118/03

NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING

NR. 18 OKTOBER 2003

M A T I L D E

Tema:Reformerne og matematikken

Universitet Gymnasium

Foto: Københavns Universitet Foto: Viborg Katedralskole

2 18/03

Leder

Der skal ledesReformerne er over os. Gymnasiet skal reformeres fra2005. Universitetet er i en reformproces med udmøntningaf lov gældende fra 1.juli 2003. Folkeskolen er reformeretved et forlig i efteråret 2002. Forskningsrådssystemet erændret i 2003. Nogle få personer kommer til at bestem-me. Der skal ledes.

Bestyrelser med eksternt flertal kommer til at læggede overordnede linier for universiteterne. Det er megetafgørende at finde de rette personer til bestyrelserne - atde finder de rette personer til rektorposter, at de finderde rette til dekanposter og at disse på sin side finder derette institutbestyrere. Med de rette personer på de retteposter er der lagt op til gode muligheder for en dyna-misk og positiv udvikling. Men den hierarkiske opbyg-ning er risikabel. En enkelt udpeget umulius kan gøreubodelig skade uden muligheder for indgriben, før deter for sent.

I den offentlige debat har det spillet en stor rolle, atder kommer bestyrelser med eksternt flertal. Når vi kom-mer tættere på dagligdagen bliver det klart, at dekanerfår en kæmpeindflydelse. De ansætter institutledere. Deopretter studienævn. De bliver et omdrejningspunkt forden strategiske udvikling i universitetsfagene og for denløbende drift. Men dekaner har fået flere opgaver. Detfremgår af universitetslovens formulering og ikke mindstaf bemærkningerne hertil.

I universitetslovens §16 lyder det: ’Dekanen vareta-ger ledelsen af hovedområdet, sikrer sammenhæng mel-lem forskning og uddannelse og kvalitet af uddannelseog undervisning samt tværgående kvalitetsudvikling afhovedområdets uddannelse og forskning’.

I bemærkningerne står bl.a. om dekanens opgave: ’De-kanen skal sikre den tværgående interne kvalitetsudvik-ling og kvalitetssikring, ligesom dekanen tager initiativtil at iværksætte turnusevaluering af de enkelte uddan-nelser ved hovedområdet. Endvidere sikrer dekanen enløbende og systematisk dialog med og kontakt til aftage-re og færdige kandidater om uddannelsernes indhold,profil, kvalitet og relevans. Endelig sikrer dekanen ud-vikling af ledelseskulturen ved hovedområdet og leder-udvikling for institutledere og studieledere.

Dekanen skal sikre et forpligtende samarbejde medandre universiteter, herunder koordinationen med andreuniversiteter ved turnusevalueringer og andre aktivite-ter med henblik på kvalitetsudvikling og kvalitetssikring.Dekanen sikrer endvidere procedurer og aktiviteter ved-rørende vidensudveksling og eventuel teknologioverfør-sel’.

Det sidste afsnit påpeger, at dekaner ikke blot har etansvar for deres egen institution, men også har tværgå-ende opgaver.

Som en udløber af universitetsreformen arbejdes der iefteråret 2003 med en ny bekendtgørelse for uddannel-serne. Det er meningen at give universiteterne stor hand-lefrihed til at udforme studieordninger. Ministeriet forVidenskab, Teknologi og Udvikling forestiller sig en fæl-les bekendtgørelse for alle universitetsuddannelser. Ba-chelorniveauet skal beskrives meget overordnet på detkvalitative plan og ellers ved fælles omfangskrav. Kandi-datuddannelserne skal beskrives meget bredt for hverthovedområde. Detaljerne skal derefter fastlægges decen-tralt i studieordningerne.

Gymnasiereformen er foreløbig en rammeaftale, derskal fyldes ud inden sommer 2005. Reformen gør op medopdelingen i matematisk og sproglig linie. Vort fag kanikke undgå at få en central placering, men hvad sker der,når faget skal indgå i en række sammenhænge med an-dre fag? Der tages i hvert fag initiativer til diskussionerom det faglige indhold med fagets lærere, med fagligeforeninger og aftagere. Det bliver væsentligt for de vide-regående uddannelser, at der bliver en klar aftale med degymnasiale uddannelser om indholdet i kærnestoffet, dadet ellers ikke bliver muligt at få en passende progressi-on i faget.

Og hvad så med strategisk udvikling og den dagligedrift?

Rektorerne på gymnasierne får stor indflydelse på denprofil, som det bliver muligt for det enkelte gymnasiumat tegne fremover, når studieretninger skal fastlægges.Gymnasier styres af amterne. Så rektor er i sidste ende ilommen på amtet, når samspillet mellem økonomiskemuligheder og rammerne for gymnasierne skal gå op ien højere enhed. Amternes fremtid er uvis, men vi vedformentlig mere, når strukturkommissionen nedkommermed en rapport til vinter.

Redaktionen har bedt indsigtsfulde folk med ansvar idet nuværende system om at vurdere reformerne medudkigspunkt fra deres nuværende base: En fagkonsulenti matematik i gymnasiet og en formand for den faglig for-ening af matematiklærere, to studieledere, censorforman-den i matematik for universiteterne og en dekan. De harvovet pelsen.

Der er mange bolde i luften. Nogle vil komme sikkerti mål, men det kan vare længe før vi ved det. Uddannel-sessystemet er en langsom supertanker, der er svær atdreje. De første universitetskandidater uddannet efterændringen af gymnasiet er tidligst klar på arbejdsmarke-det i 2013. Forkerte beslutninger viser sig sent.

Af: Tage Bai Andersen

318/03

Matilde – Nyhedsbrev forDansk Matematisk Foreningmedlem af EuropeanMathematical Society

Nummer 18 – OKTOBER 2003

Redaktion:

Martin Raussen, AAUBent Ørsted, SDU(ansvarshavende)

Tage Bai Andersen, AU(TEMAREDAKTØR)

Carsten Lunde Petersen, RUCJørn Børling Olsson, KUPoul Hjorth, DTUMikael Rørdam, SDUCarl Winsløw, KU

Adresse:

MatildeMatematisk AfdelingKøbenhavns UniversitetUniversitetsparken 52100 København Ø

Fax: 3532 0704e-post: matilde@mathematics.dkURL:www.matilde.mathematics.dk

ISSN: 1399-5901

Matilde udkommer 4 gange omåret

Indlæg til næste nummer skalvære redaktionen i hænde se-nest 30. januar 2004

TEMA:

Henrik PederesenReformer, Respekt og Realitetssans .................................... 4

Jens HuggerReformer og ledelse ............................................................ 6

Kristian G. OlesenDe store reformers tid? ....................................................... 7

Bjørn GrønEt godt matematikfag i gymnasiet? .................................... 9

Nils FruensgaardGymnasiereformen og matematiklæreren........................ 11

Hans Jørgen MunkholmCensorkorpset i matematik ............................................... 13

Simon Lyngby KokkendorffVerden Rundt med Rejselegatet ................................................. 15

Lars R. KnudsenJeg har “knækket” en kode ......................................................... 18

Jørn Børling OlssonDansk Matematisk Forenings preprint server ............................. 21

Matematiske institutioner præsenterer sig:Institut for Matematiske Fag, KU ................................................ 23

Uddannelsesfronten .................................................................... 25

Boganmeldelser ........................................................................... 28

Interview med Jean-Pierre Serre ................................................. 29

MatematikerNyt .......................................................................... 33

Begivenheder............................................................................... 34

Aftermath .................................................................................... 37

Indhold:

4 18/03 Tema

Jeg talte med en journalist om univer-siteternes øgede fokus på forsknings-overvågning og arbejdsmonitoreringi det hele taget. Han spurgte om fa-kultetets engagement i denne opga-ve skyldes omverdens øgede interes-se i brugen af offentlige midler tilhøjere læreanstalter. Svaret er, at jegoverhovedet ikke kunne drømme omat presse medarbejdere på fakultetetmed afsæt i en fejlinformeret myte omuniversitetet. Faktisk er det sådan, atvores nye bekendtskaber fra er-hvervslivet måbende må konstatere,at kadencen på universiteterne er eks-trem høj. Vi overpræsterer i forholdtil løn og rammevilkår. Det er hensy-net til denne virkelighed, som kræ-ver, at alle nogenlunde på lige foddeltager aktivt i fakultetets opgaver– ikke andre hensyn.

Når jeg har valgt at indlede meddisse betragtninger, så skyldes det, aten forudsætning for succes med demange nye reformer på universitet errespekten for universitetsfolks ind-stilling til deres arbejde. Det handlerblandt andet om respekt for forsk-ningsfrihed og selvbestemmelse somen forudsætning for det voldsommeengagement, der i dag har ført til, atDanmark ligger i den absolutte top,når det gælder kvantitet og kvalitet iforskning. De kommende ansatte le-dere har i denne forbindelse et stortansvar. Ledelse bliver især en udfor-dring, fordi danske politikere ikke eri besiddelse af samme realitetssans,som man kender fra Sverige og Fin-land, hvor øgede forventninger føl-ges af øgede investeringer.

Personligt finder jeg, at kravet tiløget samarbejde med samfundet er

spændende. Både den formidlings-mæssige opgave og det mere direkteengagement i spin-off og samarbejds-kontrakter. Opgaven er vanskelig ogvidenskabsministeriet er famlendemed rådgivningen. Vi snubler overforvaltningsloven og løber pandenmod regler for ubillig konkurrence oginhabilitet. Men vi vil finde vejen. Jegforventer ikke, at licensindtægter påpatenter og overskudsdeling i aktie-selskaber vil gøre universiteterne ri-ge (drømmen om en ny Giga er net-op en drøm). Men jeg er overbevistom, at universiteternes engagementvil skabe varige arbejdspladser til er-statning for de aktiviteter, der flyttervæk fra Danmark i disse år. Mate-matikere kan også spille med her. Se-nest ved konferencen ESGI47, hvorop mod 50 matematikere og ingeniø-rer arbejdede med problemer frablandt andre Grundfos, som rejstederfra med en opfattelse af, at mate-matikere næsten kan trylle. Det ermeget vigtigt for vores fag, at vi ta-ger udgangspunkt i konkrete pro-blemstillinger. Vi kan være inspireretaf teoretisk fysik eller udviklingen idatalogi, men også af det mere vi-denstunge erhvervsliv. Jeg så gerne,at flere matematikere (og ikke kunSDU og DTU) deltog i f.eks. ESGI-møderne hvert år. Og jeg kunne godttænke mig at få beskrevet, om de pro-blemer, som præsenteres ved dissemøder, er relevante/inspirerende formatematikforskningen/undervisnin-gen.

Problemet med kravet om mereerhvervssamarbejde er manglendeinvesteringer. Vi får penge til under-visning. Matematiktaksameteret er

fornuftigt, og vi leverer godt og veldet, der betales for. Basisbevillingentil forskning er derimod klart for lav.På vores fakultet henter vi tæt veddobbelt så mange eksterne midlerhjem , og det belaster basisbevillin-gen på grund af krav til medfinansie-ring - en udvikling der ikke er sundfor den rene matematik. Men der erikke en krone til erhvervssamarbejde.I Skotland har Scottish Enterprise stil-let betydelige midler til rådighed tilløft af spin-off. Danmark sender snart275 mio. kr. efter Tech Trans aktivite-ter (sådanne midler findes også iSkotland), men et egentligt medspil iøkonomien mangler. De kommendeansatte ledere skal derfor gøre sigsærdeles umage for dels at få denneopgave løst dels med at forsvare ni-veauet i forskningen. Uden fasthol-delse af niveau, bliver universiteter-ne nemlig meget hurtigt uinteressan-te.

