M106 GEOMETRIJA RAVNINE I PROSTORA

M106 GEOMETRIJA RAVNINE I PROSTORA

Tema: Determinanta matrice. Sustavi linearnih jednadzbi.

11. 12. 2020.

predavac: Darija Markovic asistent: Darija Brajkovic

www.fizika.unios.hr/grpua/

P 1Determinanta matrice Sustavi linearnih jednadzbi

1 Determinanta matrice

2 Sustavi linearnih jednadzbi

M106 GEOMETRIJA RAVNINE I PROSTORA Determinanta matrice. Sustavi linearnih jednadzbi. 2/16




Pravilo 9.Vrijedi poopcenje Teorema 3:

n∑k=1

(−1)j+kaik detAjk = δij detA, (1)

n∑k=1

(−1)j+kaki detAkj = δij detA. (2)

Primjedba 3.3.

Kvadratnoj matrici A ∈Mn mozemo pridruziti njezinu adjunktu A ∈Mn

s elementima aik = (−1)i+k detAki

Jednakost (2) mozemo u matricnom obliku zapisati kao

A ·A = detA · I. (3)





Pravilo 9.Vrijedi poopcenje Teorema 3:

n∑k=1

(−1)j+kaik detAjk = δij detA, (1)

n∑k=1

(−1)j+kaki detAkj = δij detA. (2)

Primjedba 3.3.

Kvadratnoj matrici A ∈Mn mozemo pridruziti njezinu adjunktu A ∈Mn

s elementima aik = (−1)i+k detAki

Jednakost (2) mozemo u matricnom obliku zapisati kao

A ·A = detA · I. (3)





Korolar 3.4.Matrica A ∈Mn je regularna onda i samo onda ako je detA 6= 0.





Cramerova metoda za rjesavanje sustava linearnih jednadzbi

Promatramo sustav linearnih jednadzbi Ax = b koji mozemo zapisati kao

n∑k=1

aikxk = bi, i = 1, . . . , n. (4)

Teorem 3.4. (G. Cramer)

Ako je A ∈ GLn regularna matrica, onda je rjesenje sustava (4) dano s

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D, (5)

gdje je D = det[a1, . . . , an] = detA, a D1 = det[b, a2, . . . , an],D2 = det[a1, b, a3, . . . , an], . . . , Dn = det[a1, a2, . . . , an−1, b].





Cramerova metoda za rjesavanje sustava linearnih jednadzbi

Promatramo sustav linearnih jednadzbi Ax = b koji mozemo zapisati kao

n∑k=1

aikxk = bi, i = 1, . . . , n. (4)

Teorem 3.4. (G. Cramer)

Ako je A ∈ GLn regularna matrica, onda je rjesenje sustava (4) dano s

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D, (5)

gdje je D = det[a1, . . . , an] = detA, a D1 = det[b, a2, . . . , an],D2 = det[a1, b, a3, . . . , an], . . . , Dn = det[a1, a2, . . . , an−1, b].





Korolar 3.5.Sustav linearnih jednadzbi Ax = b, A ∈Mn, ima jedinstveno rjesenjeonda i samo onda ako je detA 6= 0 (matrica sustava je regularna).Specijalno, homogeni sustav Ax = 0 ima samo trivijalno rjesenjex1 = · · · = xn = 0 onda i samo onda ako je detA 6= 0 (matrica sustavaje regularna).Ako je D = 0 i D1 = · · · = Dn = 0, sustav je rjesiv i ima beskonacnomnogo rjesenja.Ako je D = 0, a pri tome barem jedan od brojeva D1, . . . , Dn razlicit odnule, sustav nema rjesenja.





Primjer 3.13.Primjenom Cramerovog pravila diskutirat cemo sljedeci sustav jednadzbi uovisnosti o parametru λ ∈ R

λx1 + x2 + x3 = 1

x1 + λx2 + x3 = λ

x1 + x2 + λx3 = λ2





1 Determinanta matrice

2 Sustavi linearnih jednadzbi





Primjer 4.1.

Tri radnika A,B,C radeci zajedno obave neki posao za 10 dana. Istiposao radnici A i B obavili bi za 12 dana, a radnici B i C za 15 dana.Koliko dana je potrebno svakom radniku da sam obavi cijeli posao?





