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MATRICES REALES.DETERMINANTES.

Sean A . : {1 ,2 "3 , . . . , n } y B : {1 "2 ,3 ; . . . ,m} subcon jun tosde i / .I-lamaremos matriz real de ordgn nxm a toclaaplicacin: A x B ---+ $l

( i , j ) - a , jLa aplicacin asociaa cadapal de nmerosnatrrales (i , ) un nico nmeroreal a; .Si ordenamosas imgenes e la aplicacinde maneraque i indique a la y j lacolumna

(u t t a r .2 a rn . ,l tdea;, apareceraI ' l ' u1., ' r ,* |tt\ a n t a n 2 a n ^ )

As a.; serei elementode la mauiz qtreocupa a fila i y la columna j de a misma.Podremos,pues,definir la matriz real de orden flxffr, como un coniuntode n*m nmerosrealesordenadosen n filas y m columnas.Adems: Si n+m diremosque a matnzes rectangular

Si n = m diremosque a matriz escuacirada, {de ordeno dimensinn)Si n : I diremos que la matriz es una matriz - ftlaSi m: 1 diremos que la matriz esuria matriz - colurnnaSi a1 0, V(i,. i ) diremos ue a matrizesamatriznulaO.

I4ATRICES CUADRADAS:{' Dada una matriz cuadradade dimensin n, llamaremosdiagonal principal ai coniirntaDr : {a i i l i : i } y d i agona l secunda r i aa l con jun to2 - {a : l i + j :n+ l }t Si en una mafriz cuaciradau'j : 0 si i > j , diremos que se rata de una matriz triangular

( t I r )superior: Ej. io z I ilo o.3J* Si en rura matriz cuadrada iJ si i < j , diremos que se rata de una marriz triangularirlferior: I ' o olEj. 12'ol[3 0 s. t* si en unamatrizcuadradau,., o si i x j . decimos ue a matrizesdiagonal:

Ei (: :ll 0 3J

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* Si todos os elementoso nulosde unamalrizdiagonai on guales, a matrizse e llamamatnzescala E. " = [; :)s Llamarenrosnatrizunidad, , ala mafriz 1"" = l , Lu ' j=0 1 i=e .

rr o), t tEj . I r :10 i 0 l[c o rMATRIZ TRASFUT,STA:Dadauna matriz A . deorden r1x 1l llamarentosraspuesta e A. ( At ), a la rnatriz deolden fl1xt " que erilica: a* -. V i, j.As. i o:(" 3 . o': { '; i l r ,o __l z) l : ?)Se observaque a fila i de A es a columna i de At y que la columna i de A es a fiia jr ieAt.Diremos que At seobtiene de A cambiando ilas por columnas.I Matrices sinrtricas: Si A " matriz cuadrad&cumple

que A: At sc dice que A es unamatnz simtrica.* Cuando si j : - &.i, Vi,j decimos ue A esantisimtr"ica;umplirque A{ : - A{rreroperaciones on marrices).

(}PERACIONES CON MATRICIES* suN{A DE MATR.TCESE iCIJAL ORFEN:

Dado el conjunto de matrices de orden x fl l . defininros en 1 a suma de nratrices,operacindefinida del mcdo siguierlte:

/V{n",.u ,/Vl,* * ---*+ fi4,.,**f ; - t t h( , , \ , 8 ) . - - - * , -+- {+8 c i i a ; +b ; V i j1 , ; ' ; ' _ "i J = t , i , . . . , n l

Estadefinicin suponequeel elenrento e la surnaC. que ocupa a posicindadapol la filai i,' a columna j, se obtienede surnar ordenadamenteos elementosde A y B que ocupallidnticaposicin: Ei:tl ?1)[; ; j)=[;i ;)

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Ei conjunto 4n,,,,,y ia operacinsumadenida en i verifica lassiguientes ropiedacles:* Conmuta t i va : +B - B+A, VA,Be Mn*rn* Asoc ia t i va : A+B)+C : A+(B+C)=A+ ts+C, VA,F ,Ce 4 , * ** MRIRIzNEUTRAoNULA):Si Vi , j * , j :0 - . I \4n*, r , O e h4,r*^ ysecumpleque : A+O : A" VA e 44n**+ Ma t r i zopues ta-A ) : VAe /V {n rn . ,l ( -A )e , / t 4 " * * / A+ ( -A ) : g