Studierne skal også gennemses.Frafaldet er voldsomt. Vi kan ikke væ-re bekendt at tabe så stor en del af deunge mennesker. Der er en vanskeligsammenhæng i kravet til brede bache-loruddannelser og flere kompetence-profiler på kandidatoverbygningen. Viskal virkelig rulle ærmerne op her, fordet, vi plejer at gøre, er ikke nok. Vikan ikke trække alle igennem det sam-me nåleøje. Vi er nødt til at give kom-mende iværksættere, forskere og gym-nasielærere mere målrettede kursustil-bud. Umiddelbart er kravet til kompe-tencebeskrivelser indlysende – hvis viikke kan beskrive, hvad studenterneskal kunne, men kun, hvad de skalhave læst, må der da være noget galt.Jeg vil dog i den forbindelse anbefale

Reformer, Respekt

518/03Reformerne ogmatematikken

Essay om den forskningsbaserede un-dervisning og historiekompetencer,Forsker Forum 168, oktober 2003 side13. Ligesom for historiefaget ønsker viikke at reducere faget matematik til entræningsøvelse, der blot er et middeltil at tilegne sig erhvervsfærdigheder.Vi skal give vores studerende brugba-re færdigheder, men ligeså vigtigt erdet, at de bliver praktiserende mate-matikere – en undervisningsopgaveder er langt vanskeligere.

Selvom reformen af sektorforsk-ningen næppe giver de nødvendige50 mio. kr. til understøttelse af sam-arbejde med universiteterne, så ertanken om disse forskeres deltagelsei undervisning rigtigt set. Uden sam-menligning i øvrigt, har jeg altid sy-nes, at isoleringen af forskere på IHESvæk fra den kommende generation afvidenskabsfolk var fejlagtig. På Syd-dansk Universitet vil vi forhåbentligmeget snart være klar til at underskri-ve kontrakter med Risø og DJF Byg-holm, som giver flere kompetencer iingeniøruddannelserne på SDU. Vitager udgangspunkt i en bottom upproces, hvor de forskere, der ønskerat lave forskning i samarbejde meddisse sektorforskningsinstitutionerogså får medspil fra disse miljøer tilundervisningen. På samme måderækker vi ud til GTS-institutionerne.Universitetet har for få ansatte til demange opgaver, så gearing med dis-se miljøer hilses velkommen.

Lad mig til sidst bruge nogle over-vejende positive ord om gymnasier-eformen. Dekankollegiet på NatTek iDanmark fik ikke helt indfriet voresforventninger, men jeg mener, vi sag-tens kan bruge den nye reform. Over-

ordnet er strukturen i forslaget tilGymnasieloven god. Mere fokus pånaturvidenskab i almendannelse harværet påtrængende længe, og bud-skabet er hørt. Organisationen medet fælles grundforløb og efterfølgen-de studieretningsforløb med valgfaghilses velkommen – strukturen min-der om studiestrukturen på det Na-turvidenskabelige og Tekniske Fakul-tet på Syddansk Universitet. Trængs-len af fag på det korte grundforløber dog noget skræmmende.

Den øgede fokus på almen studie-forberedende samt indlæring påtværs af fagene er interessant af fleregrunde. Dels går videnskaben inden-for de naturvidenskabelige fag i dagi høj grad på tværs af fagene, dels vi-ser forskning blandt andet i regi afDansk Institut for Gymnasiepædago-gik, Syddansk Universitet, at samar-bejde på tværs af fagene i høj gradkan fremme indlæring. Hvor der tid-ligere har været fokus på indlæringaf fundamentale faglige færdighederinden det spændende samspil mel-lem fagene, kræver de unge i dag enmere fleksibel pædagogik, hvor ba-sal indlæring blandes med menings-fyldte projekter. Dette vil blive enbåde interessant og krævende udfor-dring for gymnasielærerne. Det erønskeligt, at denne udfordring løsesi samarbejde med blandt andre uni-versitetslærerne. Der er grund til atforvente et gensidigt udbytte af så-dan et samarbejde.

Der er næppe nogen fundamen-tal begrundelse for at fastholde un-dervisningen i naturgeografi i det nyegymnasium. Samspillet mellem fage-ne matematik, fysik, kemi og biologi

Af: Henrik PedersenDekan, Syddansk Universitete-mail: Henrik@adm.sdu.dk

og Realitetssanser en tilstrækkelig kompakt udfor-dring i et 3-årigt gymnasium. Hvisundervisningen i disse fire fag kanbringe biologien i centrum på sammemåde, som det i høj grad sker i forsk-ningen, vil interessen for naturviden-skab blive øget.

Endelig giver reformen en velbe-grundet håndsrækning til faget fysik.Denne udfordring til fysiklærerne børder arbejdes grundigt med i gymna-sieskolen med inddragelse af elemen-ter fra teknisk fysik og virksomheds-samarbejde og inddragelse af elemen-ter fra den moderne biofysik.

Der er god grund til at glæde sig påuniversiteterne til de nye studenter i2008, og der er god grund til at forbe-rede undervisningen på universiteter-ne til at modtage studerende med nyekompetencer og forventninger.

Sidefagssuppleringen omtales og-så i den nye lov. På naturvidenskaber denne konstruktion både irrelevantog økonomisk urentabel. Imidlertidkan de netværk, som er etableret tilsidefagssupplering, bruges til at giveden faglige efteruddannelse af gym-nasielærere, som efterlyses af gymna-sierektorerne. Her er det værd at be-mærke, at der er afsat minimum 90mio. kr. pr. år i 3 år til denne opgave.Dette illustrerer den A-formede struk-tur for investering i uddannelse i Dan-mark med tilstrækkelig med penge ibunden og for få penge i toppen.Hvis der skal realitet bag de mangereformer på universiteterne med re-spekt for universitetets værdigrund-lag, så skal denne A-form deforme-res hen imod en H-form, således atder også investeres i toppen.

6 18/03 Tema

Reformer. Det er næsten ved at bliveet skældsord nu om dage. Det fortol-kes pr. automatik som forandringertil det værre. I stedet er (stort set) allereformer jo lavet med det formål atgøre tingenes tilstand bedre. Er detbare os universitetsfolk, der sidder ivore elfenbenstårne og er konserva-tivt bange for at få skrammet denpæne overflade?

Den nuværende regering har enmasse reformer på bedding. Ikke ba-re på universitetsområdet. Ikke barepå undervisningsområdet. Men over-alt i samfundet. Og hvorfor så det?Hvad er formålet med alle disse re-former? Vi har en regering som gårind for borgernes ret til frit valg oglokalt selvstyre (og en masse andreting som jeg ikke skal komme ind påher, fordi jeg ikke kan se nogen sam-menhæng lige her og nu). Frit valgog lokalt selvstyre er jo ord der rin-ger sødt i enhver universitetsVIP’sører. Men hvad betyder det i praksis?

Hvis borgerne (de studerende)skal have frit valg, så må man haveuniversiteter som man kan lade vok-se og skrumpe efter behov. Hvis deunge hellere vil læse i Esbjerg end iKøbenhavn, så er det Esbjerg der skalhave pengene og de skal tages fraKøbenhavn. Hvis de unge hellere villæse fysik end dansk, så er det fysikder skal have pengene i stedet fordansk. En af de mange ting der ad-skiller universiteter fra private virk-somheder er deres evne til at vokseog måske især at skrumpe. Det ermeget svært at fyre sig selv og dekolleger, man har gået op og ned ad imange år. Ergo er der behov for endistance mellem ledelsen og de an-satte. Ergo ansatte ledere som kan ta-ge de upopulære beslutninger lige-

som i private virksomheder. Hovsa,det er da vist ikke så godt! Eller hvad?Vokse/skrumpe situationen må for-modes at opstå under alle omstæn-digheder pga. ideologien om frit valg.Men så er det vel trods alt bedre athave redskaber (en ledelse), der kantage sig af situationen på den bedstmulige måde, når den opstår.

Lad os så kigge lidt på ideen meddet lokale selvstyre. Hvis universite-terne skal styre sig selv, men have al-le deres penge fra staten, så må dernødvendigvis være et eller andet in-strument til at bestemme hvor man-ge penge det enkelte universitet skalhave. Eller rettere, i mangel af et så-dant instrument må der være en reelledelse på universiteterne som poli-tikerne kan forhandle med (eller dik-tere) og være sikre på at resultaternebliver implementeret uden at syste-met bryder sammen. Igen peger detpå en stærk ledelse, og igen kan detvirke negativt, indtil man indser, atdiktaterne jo kommer under alle om-stændigheder. Vi er nødt til at kunneforholde os til dem.

Indtil nu har jeg stort set kun snak-ket om nedgangstider. Lad os værepositive og tænke på opgangstider.Lad os forudsætte, at vi har fået an-sat den ”rigtige” ledelse. Hvis ikkemå man forvente at den stærke ogbeslutningsdygtige bestyrelse vil sør-ge for at en bedre ledelse bliver fun-det. Men den rigtige ledelse vil selv-følgelig også være en ledelse, derfuldt ud forstår, hvordan et universi-tet fungerer og derfor vil respekterede demokratiske spilleregler og kunbenytte sine diktatoriske beføjelser,når de demokratiske processer kørerfast i kollegiale hensyn og ”hvadhvis”er. Men hov, det gør de jo stort

set altid. Hvor vi indtil nu har haft enledelsesform, som har hældet kraftigtmod at bevare status quo, medmin-dre der var helt åbenlyse fordele vedændringer, så får vi nok nu en ledel-sesform som hælder noget mere modforandring, medmindre der er heltåbenlyse fordele ved bevarelse af sta-tus quo. Som et eksempel kan vi tageden nylige beslutning på Køben-havns universitet om at flytte datalo-gisk institut fra Universitetsparkenhvor de var naboer til matematik,kemi og fysik og til en ”datalogiskforskerpark i humaniora-land”. Be-slutningen er i store træk truffet afrektor og institutleder efter høring afde involverede parter. Idet der ikkevar uigendrivelige argumenter imodledelsens indstilling, men kun detsædvanlige ”tja, men hvad nu hvis?”,ja så blev indstillingen til en beslut-ning på hvad der for et universitet måbetegnes som rekordtid.

Jeg er overbevist om, at der kanfindes både gode og dårlige eksem-pler på resultater af en mere dyna-misk ledelsesstil på universitetsom-rådet. Tag bare DTU. Derfra har vibåde gode og dårlige historier. Mendeciderede kriser i det større perspek-tiv har vi vel ikke set. I det store oghele går dagligdagen for den enkelteVIP videre som om intet var hændt.Mon ikke det samme trods alt vil skeogså andre steder. Især da på mate-matik hvor det at lede snarere er no-get man tvinger folk til, end det ernoget man slås om at få lov til.

Reformer og undervisningen

Hvad er der så af gode ting i posenud over en ledelsesreform? Det er fak-

Af: Jens HuggerStudieleder for matematiske fag, KU

email: hugger@math.ku.dk

Reformer og ledelse

718/03Reformerne ogmatematikken

tisk ret begrænset. Vi har i de senesteår fået gennemført en 3+2+3 delingaf universitetsuddannelserne. Hvorfokus indtil nu har været på ansæt-telsesmulighederne efter bachelorud-dannelsernes 3 år skifter fokus over iretning af mere fleksibilitet mellembachelor og kandidatuddannelserne.Naturvidenskab KU’s dekan HenrikJeppesen har for nyligt takket HelgeSander for at kopiere ”hans” studi-ereform ind i loven (men efterspør-ger dog royalties, måske i form afpenge til finansiering af ændringer-ne).

Der er selvfølgelig detaljer somved første øjekast virker uspiselige,men som ved nærmere eftersyn visersig at kunne omgås, så vi ender opmed en måske mindre optimal signal-værdi men ingen reelle ændringer. Vivil også i fremtiden få lov til stort setat designe vore uddannelser, så debliver så gode som det er muligt atgøre dem.

Og hvad så med gymnasierefor-men. I meget store træk ser det gan-ske positivt ud for matematik. Manmå formode, at der vil komme flerestudenter med matematik på højt ni-veau ud af reformen. Derudover erder selvfølgelig en masse detaljer,som sætter grå hår i hovederne pågymnasielærerne, men som de forhå-bentlig får sig fortolket udenom, såde nye matematikere kommer ud oger mindst lige så gode som dem, derkommer ud i dag.

Konklusion

Hvad er så facit? Lidt mere dynamikpå universiteterne. Der vil muligvisblive lidt større og lidt hurtigere æn-dringer i dagligdagen end der harværet indtil nu. Man kan ikke i heltsamme grad som i dag forvente at fålov til at lave sin forskning og sinundervisning for sig selv i 30 år i trækuden indblanding. Man vil muligvisblive tvunget til at flytte kontor engang. Gamle privilegier kan måskeblive fjernet. En ny frokoststue kanmåske komme til. Nye samarbejderpå tværs af gamle skel kan blive dik-teret. Men i det store og hele er dertale om en evolution og ikke om enrevolution. Så bare tag det roligt. Detskal nok gå.

Universitetslærerens rolle

Dengang jeg var dreng i Brovst, komder jævnligt folk fra byen med et brev,de havde modtaget fra udlandet, ogbad mine forældre, der begge var læ-rere, om hjælp til at oversætte det tildansk. Andre gange, når korrespon-dance skulle besvares eller hilsnersendes, var det korrekte formulerin-ger, specielt på tysk, der voldte pro-blemer. Mine forældre stillede bered-villigt deres sprogkundskaber til rå-dighed, og disse aktiviteter var ennaturlig del af folkeskolelærerens livpå landet. Læreren var en ressource,der indgik i byens liv, og byen gen-gældte disse tjenester med respekt forlærerens viden og hjælpsomhed. Læ-rergerningen var et kald, og lærerenhavde byens respekt.

Da mine forældre trak sig tilbage,var det uden vemod. Lærerens statusvar forandret, og lærerens rolle somkulturbærer og vidensressource varafløst af lønmodtagerens.

Jeg forestiller mig, at gymnasielæ-rere har haft en lignende rolle i destørre byer, og mener at kunne se tegnpå en lignende metamorfose i deresvirke. Det er der flere grunde til. Jegvil blot konstatere, at roller, der tidli-gere har haft karakter af kald, tilsy-neladende har skiftet karakter, såle-des at rollernes udøvere i højere grader blevet lønmodtagere. Og det ersynd. Hvor det før var entusiasme oginteresse, der drev værket, er det nu ihøjere grad rettigheder og pligter.

Det er dette skred, jeg ser somskrækscenariet for universitetslærer-ne, som en utilsigtet sideeffekt af denny universitetslov. Den hierarkiskeledelsesstruktur vil i værste fald, hvis

Af: Kristian G. OlesenStudieleder

Aalborg Universitete-mail: kgo@cs.auc.dk

den praktiseres målrettet, resultatori-enteret og styrende, avle et modtryk,der reducerer universitetsansatte tillønmodtagere i stedet for entusiasti-ske medarbejdere, der brænder forjob og fag. Hvis universitetslærereender med at blive styret af bureau-kratiske U-, F- og A-normer frem foraf indlevelse og engagement, vil uni-versitets rolle som kulturbærer ogvidensskaber snart fortone sig.

Nu går det næppe så galt. Mit gæter, at universiteterne også fremovervil blive ledet med skyldig hensynta-gen til institutionernes karakteristikaog særpræg. Tidligere tiders planerom detaljeret tidsregistrering og – sty-ring blev opgivet, men det var må-ske snarere, fordi det blev klart, at denreelle arbejdstid faktisk overstigerden formelle?

Universitetsloven set frastudielederens stol

Nu er universitetsloven så vedtaget,og selv om revolutionen ikke er ligeom hjørnet, vil der utvivlsomt skeforandringer. Ændringerne risler nedgennem systemet: fra lov til bekendt-gørelser og fra bekendtgørelser vide-re til studieordninger og -vejlednin-ger. I sidste ende må vi forvente, atalle studieordninger skal revideressom følge af den ny universitetslov.Revision og fornyelse af studieord-ninger er centrale områder i studie-nævnenes arbejde, så i den forstandændrer loven ikke studielederes og –nævns arbejde. Den umiddelbarekonsekvens er snarere, at rækkeføl-

De store reformers tid?

8 18/03 Tema

gen af emner og sager ændres. Stu-dieordningsrevisioner udskydes, tillovens konsekvenser er kendte, ogstudielederens koncentration rettesmod overordnede problemstillinger.Dagsordenen sættes af ministeriet, ogdet er ikke nødvendigvis en dagsor-den, der er i trit med de aktuelle pro-blemer.

Studiernes struktur ogindhold

I første omgang stiles der mod énsamlet bekendtgørelse for alle bache-lor- og kandidatuddannelser. Enumiddelbar konsekvens af universi-tetsloven er en klar adskillelse af ba-chelor- og kandidatuddannelser. Det-te er bl.a. en følge af EU’s målsætningom harmonisering af uddannelsernesstruktur, hvor Bolognaerklæringencementerer 3 + 2 + 3 strukturen. Det-te har medført nogen panderynken,især på professionsuddannelserne,hvor det kan være vanskeligt at be-skrive den specifikke erhvervskom-petence, der opnås efter tre års studi-er på f.eks. lægestudiet eller landin-spektøruddannelsen. Set fra de tradi-tionelle hovedområder samler inte-ressen sig i højere grad om samspil-let mellem bachelor-kandidatstruktu-

ren i relation til sidefag-hovedfag-strukturen i gymnasielæreruddannel-serne. Den mest oplagte løsning pådenne problemstilling er to-fags ba-cheloruddannelser med en udbyg-ning af det ene af fagene til hovedfagi en kandidatuddannelse. Dennestruktur er ikke ukendt, men den erikke universel. Modellen giver halv-andet års studier til sidefaget og treet halvt års studier til hovedfaget.Udover de strukturelle problemer,aktualiseres spørgsmålet om halvan-det års studier er tilstrækkeligt til atopnå undervisningskompetence igymnasier m.v. Set fra naturviden-skabs synspunkt vil dette være accep-tabelt, men inden for andre områderkan det være problematisk. En gym-nasielærerorienteret kandidatuddan-nelse kunne ses i sammenhæng medpædagogikumordningen. De nyligtindførte uddannelsesstillinger medfaglige suppleringsforløb har ikkeværet nogen udpræget succes, og ryg-terne siger, at ordningen afskaffesigen. Skal pædagogikum betragtesisoleret, eller kan der tages højde fordenne ordnings problemer i forbin-delse med en større uddannelsesre-vision? Skal der brydes med den van-te forestilling om gymnasielærerensom primært videnskabeligt funderetog fokuseres mere på de didaktiske

og pædagogiske dimensioner? Skalhele uddannelsesstrukturen gøresmere erhvervsorienteret med grund-læggende fagligt orienterede bache-loruddannelser og professionsorien-terede kandidatuddannelser? Børgymnasielæreruddannelserne be-tragtes som professionsuddannelser?Skal vi skele til RUC-modellen, hvorder læses to sidestillede fag? Disse ogandre spørgsmål om uddannelsernesstruktur og sigte aktualiseres af uni-versitetsloven.

De store reformers tid?

Universitetsreformen kan medførebetydelige forandringer i uddannel-sessystemet, og den kan få betydeli-ge konsekvenser for de universitets-ansatte. Umiddelbart flytter lovenfokus over på nogle overordnedespørgsmål. Måske ebber debattenlangsomt ud, og livet fortsætter stortset som hidtil. Måske vil eftertidenbetragte universitetsloven som denstørste reform i århundreder. De lang-sigtede konsekvenser af universitets-loven er vanskelige at forudsige.

Set fra min stol er bedste bud atden er – overflødig.

Måske vil eftertiden betragte universitetsloven som den største reform i århundreder. De langsigtede konsekvenser afuniversitetsloven er vanskelige at forudsige.

Set fra min stol er bedste bud at den er – overflødig.

918/03Reformerne ogmatematikken

1.

Gymnasiet undergik en del foran-dringer i det 20. århundrede. Meningen af reformerne anfægtede denlinjedeling, der blev indført i 1903.Opdelingen i matematisk og ny-sproglig – og klassisk sproglige – lin-je har eksisteret så længe, at den fornogle næsten har fået karakter af ennaturlov: Sådan er menneskene nuengang opdelt.

Vi må stærkt håbe, at det ikke eren naturlov, for den reform, der nuforberedes, nedlægger linjerne ogindfører i stedet en struktur med ½års grundforløb efterfulgt af 2 ½ årsstudieretning.

Studieretninger udbydes og opret-tes på skolerne ud fra de krav om fag-lige niveauer og bindinger, som erformuleret i love og bekendtgørelser.

En elev, der søger et bestemt gym-nasium, kender de studieretningerskolen udbyder og forhåndstilkende-giver ved indgangen til 1. g hvilkenretning hun forventer at vælge. Den-ne forhåndstilkendegivelse dannergrundlag for oprettelse af klasserne igrundforløbet. Herved sikres, at ele-ver, der ved, de vil søge en matema-tisk-naturvidenskabelig studieret-ning, som hovedregel ikke kommertil at gå i samme klasse som elever,der søger de sproglige retninger.

Forhåndstilkendegivelsen harværet et markant ønske fra matema-tisk-naturvidenskabelige fag. Men

der er en bagside: Gennem grundfor-løbet skulle eleverne møde fag, deikke har kendt før, få indsigt i studie-retninger og dermed et grundlag forderes valg. Bliver dette valg nu reeltflyttet ned i folkeskolen?

Det endelige valg af studieretningforetages omkring jul, hvor eleverkan ”vælge om” – så det er muligt,det i praksis ikke vil være et stort pro-blem.

2.

Hensigten med studieretningerne erat samle det bedste fra grengymnasi-et, fra linjegymnasiet, der gik forud,og fra det nuværende valggymnasi-um.

I linjegymnasiets tid for 50 år si-den havde eleverne i en klasse alle fagsammen. Man specialiserede sig ik-ke ud over linjerne.

Grengymnasiet indførte hold,hvor der blev mulighed for fagligt atnå længere. Valgfagene blev skilt frafællesfagene – men der var dog mu-ligheder for et samarbejde indenforden enkelte gren – mellem matema-tik og fysik, eller mellem matematikog biologi.

Ideen var udmærket, men i prak-sis var der sjældent tale om frugtbartsamarbejde og synergi. Man kørtehver sit stramme pensum. Grengym-nasiet fik samtidig flere og flere gre-ne og kviste, og med valggymnasiettog man konsekvensen: Eleverne

vælger selv sin kombination af ek-sempelvis højniveaufag, som nu bå-de er frigjort fra fællesfagene og frahinanden.

Hvad er så ”det bedste”, som dennye reform tager?

Når man har valgt studieretning,går man i 2 ½ år sammen med kam-meraterne i både studieretningsfagsom fysik A eller B, matematik A el-ler B, biologi A eller B osv. - og fælles-fag som dansk, historie og oldtids-kundskab. Der er således gode ram-mer for samarbejde mellem fagene –og der vil blive krævet samarbejde.

Studieretningsfagene skal støttehinanden. Dette sikres gennem kravom bindinger, bl.a.;- Alle naturvidenskabelige fag på

A-niveau og samfundsfag på A-niveau skal kombineres med ma-tematik på mindst B-niveau.

- Matematik på A-niveau skal kom-bineres med et naturvidenskabe-ligt fag eller samfundsfag påmindst B-niveau.

- Matematik på B-niveau kan ende-lig også kombineres med musikpå A-niveau.

Der er naturligvis også en række an-dre bindinger vedrørende andre fag.

Der vil blive eksplicitte krav omsamarbejde mellem studieretningsfa-gene. Fx skal den store skriftlige op-gave fremover skrives som et studie-retningsprojekt, hvor mindst ét af stu-dieretningsfagene skal indgå.

