PROFMAT/UFCG/MA11 - NUMEROS E FUNCOESREAIS

Aluno: Welhington Sergio da Silva Matrcula: 2015.020.067-1Professores: Braulio Maia/Joao Paulo

12 de maio de 2015

Exerccios do Captulo 6: Funcoes Quadraticas

Exerccio 6.4. Observe os graficos abaixo, que representam as parabolas y = ax2 para diversosvalores de a. Estas parabolas sao semelhantes entre si?

Resolucao: Uma homotetia (semelhanca) de razao k (e centro na origem) transforma o ponto

(x, y) no ponto (X, Y ) = (kx, ky) e transforma a parabola y = ax2 na parabola Yk

= a

(X

k

)2, ou seja, Y =

a

kX2. Portanto, as parabolas y = ax2 e y = a1x

2 sao semelhantes e a razao de

semelhanca e k tal que a1 =a

k,ou seja, k =

a

a1. Logo, as parabolas do problema sao semelhantes

entre si. Alem disso, como qualquer parabola pode ter equacao da forma y = ax2, bastando paraisso escolher convenientemente o sistema de eixos, conclui-se que quaisquer duas parabolas saosemelhantes entre si.

Exerccio 6.7. Seja f(x) = ax2 + bx+ c, com a > 0.

a) Mostre que

f

(x1 + x2

2

) 0, entao

f

(x1 + x2

2

)= a

(x1 + x2

2

)2+ b

(x1 + x2

2

)+ c

(1)< a

(x21 + x

22

2

)+ b

(x1 + x2

2

)+ c

f(x1 + x2

2

) 0.

Logo, se x1 6= x2, 0 < < 1 e a > 0, entaof(x1 + (1 )x2) = a(x1 + (1 )x2)2 + b(x1 + (1 )x2) + cf(x1 + (1 )x2)

(2)< a(x21 + (1 )x22) + b(x1 + (1 )x2) + c

f(x1 + (1 )x2) < ax21 + bx1 + c+ (1 )ax22 + (1 )bx2 + (1 )cf(x1 + (1 )x2) < f(x1) + (1 )f(x2). C.Q.D.

Exerccio 6.14. Numa vidracaria ha um pedaco de espelho, sob a forma de um triangulo retangulode lados 60 cm, 80 cm e 1 m. Quer-se, a partir dele, recortar um espelho retangular com a maiorarea possvel. A fim de economizar corte, pelo menos um dos lados do retangulo deve estar sobreum lado do triangulo.

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As posicoes sugeridas sao as da figura acima. Em cada caso, determine qual o retangulo de maiorarea e compare os dois resultados. Discuta se a restricao de um lado estar sobre o contorno dotriangulo e realmente necessaria para efeito de maximizar a area.

Resolucao:

i) Para proceder com a solucao, primeiramente vamos nomear alguns pontos, como ilustradona figura a seguir:

De acordo com o enunciado temos AC = 60 cm, AE = 100 cm e CE = 80 cm. SejamCD = y e DF = x. Note que os triangulos ABF e FDE sao semelhantes, logo:

60 xx

=y

80 y y = 4

3x+ 80

A area do retangulo BCDF sera:

ABCDF = x y A(x) = x (4

3x+ 80

) A(x) = 4

3x2 + 80x

Note que encontramos uma funcao quadratica, cujo grafico e uma parabola de concavidadevoltada para baixo, logo possui um ponto de maximo. A area sera maxima se:

x =b2a x = 80

2 (4/3) x = 30 cm

Calculando o valor de y teremos:

y = 43 (30) + 80 y = 40 cm

Com esses resultados conclumos que para se ter um espelho retangular com a maior areapossvel, o retangulo a ser cortado deve ter dimensoes de 30 cm de largura por 40 cm decomprimento. A area maxima sera de 1200 cm2.

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ii) Analogamente ao primeiro caso, primeiramente vamos nomear alguns pontos, como ilustradona figura a seguir:

De acordo com o enunciado temos AC = 60 cm, AE = 100 cm e CE = 80 cm. SejamBD = x e DF = y. Podemos calcular a altura h do triangulo retangulo ACE, relativa ahipotenusa AE, usando a relacao AC CE = AE h, entao:

60 80 = 100 h h = 48 cm

Note que a altura do triangulo BCD relativa a hipotenusa BD sera 48 y. Observe que ostriangulos BCD e ACE sao semelhantes, logo:

x

100=

48 y48

y = 4800 48x100

A area do retangulo BDFG sera:

ABDFG = x y A(x) = x (

4800 48x100

) A(x) = 48x

2

100+ 48x

Observe que encontramos uma funcao quadratica, cujo grafico e uma parabola de concavidadevoltada para baixo, logo possui um ponto de maximo. A area sera maxima se:

x =b2a x = 48

2 (48/100) x = 50 cm

Calculando o valor de y teremos:

y =4800 48 50

100 y = 24 cm

Com esses resultados conclumos que para se ter um espelho retangular com a maior areapossvel, o retangulo a ser cortado deve ter dimensoes de 24 cm de largura por 50 cm decomprimento. A area maxima sera de 1200 cm2.

