M 1 Matematica Aplicata in Economie Dosescu Tatiana

UNIVERSITATEA CRESTINA D. CANTEMIR

Facultatea de Management Turistic si Comercial

MATEMATICA APLICATA IN ECONOMIE

Ghid de studiu individual pentru studentii de la

forma de nvatamant Frecventa Redusa

Tatiana Corina Dosescu

Bogdan Toader

Cuprins

INTRODUCERE 4

0.1 Obiectivele cursului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.2 Competente dobandite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3 Continutul materialului de studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.4 Resurse necesare si recomandari de studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.5 Evaluarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.6 Cunostinte preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Modulul I ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA 7

Unitatea de nvatare 1 SPATII VECTORIALE 8

1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Obiectivele unitatii de nvatare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8


1.4 Continutul unitatii de nvatare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Definitia spatiului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Exemple de spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3 Combinatie liniara de vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4 Sistem de generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Unitatea de nvatare 2 INDEPENDENTA SI DEPENDENTA LINIARA 13

2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13




2.4.1 Sistem liniar independent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.2 Sistem liniar dependent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.3 Stabilirea (in)dependentei liniare n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Unitatea de nvatare 3 BAZA SI DIMENSIUNE 18

3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18




3.4.1 Baza a unui spatiu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

3.4.2 Dimensiunea unui spatiu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

TEST DE CONTROL MODULUL I 23

Modulul II ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA 24

Unitatea de nvatare 4 PROBLEME DE PROGRAMARE LINIARA SI MODELAREA

LOR MATEMATICA 25

4.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25




4.4.1 Exemplu de problema de programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4.2 Forme ale modelului matematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4.3 Solutiile unei probleme de programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Unitatea de nvatare 5 ALGORITMUL SIMPLEX 31

5.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31




5.4.1 Etapele algoritmului simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.4.2 Complicatii ale metodei simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Unitatea de nvatare 6 METODA PENALIZARII 36

6.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36




6.4.1 Metoda penalizarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Unitatea de nvatare 7 PROBLEMA TRANSPORTURILOR 41

7.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 Obiectivele unitatii de studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41



7.4.1 Problema transporturilor echilibrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.4.2 Problema transporturilor neechilibrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

TEST DE CONTROL MODULUL II 49

2

Modulul III COMPLEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA 50

Unitatea de nvatare 8 SIRURI NUMERICE 51

8.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51




8.4.1 Siruri de numere reale. Siruri monotone, siruri marginite . . . . . . . . . 52

8.4.2 Limita unui sir de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.4.3 Proprietati privind monotonia, marginirea si convergenta . . . . . . . . . 54

8.4.4 Siruri remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Unitatea de nvatare 9 SERII NUMERICE 58

9.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58




9.4.1 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9.4.2 Serii alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9.4.3 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Unitatea de nvatare 10 EXTREMELE FUNCTIILOR DE MAI MULTE VARIABILE 65

10.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65




10.4.1 Functii de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.4.2 Extremele functiilor de doua variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.4.3 Extremele functiilor de n variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Unitatea de nvatare 11 AJUSTAREA DATELOR DE OBSERVATIE 72

11.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72




11.4.1 Metoda celor mai mici patrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.4.2 Ajustarea liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.4.3 Ajustarea parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

TEST DE CONTROL MODULUL III 76

MODELE DE SUBIECTE PENTRU EXAMEN 77

3

INTRODUCERE

Acest material de studiu este destinat studentilor din anul I care urmeaza cursul

Matematica aplicata n economie din cadrul programului de studiu cu frecventa

redusa de la Facultatea de Management Turistic si Comercial a Universitatii Cresti-

ne Dimitrie Cantemir.

0.1 Obiectivele cursului

Obiectivele centrale ale cursului sunt urmatoarele:

deprinderea studentilor de a analiza logic si riguros. familiarizarea studentilor cu conceptele si cu tehnica modelarii matematice

a unor fenomene economice.

pregatirea studentilor pentru alte cursuri care utilizeaza notiuni si metodematematice.

0.2 Competente dobandite

Dupa studierea materialului Matematica aplicata n economie, studentii vor fi

capabili:

sa utilizeze conceptele, terminologia, metodele si conventiile din acest curspentru a rezolva probleme matematice legate de subiectul disciplinei Matem-

atica aplicata n economie.

sa rezolve probleme matematice noi care presupun ntelegerea notiunilor sia metodelor prezentate n acest curs.

sa nteleaga cum metode matematice de algebra si de analiza matematica potfi utilizate pentru a rezolva diverse probleme economice.

sa colaboreze cu specialisti din alte domenii.

4

0.3 Continutul materialului de studiu

Cursul este structurat pe 3 module de studiu, mpartite n unitati de nvatare:

Modulul I: Elemente de algebra liniara, care cuprinde unitatile de nvatare13.

Modulul II: Elemente de programare liniara, care cuprinde unitatile denvatare 47.

Modulul III: Complemente de analiza matematica, care cuprinde unitatilede nvatare 811.

Fiecare modul se ncheie cu un test de control.

Unitatea de nvatare Timp alocat

1. Spatii vectoriale 2 ore

2. Independenta si dependenta liniara 2 ore

3. Baza si dimensiune 2 ore

Test de control Modulul I 2 ore

4. Probleme de programare liniara si modelarea lor

matematica

4 ore

5. Algoritmul simplex 4 ore

6. Metoda penalizarii 2 ore

7. Problema transporturilor 4 ore

Test de control Modulul II 2 ore

8. Siruri numerice 2 ore

9. Serii numerice 2 ore

10. Extremele functiilor de mai multe variabile 2 ore

11. Ajustarea datelor de observatie 2 ore

Test de control Modulul III 2 ore

0.4 Resurse necesare si recomandari de studiu

Cursul se bazeaza pe cartile urmatoare:

Bibliografie minimala

1. Dosescu, Tatiana-Corina, Matematica pentru modelare economica, Editura

Universitara, Bucuresti, 2011.

5

2. Dosescu, Tatiana-Corina, Toader, Nicolae Bogdan, Matematici pentru econo-

misti. Aplicatii, Editura Universitara, Bucuresti, 2011.

3. Dosescu, Tatiana-Corina, Toader, Nicolae Bogdan, Fatu, Cristina, Matem-

atica aplicata n economie. Manual de studiu individual, Editura Universi-

tara, Bucuresti, 2012.

Prima carte din lista reprezinta suportul de curs, n care sunt tratate pe larg chestiu-

nile teoretice nsotite de exemple. A doua carte vine n completarea primeia si

constituie o culegere de sinteze si de aplicatii. A treia carte reprezinta o versiune

extinsa a acestui ghid pentru studiu individual.

Fiecare unitate de nvatare se ncheie cu un scurt test de autoevaluare constand

ntr-unul sau mai multe exercitii cu scopul de a va ajuta sa va verificati nivelul de

ntelegere al unitatii de studiu respective.

0.5 Evaluarea

Examenul final la disciplina Matematica aplicata n economie consta ntr-o lucrare

scrisa care cuprinde numai exercitii pe care studentii trebuie sa le rezolve si, apoi,

sa redacteze cat mai detaliat solutiile acestora.

In stabilirea notei finale se tine cont si de participarea la activitatile tutoriale, pre-

cum si de rezultatele obtinute de catre student la cele 3 teste de evaluare de pe

parcurs.

0.6 Cunostinte preliminare

In acest curs veti ntalni diverse notiuni fundamentale de matematica, precum

si unele notatii consacrate, pe care se presupune ca le-ati studiat la cursurile de

matematica din liceu. Este vorba despre chestiuni privind multimile uzuale de nu-

mere, matrice, determinanti, inversa unei matrice patratice, rangul unei matrice si

rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare. O foarte succinta recapitulare a acestora

poate fi gasita n lucrarile [2] si [3] indicate n bibliografia minimala de mai sus.

6

Modulul I

ELEMENTE DE ALGEBRA

LINIARA

7

Unitatea de nvatare 1

SPATII VECTORIALE

Cuprins

1.1 Introducere

1.2 Obiectivele unitatii de nvatare


1.4 Continutul unitatii de nvatare

1.4.1 Definitia spatiului vectorial

1.4.2 Exemple de spatii vectoriale

1.4.3 Combinatie liniara de vectori

1.4.4 Sistem de generatori

1.5 Test de autoevaluare

Bibliografie

1.1 Introducere

Vom considera numai spatii vectoriale peste corpul numerelor reale R. Avand

n vedere importanta pentru modelarea matematica a unor probleme economice,

vom acorda o atentie deosebita spatiului vectorial Rn al vectorilor coloana cu n

componente numere reale.


Obiectivul acestei unitati de nvatare este:

8

familiarizarea studentilor cu notiunea de spatiu vectorial (peste corpul nu-merelor reale R) si cu calculul vectorial elementar.


La finalul parcurgerii acestei unitati de nvatare veti fi capabil:

sa definiti notiunea de spatiu vectorial. sa dati exemple de spatii vectoriale. sa efectuati operatii cu vectori din spatiul Rn. sa stabiliti daca un anumit vector este o combinatie liniara a altor vectori

dati.

sa stabiliti daca o multime de vectori este sistem de generatori pentru unspatiu vectorial.


1.4.1 Definitia spatiului vectorial

Reamintim ca multimea numerelor reale R are o structura de corp comutativ data

de operatiile uzuale de adunare si de nmultire a numerelor. Definim acum notiunea

de spatiu vectorial. Vom considera numai spatii vectoriale peste corpul numerelor

reale R.

DEFINITIE

Un spatiu vectorial peste corpul de scalari R este o multime nevida V , ale carei

elemente se numesc vectori, nzestrata cu doua operatii algebrice, una interna:

+ : V V V, (v,w) 7 v+w,

numita adunarea vectorilor, si cealalta externa cu operatori din R:

: RV V, (,w) 7 w,

numita nmultirea vectorilor cu scalari, care au urmatoarele proprietati:

(1) (u+ v)+w = u+(v+w), pentru orice u,v,w V .(2) Exista 0 V , numit vectorul nul, astfel ncat v+ 0 = 0+ v = v, pentru orice

v V .