Ved siden af studieretningsfagenevil der normalt være plads på skema-et til såkaldte ”frie valgfag”. Her gåreleverne hver til sit. De frie valgfagskal bruges til at sikre niveaukravettil en studentereksamen: Mindst 2 A-niveauer foruden dansk og historie,mindst 3 B-niveauer og 7 C-niveau-er.

Ved første øjekast kan det nok seforvirrende ud – og der er da ogsåmuligheder for mere end 80 forskel-lige studieretninger. Men i dag findesder faktisk endnu flere forskellige in-

Af: Bjørn GrønFagkonsulent i matematik

gymnasiete-mail: Bjorn.Gron@uvm.dk

Et godt matematikfagi gymnasiet?

Matematik kan nok ikke lære

eleverne at tænke rigtigt,

men snarere gøre det klart for dem,

hvor nemt det er at tænke forkert.

Harald Bohr

10 18/03 Tema

dividuelle studentereksamener. Ogbindingerne gør, at det bliver merehomogene studentereksamener, derkommer ud af det.

3.

En skole har en række frihedsgrader.F.eks. vælger én skole at udbyde samfA + mat B + et C-niveaufag som stu-dieretningsfag. Denne skole lader ele-verne selv opgradere niveauerne, ogher er der givetvis en del elever, dervælger at løfte mat B til mat A gen-nem et 1-årigt forløb i 3. g. En andenskole vælger at udbyde samf A + matA + et C-niveaufag som studieret-ningsfag. Det giver eleverne mindrevalgfrihed, men samspillet i studie-retningen kan blive bedre.

4.

Alle elever i gymnasiet skal fremoverhave matematik og fysik på mindstC-niveau og yderligere to naturvi-denskabelige fag på C-niveau samtmindst ét naturvidenskabeligt fag påB-niveau. Endvidere placeres natur-videnskaben med vægt i det almen-dannende projekt i gymnasiet. Altdette er med til at give naturviden-skab en stærkere placering i gymna-siet.

5.

Matematik indgår i så mange kombi-nationer, at det givetvis vil blive etstort fag i det nye gymnasium. Bliverdet så også et godt fag?

Svaret på det spørgsmål kan ikkebare parkeres i en læreplansgruppe.Den nye struktur med studieretnin-ger og krav til fagligt samarbejde vilfå betydelige konsekvenser for pen-sum.

I dag er pensum i matematik, næ-sten identisk med pensum til skrift-lig eksamen og er formuleret i langeemnelister og gennem vejledendeeksamensopgaver. Forberedelsen tilskriftlig eksamen fylder voldsomt igymnasiets matematikundervisning.Er det den bedste måde at bruge ti-den på? Er det den bedste måde atlære matematik på? Mogens Niss-udvalgets KOM-rapport har bidragettil’ at flere har fået øjnene op for, atdet at lære matematik måske er no-

get mere facetteret end at lære at reg-ne stykker til en skriftlig eksamen.

Fremover vil det skriftlige pen-sums andel blive betydeligt mindre– måske 60-70 % af det nuværende -for at give plads til valgfrie emnefor-løb. Disse forløb vil være forskelligefra studieretning til studieretning – ogfra lærer til lærer. Nogle steder vil enmat-samf retning lave et samarbejdeom brug af statistiske metoder, andresteder vil andre lærere lave et samar-bejde om makro-økonomiske model-ler osv. Hvor matematik indgår sam-men med fysik, er det måske kinema-tik et sted, radioaktivt henfald et an-det sted, der giver anledning til et fag-ligt samarbejde. Der vil være ret frierammer for valg af fagligt stof. Hvertprojekt skal blot have en lødighed, sådet kan indgå til en mundtlig eksa-men i hvert af fagene. De valgfrieemneforløb skal fylde en væsentligdel af pensum til mundtlig eksamen.

Når der skal formuleres én be-kendtgørelse, der skal rumme en så-dan diversitet, vil en kompetenceba-seret tilgang være oplagt. Billedligttalt kan man forestille sig denne delaf pensum som en matrix, hvor de todimensioner repræsenteres af hen-holdsvis fagligt stof og matematiskekompetencer. Om der arbejdes medlidt videregående statistiske metoderi forbindelse med radioaktivt henfaldeller i forbindelse med stikprøver oghypotesetest er underordnet. Tilsva-rende er det ikke afgørende om, mo-delleringskompetencen er i spil i detene eller det andet faglige samarbej-de – eller for den sags skyld i forløb,matematikfaget selv står for.

Nogle matematiklærere reagererpå en sådan udvikling ved at tale omen deroute for faget og påstår, at viforlader ”hardcore-matematikken” igymnasiet. Det er noget sludder. Deter ikke ”hardcore” og højt niveau atkunne løse de binomial-opgaver vistiller ved studentereksamen. Menkunne de fremlægge en rapport somde ovennævnte ved en mundtlig ek-samen og føre en fornuftig samtaleherom – så var der tale om ”hardco-re”.

Tilbage i 1980 sagde Mogens Niss:”Langt vigtigere end et bestemt pen-sum er det, at studenterne møder oppå de videregående studier med nog-le repræsentative erfaringer med for-skellige former for matematik og medmatematik i forskellige forbindelser,at disse erfaringer er solide og seriø-

se og indvundet gennem selvstæn-digt arbejde” (Fra Hvad er meningenmed matematikundervisningen).

6.

Men ét er formuleringer – hvordankommer vi ud over ordene og reali-serer det? Vi ønsker at bevæge os vækfra, at eksamensopgaverne styrer alundervisning, at realisere intentioner-ne bag aspekterne, at frisætte lærer-nes kreativitet og glæde ved faget –så de smitter eleverne og får flere tilat gå den vej.

Men dette stiller jo samtidig stør-re krav til den enkelte lærer – der kanfremover ikke forventes at være énlærebog, som dækker hele pensum.Måske finder de traditionelle lære-bogsforlag en vej frem for dem og osvia brug af nettet – hvor en grund-bog bestandig suppleres med forslagtil forløb. Men vi kan ikke forlade ospå dette. Det tager tid at lave egneemneforløb og forberede projektersammen med eksempelvis samfunds-fag – og tid er her 30, 40 eller 50 ti-mer. Det har man ikke sådan bare.Hvad gør man så? Så må man låne.

Det fører nemlig tilbage til, at sva-ret på hvad et godt matematikfag igymnasiet er, ikke kan parkeres i enlæreplansgruppe.

Vi har i gymnasiet brug for demange gode venner vi har på univer-sitetet – til at smide ideskitser til så-danne forløb ud til os. Vi vil så forsø-ge at gribe ideerne og formidle etsamarbejde med matematiklærere igymnasiet.

Et samarbejde kan indebære gen-sidige besøg, men skal først og frem-mest dreje sig om, at gymnasielære-ren giver faglig respons – hvad eregnet, og hvad er ikke – og når detfaglige materiale findes velegnet så atomsætte dette til et pædagogisk vel-egnet forløb. Hvor det lykkes kan detflytte meget – både for lærere og ele-ver. Og når det er lykkedes, så kandet forhåbentlig føre til velbeskrevneemneforløb, der stilles til rådighed forandre. Som så må låne.

Samarbejde af denne type er un-dervejs flere steder. Kan vi få megettil at gro op her inden 2005, så kan viogså få lærerne til at tage det nye tilsig, så det denne gang ikke går somhin ældre lektor forudsagde: Jeg harendnu ikke set den bekendtgørelse, derkan få mig til at ændre min undervisning.

1118/03Reformerne ogmatematikken

Matematiklærerforeningen

Matematiklærerforeningen er gym-nasiematematiklærerens faglige for-ening. Næsten alle 1700 matematik-lærere i gymnasiet er medlemmer afforeningen. De modtager LMFK-bla-det hver måned og deltager i debat-ten om faget via bladet og ved delta-gelse i årlige regionalmøder.

Foreningen har en hjemmeside påwww.mat.dk, hvor det er muligt atfølge med i foreningens aktiviteter.Endvidere tilbyder UNI-C og EMUgennem konferencen Skolekom etdebatforum for meninger, og her kanman følge debatten mellem lærerne,og selv yde et bidrag, hvis man entenføler sig provokeret dertil, eller hvisman har noget på hjertet.

Foreningen har endvidere et lilleforlag, der tager sig af trykning afeksamensopgavebøger, formelsam-linger og temabøger til brug i under-visningen på gymnasialt niveau.Foreningen ledes af en styrelse på 8medlemmer, som arbejder i god kon-takt med UVMs matematikfagkonsu-lent, der også deltager i styrelsensmøder. Der afholdes 6-8 møder omåret.

Herudover nedsætter styrelsenarbejdsgrupper, der arbejder med ef-teruddannelse, informationsmateria-le, og udvikling af faget. Mange ar-bejdsgruppers aktivitet udmunderofte i nye tiltag på forsøgsområdet. Ide sidste år har disse arbejdsgrupperbl.a. sat gang i standardforsøget påhf-fællesfag med projektrapporter,standardforsøget på matematisk lin-je med valgfrie emneforløb og udar-bejdelsen af hæftet Matematik på hf,som UVM udsender i serien Udvik-lingsprogrammet for fremtidens ung-domsuddannelser.

Reformen

I de sidste 2-3 år har der været lagtop til, at der skal komme en reform i

gymnasiet. De forskellige politiskepartier og interesseorganisationer,som fx Rektorforeningen, GL (gym-nasielærernes fagforening), Amts-rådsforeningen, Dansk Industri ogandre har ytret sig om fremtidensgymnasium.

Den borgerlige regering har imid-lertid valgt at udforme sin egen mo-del, som kan læses om i fagkonsulentBjørn Grøns artikel et andet sted idette blad. Regeringens motivationfor at vælge sådan er uvis. Modellenbygger ikke på erfaringer og er hel-ler ikke resultatet af pædagogiskedrøftelser i en større sammenhæng.Men modellen bygger på en ide om,at tværfagligt samarbejde over langtid er vejen frem til en større breddeog dybde i fagligheden.

Selvom det nuværende gymnasi-um er en succes, har det alligevelværet tiden til at reformere både klas-se/hold-struktur, indhold i fagene ogindførelse af nye arbejdsformer vialovgivningen. Direktøren for UVMsgymnasieafdeling har udtrykt det påfølgende måde: ”Der skal laves ompå det forhold, at gymnasiet er et sted,hvor de unge kommer for at se devoksne arbejde”. Reformens mål erderfor bl.a. at indføre nye elevaktive-rende arbejdsformer og få lærerenvæk fra tavlen.

Med den udvikling der er sket istudierne på de videregående uddan-nelser og i det efterfølgende arbejds-liv, er det klart, at der skulle skabesrum for udvikling af kompetencer inye arbejdsformer, som fx projektar-bejde, og at der skulle arbejdes medit på en ny og mere kompetencegi-vende måde. I det nuværende gym-nasium er der problemer med at lavetværfagligt samarbejde mellem fage-ne på valgholdene på A-niveau. Detvigtigste argument for den nye struk-tur er ifølge regeringen, at der nu kanlaves tværfagligt samarbejde mellemde nye studieretningsfag på et højtfagligt niveau. For matematikfaget erdette en ny situation, da vi ikke harkunnet danne samarbejde med andrepå grund af skemastrukturen. Oghvis matematik har et ønske om at sefaget i samarbejde med fx samfunds-fag, biologi eller fysik på et højt ni-veau, så er muligheden der nu.

Reformen set fra lærerensståsted

Der er en stor usikkerhed i lærergrup-pen om, hvordan alle de nye tankerskal føres frem i praksis. Der er lagtop til, at 20% af matematiktimerne i1.g skal indgå i en fællespulje til etblandingsfag, som kaldes almen stu-dieforberedelse. Dette er et rigtigttværfag, som indeholder mange klas-siske dannelseselementer og som og-så skal tage sig af de studieforbere-dende kompetencer. Der foreliggerendnu ikke udkast til hverken ind-hold eller mål for dette store fag. Mankan være bekymret for, hvordan ma-tematik kan bidrage her. Dette kræ-ver nogen overvejelse, og det kræverat der afsættes tid og midler til at la-ve inspirationsmateriale til lærerne.

