Κοίλος κύλινδρος µάζας m, ακτίνας r και ύψους L µπορεί να κινείται πάνω σε δύο λείες και αµελητέας ωµικής αντίστασης µεταλλικές ράβδους, που είναι παράλληλες και στερεωµέ νες µε το επίπεδό τους να σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο επίπεδο. Oι ράβδοι έχουν αρκετά µεγάλο µήκος και στο κάτω άκρο τους είναι συνδεδεµένες µε αντιστάτη, ωµικής αντίστασης R. Η παρά πλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου είναι από µονωτικό υλικό και έχουν κολληθεί πάνω της λεπτές και στενές πρισµατικές χάλκινες λωρίδες αµελητέας αντίστασης, παράλληλες προς τον άξονά του που είναι ηλεκτρικά µονωµένες µεταξύ τους, τα δε διάκενά τους είναι ασή µαντα. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος µε τον άξονά του οριζόντιο και κάθε το στις ράβδους και καθώς κινείται πάνω σ΄ αυτές µία χάλκινη λωρί δα είναι πάντα σε επαφή µε αυτές, ώστε να δηµιουργείται κλειστό κύκλωµα. Το όλο σύστηµα βρίσκεται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης

�

! B , κάθετο στο επίπεδο των ράβδων.

i) Να δείξετε ότι κάθε χρονική στιγµή t το µέτρο της ταχύτητας

�

! v του

άξονα του κυλίνδρου και το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστρο φής του

�

! ! περί τον άξονα αυτόν, ικανοποιούν την σχέση:

�

v + r! = gt"µ# ii) Nα δείξετε, ότι ο κύλινδρος δεν µπορεί να κυλίεται πάνω στις µεταλλικές ράβδους. iii) Να υπολογίσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την ένταση του ρεύ µατος στον αντιστάτη. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mr2 του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Όταν ο κυλινδρος αφήνεται ελεύθερος πάνω στις µεταλλικές ράβ δους αποκτά µεταφορική κίνηση µε ταχύτητα κάθετη στον άξονά του και λόγω αυτής της κίνησης δηµιουργείται κατά µήκος κάθε χάλκινης λωρίδας της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύ ναµη. Εστιάζοντας κάθε φορά στην λωρίδα επαφής ΜΝ µε τις µεταλλικές ράβδους, παρατηρούµε ότι αυτή µετέχει σε κλειστό κύκλωµα µε αποτέλεσµα να προ πύπτει σ’ αυτό επαγωγικό ρεύµα. Έτσι η λωρίδα αυτή δέχεται από το µαγνητι κό πεδίο δύναµη Laplace

�

! F

L, µε φορέα που εφάπτεται του κυλίνδρου και φορά

που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού (σχ. 10). Η δύναµη αυτή παρουσιάζει ροπή περί τον άξονα του κυλίνδρου µε αποτέλεσµα να προκύψει) για τον κύλινδρο δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση, που σηµαίνει ότι η όλη κίνηση του κυλίνδρου είναι µια επίπεδη κίνηση που συνίσταται από µια ευθύγ ραµµη µεταφορική κίνηση και µια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του. Εάν

�

! v είναι η µεταφορική ταχύτητα του κυλίνδρου κατά µια τυχαία χρονική

στιγµή t και

�

! ! η αντίστοιχη γωνιακή του ταχύτητα, τότε το µέτρο της αντί

στοιχης ταχύτητας

�

! v

! της λωρίδας επαφης ΜΝ είναι ίσο µε v-ωr. H αντίστοι

χη επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη που είναι εντοπισµένη πάνω στην λωρί δα ΜΝ έχει την πολικότητα που φαίνεται στο σχήµα (9), η δε τιµή της δίνεται

από την σχέση:

�

E!"

= BLv!

= BL(v -#r) (1) H ένταση του επαγωγικού ρεύµατος την χρονική στιγµή t είναι:

�

I!"

= E!"

/R

�

!

(1)

�

I!"

= BL(v -#r)/R (2)

Σχήµα 9 Σχήµα 10 Tο µέτρο της αντίστοιχης δύναµης Laplace είναι:

�

FL= BLI

!"

�

!

(2)

�

FL = B2L2(v -!r)/R (3 Eξάλλου ο κύλινδρος στην διάρκεια της κινήσεώς του εκτός από την δύναµη Laplace δέχεται το βάρος του

�

! w , το οποίο αναλύεται στην παράλληλη προς τις

ράβδους συνιστώσα

�

! w

1 και την κάθετη προς αυτές συνιστώσα

�

! w

2 και τέλος

την αντίδραση

�

! N των ράβδων, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο

µάζας του κυλίνδρου (σχ. 10). Εφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα για την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου παίρνουµε την σχέση:

�

w1- F

L= ma

C

�

!

(3)

�

mg!µ" -B2L2

R(v -#r) = m

dv

dt

�

!

�

dv

dt+

B2L2

mR(v -!r) = g"µ# (4)

όπου η

�

! a

C επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου την χρονική στιγµή t

που τον εξετάζουµε. Ακόµη εφαρµόζοντας για την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε:

�

FLr= mr

2!'

�

!

(3)

�

B2L

2

R(v -!r)= mr

d!

dt

�

!

�

rd!

dt=

B2L

2

mR(v -!r)

�

!

�

d(!r)

dt-B

2L

2

mR(v -!r) = 0 (5)

όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου την χρονική στιγµή t. Συνδυά

ζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

�

dv

dt+

d(!r)

dt= g"µ#

�

!

�

dv + d(r!) = g"µ#dt

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε:

�

v + r! = gt"µ#+ C (6) Eπειδή για t=0 είναι v=0 και ω=0, η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική και η (6) γράφεται:

�

v + r! = gt"µ# (7) ii) Aφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

�

dv

dt-d(!r)

dt+

2B2L2

mR(v -!r) = g"µ#

�

!

�

d(v -!r)

dt+

2B2L2

mR(v -!r) = g"µ#

�

!

�

dv!

dt+"v! = g#µ$ (8)

όπου τέθηκε α=2Β2L2/mR. H (8) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξί σωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής:

�

[v! (t)]1 = g"µ# /$ (9)

H αντίστοιχη οµογενής εξίσωση της (8) δέχεται λύση της µορφής:

�

[v!(t)]2 = Ke

-"t (10)

όπου Κ σταθερά ολοκλήρωσης που θα καθορισθεί από τις αρχικές συνθήκες κινήσεως του κυλίνδρου. Η γενική λύση της (8) έχει την µορφή:

�

v!(t) = [v

!(t)]1 + [v

!(t)]2

�

!

(9),(10)

�

v! (t) = g"µ# /$ + Ke-$t (11)

Όµως για t=0 είναι vε(0)=0, οπότε η (11) δίνει:

�

0 = g!µ" /# + K

�

!

�

K = -g!µ" /# και η (11) γράφεται:

�

v! (t) =g"µ#

$-g"µ#

$e-$t

�

!

�

v! (t) =g"µ#

$1 - e-$t( )

�

!

�

v -!r =g"µ#

$1- e-$t( ) (12)

Aπό την(12) προκύπτει ότι η ποσότητα v-ωr δεν µπορεί να µηδενιστεί, που σηµαίνει ότι δεν υπάρχει χρονική στιγµή µετά από την οποία αρχίζει η χωρίς ολίσθηση κύλιση του κυλίνδρου. iii) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (12) παίρνουµε:

�

I!" =BL

R

g#µ$

%1- e-%t( )

�

!

�

I!" =gm#µ$

2BL1- e-%t( ) (13)

Παρατηρούµε από την (13) ότι η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος στον αντι στάτη αυξάνεται εκθετικά µε τον χρόνο, από την µηδενική τιµή στην τιµή mgηµφ/2ΒL την οποία λαµβάνει ασυµπτωτικά. Παρατήρηση Α! Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (7) και (12) παίρνουµε:

�

2v =g!µ"

#1 - e-#t( ) + gt!µ"

�

!

�

v =g!µ"

2#1+#t - e-#t( ) (14)

Όµως για τον εκθετικό όρο e-αx ισχύει:

�

e-!t

= 1 -!t

1!+!

2t2

2!-!

3t3

3!+ ...

οπότε η σχέση (14) γράφεται:

�

v =g!µ"2#

1+#t - 1+#t

1!-# 2t2

2!+# 3t3

3!- ...

$

% &

'

( )

�

!

