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Ludwig Krippahl, 2009
Programação para as Ciências Experimentais
2008/9
Teórica 7
Ludwig Krippahl, 2009 2
Na aula de hoje...
Métodos estocásticos (Monte Carlo)• Calculo de áreas
• Integração de funções
Simulação• Contar unidades formadoras de colónias
Trabalho 1 (dúvidas)
Ludwig Krippahl, 2009 3
Monte Carlo
Nome cunhado pelo matemático Nicholas Constantine Metropolis• (1915-1999)
Conjunto de métodos baseados em números aleatórios.
Ludwig Krippahl, 2009 4
Calcular uma área
x>1
y<x-1y2+x2<4
Ludwig Krippahl, 2009 5
Calcular uma área
x>1
y<x-1y2+x2<4
Área?
Ludwig Krippahl, 2009 6
Algoritmo
Pontos ao acaso no quadrado -2, 2.
Área?
Ludwig Krippahl, 2009 7
Algoritmo
Contamos os pontos dentro e fora.
Área?
Ludwig Krippahl, 2009 8
Algoritmo
Contamos os pontos dentro e fora. A fracção de pontos dentro da área será
a proporção entre a área a medir e a área do quadrado.
Quanto mais pontos melhor.
Ludwig Krippahl, 2009 9
Implementação
Separar as tarefas:• Dentro ou fora?
• Uma função que recebe x, y e devolve true ou false conforme x, y está dentro da área que queremos.
• Contar os pontos• Outra função que recebe o nome da função que
testa, o rectângulo que inclui a área a medir, e o número de pontos, e devolve a área pretendida.
Ludwig Krippahl, 2009 10
Implementação
Função triangcirc testa se está dentro do triângulo e circulo
function dentro=triangcirc(x,y)
dentro= ( x^2+y^2<4 && x>1 && y<x-1);
endfunction
Ludwig Krippahl, 2009 11
Implementação
Função areamc:• devolve área
• recebe• nome da função teste (string, para o feval)
• mínimos de x e y
• máximos de x e y (definem o rectângulo)
• número de pontos
Ludwig Krippahl, 2009 12
Ludwig Krippahl, 2009 13
Ludwig Krippahl, 2009 14
Ludwig Krippahl, 2009 15
Ludwig Krippahl, 2009 16
Ludwig Krippahl, 2009 17
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• valor a devolver com a área
Ludwig Krippahl, 2009 18
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• string com o nome da função que testa cada ponto
Ludwig Krippahl, 2009 19
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• rectângulo que contêm a área a determinar
Ludwig Krippahl, 2009 20
Implementação
Função areamc:
function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)
• número de pontos a testar
Ludwig Krippahl, 2009 21
Implementação
Função areamc:• área (variável a) começa a zero
• calcular a largura e altura do rectângulo
• ciclo para testar o número especificado de pontos.
• no final, a área é o número de pontos dentro a dividir pelo total de pontos e multiplicar pela área do rectângulo
Ludwig Krippahl, 2009 22
Implementação
Função areamc:• ciclo para testar o número especificado de
pontos.• criar coordenadas x,y aleatórias, de minx a maxx,
e miny a maxy respectivamente.
• se feval(testefn, x, y) for verdadeiro então incrementar a variável a (para contar o número de pontos dentro da área)
Ludwig Krippahl, 2009 23
Implementação
Para fazer os gráficos:• Além da área devolver também duas matrizes
com as coordenadas x,y dos pontos dentro e fora.
function [a,dentros,foras]=areamc(testfn,minx,miny, maxx,maxy,pontos)
Ludwig Krippahl, 2009 24
Exemplo de utilização
octave:13> areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,1000)
ans = 1.7440
Nota: chamando assim ignora os outros valores devolvidos, dentros e foras.
Ludwig Krippahl, 2009 25
Exemplo de utilização
pontos=1000;[a,ds,fs]=areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,pontos);hold offaxis("equal") eixos iguaistitle([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");“or;;” – circulo, red, ;; indica que não tem legenda
Ludwig Krippahl, 2009 26
Dicas
Mais pontos, mais rigor:
Ludwig Krippahl, 2009 27
Dicas
Mais pontos, mais rigor. O rectângulo deve estar o mais próximo
possível da área que queremos.• Em vez de (-2,-2) a (2,2), usar (1, -2) a (2,1)
Ludwig Krippahl, 2009 28
Dicas
• Em vez de (-2,-2) a (2,2)
usar (1, -2) a (2,1)
• Área=1.7
Ludwig Krippahl, 2009 29
Integrar função
Ludwig Krippahl, 2009 30
Integrar função
O integral de f(x)=exp(-x3) não tem solução analítica.
Mas o integral é a área:
Ludwig Krippahl, 2009 31
Integrar função
Podemos usar a areamc, só precisamos de uma função nova:
function dentro=expxcubo(x,y)
dentro=y<=exp(-x^3);
endfunction
Ludwig Krippahl, 2009 32
Integrar função
Basta usar:
areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,5000);
ans= 0.89952
Nota: neste caso só é devolvido o primeiro valor (a).