Lærerne ser det som et problem,at der ikke foreligger konkrete eksem-

Af: Nils Fruensgaardformand for Matematiklærerforeningene-mail: Nils.Fruensgaard@skolekom.dk

Gymnasiereformenogmatematiklæreren

12 18/03 Tema

pler på, hvordan de nye tværfag skalfungere. Lærerne er i tvivl om, hvor-dan alle disse nye kompetencebeskri-velser skal udformes i konkret under-visning. Det er svært at se, hvor sy-stemet vil hente resurser til udviklingaf projektarbejdsmodeller og it-op-rustning. Der mangler materialer ogefteruddannelse, og der mangler rumpå skolerne til at bygge undervisnin-gen på projektarbejde, forelæsningerpå større hold, gruppearbejde i roli-ge omgivelser, øget brug af it og vir-tuel undervisning.

Alle parter i systemet ønsker detbedste for reformen og for fremtidensundervisning, men der er ingen, derhar vist en vej for, hvordan denne re-form bliver implementeret. Det ligneret politikerforslag, der skal føres ud ipraksis uden tanke for, hvordan manvender en skude med en besætningpå 10.000 mand og 100.000 passage-rer. I øjeblikket er der måske mindreend 10-20 mand, der arbejder på heleprojektet. Og vi er nu i den kritiskefase for projektet, idet tidsplanen si-ger, at der skal startes med 1.g i som-meren 2005.

Matematik efter reformen

Matematikfaget vil sandsynligvishave samme niveau efter reformen.Der bliver et C-niveau for alle eleveri gymnasiet og på hf på 125 (klokke-)timer i det første år, og dette afsluttesmed en skriftlig eksamen. Der bliverefterfølgende mulighed for at vælgeB- og A- niveau på samme måde somnu.

Men skolerne skal nu selvstæn-digt danne studieretninger, hvor ma-tematik kommer til at indgå sammenmed fx samfundsfag eller biologi el-ler fysik. Det er hele reformprojektetside, at fagene skal arbejde sammen pådisse studieretninger. Derfor er detmeget vigtigt for projektet, at mate-matik kan samarbejde med andre ilange perioder. Dvs. at et matematikB der læses med samfundsfag A, oget matematik B der læses sammenmed fysik, får meget forskelligt ind-hold.

Hvordan skal dette forliges med,at der er en fælles national standard,der udtrykkes via den skriftlige ek-samen ?

Her er der en løsning, der lignerdet standardforsøg, som nu kører påden matematiske linje. Nemlig at ker-

nepensum reduceres til 50-70% af detnuværende fulde pensum. Den spa-rede tid kan så bruges til emneforløb,som kan indarbejdes med de fag, somder skal samarbejdes med. For ek-sempel et emneforløb i statistik i sam-arbejde med samfundsfag eller etemneforløb i numeriske beregningertil samarbejde med fysik. Disse em-neforløb skal derfor kun evalueres tilden mundtlige eksamen, da de er for-skellige fra hold til hold.

Kernepensummet er så den del,der er fælles for alle elever uanset stu-dieretning, og denne del skal evalue-res til en skriftlig eksamen, som dan-ner en national standard.

Der skal i efteråret 2003 nedsæt-tes læreplansgrupper for alle fagene.En læreplansgruppe kommer til atbestå af 4-6 personer, der skal beskri-ve formål, indhold, mål osv. for faget.For matematiks vedkommende bliverdette en svær opgave, da det samti-digt er tiden, hvor faget har taget enny drejning med brugen af de elek-troniske hjælpemidler. Mange ser dennuværende didaktiske model som”gammeldags”, og indholdet er påmange punkter uaktuelt pga. de kraf-tige regnemaskinernes indtog. Det ersvært at motivere 100 timers under-visning i regneregler for differentia-tion, differentialligninger og integra-tion og ligningsløsning, når det kanklares med et tryk på en knap. Selv-følgelig skal eleverne lære om disseting, men der er mange, der ser detsom tidsspilde, at eleverne skal reg-ne så mange stykker for at øve sig tilden skriftlige eksamen, hvor man ik-ke har PC-hjælpemidlerne med.

Der er imidlertid en kæmpedrej-ning, der skal til, hvis der skal findeset nyt indhold, som opfylder de kri-terier, der med rette kan opstilles foret nyt fag. Indholdet skal motivere tilelevaktiverende arbejdsformer – ele-verne skal kunne arbejde selvstæn-digt med stoffet – eleverne skal kun-ne se en sammenhæng mellem denmatematiske teori og verden udenfor.Og dette skal ikke være en hindringfor, at der kan undervises i ren mate-matik på et højt abstraktionsniveau.

Det største problem bliver at defi-nere et nyt kernepensum. Dette skaludgøre 50-70 % af det nuværendepensum, og være fælles for alle ele-ver, og evalueres til den skriftlige ek-samen. Det er dette kernepensum,som alle på de videregående uddan-nelser kan regne med, at eleverne har

med som ballast fra gymnasiet. Mendet betyder så, at læreplansgruppenskal reducere indholdet på alle ni-veauer, C, B og A med ca. 40%. Så nuer tiden til at hele faget nytænkes ilyset af de behov, som de videregå-ende uddannelser og samfundet kansætte op. Læreplansgruppen skalsammensætte et indhold og en didak-tisk model, der tager hensyn til sam-fundets behov, elevens behov, fagetsbehov. Så kommer alle spørgsmåle-ne:

Skal der undervises i differentialreg-ning på B-niveau?Hvad med regnefærdighederne ?Hvor meget regneark, CAS og it ?Hvor er statistikken ?Hvad med differentialligninger ?Hvad med grafteori ?Skal vektorer og matrixregningmed?Og hvilke af disse emner er bedst tilat udvikle elevernes studiekompe-tencer på den brede måde, som re-formintentionerne lægger op til ?

Efteruddannelse,udviklingsmidler

Der er ikke mange emnebøger ellerlærebøger på markedet i matematik,der kan leve op til de intentioner, derligger i reformplanerne, om at fagetskal samarbejde med andre, og atundervisningen skal være elevaktive-rende. Der skal fx afsættes tid og pen-ge til at udvikle hyldevarer til lærer-ne i form af emneforløbshæfter. Ma-tematiklærerforeningen er i gangmed at opfordre lærere både i gym-nasiet og på universiteterne til atmedvirke til dette projekt. Det vilvære en meget givtig model, hvisman kan få gymnasielærere og lære-re fra de videregående uddannelsertil at arbejde sammen om at produ-cere sådanne forløb. Bl.a. er Køben-havns Universitet og Aalborg Univer-sitet gået meget aktivt ind i dette ar-bejde. Der kan dog forudses megetstore problemer med at skaffe tid ogpenge til at udvikle undervisnings-materiale til det nye fag, og der skalogså etableres efteruddannelse ogholdes møder lærerne imellem, så al-le kommer godt i gang med reformen.

1318/03Reformerne ogmatematikken

Tage Bai Andersen har vredet minarm om på ryggen for at få mig til atskrive dette Matilde-indlæg om cen-sorkorpsets situation i forbindelsemed indførelsen af den nye universi-tetslov. Min oprindelige modviljemod opgaven skyldtes ikke manglen-de interesse, men derimod mangel påviden om fremtiden. Det følgendebliver derfor en blanding af historieog gætværk.

Først historien:

Indtil 1993 havde hvert fakultet påhvert af universiteterne et censor-korps, der dækkede alle fakultetetsfag. En ny bekendtgørelse, som tråd-te i kraft den 1. september 1993, de-kreterede i stedet lands-dækkendecensorkorps for hvert fag eller hveruddannelse. Til at implementere dennye ordning for de naturvidenskabe-lige fag udpegede undervisningsmi-nisteriet (efter indstilling fra et antaldekaner og rektorer) en gruppe, dersamtidig blev interimformænd for dei alt 9 naturvidenskabelige censor-korps, der blev tale om. Jeg var med idenne gruppe og i samarbejde medde relevante studienævn og institut-ter skulle jeg da indstille medlemmeraf det nye korps for matematik, inkl.matematisk statistik, forsikringsma-tematik og matematik-økonomi.

Den nye bekendtgørelse inde-holdt krav om, at mindst 1/3 af med-lemmerne i hvert korps skal være så-kaldte aftagercensorer, dvs de skalhave hovedstilling uden for de vide-

regående uddannelsesinstitutionerpå et ansættelsesområde, som uddan-nelsen eller faget sigter imod. I nog-le fag var der i universitetsmiljøerneganske stor skepsis mht at fremskaf-fe egnede aftagercensorer; men formit område, taget under et, var deringen problemer. Ganske vist syntesuniversiteternes mat-stat og mat-økmiljøer i begyndelsen at mene, at dekandidater, de selv havde uddannet,som hovedregel ikke var kompeten-te til at være i censorkorpset. I det

samlede korps opvejedes dette imid-lertid let af de to andre faglige miljø-er. Ganske mange universitetsmate-matikere kunne nemlig acceptere, atgymnasielærere i faget kan være re-levante som censorer. Og i forsik-ringsmatematik er der jo kun 1 uni-versitetsmiljø i landet, så der strøm-mede det ind med forslag om aftager-censorer. Senere har iøvrigt både mat-øk og mat-stat miljøerne vist sig me-re villige til at pege på aftagercenso-rer. Ved den seneste fornyelse af korp-set (i 2002) oplevede jeg således in-gen problemer.

Kravet om aftagercensorer sup-pleres i bekendtgørelsen med et kravom, at alle medlemmer af censorkorp-set skal bringes i anvendelse “jævn-ligt og så vidt muligt hvert andet år”.Denne bestemmelse har jeg ikke gjortnogen stor indsats for at håndhæve,omend jeg ofte har påpeget over fordette eller hint institut, at det kniberlidt med anvendelsen af aftagercen-sorer.

Det område, hvor jeg mødte størstmodstand i de faglige miljøer var nok

censur af specialeopgaver. Under dentidligere ordning var man vant til, atman relativt let kunne få ad hoc ud-nævnt netop den kollega, der var denhelt rigtige til netop det speciale. Ikredsen af interimformænd drøftedevi indførelse af en særordning for cen-sur af specialer, men vore politiskeopdraggivere (de tidligere omtaltedekaner og rektorer) havde ikke sym-pati for ideen, og den er da også van-skelig at forene med bekendtgørel-sens ordlyd såvel som dens ånd.

Bekendtgørelsen tillægger korpsetopgaver, der går langt videre end detat censurere ved en specifik eksamen.F. eks. hedder det, at “Censorernerådgiver om uddannelsens kvalitetog hensigtsmæssighed i forhold tilarbejdsmarkedet og i forhold til vi-dere uddannelsesforløb”, og for-mandskabet skal medvirke “til en lø-bende dialog om udviklingen i ud-dannelsen eller faget/fagområdetved mindst hvert andet år at afholde1) censormøder med censorerne i cen-sorkorpset, og 2) kontaktmøder mel-lem institutionerne og censorerne.”

I betragtning af at korpset i mate-matik indeholder mere end 200 med-lemmer ville de regelmæssige møder,der her omtales, blive en ganske be-kostelig affære. Jeg har derfor ikkehelt levet op til disse krav. Faktisk harjeg kun en enkelt gang inviteret cen-sorkorpsets medlemmer til regionalemøder i København, Århus og Oden-se. Som forventet var fremmødet re-lativt beskedent.