S i A : { a ' j , V i , } , en toncesA : { -a ; , V i , }( t ? ? ) t - l - ) - r \Asr. s i A: 1 .t l - l 3 ) l -1 | -3 )+ pRooucrooe urrucEsponuNNvgnonEnl:

^ ( t 2 3 ) ( : 6 e )E i . : 3 l l : l I l . i - 1 r ) 13 -3 3 )Prop iedadesdelaoperqc in:A,Be 4u*, , . , V?" ,pe l i t , sever i f ica :

E i ' (AaB) : 'A+ lBo ( l+ r )A : l ,A+ rAu ( t . ' f t ) A : ' iPA) : L PA

i .A : A* E&SDUCTODE MATRI : Dados osconirurtos,zl4n*n.,,&{,o p \ M,.,"p, definimosei productode matricescomo:

44u*n , , ,A4 roo(A ,B ) - - - -+ C:AB * i . i : f , , * .b i l v i , j { i = i ' 2 ' " "nk= l ' i j = \ ,2 , " ' ,P

Ello suponeque,paraobtenerel elementodel productoC, queocupa Iafila i y la columnaj. se suman os productosordenados e los eiementos e la fila ! del primer factor A. porios elementos ie a columna j del segundoactor B.

(t r3)ir l r\Ll . : l ^ _ l . l 2 l= i^ I (3 0 r)lr l \eJSe observaque :i) Debencoincidir el nmerode columnasdel primer factory el de filas del segundo.2) Ei resultado tiene el nmero de filas del primer factor y el nmero de columnas del

aJ

SeaA e l v l nx rn / ? , e91 , de f i n imos iA :B : { b i i : t a i j } V i , j i i = l ' 2 " " ' ' n I ' l =1 '2 " " 'm

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segundoactor.3) Al multiplicarmatricescuadradas el mismoordenseobtienenmatrices uadradas elmismoorden.4] La matrizunidad, nultiplicable or una tatriz, es el e lementa eutrode a cperaein"As i : Ax i=A y lxA=A VA.Propiedadeselptoduclodematrices:* A ' E*B.A: El producta c esconmutatir,o.alvo xcepcionesl, O,A ),laspotencias

de A" enireotroscasos)n (A .B) ,C = A.(B 'C) : A 'B 'C (A^soc ia t iva )* A ' {B+C.} : A 'B + A.C (Dis t r ibu t ivade lp roduc to respec tode lasurna)Estaspropiecia

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}ETERMINANTE DE LINA MATRIZ CUADRADAfuolcg np uN pgRuractx: Sean I,2,3,... . n ios n primeros meros aturalesP una permutacin cualquiera de e1los,diremos qlle dos eleffientos de la permutacinpresentan na inversinsi ocupan,en a permutacir. n ordendistintoa su or.clenatural.Llamaremos al nmerode nversiones ue presenta napemrutacinp.As , con 1 ,2 .3 ,4 ,5 , s i P j : i , 3 ;5 ,2 ;4 , q j :3 .Llamaremos ndice de la pennutacin P; al valor de ( - l )'1, siendo rt el nmero deinversiones uepresentaPi .Puededemrtstrarse ue: * De las n ! permutaciones osibles, a mitad tiene ndice 1 y iaotra mitad tiene ndice .- I

* AI intercambiar asposicicnesde doselementos rialesguier-aeLlna ermutacin. u ndicecambiade signo.DETERMINANTtr ELINAMATRIZCUADR{DA A, IN I .Dadauna matriz ctladrada.de orden n, definimos determinanteo caractersticade la matrizA (detA. I A l) d n,i*tro real quese obtieneal realizar a siguienteoperacin:

I A I *l ^ l -8 r & t a r . I. , Iaz t azz a2n l=: : : l E t - l ) ' 1a l az j a3k . " .& , ,q X t * i ) ' l a i l a . i zak : l . . . aqni i . j , . . . . q e P n i , j . . . , q e p na n t & n 2 a nn I

dondeq esel nmero e nversionese a permutacin , j. k, . . ., Q ele osn primerosnmeros.E! deterninantee A. j A l. serpues, rl nilmero eal,asociado A. y queseobtiene isumaros n ! productos e osn trminosde A, de formaqueen cadaunodeellos dervieneun elemento e cada ila y un eiemento e caCa clumna e A, afectadosor un signoqueseobtiene el ndicede a pennutacinonespondientecada roducto.DETER.fufINANTESE SEGLNDOORDEN:, \s i A : f l ' t 8 r : l * je l : F t - l )na t iaz j :a i r3 : -d tzv : t' t azr azz) | ' j , , . i?n,yaque Pz: 1 ,2 -+ r i :0 -+ ( - l )n : ( -1 )0 :12 .1 - ) r l : 1 - ) ( *1 )n : ( - l ) l : - l

