Lugar Geometrico Das Raizes Incremental e Sua Aplicacao Na Sintonia de Controladores Pid

SILVIO CELSO PEIXOTO GOMES

LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES INCREMENTAL E SUA APLICAO NA SINTONIA DE

CONTROLARES PID.

SO CAETANO DO SUL 2009

SILVIO CELSO PEIXOTO GOMES

LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES INCREMENTAL E SUA APLICAO NA SINTONIA DE

CONTROLARES PID.

Dissertao apresentada Escola de Engenharia Mau do Centro Universitrio do Instituto Mau de Tecnologia para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Processos Qumicos e Bioqumicos.

Linha de Pesquisa: Anlise e Controle de Processos Qumicos.

Orientador: Prof. Dr. Fabrizio Leonardi

SO CAETANO DO SUL 2009

FICHA CATALOGRFICA

Gomes, Silvio Celso Peixoto

Lugar Geomtrico das Razes Incremental e sua aplicao na sintonia de controladores P.I.D / Silvio Celso Peixoto Gomes. So Caetano do Sul, SP: CEUN-EEM, 2009. 61p.

Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia Mau do Centro Universitrio do Instituto Mau de Tecnologia, So Caetano do Sul, SP, 2009.

1.Lugar Geomtrico das Razes Incremental 2. Sintonia PID 3.Controlador de dois graus de liberdade I.Instituto Mau de Tecnologia. Centro Universitrio. Escola de Engenharia Mau.

felizes so aqueles que se

aproximam das pessoas que detm a sabedoria O Autor.

DEDICATRIA

Dedico esta dissertao s minhas filhas Giovana e Isabela pelo amor e carinho de um pai a seus filhos.

minha esposa gueda que procurou me auxiliar da melhor forma possvel, oferecendo apoio, contribuio e muita colaborao.

Aos meus pais, por sua insistncia e incentivo em que eu continuasse a minha

formao em educao.

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela satisfao na construo desse trabalho, fruto de dedicao e perseverana.

Ao professor Dr. Cludio Garcia, que me acolheu, primeiramente, e me concedeu a oportunidade de trabalhar com o Professor Dr. Fabrizio Leonardi.

Ao professor Dr. Fabrizio Leonardi, pela sua capacidade de orientao que me conduziu da melhor forma, por sua sabedoria brilhante, fazendo-me entender os momentos difceis da conduo do trabalho.

Ao professor Dr. Jaime Jos da Cruz, que ofereceu sua preciosa contribuio para a construo desse conhecimento.

Escola de Engenharia Mau, pela estrutura e recursos fornecidos e principalmente direo do curso de ps-graduao strictu-senso.

Fundao Salvador Arena, por seus preciosos recursos oferecidos e oportunidades de transformao no material humano.

Ao professor Valcir Shigueru Omori, por seu apoio, sua confiana e suas orientaes.

Aos professores doutores Wilson Carlos da Silva Jnior e Daniel de Oliveira membros integrantes da Faculdade de Tecnologia Termomecnica por sua colaborao e auxlio na tomada de deciso e fechamento do trabalho.

RESUMO

A proposta deste trabalho propor a aplicao da propriedade incremental do mtodo do Lugar Geomtrico das Razes no projeto de controladores do tipo PID Proporcional, Integral e Derivativo. A tcnica proposta de projeto tem duas etapas. Inicialmente deve-se submeter o sistema a uma excitao tipo degrau, a partir de um ensaio preliminar em malha fechada com um controlador proporcional. Em seguida, o projeto do controlador se desenvolve com a tcnica de cancelamento de plos, resultando numa lei de controle PID com dois graus de liberdade. Mostra-se que a dinmica de acompanhamento do sinal de referncia prxima a um sistema de primeira ordem, nos casos para os quais a resposta do ensaio preliminar for prxima a um sistema de segunda ordem. Para ilustrar o procedimento proposto, so apresentados alguns projetos por meio de simulao e suas respostas, comparadas a outras tcnicas de projeto de controladores PID. Como aplicao prtica real considerou-se o controle de posio de um servomecanismo.

Palavras chave: Lugar Geomtrico das Razes Incremental, Sintonia PID, Controlador de dois graus de liberdade.

ABSTRACT

This work discusses the Incremental Root Locus property and one application on PID controllers tuning. The proposed procedure for tuning PID controllers has two steps. Firstly it is necessary to perform a step response test using a proportional controller. In a second step the compensator design is performed by a zero-pole cancelling. The obtained control law is a two-degree-of-freedom PID controller with the setpoint tracking and disturbance rejection done by different dynamics. It is shown that the setpoint tracking exhibits a first order dynamic every time the preliminary test exhibits a response that could be approximated for a second order response whereas the one associated with the disturbance rejection exhibits a more complex dynamic since it includes the one from the preliminary test. As illustrations, some design projects were done by simulation and a practical application to a servo system position control is included.

Keywords: Incremental Root Locus, PID Tuning, Two-degree of freedom controller.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 CONTROLE EM MALHA ABERTA.............................................................................................. 05 FIGURA 2.2 CONTROLE EM MALHA FECHADA............................................................................................ 06 FIGURA 2.3 FUNO CARACTERSTICA DO CONTROLADOR ON-OFF................................................... 07 FIGURA 2.4 CONTROLADOR PID EM MALHA FECHADA........................................................................... 09 FIGURA 2.5 PADRO DE RESPOSTA AO DEGRAU....................................................................................... 09 FIGURA 2.6 PARMETROS DA RESPOSTA EM MALHA ABERTA............................................................. 10 FIGURA 2.7 PERIODO CRTICO DA RESPOSTA DE MALHA FECHADA.................................................... 11 FIGURA 2.8 ENSAIO EM MALHA FECHADA COM REL............................................................................. 12 FIGURA 3.1 SISTEMA DE CONTROLE DE MALHA FECHADA.................................................................... 18

FIGURA 3.2 ANLISE DO LGR INCREMENTAL............................................................................................. 21 FIGURA 3.3 DIAGRAMA EQUIVALENTE AO DO LGRI................................................................................. 21 FIGURA 3.4 LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES EM FUNO DO GANHO K ....................................... 22 FIGURA 3.5 LUGAR DAS RAIZES EM FUNO DE K................................................................................. 22 FIGURA 3.6 ENSAIO PRELIMINAR.................................................................................................................... 23 FIGURA 3.7 SISTEMA DE CONTROLE PROPOSTO........................................................................................ 27

FIGURA 3.8 ESTRUTURA TDOF COM CONTROLADORES PID................................................................... 28 FIGURA 3.9 CONTROLE COM PR FILTRO.................................................................................................... 31 FIGURA 4.1 ESTRUTURA DO SISTEMA DE CONTROLE............................................................................... 33

FIGURA 4.2 ENSAIO PRELIMINAR.................................................................................................................... 35 FIGURA 4.3 RESPOSTA A VARIAO DE REFERENCIA.............................................................................. 36 FIGURA 4.4 RESPOSTA AO DISTRBIO........................................................................................................... 37 FIGURA 4.5 ENSAIO PRELIMINAR.................................................................................................................... 39 FIGURA 4.6 RESPOSTA A VARIAO DE REFERENCIA.............................................................................. 40 FIGURA 4.7 RESPOSTA AO DISTRBIO........................................................................................................... 41 FIGURA 4.8 ENSAIO PRELIMINAR.................................................................................................................... 43

FIGURA 4.9 RESPOSTA A VARIAO DE REFERENCIA.............................................................................. 44 FIGURA 4.10 RESPOSTA AO DISTRBIO........................................................................................................... 45 FIGURA 4.11 ENSAIO PRELIMINAR.................................................................................................................... 47

FIGURA 4.12 RESPOSTA A VARIAO DE REFERENCIA.............................................................................. 48 FIGURA 4.13 RESPOSTA AO DISTRBIO........................................................................................................... 49 FIGURA 4.14 TROCADOR DE CALOR CASCO-TUBO...................................................................................... 50 FIGURA 4.15 ENSAIO PRELIMINAR.................................................................................................................... 52 FIGURA 4.16 RESPOSTA A VARIAO DE REFERENCIA.............................................................................. 53 FIGURA 4.17 RESPOSTA AO DISTRBIO........................................................................................................... 54 FIGURA 4.18 ENSAIO PRELIMINAR SISTEMA SERVO................................................................................... 56 FIGURA 4.19 DESEMPENHO EXPERIMENTAL SISTEMA SERVO................................................................. 56 FIGURA 4.20 RESPOSTA DE UM SISTEMA SUBAMORTECIDO.................................................................... 57

LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1 PRIMEIRO MTODO DE ZIEGLER E NICHOLS............................................................. 10 TABELA 2.2 SEGUNDO METODO DE ZIEGLER e NICHOLS.............................................................. 11

TABELA 2.3 SINTONIA PROPOSTA PELO METODO DE COHEN E COON...................................... 13 TABELA 2.4 CONSTANTES DO PROBLEMA REGULADOR............................................................... 14

TABELA 2.5 CONSTANTES DO PROBLEMA SERVO.......................................................................... 15 TABELA 2.6 SINTONIA DE TAVAKOLI E TAVAKOLI........................................................................ 15 TABELA 2.7 SINTONIA PID DA SNTESE DIRETA.............................................................................. 16 TABELA 3.1 RESPOSTA DO SISTEMA COM AMORTECIMENTO CRTICO.................................... 26 TABELA 3.2 SINTONIA PID...................................................................................................................... 29 TABELA 4.1a DADOS COLETADOS REFERNCIA............................................................................. 38 TABELA 4.1b DADOS COLETADOS DISTRBIO................................................................................. 38 TABELA 4.2a DADOS COLETADOS REFERNCIA............................................................................. 42 TABELA 4.2b DADOS COLETADOS DISTRBIO................................................................................. 42 TABELA 4.3a DADOS COLETADOS REFERNCIA............................................................................. 46 TABELA 4.3b DADOS COLETADOS DISTRBIO................................................................................. 46 TABELA 4.4a DADOS COLETADOS REFERNCIA............................................................................. 49 TABELA 4.4b DADOS COLETADOS DISTRBIO................................................................................. 50 TABELA 4.5a DADOS COLETADOS REFERNCIA............................................................................. 54 TABELA 4.5b DADOS COLETADOS DISTRBIO................................................................................. 54 TABELA 4.6 FRMULAS SIMPLIFICADAS DE SINTONA.................................................................. 58