9

(3) Pentru orice v V , exista v V , numit vectorul opus lui v, astfel ncatv+(v) = (v)+ v = 0.

(4) v+w = w+ v, pentru orice v,w V .(5) (v+w) = v+ w, pentru orice R, v,w V .(6) (+) v = v+ v, pentru orice , R, v V .(7) () v = ( v), pentru orice , R, v V .(8) 1 v = v, pentru orice v V .

Un spatiu vectorial peste corpul de scalari R se mai numeste si spatiu vectorial

real.

De asemenea, notam cu acelasi simbol 0 atat scalarul nul (numarul real zero) din

corpul R, cat si vectorul nul din spatiul vectorial V .

1.4.2 Exemple de spatii vectoriale

Exemplu Fie n un numar natural nenul. Multimea

Rn =

{x1x2...

xn

x1,x2, . . . ,xn R

}

are o structura de R-spatiu vectorial data de urmatoarele operatii algebrice:

adunarea vectorilor:

x1x2...

xn

+

y1y2...

yn

=

x1 + y1x2 + y2

...

xn + yn

nmultirea vectorilor cu scalari reali:

x1x2...

xn

=

x1x2

...

xn

,

pentru orice ,x1, . . . ,xn,y1, . . . ,yn R. Elementele lui Rn se numesc vectoricoloana.

10

Daca este necesar un vector linie, l vom scrie ca transpusul unui vector coloana.

De asemenea, de multe ori vom scrie un vector coloana ca transpusul unui vector

linie:

x =

x1x2...

xn

= (x1,x2, . . . ,xn)T Rn.

Numerele reale x1,x2, . . . ,xn se numesc componentele vectorului x.

Doi vectori cu acelasi numar de componente sunt egali n cazul n care componen-

tele corespunzatoare sunt egale:

x1x2...

xn

=

y1y2...

yn

x1 = y1x2 = y2

...

xn = yn

.

Exemplu Fie m,n N. Multimea Mm,n(R) a matricelor cu m linii si n coloanede numere reale este un R-spatiu vectorial fata de adunarea matricelor si nmultirea

matricelor cu scalari reali.

Daca m = n, rezulta ca multimea Mn(R) a matricelor patratice de ordin n peste Reste un R-spatiu vectorial.

1.4.3 Combinatie liniara de vectori

DEFINITIE

Fie V un spatiu vectorial real. Daca v1,v2, . . . ,vn V si 1,2, . . . ,n R, vec-torul

1v1 +vx2 + +nvn Vse numeste combinatia liniara a vectorilor v1,v2, . . . ,vn V cu scalarii 1, 2,. . ., n R.

Exemplu Fie vectorii din R3:

v1 = (1,2,3)T , v2 = (1,2,1)T , v3 = (3,1,2)T .

a) Aflati vectorul v = 2v1 v23v3.b) Determinati , R astfel ncat v1 +v2 = 2v3.

11

a) Avem:

v = 2v1 v23v3 =24

6

+

12

1

+

936

=

123

1

.

b) Avem:

v1 +v2 = 2v3 =

+ = 6 = 13 = 4

.

Adunand membru cu membru primele doua ecuatii, obtinem 0= 7, ceea ce reprezin-ta o contradictie. Prin urmare, sistemul este incompatibil, deci nu exista , Rcu proprietatea data.

1.4.4 Sistem de generatori

DEFINITIE

Fie V un spatiu vectorial real. O multime S = {v1,v2, . . . ,vn} V se numestesistem de generatori daca pentru orice vV , exista 1,2, . . . ,n R astfel ncat

v = 1v1 +2v2 + +nvn.

Exemplu In spatiul vectorial real Rn, multimea E = {e1,e2, . . . ,en}, unde

e1 = (1,0, . . . ,0)T , e2 = (0,1,0, . . . ,0)

T , . . . , en = (0, . . . ,0,1)T ,

este sistem de generatori.


Fie vectorii din R3: v1 = (1,1,1)T , v2 = (1,0,1)T , v3 = (1,2,1)T .a) Aflati vectorul v = 4v12v2 v3.b) Determinati , R astfel ncat v1 +v2 = 2v3.

Bibliografie





12


INDEPENDENTA SI

DEPENDENTA LINIARA

Cuprins

2.1 Introducere




2.4.1 Sistem liniar independent

2.4.2 Sistem liniar dependent

2.4.3 Stabilirea (in)dependentei liniare n Rn


Bibliografie

2.1 Introducere

In aceasta unitate de nvatare vom introduce doua notiuni fundamentale ale alge-

brei liniare: sistem liniar independent si sistem liniar dependent de vectori.



deprinderea studentilor de a lucra cu doua concepte fundamentale ale alge-brei liniare: sistem liniar independent si sistem liniar dependent de vectori.

13



sa stabiliti daca o multime de vectori este sistem liniar independent sau sis-tem liniar dependent.

sa gasiti relatia de dependenta liniara verificata de vectorii unui sistem liniardependent.


2.4.1 Sistem liniar independent

DEFINITIE

Fie V un spatiu vectorial real. O multime S = {v1,v2, . . . ,vn} V se numestesistem liniar independent daca:

1v1 +2v2 + +nvn = 0 = 1 = 2 = = n = 0(unde 1,2, . . . ,n R).


e1 = (1,0, . . . ,0)T , e2 = (0,1,0, . . . ,0)

T , . . . , en = (0, . . . ,0,1)T ,

este sistem liniar independent.

2.4.2 Sistem liniar dependent

DEFINITIE

Fie V un spatiu vectorial real. O multime S = {v1,v2, . . . ,vn} V se numestesistem liniar dependent daca exista scalarii 1,2, . . . ,n R, nu toti nuli, astfelncat

1v1 +2v2 + +nvn = 0.Expresia de mai sus se numeste relatie de dependenta liniara a vectorilor v1, v2,

. . ., vn V .

14

Exemplu In R2, vectorii

v1 =

(5

2), v2 =

(208

),

formeaza un sistem liniar dependent, deoarece 4v1 + v2 = 0.

OBSERVATIE. In orice spatiu vectorial:

orice submultime a unui sistem liniar independent este sistem liniar inde-pendent.

orice supramultime a unui sistem liniar dependent este sistem liniar depen-dent.

2.4.3 Stabilirea (in)dependentei liniare n Rn

Pentru a stabili daca o multime de vectori din spatiul Rn este sistem liniar inde-

pendent sau sistem liniar dependent, putem folosi urmatorul rezultat:

Teorema Fie {v1,v2, . . . ,vm} Rn si

A =(v1 v2 vm

) Mn,m(R)matricea formata cu cei m vectori coloana. Atunci:

(i) {v1,v2, . . . ,vm} este sistem liniar independent rangA = m.(ii) {v1,v2, . . . ,vm} este sistem liniar dependent rangA < m.


v1 =

31

4

, v2 =

23

1

, v3 =

12

3

.

a) Sa se arate ca S = {v1,v2,v3} este sistem liniar dependent.b) Sa se gaseasca legatura dintre vectori (relatia de dependenta liniara).

a) Consideram matricea ale carei coloane sunt cei trei vectori din S:

A =(v1 v2 v3

)=

3 2 11 3 2

4 1 3

M3(R).

15

Deoarece

det(A) =

3 2 1

1 3 24 1 3

=27+161+12+66 = 0,rezulta ca S = {v1,v2,v3} este sistem liniar dependent.b) Cum S = {v1,v2,v3} este sistem liniar dependent, exista scalarii 1, 2, 3 R,nu toti nuli, astfel ncat 1v1 +2v2 +3v3 = 0. Avem:

1v1 +2v2 +3v3 = 0 =

31 +22 +3 = 0132 +23 = 041 +2 +33 = 0.

Matricea acestui sistem liniar omogen este chiar matricea A de mai sus. Intrucat

det(A) = 0, vom folosi metoda generala de rezolvare a unui sistem liniar (a sevedea [2]).

Se vede usor ca rangA = 2. Sistemul liniar fiind omogen, el este compatibil. Mi-norul principal este

p =

3 21 3=7 6= 0,

deci:

p p s

p

p

s

31 +22 +3 = 0132 +23 = 041 +2 +33 = 0

.

Sistemul este echivalent cu subsistemul format numai cu ecuatiile principale:{31 +22 +3 = 0132 +23 = 0 .

Notam 3 = R. Rezulta imediat ca 1 = , 2 = . Asadar, am obtinutsolutia generala:

1 =2 = 3 =

(unde R).

Intrucat vectorii v1,v2,v3 sunt liniar dependenti, putem considera ca 6= 0. Relatiade dependenta liniara 1v1 +2v2 +3v3 = 03 se scrie succesiv:

v1 +v2 +v3 = 0 6=0= v1 + v2 + v3 = 0 = v1 = v2 + v3,

relatie ce reprezinta legatura dintre vectori.

16


Fie vectorii din R3:

v1 =

101

, v2 =

21

1

, v3 =

1

0

, cu R.

a) Determinati astfel ncat S = {v1,v2,v3} sa fie sistem liniar dependent.b) Pentru determinat, gasiti legatura dintre vectori (relatia de dependenta liniara).

Bibliografie





17


BAZA SI DIMENSIUNE

Cuprins

3.1 Introducere




3.4.1 Baza a unui spatiu vectorial

3.4.2 Dimensiunea unui spatiu vectorial


Bibliografie

3.1 Introducere

In aceasta unitate de nvatare vom vedea ca orice spatiu vectorial finit dimensional

are o baza finita si ca orice baza are atatia vectori cat este dimensiunea spatiului

respectiv.



deprinderea studentilor de a lucra cu notiunile de baza a unui spatiu vectorialsi de coordonate ale unui vector ntr-o baza data.

18



sa stabiliti daca o multime de vectori ai unui spatiu vectorial este baza pentruacel spatiu.

sa explicati ce nseamna dimensiunea unui spatiu vectorial finit dimensional. sa calculati coordonatele unui vector ntr-o baza data a unui spatiu vectorial.