�

v =g!µ"2#

2#t

1!-# 2t2

2!+# 3t3

3!- ...

$

% &

'

( ) (15)

Eάν η τιµή της ποσότητας α είναι πολύ µικρή, (λόγου χάρη το µαγνητικό πεδίο είναι εξαιρετικά ασθενές), µπορούµε στην σχέση (15) να παραλείψουµε τους όρους στους οποίους η ποσότητα αt είναι υψωµένη σε δύναµη µεγαλύτερη ή ίση του δύο, οπότε η (15) παίρνει την προσεγγιστική µορφή:

�

v !gt"µ#

$=

mR"µ#2B2L2

%

& '

(

) * t

δηλαδή στην περίπτωση αυτή η µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι περίπου οµαλά επιταχυνόµενη µε επιτάχυνση µέτρου mRηµφ/2Β2L2. Χρησι µοποιώντας τις σχέσεις (12) και (14) καταλήγουµε σε ανάλογη παρατήρηση για την γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής κίνησης του κυλίνδρου. Παρατήρηση Β!

Εάν το µαγνητικό πεδίο απουσιάζει (Β=0), τότε θα είναι α=0 και θα έχουµε:

�

v = lim!"0

g#µ$2!

1+!t - e-!t( )%

& '

(

) *

και λόγω του κανόνα L’ Hospital θα είναι:

�

v =g!µ"

2

lim#$0

[d(1+#t - e-#t)/d#]

lim#$0

(d# /d#)=g!µ"

2

lim#$0

(t + te-#t )

1=gt!µ"

η οποία συνδυαζόµενη µε την (7) δίνει ω=0. Δηλαδή απουσία µαγνητικού πεδίου ο κύλινδρος δεν περιστρέφεται, αλλά µόνο µεταφέρεται µε επιτάχυση µέτρου gηµφ.

P.M. fysikos

Oµογενής ράβδος AΓ µάζας m και µήκους L, µπο ρεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της A και είναι κάθετος στην ράβδο. H ράβδος ισορροπεί σε ορι ζόντια θέση µε την βοήθεια ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα (11). Κάποια στιγµή εξασκείται στο κέντρο µάζας C της ράβδου δύναµη

�

! P , της οποίας ο φορέας ανήκει στο κατα

κόρυφο επίπεδο που διέρχεται από την ράβδο, σχήµατιζει µε αυτήν γωνία φ και έχει φορά προς τα κάτω. Εάν το µέτρο της

�

! P είναι ίσο µε

3mg, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να βρείτε:

i) την επιτάχυνση του άκρου Γ της ράβδου, αµέσως µετά την εφαρ µογή της δύναµης

�

! P και

ii) την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που εξασκεί στην ράβδο ο άξονας περιστροφής της, αµέσως µετά την εφαρ µογή της δύναµης

�

! P . Δίνεται η ροπή αδράνειας IΑ=mL2/3 της ράβδου

ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Πριν εφαρµοσθεί η δύναµη

�

! P η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση

υπό την επίδραση του βάρους της

�

! w =m

! g , της δύναµης

�

! F

0 από το τεντωµένο

ελατήριο και της δύναµης επαφής

�

! R

0 µε τον άξονα περιστροφής της (σχ. 11).

Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνισταµένη των ροπών των τριών αυτών δυνάµεων, περί το άκρο Α της ράβδου, είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

-F0L+ mgL/2 + R00 = 0

�

!

�

F0 = mg/2 (1) Με την δράση της δύναµης

�

! P η ράβδος αποκτά περιστροφική κίνηση περί το

άκρο της Α και την χρονική στιγµή t=0, δηλαδή αµέσως µετά την δράση της

�

! P

η γωνιακή της επιτάχυνση

�

! ! ', συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής

κίνησης, ικανοποιεί την σχέση:

�

!" (A) = IA#'

�

!

�

-F0L+ mgL

2+ Py

L

2=

mL2

3!'

�

!

(1)

�

-mg

2+

mg

2+

P

2!µ" =

mL

3#'

�

!

�

3mg

2!µ" =

mL

3# '

�

!

