MA1003 Cálculo IIITema 02: Derivadas parciales y aplicaciones

Parte 01: Derivadas de funciones escalares

Profesor Jesús Sánchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 1 / 16

En esta clase

1 Funciones escalares.

2 Derivadas parciales.

3 Regla de la cadena.

4 Derivación impĺıcita.

Introducción

¿Qué es la derivación parcial?

o Es la generalización a varias variables de lasderivadas usuales de funciones f : RÑ R.

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 2 / 16

Definición

Sea D Ď R2, un campo (o función) escalar fde dos variables, es una correspondencia que acada tupla px , yq P D asigna un único númeroreal z. Se escribe z “ f px , yq. A D se le llamadominio de f y al conjunto

R “ tf px , yq : px , yq P Du

rango o imágen de f .

Ejemplo

El plano π : x ` 2y ` 3z “ 6 es larepresentación gráfica de la función escalar de 2variables

z “ f px , yq “p6´ x ´ 2yq

3

Su dominio es R2 y su rango R.

Ejemplo

La esfera S : x2 ` y2 ` z2 “ r2 es larepresentación de la gráfica de 2 funciones:

z “ f`px , yq “a

r2 ´ x2 ´ y2

z “ f´px , yq “ ´a

r2 ´ x2 ´ y2

El rango de f´ es r´r , 0s y el de f` es r0, rs. Enambos casos el dominio es la región de R2 dadapor el ćırculo de radio r centrado en el origen ysu interior. Explicar en pizarra. y su rango R.

Ejercicio

Considere la funciónz “ f px , yq “

a

1´ |x | ´ |y |.1 Determine su dominio máximo.

2 Determine su rango.

3 Haga la gráfica de la función.

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 3 / 16

Definición

Sea S la superficie dada por la gráfica de unafunción z “ f px , yq, y h en el rango de f .

1 Se le llama curva de contorno de f a laaltura h, a la curva dada por laintersección:

Ch : tz “ f px , yqz “ h

2 Se le llama curva de nivel de S (a la alturah), a la proyección vertical de Ch sobre elplano XY .

Ejemplo

Se hacen algunas curvas de nivel delparaboloide z “ x2 ` y2.

Geogebra: z=x^2+y^2

Definición

Sea z “ f px , yq un campo escalar de dominio Dy pa, bq P D.

1 Se dice que

ĺımpx,yqÑpa,bq

f px , yq “ L

si para todo � ą 0 existe δ ą 0 tal que}px , yq ´ pa, bq} ă δ entonces|f px , yq ´ L| ă �.

2 f es continua en pa, bq si

ĺımpx,yqÑpa,bq

f px , yq “ f pa, bq

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 4 / 16

Propiedades

1 Si ĺımpx,yqÑpa,bq f px , yq “ L yĺımpx,yqÑpa,bq gpx , yq “ M, entonces

ĺımpx,yqÑpa,bq

pf px , yq ˘ gpx , yqq “ L˘M

2 Todo polinomio en dos variablesppx , yq

řni“0

řmj“0 cijx

iy j es continuo en

todo punto pa, bq P R2.3 sean z “ gpx , yq y w “ f pzq funciones tal

que g es continua en pa, bq y f es continuaen gpa, bq, entoncespf ˝ gqpx , yq “ f pgpx , yqq es continua enpa, bq.

Definición

Sea z “ f px , yq una función escalar y pa, bqpunto en su dominio.

1 La derivada parcial de f con respecto a xen pa, bq se define como el ĺımite:

fx pa, bq “BfBxpa, bq “

ĺımhÑ0

f pa` h, bq ´ f pa, bqh

2 La derivada parcial de f con respecto a yen pa, bq se define como el ĺımite:

fy pa, bq “BfBypa, bq “

ĺımhÑ0

f pa, b ` hq ´ f pa, bqh

También se usan las notaciones:fx “ zx “ D1f “ Dx f y fy “ zy “ D2f “ Dy f .

o Interpretación geométrica: fx y fy son laspendientes de las tangentes de las curvasformadas por los cortes verticales x “ a yy “ b. Hacer dibujo.

