*M17140211M*

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

2/20 *M17140211M02*

NAVODILA KANDIDATU

Pazljivo preberite ta navodila.

Ne odpirajte izpitne pole in ne začenjajte reševati nalog, dokler vam nadzorni učitelj tega ne dovoli.

Prilepite kodo oziroma vpišite svojo šifro (v okvirček desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalni obrazec). Svojo šifro vpišite tudi na konceptna lista.

Izpitna pola vsebuje 12 kratkih nalog. Število točk, ki jih lahko dosežete, je 80. Za posamezno nalogo je število točk navedeno v izpitni poli. Pri reševanju si lahko pomagate s standardno zbirko zahtevnejših formul na strani 3.

Rešitve, ki jih pišite z nalivnim peresom ali s kemičnim svinčnikom, vpisujte v izpitno polo v za to predvideni prostor. Rišete lahko tudi s svinčnikom. Če se zmotite, napisano prečrtajte in rešitev zapišite na novo. Nečitljivi zapisi in nejasni popravki bodo ocenjeni z 0 točkami. Stran 17 je rezervna; uporabite jo le, če vam zmanjka prostora. Jasno označite, katere naloge ste reševali na tej strani. Osnutki rešitev, ki jih lahko naredite na konceptna lista, se pri ocenjevanju ne upoštevajo.

Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vsemi vmesnimi računi in sklepi. Če ste nalogo reševali na več načinov, jasno označite, katero rešitev naj ocenjevalec oceni.

Zaupajte vase in v svoje zmožnosti. Želimo vam veliko uspeha.

ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK

Figyelmesen olvassa el ezt az útmutatót!

Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg azt a felügyelő tanár nem engedélyezi!

Ragassza vagy írja be kódszámát (a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe és az értékelő lapra)! Kódszámát a pótlapokra is írja rá!

A feladatlap 12 rövid feladatot tartalmaz. Összesen 80 pontot érhet el. A feladatlapban a feladatok mellett feltüntettük az elérhető pontszámot is. A feladatok megoldásakor használhatja a 4. oldalon található standard képletgyűjteményt.

Válaszait töltőtollal vagy golyóstollal írja a feladatlap erre kijelölt helyére! Rajzoláshoz használhat ceruzát is. Ha tévedett, a leírtat húzza át, majd válaszát írja le újra! Az olvashatatlan megoldásokat és a nem egyértelmű javításokat 0 ponttal értékeljük. A 17. oldal tartalék; ide csak akkor írjon, ha elfogy a helye. Egyértelműen jelölje meg, melyik feladatok megoldását írta erre az oldalra! A pótlapokra készített vázlatokat az értékelés során nem vesszük figyelembe.

A válasznak tartalmaznia kell a megoldásig vezető műveletsort az összes köztes számítással és következtetéssel együtt. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egyértelműen jelölje, melyik megoldást értékeljék!

Bízzon önmagában és képességeiben! Eredményes munkát kívánunk!

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M03* 3/20

Formule

( )( )1 2 3 2 2 3 2 1.... ,n n n n n n n na b a b a a b a b a b ab b- - - - - -+ = + - + - + - + če je n liho naravno število

( )( )1 2 3 2 2 3 2 1.... ,n n n n n n n na b a b a a b a b a b ab b- - - - - -- = - + + + + + + če je n Î

Evklidov in višinski izrek v pravokotnem trikotniku: 21,a ca= 2

1,b cb= 21 1cv a b=

Polmera trikotniku očrtanega in včrtanega kroga: ,4abcR

S= ,Sr

s=

2a b cs + +=

Kotne funkcije polovičnih kotov:

1 cossin ,2 2

xx -= 1 coscos ,2 2

xx += sintan2 1 cosx x

x=

+

Adicijski izrek:

( )( )

( )

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tantan

1 tan tan

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

+ = +

+ = -

++ =-

Faktorizacija:

,sin sin 2sin cos2 2

x y x yx y

+ -+ = sin sin 2cos sin2 2

x y x yx y

+ -- =

cos cos 2cos cos ,2 2

x y x yx y

+ -+ = cos cos 2sin sin

2 2x y x y

x y+ -

- =-

( )sintan tan

cos cosx y

x yx y

=

Razčlenitev produkta kotnih funkcij:

( ) ( )1sin sin cos cos2

x y x y x yé ù= - + - -ë û

( ) ( )1cos cos cos cos2

x y x y x yé ù= + + -ë û

( ) ( )1sin cos sin sin2

x y x y x yé ù= + + -ë û

Razdalja točke ( ) 0 0 0,T x y od premice 0:ax by c+ - = ( ) 0 0

0 2 2,

ax by cd T p

a b

+ -=

+

Ploščina trikotnika z oglišči ( )1 1 ,,A x y ( )2 2 ,,B x y ( )3 3,C x y :

