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Lugar Geometrico de Raices 15087
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Sistemas Automticos
Tema 5Lugar de las RacesContenido Respuesta dinmica de un sistema Respuesta dinmica de un sistema en bucle cerrado Definicin de Lugar de las Races (LR) Ecuacin Caracterstica Criterio del Argumento Criterio del Mdulo Reglas de Trazado del Lugar de las Races Ejemplo
El comportamiento dinmico de unsistema viene dado por los polos dela f.d.t. (races de la ecuacincaracterstica)
y(t)
Los ceros tambininfluyen a travs de loscoeficientes (pesos) delos modos transitorios
Respuesta Dinmica de un Sistema
Captador
+
-
U(s)C(s) (s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
H(s)
G(s)
Respuesta Dinmica de un Sistemaen Bucle Cerrado
La dinmica del sistemaviene dada principalmente porlas races de la ec. caracterstica
Problemas: Difcil si el orden de la
ec. caract. >=3 Habitualmente,
necesario recalcularlosen funcin de unparmetro (ej.: K)
Definicin de Lugar de las Races (LR)
Definicin:El L.R. es el lugar geomtrico en elplano complejo que ocupan las racesde la ecuacin caracterstica cuandovara el parmetro K
Captador
+
-
U(s)C(s) (s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
K=5 K=10 K=16 K=20
El mtodo del L.R. parte de la ecuacin caracterstica factorizada de lasiguiente forma:
Ecuacin Caracterstica
Criterio del Argumento
Criterio del Mdulo
s-
p
1
s-p4 s-p3 s-z1s-p2
p3p4 p2 p1z1
s
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
pi
Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicingeneral.
Ejemplo:
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
1 2
3
4
Ramas Independientes
Lugar en el eje real
Simetra respecto aleje real
Puntos decomienzo del LR
Puntosfinales del LR
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
pi
p2
z1p1
p1
p2
z1
Re
Im
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Reglas de Trazadodel Lugar de las Races
Captador
+
-
U(s)C(s) (s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Funcin de transferencia en bucle abierto:
-2-5-7-10-20
2
3
14
-2-5-7-10-20
-2-5-7-10-20
-2-5-7-10-20
Centroide, Asntotas y Punto de Dispersin
centroidec=10
Asntotas
Pto. dispersin
Lugar de las Races final
-2-5-7-20 -10
+j14.439
-j14.439
Lugares de las Racesbsicos
LR bsicos: 1 polo real
LR bsicos: 2 polos reales
LR bsicos: 2 polos complejos
LR bsicos: 3 polos reales
LR bsicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)
LR bsicos: 4 polos
LR bsicos: 1 polo + 1 cero
LR bsicos: 2 polos + 1 cero
LR bsicos: 3 polos + 2 ceros
LR bsicos: 3 polos + 1 cero
LR-i bsicos: 1 polo
LR-i bsicos: 2 polos reales
LR-i bsicos: 3 polos reales
LR-i bsicos: 1 polo real + 2 polos complejos
LR-i bsicos: 2 polos reales + 1 cero
LR-i bsicos: 3 polos reales + 1 cero
Captador
+
-
U(s)C(s)
(s)
Ycap(s)
PlantaRegulador
Y(s)K
Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funcinde la constante de tiempo, , del captador para K=1
Solucin:
La ecuacin caracterstica ser:
Reordenando trminos
El problema queda planteado en trminos de un LR:
El LR tiene 3 ceros
y dos polos
pequeas:comportamientooscilatorio
=0.688:polo dobleamort. crtico =1:
3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg
=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.
ConclusinVemos cmo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizndolo