LUCIDO delle FRAZIONI.docx · Web viewfatti sono ovviamente limitati e indicativi, lasciando libero l’insegnante di usare il sussidio in piena autonomia. Vi sono inoltre molti esempi

Equivalenze Prodotto

BREVETTO n.° 00232006 del 10/08/’99

Pubblicato nel sito www.monachesi.it

Ennio Monachesi

SET LUCIDO DELLE FRAZIONI

Con animazione al computer e L.I.M.

1

2

1

3

1/15

1

3

5 = 1

15 3

2 x 1 = 2

3 2 6

ATTENZIONE

File di “sola lettura”. Si apre solo cliccando su “sola lettura”.Non può essere modificato, se non con la password segreta dell’autore.Si chiude solo cliccando su “non salvare le modifiche”: ciò consente di farci l’animazione spostando a piacere le figure, chiudendolo poi come era all’inizio.

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Il SET LUCIDO ha ottenuto il BREVETTO n° 00232006 del 10/8/’99, come “modello di utilità”.

E’ stato pubblicato da:

RAFFAELLO editrice, Monte San Vito, Ancona 1993. (Vecchia versione

dal titolo SET CINEMATICO delle frazioni)

RIVISTA “L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate”, n° 3,

vol. 30A, maggio ‘07. Centro ricerche didattiche UGO MORIN.

FRANCO ANGELI, “Strumenti per la didattica della matematica”, 2015

Rivista telematica on line www.edscuola.it -comprensivi - materiali - archivio - umorismo e didattica.

SITO WEB www.monachesi.it

INDICE - SOMMARIO

PARTE PRIMA - ESPOSIZIONE

Che cos’è il set lucido delle frazioni5

Il “metodo analogico” per apprendere le frazioni5

Come lavorare con il set lucido6

Calcolo mentale visualizzato con le frazioni e concetti connessi6

Esercizi per capire e consolidare i concetti e capire e risolvere i problemi7

Equivalenze con le frazioni8

Giocare “a carte” con le frazioni8

Prodotti con le frazioni9

Problema (Prova nazionale INVALSI 2008)11

Problema12

Capire il significato per facilitare l’uso significativo dei simboli astratti12

Un approccio operativo e costruttivo- laboratoriale13

Esercizi significativi per favorire e consolidare la comprensione13

Trampolino di lancio per una continuità dinamica: “sfida ottimale” 14

Ma il “transfer” cognitivo non avviene in modo automatico15

“Conversione” o “trasposizione” di una rappresentazione16

“Trattamento” o “traduzione” di una rappresentazione16

Modelli intuitivi” di Fishbein e “paradosso di Duval”17

PARTE SECONDA - MATRICI PER LA COSTRUZIONE

Quadrati-matrice per costruire il set lucido18

Esercici facili per capire i concetti 35

PARTE TERZA - ANIMAZIONE

Animazione al computer e LIM36

SET LUCIDO DELLE FRAZIONI

Il “Set lucido delle frazioni” si compone di quadrati lucidi trasparenti, delle stesse dimensioni, frazionati o in un solo senso o in entrambi i sensi, dai 2/2 fino ai 100/100, con linee di colore diverso per i denominatori primi (e rispettive potenze) di 2/2(azzurro), 3/3 (nero), 5/5(rosso), 7/7 (viola). Nei quadrati-frazioni con denominatore multiplo di quelli primi suddetti, prevale, per l’intero perimetro, il colore del denominatore primo più grande: ad es. il viola di 7 prevale sul rosso di 5 che prevale sia sul nero di 3 che prevale sull’azzurro di 2. Le linee di frazione interne restano invece di colore diverso, evidenziando così intuitivamente la scomposizione del denominatore in fattori primi.

Ad es. nel quadrato rosso di 10/10 si vede anche la linea azzurra che divide l’intero in 2 mezzi composti ognuno di 5/5 rossi.

Il set lucido si può realizzare stampando i quadrati-matrice contenuti nella seconda parte di questo file su lucidi trasparenti e ritagliando i singoli quadrati frazionati per poterci visualizzare equivalenze e prodotti (si vedano esempi).

La terza parte di questo file contiene anche l’animazione al computer o alla L.I.M.

Il “metodo analogico” per apprendere le frazioni

Il set consente di apprendere le frazioni con un metodo “analogico”, come quello di Bortolato per i numeri e il calcolo mentale. Consente cioè di apprendere le frazioni visualizzandole concretamente, operando e verbalizzando, per capire intuitivamente le operazioni e i concetti, con un efficace percorso didattico e cognitivo che va coerentemente “dal significato al significante”, assicurando in poco tempo una facile e piena comprensio-ne. L’insegnante può guidare e aiutare gli alunni per favorirne l’autonomia e la graduale capacità di astrazione significativa fondata su solide e trasparenti basi “analogiche”.