( )( ) ( )( )2 1 3 1 3 1 2 112

S x x y y x x y y= - - - - -

Elipsa: 2 2 2 , , ee a b a ba

e= - = >

Hiperbola: 2 2 2, , ee a b aa

e= + = je realna polos

Parabola: 2 2y px= , gorišče , 02p

Gæ ö÷ç ÷ç ÷è ø

Kompozitum funkcij: ( )( ) ( )( )g f x g f x=

Bernoullijeva formula: ( ) ( ) ( ), , 1n kn k

kP n p k p p-= -

Integral: 2 2

1d arc tan xx Ca ax a

= ++ò

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

4/20 *M17140211M04*Képletek

1 2 3 2 2 3 2 1.... ,n n n n n n n na b a b a a b a b a b ab b ha n páratlan természetes szám

1 2 3 2 2 3 2 1.... ,n n n n n n n na b a b a a b a b a b ab b ha n

A derékszögű háromszög magasságtétele és befogótétele: 21,a ca 2

1,b cb 21 1cv a b

A háromszög köré írt kör és a háromszögbe írt kör sugara: ,4abcR

S ,Sr

s

2a b cs

A félszögek szögfüggvényei:

1 cossin2 2x x ; 1 coscos

2 2x x ;

sintan2 1 cosx x

x

Addíciós tételek:

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tantan

1 tan tan

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

Összegek szorzattá történő alakításának képletei:

,sin sin 2sin cos2 2

x y x yx y

sin sin 2cos sin

2 2x y x y

x y

,cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y

cos cos 2sin sin

2 2x y x y

x y

sintan tan

cos cos

x yx y

x y

A szorzatok összeggé történő alakításának képletei:

1sin sin cos cos2

x y x y x y

1cos cos cos cos2

x y x y x y

1sin cos sin sin2

x y x y x y

A 0 0 0,T x y pont távolsága az 0ax by c egyenletű egyenestől: 0 00 2 2,

ax by cd T p

a b

Az 1 1 ,,A x y 2 2 ,,B x y

3 3,C x y csúcsú háromszög területe:

2 1 3 1 3 1 2 112

S x x y y x x y y

Ellipszis: 2 2 2 , , ee a b a ba

Hiperbola: 2 2 2, , ee a b aa

a hiperbola valós féltengelye

Parabola: 2 2y px , ,02p

G

a parabola fókuszpontja

Összetett (kompozítum) függvény: ( )( ) ( ( ))g f x g f x

Bernoulli-képlet: ( , , ) (1 )n k n kkP n p k p p

Integrál: 2 2

1d arc tan xx Ca ax a

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M05* 5/20

1. V pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini so narisane premice , in p q r . Te tri premice in abscisna os oklepajo paralelogram ABCD (gl. sliko). Zapišite enačbe premic ter izračunajte ploščino in obseg paralelograma. Rezultata naj bosta točna.

A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoltuk a , és p q r egyeneseket. Az említett három egyenes és az abszcisszatengely határolja az ABCD paralelogrammát (lásd az ábrát). Írja fel az egyenesek egyenletét, és számítsa ki a paralelogramma területét és kerületét! Az eredmények legyenek pontosak!

xA

r

p q

B

D C

y

Enačba premice p : A p egyenes egyenlete: __________________________________

(1) Enačba premice q :

A q egyenes egyenlete: __________________________________

(1) Enačba premice r :

Az r egyenes egyenlete: _________________________________

(1) Ploščina paralelograma ABCD :

Az ABCD paralelogramma területe: _______________________

(2) Obseg paralelograma ABCD :

Az ABCD paralelogramma kerülete: _______________________

(2) (7 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

6/20 *M17140211M06*2. Na sliki so narisane množice , in A B C . Zapišite množice z naštevanjem elementov.

A képen ábrázoltuk az , és A B C halmazokat. Írja fel a halmazokat az elemeik felsorolásával!

A

B

C

A= ______________________________

(1) B CÇ = ___________________________

(1) B AÈ = ___________________________

(1) A C- = ___________________________

(1) ( )B A B C´ Ç Ç = _________________________________________

(1) (5 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M07* 7/20

3. Rešite enačbe. Rezultati naj bodo točni.

Oldja meg az egyenleteket! Az eredmények legyenek pontosak!

3.1. 2 2 4x x+ =

(2) 3.2.

4 2x =

(1) 3.3.

4log 2x =

(1) 3.4.

4 sin 2x =

(3) (7 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

8/20 *M17140211M08*4. Izračunajte velikosti notranjih kotov štirikotnika ABCD in dolžino diagonale f BD .

Számítsa ki az ABCD négyszög belső szögeinek nagyságát és az f BD átló hosszúságát!