3.4.1 Baza a unui spatiu vectorial

DEFINITIE

Fie V un spatiu vectorial real. O multime BV se numeste baza daca este sistemliniar independent si sistem de generatori.


e1 = (1,0, . . . ,0)T , e2 = (0,1,0, . . . ,0)

T , . . . , en = (0, . . . ,0,1)T ,

este o baza, numita baza canonica.

3.4.2 Dimensiunea unui spatiu vectorial

DEFINITIE

Fie V un spatiu vectorial real si n N. Spunem ca V este un spatiu vectorialfinit dimensional avand dimensiunea n si scriem

dimV = n ,

daca V contine o multime liniar independenta cu n vectori si orice multime cu n+1vectori este liniar dependenta.

OBSERVATIE. Dimensiunea unui spatiu vectorial finit dimensional reprezinta numarul

maxim de vectori liniar independenti.

19

Teorema Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune n. Atunci:

1) Spatiul V contine cel putin o baza.

2) Orice baza a lui V are n vectori.

OBSERVATIE. Dimensiunea unui spatiu vectorial finit dimensional V reprezinta:

numarul maxim de vectori liniar independenti din V . numarul minim de vectori ai oricarui sistem de generatori din V . numarul de vectori ai oricarei baze a lui V .

Exemplu Deoarece baza canonica E = {e1,e2, . . . ,en} a spatiului vectorial Rnare n vectori, rezulta ca dimensiunea spatiului vectorial Rn este egala cu n:

dimRn = n .

OBSERVATIE. Un sistem liniar independent din Rn care contine atatia vectori cat

este dimensiunea spatiului vectorial real Rn este o baza.

Teorema Fie V un spatiu vectorial real si B = {v1,v2, . . . ,vn} o multime finitade vectori din V . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) B este o baza a spatiului vectorial V .

2) Pentru orice vector vV , exista scalarii unici 1,2, . . . ,n R astfel ncat:

v = 1v1 +2v2 + +nvn

DEFINITIE

Scalarii unici 1,2, . . . ,n se numesc coordonatele vectorului v n baza B, iar

vectorul vB = (1,2, . . . ,n)T Rn se numeste vectorul coordonatelor lui v n

baza B.

OBSERVATIE. Daca B este baza canonica a lui Rn, atunci

vB = v

Altfel spus, coordonatele unui vector n baza canonica a lui Rn sunt chiar compo-

nentele sale.

20

Daca nu se specifica altfel, orice vector din Rn se considera exprimat n baza

canonica.


v1 =

132

, v2 =

41

1

, v3 =

51

0

.

a) Aratati ca B = {v1,v2,v3} este o baza pentru spatiul vectorial real R3.b) Determinati coordonatele vectorului v = (1,4,3)T n baza B.

a) Intrucat dimR3 = 3 si B = {v1,v2,v3} contine 3 vectori, ramane sa aratam caB este sistem liniar independent. Vom utiliza teorema din unitatea de nvatare 2.

Avem:

A =(v1 v2 v3

)=

1 4 53 1 12 1 0

M3(R).

Cum det(A) = 4 6= 0, rezulta ca rangA = 3 = nr. vectorilor din B si, conformteoremei amintite, obtinem ca B este sistem liniar independent. Asadar, B este

baza pentru spatiul vectorial R3.

b) Fie 1,2,3 R coordonatele vectorului v=(1,4,3)T n baza B= {v1,v2,v3}.Avem:

1v1 +2v2 +3v3 = v =

1 +42 +53 = 1312 +3 = 4

21 +2 = 3.

Determinantul acestui sistem liniar de 3 ecuatii cu 3 necunoscute este:

=

1 4 5

3 1 12 1 0

=4 6= 0,deci sistemul are solutie unica. Pentru a o gasi, aplicam regula lui Cramer:

1 =

1 4 5

4 1 13 1 0

=8 = 1 =1

=84 = 2

2 =

1 1 5

3 4 1

2 3 0

=4 = 2 =2

=44 = 1

3 =

1 4 1

3 1 42 1 3

= 4 = 3 =3

=4

4 =1.

Vectorul coordonatelor lui v n baza B = {v1,v2,v3} este vB = (2,1,1)T .

21


Fie vectorii din R3: v1 = (3,2,1)T , v2 = (1,2,2)

T , v3 = (2,1,2)T .

a) Aratati ca B = {v1,v2,v3} este o baza pentru spatiul vectorial real R3.b) Determinati coordonatele vectorului v = (1,2,3)T n baza B.

Bibliografie





22

TEST DE CONTROL

MODULUL I

1. Fie vectorii din R3:

v1 =

12

1

, v2 =

21

3

, v3 =

211

.

a) Aflati vectorul v = 3v1 v2 +2v3.b) Determinati , R astfel ncat v1 +v2 =5v3.


v1 =

21

1

, v2 =

12

1

, v3 =

112

.

a) Aratati ca {v1,v2,v3} este sistem liniar dependent.b) Gasiti legatura dintre vectori (relatia de dependenta liniara).


v1 =

101

, v2 =

21

1

, v3 =

11

0

.

a) Aratati ca multimea B = {v1,v2,v3} este o baza pentru spatiul vectorial realR

3.

b) Determinati coordonatele vectorului v =

521

n baza B.

Barem de notare:

1. 2. 3. Oficiu

3 puncte 3 puncte 3 puncte 1 punct

Timp de lucru: 2 ore.

23

Modulul II

ELEMENTE DE

PROGRAMARE LINIARA

24


PROBLEME DE

PROGRAMARE LINIARA SI

MODELAREA LOR

MATEMATICA

Cuprins

4.1 Introducere




4.4.1 Exemplu de problema de programare liniara

4.4.2 Forme ale modelului matematic

4.4.3 Solutiile unei probleme de programare liniara


Bibliografie

4.1 Introducere

In aceasta unitate de nvatare, vom vedea cum matematica poate fi utilizata pentru

a modela anumite probleme economice, dupa care vom studia cateva chestiuni

teoretice legate de modelele obtinute.

25



familiarizarea studentilor cu modelarea matematica a unor probleme econo-mice.



sa identificati o problema de programare liniara. sa formulati modelul matematic al unei probleme de programare liniara.


4.4.1 Exemplu de problema de programare liniara

Problema organizarii optime a productiei

Consideram m resurse materiale (materii prime, forta de munca, materiale, investitii

de capital, etc.) R1, R2, . . . , Rm care sunt utilizate pentru a obtine n produse P1, P2,

. . . , Pn. Cunoastem cantitatile disponibile din resurse b1, b2, . . . , bm; beneficiile

unitare obtinute prin realizarea produselor c1, c2, . . . , cn; coeficientii tehnologici

ai j (1 i m, 1 j n), reprezentand cantitatea din resursa Ri (1 i m)care se consuma pentru realizarea unei unitati din produsul Pj (1 j n). Vremsa determinam cantitatea care trebuie realizata din fiecare produs pentru a obtine

beneficiul total maxim.

Notam cu x j (1 j n) cantitatea care trebuie realizata din produsul Pj (1 j n). Modelul matematic al problemei are urmatoarea forma:

[max] f (x) =n

j=1

c jx j (1)

n

j=1

ai jx j bi, 1 i m (2)x j 0, 1 j n (3)

unde:

f : Rn R, x = (x1, . . . ,xn)T 7 f (x) = c1x1+ +cnxn este functia obiec-tiv sau functia de eficienta care trebuie maximizata;

x = (x1, . . . ,xn)T Rn este argumentul functiei obiectiv, numit vectorulvariabilelor sau vectorul necunoscutelor modelului matematic;

26

relatiile (2) reprezinta sistemul de restrictii; relatiile (3) constituie conditiile de nenegativitate impuse variabilelor mod-

elului matematic.

4.4.2 Forme ale modelului matematic

Forma generala

[optim] f (x) =n

j=1

c jx j (1)

n

j=1

ai jx j bi, 1 i ln

j=1

ai jx j = bi, l +1 i p (2)n

j=1

ai jx j bi, p+1 i m

x j 0, 1 j kx j arbitrar, k+1 j s (3)x j 0, s+1 j n

Forma canonica

Pentru problema de maxim, forma canonica este:

[max] f (x) =n

j=1

c jx j (1)

n

j=1

ai jx j bi, 1 i m (2)x j 0, 1 j n (3)

Pentru problema de minim, forma canonica este:

[min] f (x) =n

j=1

c jx j (1)

n

j=1

ai jx j bi, 1 i m (2)x j 0, 1 j n (3)

Forma standard

[optim] f (x) =n

j=1

c jx j (1)

n

j=1

ai jx j = bi, 1 i m (2)x j 0, 1 j n (3)

27

Notam:

A =(ai j)

i=1,m, j=1,nMm,n(R),

b = (b1,b2, . . . ,bm)T Rm,

c = (c1,c2, . . . ,cn)T Rn,

x = (x1,x2, . . . ,xn)T Rn,

cT x = c1x1 + c2x2 + + cnxn,x 0 xi 0, i = 1, . . . ,n.

Cu aceste notatii, obtinem varianta matriceala a formei standard:

[optim] f (x) = cT x (1)Ax = b (2)x 0 (3)

Fara a micsora generalitatea, vom presupune ca rangA = m < n .

Reguli de trecere de la o forma la alta:

Sensul unei inecuatii se schimba prin nmultirea cu (1). O restrictie de tipul se transforma ntr-o ecuatie prin scaderea unei vari-

abile nenegative, numita variabila de compensare.

O restrictie de tipul se transforma ntr-o ecuatie prin adunarea unei vari-abile nenegative, numita, de asemenea, variabila de compensare.

4.4.3 Solutiile unei probleme de programare liniara

Consideram problema de programare liniara al carei model matematic la forma

standard este:

[optim] f (x) = cT xAx = bx 0

DEFINITIE

Un vector x = (x1,x2, . . . ,xn)T Rn se numeste solutie posibila daca satisface

sistemul de restrictii (2) si conditiile de nenegativitate (3).

O solutie posibila care satisface si conditia de optim (1) se numeste solutie optima.