Come lavorare con il set lucido

Il set va usato secondo le capacità degli alunni, insieme o dopo altre attività più semplici con le frazioni. All’inizio gli alunni possono familiarizzare con il set lucido manipolandone i quadrati, osservando e comprendendo le frazioni rappresentate e verbalizzandole, ecc., con l’insegnante o con i compagni. Poi ci possono fare facili equivalenze, anche in forma ludica. Il prodotto è più difficile e si potrà introdurre in seguito. Gli alunni possono lavorare, prima con la guida dell’insegnante, poi in modo autonomo, anche in coppia, aiutandosi ed inventando, approfondendo e consolidando le equivalenze, le operazioni e i concetti connessi. E’ molto efficace un lavoro anche soltanto orale ed in tempi limitati. L’insegnante può seguire gli alunni mentre lavorano, aiutando chi ne avesse bisogno. L’importante è che gli alunni si interessino, capiscano e facciano lavorare il cervello, con un approccio laboratoriale, secondo il detto: “Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio imparo”. “Faccio” = “agisco”, anche e soprattutto attivando i processi cognitivi e linguistico- espressivi: con parola cannocchiale “agis-co-gito!”

Calcolo mentale visualizzato con le frazioni e concetti connessi.

Il “Set lucido” può servire per “spiegare”, ma anche e soprattutto per farci operare e riflettere gli alunni per capire bene i concetti e le operazioni. Esso consente di eseguire con facilità, anche giocando, oralmente e concretamente, equivalenze e operazioni con le frazioni, e cioè il calcolo mentale visualizzato con le frazioni, comprendendone pienamente il significato e consolidando la comprensione stessa. Tale attività, inoltre, sottende altri importanti concetti ad essa connessi, come ad es. il rapporto delle frazioni con l’intero e tra di loro, la frazione complementare e propria, impropria, apparente; la frazione come classe di equivalenza (1/3 = 2/6 = 3/9 = 5/15 ecc.); la riduzione ai minimi termini; multipli e sottomultipli, fattori primi e denominatore comune. Nel calcolo mentale visualizzato con le frazioni tali concetti vengono acquisiti intuitivamente, in modo implicito, operando concretamente: sarà poi facile rifletterci anche a livello più astratto ed esplicito.. Usando il set si possono eseguire e capire facilmente equivalenze e prodotti con le frazioni, anche se in numero limitato, ma comunque più che sufficiente per capire i concetti essenziali, che si ritroveranno poi a livello più generale ed astratto.

Le operazioni con le frazioni si fanno in forma simbolica scritta alla scuola secondaria di I° grado, con le regole note, magari spiegandole con qualche esempio concreto. Il quale però, spesso non basta per una comprensione più facile e stabile, profonda e feconda, come invece avviene con il set, che rende molto più facile capire, non solo le equivalenze e le operazioni con le frazioni, ma anche altri importanti aspetti del concetto di frazione, che così diventa molto familiare. E’ importante usare anche altre rappresentazioni, ed il set stesso in modo flessibile, cercando di integrarlo nel contesto vivo del lavoro in classe.

Esercizi per capire e consolidare i concetti e capire e risolvere i problemi.

Gli esercizi ovviamente devono essere adeguati alle capacità degli alunni.

Nelle schede allegate vi sono anche esercizi piuttosto difficili, che si possono tralasciare oppure si possono utilizzare per eventuali approfondimenti, che non sono indispensabili. Gli esercizi non sono fine a se stessi, ma servono per capire le operazioni, soprattutto a livello concettuale, e per facilitare così anche la comprensione e la soluzione dei problemi.

Altrimenti c’è il rischio di finalizzare il lavoro con il set ad una strumentalità fine a se stessa, che andrebbe invece molto ridimensionata, come dicevano già i programmi della scuola media del ‘79, e come ribadiscono le attuali Indicazioni Nazionali. Il semplice calcolo di operazioni ed espressioni con le frazioni, infatti, eseguito mnemonicamente in forma estratta, ha uno scarso valore formativo e non aiuta a capire e consolidare i concetti, ed indirettamente anche a capire e risolvere i problemi: questi sono invece gli obiettivi formativi più importanti, a cui va finalizzato anche il lavoro con il set.

