldigigkontinuerlen er XDersom :Def.

��

��

�

�

�

�

�

�

11


Forventning og varians for kontinuerlige variable:

Obs.: har sammefortolkning som for diskrete variable- sentrum, beliggenhet- spredning

� � 2-

2

-

�XE f(x)dx�)-(x Var(X)

�xf(x)dx E(X)

så f(x),tetthet med variabeltilfeldigigkontinuerlen er XDersom :Def.

��

��

�

�

�

�

�

�

12

Kontinuerlige tilfeldige variable

Viktige klasser av kontinuerlige fordelinger som vi skal se på:

• Eksponensialfordelingen (kp. 4.2)• Normalfordelingen (kp. 4.3)

Seinere:• Student’s t-fordeling (kp. 6.6)

14

Eksponensialfordelingen (kp. 4.2)

Skrivemåte: X~eksp.( )

��

��

�

0for x 0, 0for x ,�e

f(x)

:gitt ved f(x)et har tetth X dersom �parameter medalfordelt eksponensier Xsier Vi :Def.

�x

�

15

Eksponensialfordelingen (kp. 4.2)

��

��

�


f(x)


�x

��

��

�

�

0for x 0, 0for x ,e

f(x)

:1�x

0,0

0,5

1,0

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

f(x)

2900045Stamp

16

Eksponensialfordelingen

En viktig type (kontin-uerlig) fordeling.

Obs.: 1) kontinuerlig ventetidsfordeling; jf. geometrisk

fordeling;2) svært mye brukt til modellering og analyse av

pålitelighet til systemer

��

��

�


f(x)


�x

0,0

0,5

1,0

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

f(x)

17


En viktig type (kontin-uerlig) fordeling.

Eksempel: Modell for nedbørsmengde et døgn.(”Ventetid” til regnet er slutt.)

Histogram over døgnnedbør i februar-måneder årene 1997-2006. (Døgn med

18


��

��

�


f(x)


�x

�1Var(X) og

�1E(X)

så �, parameter medalfordelt eksponensier X Dersom :Setning

2��

0,0

0,5

1,0

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

f(x)

19


�1Var(X) og

�1E(X)


2��

For nedbørsdataene: E(X) estimeres med gj.sn. Dvs.: 1/� estimeres til 12.87, og dermed:

� estimeres til 1/12.87 = 0.0777

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

20


Eksp.-tettheter med ulike parametere:

Forv. = 10

0,0

0,5

1,0

-2 3 8 13

Forv. = 1

0,0

0,5

1,0

-2 3 8 131

11E(X)

0for x 0, 0for x ,e

f(x) 1;� Parameter x

��

��

��

��

100.11E(X)

0for x 0, 0for x ,0.1e

f(x) 0.1;� Parameter 0.1x

��

��

��

��

21


Forventningen (og varians) finnes vha. integrasjon. (Det er ikke pensum i dette kurset.)

��

��

�


f(x)

:gitt ved f(x)et har tetth X dersom � parameter medalfordelt eksponensier Xsier Vi :Def.

�x

�1Var(X) og

�1E(X)


2��

�1dxex xf(x)dx E(X) :Obs.

0

x -

-

��

�

��

0,0

0,5

1,0

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

f(x)

22


Eks.: Vi antar at levetiden til en tilfeldig valgt lyspære er eksponsialfordelt med forventning 2500 timer.

Hva er sannsynligheten for at den svikter før 1000 timer ?

Hva er sannsynligheten for at den virker minst 3000 timer ?

23


Eks.: Vi antar at levetiden til en tilfeldig valgt lyspære er eksponsialfordelt med forventning 2500 timer.