DEFINITIE

Se numeste baza a sistemului de restrictii Ax = b, cu rangA = m, orice submatrice

28

patratica a lui A formata cu m coloane liniar independente.

OBSERVATIE. Coloanele unei baze a sistemului de restrictii formeaza o baza a

spatiului vectorial (Rm,R).

Notam cu a j = (a1 j,a2 j, . . . ,am j)T Rm, j = 1, . . . ,n, coloanele matricei A. Daca

B =(ai1 ai2 . . . aim

)Mm(R) este o baza, notam cu S Mm,nm(R) matriceaformata cu coloanele lui A care nu sunt n B.

DEFINITIE

Cele m variabile asociate coloanelor matricei B se numesc variabile de baza. Ele

formeaza un subvector xB al lui x.

Cele nm variabile ramase (asociate coloanelor matricei S) se numesc variabilesecundare. Ele formeaza un subvector xS al lui x.

Coeficientii variabilelor de baza din functia obiectiv formeaza un subvector cBal lui c, iar coeficientii variabilelor secundare din functia obiectiv formeaza un

subvector cS al lui c. Atunci putem scrie:

f (x) = cT x f (x) = cTBxB + cTS xSsi

Ax = b xB = B1bB1SxSRelatia ncadrata se numeste forma explicita a sistemului de restrictii.

Daca xS = 0, obtinem solutia unica xB = B1b.

DEFINITIE

Se numeste solutie posibila de baza asociata bazei B o solutie posibila

x =(xB xS

)T Rn cu xB = B1b si xS = 0.O solutie optima de baza asociata bazei B nseamna o solutie optima

x =(xB xS

)T Rn cu xB = B1b si xS = 0.

OBSERVATIE. Pentru gasirea solutiei optime a unei P.P.L., este suficient sa inves-

tigam solutiile posibile de baza (a se vedea [1]).

29

Test de autoevaluare

O firma de constructii trebuie sa realizeze un complex de locuinte care sa cuprinda

cel putin 900 de garsoniere, cel putin 2100 de apartamente cu doua camere si cel

putin 1400 de apartamente cu trei camere. Firma doreste sa construiasca doua

tipuri de blocuri, M1 si M2. Blocurile de tipul M1 contin 10 de garsoniere, 30

de apartamente cu doua camere si 40 de apartamente cu trei camere. Blocurile

de tipul M2 contin 30 de garsoniere, 50 de apartamente cu doua camere si 20 de

apartamente cu trei camere. Constructia unui bloc de tipul M1 costa 40 de milioane

de unitati monetare, iar a unui bloc de tipul M2 costa 50 de milioane de unitati

monetare. Cate blocuri trebuie construite din fiecare tip, astfel ncat cheltuielile

totale de constructie sa fie minime?

a) Elaborati modelul matematic al acestei probleme de programare liniara.

b) Aduceti modelul la forma standard.

Bibliografie





30


ALGORITMUL SIMPLEX

Cuprins

5.1 Introducere




5.4.1 Etapele algoritmului simplex

5.4.2 Complicatii ale metodei simplex


Bibliografie

5.1 Introducere

In aceasta unitate de nvatare, studiem o metoda metoda computationala pentru

rezolvarea modelelor matematice ale problemelor de programare liniara, numita

algoritmul simplex.



familiarizarea studentilor cu o metoda computationala eficienta pentru re-zolvarea modelelor matematice ale problemelor de programare liniara.

31



sa aplicati algoritmul simplex pentru a gasi solutia optima a unei problemede programare liniara.


5.4.1 Etapele algoritmului simplex

Pasul 0. Aducem P.P.L. la forma standard:

[optim] f (x) = cT xAx = bx 0

unde rangA = m < n si b 0. Punem n evidenta vectorii coloana ai matricei A:

A =(a1 a2 an

), a j Rn, j = 1, . . . ,n.

Presupunem ca printre coloanele matricei A exista cei m vectori unitari

care formeaza matricea unitate de ordin m, fie acestia ai1 , ai2 , . . ., aim ,unde i1, i2, . . ., im {1, . . . ,m}.

Baza initiala este B =(ai1 ai2 . . . aim

)= Im.

Solutia posibila de baza, initiala, este x = (xB xS)T = (b 0)T .

Structura tabelului simplex corespunzator unei baze B este urmatoarea:

B cB xB c1 cn c ja1 an

Coeficientiidin expresia Coordonatele Coordonatele

Lista functiei Valorile vectorului vectoruluivectorilor obiectiv f variabilelor a1 anbazei B ai variabilelor de baza n baza B n baza B

de baza

/// f j fB f1 fn /// j /// 1 n ///

n care:

aBj = B1a j este vectorul coordonatelor vectorului a j n baza B, j =

1, . . . ,n.

fB = cTBxB este valoarea functiei obiectiv corespunzatoare solutiei posi-

bile de baza.

32

f j = cTBa

Bj , j = 1, . . . ,n.

j =

{c j f j, daca problema este de maximf j c j, daca problema este de minim

j = 1, . . . ,n.

Pasul 1 (Testul de optim). Daca j 0, j = 1, . . . ,n , solutia curenta este op-tima. STOP. Altfel, trecem la pasul 2.

Pasul 2 (Intrarea n baza). Intra n baza vectorul a j caruia i corespunde cea mai

mare diferenta j pozitiva.

Pasul 3 (Testul de optim infinit). Daca toate componentele n vechea baza ale

vectorului care intra n baza sunt negative, atunci P.P.L. are optim infinit: fmax =+ (daca problema este de maxim), respectiv fmin = (daca problema este deminim). STOP. Altfel, trecem la pasul 4.

Pasul 4 (Iesirea din baza). Impartim componentele lui xB corespunzatoare com-

ponentelor strict pozitive de pe coloana vectorului care intra n baza la aceste com-

ponente strict pozitive. Cel mai mic dintre aceste rapoarte, notat cu , ne indica

vectorul care iese din baza.

Elementul ce se gaseste la intersectia coloanei vectorului care intra n baza cu linia

vectorului eliminat din baza se numeste pivot.

Pasul 5. Completam tabelul simplex corespunzator noii baze B astfel:

Scriem vectorii noii baze B n coloana B. Scriem coeficientii din expresia functiei f ai variabilelor de baza n coloana

cB.

Coloanele vectorilor bazei sunt vectori unitari (1 la intersectia liniei vectoru-lui cu coloana aceluiasi vector si 0 n rest).

Valorile nedeterminate nca de pe linia pivotului se obtin mpartind valorilevechi la pivot (Linia pivotului se mparte la pivot).

Restul valorilor de pe liniile corespunzatoare vectorilor din baza le calculamcu regula dreptunghiului:

Vechea valoare se nmulteste cu pivotul (ele determina o diagonala ntr-

un dreptunghi). Din acest produs se scade produsul elementelor de pe

cealalta diagonala si diferenta se mparte la pivot.

Calculam valorile fB, f1, . . . , fn si 1, . . . ,n cu formulele de la pasul 1.

33

Dupa ce noul tabel simplex este completat, trecem la pasul 1.

Exemplu Sa rezolvam problema de programare liniara:

[min] f (x) = x1 +2x2 + x3{x1 + x3 4

x2 +2x3 6x1,x2,x3 0.

Aducem problema la forma standard:

[min] f (x) = x1 +2x2 + x3 +0x4 +0x5{x1 + x3 x4 = 4x2 +2x3 + x5 = 6

x j 0 j = 1, . . . ,5

Matricea sistemului de restrictii este:

a1 a2 a3 a4 a5

A =

(1 0 1 1 00 1 2 0 1

)M2,5(R),

Baza initiala este B =(a1 a2

)=

(1 0

0 1

)= I2. Tabelul simplex corespunzator

bazei initiale este:

B cB xB 1 2 1 0 0 c ja1 a2 a3 a4 a5

a1 1 4 1 0 1 1 0 41 = 4

a2 2 6 0 1 2 0 1 62 = 3//// f j 16 1 2 5 1 2 //// j = f j c j //// 0 0 4 1 2 ////

Iteratia 1.

Testul de optim. Solutia posibila de baza initiala nu este optima. Intrarea n baza. Vectorul a3 intra n baza. Testul de optim infinit. Nu se semnaleaza optim infinit. Iesirea din baza. Vectorul a2 iese din baza.

Tabelul simplex corespunzator noii baze B = (a1 a3)=(

1 1

0 2

)este

34

B cB xB 1 2 1 0 0

a1 a2 a3 a4 a5

a1 1 1 1 12 0 1 12

a3 1 3 012

1 0 12

//// f j 4 1 0 1 1 0 j = f j c j //// 0 2 0 1 0

Iteratia 2.

Testul de optim. Deoarece j 0, j = 1, . . . ,5, rezulta ca solutia posibilade baza curenta este optima. STOP.

Solutia optima este x1 = 1, x2 = 0, x3 = 3, x4 = 0 si x5 = 0. Asadar, solutia optimaa problemei initiale este x1 = 1, x2 = 0 si x3 = 3, cu fmin = 4.

5.4.2 Complicatii ale metodei simplex

Matricea sistemului de restrictii nu contine matricea unitate

Daca matricea A nu contine matricea unitate de ordin m, atunci aplicam metoda

penalizarii (a se vedea unitatea de nvatare urmatoare si lucrarile [1] si [2]).

Metoda perturbatiilor

Se aplica pentru a determina vectorul care iese din baza atunci cand exista mai

multe rapoarte minime egale (a se vedea manualul [1]).


Rezolvati problema de programare liniara:

[max] f (x) = 2x1 + x2{x1 x2 43x1 x2 18

x1,x2 0.

Bibliografie





35


METODA PENALIZARII

Cuprins

6.1 Introducere




6.4.1 Metoda penalizarii


Bibliografie

6.1 Introducere

In aceasta unitate de nvatare, vom prezenta o metoda pentru producerea unei baze

initiale matricea unitate atunci cand aceasta nu se gaseste n matricea sistemului

de restrictii.



studiul unui caz special care poate aparea n rezolvarea modelelor mate-matice ale problemelor de programare liniara.