EQUIVALENZE CON LE FRAZIONI

e riduzione ai minimi termini

L’equivalenza di 2 frazioni, e la loro riduzione ai minimi termini, si può visualizzare, anche giocando con i quadrati del set, come già detto, sovrapponendo 2 frazioni equivalenti raffigurate in 2 quadrati del set lucido, frazionati in un solo senso o in entrambi i sensi, come negli esempi seguenti.

1

15

1/30

1

3

10=1

303

4= 2

3015

Giocare “a carte” con le frazioni.

Con i quadrati del set lucido concreto si possono fare le equivalenze anche “giocando a carte”, tra 2 o più alunni, dividendosi in ugual numero i quadrati del set (5 -10 ciascuno), come “carte” da gioco. Poi ogni alunno, a turno, gioca un quadrato ed il successivo può “prenderne” uno giocato se può farci un’equivalenza con un altro che ha in mano: ad es. 3/3 prende 18/18, perché 1/3 è uguale a 6/18, ma non prende 5/5.

L’intero, equivalente a tutti, li prende tutti e viene preso da tutti.

Anche con il “Set lineare” si può fare lo stesso gioco, usando le strisce frazionate in cartoncino plastificato al posto dei quadrati lucidi.

PRODOTTO CON LE FRAZIONI

Il prodotto di frazioni si può visualizzare sovrapponendo 2 quadrati del set raffiguranti le 2 frazioni da moltiplicare, frazionati, uno in senso verticale e l’altro in senso orizzontale, come negli esempi seguenti.

1 x (di) 6= 6 : 10 = 6 x (di) 1 = 6

10 10 10 10 10 100

1/10

1

10

6 decimi di 1 decimo =

= 6 centesimi

1 decimo di 6 decimi uguale a 6 centesimi

1

10

1/10

3 x (di) 5= 5 : 10 x 3 = 5 x (di) 3 = 15

10 10 10 10 10100

5 decimi di 3 decimi = 15 centesimi

3 decimi di 5 decimi = 15 centesimi

1 terzo di 2 quinti = 2 quindicesimi

1

5

1

3

1 x (di) 2 = 2 : 3 = 2 x (di) 1 = 2

3 5 5 5 3 15

2 quinti di 1 terzo = 2 quindicesimi

2 terzi di 4 quinti = 8 quindicesimi

1

5

1

3

2 x (di) 4 = 4 : 3 x 2 = 4 x (di) 2 = 8

3 5 5 5 3 15

4 quinti di 2 terzi = 8 quindicesimi

PROBLEMA (Prova nazionale INVALSI 2008)

Un padre e i suoi 4 figli si dividono la cifra vinta al totocalcio in questo modo: al padre spetta 1/3 dell’intera somma, e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i suoi figli.

Quale frazione della somma spetta a ciascuno dei figli?

SOLUZIONE

Intera somma, cioè 3 terzi – 1 terzo = 2 terzi

1 – 1/3 = 3/3 – 1/3 = 2/3

1

12

1

6

1

3

1

4

1 quarto di 2 terzi = 2 dodicesimi

2 dodicesimi = 1 sesto

2 : 4 = 2 x 1 = 2= 1

3 3 412 6

Poiché i figli sono 4, per trovare la parte che spetta a ciascuno di essi si divide la parte rimasta, cioè 2 terzi, in 4 parti uguali, trovando 1 quarto di 2 terzi che è uguale a 2 dodicesimi, cioè 1 sesto.

2 : 4 = 2x 1 =1 x 1= 1

3 3 43 2 6

1

3

1

2

Semplificando ottengo

1 mezzo di 1 terzo = 1 sesto

PROBLEMA

Un uomo possiede un campo. Per pagare un debito deve venderne 1 quarto.

Dopo alcuni anni muore e lascia in eredità, in parti uguali, ai suoi 5 figli, il campo rimasto.

Qual è la parte di campo che avrà ciascun figlio?

SOLUZIONE

Vendendo 1 quarto del campo, ne restano 3 quarti.

1

4

1/5

Intero campo, cioè 4 quarti – 1 quarto = 3 quarti

1 – 1/4 = 4/4 – 1/4 = 3/4

3 : 5 = 3 x 1 = 3

4 4 5 20

1 quinto di 3 quarti = 3/20

Poiché i figli sono 5, per trovare la parte che spetterà a ciascuno di essi si deve dividere la parte del campo rimasta, cioè 3 quarti, in 5 parti uguali, trovando 1 quinto di 3 quarti che è uguale a 3 ventesimi.