LISTA DE SMBOLOS

LGR lugar geomtrico das razes

LGRI lugar geomtrico das razes incremental

PID Proporcional, Integral e Derivativo

TDOF Two Degree of Freedom

tempo morto da planta

constante de tempo da planta

c

constante de tempo desejada de malha fechada

K ganho da planta

K variao do ganho K

Kg ganho da funo de transferncia de malha fechada da malha interna

Kcr ganho crtico

Pcr perodo crtico

a amplitude da oscilao crtica

G(s) planta

A(s) funo de transferncia do controlador por cancelamento de plos e zeros

C(s) funo de transferncia do controlador

F(s) funo de transferncia de malha fechada da malha interna

Kp

ganho proporcional do controlador PID

Ki

ganho integral do controlador PID

Ti tempo de integrao do controlador PID

Kd

ganho derivativo do controlador PID

Td tempo derivativo do controlador PID

Ts tempo de acomodao

T pseudo perodo da resposta subamortecida

Kpre ganho do ensaio preliminar

Klocus ganho do controlador LGRI.

r(t) sinal de referncia da malha externa

m(t) sinal de sada do controlador

u(t) sinal de entrada da planta.

d(t) sinal de distrbio

e(t) sinal de erro

v(t) sinal de referncia da malha interna.

v variao do sinal v(t)

y(t) sinal de sada da planta

y variao do sinal y(t)

T(s) funo de transferncia de malha fechada da referncia para a sada

TD(s) funo de transferncia de malha fechada do distrbio para a sada

d mdulo do valor da parte real do plo complexo.

d

mdulo do valor da parte imaginria do plo complexo.

a origem das assntotas.

a ngulo das assntotas.

SUMRIO 1. INTRODUO .......................................................................................................................... 1 1.1. PROPOSTA ................................................................................................................................ 1

1.2. MOTIVAO ............................................................................................................................ 1 1.3. OBJETIVO ................................................................................................................................. 2

1.4. ESTRUTURA DO TEXTO ....................................................................................................... 2

2. REVISO BIBLIOGRFICA.................................................................................................. 3 2.1. DEFINIES............................................................................................................................. 3 2.2. ESTRUTURAS DE CONTROLE............................................................................................. 4

2.2.1. MALHA ABERTA..................................................................................................................... 4

2.2.2. MALHA FECHADA.................................................................................................................. 5

2.3. AES DE CONTROLE.......................................................................................................... 6 2.3.1. CONTROLADOR ON-OFF...................................................................................................... 7

2.3.2. CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID)......................... 7

2.4. MTODOS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID .................................................. 8 2.4.1. MTODOS HEURSTICOS DE ZIEGLER E NICHOLS .................................................... 9 2.4.2. MTODO HEURSTICO DO REL EM MALHA FECHADA ........................................ 12 2.4.3. MTODO HEURSTICO DE COHEN-COON.................................................................... 13 2.4.4. MTODO HEURSTICO DA INTEGRAL DA FUNO DE ERRO............................... 13 2.4.5. MTODO ANALTICO DA SNTESE DIRETA................................................................. 16 2.4.6. OUTROS MTODOS DE PROJETO PID............................................................................ 16 3. MTODO DO LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES INCREMENTAL ...................... 18 3.1 MTODO DO LUGAR DAS RAZES................................................................................... 18 3.1.1. RESUMO DAS REGRAS DE CONSTRUO DO LGR.................................................... 19 3.2. PROPRIEDADE INCREMENTAL DO MTODO DO LUGAR DAS RAZES .............. 20 3.3 O PROJETO DE CONTROLADORES PID BASEADO NO LGRI................................... 22

3.3.1. ENSAIO PRELIMINAR ......................................................................................................... 23

3.3.1.1. SISTEMAS SUBAMORTECIDOS ........................................................................................ 24

3.3.1.2. SISTEMAS SUPERAMORTECIDOS ................................................................................... 25

3.3.1.3. SISTEMAS COM AMORTECIMENTO CRTICO ............................................................ 26 3.3.2. CANCELAMENTO DE PLOS E ZEROS .......................................................................... 27

3.4 O CONTROLADOR PID DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE (TDOF) .......................... 28

3.4.1. ESTRUTURA DO CONTROLADOR TDOF ....................................................................... 28

3.4.2. LEI DE CONTROLE DO CONTROLADOR TDOF........................................................... 29

3.4.3. PID REAL................................................................................................................................. 30

3.4.4. DINMICA DA REJEIO AO DISTRBIO .................................................................... 30 4. ANLISE DE DESEMPENHO .............................................................................................. 33 4.1. DESEMPENHO VIA SIMULAO ..................................................................................... 33 4.1.1. SISTEMA MARGINALMENTE ESTVEL ........................................................................ 33 4.1.1.1. PROJETO PID PELO MTODO DO REL........................................................................ 34 4.1.1.2. PROJETO LRGI...................................................................................................................... 34

4.1.1.3. COMPARATIVO..................................................................................................................... 36

4.1.2. SISTEMA BENCHMARKING............................................................................................... 38

4.1.2.1. PROJETO PID PELO SEGUNDO MTODO DE ZIEGLER E NICHOLS ..................... 38 4.1.2.2. PROJETO LRGI...................................................................................................................... 39

4.1.2.3. COMPARATIVO..................................................................................................................... 40

4.1.3. SISTEMA COM RESPOSTA INVERSA .............................................................................. 42

4.1.3.1. PROJETO PID PELO SEGUNDO MTODO DE ZIEGLER E NICHOLS ..................... 42 4.1.3.2. PROJETO LRGI...................................................................................................................... 43

4.1.3.3. COMPARATIVO..................................................................................................................... 44

4.1.4. SISTEMA TRMICO COM TEMPO MORTO................................................................... 46 4.1.4.1. PROJETO PID PELO MTODO DE COHEN E COON.................................................... 46 4.1.4.2. PROJETO LRGI...................................................................................................................... 47

4.1.4.3. COMPARATIVO..................................................................................................................... 48

4.1.5. SISTEMA TROCADOR DE CALOR.................................................................................... 50

4.1.5.1. PROJETO PID PELO MTODO DA SNTESE DIRETA ................................................. 51 4.1.5.2. PROJETO LRGI...................................................................................................................... 51

4.1.5.3. COMPARATIVO..................................................................................................................... 52

4.2. DESEMPENHO PRTICO .................................................................................................... 55 4.3. FRMULAS SIMPLIFICADAS DE SINTONIA ................................................................. 57 5. CONCLUSES ........................................................................................................................ 59 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................................... 60

1. INTRODUO

Este captulo apresenta a proposta deste trabalho que envolve a aplicao da propriedade incremental do mtodo do lugar geomtrico no projeto de controladores PID. Apresenta-se tambm aqui, a motivao, o objetivo e a estrutura do texto.

1.1. Proposta

Investigar a aplicao da propriedade incremental do mtodo do lugar geomtrico das razes (LGR) no projeto de controlador PID. Utilizando-se a propriedade incremental, podemos considerar que: dada uma posio da representao de plos do LGR de um sistema em malha fechada, poderemos consider-los como plos de malha aberta para um novo problema de traado do LGR. Essa propriedade conduz a uma caracterstica incremental do prprio traado do LGR. Na literatura clssica aparecem vrios mtodos de projeto de controladores PID. Definem-se basicamente duas classes de mtodos. A classe dos mtodos analticos usa o modelo rigoroso da planta para o projeto do controlador. Baseando-se na teoria de controle linear, podemos dizer que, para realizar o projeto, ser necessrio conhecer os plos, os zeros e o ganho da Planta.

Outros mtodos utilizam um ensaio preliminar, e so normalmente designados por mtodos heursticos. Em geral, so mais adequados aos casos para os quais o modelo da planta desconhecido, ou mesmo, quando a sua modelagem se torna invivel. Nessa classe de problemas podemos listar o mtodo precursor de Ziegler e Nichols (1942) e o mtodo de Cohen e Coon (1953).

1.2. Motivao

Historicamente identificam-se dois mtodos pioneiros de sintonia de controladores PID, apresentados por Ziegler e Nichols (1942). Essas tcnicas foram amplamente utilizadas em aplicaes industriais e oferecem condies favorveis por conta de sua forma simples de utilizao. Porm, podem ocorrer casos no qual o seu emprego venha a se tornar invivel.

O primeiro mtodo apresentado bastante restritivo, pois exige que a planta seja estvel em malha aberta. Sendo assim, no deve possuir elementos integradores e no conter plos no semi-plano direito s. Alm disso, esse mtodo exige que a resposta da planta ao um degrau de referncia apresente um aspecto similar a uma letra S.

O segundo mtodo exige que a planta alcance o limite de estabilidade em malha fechada de forma a exibir oscilaes auto-sustentadas quando submetida a um controle proporcional. O mtodo de sintonia proposto neste trabalho pode ser considerado menos restritivo quando comparado ao mtodo de Ziegler e Nichols (1942), pois no exige que o sistema a ser controlado apresente na sada, oscilaes auto-sustentadas e no exige a condio de estabilidade da planta em malha aberta.

As bases deste trabalho esto concentradas no mtodo do Lugar Geomtrico das Razes e na utilizao de sua propriedade no projeto de controladores do tipo PID.

1.3. Objetivo

O principal objetivo deste trabalho propor um mtodo baseado na aplicao da propriedade incremental do LGR no projeto de controladores PID. A eficincia do controlador obtido medida como a capacidade do sistema de acompanhar sinais de referncia, rejeitar sinais de distrbio, em funo do esforo de controle solicitado.

1.4. Estrutura do Texto

O captulo um apresenta uma introduo com o propsito de promover um convite leitura do texto.

O captulo dois apresenta uma reviso bibliogrfica dos sistemas de controle, evidenciando a malha de controle, alguns tipos de controladores e mtodos clssicos de sintonia analticos e heursticos.

O captulo trs apresenta o mtodo LGR e suas regras clssicas de construo do seu traado, evidenciando a propriedade incremental.

O captulo quatro analisa, via simulao, o desempenho do controlador PID projetado com base na propriedade incremental do LGR, em comparao com projetos de controladores PID sintonizados por meio de outras tcnicas consolidadas da rea de controle de processos. Faz-se tambm uma aplicao prtica de controle de posio de um servomecanismo.

O captulo cinco apresenta a concluso e as possveis contribuies futuras. Por fim, a referncias bibliogrficas so apresentadas.

