Lomové charakteristiky betonu vystaveného p·sobení

Habilita£ní práce

v oboru

"Teorie stavebních konstrukcí a materiál·"

Lomové charakteristiky betonu

vystaveného p·sobení vysokých teplot

RNDr.Vít¥zslav Vydra, CSc.

13. prosince 2005

�eské vysoké u£ení technické v Praze,

Fakulta stavební

Pod¥kování

Doc. Trtíkovi d¥kuji za laskavé a pe£livé provedení mechanických experiment·,

ing. Zby¬kovi Ker²nerovi za podporu p°i studiu komplikované problematiky lo-

mové mechaniky, za poskytnutí velmi uºite£ných rad, za zap·j£ení programu MoLoCh

a literatury (pro osvojení si £eské terminologie a získání celkového p°ehledu byla nedo-

cenitelná práce Stibora [1], z°ejm¥ jediná práce svého druhu v £eském jazyce).

Kone£n¥ Alexeji Sveshnikovi bych rád pod¥koval za pomoc se systémem LYX, ve kterém

byla napsána tato práce.

Abstrakt

Tato práce se zabývá p°edev²ím studiem mechanických vlastností betonu vystaveného

p·sobení vysokých teplot do 1000◦C. Sloºení studovaného betonu je shodné s beto-

nem pouºitým p°i konstrukci ochranných obálek reaktor· jaderné elektrárny Temelín.

Vlastnosti jsou ur£ovány na vzorcích betonu ve stá°í 28, 90 respektive 180 dní. Hlavní

pozornost je v¥nována zkou²kám získaným trojbodovým ohybem trámc·. Studovány

jsou klasické pevnostní charakteristiky, tj. reziduální pevnost v tlaku, v tahu a v tahu

ohybem, ale zejména charakteristiky lineární i nelineární lomové mechaniky jako hod-

nota kritického faktoru intenzity nap¥tí, parametry modelu efektivní trhliny, tj. délka

efektivní trhliny a efektivní hodnota kritického faktoru nap¥tí. Je navrºena nová metoda

ur£ování délky efektivní trhliny. Dále jsou navrºeny n¥které nové parametry vhodné ke-

kvantitativnímu hodnocení tvaru k°ivek získaných trojbodovým ohybem trámc· (koe�-

cient zm¥k£ení β a index zm¥k£ení γ). Sou£ástí práce je nov¥ navrºená metoda ur£ování

lomové energie nezávislé na rozm¥rech studovaného vzorku (G∞) na základ¥ modelu

efektivní trhliny a kompletních l-d k°ivek získaných t°íbodovým ohybem.

Abstract

This work deals with studies of mechanical properties of concrete exposed to high tempe-

ratures up to 1000◦C. Concrete mixtures are the same as that ones used in construction

of containments of reactors in nuclear power plant Temelín, Czech Republic. Residual

compession strength and tensile splitting strength are determined using standardised

procedures, �exural strength and modulus of elasticity are determined using three point

bend tests. Characteristics of linear as well as non-linear mechanics are determined from

complete l-d curves i.e. fracture toughness, e�ective fracture toughness, e�ective crack

length and fracture energy. a new method of evaluation of e�fective crack length is pre-

sented. Softening coe�cient β and softening index γ are presented as suitable parametres

for quantitave evaluation of the shape of l-d curves with respect to britleness. A new

method of determination of G∞ (the size independent fracture energy) using complete

l-d curves and an e�ective crack model is suggested. Two set of concrete samples are

used i.e. samples 90 days old and samples 180 days old.