Capire il significato per facilitare l’uso significativo dei simboli astratti

Negli ultimi 3 esempi si capisce chiaramente come la frazione di un intero (es. 3/4 possa essere a sua volta frazionata (ad es. in 5/5), visualizzando così la frazione di una frazione, che corrisponde al prodotto tra due frazioni (es. 1/5 di 3/4 = 3/20). Le operazioni e i concetti vengono compresi e consolidati facilmente mediante le illustrazioni e l’applicazione in esercizi pieni di significato. Sarà poi molto più facile capire le regole generali e l’uso dei simboli astratti, con numeri più grandi. Gli esempi fatti sono ovviamente limitati e indicativi, lasciando libero l’insegnante di usare il sussidio in piena autonomia. Vi sono inoltre molti esempi che si riferiscono in parte a obiettivi e contenuti della scuola secondaria di I° grado, ma si può fare un lavoro più semplice fin dalla classe terza o quarta della scuola primaria, in modo graduale ed equilibrato, senza esagerare, soprattutto per le equivalenze. Il prodotto tra le frazioni si fa alla secondaria di I° grado, ma alcuni facili esempi si possono capire anche alla scuola primaria.

Un approccio operativo e costruttivo- laboratoriale

“Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio imparo”

(“Faccio” = agisco, anche e soprattutto attivando i processi cognitivi ed espressivi:

con parola cannocchiale, “agis-co-gito!” )

Piaget chiarisce come spesso si confondano i metodi "attivi" con quelli "intuitivi". Questi ultimi infatti si servono ugualmente di sussidi concreti e illustrazioni, ma in modo statico-descrittivo, come se la conoscenza fosse "una copia figurativa della realtà".

Essa invece "consiste sempre in processi operativi che fanno capo ad una trasformazione del reale, con le azioni o mentalmente". (Piaget, “Psicologia e pedagogia”, pag. 68) L'alunno, in tali “processi operativi” logici diretti e inversi, in particolare per le operazioni logico-matematiche, può essere guidato dall'insegnante, afferma ancora Piaget, attraverso "un sistema che metta l'insegnante in condizione di guidare l'allievo, facendolo però agire e non impartendogli semplicemente delle lezioni”. (Piaget, “Psicologia e pedagogia”, pag. 63) Facendolo agire, anche e soprattutto cognitivamente. Infatti si impara ad agire agendo, non soltanto per le abilità manuali, ma anche per i processi mentali-cognitivi, linguistico-espressivi, socio-comunicativi, ecc. Si impara anche a riflettere riflettendo, per elaborare e maturare gradualmente competenze e conoscenze a livello astratto e concettuale, che saranno tanto più profonde, sicure e significative quanto più fondate su di una solida e trasparente base “analogica” di rappresentazioni ed operazioni concrete, ovviamente “senza restare legati esclusivamente a modelli materiali”. (Programmi ’79 scuola media)

Esercizi significativi per favorire e consolidare la comprensione

Con il set si possono fare “esercizi” significativi di equivalenza e di calcolo mentale con le frazioni, consolidandone la comprensione. Come dice Hans Freudenthal: “I fautori dell’ apprendimento attraverso l’intuizione sono spesso accusati di trascurare l’esercizio. Ma piuttosto che contro l’esercizio io sono contro l’abilità che danneggia il ricordo dell’ intuizione. Ma vi è un modo di fare esercizio (incluso anche lo studio a memoria), in cui ogni piccolo passo aggiunge qualcosa al tesoro dell’ intuizione: si tratta dell’esercizio accoppiato con l’apprendimento per intuizione”. (“Ripensando l’educazione matematica”, pag. 150). Freudenthal sostiene l’utilità, non solo dell’intuizione e della comprensione, ma anche degli esercizi che consentono di approfondire e consolidare le intuizioni e la comprensione dei concetti e dei ragionamenti. Si dice invece contrario alla “abilità che danneggia il ricordo dell’intuizione”, e quindi agli esercizi mnemonici che inducono a trascurare “l’intuizione”, la comprensione ed il ragionamento logico.