Hvad angår anvendelsen af cen-sorerne til rådgivning om en given

Af: Hans Jørgen Munkholm SDUFormand for censorkorpset i

matematiske fag ved universiteternee-mail: hjm@imada.sdu.dk

Censorkorpseti matematik

14 18/03

uddannelses samlede kvalitet og/el-ler hensigtsmæssighed er det minopfattelse, at kompetence til at med-virke som censor i et eller flere fag ien uddannelse ikke nødvendigvismedfører overblik over hele uddan-nelsen. Alt i alt har jeg lige fra startenværet skeptisk mht de nye opgaver,der blev skrevet ind i bekendtgørel-sen.

Som læseren nok fornemmer, erjeg ikke specielt begejstret for ordly-den af den bekendtgørelse, jeg nu haradministreret i godt 10 år. Da Viden-skabsministeriet i efteråret 2002 ud-sendte sit “Udkast til forslag til lovom universiteter (universitetsloven)”(dateret 1. nov. 2002) til høring, varjeg derfor heller ikke blandt dem, derprotesterede over udkastets forslag tilnye regler om censorer. Udkastet lag-de op til, at den enkelte dekan beskik-ker censorer for uddannelserne veddet pågældende fakultet, og at denrelevante studieleder fordeler censur-opgaverne blandt de således beskik-kede. Af kommentarerne fremgik det,at de landsdækkende censorfor-mandskaber nedlægges.

Protesteret blev der imidlertid,gætter jeg på, for d. 18. december 2002skrev ministeriet til censor-formæn-dene, at der “nu [er] truffet beslutningom, at censorkorpsene og censorfor-mandskaberne videreføres.” Samti-dig varsledes det, at ministeriet vilinddrage censorformændene i “ud-formningen af nye regler efter [uni-versitets-]lovens forventede vedta-gelse.”

Nu er denne vedtagelse jo for-længst sket, men jeg har ikke hørtmere til sagen. Ved en forespørgsel iministeriet har jeg fået oplyst, at manforventer at starte overvejelserneomkring en ny censorbekendtgørel-se i dette efterår.

Og så gætværket:

Jeg tror der lå mange idealistiske fore-stillinger bag den udvidede rolle, somministeriet i 1993 gav censor-korpse-ne; men jeg tror også at man relativthurtigt blev desillusionerede i mini-steriet. De skønne ideer materialise-rede sig ikke spontant, og ministeriet

havde ikke kræfter til at gennemtvin-ge dem - måske i virkeligheden hel-ler ikke lyst, især da ikke, da beman-dingen efterhånden blev beskåretderinde.

Da så muligheden bød sig i for-bindelse med den nye universitetslovville man i ministeriet gerne læggeansvaret fra sig samtidig med at manimødekom retorikken omkring uni-versiteternes selv-bestemmelse.

Men hvorfor slog politikernebak?

Mon ikke de er begyndt at forestillesig, hvorledes en efterfølgende histo-rie kunne se ud i EkstraBladet?

Vigtige parametre i universiteter-nes konkurrence om bevillingerne er(på vej til at blive) beståelsesprocen-ter og karakterfordelinger, som snartskal lægges offentlig frem. Samtidigbetyder succes for uddannelserneselvfølgelig meget for en studieledersvidere karriere. I den situation er detpolitisk betændt (og dermed godtEkstraBladet-stof), hvis den budget-ansvarlige dekan har ansvaret for atbeskikke de censorer, blandt hvilkestudielederen udpeger de faktisk an-vendte censorer. Det kom derfor ik-ke overraskende for mig, at der blevslået bak. I den forbindelse er detmåske værd at erindre om, at indfø-relsen af de landsdækkende fag- el-ler uddannelsesorienterede censor-korps i 1993 (i hvert fald ifølge de ryg-ter, jeg hørte dengang) skyldtes pro-blemer med karaktersammenligne-lighed mellem jurastudierne i Århusog København.

Hvad kan vi så vente os (ellerhåbe på) i en nybekendtgørelse?

Først vil jeg gerne slå fast, at jeg ertilhænger af at bevare ekstern censur.Ikke mindst på baggrund af mine 5års erfaringer fra amerikanske uni-versiteters eksaminer er jeg overbe-vist om, at censormedvirken faktisksikrer de danske studerende en meregrundig og fair bedømmelse end til-fældet er i USA. Men mere end detteskal man efter min mening ikke på-

lægge den enkelte censor. Og mindremå man på den anden side naturlig-vis ikke acceptere.

Dette betyder ikke, at jeg fraken-der censurordningen andre nyttigevirkninger. Disse nyttevirkninger erbare af en så forskelligartet natur, atjeg ikke anser det for hensigtsmæs-sigt, at de indgår i bekendtgørelsensbestemmelser.

Hvis jeg i et kursus anvender encensor, som underviser i mere ellermindre beslægtet kursus ved et an-det universitet, får både hun og jegnyttig information om problemer ogmuligheder i netop denne emne-kreds. Anvender jeg i stedet en cen-sor med ansættelse i det private er-hvervsliv, så bliver der anledning tilat perspektivere stoffet fra dennesynsvinkel. For fag, der ligesom ma-tematik spiller en stor rolle i gymna-siet, kan det, især for underviserne påde indledende kurser, være specieltfrugtbart at anvende en censor fragymnasieskolen. Vi kan jo alle sam-men trænge til at opdatere vor videnom vore nye studerendes faglige ud-gangspunkt.

Jeg ser altså gode grunde til at bi-beholde et krav om aftagercensorer ikorpset.

I specielle situationer mener jegogså det kan give mening at samle engruppe censorer med speciel indsigti en særlig uddannelsesmæssig pro-blemstilling, men jeg håber meget, atman vil opgive kravene om regel-mæssige møder for alle censorer. Deter ubehageligt at føle sig tvunget tilsystematisk at tilsidesætte en af debestemmelser, man har accepteret atadministrere.

Alt i alt håber jeg på en kortfattetbekendtgørelse, som koncentrerer sigom tre punkter:

1. Censorer medvirker ved eksamenfor at sikre en grundig og fair be-handling af de studerende.

2. Der skal indgå aftagercensorer ikorpset.

3. Censorkorpsene medvirker til atopretholde universiteterne tro-værdighed derved, at de får enstatus, som sikrer dekaner og stu-dieledere mod anklager for utidigindblanding.

1518/03

Af: Simon Lyngby KokkendorffDepartment of Mathematics, National University of Ireland

e-mail: s.l.kokkendorff@mat.dtu.dk

Afsked med Maryland

Efter en lang køretur er vi i LA! I midten af december drog vi af-

sted fra Maryland. Det var med bådespænding og vemod. De sidste må-neder havde været gode. Vi var fal-det til og terrorkrigen var kommetlidt på afstand, eller også havde vibare vænnet os til situationen. Førstog fremmest havde vi fået en om-gangskreds. Igennem universitetethavde vi allerede kort efter ankom-sten mødt et par fra Indien, som vi iden sidste tid så mere og mere. Anu& Ashwin var meget i samme situa-tion som os, så vi havde mange erfa-ringer at udveksle.

Vi boede nu stadig midt i en skils-misse og lovede os selv, at i Los An-geles ville vi finde et sted, hvor vikunne være os selv. De andre loge-rende, Dong fra Korea og Sarunas fraLitauen, kom vi rigtigt godt ud af detmed. Ofte sad vi om aftenen og dis-kuterede kulturforskelle mellemUSA, Asien og Europa. Vi savner vo-res nye venner, som har givet os etfascinerende indblik i deres respekti-ve kulturer. Som noget helt konkret,deres madkultur. Når asiaterne, Anu&Ashwin eller Dong, inviterede os påmad, betragtede de os altid med ethåbefuldt glimt i øjet og spurgte: ”toohot for you?”. Og de så lidt skuffedeud, når vi, der elsker stærk mad, vin-kede afvisende til trods for at svedendrev af os.

Indtryk fra Villakvarteret

Når eksmanden ikke var på besøg,havde vi det faktisk også glimrendemed vores landlady, Gwyn, som varmeget hjælpsom og imødekommen-

de. Og Gwyn er nok også den “rigti-ge” amerikaner, vi er kommet tættestpå under vores besøg herovre. Hunvar utroligt hårdtarbejdende, stod opfør solen for at nå på sit første job iforsvarsministeriet og kom hjem sentom aftenen efter at ha’ passet sit an-det arbejde på universitetet.

Sådan er det vist for mange ame-rikanere, at de må arbejde virkeligtmeget bl.a. for at betale børnenes col-lege-ophold, der nemt sluger en al-mindelig dansk løn. Vi var også me-get forundrede over, at vi i det frede-lige villakvarter, hvor vi boede, aldrigså amerikanerne i haven, snakkendemed naboen mens bøfferne grillede;det havde vi ellers forventet, fra filmosv. Men forklaringen er åbenbart, atde arbejder så meget, at der ikke ertid til den slags. I øvrigt flytter ame-rikanerne sig mere geografisk enddanskere, både med lange transport-tider til arbejde men også med hyp-pigere boligskift. Måske er det en restaf pionerånden, der hænger ved? Detgør ihvertfald nok, at man ikke for-holder sig så meget til naboerne.

Man kender på en mærkelig må-de USA og amerikanerne utroligtgodt fra utallige film og tv-serier. Ind-tagelsen af alle disse tv-ting har etsted dybt inde efterladt mig med enirrationel fornemmelse af amerika-nerne som et “uvirkeligt” folkefærdaf skuespillere. Et indtryk, som degroteske politiske frontfigurer, der jolissom’ skal repræsentere “virkelighe-den”, kun har hjulpet til at fremme.Det har været sundt, tror jeg, at kom-me tættere på en rigtig amerikaner ogkonstatere, at hun var ganske “virke-lig”.

Dagligdagen på University ofMaryland var meget tilfredsstillende

for undertegnede. Der var virkeligtgode forhold både fagligt og socialt.Hver uge havde jeg et møde medKarsten Grove og Karstens andenbesøgende Chang Wan Kim. Vi nåe-de at få en rutine, hvor vi lagde udmed frokost på en græsk grillbar,hvorefter vi så gik over til faglige dis-kussioner ved tavlen i Karstens kon-tor.

Gitte og jeg blev inviteret tilThanksgiving hos Karsten og hanshustru Ilse. Det var en virkelig fin af-ten, med både traditionelle amerikan-ske elementer som kalkun og pump-kin pie (græskar tærte), men ogsåpæredanske islæt som den højtelske-de risalamande. Karsten og Ilse har ideres tid i USA efterhånden kørt lan-det tyndt og kunne give os mangegode råd omkring vores nært forestå-ende køretur mod Los Angeles.

Vestover

I midten af december var vi efter enuge med afsked og afslutning parate

2. del

Verden Rundt med Rejselegatet(fortsat fra Matilde 17)

Anu & Ashwin, vores indiske venner

16 18/03

til at påbegynde vores tur mod LosAngeles, noget vi med spænding hav-de set frem imod. En biltur tværs overdet amerikanske kontinent er jo etklassisk og nærmest mytologiskeventyr. Bilen var så toptunet som enToyota Celica med 250.000 km på ba-gen kan blive, da vi endeligt kørte fraLaconia Drive.

Vi lagde ud med at køre nordpåmod Connecticut, hvor vi skulle mø-des med Mikkel, en god ven, der varpå julebesøg hos sin amerikanske fa-milie. Faktisk er Mikkel halvt ameri-kaner, og ganske “virkelig”, hvilketjo burde ha’ svækket mine irrationel-le mistanker om amerikanere. Det varrart at mødes med en ven fra Dan-mark, få et pust hjemmefra og få for-talt om nogle af alle vores oplevelser,der jo inkluderede højdramatiske be-givenheder som angrebene i septem-ber.

Efter opholdet i Connecticut og etpar dage i New York gik turen så vir-keligt vestover. Man finder hurtigt udaf, at de amerikanske highways erindrettet, så man kan leve et helt livnæsten uden at forlade dem. Medpassende mellemrum, der vokser ef-terhånden som man kommer vest-over, findes små sammenklumpnin-ger af fast food- og motelkæder. Ty-pisk en tre-fire “mad”-steder og lige-så mange moteller. Man får sig efter-hånden et par favoritter af hver slags,og stopper ind når kombinationen serpassende ud. Den svære kunst beståri, hvordan man får oplevet og set no-get andet end motorvejskulturen. Indimellem prøvede vi at køre fra high-wayen og finde den historiske Route66, der er den klassiske rute fra Øst-kysten til Los Angeles.