��

��

�

��

�

�

0for 0

0for 2500

1

:tetthet

; 2500

1� parameter med alfordelt eksponensi

er :har Vi lyspæren. tillevetiden La

25001

t ,

t,ef(t)

TT

x

2900045Stamp

24


x-t

x edx�et)P(T �� 1 :Generelt0

26


33.0111000 5.211000

25001

�� --

ee)P(T

301.0

300013000

30002500

1

��

��

�-e

)P(T)P(T

x-t

x edx�et)P(T �� 1 :Generelt0

2900045Stamp

27

Kontinuerlige tilfeldige variable, generelt

Obs.: Dersom X er kontinuerlig fordelt, så

a)P(X a)P(X

:Derfor

f(x)dx 0a)P(Xa

a

��

��

��

28


Obs.: Dersom X er kontinuerlig fordelt, så

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

155

160

165

170

175

180

185

x

f(x)

0 a)XP(aa)P(X ��

: b)XP(a ��0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

155

160

165

170

175

180

185

x

f(x)

a b

a

29


Viktige klasser av kontinuerlige fordelinger som vi skal se på:

• Eksponensialfordelingen (kp. 4.2)• Normalfordelingen (kp. 4.3)

Seinere:• Student’s t-fordeling (kp. 6.6)

30

Normalfordelingen (kp. 4.3)

Dette er den viktigste fordelingen i den forstand at ingen andre fordelinger er mer brukt i statistiske analyser enn normalfordelingen !

31

Normalfordelingen

Definisjon:

),(~ :Skriver

. variansog gforventnin medelt normalforder at sier vi

, ,2

1)(

: tetthetmed variabeligen tilfelder Dersom

2

2

)(2

1

2

22

��

��

��

��

NX

X

xexf

X

x��

32

Normalfordelingen

N(0,1)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

N(0,1)

1 og 0 ��

2900045Stamp

2900045Stamp

33

Normalfordelingen

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

N(0,1)N(5,1)

1 og 0 �� 1 og 5 ��

34

Normalfordelingen

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-5,0 0,0 5,0 10,0

N(0,1)N(5,1)N(0, 2,25)

2.25 og 0 ��

35

Normalfordelingen

Normalfordelingen er spesielt viktig fordi

• mange datasett ser ut til ”å være normalfordelte”

• mange analysemetoder bygger på normalfordelingen

36

Normalfordelingen, Standardnormal

Definisjon: Normalfordeling med forventning 0 og varians 1 kalles standardnormalfordelingen.

Tabeller over sannsynligheter i N(0,1)-fordelingen:

2900045Stamp

2900045Stamp

38

Normalfordelingen, sannsynligheter

= 0.8413

��

��1

1

10 La

-

f(x)dx)P(Z

).,Z~N(

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0

39

Normalfordelingen, sannsynligheter

P( Z>0.5 ) =

= 1-P( Z

41

Normalfordelingen

Eks.: La den tilfeldige variabelen X være mengden melk i en tilfeldig valgt 1-literskartong. Vi antar at X~N( 1, 0.022 ) (X er normalfordelt med forventing 1 og varians 0.022.

Hva er sannsynligheten for at det er mindre enn 0.95 liter i en tilfeldig valgt kartong?

Dvs.: vi vil finne P( X

44

Normalfordelingen

Eks.: X~N( 1, 0.022 ). Vi vil finne P( X

46

Normalfordelingen

Obs.: Resultatet i setningen gjelder ikke generelt (for andre typer fordelinger)

• Dersom X1~ekspo.(1) og X2~ekspo.(1), så har vi ikke at X1+X2~ekspo.()

• Dersom X1~B(10, 0.5) og X2~B(10, 0.2), så har vi ikke at X1+X2~B();

Heller ikke er f.eks. 2X1 binomisk fordelt !

47

Normalfordelingen

Setning: Dersom X1,..., Xn er uavhengige, normalfordelte tilfeldige variable (og a0, a1,..., aner konstanter), så er

Y = a0 + a1X1+...+ anXn

en normalfordelt tilfeldig variabel.

Forventning: E(Y) = E(a0 + a1X1+...+ anXn)

= a0 + a1E(X1)+...+ anE( Xn)

Varians: Var(Y) = Var(a0 + a1X1+...+ anXn)

=a12 Var(X1)+...+ an2 Var( Xn)

48

Statistiske egenskaper til gjennomsnittet

”Statistiske egenskaper til gjennomsnittet”

Hvorfor ??