2. REVISO BIBLIOGRFICA

Esse captulo apresenta um resumo sobre os fundamentos dos sistemas controle, suas definies bsicas, estruturas tpicas, tipos de aes de controle e uma reviso bibliogrfica dos mtodos de sintonia heursticos e analticos de controladores.

2.1. Definies

O controle automtico tem desempenhado um papel fundamental no avano da engenharia e da cincia, sendo essencial, por exemplo, nas operaes de controle de nvel em reservatrios, presso em vasos, temperatura e vazo dos diversos fludos lquidos, slidos e gasosos. Tambm esto presentes no controle de outras variveis como o caso da umidade, do potencial hidrogeninico (pH), da viscosidade, entre outras.

A seguir, tm-se as definies bsicas dos elementos e sinais tpicos em um sistema de controle (OGATA, 2003)

Planta: um sistema a ser controlado, que pode ser parte ou um conjunto de equipamentos.

Controlador: elemento cuja funo restabelecer o valor da varivel de sada do sistema de controle ao seu valor de referncia, e rejeitar distrbios.

Varivel controlada: grandeza ou condio medida a ser controlada.

Varivel manipulada: grandeza ou condio modificada pelo controlador.

Sinal de referncia: representa, em funo do tempo, os valores desejados para a varivel controlada.

Distrbio: sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da varivel controlada de um sistema e sobre o qual no se pode agir.

Neste trabalho, considera-se tambm a seguinte definio:

Esforo de controle: intensidade mxima do sinal da varivel manipulada.

2.2. Estruturas de Controle

Uma estrutura de controle, ou estratgia de controle, o conjunto de elementos interligados de certa forma, com a funo de realizar operaes que permitam o controle do processo.

Nas representaes formais dos sistemas de controle, empregam-se os diagramas de blocos. Porm, na documentao de plantas industriais, os sistemas de controle so normalmente representados na forma de diagramas de tubulao e instrumentao (P&ID).

Nos P&ID encontram-se, tipicamente, os seguintes elementos para representar uma

sistema de controle (GARCIA, 2003).

Elemento primrio: elemento de medio, ou transdutor, que converte a varivel do processo em uma forma mensurvel.

Transmissor: converte o valor da varivel medida em um sinal eletrnico ou pneumtico.

Conversor: converte um sinal em outro tipo de sinal.

Receptor: recebe o sinal transmitido e o disponibiliza para compor a ao de controle.

Elemento final de controle: atua diretamente no processo para realizar ao de controle.

Atuador: elemento com a funo de operar os elementos finais de controle.

A seguir detalham-se as duas estratgias de controle que so fundamentais no desenvolvimento deste trabalho.

2.2.1. Malha Aberta

Segundo Dorf e Bishop (2001), um sistema de controle em malha aberta utiliza o controlador para fazer a sada acompanhar o sinal de referncia de forma direta, sem usar nenhuma informao da varivel controlada, ou seja, sem realimentao. A figura 2.1. mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle em malha aberta, em que C(s) a funo de transferncia do controlador, G(s) a funo de transferncia da planta incluindo o atuador e o

sensor, e R(s) e Y(s) as transformadas de Laplace dos sinais r(t) e y(t), respectivamente.

FIGURA 2.1 CONTROLE EM MALHA ABERTA.

Algumas das vantagens do controle em malha aberta so:

Possui custo reduzido, pois no necessrio medir a varivel controlada.

No apresenta grandes dificuldades quanto estabilidade, pois a estabilidade do sistema todo dada pela estabilidade individual da planta e do controlador.

O projeto do controlador simples, e comumente determinado a partir da funo inversa da planta.

Por outro lado, algumas das desvantagens do controle em malha aberta so:

No rejeita rudos ou perturbaes. No compensa erros de modelagem.

Normalmente, os rudos, perturbaes e os erros de modelagem esto presentes numa situao real. Assim, o controle em malha aberta s razovel quando as especificaes de desempenho forem pouco restritivas.

2.2.2. Malha Fechada

Uma soluo quando as especificaes de desempenho so restritivas, o emprego da realimentao.

Na estratgia de controle de malha fechada, o valor medido da varivel controlada y(t), comparado com o valor de referncia r(t) para com o erro, e(t) = r(t) - y(t), o controlador determinar o valor da varivel manipulada que deve ser uma ao corretiva para levar a varivel controlada ao seu valor de referncia. A figura 2.2. apresenta a estrutura tpica de controle de malha fechada.

FIGURA 2.2 CONTROLE EM MALHA FECHADA.

Algumas das vantagens do controle em malha fechada so:

possvel compensar rudos e perturbaes. possvel compensar incertezas do modelo da planta, ou seja, possvel lidar

com o problema de robustez.

Por outro lado, algumas das desvantagens do controle em malha fechada so:

Possui custo superior quando comparado com o controle em malha aberta, pois necessrio usar um sensor para medir a varivel controlada.

Pode apresentar dificuldades quanto estabilidade, pois a estabilidade do sistema de controle no trivialmente dada pela estabilidade individual da

planta e do controlador e, mesmo com essas duas funes estveis, pode-se ter um sistema instvel.

O projeto do controlador normalmente mais complexo que o da malha aberta.

Existem ainda vrias outras estratgias de controle, a exemplo do controle em avano, do controle em cascata e das estratgias usadas para sistemas multivariveis. Entretanto, elas

no foram includas nesta reviso por no estarem explicitamente relacionadas com os objetivos deste trabalho.

2.3. Aes de Controle

Nesta seo apresentam-se os controladores ON-OFF e PID, que so aqueles

utilizados nos projetos e simulaes ao longo deste trabalho.

2.3.1. Controlador On-Off

Sua operao constituda por dois estados. Quando a varivel controlada ultrapassa o valor de referncia e vice-versa, a sada m(t) alterna seu estado que caracterizado por um valor constante na sada do controlador. Um controlador On-Off pode atuar diretamente sobre

elementos finais de controle do tipo vlvula solenide ou rel. Para se evitar oscilaes em torno do erro nulo, comum acrescentar-se uma histerese funo caracterstica. A figura 2.3 ilustra a funo caracterstica de um controlador On-Off sem histerese.

m(t)

e(t)

2.3.2. Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)

A lei de controle do controlador PID combina as aes proporcional, integral e

derivativa. Por causa da ao integral, o controlador consegue fazer a sada da planta acompanhar, em regime, sinais constantes de referncia, alm de rejeitar, em regime, perturbaes constantes de carga. A ao derivativa contribui para melhoria da velocidade de resposta e a ao proporcional afeta o erro de regime para entradas, por exemplo, do tipo

rampa.

A equao 2.1 representa a funo de transferncia do controlador PID, em que Kp, Ki

e Kd so os ganhos: proporcional, integral e derivativo, respectivamente.

( ) .KiC s Kp Kd ss

= + +

( 2.1 )

A funo de transferncia do controlador PID muitas vezes representada na sua

forma equivalente da equao (2.2), em que Ti e Td so os tempos: integral e derivativo, respectivamente.

FIGURA 2.3 FUNO CARACTERSTICA DO CONTROLADOR ON-OFF.

1( ) 1 ..

C s Kp s Tds Ti

= + +

( 2.2 )

2.4. Mtodos de Sintonia de Controladores PID

As principais especificaes de desempenho a serem alcanadas por um controlador em malha fechada, segundo Altmann (2005), so, alm de conferir estabilidade:

reduzir o efeito do sinal de distrbio;

reduzir o transitrio na sada da planta devido a uma variao do sinal de referncia;

reduzir o mximo sobressinal durante o regime transitrio;

reduzir o tempo de resposta do sistema em regime transitrio;

reduzir o erro em regime estacionrio;

Para alcanar todas as especificaes de desempenho, pode-se deparar com uma

situao de conflito. Por exemplo, um ajuste que visa aperfeioar a resposta a um sinal de referncia pode ser inadequado para uma boa rejeio de perturbaes.

A literatura de controle de processo apresenta inmeros mtodos de projeto de controladores PID que se dividem basicamente em dois grupos: mtodos heursticos e

analticos. Considera-se aqui como mtodo heurstico todo aquele que necessita de um ensaio preliminar com a planta para que da sua resposta se obtenham os valores notveis necessrios

ao projeto. Os demais, que usam um modelo mais rigoroso da planta, so considerados aqui como mtodos analticos.

Os primeiros mtodos heursticos apareceram por volta de 1940, nas primeiras dcadas de desenvolvimento de projeto de controladores e visam conferir uma taxa de decaimento de nas amplitudes dos picos da oscilao do sinal de sada, cuja idia associada ao tradicional mtodo de Ziegler e Nichols (1942). Todavia, relatam-se casos de sistema de ordem superior, cuja aplicao dessa sintonia pode levar a respostas com caractersticas indesejveis, por exemplo, com um sobressinal superior a 70% ou muito oscilatrias, condies tipicamente no adequadas em aplicaes de controle nas plantas

industriais.

A seguir resumem-se os procedimentos de projeto de algumas das mais conhecidas tcnicas de sintonia de controladores PID.

2.4.1. Mtodos Heursticos de Ziegler e Nichols

Considere um sistema de controle com um controlador PID, conforme a figura 2.4, em

que C(s) est na forma da equao 2.2.

FIGURA 2.4 CONTROLADOR PID EM MALHA FECHADA.

Ziegler e Nichols (1942) propuseram regras heursticas de sintonia que permitem o ajuste dos parmetros Kp, Ti, Td. Suas regras so baseadas em experimentos de resposta ao degrau em malha aberta (primeiro mtodo), ou em experimentos baseados no ganho de um controlador proporcional que leva o sistema estabilidade marginal em malha fechada

(segundo mtodo). No primeiro mtodo deve-se obter uma resposta experimental da planta em malha

aberta. Caso a resposta exiba um aspecto em S, como ilustrado na figura 2.5, esse mtodo pode ser aplicado. Esse comportamento ocorre, normalmente, quando a planta no contm

integradores, estvel e no possui plos dominantes pouco amortecidos.

u(t) y(t)

u(t)

t t

y(t)

FIGURA 2.5 PADRO DE RESPOSTA AO DEGRAU.

Se a resposta satisfaz essa condio de aspecto, o modelo linear da planta pode ser considerado aproximadamente

ses

KsG

+=

1)( , ( 2.3 )

em que o tempo morto aparente, a constante de tempo e K o ganho da funo de

transferncia. Esses valores podem ser extrados diretamente da curva de resposta, como

indicado na figura 2.6.

y(t)

FIGURA 2.6 PARMETROS DA RESPOSTA EM MALHA ABERTA.