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 5 / 16

Cálculo de derivadas

Para z “ f px , yq1 fx : en la expresión de f , derive tomando a

x como variable y y como constante.

2 fy : en la expresión de f , derive tomando ax como constante y y como variable.

Ejemplo

Si f px , yq “ x3y ` y2, entonces:1 fx “ 3x2y2 fy “ x3 ` 2y

Derivadas de orden superior

Si z “ f px , yq, entonces:1

zxx “Bpzx qBx

“BBx

ˆ

BzBx

˙

“B2zBx2

“B2fBx2

“ fxx “ D1,1f “ D1pD1f q

2

zxy “Bpzx qBy

“BBy

ˆ

BzBx

˙

“B2zByBx

“B2fByBx

“ fxy “ D2,1f “ D2pD1f q

3

zyx “BBx

ˆ

BzBy

˙

4

zyy “BBy

ˆ

BzBy

˙

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 6 / 16

Teorema de Schwarz

Si un campo escalar f px , yq tiene sus derivadasparciales fx , fy , fxy , fyx en una conjunto abiertodel dominio y fxy , fyx continuas en pa, bq,entonces fxy pa, bq “ fyx pa, bq

Ejercicio

Verifique que la función z “ arctanpy{xq es unasolución de la ecuación diferencial

zxx ` zyy “ 0

oHacer en pizarra:

arctan1puq “1

1` u2

zxx “2xy

px2 ` y2q2

zyy “´2xy

px2 ` y2q2

Ejercicio

Verifique que la función

z “ f px ` atq ` gpx ´ atq

donde f , g funciones cualesquiera dos vecesderivables, a constante y x , t variables, satisfacela ecuación diferencial:

ztt “ a2zxx

oHacer en pizarra:

zxx “ f 2px ` atq ` g2px ´ atq

ztt “ a2f 2px ` atq ` a2g2px ´ atq

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 7 / 16

Regla de la cadena

1 Si y “ f pxq y x “ xptq, entonces

dy

dt“

df

dx¨dx

dt

2 Si z “ f px , yq, con x “ xptq y y “ yptq,entonces

dz

dt“BfBx¨dx

dt`BfBy¨dy

dt

“fx ¨ xt ` fy ¨ yt

3 Si w “ f px , y , zq, con x “ xptq, y “ yptq yz “ zptq, entonces

dz

dt“BfBx¨dx

dt`BfBy¨dy

dt`BfBz¨dz

dt

“fx ¨ xt ` fy ¨ yt ` fz ¨ zt

o Hacer árbol de dependencias.

Ejemplo

Si w “ lnpxyzq, x “ t2, y “ ´2t2 y z “ t,calcule wt .

Solución:

f px , y , zq “ lnpxyzq

fx “yz

xyz“

1

x

fy “xz

xyz“

1

y

fz “xy

xyz“

1

z

ñ wt “ fx ¨ xt ` fy ¨ yt ` fz ¨ zt

“1

x¨ 2t `

1

y¨ p´4tq `

1

z¨ 1

“1

t2¨ 2t `

1

´2t2¨ p´4tq `

1

t¨ 1

“5

t

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 8 / 16

Dobre derivada

Si z “ f px , yq, con x “ xptq y y “ yptq,entonces

zt “fx ¨ xt ` fy ¨ yt

zt “dfx

dt¨ xt ` fx ¨ xtt `

dfy

dt¨ yt ` fy ¨ ytt

zt “pfxx ¨ xt ` fxy ¨ ytq ¨ xt ` fx ¨ xtt`pfyx ¨ xt ` fyy ¨ ytq ¨ yt ` fy ¨ ytt

Ejemplo

Si z “ x sinpyq, x “ ´t3 y y “ t, calcule ztt .