Eks.: Data: 4.8 3.8 4.4 5.2 3.6 5.1 4.5 3.7 4.1 4.3(10 målinger av en persons blodsukkernivå; tatt på

samme tidspunkt.)

Vi vil typisk bruke gjennomsnitt, som her er 4.35, i diverse videre analyser.

49


Eks.: Data: 4.8 3.8 4.4 5.2 3.6 5.1 4.5 3.7 4.1 4.3Gjennomsnitt er 4.35;

Prikkdiagram:

Hva er virkelig nivå ? (4.35 eller 3.6 eller 5.2 ...)

Vi trenger å vite noe om den statistiske usikkerheten i anslaget 4.35 !!

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

51



3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

Statistisk tankegang: Vi oppfatter de 10 målingene som utfall av en(kontinuerlig) fordeling:

Jf. også: resultat av terningkast, 3, 6, 1, ...:

utfall av fordelingen

0,8

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

y 1 2 3 4 5 6

P(Y=y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

52


1021

1021

1021

1021

XXX101 X

: variablege tilfeldi10 de avttet gjennmosni av utfall som oppfattes

xxx101 x målingene, avttet Gjennomsni

n.fordelinge aktuelleden har alle som X,,X,X variablege tilfeldi10

av utfall som x,,x, xmålingene oppfatter vi:Dvs.

��

��

�

�

�

�

53



Prikkdiagram:

Hva er virkelig nivå ? (4.35 eller 3.6 eller 5.2 ...)

Vi trenger å vite noe om den statistiske usikkerheten i anslaget 4.35 !!

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

!situasjon en typisker Dette

!!en usikkerhet estatistiskden om mye oss fortelle kunne vil

,XXX101 X tileegenskapen estatistisk De 1021 ��

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

54


? XXXn1 X tileegenskapen daer Hva

elte.normalford 2)og variable,ge tilfeldifordelteidentisk og uavhengige 1)

er X,,X,Xat anta å rimeligdet er ganger Mange

.X,,X,X variableigen tilfeld av utfall som oppfattes

;x,,x,xmålinger n :Generelt

n21

n21

n21

n21

��

�

�

�

55


.n� variansog� gforventnin medelt normalford

XXXn1 X

er så ,� variansog� gforventnin med eltenormalforder alle som variabletilfeldige

uavhengigen er X,,X,X Dersom :Setning

2

n21

2

n21

��

�

56


”Bevis”: ... vha.:

1. Setning: Dersom X1,..., Xn er uavhengige, normalfordeltetilfeldige variable (og a1,..., an er konstanter), så er Y = a1X1+...+ anXn en normalfordelt tilfeldig variabel.

2. Regneregler for forventning og varians.


XXXn1 X



2

n21

2

n21

��

�

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

57



XXXn1 X



2

n21

2

n21

��

�

� � ��

��

�� !"

��

�

��

)(1)()(1

)(1)(1)E(

var. tilf.norm.ford. uavh. av lin.komb.

111

1

11

21

��

��

�

nn

nn

n

nXEXE

n

XXEn

XXn

EX

Xn

Xn

Xn

X

58



XXXn1 X



2

n21

2

n21

��

�

� � ��

��

�� !"

��

�

��

)(1)()(1

)(1)(1)E(

var. tilf.norm.ford. uavh. av lin.komb.

111

1

11

21

��

��

�

nn

nn

n

nXEXE

n

XXEn

XXn

EX

Xn

Xn

Xn

X

� �nn

XVarXVarn

XXVarn

XXn

VarXVar(

n

n

nn

222

212

1

2

1

)(1)()(1

)(1)(1)

2

��

��

��

��

!"

��

��

��

��

59


En del ganger er det ikke rimelig å bruke normalantakelse (anta at målingene er utfall fra en normalfordeling). (F.eks. dersom dataene har en tydelig flertoppet eller usymmetrisk fordeling.)