36



sa aplicati metoda penalizarii pentru a determina o baza initiala, atunci candmatricea unitate nu se gaseste n matricea sistemului de restrictii.

sa rezolvati cu algoritmul simplex problema de programare liniara n carebaza initiala a fost obtinuta n urma aplicarii metodei penalizarii.


6.4.1 Metoda penalizarii

Consideram o problema de programare liniara adusa la forma standard:

[optim] f (x) = cT xAx = bx 0n

.

unde A Mm,n(R), rangA = m < n, b Rm, b 0m, c,x Rn.

Metoda penalizarii

Presupunem ca printre coloanele matricei A exista r vectori unitari, unde 0 r

b) n cazul problemei de minim are forma:

[min] f (x) = cT x+My1 +My2 + . . .+MymrAx+Ey = bx 0n, y 0mr

unde x =(x y

)T Rn+mr si M (M > 0 oricat de mare), iar E Mm,mr(R) este o matrice ale carei coloane sunt numai vectori unitari.

Matricea A Mm,n+mr(R) a sistemului de restrictii ale problemei extinsecontine matricea unitate de ordin m, deci avem acum o baza initiala B = Imcu care putem ncepe aplicarea algoritmului simplex.

Exemplu Sa rezolvam problema de programare liniara:

[max] f (x) = 3x1 +5x2{2x1 +3x2 6x1 +2x2 1

x1,x2 0.

Aducem problema la forma standard:

[max] f (x) = 3x1 +5x2 +0x3 +0x4{2x1 +3x2 + x3 = 6x1 +2x2 x4 = 1

x1,x2,x3,x4 0.Matricea sistemului de restrictii este:

a1 a2 a3 a4

A =

(2 3 1 0

1 2 0 1)M2,4(R).

Pentru a obtine baza initiala matricea unitate, aplicam metoda penalizarii. Obtinem,

problema extinsa:

[max] f (x) = 3x1 +5x2 +0x3 +0x4My (M ){2x1 +3x2 + x3 = 6x1 +2x2 x4 + y = 1

x1,x2,x3,x4,y 0.

unde x = (x1,x2,x3,x4,y)T . Matricea noului sistem de restrictii este

a1 a2 a3 a4

A =

(2 3 1 0 0

1 2 0 1 1)M2,5(R).

38

unde este coloana corespunzatoare variabilei artificiale y.

Baza initiala este B =(a3

)=

(1 0

0 1

)= I2.

Tabelul simplex corespunzator bazei initiale este

B cB xB 3 5 0 0 M c ja1 a2 a3 a4

a3 0 6 2 3 1 0 063= 2

M 1 1 2 0 1 1 12

//// f j M M 2M 0 M M //// j = c j f j //// 3+M 5+2M 0 M 0 ////

Iteratia 1.

Testul de optim. Solutia posibila de baza curenta nu este optima. Intrarea n baza. a2 intra n baza. Testul de optim infinit. Nu se semnaleaza optim infinit. Iesirea din baza. iese din baza.


1 3

0 2

)este

B cB xB 3 5 0 0 M c ja1 a2 a3 a4

a3 0 92 12 0 1 32 32 92 : 32 = 3

a2 512

12

1 0 12

12

//// f j

52

52

5 0 52

52

////

j = c j f j //// 12 0 0 52 M 52 ////Iteratia 2.

Testul de optim. Solutia posibila de baza curenta nu este optima. Intrarea n baza. a4 intra n baza. Testul de optim infinit. Nu se semnaleaza optim infinit. Iesirea din baza. a3 iese din baza.


0 3

1 2)

este

39

B cB xB 3 5 0 0 Ma1 a2 a3 a4

a4 0 313

0 23

1 1

a2 5 223

1 13

0 0

//// f j 10103

5 53

0 0

j = c j f j //// 13 0 53 0 MIteratia 3.

Testul de optim. Avem j 0, j = 1, . . . ,5. Prin urmare, solutia posibilade baza curenta este optima. STOP.

In baza nu se gaseste nici un vector artificial, deci solutia optima a problemei

extinse

x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 3, y = 0 si fmax = 10.

este si solutie optima pentru problema initiala:

x1 = 0, x2 = 2 si fmax = 10.


Rezolvati problema de programare liniara:

[min] f (x) = 5x1 +2x2{x1 +2x2 22x1 + x2 3

x1,x2 0.

Bibliografie





40


PROBLEMA

TRANSPORTURILOR

Cuprins

7.1 Introducere




7.4.1 Problema transporturilor echilibrata

7.4.2 Problema transporturilor neechilibrata


Bibliografie

7.1 Introducere

Un caz particular de problema de programare liniara, a carui rezolvare este de-

osebit de utila datorita multiplelor sale aplicatii practice, este obtinut prin mode-

larea problemelor de transport.

7.2 Obiectivele unitatii de studiu

Obiectivele acestei unitati de nvatare sunt:

familiarizarea studentilor cu modelarea matematica a unor probleme economi-ce.

41

prezentarea unei metode pentru rezolvarea unui probleme speciale de pro-gramare liniara, numita problema de transport.



sa modelati matematic o problema de transport. sa echilibrati o problema de transport neechilibrata. sa determinati o solutie posibila de baza initiala, nedegenerata, folosind

metoda coltului de Nord-Vest.

sa gasiti solutia optima a unei probleme de transport folosind metoda potentia-lelor.


7.4.1 Problema transporturilor echilibrata

Enuntul general al problemei transporturilor:

Se considera m centre furnizoare (depozite) A1,A2, . . . ,Am, n care este disponibilun produs omogen n cantitatile cunoscute a1,a2, . . . ,am, si n centre de consum(beneficiari) B1,B2, . . . ,Bn, unde acel produs este necesar n cantitatile cunoscuteb1,b2, . . . ,bn. Cunoscand costurile unitare de transport ci j, i = 1,m, j = 1,n, de lafiecare centru furnizor la fiecare centru de consum, sa se afle cantitatile de produs

care trebuie transportate de la fiecare depozit la fiecare beneficiar astfel ncat can-

titatile necesare n centrele consumatoare sa fie asigurate n cea mai mare masura,

iar costul total de transport sa fie minim.

Datele unei probleme de transport pot fi cuprinse ntr-un tabel de tipul urmator:

HH

HHHH

Ai

B jB1 B j Bn Disponibil

A1 c11 c1 j c1n a1...

......

......

Ai ci1 ci j cin ai...

......

......

Am cm1 cm j cmn am

Necesar b1 b j bn

HH

HH

HHH

HH

HH

n

j=1

b j

m

i=1

ai

42

Fie xi j cantitatea, necunoscuta, de produs care trebuie transportata de la depozitul

Ai la beneficiarul B j, i = 1,m, j = 1,n. Obtinem astfel matricea necunoscutelor:

X = (xi j)i=1,m, j=1,n Mm,n(R).

Presupunem ca sunt ndeplinite urmatoarele conditii:

Cantitatea totala de produs expediata din depozitul Ai catre cei n beneficiari

B1, . . . ,Bn este egala cu disponibilul din Ai.

Cantitatea totala de produs primita de beneficiarul B j de la cele m depozite

A1, . . . ,Am este egala cu necesarul lui B j.

Cantitatile transportate trebuie sa fie nenegative.

Modelul matematic al problemei transporturilor:

(P.T.)

[min] f (X) =m

i=1

n

j=1

ci jxi j

n

j=1

xi j = ai, i = 1,m

m

i=1

xi j = b j, j = 1,n

xi j 0, i = 1,m, j = 1,n

unde xi j este cantitatea (necunoscuta) de produs care trebuie transportata de la

depozitul Ai la beneficiarul B j, i = 1,m, j = 1,n.

Notam:

D =m

i=1

ai disponibilul total.

N =n

j=1

b j necesarul total.

Tipuri de probleme de transport

Daca D = N, spunem ca problema transporturilor este echilibrata. In caz contrar (D < N sau D > N), spunem ca problema transporturilor este

neechilibrata.

Proprietati ale problemei de transport echilibrate

Problema de transport echilibrata admite cel putin o solutie posibila. Problema de transport echilibrata are ntotdeauna o solutie optima. Rangul matricei sistemului de restrictii este m+n1.

43

O solutie posibila de baza nedegenerata pentru problema transporturilorare m+n1 componente strict pozitive (si restul nule), iar o solutie posibilade baza degenerata are un numar de componente strict pozitive strict mai

mic decat m+n1.

7.4.2 Problema transporturilor neechilibrata

Transformarea unei probleme de transport neechilibrate ntr-o problema echi-

librata

Daca D > N, consideram un beneficiar fictiv, al carui necesar este DN sipentru care costurile unitare de transport sunt nule.

Daca D < N, consideram un furnizor fictiv, al carui necesar este ND sipentru care costurile unitare de transport sunt nule.

Rezolvarea unei probleme de transport

Pasul 0. Daca P.T. nu este echilibrata (D 6= N), atunci echilibram problema.Pasul 1. Determinam o solutie posibila de baza nedegenerata, initiala, X0, cu

metoda coltului de Nord-Vest:

Fie X = (xi j)i=1,m, j=1,n Mm,n(R) matricea necunoscutelor problemei. Efectuamcalculele necesare ntr-un tabel cu m+1 linii si n+1 coloane de tipul:

x11 x12 x1n a1x21 x22 x2n a2...

......

......

xm1 xm2 xmn amb1 b2 bn

pe care l consideram orientat precum o harta n functie de punctele cardinale:

Nord, Sud, Est, Vest.

Determinam valoarea necunoscutei aflate n coltul de NV al tabelului, fie aceasta

xkp. Atunci:

xkp = min{ak,bp}Se scade xkp din disponibilul ak si din necesarul bp.

Daca se anuleaza disponibilul, atunci necunoscutele nedeterminate de pelinia k se egaleaza cu 0.

Daca se anuleaza necesarul, atunci necunoscutele nedeterminate de pe coloanap se egaleaza cu 0.

44

Procedam n acest fel pana cand determinam toate elementele matricei X .