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El determinffrte e una ru.atrz uadrada e orien dos, se obtienecomo diferenciaentreeiproductode os nninos { - i )n : ( - l ) t - - l

El resultado s cil clememorizarmedialte a llamada eglade Sarrus, ueexpiicaremosernodo grficrJ"en a pizatta.Er general, si I 4 1=O, sediced.eA queesu]a natrz lr]gLriar

si i a I * O, sedicede A queesunamatnz gquiar.

rBasEpADES- :o i A l= I t i (De la propia definicin de determinantede una.watnzj* Al carnbiar a po-*icinde dos inensparaletrasfilas c cciutrrnasientres. el vaicr del

determinantecamtriade signo.Ella es debido a que en todas ias pennutacionesdei desarroltro ei detenninantese

intercambia dos eiementos,con lo que ei indice de todas las permukciones carntliadesigno,y con ello ei signodel deteminante.Ver ejemplo).* Si un detenninanteienedos neasparalelasguaies.ei determinante s lulo.

{Como consecuencia irectade a anteriori* Si n eterminanteiene r:da .uia nea c*mpleta de ceros"el deterrninante s nulo.(f

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* Si todos os elementose una neason uultiplicadosorun mismonmero eal 1,,eldeteilninanteuedamultiplicado or 2':

As, si

* Llamaremosde A .

& i t & t z a t :Lz t &zz &zt&3t &12 ;

8 , l u , , & t ztz t L ar , &23&t t ?u 31 a

: lA l , en tonces t & t z & r

L ar, ?u 22 )u d23zit alz. a3;

: l " ' 0 : 0

: l ' lA iEn efecto,cadauno

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^ | r \ l + fA ; ; : l * l l " C t : ; ' - ie i,iamaremosadjunto de un elementoa; (Ai.i) a[ resultadade a operacin:

' Llamareruos " lrrAtllzdg os adiuntasdeA "a la natrizcuyCIsrsninos on osadjuntosde c's nninos orrespondientese A:?"rj A j , vi , j

* A ia rnatrz(.A. i ' se e ilantamatrizadjuntgCeA,Desaryqjlqe.p4 etenni :" Pueddemostrarseueel valcr de un determinante oincidecon a sumaele os pioductosde os elementos e una iia o cohmna or s.ls orrespondientesdjuntos" (Cornprobar nun ejemplo eorden3)" Los productos e iris eJemeniose una fila il columnapor los adjuntosde ctra lneaparaleia eliasur-nanero".Esto es debidoa queesta rperacinquivale l ciculode un determinantee dcs neasparalelasguales.

& l I & l z ; zAs : &rzA : - i ' a : A z t * ? ' s : . : = 4 : r A t i a z z : Af l 3 r & . ' z? & .32

* Si A esunamatriz riangular'.y conms aznsi esdiagonaii. n I esei producto elos nninos le a diagonal rincipal.* Si a los eieirentcs e una neade un determinante adimos nacombinacinineal dectrau otrasneas araieias eiia ei determinanteo carubia evalor; TRANSFORMACIFJgQLitvALrjNTE EUN DETERh4INANTE).

(ur, tz ",, i ut * ?,,8.: p.3&* *,, IAs . s i | *= , &z : u r r i - A . caJcu lanrosu, n? ,a r . fpa, a=z u . - .I { I ir" ' l " llur, &:: a:-, Ia,+ 3'a.,, ra-.., :: a: iDesarrollandopor la prinreracoluinna nos queda:

( I ) : t a + l ' a - , + i r a i : ) A l r o ( a z l+ X a ' ' 2 + f t a r ) A z l * ( a ; i * ? v & 3 2 * i : s ) A 3 l =- ? l r A l l * ? ' a l 2A i r + F a t A - i B2 rAz l + X a 2 , A r 1 + V a z t Az l * a : t A r +

* i a 3 2 4 3 + F a ; A l :

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: ( a r r A t t * a z t Az t * a : l A 1 ) + " ( a r : A l t * a z z A z t * a y A : r ) + p ( a l A ' * a r A : r ** a: :A:r) lA l + 2, .0+ '0 : iAl* " La condicin necesariay suficientepara que un determinanteseanulo es que una de suslneas pueda expresarsecomo combinacin lineal de otra u otras lneas paralelas a ella"(TEOREtu{A Er,A NULiDAD).