A tabela 2.1 apresenta os valores sugeridos por Ziegler e Nichols (1942) para os ganhos do controlador PID em funo dos valores notveis da curva de resposta, mas tambm

mostra os ganhos sugeridos, caso de controladores PI ou P.

TABELA 2.1 PRIMEIRO MTODO DE ZIEGLER E NICHOLS

Kp Ti Td

P 0

PI 0,9 0,3

0

PID 1,2 2 0,5

No segundo mtodo procede-se um teste inicial em malha fechada com =iT

e 0=dT . Aumenta-se o valor de Kp desde zero at seu valor crtico Kcr , para o qual a sada

exibe pela primeira vez uma oscilao auto-sustentada de perodo Pcr , como ilustrado na

figura 2.7.

y(t)

t

FIGURA 2.7 PERIODO CRTICO DA RESPOSTA DE MALHA FECHADA.

Caso a sada no exiba oscilao auto-sustentada para nenhum valor de Kp , ento

esse mtodo no se aplica. A sintonia sugerida por Ziegler e Nichols (1942) no seu segundo mtodo resumida na tabela 2.2.

TABELA 2.2 SEGUNDO METODO DE ZIEGLER e NICHOLS

Kp Ti Td

P 0,5 Kcr 0

PI 0,45 Kcr 1

1,2Pcr 0

PID 0,6 Kcr 0,5 Pcr 0,125 Pcr

Note-se que o PID sintonizado pelo 2 mtodo de Ziegler-Nichols resulta sempre em uma funo de transferncia com um plo na origem e dois zeros reais e iguais na posio

4s Pcr= , conforme equao 2.4.

24

( ) 0,075s

PcrC s Kcr Pcrs

+

=

( 2.4 )

2.4.2. Mtodo Heurstico do Rel em Malha Fechada

Em sua publicao, Astrm e Hgglund (1988) apresentam um mtodo de sintonia de controladores PID que ampliou as possibilidades do mtodo das oscilaes auto-sustentadas

de Ziegler e Nichols, no sentido que o mtodo permite obter o valor do perodo crtico Pcr e

do ganho crtico Kcr por meio de um ensaio mais apropriado para as aplicaes prticas.

Esse ensaio preliminar realizado em malha fechada com oscilaes limitadas no qual o controlador opera como um rel que limita sua sada em h, como ilustrado na figura 2.8.

Na prtica, um controlador PID pode funcionar aproximadamente como um rel, fazendo-se mximos os valores de Kp e Ti, e anulando o valor de Td. Normalmente, tambm

possvel ajustar o valor mximo da sada do controlador, permitindo que se escolha um valor conveniente para h.

+h

-h

FIGURA 2.8 ENSAIO EM MALHA FECHADA COM REL.

O perodo da oscilao do sinal de sada y(t) o prprio valor de Pcr . A amplitude a dessa oscilao influencia o valor de Kcr , conforme equao (2.5).

A partir dos valores de Kcr e Pcr , emprega-se os ganhos sugeridos por Ziegler e

Nichols (tabela 2.2),

4 hKcra pi

=

( 2.5 )

2.4.3. Mtodo Heurstico de Cohen-Coon

O mtodo Cohen e Coon (1953) uma alternativa ao mtodo proposto por Ziegler e Nichols (1942). Da mesma forma como o primeiro mtodo de Ziegler e Nichols, o modelo aproximado da planta considerado uma a funo de transferncia de primeira ordem com

tempo morto (equao 2.3). A tabela 2.3 apresenta as sintonias proposta por Cohen e Coon (1953) para as leis de

controle P, PI. PD e PID.

TABELA 2.3 SINTONIA PROPOSTA PELO METODO DE COHEN E COON

Kp Ti Td

P 1 13K

+

0 0

PI 1 0,9 1

12K

+

103 209

+

+ 0

PD 1 1,25 1

6K

+

0 3

2 322

+

PID 1 4 1

3 4K

+

632

813

+

+

4211

+

2.4.4. Mtodo Heurstico da Integral da Funo de Erro

Os mtodos heursticos apresentados nas sees anteriores foram concebidos de forma a proporcionar uma resposta de malha fechada com um decaimento dos seus picos na razo de

. Esse critrio leva ao grande inconveniente de respostas muito oscilatrias. Como alternativa a esse critrio, se usam os ndices integrais (SEBORG; EDGAR; MELLICHAMO, 1989)

( )20

( ) ,ft

ISE e t dt= ( 2.6 )

0

( ) ,ft

IAE e t dt= ( 2.7 )

0

( ) ,ft

ITAE t e t dt= ( 2.8 )

em que, ISE a integral do quadrado do erro, IAE a integral do valor absoluto do erro, e ITAE a integral do valor absoluto do erro multiplicado pelo tempo. Note-se que o ndice

ITAE penaliza os erros que persistem mesmo com o passar do tempo. O mtodo heurstico de sintonia de controladores PID baseado nos critrios integrais

da funo do erro so aplicveis a plantas de primeira ordem com tempo morto. Segundo Lopez, et al., (1967, apud GARCIA, 2003), as expresses das equaes 2.9 a 2.11 definem a sintonia PID recomendada para o problema regulador, ou seja, para variaes na carga. As constantes A, B, C, D, E, e F esto listadas na tabela 2.4 (GARCIA, 2003).

.

B

K Kp A

=

,

( 2.9 )

D

CTi

=

,

(2.10 )

F

ETd

=

.

(2.11 )

TABELA 2.4 CONSTANTES DO PROBLEMA REGULADOR

A B C D E F PI ISE 1,305 -0,960 0,492 -0,739

PI IAE 0,984 -0,986 0,608 -0,707

PI ITAE 0,859 -0,977 0,674 -0,680

PID ISE 1,495 -0,945 1,101 -0,771 0,560 1,006

PID IAE 1,435 -0,921 0,878 -0,749 0,482 1,137

PID ITAE 1,357 -0,947 0,842 -0,738 0,381 0,995

Segundo Rovira, et al., (1969, apud GARCIA, 2003), as expresses das 2.12 a 2.14 definem a sintonia PID recomendada para o problema servo, ou seja, para variaes do sinal de referncia. As constantes A, B, C, D, E, e F esto listadas na tabela 2.5. (GARCIA, 2003)

.

B

K Kp A

=

,

(2.12 )

D

DCTi

+=

,

(2.13 )

F

ETd

=

, (2.14 )

TABELA 2.5 CONSTANTES DO PROBLEMA SERVO

A B C D E F PI IAE 0,758 -0,861 1,02 -0,323

PI ITAE 0,586 -0,916 1,03 -0,165

PID IAE 1,086 -0,869 0,74 -0,13 0,348 0,914

PID ITAE 0,965 -0,85 0,796 -0,1465 0,308 0,929

Em seu artigo, Tavakoli e Tavakoli (2003 apud CAMPOS e TEIXEIRA, 2006) executam uma anlise dimensional para determinar uma sintonia tima para controladores

PID baseada nos critrios IAE e ITAE para o problema servo de sistemas de primeira ordem com tempo morto. A tabela 2.6 apresenta os parmetros sugeridos.

TABELA 2.6 SINTONIA DE TAVAKOLI E TAVAKOLI

Fator Adimensional IAE ITAE

=KKp 2,0

1

+

1,0

8,0

+

Ti

=

08,0

2,13,0

+

+

+

13,0

Td

=

90

1

04,0

06,0

+

2.4.5. Mtodo Analtico da Sntese Direta

Neste trabalho considera-se que um mtodo classificado como analtico se ele requer um modelo mais rigoroso da planta que aquele obtido por poucos parmetros de um ensaio preliminar, como o caso dos mtodos aqui denominados de heursticos.

O mtodo da Sntese Direta busca definir a funo de transferncia de malha fechada para impor a resposta de malha fechada.

Ao especificar a resposta desejada, necessrio verificar se o controlador resultante realizvel, ou seja, se no possui um tempo morto positivo (no causal) ou termos de diferenciao pura com mais zeros que plos na funo de transferncia.

A partir dos modelos padres de plantas representadas na tabela 2.7, obtm-se a sintonia dos controladores. No caso, as plantas de primeira ordem, e primeira ordem com tempo morto, admitem apenas sintonia PI. Plantas de segunda ordem, e segunda ordem com tempo morto, admitem apenas sintonia PID.

TABELA 2.7 SINTONIA PID DA SNTESE DIRETA Parmetros do controlador PID

Modelo da Planta Kp Ti Td

( )1

KG ss

=

+ K c

0

( )1

sKeG ss

=

+ ( )K c

+ 0

( ) (1 )(1 )1 2KG s

s s =

+ +

1 2K c

+

1 2 + *1 2

1 2

+

( ) (1 )(1 )1 2sK eG s

s s

=

+ + 1 2( )K c

+

+

1 2 + *1 2

1 2

+

2.4.6. Outros Mtodos de Projeto PID

Embora com aplicao industrial menos freqente, existe uma enorme quantidade de tcnicas de projeto PID sugeridas na literatura. A seguir, apresenta-se uma parte desse panorama.

Em seu artigo, Hemerly (1991) prope uma tcnica do projeto de controladores PID digitais. Essa tcnica envolve a otimizao numrica do desvio da sada do processo em relao sada de um modelo de referncia.

Na classe dos mtodos de sintonia analticos, as tcnicas apresentadas em grande parte dos artigos so fundamentadas na representao de estados e na teoria de controle timo. Em seu artigo, Athans (1971) mostra como usar a teoria de controle timo linear de sistemas reguladores para resolver um problema servo aplicado a uma planta de primeira ordem, resultando numa estrutura de controlador do tipo PI. Essa planta deve ser aumentada por um integrador, para que o sistema de malha fechada consiga acompanhar sinais de referncia do tipo degrau aplicado na entrada. Uma soluo explcita fornecida para resolver o problema com um funcional quadrtico que envolve uma ponderao entre o sinal do erro e a varivel manipulada. Uma restrio do procedimento proposto em Athans (1971) ser aplicvel somente aos sistemas do tipo nica entrada e nica sada (SISO) e a sistemas de 1 ordem ou predominantes.

Esse problema foi resolvido, em parte, por Mukhopadhyaya (1978) que mostra ser possvel determinar uma estrutura de controlador do tipo PID multivarivel, equivalente lei de controle do tipo realimentao de estado. O problema com esse mtodo que a equivalncia s biunvoca quando o nmero de sada da planta igual metade do nmero de estados. Isso um tanto restritivo, porm so propostas solues aproximadas baseadas em problemas de mnimos quadrados. Outra limitao do mtodo proposto em Mukhopadhyaya (1978) que aspectos de robustez no so tratados.

O problema de robustez foi incorporado por Leonardi e Cruz (1993) e uma aplicao SISO foi apresentada em Maya e Leonardi (1994). Antes do seu mapeamento numa estrutura PID, a lei de controle admitida do tipo realimentao completa de estados, permitindo que qualquer propriedade conferida pela realimentao de estados, tal como a minimizao da

norma H2 ou H , venha a ser tambm obtida aproximadamente na soluo PID.

3. MTODO DO LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES INCREMENTAL

Este captulo aborda o mtodo do lugar das razes, suas regras de construo, destacando a propriedade incremental, um dos principais objetos de estudo deste trabalho. Prope-se aqui uma estratgia de controle de malha fechada e o seu procedimento de projeto baseado na propriedade incremental do lugar das razes e na tcnica de cancelamento de plos e zeros. Mostra-se que esse controlador, aqui denominado de LGRI, tem uma estrutura equivalente a um controlador PID de dois graus de liberdade, fazendo com que o acompanhamento do sinal de referncia e a rejeio de distrbios, sejam feitos com dinmicas distintas.

3.1 Mtodo do Lugar das Razes

Walter R. Evans (1948), teve sua principal contribuio disseminando o mtodo Evans do lugar das razes e, aps dois anos, em 1950, apresentou o mtodo do Lugar Geomtrico das Razes (LGR), que permite determinar os plos da funo de transferncia em malha-fechada, a partir dos plos e zeros da funo de transferncia de malha aberta, em funo do ganho do sistema (EVANS, 1950). O LGR tornou-se uma ferramenta auxiliar ao desenvolvimento de projeto de sistemas de controle.

Com o mtodo do lugar das razes, possvel saber como os plos e zeros em malha aberta devem ser modificados, para que a resposta atenda a certas especificaes de desempenho de um sistema. Mas esse apenas um, entre muitos outros, dos recursos oferecidos na aplicao do mtodo.

Para apresentao dos fundamentos do LGR, considere o diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada, representado na figura 3.1.

FIGURA 3.1 SISTEMA DE CONTROLE DE MALHA FECHADA

A funo de transferncia de malha fechada dada por

( ) . ( )( ) 1 . ( ) ( )

Y s K G sR s K G s H s

=

+. ( 3.1 )

A partir dela, imediato perceber que a equao

1 . ( ) ( ) 0K G s H s+ = , ( 3.2 )

permite determinar os plos de malha fechada, pois o numerador da funo

1 . ( ) ( )K G s H s+ tambm denominador da funo de transferncia de malha fechada.

A equao 3.2 se desdobra nas equaes 3.3 e 3.4 que definem a condio de mdulo, e de fase, respectivamente, bases para a construo do LGR, pois os valores de s que

satisfazem as condies de mdulo e fase so as razes da equao caracterstica (equao 3.2) (OGATA 1997).

1( ) ( )K G s H s=

( 3.3 )

( ) ( ) 180 360G s H s K= para 0,1, 2,...K = ( 3.4 )

3.1.1. Resumo das Regras de Construo do LGR

O lugar das razes uma representao grfica das localizaes dos plos da funo

de transferncia de malha fechada de um sistema de controle, em funo de algum parmetro da funo de transferncia de malha aberta. A localizao dos plos de malha fechada est atrelada s especificaes do sistema, como por exemplo, porcentagem de

sobressinal, tempo de pico, tempo de acomodao, etc.

As principais regras obtidas a partir das condies de mdulo e fase, so

(NISE, 2002): O nmero de ramos do LGR igual ao nmero de plos de malha aberta

(MA). O LGR simtrico em relao ao eixo real.

No eixo real, para 0>K , o LGR existe esquerda de um nmero mpar de

plos e/ou zeros de malha aberta sobre o eixo real.

LGR se inicia com 0=K nos plos de malha aberta e termina com K

nos zeros de malha aberta. Quando ( ) ( )G s H s tem nmero m de zeros menor que o nmero n de plos, ento mn ramos do LGR vo para o infinito

quando K .

Os ramos do LGR que vo para o infinito, o fazem segundo assntotas que so

semi-retas de origem sobre o eixo real na posio

( ) ( )mn

MAzerosMAplosa

=

( 3.5 )

e com um ngulo

(2 1)180( )aKKn m

+=

, 0, 1, 2, 4,K = K ( 3.6 )

em relao horizontal.

Os pontos de sada e de chegada ao eixo real do LGR ocorrem quando o ganho

, respectivamente, mximo local e mnimo local.

O ngulo de partida de plos e de chegada em zeros determinado pela

condio de fase em um ponto do LGR prximo desse plo ou zero.

3.2. Propriedade Incremental do Mtodo do Lugar das Razes

A propriedade incremental do LGR til em vrias anlises. Em seu artigo, Monteiro

e Cruz (2008) apresentam uma discusso sobre o LGR utilizando a propriedade incremental a partir de exemplos diversos para responder questes sobre formas incomuns do grfico de

Evans do lugar das razes.

Em seu artigo Gomes, Leonardi e Cruz (2006) propem a aplicao da propriedade incremental do LGR no projeto de controladores PID, que o objetivo deste trabalho.

Para apresentar a propriedade incremental, considere o diagrama de blocos da

figura 3.2, em que )()( sHsG representa a funo de transferncia da malha aberta e K , um incremento do ganho K. Note-se que para a determinao das razes de 1 . ( ) ( ) 0K G s H s+ = e, portanto, o traado do LGR, no necessrio considerar a entrada de referncia.

FIGURA 3.2 ANLISE DO LGR INCREMENTAL.

O diagrama de blocos da figura 3.2 equivalente ao diagrama de blocos da figura 3.3, sendo este mais adequado para se evidenciar a propriedade incremental.

K

K

FIGURA 3.3 DIAGRAMA EQUIVALENTE AO DO LGRI.

A equao caracterstica da malha interna dada por 1 . ( ) ( ) 0K G s H s+ = . Logo, o seu LGR pode ser determinado normalmente em funo de K. Os plos de malha fechada dessa malha interna, para um dado K , com seus zeros de malha aberta, determinam a funo de transferncia (de malha aberta) para a construo do LGR da malha externa em funo de

K . Assim, o ganho K aloca os plos de malha fechada, da malha externa, em uma determinada posio do plano complexo que tambm lugar das razes da malha interna.

Como ilustrao considere a funo de transferncia

1( ) ( ) ( 3)( 7)G s H s s s= + + . ( 3.7 )

A figura 3.4 mostra a localizao dos plos em malha aberta nas posies -3 e -7 e o traado do LGR em funo do ganho K (linha contnua).

-7 -3

-5+2j

-5-2j

Im

Re

FIGURA 3.4 LUGAR GEOMTRICO DAS RAZES EM FUNO DO GANHO K.

Ajustando-se, por exemplo, o ganho para 8=K , os plos de malha fechada se localizam na posio j25 . A figura 3.5 ilustra o novo LGR, cujos plos de malha aberta so j25 . Note que o LGR em funo K a continuao do LGR em funo de K, para

8>K .

-7 -3

-5+2j

-5-2j

Im

Re

-5

3.3 O Projeto de Controladores PID Baseado no LGRI

Os requisitos impostos aos sistemas de controle so denominados de especificaes de desempenho e devem ser estabelecidas antes de se iniciar um projeto (OGATA, 2003). Essas especificaes podem ser dadas em funo da resposta transitria como, por exemplo, o mximo sobressinal e o tempo de acomodao. As especificaes tambm podem ser em relao ao regime estacionrio, como a eliminao dos erros estticos.

O mtodo heurstico de projeto de controladores PID, baseado na propriedade incremental do LGR, conduzido em duas etapas.

Deve-se realizar um ensaio preliminar em malha fechada com um controlador proporcional, cujo ganho aqui denominado Kpre, colocando-se um sinal de entrada do tipo

FIGURA 3.5 LUGAR DAS RAIZES EM FUNO DE K.

degrau. Note-se que necessrio que a planta seja estabilizvel com um controlador proporcional para que o mtodo possa ser aplicado.

A escolha de valor do ganho Kpre arbitrria no sentido de que tanto respostas superamortecidas como subamortecidas so vlidas para o mtodo. Entretanto, como ser detalhado adiante, a dinmica de rejeio de distrbios funo desse ganho. Assim, para uma rejeio mais rpida dos distrbios, recomenda-se que o ganho Kpre seja escolhido de forma a conferir uma resposta do tipo subamortecida.

A partir de informaes coletadas do grfico da resposta, pode-se estimar um modelo aproximado da planta. O prximo passo projetar um controlador por cancelamento de plos e zeros. aqui que se faz a relao com a propriedade incremental do LGR, pois os zeros do controlador so alocados sobre os plos de malha fechada do ensaio preliminar. Por causa da propriedade incremental, no necessrio se conhecer os plos e zeros da Planta propriamente dita, j que para um dado Kpre, os plos de malha fechada podem ser considerados como os plos de malha aberta para uma nova realimentao.

Alm do cancelamento dos plos pelos zeros do controlador, acrescenta-se um plo na origem para conferir boas propriedades no regime estacionrio da resposta. O ganho Klocus do compensador ajusta a velocidade de resposta do sistema.

3.3.1. Ensaio Preliminar

O ensaio preliminar serve para se determinar a posio dos plos dominantes do sistema em malha fechada. Como o LGR incremental, no se faz necessrio saber onde esto os plos de malha aberta. Esse o ponto-chave da tcnica proposta neste trabalho.

O ensaio preliminar conduzido com um controlador proporcional e um sinal tipo degrau aplicado na entrada de referncia. A figura 3.6 mostra a estrutura usada no ensaio preliminar.

Kpre -

G(s) + v(s) y(s)

FIGURA 3.6 ENSAIO PRELIMINAR.

No diagrama de blocos do ensaio preliminar, identifica-se a planta G(s) e ganho Kpre do controlador proporcional. Para que o procedimento de projeto possa ser aplicado, o sistema da figura 3.6 deve ser estabilizvel. Dependendo da resposta obtida com o valor escolhido de Kpre, aplica-se um dos procedimentos descritos nas sees seguintes.