Pasul 2. Verificam daca solutia posibila de baza curenta este optima. Pentru

aceasta, asociem fiecarei componente xi j > 0 a lui X o ecuatie de tipul

ui + v j = ci j ,

obtinand astfel un sistem de m+ n 1 ecuatii linare cu m+ n necunoscute (ui siv j). Rezolvam sistemul luand u1 = 0.

Cu valorile ui si v j determinate calculam costurile fictive ci j = ui + v j . Apoi

determinam matricea de elemente

i j = ci j ci j , i = 1,m, j = 1,n.

(Testul de optim). Daca i j 0, i = 1,m, j = 1,n, atunci solutia posibilade baza curenta este optima. STOP.

Daca exista i j > 0, solutia nu este optima si trecem la pasul 3.

Pasul 3. Determinam o noua solutie posibila de baza, nedegenerata, folosind

metoda potentialelor:

Aflam valoarea kp = max{i j | i j > 0}, careia i corespunde xkp = 0 n matriceaX . Pornind din celula (k, p) a lui X , construim un contur poligonal nchis (ciclude celule) avand toate celelalte varfuri n celule cu componente nenule ale lui X si

unghiuri de masuri multipli impari de 90 n fiecare varf.Pornind din varful n care se gaseste valoarea xkp = 0, adunam si scadem alternativcantitatea > 0, obtinand astfel n varfuri niste valori depinzand de . Luam cavaloare pentru cel mai mic descazut si obtinem o noua solutie posibila de baza

X . Verificam daca noua solutie posibila de baza este optima (revenim la pasul 2).

Continuam astfel pana la gasirea solutiei optime.

Exemplu Sa rezolvam problema de transport:

HHH

HHH

Ai

B jB1 B2 Disponibil

A1 8 2 6

A2 4 4 9

A3 15 12 10

Necesar 8 14H

HH

HHH

22

25

Deoarece D > N, pentru a echilibra problema, consideram un beneficiar fictiv B3,al carui necesar este b3 = DN = 2522 = 3 si pentru care costurile unitare de

45

transport sunt nule. Obtinem problema extinsa echilibrata:

HH

HH

HHAi

B jB1 B2 B3 Disponibil

A1 8 2 0 6

A2 4 4 0 9

A3 15 12 0 10

Necesar 8 14 3H

HH

HHH

25

25

Avem m = 3 furnizori si n = 3 beneficiari.

Matricea costurilor unitare de transport este

C =

c11 c12 c13c21 c22 c23

c31 c32 c33

=

8 2 04 4 0

15 12 0

M3(R).

Matricea necunoscutelor este

X =

x11 x12 x13x21 x22 x23

x31 x32 x33

M3(R).

Functia obiectiv, care trebuie minimizata, este

f (X)=3

i=1

3

j=1

ci jxi j = 8x11+2x12+0x13+4x21+4x22+0x23+15x31+12x32+0x33.

Determinam o solutie posibila de baza nedegenerata, initiala, X0, cu metodacoltului de Nord-Vest:

6 0 0 6 6 02 7 0 6 9 6 7 00 7 3 6 10 6 3 06 8 6 14 6 36 2 6 7 00 0

Solutia obtinuta este

X0 =

6 0 02 7 0

0 7 3

,

care are 5 componente nenule, deci este nedegenerata. Costul lui X0 este:

f (X0) = 8 6+4 2+4 7+12 7+0 3 = 168.

46

Verificam daca X0 este solutie optima.

x11 u1 + v1 = c11x21 u2 + v1 = c21x22 u2 + v2 = c22x32 u3 + v2 = c32x33 u3 + v3 = c33

=

u1 + v1 = 8u1=0= v1 = 8

u2 + v1 = 4 = u2 =4u2 + v2 = 4 = v2 = 8u3 + v2 = 12 = u3 = 4u3 + v3 = 0 = v3 =4

X0

HH

HH

HHui

v jv1 = 8 v2 = 8 v3 =4 i j = ci j ci j

6 0 0 u1 = 0 8 8 4 0 6 42 7 0 u2 =4 4 4 8 0 0 80 7 3 u3 = 4 12 12 0 3 0 0

ci j = ui + v j

Testul de optim (i j 0, i, j) nu este ndeplinit, deci solutia X0 nu este optima. Determinam o noua solutie posibila de baza, nedegenerata, X1. Avem:

max{i j | i j > 0}= 12 = 6,

caruia i corespunde x12 = 0 n solutia X0. Ciclul corespunzator lui x12 este:

6 0

2 7

=6

2+ 7=

6 02+ 7 0

0 7 3

.

= min{6,7}= 6.Obtinem astfel o noua solutie de baza nedegenerata

X1 =

0 6 08 1 0

0 7 3

.

Verificam optimalitatea lui X1:

x12 u1 + v2 = c12x21 u2 + v1 = c21x22 u2 + v2 = c22x32 u3 + v2 = c32x33 u3 + v3 = c33

=

u1 + v2 = 2u1=0= v2 = 2

u2 + v1 = 4 = v1 = 2u2 + v2 = 4 = u2 = 2u3 + v2 = 12 = u3 = 10u3 + v3 = 0 = v3 =10

47

X1

HHH

HHH

ui

v jv1 = 2 v2 = 2 v3 =10 i j = ci j ci j

0 6 0 u1 = 0 2 2 10 6 0 108 1 0 u2 = 2 4 4 8 0 0 80 7 3 u3 = 10 12 12 0 3 0 0

ci j = ui + v j

Testul de optim (i j 0, i, j) este ndeplinit. STOP. Solutia optima este X1, iarcostul total minim de transport este:

f (X1) = 2 6+4 8+4 1+12 7+0 3 = 132.


Rezolvati problema de transport:

HH

HHHH

Ai

B jB1 B2 B3 Disponibil

A1 2 1 3 30

A2 1 4 2 70

Necesar 20 40 60

PP

PPP

PPPP

120

100

Bibliografie





48

TEST DE CONTROL

MODULUL II

1. Rezolvati problema de programare liniara:

[max] f (x) = 2x1 +7x2{x1 +2x2 22x1 + x2 3

x1,x2 0.

2. Rezolvati problema de transport:

HHH

HHH

Ai

B jB1 B2 Disponibil

A1 20 10 500

A2 5 15 300

A3 25 18 200

Necesar 400 250

PP

PPP

PPPP

650

1000

Barem de notare:

1. 2. Oficiu

5 puncte 4 puncte 1 punct

Timp de lucru: 2 ore.

49

Modulul III

COMPLEMENTE DE

ANALIZA MATEMATICA

50


SIRURI NUMERICE

Cuprins

8.1 Introducere




8.4.1 Siruri de numere reale. Siruri monotone, siruri marginite

8.4.2 Limita unui sir de numere reale

8.4.3 Proprietati privind monotonia, marginirea si convergenta

8.4.4 Siruri remarcabile


Bibliografie

8.1 Introducere

In aceasta unitate de nvatare vom prezenta, pe scurt, unele chestiuni de baza

privind sirurile de numere reale.



recapitularea unor chestiuni privind sirurile de numere reale care vor fi uti-lizate n studiul seriilor numerice ntrepins n unitatea de nvatare 9.

51



sa stabiliti daca un sir de numere reale este crescator sau descrescator. sa stabiliti daca un sir de numere reale este marginit sau nemarginit. sa calculati limita unui sir de numere reale.


8.4.1 Siruri de numere reale. Siruri monotone, siruri marginite

DEFINITIE

Se numeste sir de numere reale o functie a : NR. Notand an = a(n), sirul sescrie (an)nN sau (an)n1 , iar an se numeste termenul general al sirului.

Uneori functia care defineste sirul este definita pe N si atunci sirul ncepe cu ter-

menul de rang 0, adica se scrie concentrat sub forma (an)nN sau (an)n0 .

DEFINITIE

Un sir de numere reale (an)n1 se numeste:

1) crescator (respectiv strict crescator) daca

an an+1 (respectiv an < an+1 ), pentru orice n N.

2) descrescator (respectiv strict descrescator) daca

an an+1 (respectiv an > an+1 ), pentru orice n N.

3) monoton (respectiv strict monoton) daca este crescator sau descrescator (re-

spectiv strict crescator sau strict descrescator).

DEFINITIE

Un sir de numere reale (an)n1 se numeste:

1) marginit superior daca exista M R astfel ncat an M, pentru orice n N.

52

2) marginit inferior daca exista m R astfel ncat an m, pentru orice n N.3) marginit daca este marginit superior si inferior, adica daca exista m,M R

astfel ncat m an M, pentru orice n N.

DEFINITIE

Daca a1,a2, . . . ,an, . . . este un sir, numim subsir al sau orice sir de forma

an1 ,an2 , . . . ,ank , . . . ,

unde n1,n2, . . . ,nk, . . . este un sir strict crescator de numere naturale. Un subsir alsirului (an)n1 se noteaza concentrat sub forma (ank)k1.

8.4.2 Limita unui sir de numere reale

Reamintim ca multimea R=R{,+} se numeste dreapta reala ncheiata,iar elementele ei se numesc puncte. In aceasta multime, numerele reale se mai

numesc numere finite, iar + si se numesc numere infinite.DEFINITIE

Fie a R si V R. Spunem ca multimea V este o vecinatate a punctului a daca:

1) atunci cand a R, exista > 0 astfel ncat (a ,a+ )V .2) atunci cand a = , exista > 0 astfel ncat (,]V .3) atunci cand a =, exista > 0 astfel ncat [,)V .

DEFINITIE

Fie (an)n1 un sir de numere reale si R. Spunem ca sirul (an)n1 are limita si scriem lim

n an = sau an daca orice vecinatate a lui contine toti termeniisirului de la un rang ncolo.

DEFINITIE

Spunem ca un sir (an)n1 de numere reale:

1) este convergent daca are limita finita(

limn an R

).

53

2) este divergent daca nu este convergent, adica fie are limita infinita (+ sau), fie nu are limita.

OBSERVATIE. Daca un sir are limita, atunci aceasta este unica!

Teorema (de caracterizare cu a limitelor de siruri)

Daca (an)n1 un sir de numere reale, atunci exista echivalentele:

1) limn an = > 0, n N

astfel ncat n n, |an |< .