�

!'=9g"µ#

2L (2)

Σχήµα 11 Σχήµα 12 Εξάλλου την χρονική στιγµή t=0 η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι µηδε νική, που σηµαίνει ότι η γραµµική ταχύτητα όλων των σηµείων της την στιγµή αυτή είναι µηδενική. Άρα η αντίστοιχη κεντροµόλος επιτάχυνση του άκρου Γ είναι µηδενική, δηλαδή το άκρο Γ έχει µόνο επιτρόχιο επιτάχυνση την στιγµή t=0, της οποίας το µέτρο δίνεται από την σχέση:

�

a!

= "'L

�

!

(2)

�

a! =9g"µ#

2LL =

9g"µ#

2 (3)

ii) Eξετάζοντας την χρονική στιγµή t=0 την κίνηση του κέντρου µάζας C της ράβδου παρατηρούµε ότι η συνισταµένη των δυνάµεων

�

! R

x και

�

! P

x που ενερ

γούν κατα την διεύθυνση της ράβδου ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη για το κέντρο µάζας και επειδή την στιγµή αυτή η ταχύτητα του C είναι µηδενική, ισχύει η σχέση:

�

-Px+ R

x= 0

�

!

�

Rx =Px = 3mg!"#$ (4) όπου

�

! R

x η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης που δέχεται η ράβδος από τον

άξονα περιστροφής την χρονική στιµή t=0. Eξάλλου την ίδια στιγµή η συνιστα µένη των δυνάµεων που ενεργούν κάθετα προς την ράβδο αποτελεί επιτρόχιο δύναµη για το κέντρο µάζας της, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

-Ry - F0+ Py+ mg = maC

�

!

(1)

�

-Ry -mg

2+ 3mg!µ" + mg =

mL

2#'

�

!

(2)

�

-Ry + 3mg!µ" +mg

2=

9mgL!µ"

4L

�

!

�

Ry =mg

43!µ" + 2( ) (5)

όπου

�

! a

C η αντίστοιχη επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου µάζας και

�

! R y η αντί

στοιχη κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που δέχεται η ράβδος από τον άξο να περιστροφής της.

P.M. fysikos

Ένα µεταλλικό στεφάνι µάζας Μ, ισορροπεί µε το επίπεδό του κατακόρυφο εφαπτόµενο σε λείο οριζόντιο δάπεδο και σε δύο λείους κατακόρυφους τοίχους, οι οποίοι είναι αντικρυστοί, όπως φαίνεται στο σχήµα (13). Η επαφή του στεφανιού µε τον δεξιό τοίχο συµβαίνει στο πάνω άκρο του τοίχου, που απέχει από το δάπεδο από σταση ίση προς την ακτίνα R του στεφανιού. Ένας µικρός δακτύλιος µάζας m διαπερνά το στεφάνι και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος αυτού. Αρχικά ο δακτύλιος βρίσκεται στο ανώτατο ση µείο Α0 του στεφανιού και το σύστηµα ισορροπεί. Δίνουµε µια ελαφρά οριζόντια ώθηση στον δακτύλιο, ώστε να τεθεί σε κίνηση. i) Να βρεθεί η µικρότερη δυνατή τιµή του λόγου m/M για την οποία επίκειται η ανύψωση του στεφανιού πάνω από το οριζόντιο δάπεδο. ii) Πόση είναι η διαφορά των δυνάµεων µε τις οποίες καταπονούνται οι δύο τοίχοι από το στεφάνι, την στιγµή που επίκειται η ανύψωσή του; ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σύτηµα στεφάνι-δακτύλιος κατά µια τυχαία στιγµή, που η επιβατική ακτίνα του δακτυλίου ως προς το κέντρο Κ του στεφανιού σχήµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ και δεχόµαστε ότι την στιγ µή αυτή το στεφάνι ισορροπεί. Οι δυνάµεις που δέχεται το στεφάνι είναι το βάρος του

�

M! g , η δύναµη επαφής

�

! N

1 από τον αριστερό τοίχο, της οποίας ο φορέ

Σχήµα 13

ας είναι οριζόντιος και διέρχεται από το κέντρο Κ, η κατακόρυφη δύναµη επα φής

�

! N από το λείο οριζόντιο δάπεδο της οποίας ο φορέας διέρχεται από το Κ, η

ορίζόντια δύναµη επαφής

�

! N

2 από τον δεξιό τοίχο και η δύναµη επαφής

�

! F από

τον δακτύλιο, των οποίων οι φορείς επίσης διέρχονται από το κέντρο Κ. διότι οι επαφές αυτές είναι χωρίς τριβή. Λόγω της ισορροπίας του στεφανιού η συνι σταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

Mg - N - Fy = 0

�

!