Hva kan vi da si om: ”Statistiske egenskaper til gjennomsnittet” ?

60

Sentralgrensesetningen

Bevis: ... ...

stor.er n når ,n� variansog� gforventnin

medelt normalford tilnærmet

XXXn1 X

er så ,� variansog� gforventnin med variablege tilfeldifordelte identisk og uavhengige

n er X,,X,X Dersom :ennsesetningSentralgre

2

n21

2

n21

��

�

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

61


1. variansog 0 gforventnin medelt normalfordmet er tilnær(Y)(Y)-Y

:Videre

stor.er n når ,�n variansog� n gforventnin

medelt normalford tilnærmet XXX Y

er så ,� variansog� gforventnin med

variablege tilfeldifordelte identisk og uavhengigen er X,,X,X Dersom :ennsesetningSentralgre

:Obs

2

n21

2

n21

SDE

��

��

�

62


”... når n er stor ...” ??

Tommelfingerregel: n minst 30 for god tilnærming.

Eks.: Y = sum av 30 kast med en terning.

Fordeling til Y ?

P(Y

63


Eks.: Y = sum av 30 kast med en terning.

La Xi = resultat i kast nr i, i=1, 2, ..., 30.Vi kan finne at E(Xi)=3.5 og Var(Xi)=2.92, og vihar her at

Y = X1 + ... + X30

(Alle Xi’ene er uavhengnige og identisk fordelte!)

Y sin fordeling er tilnærmet normal med forventning 30 3.5 = 105 og varians 30 2.92 = 87.6

64



0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

75 85 95 105 115 125 135

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

65



0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

75 85 95 105 115 125 135

1) N(0,~er Zher

tabell.fra 0.2981, -0.53)P(Z

87.6105100

87.6105YP100)P(Y

0.53

��#

��

�

�

��

�

�

�

��

��

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

75 85 95 105 115 125 135

66

Normaltilnærming, binomisk

Den binomiske fordelingen kan tilnærmes med normalfordeling i en del tilfeller:

Dersom Y~B(n, p) og np(1-p) minst 10, så kan fordelingen til Y tilnærmes med fordelingen til X,

der X er normalfordelt med forventing np og varians np(1-p); X~N( np, np(1-p) )

Gir betydelig forenkling ved utregning av sannsynligheter.

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

67


Altså:

) p)-np(1 np, N(~Xder y),P(Xy)P(Y

:ng tilnærmigod med har vi så 10,p)np(1). p n, B(~Y

�#�

�

68


Eks.: Y=ant. kron i 100 kast med et pengestykke~ B( 100, 0.5 )

0.0228-2ZP2550-40

2550-XP40XP

25 0.5)-(10.5100Var(Y) og 50E(Y)

) 25 50, N( ~Xder 40),P(X40)P(Y

��

��

� ��

��

�#�

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

2900045Stamp

69


0.0228-2ZP2550-40

2550-XP40XP

40)P(Y

��

��

��

� ��#

�

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65

B(100, 0.5)

P(Y

71


Da får vi:

0.0284) :(eksakt 0.0287-1.9ZP25

50-0.5402550-XP0.540XP

40)P(Y

��

��

��

� ��#

�

0,00

0,02

0,04

0,06

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45B(100, 0.5)

P(Y

73

Normaltilnærming, heltallskorreksjon

Gjelder altså bl.a. ved normaltilnærming av• binomisk fordeling• Hypergeometrisk fordeling• Poissonfordeling

0.5xYPxXP ��#�

74

Normaltilnærming

• Hypergeometrisk modell– dersom n < 0.1 N, så tilnærming til binomisk

modell, og– dersom binomisk modell kan tilnærmes med

normalfordeling, ...

• Poissonmodell

� � ) , N( ~Xder y),P(Xy)P(Y

så ,10 og )(Poisson ~ Dersom

Var(Y)E(Y)tt

ttY

��

��

�#�

�

Normalfordeling. Oppgaver.

75

Documents

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011auestad/sanns-stat/Forelesningsno...1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 4 Kontinuerlige tilfeldige