Comparando os dois resultados, observamos que os dois modos de apoiar o retangulo sobreum dos lados do triangulo conduzem a retangulos com a mesma area maxima (igual dametade da area do triangulo), 1200 cm2, porem no caso (i) sobraram apenas dois pedacoosdo espelho, enquanto que no caso (ii) restaram tres pedacoos com areas menores do que

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os pedacos restantes do caso (i). Outro ponto a se observar e que no caso (i), o espelhoretangular obtido tem menor comprimento que o espelho obtido no caso (ii), porem temlargura maior. A escolha entre eles vai depender do uso que sera dado ao espelho obtido,ou entao, do uso que sera dado ao que sobra do triangulo retangulo original. E possveldemonstrar que, caso o retangulo nao se apoie sobre um dos lados, sua area sera menor queesta metade. Assim, para obter retangulos de area maxima e realmente necessario apoiarum de seus lados sobre o contorno do triangulo.

Exerccio 6.23. Esboce o grafico de:

a) f(x) = |x2| |x|+ 1;b) f(x) = |x2 x|.

Resolucao:

a) f(x) = |x2| |x|+ 1. Pela definicao de modulo temos que

f(x) =

{x2 x+ 1, se x 0 (I)x2 + x+ 1, se x < 0 (II)

(I) f(x) = x2 x+ 1, x 0, tem como grafico:

(II) f(x) = x2 + x+ 1, x < 0, tem como grafico:

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Colocando (I) e (II) num mesmo plano cartesiano, temos:

b) f(x) = |x2 x|. Pela definicao de modulo temos que

|x2 x| ={

x2 x, se x2 x 0x2 + x, se x2 x < 0

Para definir melhor os intervalos da variavel x, vamos estudar os sinais de g(x) = x2 x:

x2 x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 ou x = 1

x2 x 0 x 0 ou x 1 e x2 x < 0 0 < x < 1Podemos entao escrever a nossa funcao da seguinte forma:

f(x) =

{x2 x, se x 0 ou x 1 (I)x2 + x, se 0 < x < 1 (II)

(I) f(x) = x2 x, x 0 ou x 1, tem como grafico:

6

(II) f(x) = x2 + x, 0 < x < 1, tem como grafico:

Colocando (I) e (II) num mesmo plano cartesiano, temos:

Exerccio 6.32. Numa concorrencia publica para a construcao de uma pista circular de patinacaoapresentam-se as firmas A e B. A firma A cobra 20 reais por metro quadrado de pavimentacao,

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15 reais por metro linear do cercado, mais uma taxa fixa de 200 reais para administracao. Por suavez, a firma B cobra 18 reais por metro quadrado de pavimentacao, 20 reais por metro linear docercado e taxa de administracao de 600 reais. Para quais valores do diametro da pista a firma A emais vantajosa? Esboce um grafico que ilustre a situacao. Resolva um problema analogo com osnumeros 18, 20 e 400 para A e 20, 10, 150 para B.

Resolucao: Se d e o diametro da pista circular, entao o permetro e pid e a area e pid2

4. O

preco cobrado PA pela firma A para a construcao da pista circular de diametro d e dado porPA = 5pid

2+15pid+200. Ja o preco PB cobrado pela firma B para a construcao da pista circular dediametro d e dado por PB = 4, 5pid

2+20pid+600. A firma A e mais vantajosa quando PB > PA, istoe, PBPA = 0, 5pid2+5pid+400 > 0. Analisemos a funcao f(d) = PBPA = 0, 5pid2+5pid+400.

Razes da funcao f(d) = 0, 5pid2 + 5pid+ 400:

0, 5pid2 + 5pid+ 400 = 0 d =5pi

(5pi)2 4 (0, 5pi) 400

2 (0, 5pi) d = 5pi

25pi2 + 800pi

pi d = 5

25 + 800

pi.

Grafico da funcao f :

dv =b2a

=5pipi = 5 e yv = f(5) = 0, 5pi 5

2 + 5pi 5 + 400 = 439, 27.

Observando o grafico vemos que d deve estar compreendido entre as razes e ser positivo. Logo,

devemos ter 0 < d < 5 +

25 + 800pi= 21, 72 metros.

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Na outra situacao: PA = 4, 5pid2 + 20pid + 400 e PB = 5pid

2 + 10pid + 150. A firma A e maisvantajosa quando PB PA = 0, 5pid2 10pid 250 > 0. Analisemos a funcao f(d) = PB PA =0, 5pid2 10pid 250.

Razes da funcao f(d) = 0, 5pid2 10pid 250:

0, 5pid2 10pid 250 = 0 d =(10)

(10pi)2 4 (0, 5pi) (250)

2 (0, 5pi) d = 10pi

100pi2 + 500pi

pi d = 10

100 + 500

pi.

Grafico da funcao f :

dv =b2a

=(10pi)

pi= 10 e yv = f(10) = 0, 5pi 102 10pi 10 250 = 407, 08.

Observando o grafico vemos que d deve ser exterior ao intervalo das razes e ser positivo, isto e,

d > 10 +

100 + 500pi= 26, 10 metros.

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