�

Mg - N - F!"#$ = 0 (1) Εξάλλου ο δακτύλιος δέχεται το βάρος του

�

! w και την δύναµή επαφής

�

! F ' από

το στεφάνι, η οποία είναι αντίθετη της

�

! F , σύµφωνα µε το αξίωµα δράσης-

αντίδρασης και ως εκ τούτου έχει ακτινική διεύθυνση µε φορά προς το κέντρο Κ. Η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων που δέχεται ο δακτύλιος την στιγ µή αυτή ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη και εποµένως ισχύει:

�

F'+ w'= mv2/R

�

!

�

F'+ w!"#$ = mv2/R

�

!

�

F'= mv2/R - mg!"#$

�

!

�

F= m(v2/R - g!"#$) (2) όπου

�

! v η ταχύτητα του δακτυλίου την στιγµή που τον εξετάζουµε. Όµως η

µηχανική ενέργεια του δακτυλίου διατηρείται στην διάρκεια της κίνησής του και το γεγονός αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

0 + 0 = -mg(R - R!"#$) + mv2/2

�

!

�

v2 = 2gR(1- !"#$) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

F= m[2g(1- !"#$) - g!"#$]

�

!

�

F= mg(2 - 3!"#$) (4) Η (1) λόγω της (4) γράφεται:

�

Mg - N - mg(2 - 3!"#$)!"#$ = 0 (5) Όταν επίκειται η ανύψωση του δάκτυλίου, αυτός ισορροπεί οριακά και ισχύει Ν=0, οπότε την στιγµή αυτή η (5) παίρνει την µορφή:

�

Mg - mg(2 - 3!"#$ *)!"#$ * = 0

�

!

�

M - 2m!"#$*+ 3m!"#

2$

*= 0

�

!

�

3!"#2$ * - 2!"#$ * + M/m = 0 (6)

όπου φ* η αντίστοιχη τιµή της γωνίας φ. Η (3) αποτελεί µια εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς συνφ* και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές για να είναι αποδεκτή η γωνία φ* , δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα της να είναι µη αρνητική που σηµαίνει ότι πρέπει να ισχύει η σχέση:

�

4 - 12M/m ! 0

�

!

�

m/M ! 1/3

�

!

�

(m/M)min = 1/3 ii) Tην στιγµή που ανυψώνεται ο δακτύλιος η συνισταµένη των οριζόντιων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

N1- N

2+ F

x= 0

�

!

�

N2- N

1= F!µ"

*

�

!

(4)

�

N2 - N1 = mg(2 - 3!"#$ *)%µ$ *

�

!

�

N2 - N1 = mg(2 - 3!"#$ *) 1 - !"#2$ *

Όµως το συνφ* αποτελεί την διπλή ρίζα της (6), δηλαδή ισχύει συνφ*=1/3 οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

N2 - N1 = mg(2 - 1) 1 - 1/9

�

!

�

N2 - N1 = mg 8 /3 P.M.Fysikos

Δύο σφαίρες της ίδιας ακτίνας R και του ίδιου βά ρους

�

! w ισορροπούν εφαπτόµενες εξωτερικά µεταξύ τους, ενώ εφάπ

τονται εσωτερικά µιας κοίλης σφαιρικής επιφάνειας κέντρου Ο και ακτίνας 4R, η οποία είναι ακλόνητη (σχ. 14). Οι δύο σφαίρες συγκρα τούνται ώστε η διάκεντρος της µιας και της σφαιρικής επιφάνειας να είναι κατακόρυφη, ενώ η διάκεντρος της άλλης µε την σφαιρική επι φάνεια να σχηµατίζει γωνία 2φ µε την πρώτη διάκεντρο. i) Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής σε όλες τις επαφές είναι ίδιος, να βρεθούν οι τιµές του για τις οποίες το σύστηµα ισορροπεί όταν αφεθεί ελεύθερο. ii) Να βρεθούν οι αντιδράσεις στα σηµεία επαφής των σφαιρών µε την κοίλη επιφάνεια, όταν η γωνία φ επιβάλλει έναρξη ολίσθησης των σφαιρών. ΛΥΣΗ: i) Υποθέτουµε ότι η γωνία φ έχει τέτοια τιµή, ώστε το σύστηµα των δύο σφαιρών να ισορροπεί οριακά όταν η διάκεντρος ΟΚ1 είναι κατακόρυφη. Τότε επίκειται η ολίσθηση των δύο σφαιρών επί της κοίλης σφαιρικής επιφά νειας και το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι οι φορείς των δυνάµεων