2) limn an =+ > 0, n N

astfel ncat n n, an > .

3) limn an = > 0, n N

astfel ncat n n, an 0, n N astfel ncat n,m n, |anam|< .

54

Conditia precedenta este echivalenta cu urmatoarea:

> 0, n N astfel ncat n n si p N, |an+pan|< .

Teorema

1) Orice sir fundamental este marginit.

2) Daca un sir fundamental contine un subsir convergent, atunci el este conver-

gent.

Criteriul lui Cauchy

Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir fundamental.

Exemplu Sa studiem convergenta sirului (an)n1 avand termenul general

an =cosx

3+

cos2x

32+ + cosnx

3n, n N.

Stabilim, ntai, daca sirul dat este fundamental. Daca p N este arbitrar, atunci:

|an+pan|= 13n+1 + 13n+2 + + 13n+p

1

3n+1

(1+

1

3+ + 1

3p1

) 0,

deci pentru orice > 0, exista un rang n N astfel ncat, pentru orice n n siorice pN, avem |an+pan|< , adica sirul (an)n1 este fundamental. Conformcriteriului lui Cauchy, rezulta ca sirul (an)n1 este convergent.

8.4.4 Siruri remarcabile

1. Sirul exponential cu baza q, adica sirul cu termenul general xn = qn, n N,

unde q R:

limn q

n =

nu exista, daca q10, daca 1 < q < 11, daca q = 1

, daca q > 1.

2. Sirul putere de exponent a, adica sirul cu termenul general xn = na, n N,

unde a R:

55

limn n

a =

0, daca a < 0

1, daca a = 0

, daca a > 0.

3. Sirul(P(n)

)n1, cu P functie reala polinomiala:

P(x) = akxk +ak1xk1 + +a1x+a0, grad(P) = k, ak 6= 0.

limn P(n) = ak =

{, daca ak > 0

, daca ak < 0.

4. Sirul

(P(n)

Q(n)

)n1

, cu P, Q functii reale polinomiale:

P(x) = apxp +ap1xp1 + +a1x+a0, grad(P) = p, ap 6= 0

Q(x) = bqxq +bq1xq1 + +b1x+b0, grad(Q) = q, bq 6= 0.

limn

P(n)

Q(n)=

0, daca p < qap

bq, daca p = q

, daca p > q siap

bq> 0

, daca p > q si apbq

< 0.

Exemple

1) limn n = ; limn n

3 = ; limn

n = lim

n n12 = .

2) limn

1

n= lim

n n1 = 0; lim

n1

n

n= lim

n n 3

2 = 0.

3) limn

n5 +7n312n93n52n4 +7n3 +n2 =

1

3; lim

n3n

3n2 +n+1= 0.


1. Folosind criteriul lui Cauchy, studiati convergenta sirului avand termenul gen-

eral:

an =cosx

7+

cos2x

72+ + cosnx

7n, n N.

56

2. Calculati limn an, unde:

a) an = n2 +7n+5; b) an =

(12

)n+

3

n5; c) an =

4n +2n +1

9 4n .

Bibliografie





57


SERII NUMERICE

Cuprins

9.1 Introducere




9.4.1 Serii cu termeni oarecare

9.4.2 Serii alternate

9.4.3 Serii cu termeni pozitivi


Bibliografie

9.1 Introducere

Seriile numerice constituie un instrument matematic deosebit de util care permite

evaluarea, n anumite conditii, a sumelor infinite de numere.


Obiectivele acestei unitati de nvatare sunt urmatoarele:

familiarizarea studentilor cu notiunea de serie de numere reale. ntelegerea importantei acestei notiuni matematice.

58



sa recunoasteti diversele tipuri de serii de numere reale. sa aplicati diverse criterii pentru a stabili daca o serie de numere reale este

convergenta sau divergenta.

sa evaluati suma unei serii de numere reale (n cazul n care seria are suma).


9.4.1 Serii cu termeni oarecare

DEFINITIE

Fie (un)n1 un sir de numere reale. Expresia formala u1 + u2 + + un + senumeste serie de numere reale si se noteaza prescurtat

n=1

un sau n1

un.

un se numeste termenul general al seriei

n=1

un.

Sirul de numere reale (Sn)n1 definit prin termenul general Sn =n

k=1

uk se numeste

sirul sumelor partiale ale seriei

n=1

un.

DEFINITIE

Spunem ca seria

n=1

un este:

1) convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn)n1 este convergent. Daca

S = limn Sn ,

spunem ca S este suma seriei

n=1

un si scriem

n=1

un = S .

2) divergenta daca sirul sumelor sale partiale (Sn)n1:

59

i) are limita infinita: limn Sn =+ sau limn Sn = . Spunem atunci ca

suma seriei

n=1

un este +, respectiv si scriem

n=1

un =+ , respec-

tiv

n=1

un = .

ii) nu are limita. Spunem atunci ca seria

n=1

un nu are suma. O astfel de serie

se numeste oscilanta.

Calitatea unei serii de a fi convergenta sau divergenta constituie natura seriei.

Proprietati ale seriilor

1. Daca ntr-o serie schimbam ordinea unui numar finit de termeni ai sai, natura

seriei nu se schimba.

2. Daca la o serie adaugam sau eliminam un numar finit de termeni, natura seriei

nu se schimba.

3. (Criteriul necesar de convergenta). Daca seria

n=1

un este convergenta, atunci

limn un = 0.

Reciproca este falsa!

4. (Criteriu de divergenta). Daca limn un 6= 0 sau nu exista, atunci seria

n=1

un este

divergenta.

9.4.2 Serii alternate

DEFINITIE

O serie numerica de forma

n=1

(1)n+1un = u1u2 +u3u4 + +(1)n+1un + ,

unde un > 0, n N, se numeste serie alternata.

60

Criteriul lui Leibniz (Criteriu de convergenta pentru serii alternate)

Daca pentru seria alternata

n=1

(1)n+1un (un > 0, n N) sunt ndepliniteconditiile

1) sirul (un)n1 este descrescator si

2) limn un = 0,

atunci seria este convergenta.

Exemplu Sa consideram seria

n=1

(1)n1 1n

, numita seria armonica alternata.

Avem un =1n. Verificam ipotezele din criteriul lui Leibniz:

un+1 un = 1n(n+1)

< 0, n N, deci un > un+1, n N, adica sirul(un)n1 este descrescator.

limn un = limn

1

n= 0.

Conform criteriului lui Leibniz, rezulta ca seria data este convergenta.

9.4.3 Serii cu termeni pozitivi

DEFINITIE

O serie numerica

n=1

un se numeste serie cu termeni pozitivi daca un > 0, pentru

orice n N.

Exemple remarcabile de serii cu termeni pozitivi

1. Seria geometrica de ratie r > 0:

n=0

rn = 1+ r+ r2 + + rn +

Daca 0 < r < 1 , seria

n=0

rn este convergenta si are suma 11r .

Daca r 1 , seria

n=0

rn este divergenta si are suma +.

61

2. Seria armonica simpla:

n=1

1

n= 1+

1

2+

1

3+ + 1

n+

Seria armonica simpla este divergenta.

3. Seria armonica generalizata:

n=1

1

n= 1+

1

2+

1

3+ + 1

n+ ( R)

Daca 1 , seria

n=1

1n

este divergenta.

Daca > 1 , seria

n=1

1n

este convergenta.

Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi

Criteriul comparatiei

Fie

n=1

un,

n=1

vn doua serii cu termeni pozitivi pentru care exista un n0 N astfelncat

un vn, n n0.Atunci:

1)

n=1

vn convergenta =

n=1

un convergenta.

2)

n=1

un divergenta =

n=1

vn divergenta.

Exemplu Fie seria cu termeni pozitivi

n=1

15+2n . Avem inegalitatea evidenta:

un =1

5+2n 1 = seria

n=1

un este divergenta;

3) = 1 = nu putem stabili natura seriei cu acest criteriu.


n=1

(7n+25n+3

)n. Avem: un =

(7n+25n+3

)n. Atunci:

limn

n

un = limn

n

(7n+2

5n+3

)n= lim

n7n+2

5n+3=

7

5> 1.

Conform criteriului radicalului, punctul 2), rezulta ca seria data este divergenta.

Criteriul raportului

Fie

n=1

un o serie cu termeni pozitivi si = limn

un+1

un. Atunci:

1) < 1 = seria

n=1

un este convergenta;

2) > 1 = seria

n=1

un este divergenta;



n=1

(n3+2)2n

n!. Avem: un =

(n3 +2)2n

n!.

Atunci:

limn

un+1

un= lim

n2(n3 +3n2 +3n+3)

(n+1)(n3 +2)= 0 < 1.

Conform criteriului raportului, punctul 1), rezulta ca seria data este convergenta.

63

Criteriul Raabe-Duhamel

Fie

n=1

un o serie cu termeni pozitivi si = limn n

(un

un+11)

. Atunci:

1) < 1 = seria

n=1

un este divergenta;

2) > 1 = seria

n=1

un este convergenta;


OBSERVATIE. Criteriul Raabe-Duhamel se aplica, de obicei, atunci cand n cazul

criteriului raportului avem = 1.


Studiati natura urmatoarelor serii numerice:

a)

n=1

n

(n+1)!; b)

n=1

n(n+1)

7n9 ; c)

n=1

n+1n

d)

n=1

30n

n!; e)

n=1

(1)n+15

n.

Bibliografie





64


EXTREMELE FUNCTIILOR

DE MAI MULTE VARIABILE

Cuprins

10.1 Introducere




10.4.1 Functii de mai multe variabile

10.4.2 Extremele functiilor de doua variabile

10.4.3 Extremele functiilor de n variabile


Bibliografie

10.1 Introducere

Studiul functiilor reale de mai multe variabile reale este foarte util pentru cer-

cetarea fenomenelor economice, deoarece multe marimi din economie pot fi repre-

zentate prin functii de acest fel, care depind de diversi factori cantitativi.