Opcenito, sustav od m linearnih jednadzbi s n nepoznanica nad poljem Rje

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 (6)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

Brojevi aij zovu se koeficijenti sustava, a brojevi bi slobodni koeficijenti.Koeficijenti sustava mogu takoder biti i kompleksni brojevi i tada govorimoo sustavu linearnih jednadzbi nad poljem kompleksnih brojeva C.





Definicija 4.1.

Kazemo da je sustav (6) rjesiv ako postoji (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn tako dazamjenom

x1 ← ξ1, . . . , xn ← ξn

zadovoljavamo sve jednadzbe u (6) .





Uvodimo sljedece oznake: matrica sustava, vektor nepoznanica, vektorslobodnih koeficijenata i prosirena matrica sustava:

A =

a11 · · · a1na21 · · · a2n

......

am1 · · · amn

, x =

x1x2...xn

, b =

b1b2...bm

,

Ap =

a11 · · · a1n b1a21 · · · a2n b2

......

...am1 · · · amn bm

.Sustav (6) mozemo zapisati u matricnom obliku

Ax = b. (7)





Uvodimo sljedece oznake: matrica sustava, vektor nepoznanica, vektorslobodnih koeficijenata i prosirena matrica sustava:

A =

a11 · · · a1na21 · · · a2n

......

am1 · · · amn

, x =

x1x2...xn

, b =

b1b2...bm

,

Ap =

a11 · · · a1n b1a21 · · · a2n b2

......

...am1 · · · amn bm

.Sustav (6) mozemo zapisati u matricnom obliku

Ax = b. (7)





• problem egzistencije rjesenja sustava (6), odnosno (7);

• opce rjesenje sustava (6), odnosno (7);

• Gaussovu i Gauss-Jordanovu metodu za rjesavanje sustava (6).





Egzistencija rjesenja

Propozicija 4.1.

Uredena n−torka (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn je rjesenje sustava (6) ako i samoako vrijedi

b = ξ1a1 + · · ·+ ξnan

gdje je A = [a1, a2, . . . , an] stupcana reprezentacija matrice A.

Teorem 4.1. (Kronecker-Capelli)

Sustav Ax = b je rjesiv ako i samo ako vrijedi

r(A) = r(Ap).





Egzistencija rjesenja

Propozicija 4.1.

Uredena n−torka (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn je rjesenje sustava (6) ako i samoako vrijedi

b = ξ1a1 + · · ·+ ξnan

gdje je A = [a1, a2, . . . , an] stupcana reprezentacija matrice A.

Teorem 4.1. (Kronecker-Capelli)

Sustav Ax = b je rjesiv ako i samo ako vrijedi

r(A) = r(Ap).





Opce rjesenje sustava linearnih jednadzbi

Definicija 4.2.Kaze se da je sustav (1), odnosno (2), homogen ako vrijedib1 = · · · = bm = 0 i pisemo

Ax = 0. (8)

Propozicija 4.2.

Homogeni sustav (8) uvijek je rjesiv. Skup svih rjesenja Ω homogenogsustava (8) je vektorski prostor.

Propozicija 4.3.

Neka je A ∈Mmn, b ∈Mm1, x0 rjesenje sustava Ax = b i Ω vektorskiprostor rjesenja pridruzenog homogenog sustava Ax = 0. Tada jex0 + Ω = x0 + u : u ∈ Ω skup svih rjesenja nehomogenog sustavaAx = b.







Ax = 0. (8)

Propozicija 4.2.


Propozicija 4.3.








Ax = 0. (8)

Propozicija 4.2.


Propozicija 4.3.






Primjedba 4.2.

Ako je x0 bilo koje (partikularno) rjesenje nehomogenog sustava Ax = b,a Ω = L(u1, . . . , ud) vektorski prostor svih rjesenja pridruzenoghomogenog sustava Ax = 0, onda se opce rjesenje nehomogenogsustava Ax = b moze zapisati kao

x = x0 +

d∑i=1

λiui, λi ∈ R. (9)



Documents

M106 GEOMETRIJA RAVNINE I PROSTORA