3.3.1.1. Sistemas Subamortecidos

Aps realizar o ensaio preliminar, se a resposta do sistema resultar sub-amortecida, deve-se obter a funo de transferncia aproximada para a malha fechada

( )( ) ( )Y s

F sV s

=

( 3.9 )

Um procedimento recomendado para tanto , a partir dos dados do ensaio preliminar,

determinar o valor do instante de pico Tp ;

determinar a porcentagem de ultrapassagem (sobressinal) %UP; calcular o ganho de baixas frequncias Kg do sistema em malha fechada;

calcular a posio dd j dos plos dominantes do sistema em malha fechada.

A equao 3.10 apresenta a funo de transferncia associada a esses valores.

2 2( )( ) ( )( )

d dF s Kgs j s jd d d d

+=

+ + + (3.10 )

As frmulas que relacionam os valores notveis da curva de resposta com a posio dos plos dominantes de segunda ordem, segundo Ogata (1997), so aquelas apresentadas nas equaes 3.11 e 3.12.

T p dpi

=

(3.11 )

% 100

ddUP e

pi

=

.

(3.12 )

O ganho Kg pode ser determinado a partir da variao v aplicada ao sinal de

referncia e da variao y obtida no sinal de sada )(ty .

3.3.1.2. Sistemas Superamortecidos

Se o sinal de sada no ensaio preliminar resultar superamortecido, pode-se determinar

posio d do plo real dominante por meio da constante de tempo observada na resposta.

O ganho Kg do sistema pode ser determinado a partir da variao v aplicada ao sinal de

referncia e da variao y obtida no sinal de sada )(ty . A funo de transferncia de malha fechada associada a esses valores dada por

( )1( ) .

1F s Kg

s

=

+

(3.13 )

Para se caracterizar um sistema de primeira ordem, pode-se usar a expresso temporal da resposta ao degrau

( ) . 1 ty t v Kg e =

0t , (3.14 )

Para se verificar experimentalmente se o sistema apresenta resposta superamortecida e com um plo real dominante, pode-se aplicar o seguinte procedimento prtico: (i) registrar o instante de tempo 1tt = para o qual a sada 63% do valor final; (ii) verificar se para 86% do valor final, o valor do tempo 2t t= aproximadamente 12t , e (iii) verificar se para 95% do valor final, o valor do tempo 3t t= aproximadamente 13t . Se essas condies forem

satisfeitas, o sistema pode ser considerado superamortecido e com um plo real dominante.

3.3.1.3. Sistemas com Amortecimento Crtico

Se o sinal de sada no ensaio preliminar resultar criticamente amortecido, pode-se

determinar posio d dos plos duplos reais e dominante por meio da constante de tempo

observada na resposta. O ganho Kg do sistema pode ser determinado a partir da variao v

aplicada ao sinal de referncia e da variao y obtida no sinal de sada )(ty .

( )( )

21( ) 21F s Kg

s

=

+ . (3.15 )

Para se caracterizar um sistema com amortecimento crtico, pode-se usar a expresso no tempo da resposta ao degrau

1( ) . 1 t ty t v Kg e te

=

0t . (3.16 )

Para se verificar experimentalmente se o sistema apresenta resposta criticamente

amortecida pode-se aplicar um procedimento prtico, comparando a resposta ao degrau com alguns valores notveis da equao 3.16. A tabela 3.1 apresenta alguns valores para esse teste.

Por exemplo, quando a sada 26% do valor final, obtm-se 1t . Se para 60% do valor final

12 2tt , para 80% do valor final 13 3tt e para 90% do valor final 14 4tt , ento o sistema

aproximadamente criticamente amortecido.

TABELA 3.2 RESPOSTA DO SISTEMA COM AMORTECIMENTO CRTICO

y(t)

t = t1 = 0,26 y()

t2 = 2 t1 0,60 y()

t3 = 3 t1 0,80 y()

t4 = 4 t1 0,90 y()

3.3.2. Cancelamento de Plos e Zeros

A tcnica de cancelamento de plos e zeros usada aqui para cancelar os plos dominantes da malha fechada do ensaio preliminar com os zeros do controlador LGRI. Alm dos dois zeros, o controlador proposto possui ainda um plo na origem e um ganho denominado Klocus. A figura 3.7 apresenta a estrutura completa do sistema de controle proposto.

FIGURA 3.7 SISTEMA DE CONTROLE PROPOSTO.

O ganho Klocus responsvel pelo ajuste da velocidade de resposta em malha fechada, pois seu valor afeta diretamente a constante de tempo de malha fechada, como ser detalhado adiante.

A tcnica de cancelamento de plos pode ser aplicada a qualquer um dos trs tipos de sistemas analisados: subamortecido, superamortecido e criticamente amortecido. No caso de sistema subamortecido, o cancelamento realizado por meio da funo

( )( )( ) s j s jd d d dA ss

+ + + =

(3.17 )

No caso de sistema superamortecido, o controlador cancela o plo dominante com

( )1( ) ,sA ss

+=

(3.18 )

enquanto que, se o sistema resulta criticamente amortecido, o controlador cancela os dois plos dominantes por meio da funo.

( )1 .( 1/ )( ) s sA ss

+ +=

(3.19 )

Na seo seguinte, mostra-se que o controlador da figura 3.7 equivalente a um PID com dois graus de liberdade, nos casos das equaes 3.17 e 3.19. Para o caso da equao 3.18, o compensador equivalente a um controlador PI.

3.4 O Controlador PID de Dois Graus de Liberdade (TDOF)

Na rea dos sistemas de controle de processos, sabe-se que os esquemas bsicos de PID e PID modificados provaram sua utilidade conferindo um controle satisfatrio, embora em muitas situaes eles no permitam elevados desempenhos. Como a maioria dos controladores PID ajustada em campo, diferentes tipos de regras de sintonia vm sendo propostas na literatura. Com a utilizao das regras, ajustes finos nos controladores podem ser realizados em campo. Estruturas PID modificadas, como o modelo I-PD e o controlador de dois graus de liberdade, esto em uso na indstria. A utilidade de controladores PID est na sua aplicabilidade geral maioria dos sistemas de controle. Em particular, quando o modelo da planta desconhecido, mtodos de projeto analtico no podem ser utilizados. Em casos prticos, pode existir um requisito relativo resposta da entrada de distrbio e outro requisito relativo resposta da entrada de referncia, conflitantes entre si. Logo no podem ser satisfeitos no caso de um grau de liberdade. Aumentando os graus de liberdade, somos capazes de atender a mais de um requisito. Nesses esquemas de controle temos um controlador no ramo direto e outro controlador no ramo de realimentao (OGATA, 2003).

3.4.1. Estrutura do Controlador TDOF

O controlador LGRI (figura 3.7), com a funo de transferncia A(s) dada por umas das equaes de 3.17 a 3.19, equivalente a estrutura de controle de dois graus de liberdade com controladores PID mostrada na figura 3.10. Uma vez que o problema de rejeio de distrbios questo fundamental no problema com dois graus de liberdade, a perturbao D(s) foi explicitada nesse diagrama.

FIGURA 3.8 ESTRUTURA TDOF COM CONTROLADORES PID

A funo de transferncia dos controladores PID dada por

21 1 11( )

Kd s Kp s KiPID s

s

+ +=

(3.20 )

e

22 2 22( )

Kd s Kp s KiPID s

s

+ +=

(3.21 )

3.4.2. Lei de Controle do Controlador TDOF

Embora a lei de controle de dois graus de liberdade possa ser facilmente obtida para qualquer um dos casos das equaes de 3.17 a 3.19, por ser considerado o mais relevante, somente o caso subamortecido foi detalhado nesta seo e nas seguintes.

Para essa condio, a lei de controle de dois graus de liberdade resulta

( )( ) ( )

2 2 22( ) . ( )

2 2 22 1. ( ) ,

s sd d du s Kpre Klocus r s

s

s Klocus sd d dKpre Klocus y ss

+ + +

=

+ + + +

(3.22 )

ou seja, com os ganhos dos controladores PID1(s) e PID2(s) dados pelos valores da tabela 3.2.

TABELA 3.2 SINTONIA PID

PID1 PID2

Kp ( ). 2Kpre Klocus d ( ). 2 1KpreKlocus kd locus + Ki ( )2 2.Kpre Klocus d d + ( )2 2.Kpre Klocus d d + Kd .Kpre Klocus

.Kpre Klocus

3.4.3. PID Real

Para limitar o ganho elevado das altas freqncias causado pela ao derivativa, comum adiciona-se um filtro de primeira ordem na parcela derivativa da lei de controle PID (equao 3.23). O controlador PID com essa filtragem comumente denominado de PID-Real.

( )1R

Ki sPID s Kp Kds fs= + + + (3.23 )

Se o controle com dois graus de liberdade for implementado com controladores PID-Reais, a funo de transferncia A(s) deve incorporar esse plo da seguinte forma, ou seja,

( )( )( ) ,( 1)s j s jd d d dA s

s fs + + +

=

+ (3.24 )

e a lei de controle resulta

( )( ) ( )

2 2 22( ) . ( )( 1)

2 2 22 1. ( ) ,( 1)

s sd d du s Kpre Klocus r s

s fs

s Klocus sd d dKpre Klocus y ss fs

+ + +

= +

+ + + + +

(3.25 )

3.4.4. Dinmica da rejeio ao distrbio

A estrutura de controlador de dois graus de liberdade da figura 3.8 tambm equivalente ao diagrama de blocos da figura 3.9, em que F1(s) a funo de transferncia do PID1 e F2(s) , do PID2.

F2(s) F1(s)F2(s)

G(s) -

Y(s) R(s) U(s) E(s)

FIGURA 3.9 CONTROLE COM PR FILTRO.

Devido ao cancelamento de plos proposto no projeto, a funo de transferncia de malha fechada resulta em um sistema de primeira ordem

( ) 1( ) ( ) 1Y sT sR s s

= =

+, (3.26 )

sendo que a constante de tempo dada por

( )2 21

. d dKlocus Kg

=

+, ( 3.27

Como o valor do ganho Klocus arbitrrio, a velocidade de resposta da sada tambm arbitrria. Entretanto, a funo de transferncia de malha fechada, sem o pr-filtro

)()( 21 sFsF , resulta em uma dinmica mais complexa, conforme equao 3.27.