65

familiarizarea studentilor cu studiul variatiei functiilor reale de n variabilereale.



sa calculati derivatele partiale ale unei functii reale de n variabile reale. sa aflati punctele stationare ale unei functii reale de n variabile reale. sa decideti care puncte stationare sunt de extrem si care nu.


10.4.1 Functii de mai multe variabile

Spatiul Rn si functii reale de n variabile reale

Vom scrie elementele spatiului Rn ca vectori linie si le vom numi puncte.

DEFINITIE

O functie f : DRnR, x=(x1,x2, . . . ,xn) 7 f (x)= f (x1,x2, . . . ,xn) se numestefunctie reala de n variabile reale.

DEFINITIE

Se numeste bila deschisa de raza > 0 cu centrul n punctul a=(a1,a2, . . . ,an)R

n multimea B(a) formata din toate punctele x = (x1,x2, . . . ,xn) Rn ale carorcomponente verifica inegalitatile:

|x1a1|< , |x2a2|< , . . . , |xnan|< .

DEFINITIE

Se numeste vecinatate a punctului a = (a1,a2, . . . ,an) Rn orice submultime Va spatiului Rn care contine o bila de raza > 0 cu centrul n a.

DEFINITIE

Spunem ca a Rn este punct interior multimii D Rn daca exista o vecinatateV a lui a inclusa n D. Notam cu

D multimea punctelor interioare ale lui D.

66

Derivate partiale

DEFINITIE

Fie f : D R2 R si (a,b) D un punct interior. Spunem ca functia f este:

derivabila partial n raport cu variabila x n punctul (a,b) daca exista sieste finita limita

f x(a,b) = limxa

f (x,b) f (a,b)xa ,

numita derivata partiala de ordinul ntai n raport cu x a functiei f n

punctul (a,b).

derivabila partial n raport cu variabila y n punctul (a,b) daca exista sieste finita limita

f y(a,b) = limyb

f (a,y) f (a,b)yb ,

numita derivata partiala de ordinul ntai n raport cu y a functiei f n

punctul (a,b).

DEFINITIE

Fie f : D =D R2 R o functie. Consideram multimile:

Dx = {(a,b) D | f este derivabila partial n raport cu x n punctul (a,b)}Dy = {(a,b) D | f este derivabila partial n raport cu y n punctul (a,b)}.

1) Functia f x : Dx R care asociaza fiecarui punct (a,b) Dx numarul realf x(a,b) se numeste derivata partiala (de ordinul I) n raport cu x a functieif .

2) Functia f y : Dy R care asociaza fiecarui punct (a,b) Dy numarul realf y(a,b) se numeste derivata partiala (de ordinul I) n raport cu y a functieif .

OBSERVATIE. Pentru a calcula derivata partiala n raport cu o variabila a

unei functii de mai multe variabile, aplicam regulile de derivare ale functiilor

de o variabila, considerand variabilele diferite de cea n raport cu care de-

rivam drept constante.

67

Exemplu Sa calculam derivatele partiale de ordinul I ale functiei

f : (0,)R R, f (x,y) = x2y5 + lnx ey.Avem:

f x(x,y) =(x2y5 + lnx ey)

x= 2xy5 +

1

xsi

f y(x,y) =(x2y5 + lnx ey)

y= 5x2y4 ey.

DEFINITIE

Fie f : D =DR2 R o functie derivabila pe D n raport cu x si cu y. Derivatele

partiale f x : D R si f y : D R, fiind functii de (x,y), pot admite, la randul lor,derivate partiale, pe care le vom numi derivate partiale de ordinul al II-lea ale

lui f . Acestea sunt:

f x2 = ( fx)x, f

y2 = ( f

y)y, f

xy = ( f

x)y, f

yx = ( f

y)x.

Functiile f xy si f yx se numesc derivate partiale mixte de ordinul al doilea.

Exemplu Sa calculam derivatele partiale de ordinul al II-lea ale functiei

f : (0,)R R, f (x,y) = x2y5 + lnx ey.Am vazut mai sus ca derivatele partiale de ordinul I ale lui f sunt:

f x(x,y) = 2xy5 +

1

x

f y(x,y) = 5x2y4 ey.

Avem:

f x2(x,y) =(

f x(x,y))

x=

(2xy5 +

1

x

)x

= 2y5 1x2,

f y2(x,y) =(

f y(x,y))

y=(5x2y4 ey)

y= 20x2y3 ey,

f xy(x,y) =(

f x(x,y))

y=

(2xy5 +

1

x

)y

= 10xy4,

f yx(x,y) =(

f y(x,y))

x=(5x2y4 ey)

x= 10xy4.

OBSERVATIE. Remarcam aici ca, n general, derivatele partiale mixte de ordinul al

II-lea sunt egale numai n anumite conditii, un rezultat n acest sens fiind criteriul

lui Schwarz (a se vedea manualul [1]).

Toate consideratiile anterioare se pot generaliza usor la cazul functiilor de n vari-

abile, n 3 (a se vedea manualul [1]).

68

10.4.2 Extremele functiilor de doua variabile

DEFINITIE

Fie f : D R2 R, (x,y) 7 f (x,y) si (a,b) D.

1) (a,b) se numeste punct de minim local pentru f daca exista o vecinatate V alui (a,b) astfel ncat (x,y) V D = f (x,y) f (a,b).

2) (a,b) se numeste punct de maxim local pentru f daca exista o vecinatate V alui (a,b) astfel ncat (x,y) V D = f (x,y) f (a,b).

3) (a,b) se numeste punct de extrem local pentru f daca este punct de minimlocal sau punct de maxim local pentru f .

4) (a,b) se numeste punct stationar pentru f daca exista f x(a,b), f y(a,b) si suntegale cu 0.

OBSERVATIE. Punctele de extrem local se gasesc printre punctele stationare ale

functiei. Punctele stationare care nu sunt puncte de extrem se numesc puncte sa.

Determinarea punctelor de extrem local ale unei functii reale f : D R2 R Calculam derivatele partiale de ordinul I ale lui f . Determinam punctele stationare ale lui f , adica solutiile sistemului de ecuatii

obtinut prin anularea derivatelor partiale de ordinul I ale lui f .

Calculam derivatele partiale de ordinul al II-lea ale lui f . Determinam functia : D R2 R cu formula

(x,y) = f x2(x,y) f y2(x,y) [ f xy(x,y)]2.

Pentru fiecare punct stationar (a,b) al lui f , parcurgem urmatorii pasi:1) Calculam (a,b).

2) Daca (a,b)> 0 , atunci (a,b) este punct de extrem local pentru f , sianume:

i) Daca f x2(a,b)> 0 , atunci (a,b) este punct de minim local pen-tru f .

ii) Daca f x2(a,b)< 0 , atunci (a,b) este punct de maxim local pen-tru f .

69

2) Daca (a,b)< 0 , atunci (a,b) este punct sa pentru f .

Exemplu Sa determinam punctele de extrem ale functiei:

f : R2 R, f (x,y) = x3 + y312x3y+5.

Derivatele partiale de ordinul I ale lui f sunt:

f x(x,y) = 3x212 si f y(x,y) = 3y23.

Rezulta imediat ca (2,1), (2,1), (2,1) si (2,1) sunt punctele stationare alelui f .

Derivatele partiale de ordinul al II-lea ale lui f sunt:

f x2(x,y) = 6x, fy2(x,y) = 6y, f

xy(x,y) = f

yx(x,y) = 0

Avem: (x,y)= 36xy, (x,y)R2. Cercetam care puncte stationare sunt si punctede extrem:

(2,1) = 72 > 0 si f x2(2,1) = 12 > 0 = (2,1) este punct de minim local.

(2,1) =72 < 0 = (2,1) este punct sa. (2,1) =72 < 0 = (2,1) este punct sa. (2,1) = 72 > 0 si f

x2(2,1) =12 < 0 = (2,1) este punct de

maxim local.

10.4.3 Extremele functiilor de n variabile

Consideratiile anterioare privind punctele de extrem ale functiilor de doua variabile

se pot generaliza usor la cazul functiilor de n variabile, n 3 (a se vedea manualul[1] de la bibliografie).

Determinarea punctelor de extrem local ale unei functii reale f : D Rn R Calculam derivatele partiale de ordinul I ale lui f . Determinam punctele stationare ale lui f , adica solutiile sistemului de ecuatii

obtinut prin anularea derivatelor partiale de ordinul I ale lui f .

Calculam derivatele partiale de ordinul al II-lea ale lui f .

70

Scriem matricea hessiana a lui f , adica matricea de functii urmatoare:

H(x) =(

f xix j(x))

i, j=1,n.

Pentru fiecare punct stationar a = (a1, . . . ,an) al lui f :1) Determinam matricea hessiana a lui f n punctul a, adica

H(a)not=(ai j)

i, j=1,nMn(R).

2) Calculam determinantii

1 = a11, 2 =

a11 a12a21 a22 , . . . , n =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

. . ....

an1 an2 ann

.

3) Daca toti determinantii au semnul +, atunci a = (a1, . . . ,an) estepunct de minim local pentru f .

3) Daca semnele determinantilor alterneaza ncepand cu , atunci a =(a1, . . . ,an) este punct de maxim local pentru f .

3) Daca toti determinantii sunt nenuli, dar nu se ndeplinesc nici conditiilede la 3), nici de la 3), atunci a = (a1, . . . ,an) este punct sa pentru f .


Determinati punctele de extrem ale urmatoarelor functii:

a) f : R2 R, f (x,y) = x3 + y3 +3xy+2.

b) f : R3 R, f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 xy+ x2z.

Bibliografie





71


AJUSTAREA DATELOR DE

OBSERVATIE

Cuprins

11.1 Introducere




11.4.1 Metoda celor mai mici patrate

11.4.2 Trendul liniar

11.4.3 Trendul parabolic


Bibliografie

11.1 Introducere

O aplicatie importanta a teoriei extremelor functiilor de mai multe variabile n

economie este ajustarea datelor de observatie prin metoda celor mai mici patrate.



familiarizarea studentilor cu o metoda importanta pentru analiza se

Documents

M 1 Matematica Aplicata in Economie Dosescu Tatiana