Ludwig Krippahl, 2009 33
Integrar função Para fazer o gráfico:pontos=5000;[a,ds,fs]=areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,pontos);clearplotaxis("equal")title([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");
Ludwig Krippahl, 2009 34
Ludwig Krippahl, 2009 35
Contar microorganismos no ar
Bomba aspira ar. Orifícios sobre placa. Contar colónias. Estimar UFCs.
Ludwig Krippahl, 2009 36
Contar microorganismos no ar
Problema:• Podem entrar vários esporos ou bactérias
pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia.
Ar
Ludwig Krippahl, 2009 37
Contar microorganismos no ar
Problema:• Podem entrar vários esporos ou bactérias
pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia.
• Sabendo o número de colónias na placa, quantas UFCs no ar?
Ludwig Krippahl, 2009 38
Contar microorganismos no ar
Dividir em 2 fases• Simular o processo para calcular quantas
colónias sabendo o número de UFCs.
• Usar a simulação com diferentes valores de UFCs até que obter o número de colónias observado.
Ludwig Krippahl, 2009 39
Simulação
Temos N orifícios e X UFCs. Cada UFC pode entrar por qualquer dos
N orifícios. O número de colónias será o número de
orifícios diferentes por onde entraram UFCs
Ludwig Krippahl, 2009 40
Algoritmo
Para cada UFC seleccionar um orifício aleatoriamente e marcar esse orifício.
Contar o número de orifícios marcados. Repetir um número grande de vezes (50,
100, ...) e tirar o valor médio.
Ludwig Krippahl, 2009 41
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Devolve o número de colónias
Ludwig Krippahl, 2009 42
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Número de orifícios
Ludwig Krippahl, 2009 43
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Número de UFCs no ar
Ludwig Krippahl, 2009 44
Implementação
Função
function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)
• Número de vezes que repete a simulação para calcular a média
Ludwig Krippahl, 2009 45
Implementação
Dois ciclos for:• número de tentativas e, para cada tentativa
• número de ufcs.
A cada tentativa somar a um contador o número de orifícios marcados.
Ludwig Krippahl, 2009 46
Implementação
Dois ciclos for:
for a=1:4
for b=1:3
disp([a,b])
endfor
endfor
Ludwig Krippahl, 2009 47
Implementação
Dois ciclos for:
for a=1:4
for b=1:3
[a,b]
endfor
endfor
Repetido 4 vezes
Ludwig Krippahl, 2009 48
Implementação
Dois ciclos for:
for a=1:4
for b=1:3
[a,b]
endfor
endfor
Repetido 3 vezes cada uma das 4 do ciclo de fora (12 vezes no total)
Ludwig Krippahl, 2009 49
Implementação
Os orifícios podem ser representados como um vector de zeros, e marcados com 1.
O total de orifícios marcados é o somatório do vector.
Ludwig Krippahl, 2009 50
Implementação
Como seleccionar o orifício aleatoriamente.• É preciso arredondar:
• round(x) inteiro mais próximo de x
• floor(x) maior inteiro menor que x
ix=floor(rand*buracos)+1; (de 1 a buracos)
Nota: o rand nunca devolve 1. Ver help.
Ludwig Krippahl, 2009 51
Implementação
Exemplo: 10 orifícios e 3 UFCs,
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] inicio, todos vazios
[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0] 3
[0 0 1 0 0 0 1 0 0 0] 5
[0 0 1 0 0 0 1 0 0 0] 3
2 Colónias
Ludwig Krippahl, 2009 52
Problema real: saber UFCs
A função colonias dá-nos o número de colónias formadas na placa sabendo as UFCs no ar.
O problema real é o inverso: as colónias na placa é o que se observa, e o que queremos saber é as UFCs do ar.
Ludwig Krippahl, 2009 53
Algoritmo
O número de colónias será sempre igual ou inferior ao número de UFCs no ar.
Começar por UFCs= colónias, e ir incrementando os UFCs até obter da função colonias o número certo de colónias.
Ludwig Krippahl, 2009 54
Implementação
Função contaufcs
function u=contaufcs(buracos,cs,tentativas)• Recebe o número de orifícios, colónias
observadas, e o número de tentativas para estimar as colónias para cada valor de u.
Ludwig Krippahl, 2009 55
Implementação
Função contaufcs• u = cs
• Enquanto o número estimado de colónias for inferior a cs, incrementar u e recalcular a estimativa
• Para estimar o número de colónias em função de u usar a função colonias, com o número de tentativas no argumento do contaufcs
Ludwig Krippahl, 2009 56
Para pensar
Outra maneira de implementar• Por bipartição, começando com um
intervalo, e.g., entre nc e nc*4.
• Como?
Ludwig Krippahl, 2009 57
Dúvidas