Hans Aebli scrive: “Le strutture mentali che il bambino costruisce (….) non hanno per nulla quella consistenza che Piaget gli attribuisce. (Ma anche Piaget parla di “decalages”, “scarti”, regressioni: nota dello scrivente). Appena in un processo appaiono fattori di maggiore difficoltà, l’operazione arretra a un livello strutturale più basso. Ciò dimostra quanto sia importante che i risultati di un processo di elaborazione vengano in qualche modo consolidati con adeguati esercizi e applicazioni”. (Hans Haebli, “Rilievi sullo sviluppo mentale del bambino”, La nuova Italia)

Trampolino di lancio per una continuità dinamica: “sfida ottimale”

La comprensione non avviene mai con la modalità del “tutto o niente”, come osserva Guido Petter, ma richiede approfondimenti progressivi, perciò non bisogna preoccuparsi troppo se all’inizio c’è qualche difficoltà. La scuola deve promuovere “un processo unitario di sviluppo, che si consegue attraverso la continuità dinamica dei contenuti e delle metodo-logie”, grazie alla quale ”la progressione dei processi di apprendimento e di maturazione dell’ alunno non abbia a subire sollecitazioni innaturali (il troppo difficile) e compressioni artificiose” (il troppo facile), come si dice nei Programmi del ’79 della scuola media. Attività troppo facili danno luogo ad un continuismo ripetitivo e noioso; attività troppo difficili determinano discontinuità e frattura, provocando in entrambi i casi disagio e demotivazione, passività o ribellione. L’alunno ha molte potenzialità non ancora attualizzate, che si collocano nella sua ”area di sviluppo potenziale” o “zona di sviluppo prossimale” (Vigotsky). Tali potenzialità si sviluppano pienamente solo se vengono sollecitate con interventi formativi adeguati e con attività gradualmente sempre più impegnative, secondo i principi della gradualità e della “discrepanza ottimale”. Come dice Phillips, tra le capacità e risorse degli alunni ed i compiti e difficoltà che essi devono affrontare ci deve essere una “discrepanza ottimale”: gli impegni e le difficoltà, cioè, devono essere proporzionati alle capacità degli alunni, e cioè né troppo facili, né troppo difficili. In tal modo, osserva Bronfenbrenner, esse costituiranno una “sfida ottimale“ per l’alunno, coinvolgendolo, interessandolo e motivandolo ad impegnarsi per superarle sviluppando le sue capacità e potenzialità.

Ma le cose si complicano in misura tanto maggiore quanto più sono diverse ed eterogenee le capacità degli alunni. In tal caso si richiede una notevole flessibilità didattica che può essere favorita in parte anche dalla cooperazione e dall’aiuto reciproco tra gli alunni, oltre che da materiali concreti e da forme adeguate di individualizzazione e personalizzazione del lavoro.

Il set può essere usato, insieme con altri sussidi e attività, in modo flessibile, dagli alunni sia di scuola primaria che di scuola secondaria, in continuità dinamica, come un trampolino di lancio verso una graduale astrazione, per la comprensione del linguaggio, delle operazioni e dei concetti matematici, evitando il vuoto verbalismo e il formalismo mnemonico, che costituiscono una delle cause principali della disaffezione e dell’insuccesso scolastico.

Ma il “transfer” cognitivo non avviene in modo automatico

Silvia Sbaragli evidenzia come l’uso di sussidi e materiali strutturati come il set, e quelli proposti da Dienes, Montessori e Castelnuovo, non basta ad attivare automaticamente il “transfer” cognitivo per risolvere problemi in altri ambiti. E’ perciò importante sollecitare il pensiero con problemi significativi in campi diversi. La Sbaragli scrive: “In questi ambienti gli allievi manipolano “materiale strutturato” in modo attivo e piacevole, in una situazione di forte interazione e dialogo tra allievi e fra questi e l’insegnante. Molto spesso però questi ambienti artificiali (strumenti e materiale strutturato), risultavano fini a se stessi, e portavano esclusivamente ad un apprendimento epidermico. Nel senso che, come sostiene D’Amore (‘99), facendo uso di questi strumenti, raramente avviene che l’allievo posto di fronte ad un problema dello stesso tipo, ma in ambiente diverso, sia capace di trasferire il sapere da una situazione all’altra, in modo naturale, implicito, spontaneo, senza richieste cognitive specifiche per la nuova situazione di apprendimento. Ossia, il fenomeno del transfer cognitivo (su questo argomento si veda Ausubel, 1978) non avviene in modo automatico: da una conoscenza “artificiale” costruita su misura in un ambiente opportuno e specifico, alla conoscenza generalizzata, cioè alla capacità di produrre abilità cognitive e procedurali in altre situazioni (si veda anche Gagné, 1989). Le capacità cognitive e procedurali restano spesso ancorate all’ambito nel quale si sono raggiunte: non si sa trasferire la conoscenza, se non in casi particolari”. (S. Sbaragli, “Riflessioni sull’uso acritico dei regoli (…)”, su “L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate”, vol. 31A, n° 5, settembre ’08. Ciò non toglie che la comprensione di importanti concetti grazie all’uso di efficaci sussidi possa favorire il transfer cognitivo, che però non è “automatico”. Esso richiede un lavoro specifico in compiti e problemi significativi, come ad es. anche le prove INVALSI, in campi ed ambiti diversi. Altrimenti ci si può trovare “spiazzati” dalla novità, anche se si sono acquisite valide conoscenze e competenze, ma magari troppo legate a materiali e contenuti particolari, senza utilizzarle ed applicarle in modo aperto e flessibile, ed in forme diverse, con “abiti” diversi. “Mutatis mutandis”, succede anche con le persone che si vedono sempre in uno stesso ambiente con lo stesso abito, vedendole in un altro ambiente vestite diversamente, senza riuscire subito ad identificarle, pur essendoci familiari.