Sea,por ejemplo, un determinanteen ei que la terceracolumna seaccmbinacin lineal delasdosprimeras: l l d n l a , ,dzt zz tr ,an&3t l tz h u'

+ F a l z*Fazz*Fazz

: ( l a r *Van )Ar : + ( , ) ,a r r *Faz )A r : + ( l a r * l t az t )A : : :

cle clrdelt rfixrl

= l r (a l r A t : t ez tAz : * a l A : ) + r (a rz l : t azzAz * a : : A : : ) :: ?u .0+ p r .0 : 0La concficinnecesaria ambin sepuededemostrar,con lo que si un determinantees

distinto de c.ero,poclemosafirmar que todas as lneasparalelasdel mismo son inealmenteindepe.ndientes"RANGO DE LNVAMATRIZ .

Dada ia :nlratriz(u r , z r z ruI^ l u l e tz &znA : il 'I r : " ' :I\ e * t &n r2 &* n

T-lamaremos ango de una matdz A al orden del mayor menor distinto de c.ero,de A, yequivale al nirmerode lneas (fiias o columnas) inealmente ndependientes e A.* Es ertidenteque si encontlarnosurl menor de ordenp, no nuio, en A " sus ilas y columnassern ndependientes el rango de A ser como mnimo p.* Tambin es obvio que el rango de una i:ratdz alcarvar corno mximo el yalol de lamenorde susdimensiones.* Aquellas maniobras,que efectuadassobre A . no modifiquen el valor nulc o no nulo dei.os menoresque obtengamasde A , nc afectarnal valor del rzurgo. (MANIOBRAS DEGAUSS * TRIANGULARIZACIN DE A )Unavez efectuadasas operaciones e triangularizacinde A. el ransosereJnmerc defiias no nulasde A. (Ver clasespracticas)

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btencir.relrangg.de namatrizpgr el tqtodode "la orlada"" i) Sesuprirnen, efectos elclcuio el rango,as neas uea simple istaseaprecia ue

soncornbinaeianineai deotras ineasparalelas ellas.' 2) See l igeunrnenorde"nonu lo .S inc lohay , (21 , ) : i (oceros iA :O). 3) Si r (A) > 2 , el rnenorde orden2 distintod.e ero, al que lamaremos dereferencia

de orden2")" seorla de todasas onnasposibles on ilas y coinmnasde A . hastaobtener n meflor "de efbrenciaeorden3" no nulo.lii no existiera stemenor" r (A) : 2; casode existir, (A) > 3 .. 4) Repetiramosa cperacin asta ueno pudiramosonseguir nrnenol'deeferencianonulodeorden uperior.El ordendel rnayor tenor deref'erenci4 ncontradoo nulo,nosdaraei rangode antattiz.

As: r) siiz 3 -r 3 o)t lI i . | - ) I it r lA: I Il : s o r r l[ : | - 7 t 7 -4 )

r (A ) : r3 -r -24 1 1/ . * t a< n l7 1 1 ' 7t * l t |

n \

r / A r : r

Oriaircsel menilr cle eferencia 'obtenemos

osefect 2.

-? r \II4 4 1| - / |- l, : a | & l

I21 - 6 )

( c . i . de l a l ^y2u )

230t a 1a t AL L _ ?

21

J - " t1 l1 . 1

, ,i' J ' r lt - o l ,Ir 17l

Secermpruebaue odo.sos menores e orden3- onnulos -+ r {A) : 2(Si slounodeellas uerano nulo,el rangohabria ido3)1 n

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& 'I- l

2

* Dado ei sistema S =

SISTI]MASDE ECUACIONES,INEALES

es n sistemade ecuacionesinealessi todos os coeficientesa; ; , J i = ]' 2' ' unt y todos' t l j =1 ' 2^ " "nios mrinosndependientes t, i :7,2". . . , m sonnmeroseales.