Como a compensao da perturbao D(s) que se soma a U(s), feita por essa mesma malha, esse processo de rejeio ser realizado com a dinmica de 3 ordem

21 1 1

( ) 1( ) ( ) 1D d p iY s sT sD s k s k s k s

= = + + +

. ( 3.28 )

22 2 2

21 1 1

( ) 1( ) 1

d p i

d p i

k s k s kY sV s k s k s k s

+ += + + +

. ( 3.27 )

A equao 3.29 mostra que a rejeio s perturbaes possui uma dinmica igual do acompanhamento do sinal de referncia e outra igual dinmica da malha usada no ensaio preliminar.

2 2 2( ) 1 1( ) ( ) 2 ( ) 1D d d d

Y s sT sD s KlocusKpre s s s

= =

+ + + + . ( 3.29 )

Admitindo-se que a dinmica de primeira ordem escolhida seja suficientemente rpida, a dinmica preponderante de )(sTD ser a de segunda ordem. Nesse cenrio, se o objetivo for rejeio rpida, mais rpida deve ser a resposta utilizada no ensaio preliminar, o que tipicamente significa maiores valores de Kpre .

Conclui-se que o controlador que est associado ao acompanhamento do sinal de referncia conduz a desempenhos prximos do comportamento de sistemas de primeira ordem, enquanto o outro controlador, que est associado rejeio de distrbio, tem dinmica mais complexa.

4. ANLISE DE DESEMPENHO

Neste captulo analisa-se o compensador LGRI no controle de uma srie de modelos de plantas que so comuns nas aplicaes prticas da rea de controle de processos. Seu desempenho comparado com o de controladores PID, sintonizados por tcnicas clssicas. A comparao feita por meio das caractersticas notveis da resposta transitria do sinal de sada e do sinal de controle.

4.1. Desempenho via Simulao

O esquema da figura 4.1 ilustra o compensador LGRI aplicado ao controle de nvel de um tanque. Nesta seo sero realizadas simulaes de sistemas de controle com a mesma estrutura daquele da figura 4.1, porm com outras plantas comuns nos processos produtivos, a exemplo dos trocadores de calor, sistemas trmicos, caldeiras, etc.

LT

Kpre Klocus

ATUADOR

A(s)

Y ( s )

R ( s )

M ( s ) +

-

+

-

Tanque

FIGURA 4.1 ESTRUTURA DO SISTEMA DE CONTROLE.

4.1.1. Sistema Marginalmente Estvel

Considere a funo

100( ) ( 10)( 50)G s s s s= + + . ( 4.1 )

Essa ( )G s uma funo marginalmente estvel e poderia, por exemplo, representar um servomecanismo cuja sada a posio e os valores -10 e -50, os plos mecnico e eltrico, respectivamente. Tambm poderamos imaginar que esta funo de transferncia

um modelo de um vaso de presso, onde os plos fora da origem estariam, por exemplo, associados dinmica do atuador.

Dentre os mtodos clssicos de sintonia de controladores PID apresentados na reviso bibliogrfica deste trabalho, a maioria deles no pode ser aplicada a este caso, pois a planta

no estvel. Uma vez que o LGR associado, intercepta o eixo imaginrio, o segundo mtodo de Ziegler e Nichols pode ser aplicado. Tambm possvel aplicar o mtodo do rel, pois seu

o diagrama de Nyquist intercepta o eixo real negativo1. Note que, se um dos plos que est fora da origem no existisse, o diagrama de Nyquist interceptaria do eixo real negativo

somente na origem e a amplitude das oscilaes auto-sustentadas seria nula. Por questes meramente didticas, optou-se por realizar as comparaes de desempenho do controlador

LGRI com o PID sintonizado pelo mtodo do rel. Uma vez que o mtodo LGRI e o do rel tm objetivos diferentes, necessrio

estabelecer uma base para as comparaes. Decidiu-se ento impor um mesmo esforo de controle para que as caractersticas da resposta transitria pudessem ser confrontadas.

4.1.1.1. Projeto PID pelo Mtodo do Rel.

Para um valor de saturao 10h = , escolhido arbitrariamente, as oscilaes do ciclo

limite exibem uma amplitude 0,089a = e um perodo 0,29sPcr = . Com esses valores,

obtm-se os ganhos sugeridos por Ziegler e Nichols e a funo de transferncia PID resulta

1( ) 85,64 1 0,0360,145

C s ss

= + +

. ( 4.2 )

4.1.1.2. Projeto LRGI.

O controlador LGRI possui dois parmetros de projeto, Kpre e Klocus . O primeiro deles usado durante o ensaio preliminar e tambm influencia a dinmica de rejeio de perturbaes. O segundo parmetro influencia a constante de tempo de acompanhamento do sinal de referncia.

O valor 100Kpre = foi escolhido por meio de tentativas de modo a se obter uma

resposta do tipo sub-amortecida no ensaio preliminar. A figura 4.2 apresenta o grfico do

7575 1 Condio para existncia de um ciclo limite.

sinal de sada ( )y t para um sinal de referncia ( )v t do tipo degrau de amplitude unitria. Do grfico de ( )y t , obtm-se o instante de pico 0, 253Tp s= e o sobressinal 48,75 %Mp = . O ganho de regime permanente 1Kg = determinado dividindo-se o valor de regime de sada

pela amplitude do degrau de referncia aplicado. Com base nessas informaes, a funo de

transferncia estimada resulta

2162,2( )

s + 5,68 s + 162,2F s = ( 4.3 )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5Ensaio Preliminar

y(t)

Tempo (s)


O valor 0,038Klocus = foi escolhido por meio de tentativas de modo que o esforo

de controle obtido com o controlador LGRI fosse igual ao esforo de controle obtido com o

PID projetado pelo mtodo do rel. Com os valores Kpre , Klocus e com as informaes do ensaio preliminar determinam-se os controladores

23,8 21,58 616, 451( ) s sPID ss

+ += ( 4.4 )

e

23,8 121,58 616,452( ) s sPID ss

+ += ( 4.5 )

4.1.1.3. Comparativo

Os grficos da figura 4.3 mostram o sinal de sada da planta ( )y t e do controle ( )m t , para um sinal de referncia tipo degrau unitrio no instante 0,2 s , utilizando-se o controlador

LGRI e o controlador PID sintonizado pela tcnica do rel. Como impusemos que os valores mximos do controle fossem iguais, as demais caractersticas da resposta podem ser

comparadas numa mesma base.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2Resposta a uma Referncia em Degrau

y(t)

Tempo(s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100

0

100

200

300

400

500Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIRel

LGRIRel

FIGURA 4.3 RESPOSTA A VARIAO DE REFERENCIA.

Como esperado, o sinal de resposta da planta com controlador LGRI apresenta uma resposta que pode ser aproximada a de um sistema de primeira ordem, cuja constante de tempo de, aproximadamente, 0,16 s.

No caso deste exemplo, a resposta do controlador LGRI superior em quase todas as

caractersticas da resposta transitria, ou seja, no sobressinal e no tempo de acomodao. O mtodo do rel foi superior apenas em relao ao tempo de subida.

Os grficos da figura 4.4 mostram o sinal de sada da planta ( )y t e do controle ( )m t , para um sinal de perturbao tipo degrau de amplitude 10, aplicado no instante 0,2 s.

Como o valor de Kpre no foi escolhido de forma a fixar a dinmica da rejeio de perturbao e sim apenas para conferir uma resposta adequada coleta de dados do ensaio

preliminar, o desempenho da rejeio de perturbao poderia ser bem diferente daquele observado para uma variao do sinal de referncia.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.05

0

0.05

0.1

0.15Resposta a uma Perturbao em Degrau

y(t)

Tempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-20

-15

-10

-5

0Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIRel

LGRIRel

FIGURA 4.4 RESPOSTA AO DISTRBIO.

Dos grficos da figura 4.4 pode-se constatar que tanto a mxima excurso da sada

como o tempo de restabelecimento do valor de regime, so inferiores quando o sistema controlado pelo LGRI, alm de exibir um menor esforo de controle.

As tabelas 4.1.a e 4.1.b resumem os comparativos. Para uma variao do sinal de referncia, comparou-se o esforo de controle (m(t) mximo), o tempo de acomodao Ts da resposta y(t) e seu sobressinal. Na rejeio de perturbaes, compararam-se as amplitudes mximas presentes no sinal de controle e na sada, necessrias para rejeitar o distrbio.

m(t) mximo Ts Sobressinal (%) LGRI 400 0,7s 0

Rel 400 2 s 66

|m(t)| mximo y(t) mximo LGRI 16,2 0,087

Rel 16,6 0.107

4.1.2. Sistema Benchmarking

Em seu artigo sobre sintonia tima de controladores digitais, Hemerly (1991) apresenta a funo de transferncia

3 24, 23( )

2,14 9,28 4,23G s

s s s=

+ + +, ( 4.6 )

e argumenta que ela representa uma planta de difcil sintonia pelos mtodos clssicos. Pelo carter desafiador, o projeto LGRI conduzido para esta planta e seu desempenho comparado com o mtodo de Ziegler e Nichols (1942).

4.1.2.1. Projeto PID pelo Segundo Mtodo de Ziegler e Nichols

Ajustando o ganho do controlador proporcional, obtm-se o limiar de estabilidade para 3,7Kcr = , com um perodo crtico 2,05sPcr = . Com esses valores, obtm-se os ganhos

sugeridos por Ziegler e Nichols e a funo de transferncia PID resulta

1( ) 2,2 1 0, 2571,028

C s ss

= + +

.

( 4.7 )

Tabela 4.1.a DADOS COLETADOS REFERNCIA.

Tabela 4.1.b DADOS COLETADOS DISTRBIO.

4.1.2.2. Projeto LRGI

O valor 1,5Kpre = foi escolhido por meio de tentativas de modo a se obter uma

resposta do tipo subamortecida no ensaio preliminar e de forma que o primeiro dos picos fosse o maior deles, tal como acorre para os sistemas de segunda ordem sub-amortecidos. A

figura 4.5 apresenta o grfico do sinal de sada ( )y t para um sinal de referncia ( )v t do tipo degrau de amplitude unitria. Do grfico de ( )y t , obtm-se o instante de pico 1,64Tp s= e o sobressinal 11 %Mp = . O ganho de regime permanente 0,6Kg = determinado dividindo-se

o valor de regime de sada pela amplitude do degrau de referncia aplicado. Com base nessas

informaes, a funo de transferncia estimada resulta

23,28( )

s + 2,68 s + 5,47F s = ( 4.8 )

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


y(t)

Tempo (s)


O valor 0,38Klocus = foi escolhido por meio de tentativas de modo que o esforo de

controle obtido com o controlador LGRI fosse igual ao esforo de controle obtido com o PID

projetado pelo segundo mtodo de Ziegler e Nichols. Com os valores Kpre , Klocus e com as informaes do ensaio preliminar determinam-se os controladores

20,57 1,53 3,121( ) s sPID ss

+ += ( 4.9 )

e 20,57 3,03 3,122( ) s sPID s

s

+ += (4.10 )


Os grficos da figura 4.6 mostram o sinal de sada da planta ( )y t e do controle ( )m t , para um sinal de referncia tipo degrau unitrio no instante 1,0 s , utilizando-se o controlador LGRI e o controlador PID sintonizado pelo mtodo de Ziegler e Nichols.