“Conversione” o “trasposizione” di una rappresentazione,

a livelli diversi di astrazione

Le equivalenze e le operazioni con le frazioni rappresentate concretamente con il set, sono anche verbalizzate ed espresse con i simboli matematici, per “caricare” di significato il linguaggio verbale e i simboli matematici stessi. In tal modo se ne consolida l’associazione con i concetti ed i significati rappresentati con il set o altri sussidi. Con questi si usa il registro di rappresentazione semiotica concreto ed iconico. Esso va associato con quelli verbale e simbolico, attuando la “conversione” o “trasposizione” della rappresentazione dal livello intuitivo-concreto a quello simbolico-astratto, e viceversa, per favorire e consolidare la comprensione. Si può “convertire” un testo verbale in una rappresentazione iconica o concreta con delle illustrazioni o materiali che ne esprimono intuitivamente il significato, o viceversa, si può verbalizzare una rappresentazione iconica o concreta “convertendola” o “trasponendola” in un testo verbale che in tal modo sarà pieno di significato: è ciò che facciamo anche quando verbalizziamo i vissuti e le esperienze. Così si impara la lingua.

“Trattamento” o “traduzione” di una rappresentazione

allo stesso livello di astrazione

E’ importante usare anche altri sussidi e rappresentazioni degli stessi concetti e operazioni, attuando così il “trattamento” o “traduzione” da una forma a un’altra della rappresentazione, allo stesso livello di astrazione o concretezza: da un sussidio concreto a un altro, da un’illustrazione a un’altra, da un grafico a un altro, da una verbalizzazione a un’altra, per esprimere gli stessi concetti. Il set infatti è riduttivo, e perciò va integrato con altre rappresentazioni, come tutti i sussidi e le rappresentazioni concrete di concetti astratti, e tanto più di un concetto così complesso come le frazioni. Si può “tradurre” un testo verbale in un altro testo verbale, o un grafico in un altro, o usare due sussidi concreti diversi per rappresentare ed esprimere gli stessi concetti, che in tal modo vengono compresi meglio grazie al diverso modo di esprimerli e rappresentarli.

Modelli intuitivi di Fishbein e paradosso di Duval

Un uso appropriato e vario, ma non confuso e dispersivo, di sussidi concreti favorisce il formarsi di significative immagini mentali, sia statiche che dinamiche, per rappresentare i concetti matematici sia come processi che come oggetti, secondo la teorizzazione di A. Fard. Fishbein li chiama “modelli intuitivi”, in parte anche “impliciti”, che influenzano il pensiero. Essi costituiscono un solido ponte per la formazione dei concetti e la comprensione dei simboli astratti. Se ne evidenzia l’importanza anche nel paradosso di Duval, così espresso da Radford: “Il problema epistemologico si può sintetizzare nella domanda seguente: come possiamo giungere alla conoscenza di questi oggetti generali (i concetti), dal momento che non abbiamo accesso ad essi se non attraverso rappresentazioni…? “

(In B. D’Amore, “La matematica e la sua didattica”, 4, 585-619)

Riferimenti bibliografici

Duval R. “Trasformazioni di rappresentazioni semiotiche e prassi di pensiero

in matematica”, (in “La matematica e la sua didattica”. 4, 585-619)

Hans Freudenthal, “Ripensando l’educazione matematica”, La Scuola ’94

Emma Castelnuovo, “Didattica della matematica”, La nuova Italia ’63

David Ausubel, “Educazione e processi cognitivi”, Angeli ‘78

Jean Piaget, “Psicologia e pedagogia”, Loescher ‘73

Guido Petter, “Psicologia e scuola primaria”, Giunti ‘88

PARTE SECONDA - MATRICI PER LA COSTRUZIONE

QUADRATI FRAZIONATI DEL SET LUCIDO DELLE FRAZIONI

DA STAMPARE SU LUCIDI TRASPARENTI E RITAGLIARE

PER FARE EQUIVALENZE E PRODOTTI CON LE FRAZIONI

Nelle prossime pagine ci sono i quadrati frazionati

da stampare su lucidi trasparenti di elevata qualità,

e ritagliare, per ottenere i singoli quadrati frazionati

con cui fare prodotti ed equivalenze con le frazioni.