'! Dirernos que u conjunto de n nmeros reales collstituyen una solucin de S si aisustiturlos or Xr , Xr , .. . , Xn verifican odas as ecuaciones e S .

'F Diremosque S esgsrnleiibje si existe,al rnenos, na solucinde S.En casocclntradodiremcsque S es ncompatibleSi un sistemacornpatibie ienesaiucinnica, diremosquees determinado.Si un sisterna tiene ms de una solucin (en nmero no finito), direnos qlre esirrdelermin-ado

* ilireros qued,os istemasS. 1, son equivalentes i tienenei misrno conjuntode sol*ciones.Es evidente que en el clculo de la solucin cle un sistemapodremos, en cuaiquiermonrento,snstituircuaiquiersistemapor otro equivalente.

* I\4INIOBLAS DE EQUIVALENCIA: Son tmnsfbnnaciones ealizadas n un sistemaquenc mcditlcan el conjunto de sussoluciones.Por ejernplo:

- Intercambiar os ecuaciones el sistemaentre s.- Multiplicar (o dividir) ambosmiembrosciecualquierecuacin or Ia misma

cantidadnunrrica istinta de cero. iSiniplificacin)Sumar o restara cualquierecuacin ma combinacin ineal de otra u otrasecuacionesdelsistema. (Reduccin)

* Aadir ai sistenia" o suprimir del mismo, ecuacionesobtenidas comocon:binacin inealde otra u otrasecuaciones el sistema.

I X I * A 2 X Z + . . . + ? 1 n X , , = b x l + A 2 ZX Z * . . . * & 2 n X n = b 2 ( l ) , sed i cequeS

t X l * & m 2 X 2 + . . . + 4 ' n , , X n = l ' ) n ,

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Erege$uragira1-de-tiilsi.meS4algassleistema,Meltq:p[sda'fodc sistema S iver I i )l clee*uacionesineaiespuede eersecorc el resultadode] pcductr:de matrices:

dcnde:

7

22

n22 l nu 2 n

2 t 1 i ! l

*a

)II

/ ^| ! : t 1 t )t"| 7 t t A| - lt :iIr , 4 l l l a

{ u , , d t tI * r , &' t ,I " "i , ;Ir . a m i a r 2lx , )i lt - - t, ' ) l - \ 2I i 1 Ll : ii r\ x r t fl b r I1 li | t n I - -i ' i= bi ; ii il . l( b * /

(r) t n ll I2',"I: l" t Ir.rJlII:

x"

u l

:L" ' i ] l

recibeel nombre

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sea"Lt-_rU ):

/ nf ^ r iI1 iA rz-:_--,-- Ii a i I :i ' " r i iI A\ ^ 1 n

cada ncgnita xi"' 'Jicr de

IiiIiIIIII\\ta

) l ." ' ^ ?:

Al: An iAzz A*z

Azn. A: , .ser:on o queel

+ Az ibz + ' I A , . r t l n ] :

i -3 ^2 : , , r i l - r t rb , / r zzbz +" '+ An : bniA i

Ir - - -lA l

Xr: - ; - - - - - ; i A l r Dr l ^ l 't i

_1 iAi

Lu lb 2L

a l t t3 2tt

q* n nl ^i r t l I

( L 1 1:3 . . t

a1lezz n 2

Lu tLu ):-}-

l n& 2 n

2n n

: lAr l -iAl

: larllAliiAn ir, asi hasta x,, : - l I .j . " 1

Regla cieCrarner: Si A tiene nversa i A -' ). *1 'alor de eada ncgnita x; se obtienecomococientede dos deterninantes:

1.- Ei numeradorse obtiene sustituvendo n I A I la columna correspondiente laincgnita x; por la coiumna U * ios trrninos ndependientes.

2.- Ei ci.enonina

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Ello siprifi et" ttue as colunnasde qreno irerir:rrecen j * i s,:n ccm?:iracin.ineal de iasl' coir"iiilnasieI B iSi riei sistema omam*s ias r ecuaciones ue f'otman as filas rie j ri i" tocias as demssanc*mbinacin lir''.ealcfe las r antericres"pudiendo ptescinclirseCr; eilas sin moriif,rcirassoluciconesleisistema.La coliuune fi + t de 7r sercombinacin ineal de la.s r c*lurnnas ie I n j. io"', oeficientesde cualquierccalbinacin ineal de las r ccluilnas de I g !, cluedeir ugar a ia coittm,ro 'b ,serirexpresinde una sciucinde S .