Landskabets langsomme konstan-te forvandling er nok det mest nær-værende indtryk fra turen. Ind imel-lem, og ofte lige ved grænsen mellemto stater, skiftede landskabet meredramatisk karakter. Det var for ek-sempel tilfældet på grænsen mellemTexas og New Mexico, hvor vi plud-

seligt mødte ørkenlandskab med dekarakteristiske flade bjerge, mesaer.Det sidste stræk igennem New Me-xico, Arizona og Californien står heltklart frem som noget særligt. Fleresteder er der så utroligt smukt og stor-slået, at man får tårer i øjnene! Manfornemmer også, hvor storslået ogærefrygtindgydende det må haveværet, for nybyggerne, der drog vest-over og ”opdagede” nyt land. I detlys virker det ikke urimeligt, hvis pi-onertidsånden har sat varige spor iden amerikanske sjæl.

Vi havde begge lyst til at brugemeget mere tid på at udforske og rig-tigt fornemme naturen, men vi hav-de et mål og måtte nøjes med at be-

undre meget igennem bilruden. Så-dan er en biltur tværs over også, maner nødt til prioritere og suse forbimange spændende ting.

Englenes By

Nu er vi så fremme i Los Angeles oghar fundet et sted at bo, som vi er godttilfredse med. Efter blandet succes iMaryland, var vi enige om vigtighe-den af at finde et ordentligt sted i LA.I øvrigt viste markedet for møblere-de korttidslejemål sig at være prægetaf skyhøje priser. Tæt på UCLA så vipå 1-rums lejligheder til $1800 ommåneden. Stedet vi har fundet liggeret pænt stykke fra UCLA, men til gen-gæld tæt på stranden i Venice og ko-ster lidt mindre, $1550 om måneden!Vi må nok skære ned på andre udgif-ter...

Los Angeles og Californien haroverrasket positivt. Personligt havdejeg frygtet byens størrelse, smog, kri-minalitet, trafik og Californiens ry

iøvrigt for at være totaltoverdrevet og overfladisk.Men her er faktisk virke-ligt skønt, naturen er tætpå og så smuk, vild ogmangfoldig som det vest-lige USA nu er. Her i Ve-nice, hvor vi bor, fornem-mer man ikke byens stør-relse. Bebyggelsen er lav,som i det meste af LA, ogområdet er sådan lidtlandsbyagtigt med mangehyggelige “lokale” stederog en del karakteristiske“landsbytosser”. Og nedeved stranden råder detmægtige Stillehav.

Selvfølgeligt findes alle den ame-rikanske kulturs overfladiske, kom-mercielle og overdrevne elementerogså her i overmål. Men efter et halvtår er vi langsomt ved at være tilvæn-nede, og fordi her er så smukt, tilgi-ver man let...

nb. Jeg undskylder for overdrevenbrug af store ord, det føles nødven-digt herovre...

Om det Faglige

Som tidligere nævnt var også den sid-ste tid på University of Maryland giv-tig rent fagligt. Jeg havde en daglig-dag på universitetet, hvor jeg først og

Vi klarede den til Monument Valley i Arizona

På vej ind iPhilidelphia et partimer efter afrejse

1718/03

fremmest koncentrerede mig om minegen forskning. Derudover var derdet ugentlige geometriseminar og lej-lighedsvis spændende foredrag i an-dre sammenhænge.

Mit ugentlige møde med KarstenGrove og Chang Wan Kim, holdte viogså fast i til det sidste. Og ind i mel-lem mødtes jeg med Karsten alene,når jeg f.eks. havde fået en ide, derfortjente nøjere granskning. I den sid-ste tid arbejdede jeg koncentreret ihåbet om at få has på et problem, jeglænge har bakset med. Der skete og-så konkrete fremskridt og jeg har få-et en del ny indsigt, der holder troenpå en snarlig afklaring i live.

Diskussionerne med Karsten varmeget hjælpsomme i processen. Deter forholdsvis nyt for mig, at arbejdesammen med andre. For mange ma-tematikere er det en fast del af ar-bejdsprocessen, at samarbejde tætmed andre og kommunikere ideer ien afslappet atmosfære. Jeg synes deter en rar arbejdsform, der dog kræ-ver af een, at man tør blotte sig og

komme med dumme spørgsmål ogforslag.

Arbejdsmetoder

Problemet, jeg arbejder på, er egent-lig forholdsvis enkelt og kræver ikkeden mest avancerede tekniske videnat formulere, men alligevel har detvist sig at være forholdsvist hårdt atknække. Min arbejdsmetode er nokogså lidt ueffektiv. Jeg vil altid gerneløse et problem på en smuk og gene-rel måde, så løsningen måske ogsåkan bruges i andre og uventede sam-menhænge. Det hænger sammenmed en dovenskab, der gør, at jeg ik-ke kan/orker at sætte mig ind i en

Et indtryk af UCLA

masse tekniske detaljer. Selv om jegofte sætter mig med en bog med for-sættet om, at nu vil jeg studere et ka-pitel i alle detaljer, så må jeg altid hur-tigt give op. Det er som om, jeg ikkekan rumme mere efter mange års stu-dier. Istedet har jeg udviklet en tek-

nik, der går ud på hurtigtat bladre bøger og artiklerigennem. Håbet er at no-get vil sætte sig fast, hvisjeg gør det mange gange.

Som regel prøver jeg atgå omkring et problemigen og igen fra sikker af-stand, indtil jeg kan se enoverordnet løsning, der ik-ke kræver alt for mangespecifikke detaljer. Ofte erdet nu ikke nok og man ernødt til at udføre en merenærgående analyse for atfå afgørende indsigt. Der-udover er der en masse an-dre tricks og rutiner jeg be-

nytter i arbejdet. Man kan tænke vir-keligt hårdt i mange timer under ind-tagelse af kaffe og derefter slappe afog tænke på noget helt andet. Tit vir-ker det; problemet modner på besyn-derlig vis bagerst i bevidstheden ogen løsning kan dukke op, mens maner i gang med et eller andet helt dag-ligdags.

Det kan være en krævende ar-bejdsform, der virker udmattendefysisk såvel som psykisk. Måske und-viger jeg den mere nærgående analy-se, indtil der ikke er anden udvej, for-di jeg ved, hvor meget det kræver oghvor svimmel man er bagefter. Somman måske kan fornemme trives denromantiske forestilling om, at man

Gitte i solnedgang på Venice Beach

må lide for sin kunst også inden forden matematiske verden, i hvert faldhos mig. En af mine helte er helt klartGalois, der brugte aftenen før enskæbnesvanger duel på at nedskrivesine revolutionerende matematiskeideer. Alligevel har jeg nu aldrig or-ket, at sætte mig ind i alle detaljerne iGalois-teori. Det er vigtigt at finde enpassende balance mellem romantikog pragmatisme.

UCLA

Nu er vi så efter en mindre matema-tisk pause nået frem til Los Angeles,hvor jeg besøger Peter Petersen, tid-ligere student af og samarbejdspart-ner med Karsten Grove og nu profes-sor på UCLA. Jeg har ikke fået nogenkontorplads på UCLA men dog ad-gang til bibliotek osv. Jeg regner medat arbejde noget mere hjemme, end iMaryland, hvor vi også boede ret tætpå universitetet.

Peter er som Karsten en stor ka-pacitet indenfor Riemannsk geome-tri, og selvom han ikke har arbejdetdirekte med mine problemstillingerfør, er det mit håb, at jeg kan få lidthjælp og inspiration ind imellem. PåUCLA er der også et ugentligt geo-metriseminar, som jeg vil følge , ogderudover vil der i februar være enforelæsningsrække af Raul Bott, en afårhundredets store matematikere;noget jeg ser meget frem til.

Fortsættelse følger i næstenummer af Matilde...

18 18/03

Af: Lars R. KnudsenMatematisk Institut, DTU

e-mail: Lars.R.Knudsen@mat.dtu.dk

Jeg haren kode

“knækket”Man ser til tider i medierne, at nuer en bestemt kode blevet knæk-ket. Jeg var selv i vælten i ja-nuar i år, hvor det nogle stederblev påstået, at jeg havde “knæk-ket koden til USAs ministerier,CIA og FBI” med mere end enhentydning til, at jeg har kun-net “komme ind” steder, hvor jegikke burde. Den korrekte versioner, at jeg havde vist, at et for-slag, kaldet RMAC, fra slutnin-gen af 2002 til en ny autentifice-ringsstandard foreslået af ameri-kanske NIST, National Institute ofStandards and Technology, har enalvorlig svaghed. Og selvom jegkunne strække mig så langt somtil at sige, at koden er knækket,så betyder det ikke, at jeg har, harhaft eller nogensinde får utilsig-tet adgang til nogetsomhelst. Fordet første var koden slet ikke ta-get i brug, og bliver det altså hellerikke. For det andet, så selvom minmetode “knækker” koden langthurtigere end NIST havde regnetmed, så kræver angrebet stadigen del regnekraft, som ikke en-hver “hacker” har. Det er rigtigt,at NIST laver standarder til brugi amerikanske regeringsinstanser,men om FBI og CIA nogensindeville have brugt systemet, ved jegikke.

Men hvad betyder det at knækkeen kode? Som jeg skal forsøge atforklare senere, så er dette et dif-fust begreb.

Der er to klasser af både kryp-tering og autentificering. Der erde såkaldte klassiske (eller “secret-key”) systemer og de såkaldte mo-derne (eller “public-key”) syste-

mer. I denne artikel vil jeg be-grænse mig til at snakke om klas-sisk kryptering.

Først lidt notation. Lad k betegneen værdi af den hemmelige nøgle,lad x betegne en klartekst og lad ybetegne en chiffertekst. Så skrivervi ek(x) = y, dvs., at y er x kryp-teret med nøgleværdien k. Tilsva-rende skriver vi dk(y) = x for de-krypteringen.

Vi bruger altid Kerckhoffs’ antagelseidag. Den siger, at det antages,at angriberen ved, hvilken krypte-ringsmetode, der er i brug. Grun-den til dette er, at erfaring og hi-storien har vist, at sikkerhed ikkeskal baseres på hemmeligheden afsystemet, snarere på hemmelighe-den af den brugte nøgle. Med an-dre ord, antagelsen er altid, at an-griberen har kendskab til e·(·) ogd·(·).

Normalt kalder vi afsenderen forAlice, modtageren er Bob ogEva/Oskar er angriberen. I etklassisk system udveksler Aliceog Bob først en hemmelig nøgle,som kun de to kender værdien af.Vi skelner mellem forskellige for-mer for angribere, de passive ogde aktive. En passiv angriber op-fanger simpelthen bare de med-delelser som afsender og mod-tager i kryptosystemet udveksler.En aktiv angriber kan gøre detsamme som en passiv angriber,men vil ydermere forsøge at på-virke Alice og/eller Bob på for-skellige måder, f.eks., kunne Evaprøve at narre Alice til at sendeen bestemt krypteret meddelelsetil Bob. I de senere år er det ble-

vet ret almindeligt at antage, atEva er “stærkest mulig”, forståetpå den måde, at man ser på detværst tænkelige angreb. Ideen erselvfølgelig selv i den værst tæn-kelige situation at vise eller bliveoverbevist om, at en angriber kunhar ringe chance for at kunne lyk-kes i sine misgerninger.