Solución 1

zt “fx ¨ xt ` fy ¨ yt“ sinpyq ¨ p´3t2q ` x cospyq ¨ 1

“´ 3t2 sinptq ´ t3 cosptq

ñ ztt “´ 6t sinptq ´ 3t2 cosptq ´ 3t2 cosptq

` t3 sinptq

“ ´ 6t2 cosptq ` p´6t ` t3q sinptq

Solución 2

zt “fx ¨ xt ` fy ¨ yt

ztt “dfx

dt¨ xt ` fx ¨ xtt `

dfy

dt¨ yt ` fy ¨ ytt

ztt “dfx

dt¨ p´3t2q ` fx ¨ p´6tq `

dfy

dt

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 9 / 16

Continuación, z “ x sinpyq, x “ ´t3 y y “ t.

ztt “dfx

dt¨ p´3t2q ` fx ¨ p´6tq `

dfy

dt

ztt “ pfxxxt ` fxyytq ¨ p´3t2q`fx ¨ p´6tq ` pfyxxt ` fyyytqfxx “ 0fyx “ cospyqfyy “ ´x sinpyq

ztt “ cospyq ¨ p´3t2q`

sinpyq ¨ p´6tq ` cospyqp´3t2q ´ x sinpyq

ztt “ ´6t2 cosptq ` p´6t ` t3q sinptq

Regla de la cadena

1 Si z “ f px , yq, x “ xpu, vq y y “ ypu, vqentonces:

zu “ fx ¨ xu ` fy ¨ yuzv “ fx ¨ xv ` fy ¨ yv

2 Si w “ f px , y , zq, x “ xpu, vq, y “ ypu, vqy z “ zpu, vq entonces:

zu “ fx ¨ xu ` fy ¨ yu ` fz ¨ zuzv “ fx ¨ xv ` fy ¨ yv ` fz ¨ zu

Nota: Dibujar las dependencias.

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 10 / 16

Doble derivadas

Si z “ f px , yq, x “ xpu, vq y y “ ypu, vqentonces:

zu “ fx ¨ xu ` fy ¨ yuzv “ fx ¨ xv ` fy ¨ yvzuu “ pfxx ¨ xu ` fxy ¨ yuq ¨ xu`

fx ¨ xuu ` pfyx ¨ xu ` fyy ¨ yuq ¨ yu ` fy ¨ yuuzvv “ pfxx ¨ xv ` fxy ¨ yv q ¨ xv`

fx ¨ xvv ` pfyx ¨ xv ` fyy ¨ yv q ¨ yv ` fy ¨ yvvzuv “ pfxx ¨ xv ` fxy ¨ yv q ¨ xu`

fx ¨ xuv ` pfyx ¨ xv ` fyy ¨ yv q ¨ yu ` fy ¨ yuv

Nota: Dibujar las dependencias.Nota: Todas estas fórmulas se extiendennaturalmente a los casos con más variables.

Ejemplo

Sea z “ xy donde x “ sinptrq y y “ cosprq,calcule ztt ´ zrr .

o Hacer en la pizarra.

Ejemplo

Dada z “ f px , yq, con x “ r cospθq yy “ r sinpθq, muestre que se cumple la igualdad

zxx ` zyy “ zrr `1

rzr `

1

r2zθθ

o Detalles en Página 272-2073PDF Pita. Es elejercicio 4.11 de la práctica.

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 11 / 16

Derivación impĺıcita

1 Si f px , yq “ 0 define y en función de x ,entonces

y 1 “dy

dx“´fxfy

2 Si F px , y , zq “ 0 define z en función de x yy , entonces

zx “´FxFz

zy “´FyFz

Ejemplo

Dada la expresión F px{z, y{zq “ 0 quedetermina a z como función de x y y , muestreque se cumple

xzx ` yzy “ z

1 Tome u “ x{z y v “ y{z.

2 Fx “ Fuux ` Fvvx “Fu

z

3 Fy “ Fuuy ` Fvvy “Fv

z

4 Fz “ Fuuz ` Fvvz “´xFu ´ yFv

z2

5 zx “ ´FxFz “zFu

xFu ` yFv

6 zy “ ´FyFz “zFv

xFu ` yFvFinalmente

xzx ` yzy “xzFu

xFu ` yFv`

yzFv

xFu ` yFv

“zpxFu ` yFv qxFu ` yFv

“ z

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 12 / 16

Definición

Si F px , yq y Gpx , yq entonces su jacobiano es:

BpF ,GqBpx , yq

“ detˆ

Fu FvGu Gv

˙

Derivación impĺıcita

1 Si"

x “ xpu, vqy “ ypu, vq

define u “ upx , yq y v “ vpx , yq, entonces

ux “yvBpx,yqBpu,vq

vx “´yuBpx,yqBpu,vq

uy “´xvBpx,yqBpu,vq

vy “xuBpx,yqBpu,vq

Siempre que Bpx,yqBpu,vq ‰ 0.

Ejemplo

Si x “ uv y y “ u{v , determinan a u y v comofunciones de x , y , calcule uxx .

1

ux “yvBpx,yqBpu,vq

“yv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

xu xvyu yv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“yv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

xu xvyu yv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“´u{v2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

v u1{v ´u{v2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“´u{v2

´2u{v“

1

2v

2 uxx “ BBx pux q “BBx p

12vq “ ´1

2v2vx

3

vx “´yuBpx,yqBpu,vq

“´1{v´2u{v

“1

2u

4 Aśı, uxx “ ´12v2 vx “´12v2

12u“ ´1

4uv2

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 13 / 16

Derivación impĺıcita

Si"

F px , y , u, vq “ 0Gpx , y , u, vq “ 0

define u “ upx , yq y v “ vpx , yq, entonces

ux “´BpF ,GqBpx,vqBpF ,GqBpu,vq

vx “´BpF ,GqBpu,xqBpF ,GqBpu,vq

uy “´BpF ,GqBpy,vqBpF ,GqBpu,vq

vy “´BpF ,GqBpu,yqBpF ,GqBpu,vq

Siempre que BpF ,GqBpu,vq ‰ 0.

Note que La regla anterior es una casoparticular de esta al hacer:

F px , y , u, vq “ xpu, vq ´ xGpx , y , u, vq “ ypu, vq ´ y

Ejemplo

Halle ux y uy a partir del sistema:

"

xu ´ yv “ 0xv ` yu “ 1

1 Tome F px , y , u, vq “ xu ´ yv yGpx , y , u, vq “ xv ` yu ´ 1

2BpF ,GqBpu,vq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Fu FvGu Gv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x ´yy x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ x2 ` y2

3BpF ,GqBpx,vq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Fx FvGx Gv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

u ´yv x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ xu ` yv

4BpF ,GqBpy,vq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Fy FvGy Gv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´v ´yu x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“´xv ` yu

Aśı ux “´pxu ` yvqx2 ` y2

y uy “´p´xv ` yuq

x2 ` y2

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 14 / 16

Funciones dadas en forma paramétrica

Si un función diferenciable z “ f px , yq, dondex , y variables independientes está dada enforma paramétrica como:

$

&

%

x “ xpu, vqy “ ypu, vqz “ zpu, vq

donde se supone que el jacobianoBpx , yq{Bpu, vq ‰ 0, entonces:

zx “ zuux ` zvvx “zuyv ´ zvyu

Bpx,yqBpu,vq

zy “ zuuy ` zvvy “´zuxv ` zvxu

Bpx,yqBpu,vq

Ejemplo

Halle zx ` zy si$

&

%

x “ u ` lnpvqy “ v ´ lnpuq

z “ uv2

1Bpx,yqBpu,vq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

xu xvyu yv

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1 1{v´1{u 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

1` 1{uv “puv ` 1q

uv

2 zuyv ´ zvyu “ v2 ´ 2uvp´1{uq “ vpv ` 2q3 ´zuxv`zvxu “ ´v2p1{vq`2uv “ vp2u´1q

zx ` zy “ vpv ` 2quv

puv ` 1q` vp2u ´ 1q

uv

puv ` 1q

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 15 / 16

F I N

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 16 / 16