A

B

C

D

8 cm8 cm

8 cm

12 cm12 cm

a

b

g

d

(8 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M09* 9/20

5. Naj bo ( ) 24 3i 5i i , z x z= - + + Î . Izračunajte realno število x tako, da bo veljalo Re Im .z z=

Legyen ( ) 24 3i 5i i , z x z= - + + Î . Számítsa ki az x valós számot úgy, hogy fennálljon az Re Imz z= összefüggés!

(5 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

10/20 *M17140211M10*6. V prostoru 3 so dani vektorji ( )1, 2, 1a = - , ( )3, 2, 1b = - -

in ( )1, 1, 2c = .

Az 3 térben adottak a következő vektorok: ( )1, 2, 1a = - , ( )3, 2, 1b = - -

és ( )1, 1, 2c = .

6.1. Računsko pokažite, da sta vektorja a in b

pravokotna.

Számítással mutassa be, hogy az a és b

vektorok merőlegesek egymásra!

(2) 6.2. Izračunajte dolžini vektorjev a in c ter velikost kota med njima. Velikost kota zaokrožite

na dve decimalni mesti.

Számítsa ki az a és c vektorok hosszúságát, valamint az általuk bezárt szöget! A szög

nagyságát kerekítse két tizedesjegy pontossággal!

(5) (7 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M11* 11/20

7. V dani koordinatni sistem narišite elipso z enačbo 2 24 9 36 0x y+ - = . Zapišite gorišči elipse. Zapišite enačbo krožnice, ki ima središče v desnem temenu dane elipse in se dotika ordinatne osi.

Ábrázolja a 2 24 9 36 0x y+ - = egyenletű ellipszist a megadott koordináta-rendszerben! Írja fel az ellipszis mindkét gyújtópontját (fókuszpontját)! Írja fel annak a körvonalnak az egyenletét, amelynek középpontja az adott ellipszis jobb csúcspontjában van, és érinti az ordinátatengelyt!

x

y

(7 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

12/20 *M17140211M12*8. Izračunajte, za katere x so 2 3, 1 in 1 2x x x- - - zaporedni členi aritmetičnega zaporedja.

Számítsa ki, hogy mely x számok esetén lesznek az 2 3, 1 és 1 2x x x- - - számok egy számtani sorozat egymást követő elemei!

(5 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M13* 13/20

9. Na sliki je graf polinoma p tretje stopnje.

A képen a harmadfokú p polinom grafikonja látható.

x

yp

9.1. Zapišite predpis polinoma p v faktorizirani obliki (ničelni obliki).

A p polinom hozzárendelési szabályát írja fel gyöktényezős alakban!

(5) 9.2. V dani koordinatni sistem narišite graf polinoma ( ) ( ) 1s x p x= + .

Ábrázolja az ( ) ( ) 1s x p x= + polinom grafikonját a megadott koordináta-rendszerben!

(1) (6 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

14/20 *M17140211M14*10. Racionalna funkcija f ima predpis ( )

2 31

xf xx+=+

. Zapišite točki ( )1 1 1, E x y in ( )2 2 2, E x y , ki sta

lokalna ekstrema funkcije f . V kateri točki ima funkcija lokalni minimum in v kateri lokalni

maksimum? Odgovor utemeljite.

Az f racionális törtfüggvény hozzárendelési szabálya ( )2 3

1xf xx+=+

. Írja fel az ( )1 1 1, E x y és

( )2 2 2, E x y pontokat, amelyek az f függvény lokális szélsőértékei! Melyik pontban van a

függvény lokális minimuma, és melyikben a lokális maximuma? Válaszát indokolja meg!

(8 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M15* 15/20

11. Dani sta realni funkciji in f g s predpisoma ( ) 2f x x= in ( ) 6g x x= - . Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij in f g .

Adottak az ( ) 2f x x= és ( ) 6g x x= - hozzárendelési szabállyal megadott és f g valós függvények. Számítsa ki a függvények grafikonjai által határolt síkidom területét!

(7 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

16/20 *M17140211M16*12. V kvadratu s stranico a je narisana daljica AT (gl. sliko), tako da je razmerje ploščin nastalih

likov 2 : 3. Izračunajte razmerje dolžin :DT TC .

Az a oldalú négyzetben látható AT szakaszt (lásd az ábrát) úgy rajzoltuk meg, hogy a keletkezett síkidomok területének aránya 2 : 3. Számítsa ki a :DT TC hosszúságok arányát!

A B

CD

a

a

T

(8 točk/pont)

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M17* 17/20

REZERVNA STRAN TARTALÉK OLDAL

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

18/20 *M17140211M18*

Prazna stran Üres oldal

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

*M17140211M19* 19/20

Prazna stran Üres oldal

V si

vo p

olje

ne

piši

te. /

A s

zürk

e m

ezőb

e ne

írjo

n!

20/20 *M17140211M20*

Prazna stran Üres oldal