En sådan angrebsmodel kaldesofte for “black-box”-angreb. Mangiver simpelthen Eva en sort boks,som indeholder den hemmeligenøgle, således at Eva ikke kan senøglen, men ellers kan hun gørenøjagtigt det samme som Alice ogBob. Det vil sige, at hun har ad-gang til funktionerne e·(·) og d·(·)(Kerckhoffs’s antagelse) og funk-tionerne ek(·) og dk(·), hvor k erværdien af den hemmelige nøglevalgt af Alice og Bob. Eva’s job erat finde k.

I ethvert praktisk system er deret endeligt antal værdier af denhemmelige nøgle, og derfor kanEva i et “black-box”-angreb al-tid knække et krypteringssystemved simpelthen at gætte værdienaf den hemmelige nøgle, én ef-ter én, og finde den værdi, somAlice og Bob har valgt. Dette kal-des også “udtømmende nøglesøg-ning”. Nu er vi nået frem til detførste forsøg på en definition af,hvad det vil sige at knække enkode. Vi kunne sige, det var til-fældet, hvis Eva i et “black-box”-angreb kan finde den hemmeligenøgle hurtigere end i en udtøm-mende nøglesøgning. Men se flg.eksempel. Antag (ek(·), dk(·)) er etsikkert system, og at Eva ikke kanfinde den hemmelige nøgle hurti-

1918/03

gere end en udtømmende nøgle-søgning. Konstruér nu et nyt sy-stem hvor kryptering er som flg.:

e′k(x | x2) = ek(x) | x2,

dvs., klarteksten består nu af todele, den ene krypteres som før,medens den anden ikke krypte-res overhovedet. Det er klart, atEva ikke kan knække dette sy-stem med ovenstående definitionpå “knækning”, men systemet eråbenlyst dårligt. En alternativ de-finition er som følger. Eva har ad-gang til funktionerne (e·(·), d·(·)),til funktionerne (ek(·), dk(·)) ogkan evaluere alle fire på alle de ar-gumenter, hun måtte ønske. Der-næst giver man Eva en udfor-dring. Man lader hende spille tospil. I det ene får hun en tilfæl-dig valgt klartekst x og en tilfæl-dig valgt chiffertekst y. I det andetspil får hun en tilfældig valgt klar-tekst x′ og den tilhørende chiffer-tekst y′ = ek(x′), dvs. y′ er kryp-teret med den pågældende kryp-tosystem og den hemmelige nøglek. Dernæst vælger man en tilfæl-dig bit. Hvis bitten er nul, laderman Eva spille første spil, ellersspiller hun andet spil. Eva skalnu forsøge at afgøre hvilket spil,hun spiller. Det er klart, at Evaaltid har mindst 50% chance forat vinde. Antag, at Eva evalue-rer funktionerne (e·(·), d·(·)) ialt tgange, at hun evaluerer funktio-nerne (ek(·), dk(·)) ialt q gange, ogat hun har sandsynlighed 1/2 +� for at vinde ovennævnte spil.Da siger vi, at Eva er en “(t, q, �)-distinguisher”. Det er klart, atEva vinder med sandsynlighed 1med q = |K|, hvor |K| er antal-let af nøgler (i en udtømmendenøglesøgning). Men udover det,så er det vanskeligt, at definere,hvornår et angreb retfærdiggør atsnakke om, at systemet er “knæk-ket”. Det er faktisk yderst sjæl-dent, at vi bruger dette begreb i

kryptologikredse. Vi siger hellere,at “der eksisterer et angreb”.

I det følgende vil jeg beskrive densvaghed, jeg fandt i autentifice-ringssystemet fra NIST. Først be-skriver jeg DES og trippel-DES,fordi sidstnævnte er en del af au-tentificeringssystemet.

DES og trippel-DES

Udenfor de militære kredse be-gyndte interessen for krypteringfor alvor at tage fart i slutnin-gen af 70erne. En af grundene varLucifer, som er et krypteringssy-stem udviklet af IBM, som senereblev gjort til amerikansk standard,omend i en lettere modificeretudgave. Systemet var en tur in-denom den amerikanske efterret-ningstjeneste, og da den kom ud,var antallet af mulige værdier afden hemmelige nøgle blevet dra-stisk reduceret. Standarden blevoffentliggjort i januar 1977 un-der navnet DES (Data EncryptionStandard) og er idag sandsynlig-vis det mest brugte krypterings-system i verden (ihvertfald uden-for de militære kredse). Systemeter et klassisk krypteringssystem.Selvom DES har overlevet næsten25 års forsøg fra alverdens kryp-toanalytikere på at finde genvejetil at knække systemet, så er ti-den løbet ud for DES. Problemeter, at systemet “kun” har nøglermed 56 bit, hvilket betyder, at derer 256 ≈ 1017 mulige, forskelligeværdier af den hemmelige nøgle.Og selvom om dette tal er stort(f.eks. er 256 sekunder cirka 2 mil-liarder år) er det lille nok til, atdet er muligt idag at bygge isen-kram, der kan gennemløbe allemuligheder på ganske kort tid. I1998 offentliggjorde Michael Wie-ner et chip design, som betyder,at med en investering på en mil-

lion amerikanske dollars ville detvære muligt at gå igennem allenøgler til DES på en halv time!En excentrisk amerikansk millio-nær, John Gilmore, lagde året ef-ter 250.000 dollars på bordet og fikbygget en mindre udgave af Wi-ener’s maskine. Denne maskinekan løbe alle nøgler igennem pået par dage, dvs. i gennemsnit vilden kunne finde en ukendt DESnøgle på én dag.

Det faktum, at DES har (for) kortenøgler blev bemærket alleredekort tid efter standardens offent-liggørelse. Amerikanske forskereanbefalede allerede dengang atkryptere samme tekst tre gange istedet for bare en. Hvis vi laderek(x) betegne en DES krypteringaf x med nøglen k og tilsvarendelade dk(y) betegne dekryptering,så anbefaledes det at kryptere xsom følger: y = ek3(dk2(ek1(x))).Dvs., Alice og Bob vælger tre DESnøgler på hver især 56 bit, ialt 168bit. Dette system kaldes trippel-DES.1

RMAC

Systemet RMAC, som jeg nævntei starten, er et såkaldt autentifice-ringssystem og er et klassisk sy-stem. Det vil sige, at Alice ogBob initielt udveksler en hemme-lig nøgle. Her drejer det sig ikke,i udgangspunktet, om at Alice ogBob vil holde en klartekst hemme-lig, men om at Bob kan checke,at den meddelelse Alice sendteogså er den meddelelse Bob mod-tager. M.a.o., det handler om atchecke om Eva har pillet medmeddelelsen undervejs fra Alicetil Bob. Selvom RMAC ikke eret krypteringssystem, så benyt-ter det et sådant, NISTs RMACvar designet til at kunne brugesmed trippel-DES og AES.2 Antag

1Grunden til at bruge en dekryptering med k2 er, at et sådant trippel system er kompatibelt med (normal) DES. Med k1 = k2 =k3 = k reducerer trippel krypteringen til en enkelt kryptering.

2Advanced Encryption Standard. I 1997 bestemte NIST sig for, at tiden var inde til at finde en afløser til DES. AES standardenblev offentliggjort i 2002.

20 18/03

her, at trippel-DES bruges. Dennekrypterer blokke af 64 bit og bru-ger to 168 bit nøgler k og k̃. IRMAC deler Alice sin meddelelsem op i blokke af 64 bit, dvs. m =m1,m2, . . . ,mn, hvor mi er på 64bit. Hun vælger dernæst en tilfa-eldig 64 bit værdi, s (for salt). Sal-tet udvides dernæst, så det harsamme længde som den hemme-lige nøgle. Dette gøres ved at til-føje 0-bit, således at s̃ = (0...0 | s)er på ialt 168 bit. Alice beregnerdernæst en MAC (Message Aut-hentication Code) som er en checkkode, på følgende vis. Lad c0 =0 og beregn ci = ek(mi + ci−1)for i = 1, . . . , n. Tilsidst bereg-nes M = ek̃+s̃(cn) og Alice senderm, s og M til Bob (her og i det føl-gende bruges ‘+’ om bitvis addi-tion modulo 2). M kaldes MAC’entil m. Den “ekstra” beregning mednøglen k̃ og saltet er vigtig for atundgå nogle trivielle angreb. De-taljerne udelades her. Bob laversamme beregning som Alice ud-fra m, s og k, og får et M ′. Hvisnu M ′ = M , så vil Bob have envis sikkerhed for, hvis ellers syste-met er sikkert, at m er den med-delelse, som Alice sendte ham. Enaf grundene til at bruge et tilfæl-digt salt, s, er, at hvis Alice senderden samme meddelelse m til Bobto gange, da vil saltet med storsandsynlighed være forskelligt ogdermed vil MAC’en til m med storsandsynlighed også være forskel-lig. Det forhindrer visse typer an-greb. Men desværre for NIST mu-liggør netop dette faktum også, atderes forslag med trippel-DES ersvagt.

Forestil dig, at Alice sendersamme meddelelse m to gangetil Bob autentificeret med RMACog trippel-DES og lad M og M̃være de to MAC værdier. Lads være saltet brugt første gangog lad t være saltet brugt andengang, så de udvidede værdieraf saltene kan skrives som flg.:s̃ = s1, s2, s3 og t̃ = t1, t2, t3, hvorsierne og tjerne er på hver 56 bit.For trippel-DES adderes saltet tilnøglerne, således at si henholds-vis ti adderes med ki. Definitionenaf saltet på 168 bit er således, at s1og t1 altid består udelukkende af0-bit, og s2 og t2 altid af mindst 480-bit. Da s og t er tilfældigt valgt,betyder det altså at med sandsyn-lighed 2−8 eller 1/256, så gælder,at s1 = t1 og s2 = t2. Se nu Figur1.

Figuren illustrerer den sidstetrippel-DES kryptering i udreg-ningen af de to MACer, hvor nøg-len er k̃ = (k̃1, k̃2, k̃3). Da Eva ikkekender den brugte trippel-DESnøgle, kender hun ikke (umid-delbart) værdien af cn. Men detses, at de to første DES krypte-ringer i hver trippel-DES krypte-ring er de samme, da de to paraf DES nøgler er ens, med an-dre ord, k1 + s1 = k1 + t1 ogk2 + s2 = k2 + t2. Givet M,M̃, s ogt gør Eva nu følgende for enhvermulig værdi af k̃3: dekryptér Mmed nøglen k̃3 + s3 og dekryptérM̃ med nøglen k̃3 + t3. Hvis de todekrypteringer er ens, er den på-gældende værdi af k̃3 en kandidattil den brugte, ukendte værdi. Foren tilfældigt valgt værdi af k̃3, vilde to resulterende dekrypterin-

ger være ens med sandsynlighed2−64. Denne test finder altid denværdi af k̃3, som Alice og Bobhar valgt og brugt, og da der kuner 256 mulige værdier af k̃3, vildenne med god sandsynlighedogså være den eneste kandidat,der bliver foreslået. Altså, Eva kanfinde den tredje af de tre DES nøg-ler med sandsynlighed 2−8, hvisAlice og Bob udveksler sammemeddelelse mindst to gange, for-udsat at Eva opsnapper MACeni begge tilfælde, og at hun harkapaciteten til at lave cirka 256

DES krypteringer. Sandsynlighe-den for at angrebet vil øges, hvisAlice og Bob udveksler flere paraf identiske meddelelser. Når hunførst har k̃3, kan hun finde k̃2 pålignende måde. Tilsidst findes k̃1,men detaljerne udelades her. ErRMAC med trippel-DES så knæk-ket? Jeg har faktisk ikke anvist enmåde, hvorpå Eva finder beggetrippel-DES nøgler (hurtigere endforventet), kun den ene. Faktisk ermit angreb “kun” en (258, 28, �)-distinguisher, hvor � er tæt på1. Imidlertidig betyder angrebet,at en angriber efterfølgende kan“skrælle” den ekstra krypteringvæk fra enhver MAC. Og da denekstra kryptering er indført for atundgå nogle trivielle angreb (somdog ikke finder nøglen), er derher tale