EFresu{4e i : : S , i r {A } : r i ; : r , Sse rcmpa f i b l e '* Si r {A} : r ( E; + i " S ser'neompalible't 'S i r iA ) : ' ; i t i : r - . , ' r : ! t r . , e i n r i r ne rcdeec*ac iones in i fepe t di .en tesde l s is te l

( r ), ccincidecorei nrmeiade incgnitasy ei sistemaser: etemrinaclQ.* S; r l l \ ) -= r tA.) - r '< f i e l nnercdeec- acionesinctrependientesdels is tema, i r i ,

es nferior ai nmercde incgnitas.Ei sisternaendr nfinitas soittciones. n funcin de iosvaiores qus tolnell libl'einente as n * r incgnitasscbranies,que pasarncollc)parmetrosal tnnino iir

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MATRJC-E,_EJgeelQg( t o l )r.-si ^:lo o oi,i r 1)

Calcu la " . Bn , C " .2"-a- i o=f' l ?l[o t.)

b.-si r-ll ?) ,,UJ 1)c_ i^-i; ?l/ t n \! | t Id.-si u=i; ;){ t q \e. s A=l; ; l/ . . r \{ t a i lf ._ Si A:10 j * lI ro o t j

B:A+A: *A i+ . . .+A1oo?

F : I +A -f -A' - ..+ t\eq?

B=A2o+A2oo?

A3,tti 6250 1

LA"? B : A,12- lZA2 2A7

A 2 - A i ?

{ t 1 i l { t o o)B:i l t l l , c=l$ 3 ol (nrnuccroN)u l t) u] 0 1l3i

l t - r \t l L I IA - l - ^ i\ r - )

.3.- Fr:nnadeasmatricesuecon Adan lugaraunprociuctoonrnutativo? AX: XA ):l j i \a.*A: i ; ; l\ ,{s24.-Sin: i2 si ,ao

ol ia01. B: l 'l r i \ o

b-u:[lJ, c-o:(_1J)

ts2?

A l - x A - " v - l = ( )dad y O. iamatriznula.

b t , lc 0 i CondicionesparaqueB =B A?0 1J

5.* Resolr,'ei a,-[ r 4 T)14*39= j 18 ! i - - ' i[ 8 i 13J( * -2 16)*A + 58= l tT I - lS l[+ s r3jIII

b.-ru"iB=[; i)1,^--=[;' j. j( : "

A+B=

A- i i =

(204 ' ]i 1 0 3lf - 1 1 4)io ? ojj - l 2 r iI i - i 2 )x, y tales ueI " la matrizuni

6.-Encontrar ios meros{ i r \con A= l -n , l ;\ - | )

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7.- Condicin que debecumplirse para que A tenga nversa.Calcular la inversaparaun valordel parrnetroparuel que est denida:

{en : 2)

B: ( I+A)( I -A) - ' ?

(1 2 o)c.-A: l l cr 0 l[00o)

( t o - l )b.-a: lo t 3ll+ 1 *r)

{1 ' . )a._A: i t 0 _t l[ *6 - l a )(o o o)8.-S i A: l o o l

[0 1 0)I (A - i ).- Existealgnvalor de x parael que C : A - x I sea a inversade B =

( t I r )s i A=l l I 1 l?u 1 1)10.- Resolver as siguientes cuacionesnatriciales:

1l)(2 \t lB:l 0l\ -3J

u:(; -;). B:(-i ?)(l i),u:[l ?),:[?i:l .: l1l ' AX:BX+c , t \ - r , / ilt;Io

?)

(1 0si A=10 I[00

z) (z oo)al , B=l i 1 2 , C:e) [2 o l ,J\ - (z s\ ^_(t).

u:[; ;)

.:[( t - r \' B:1, ; l"/

( t It -, A:13 4l A . )\ - L

. ( - tao:I o t(4 2)' o: [o z)

( ' r 2)B: l 3 -41I s 6)l 7i o - |A - t s l - l t l a\ r r

a. - X(A-B) :A+B

b. - XA+B:C

c-^:[:l 3) *:[-id. - d r ) AX:B. dz) YA-B

f . - XA:B+C

g. - AXB:C ,

h. - AX:E l +2X

A -

10)r 0li 2 )

11.-

12 . -Va lo rde paraq l relA l= 9"

A2-A '?