Como impusemos que os valores mximos do controle fossem iguais, as demais caractersticas da resposta podem ser comparadas numa mesma base. No caso deste exemplo, a resposta do controlador LGRI , de uma maneira geral, inferior resposta obtida com o

controlador PID projetado pelo mtodo de Ziegler e Nichols.

0 5 10 150

0.5

1

1.5Resposta a uma Referncia em Degrau

y(t)

Tempo(s)

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIZ-N

LGRIZ-N



Dos grficos pode-se constatar que a mxima excurso da sada ligeiramente menor com o controlador LGRI. Porm, o esforo de controle necessrio para isso ligeiramente

maior que o esforo obtido como o controlador projetado pelo mtodo de Ziegler e Nichols.

0 5 10 15-1

0

1

2

3

4Resposta a uma Perturbao em Degrau

y(t)

Tempo (s)

0 5 10 15-15

-10

-5

0Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIZ-N

LGRIZ-N


As tabelas 4.2.a e 4.2.b resumem os comparativos. Para uma variao do sinal de referncia, comparou-se o esforo de controle (m(t) mximo), o tempo de acomodao Ts da resposta y(t) e seu sobressinal. Na rejeio de perturbaes, comparam-se as amplitudes mximas presentes no sinal de controle e na sada, necessrias para rejeitar o distrbio.

Nota-se que, de uma maneira geral, o controlador LGRI apresenta um desempenho

inferior, especialmente com relao ao tempo de acomodao.

m(t) mximo Ts Sobressinal (%) LGRI 59 13,5 s 15

Z-N 59 7,6 s 17


Z-N 11,7 3,1

4.1.3. Sistema com Resposta Inversa

De acordo com Stephanopoulos (1984), sistemas com resposta inversa so tpicos em vrios processos, a exemplo do controle de nvel de uma caldeira. Por esse motivo o projeto LGRI conduzido para a planta

1 1( )0,5 1

G ss s

=

+, (4.11 )

e seu desempenho comparado com o mtodo de Ziegler e Nichols (1942).

4.1.3.1. Projeto PID pelo Segundo Mtodo de Ziegler e Nichols

Ajustando o ganho do controlador proporcional, obtm-se o limiar de estabilidade para 2,0Kcr = , com um perodo crtico 3,15sPcr = . Com esses valores, obtm-se os ganhos

sugeridos por Ziegler e Nichols e a funo de transferncia PID resulta

1( ) 1, 2 1 0,3951,578

C s ss

= + +

. (4.12 )

Tabela 4.2.a DADOS COLETADOS REFERNCIA.

Tabela 4.2.b DADOS COLETADOS DISTRBIO.

4.1.3.2. Projeto LRGI.



sinal de sada ( )y t para um sinal de referncia ( )v t do tipo degrau de amplitude unitria. Do grfico de ( )y t , obtm-se o instante de pico 2,7Tp s= e o sobressinal 36,5 %Mp = . O ganho de regime permanente 1,0Kg = determinado dividindo-se o valor de regime de sada

pela amplitude do degrau de referncia aplicado. Com base nessas informaes, a funo de


21,48( )

s + 0,74 s + 1,48F s = (4.13 )

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


y(t)

Tempo (s)

FIGURA 4.8 ENSAIO PRELIMINAR

O valor 0, 48Klocus = foi escolhido por meio de tentativas de modo que o esforo de


projetado pelo mtodo de Ziegler e Nichols. Com os valores Kpre , Klocus e com as informaes do ensaio preliminar determinam-se os controladores

20,5 0,37 0,741( ) s sPID ss

+ += (4.14 )

e

20,5 1,37 0,742( ) s sPID ss

+ += (4.15 )


Os grficos da figura 4.9 mostram o sinal de sada da planta ( )y t e do controle ( )m t , para um sinal de referncia tipo degrau unitrio no instante 1,0 s , utilizando-se o controlador

LGRI e o controlador PID sintonizado pelo mtodo de Ziegler e Nichols. Como impusemos que os valores mximos do controle fossem iguais, as demais

caractersticas da resposta podem ser comparadas numa mesma base. Observando o tempo de acomodao e o sobressinal da resposta, conclui-se que o controlador LGRI conferiu um

desempenho superior no acompanhamento do sinal de referncia.

0 5 10 15-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


y(t)

Tempo(s)

0 5 10 15-10

0

10

20

30

40

50Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIZ-N

LGRIZ-N



Dos grficos pode-se constatar que a mxima excurso da sada e o esforo de controle necessrio so, praticamente, os mesmos.

0 5 10 15-5

0

5


y(t)

Tempo (s)

0 5 10 15-20

-15

-10

-5

0

5

10Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIZ-N

LGRIZ-N


As tabelas 4.3.a e 4.3.b resumem os comparativos. Para uma variao do sinal de referncia, comparou-se o esforo de controle (m(t) mximo), o tempo de acomodao Ts da resposta y(t) e seu sobressinal. Na rejeio de perturbaes, comparam-se as amplitudes mximas presentes no sinal de controle e na sada, necessrias para rejeitar o distrbio.

Os dados numricos confirmam a concluso qualitativa prvia de que as respostas so praticamente equivalentes nas suas caractersticas quanto rejeio do distrbio, mas o LGRI confere um desempenho superior no acompanhamento do sinal de referncia, pois praticamente no existe sobressinal e o tempo de acomodao bem menor.

m(t) mximo Ts Sobressinal (%) LGRI 48 6,7 s 2,5

Z-N 48 10,9 s 62,5


Z-N 16,2 8,9

4.1.4. Sistema Trmico com Tempo Morto

Outro modelo comum associado a plantas reais funo de transferncia de primeira ordem com tempo morto. Como ilustrao, considere ento o sistema descrito em Ogata

(2003). Trata-se de um sistema trmico no qual o ar quente circula para manter constante a temperatura de uma cmara. Sua funo de transferncia

3 0 , 8( )2 1

sG s es

= + . (4.16 )

Como essa planta estvel em malha aberta, outros mtodos clssicos de sintonia PID

tambm podem ser utilizados. Por tanto, o desempenho do controlador LGRI testado em comparao ao desempenho do controlador sintonizado pelo mtodo de Cohen e Coon (1953).

4.1.4.1. Projeto PID pelo Mtodo de Cohen e Coon

Os valores do ganho, da constante de tempo e do tempo morto da planta podem ser

facilmente obtidos por meio de um ensaio em malha aberta, aplicando-se um sinal de entrada tipo degrau. Com esses valores, obtm-se os ganhos sugeridos na sintonia Cohen e Coon

(tabela 2.3) e o controlador resulta

1( ) 1, 2 1 0, 271,7

C s ss

= + +

. (4.17 )

Tabela 4.3.a DADOS COLETADOS - REFERNCIA.

Tabela 4.3.b DADOS COLETADOS - DISTRBIO.

4.1.4.2. Projeto LRGI



sinal de sada ( )y t para um sinal de referncia ( )v t do tipo degrau de amplitude unitria. Do grfico de ( )y t , obtm-se o instante de pico 2,8Tp s= e o sobressinal 7,4 %Mp = . O ganho de regime permanente 0,54Kg = determinado dividindo-se o valor de regime de sada pela

amplitude do degrau de referncia aplicado. Com base nessas informaes, a funo de


21,17( )

s + 1,87 s + 2,14F s = (4.18 )

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


y(t)

Tempo (s)

FIGURA 4.11 ENSAIO PRELIMINAR

O valor 0,8Klocus = foi escolhido por meio de tentativas de modo que o esforo de


projetado pelo mtodo de Cohen e Coon (1953). Com os valores Kpre , Klocus e com as informaes do ensaio preliminar determinam-se os controladores

20,32 0,6 0,691( ) s sPID ss

+ += (4.19 )

e 20,32 0,692( ) s sPID s

s

+ += (4.20 )


Os grficos da figura 4.11 mostram o sinal de sada da planta ( )y t e do controle ( )m t , para um sinal de referncia tipo degrau unitrio no instante 5,0 s , utilizando-se o controlador LGRI e o controlador PID sintonizado pelo mtodo de Cohen e Coon (1953).

Como impusemos que os valores mximos do controle fossem iguais, as demais

caractersticas da resposta podem ser comparadas numa mesma base. No caso deste exemplo, o controlador LGRI confere um desempenho superior resposta do sistema que pode ser

caracterizado pelo menor sobressinal e tempo de acomodao.

0 5 10 150

0.5

1

1.5


y(t)

Tempo(s)

0 5 10 15-10

0

10

20

30

40Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIC-C

LGRIC-C



Dos grficos pode-se constatar que a mxima excurso da sada e o esforo de

controle necessrio so, praticamente, os mesmos.

0 5 10 15-5

0

5

10


y(t)

Tempo (s)

0 5 10 15-20

-15

-10

-5

0Controle

m(t)

Tempo (s)

LGRIC-C

LGRIC-C


As tabelas 4.4.a e 4.4.b resumem os comparativos. Para uma variao do sinal de

referncia, comparou-se o esforo de controle (m(t) mximo), o tempo de acomodao Ts da resposta y(t) e seu sobressinal. Na rejeio de perturbaes, comparam-se as amplitudes mximas presentes no sinal de controle e na sada, necessrias para rejeitar o distrbio.

m(t) mximo Ts Sobressinal (%) LGRI 33 4,3 s 20

Z-N 33 7,9 s 80

Tabela 4.4.a DADOS COLETADOS - REFERNCIA.

|m(t)| mximo y(t) mximo LGRI 16 10,1

Z-N 18 10,1

Os dados numricos confirmam a anlise qualitativa de que o controlador LGRI

confere um desempenho superior no acompanhamento do sinal de referncia. J quanto rejeio da perturbao, as respostas so praticamente equivalentes.

4.1.5

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Lugar Geometrico Das Raizes Incremental e Sua Aplicacao Na Sintonia de Controladores Pid