Obsah

1 Cíle práce 11

2 Úvod 13

3 Mechanické vlastnosti betonu - úvod do problematiky 15

3.1 Tuhost a pevnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Lomové charakteristiky LEFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Kritická hnací síla trhliny Gc a kritický faktor intenzity nap¥tí KIc 19

3.2.2 K°ehkostní £íslo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Nelineární lomové charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1 Model efektivní trhliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.2 Model �ktivní trhliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.3 Charakteristická délka lch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.4 Metoda lomové energie a lomové práce . . . . . . . . . . . . . . . 32

Lomová energie nezávislá na tvaru a velikosti zku²ebních vzork· . 33

3.3.5 Modelování l-d diagram· matematickými funkcemi . . . . . . . . 35

3.4 Vliv teploty na mechanické vlastnosti betonu . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1 Vliv vlhkosti betonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.2 Naru²ení vazby mezi cementovou pastou a kamenivem . . . . . . 40

4 Experimentální stanovení vlastností betonu a jejich analýza 43

4.1 P°íprava vzork·, pouºitý materiál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Oh°ev vzork· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Základní charakteristiky betonu ve stá°í 28 dní . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Nanoporozita ur£ená plynovou adsorp£ní metodou BET . . . . . . . . . 49

4.5 Uspo°ádání experiment· TPB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 Analýza k°ivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5

Obsah

4.7 Pevnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.8 Modul pruºnosti E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.9 Kritická hnací síla trhliny Gc a kritický faktor intenzity nap¥tí KIc . . . 57

4.10 Charakteristiky efektivní trhliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.10.1 Délka efektivní trhliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.11 Lomová energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.11.1 Lomová energie podle Rilemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.11.2 Lomová energie nezávislá na tvaru vzorku v roz²í°eném modelu

efektivní trhliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.11.3 Vliv kameniva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.12 Modelování l-d diagram· matematickými funkcemi . . . . . . . . . . . . 79

4.13 Model �ktivní trhliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Charakteristická délka lch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.14 Nespeci�cké lomové charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.14.1 Index k°ehkosti B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.14.2 Index plastické deformace P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Shrnutí, záv¥ry a diskuse 89

Literatura 91

6

Symboly a zkratky

symbol £eský název anglický název jednotky

a délka trhliny crack length [mm]ae délka efektivní trhliny e�ective crack length [mm]a0 délka zá°ezu (vrubu) notch depth [mm]al kritická ²í°ka ligamentu transition ligament size [mm]

αα = a0/W (relativní délkazá°ezu respektive trhliny)

[-]

α index zpevn¥ní1 hardening index [-]B tlou²´ka trámce beam thickness [mm]

B index k°ehkosti betonubrittleness index forconcrete

[-]

β koe�cient zm¥k£ení2 softening coe�cient [-]

δ pr·hyb trámce displacement of the loadpoint

[mm]

δupr·hyb trámce p°imaximálním zatíºení

displacement of the loadpoint at ultimate load

[mm]

E modul pruºnosti v tahu [Pa]E tuhost trámce sti�nes of the beam [N/m]FEM metoda kone£ných prvk· �nite element method �FPZ lomová procesní zóna fracture process zone �fc pevnost v tlaku compressive strength [Pa]ft pevnost v tahu strenght in tension [Pa]fcf pevnost v tahu za ohybu �exural strength [Pa]fct pevnost v p°í£ném tahu tensile splitting strength [Pa]F index deformace p°i poru²ení [-]

Grychlost uvol¬ovánídeforma£ní energie, hnací sílatrhliny

energy release rate [J/m2, N/m]

gFenergie na vytvo°eníjednotkové plochy trhliny3

local fracture energy [J/m2, N/m]

1Podle Zhang et al.[2].2Podle Zhang et al.[2].3Podle modelu �ktivní trhliny (Hilleborg [3]).

7


Gc kritická hnací síla trhlinycritical energy releaserate, crack extension force

[J/m2, N/m]

Gce efektivní hodnota Gc e�ective critical energyrelease rate

[J/m2, N/m]

Gfenergie na vytvo°eníjednotkové plochy trhliny4

[J/m2, N/m]

GF lomová energie5 fracture energy [J/m2, N/m]

G∞lomová energie nezávislá navelikosti vzorku

size-independent fractureenergy

[J/m2, N/m]

Gspeci�cká lomová energie najednotku objemu lomovéprocesní zóny

[J/m3]

γenergie na vytvo°eníjednotkové plochy povrchumateriálu6

surface energy [J/m2, N/m]