L^ paruuel n' B : 1.000)+)'(0 1A: lu oUa

9 \, Ir l0)

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Si sabemos ue ia l y le l son .a0b' l0 0 0 l0 1 0 l2 {} s)

b') {0a l l li l ' o:lo3) [0el valorde a y b?d-bc = 3,r) (a Iol , . : l lo0l ' i0 0a) \0 0: l (2"4 . B= l 2x ) i . .10r) { 'cl , B: la+7z l I x/ l \ 2

(t 1 a,. t0 r lA : l i0 a ato 0 beoA*rr,o,saberSabiendoque a

(a o ^_ lu 0 c^-lo r o\ b 0 d

/ ^f X .a.- A: i t x[56

12',,-

13.-

14.-

flb loia)0c0a1000

. l i l n l t n l , fc l A l , j D l . l L , '0 0) {0l t0 0 l l0" ul l0db) l r

\l . _ J + x l Ix 5 l . S i- P lo x+) l lBl?.A :7 ,I rl f" o *.1b+7 c+71, C: l * y z l+- + I [t ' r)2 2 j

{r rb . - A : la bI\ X VSi lAl:5, iBl, cl , iDi?,

15.-Demostrar.sin desar:rollar,a nu.lidd e los siguientes eterminantes:

{ t *x l - v 1 -z )D= Ia+2x a+y "+zzl.\ 2 * 2y 2z)

sen2xasen'y)sen-z

I cos2x1 cos2yi cosZz

c --8 75 40) 1 5 a - )t '4270 b.-

4 6lI t; esmltiplo e

- l\ t \ l " la b c l, . 1D+c a+c a+b l

A .

Iu. -l 526a -

48

913l0 L4l1 15t2 16

j, sin desarrollar l determinante.

l xvz l ' l* l 0 y z l-1 -x A t i- l -x -y 0 l

52I

16.- Comprobarque

i 7. - Obtener: a.- Lt . - II I

l la l1 a

a11at ll 1

l l iabca 2 b 2 c 2

Il +a

I1

.tI

l +bI

IIIl + c

u . -

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18.- Comprobar

i4- !+-

61 1I Lf r )I U,7

a veracidad de1: ( a + 2 ) ( a *

i*416-64

l lth-iIas siguientesgualdades:

Sol. : (x lz2)

: ( x* 6 ) x - i ) x -2 ) ix - 3)

: { a -b i '

a b a b b 2a 2 b 2 a bI ] 2 a 2 a ba b a b a 2losparmetros:

la rc . - l b II[ a+b 4

: q 6 2 * b 2 ) a

en funcinde i"?

I525' 1

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Sistemas CUESTIONE,SC l . Quson sistemas quivalentes?

f Zx+23r32=! lZx +2y 22=2S = ] 5x 3y-22= T= ] 7x 4y-32=At t 'l . *2y+32=5+a l "*41 '+32=8

Existealgn valor de g parael que S es equivalente T ?(a a a )l lC2.Si A: ja b a i esrnatr izdecoecientesdeunsis tema.cundosercornpat ib lel t\ a e )

determinadoen funcin de g y b ?C3. Sln caicular angos,enconirary justificar dEs ialoresde apera os quees ncompatibleel{i x+y+22=IlS"" y +22=lSlSICMA: i o+32=2I| 2x+ az=3

l -*+y *z=AIC4. S = J x+21'+32= A Esposibleencontrar n sistema quirralenie S que engaf . : *+37 t+42=A

slo dcs ecuaciones?.ustifica a respuesta.C5. Encolrtrardos cuacionese aforma A x + B y: C. distintas ntres ,de maneraque l

aadirlasa S = i " u -:* t = t . el sistenia esultante eacompatible.I x+2y z=7C6. En qu consisteel mtodo de Gariss?.Aplicarlo para estudiar a compatibilidad del

f :x+!=-asistema t=J 6x-1,=l r| 9 t -3Y=5

f x-v=2C7. S ={i2x+Y:1t ^ .l A x - ! ' = )T : 1I l t " X * l Y = J

Hallar un vaior de iu paraque S y T tengan as misrnassoluciones.C8. iJn pescadero ompra el rnaesde .rna emana 96 kg de rnerluzay 130kg cleanchoas.

pagando .836euros.El rnircoles iguiente a merluzaha subidc el2AoA z as anchoaswr 30o.Eseclacompra40 kg de merluzay 50 kg de anchoas agando918 eu'os.Sepuedecalcularel preciodelkg de meriuzay anchoael martes.con los datosdel problema?.Razona a respuesta.