�

! F

1 και

�

! F

2 που

δέχονται οι σφαίρες από την κοίλη επιφάνεια σχηµατίζουν µε τις αντίστοιχες διακέντρους ΟΚ1 και ΟΚ2 γωνία ίση µε την γωνία τριβής θ των σφαιρών και της επιφάνειας αυτής. Εξάλλου το σύστηµα στη θέση αυτή δέχεται τα βάρη

�

! w

των δύο σφαιρών, των οποίων η συνισταµένη

�

2! w έχει κατακόρυφο φορέα που

διέρχεται από το µέσο Μ της διακέντρου Κ1Κ2 των σφαιρών. Όµως πρέπει οι φορείς των δυνάµεων

�

! F

1,

�

! F

2 και

�

2! w να διέρχονται από το ίδιο σηµείο, το οποίο

στην περίπτωσή µας είναι το Μ. Αυτό εξηγείται ως εξής. Επειδή οι φορείς των δυνάµεων

�

! F

1,

�

! F

2 έχουν την ίδια κλίση ως προς τις ίσες πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου

ΟΑ1Α2, τέµνονται επί της διχοτόµου της γωνίας Κ1ΟΚ2. Αλλά από το σηµείο τοµής τους πρέπει να διέρχεται και ο φορέας της

�

2! w και αυτό είναι δυνατόν

µόνο όταν το σηµείο αυτό είναι το Μ, αφού ο φορέας της

�

2! w διέρχεται από το

σηµείο αυτό. Εξάλλου για την γωνία x που εµφανίζεται στο σχήµα (14) ισχύουν οι σχέσεις:

�

x = 2!

x = "/2 - #

$

%

&

�

!

�

2! = "/2 - #

�

!

�

! ="

4-#

2

�

!

Σχήµα 14 Σχήµα 15

�

!"# = !"$4

-%2

&

' (

)

* +

�

!

�

n = !"#4

-$2

%

& '

(

) * (1)

όπου n ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ των σφαιρών και της κοίλης επι φάνειας. Αν εποµένως ισχύει η σχέση:

�

n > !"#4

-$2

%

& '

(

) *

το σύστηµα θα ισορροπεί µε την διάκετρο ΟΚ1 κατακόρυφη. Ακόµη από το ισοσκελές τρίγωνο Α1Κ1Μ προκύπτει η σχέση: A1M = 2Rσυνθ (2) ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο Κ1ΜΟ προκύπτει η σχέση:

�

OM = (3R)2- R

2= 8R

2= 2R 2 (3)

Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

A1M

OM=!"#$

2

< 1

�

!

�

A1M < OM δηλαδή

�

! > "

�

!

�

!"# > !$$

�

!

�

n > !"" (4) Oι σχέσεις (1) και (4) δεσµέυουν τις τιµές του συντελεστή n, ώστε το σύστηµα να ισορροπεί υπό τις συνθήκες που θέτει το πρόβληµα. ii) Τα µέτρα των δυνάµεων

�

! F

1 και

�

! F

2, όταν το σύστηµα βρίσκεται σε οριακή

ισορροπία, ικανοποιούν τις σχέσεις:

�

F1

!µ [" - (2# +$)]=

F2

!µ (" - $)=

2w

!µ2(# +$)

�

!