Se ne allegano 2 serie di 54 quadrati ciascuna:

-la prima serie di quadrati con il lato di 8 cm, consigliabili per il set concreto;

-la seconda di quadrati con il lato di 6 cm, utilizzati nell’animazione al computer.

Con i quadrati del set lucido si può “giocare a carte” con le frazioni, tra 2 o più alunni, dividendosi in ugual numero i quadrati del set come “carte” da gioco.

Poi ognuno gioca un quadrato e il giocatore successivo può “prendere” un quadrato giocato se può farci un’equivalenza con un altro che ha in mano: ad es. 3/3 prende 18/18, perché 1/3 = 6/18, ma non prende 5/5, ecc….

L’intero li prende tutti e viene preso da tutti.

Con i quadrati del set lucido si possono visualizzare equivalenze e prodotti con le frazioni. Ci si può lavorare anche solo oralmente, prima con la guida dell’insegnante, poi autonomamente, facendo anche inventare agli alunni equivalenze e prodotti, magari in coppia, aiutandosi, svolgendo così una efficace attività di calcolo mentale visualizzato con le frazioni, non fine a se stesso, ma per capire meglio le procedure e le regole del calcolo, ed altri concetti collegati.

13

SET LUCIDO DELLE FRAZIONI - lato 8 cm

Stampare su lucidi trasparenti e ritagliare: poi sovrapporre per fare equivalenze e prodotti

1

2

1

2

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4

1

3

1

3

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4

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4

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6

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1

6



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5

1

5

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25

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100

1/10

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10



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8

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16

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8

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1

24

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6



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40

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20

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30

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15

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1 I N T E R O

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7

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14

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1

28

1

21



1

9

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18

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27

1

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Stampare su lucidi trasparenti e ritagliare: poi sovrapporre per fare equivalenze

1

2

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2

1

4

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32

1

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SET LUCIDO DELLE FRAZIONI lato 6 cm


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1

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4

1

3

1

3

1

9

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4

1

4



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1

6

1

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5

1

5

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25

1

10

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6



1

8

1

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6

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1/100



1

24

1

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30

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10

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15

1

30

1

12

1

20



1 I N T E R O

1

7

1

18

1

20

1

21

1

35

1

28

1

14



1

9

1

18

1

27

1

45

1

36

1/90


Stampare su lucidi trasparenti e ritagliare: poi sovrapporre per fare equivalenze

1

2

1

2

1

4

1

16

1

32

1

8

ESERCIZI SEMPLICI E COMPRENSIBILI

PER CAPIRE I CONCETTI

ESERCIZI CON IL SET PER CAPIRE E CONSOLIDARE I CONCETTI

NON PER IL CALCOLO STRUMENTALE FINE A SE STESSO

Gli esercizi con il set servono soprattutto per capire le operazioni, le regole e i concetti, rendendo così meno meccanico e più facile e significativo il calcolo consueto con i simboli astratti, facilitando anche la comprensione dei problemi.

GLI ESERCIZI TROPPO COMPLICATI SONO SCONSIGLIATI

MEGLIO FARE ESERCIZI PIU’ SEMPLICI E COMPRENSIBILI

Nelle schede allegate vi sono anche esercizi molto difficili, che possono scoraggiare e appesantire il lavoro, e sono perciò “sconsigliabili” in via ordinaria, ma si possono utilizzare per eventuali approfondimenti, senza esagerare.

63

PARTE TERZA

ANIMAZIONE AL COMPUTER E L.I.M.

CON IL PROGRAMMA WORD – disegno

Questo file è di “sola lettura”. Si apre cliccando su “sola lettura”, dopo aver selezionato “abilita modifiche”. Si chiude solo se si clicca su “non salvare” le modifiche, perciò non può essere modificato. Ci si può lavorare tranquillamente spostando tutte le figure: che chiudendolo tornano automaticamente a posto.

Le figure si possono spostare per fare le animazioni nel modo seguente: cliccare e selezionare col mouse una figura; poi spostarla in senso orizzontale o verticale

1 - o col mouse per spostamenti grandi.

2 - o con uno dei 4 tasti con freccetta (in basso a destra nella tastiera), in senso orizzontale o verticale. Potrebbero essere necessari piccoli assestamenti.