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,iemcstrar ue es eornpatible eterminado aracualquierA. 8. C

A"B, C,ci.i *. '1 ' J- - ,* S = {ur* !*z=2 Anal iza iaecmpat ib i l idadenfuncinde.I t *y -P2z :3

* Discuteo resuehte n sJ 3lio.cs siguientes istemas n iuncin de ios parnletros ile enellos apare cat\:

r i , 1 .1 ) (2"3, - r )

{0 . .0 )

funcinde

( r * 1 t , + - - AI 1 T - ] T * , ' iIC9. S = { \+ \ ,+ -=Bt -l . o - -o z=( :Halla a scillcin n

I t * 2 t ' -22=10i| 4x-Y' rz=42) { l -2x+3'*z=*2l , -x -3Y=-1 1iu+y+22=0I4) { 3x* } ' -22 ,={ ' }Il * *o2 r+z=0

| . -o*2 ]=a" ) i 2x-4y=i1i . -3*+6v=6| * - t +z=7

c) j t *k i ,+z*8lkx+v+kz=10

I "o ) - i -z * t=1 i " t - . '. ^, tI ^ t - ; / - I * t \I - x+y -z * t= i - -_ * - - ! - - : - - . , z , t j1 ' 1 1 ' -l - v + { r ' - z + { t * lt " ' - . 'I n+ ) i - l - z * t =SIi -x+y*z+t= | -2 . - t ,z " t ){ "t -I x -5y+z-5 t= l

l r "&!*r=e l**y+z,= 'da) j x+(t+a)y*z=Za b) J "u(1+a)y*z=Zaf "*y+(t+a)z-* l . "* ! *z={}iu**3,*r=1 i ( i+a x4-f 2.=1

-) jx+ay*z=k O, x+{ l+a}y+z=tof o*y+kz=k2 l** ,v+(1+alz=b28)

Expiicaquesei mtodo e Ca*ss.Apicaloparaestudiara ccnr:atitrrilidade:

i x+""v*: tI x+Jv=aa'r i b') I : " - i -3 ' ' '= t 'l . ou : ,=zaDiscute.3'resuelr.,en si- :isi)" *s sigxientessistemas n

ei.los parevJJan:funcin de lcs pariilett'os que e{t

6)

f :x+-!=*a' i 6 x - , ' = t tl9 * -3y=5

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-b)

b)

(resolr.erpara:0; h\t - ] ' * { a+hr ) z=ax +z -bx -v . =a -3b

( reso l r r e rpa ra=b : i )

f ^I x + y + Z = lI. | * x+ay-z=1c (' l2x+y*32=8IL-* +y. -z= *2

{ x+2! *z :&ic ) { x+2y +32=3aIfZx+4y+az=4

{

fm; t -Zy=3lzx+3," *[ 7 " -my=2l aI X * V = li1*"*Y: t| * -y=m

9) a)

Lr l

10) a )

d)

11)a)

t2) a)

i "oy-z=tI 3x+a!*az=5| 4 " * d z = S

f 3 r -ay+32=4t^I u t * ! -z=/ "I x* ! *z :=Lfax+4y-z:5( ,| 4 x + 2 y + 2 2 = 2 aI1ax+f iv= ItL / X + \ / * & Z= I| " * y +z=A. luo*Y*z= lIl . 2x+ ! *z=3| "n '2y+32=1j * * ay+32=2iZ** (2+a)y+62=3

X+-y+Z=rn*1mx+) ' * (m- l ) z :n i> :+m! *Z= I

2x+y*z :&2x+y +22=2a2x+y +32=3

iI>- *y+7 .=A

x -z= -a2x -y=0

{

t- \

d)

X + y - FZ : 3 - l2x+y +az=ax+AJ*z=1.