�

F1 =2w!µ [" - (2# +$)]

!µ2(# +$)=

2w!µ (2# +$)

!µ 2(# +$)

και

�

F2 =2w!µ (" - #)

!µ2($ +#)=

2w!µ#

!µ2($ +#) µε εφθ = n

P.M. fysikos

Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι είναι αρθρωµέ νες κατά το ένα ακρο τους, ενώ τα ελεύθερα άκρα τους εφάπτονται λείου οριζόντιου δαπέδου το δε επίπεδό τους κρατείται κατακόρυφο, ώστε η άρθρωση Ο των ράβδων να βρίσκεται σε ύψος h από το δάπε δο. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και οι άκρες των ράβδων ολισθαίνουν πάνω στο δάπεδο, ενώ το επίπεδό τους παραµέ νει κατακόρυφο. Να βρεθεί η ταχύτητα του κοινού άκρου Ο των ράβδων την στιγµή που αυτές φθάνουν στο έδαφος. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας µιας λεπτής ράβδου

µήκους L και µάζας m, περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C και είναι κάθετος στην ράβδο, δίνεται από την σχέση ΙC=mL2/12. ΛΥΣΗ: Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι ράβδοι έχουν συµµετρική κίνηση ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση που διέρχεται από το κοινό τους άκρο Ο, δηλα δή οι ταχύτητες δύο σηµείων Μ1 και Μ2 των ράβδων που είναι συµµετρικά ως προς την κατακόρυφη αυτήν, έχουν ταχύτητες των οποίων τα διανύσµατα είναι επίσης συµµετρικά ως προς την κατακόρυφη. Αυτό σηµαίναι ότι οι µεν οριζόν τιες συνιστώσες

�

! v

1x και

�

! v

2x των ταχυτήτων αυτών είναι αντίθετες, ενώ οι κα

Σχήµα 16 τακόρυφες συνιστώσες τους

�

! v 1y και

�

! v 2y είναι ίσες (σχ. 16). Αν η ιδιότητα αυτή

εφαρµοσθεί για το κοινό σηµείο Ο των δύο ράβδων, θα καταλήξουµε στο συµπέ

ρασµα ότι για το σηµείο αυτό ισχύει

�

! v

1x=! v

2x=! 0 , που σηµαίνει ότι η ταχύτητα

�

! v

του Ο είναι κάθε στιγµή κατακόρυφη µε φορά προς τα κάτω. Εστιάζοντας την προσοχή µας στην επίπεδη κίνηση της µιας ράβδου (λογουχάρη της ΟΑ) παρατηρούµε ότι η κίνηση αυτή µπορεί κάθε στιγµή t να θεωρηθεί ως καθαρώς στροφική κίνηση περί το αντίστοιχο στιγµιαίο κέντρο περίστροφής Κ1, που προκύπτει ως τοµή των καθέτων ευθειών στις διευθύνσεις των ταχυτήτων των άκρων Ο και Α της ράβδου στα σηµεία αυτά (σχ. 17). Εάν

�

! ! είναι η γωνιακή τα

χύτητα της ράβδου κατά την στιγµή t, τότε το µέτρο της αντίστοιχης ταχύτη τας

�

! v του σηµείου Ο θα δίνεται από την σχέση:

�

v = ! (OK1) = ! L2 - y2 (1) όπου y η αντίστοιχη απόσταση του Ο από το οριζόντιο δάπεδο. Tην ίδια στιγµή t η κινητική ένεργεια Κ(ΟΑ) της ράβδου είναι:

�

K(OA) = IK1!

2 /2 (2) Όµως, σύµφωνα µε το θεώρηµα Steiner η ροπή αδράνειας

�

IK1

της ράβδου περί το στιγµιαίο κέντρο Κ1 περιστροφής της είναι:

�

IK1= IC1

+ m(C1K1)2 = mL2/12 + mL2/4 = mL2/3

οπότε η (2) γράφεται:

�

K(OA) = mL2!

2 /6 (3)

Σχήµα 17 Eφαρµόζοντας το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για το σύστη µα των δύο ράβδων και για τον χρόνο t, παίρνουµε την σχέση:

�

0 + 2mg(h/2) = 2K(OA) + 2U(OA)

�

!

�

mgh = 2mL2!

2 /6+ 2mgy/2

�

!

�

gh = L2!

2 /3+ gy

�

!

�

L2!

2= 3g(h - y)

�

!

�

! = 3g(h - y/L (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (4) παίρνουµε:

�

v = [ 3g(h - y)/L] L2 - y2 = 3g(h - y) L2 - y2 /L (5) Εφαρµόζοντας την (5) την στιγµή t* που το Ο φθάνει στο δάπεδο (y=0) παίρνου µε:

�

v* = 3ghL2 /L = 3gh (6) όπου

�

! v

* η ζητούµενη ταχύτητα.

P.M. fysikos