IMPORTANTE: NON VISUALIZZARE GRIGLIA

Se non si visualizza la griglia le figure si spostano in modo continuo, senza salti.

Per l’animazione in questo file la griglia NON DEVE ESSERE VISUALIZZATA

Se si visualizza la griglia le figure si muovono a salti orizzontali o verticali lunghi come il valore impostato per la griglia.

Con word 2010, cliccare su LAYOUT (sopra); ALLINEA (ultimo a destra).

E poi in basso: VISUALIZZA griglia (cliccarci per ATTIVARLA o DISATTIVARLA:

per l’animazione con questo file LA GRIGLIA NON DEVE ESSERE VISUALIZZATA )

E Q U I V A L E N Z E

Con i 3 quadrati lucidi sottostanti sono rappresentate le seguenti equivalenze:

25 centesimi = 1 quarto. 4 centesimi uguale a 1 venticinquesimo

25= 1

100 4

4 = 1

100 25

1

25

1

4

1

100

I quadrati si possono spostare e sovrapporre per rappresentare altre equivalenze nel modo seguente.

Selezionare una figura cliccandola col mouse. Poi spostarla con i 4 tasti con freccette (in basso a destra della tastiera), o anche col mouse per gli spostamenti più grandi.

1

20

1

5

4/20 uguale a 1/5

1/4 uguale a 5/20

1

20

1

4

PRODOTTO

La figura sottostante rappresenta il seguente prodotto:

2 x 2 = 4

3 5 15

2 terzi di 2 quinti uguale a 4 quindicesimi.

2 quinti di 2 terzi uguale a 4 quindicesimi.

1

5

1

3

I 2 quadrati si possono spostare per raffigurare altri prodotti nel modo seguente.

Selezionare un quadrato cliccandolo col mouse.

Poi spostarlo con i 4 tasti con freccette (in basso a destra della tastiera), o anche col mouse per gli spostamenti più grandi.

PRODOTTI (quadrati a sinistra e centrali) ed EQUIVALENZE (col quadrato a destra)

Verbalizzare i prodotti già raffigurati.

Per rappresentare altri prodotti ed equivalenze selezionare una figura cliccandola col mouse.

Poi spostarla con i 4 tasti con freccette , o anche col mouse per gli spostamenti più grandi.

1

2

1

4

1

2

1

2

1

6

1

3

1

8

1

2

1

4

1

2

1

10

1

5

1

12

1

2

1

6

1

14

1

2

1

7

1

2

1

8

1

16

1/20

1

2

1/10

1

3

1

9

1

3

1

12

1

3

1

4

1

15

1

3

1

5

1

3

1

18

1

6

1

21

1

3

1

7

1

3

1

8

1

24

1

3

1

30

1

10

1

16

1

4

1

4

1

20

1

4

1

5

1

24

1

4

1

6

1

4

1

28

1

7

1

4

1

10

1

40

1

25

1

5

1

5

1

5

1

30

1

6

1

35

1

5

1

7

1/40

1

5

1/8

1

5

1

10

1

50

1/10

1

10

1/100

1

6

1

6

1

36

1

2

1

9

1

18

1

27

1

9

1

3

1

45

1

9

1

5

E Q U I V A L E N Z E

Verbalizzare le equivalenze già raffigurate.

Per rappresentare altre equivalenze, selezionare una figura cliccandola col mouse.

Poi spostarla con i 4 tasti con freccette (in basso a destra della tastiera), o anche con il mouse stesso per gli spostamenti più grandi.

1

10

1/10 uguale a 10/100

1/100

1

4

4/100 uguale a 1/25

1

25

1/4 uguale a 25/100

1

4

9/36 uguale a 1/4

1

36

1

9

1

18

1

6

1

16

1

8

1

2

1

4

1

28

1

7

1

3

1

4

1

6

1

24

1

8

1

32

1

30

1

5

1

6

1

3

1

5

1

15

1

30

1

12

1

3

1

4

1

24

1

9

1

27

1

9

1

4

1

20

1

5

1

4

1

8

1

40

1

10

1

20

1

5

1

4

1/40

1/100

1

20

1

10

1

5

1

4

1/20

1

15

1

30

1

5

1

6

1

5

1

9

1

45

1/90

1/10

1

32

1

8

1

4

1

8

1

4

1

16

1

4

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LUCIDO delle FRAZIONI.docx · Web viewfatti sono ovviamente limitati e indicativi, lasciando libero l’insegnante di usare il sussidio in piena autonomia. Vi sono inoltre molti esempi