γ index zm¥k£ení7 softening index [-]hcp hydratovaná cementová pasta hydrated cement paste �KI faktor intenzity nap¥tí stress intensity factor [Pa

√m]

KIckritický faktor intenzitynap¥tí, lomová houºevnatost

fracture toughness,critical stress intensityfactor

[Pa√

m]

KIce

efektivní kritický faktorintenzity nap¥tí, lomováhouºevnatost

e�ective fracturetoughness, e�ectivecritical stress intensityfactor

[Pa√

m]

l délka lomové procesní zóny crack process zone length [mm]L délka trámce length of the beam [mm]

l-d diagram zatíºení-pr·hybload-displacementdiagram

LEFMlineárn¥ elastická lomovámechanika

linear elastic fracturemechanics

�

NLFM nelineární lomová mechanikanon-linear fracturemechanics

4Podle Griffitha [4].5Dle doporu£ení Rilem [5].6Podle Griffitha [4].7Podle Zhang et al. [2].

8


P síla p·sobící na vzorek load [N]Pu mezní (maximální) síla ultimate load [N]P index plastické deformace [-]S rozp¥tí podpor beam span [mm]s k°ehkostní £íslo brittleness number [-]σc kritické nap¥tí critical strength [Pa]σNc kritické nominální nap¥tí nominal critical strength [Pa]

σunominální nap¥tí p°i meznísíle

ultimate nominal stress [Pa]

σN nominální nap¥tínominal (representative)stress

[Pa]

TPB zkou²ka trojbodovým ohybem three point bending testUe potenciální elastická energie [J]W ²í°ka trámce beam width [mm]

WPlomová práce, práce vn¥j²íchsil8

work of fracture [J, Nm]

We práce elastických sil [J, Nm]WP práce vn¥j²ích sil [J, Nm]

w, wFPZ ²í°ka lomové procesní zónyfracture process zonewidth

[mm]

Y (α) funkce geometrie function of geometry [-]

8Dle Rilemu [5].

1 Cíle práce

Tato práce si klade za cíl prohloubit na²e znalosti o vlivu vysokých teplot na mechanické

vlastnosti betonu, zejména na schopnost odolávat ²í°ení trhlin v masivních konstrukcích

typu ochranné obálky reaktoru jaderné elektrárny. Tohoto cíle bude dosaºeno zpracová-

ním °ady provedených experiment· z hlediska lomové mechaniky, p°ípadn¥ vyvinutím

n¥kterých nových metod na ur£ování lomových charakteristik betonu. Experimenty bu-

dou následující:

1. Dva soubory vzork· stejného sloºení, ale r·zného stá°í (90 resp. 180 dní) budou

vystavovány teplotám v intervalu 100 � 1000◦C a po kaºdém takovém ºíhání budou

m¥°eny pevnostní a lomové charakteristiky, tj. pevnost v tahu ohybem, pevnost

v tlaku a pevnost v p°í£ném tahu. P°i m¥°ení pevnosti v tahu t°íbodovým ohybem

budou zaznamenány kompletní l-d k°ivky m¥°ené v reºimu rostoucí deformace,

které poslouºí k ur£ení dal²ích lomových charakteristik.

2. Jako dopl¬ující experimenty budou provedeny DTA analýza zkoumaného betonu,

mineralogický rozbor sloºení cementu, m¥°ení porozity a n¥kterých dal²ích fyzi-

kálních vlastností betonu.

3. Zpracování bude provedeno v tabulkovém procesoru Excel s vyuºitím programo-

vacího jazyka VBA.

V²echny provedené testy budou provedeny na vzorcích jejichº receptura a pouºité ma-

teriály odpovídají betonu uºitému p°i stavb¥ kontejnmentu jaderné elektrárny Temelín.

Výsledky tak mohou slouºit ke zvý²ení jaderné bezpe£nosti v �eské republice.

11

2 Úvod

Beton je ²iroce pouºíván jako hlavní konstruk£ní materiál v moderních konstrukcích

pro svoji vysokou schopnost odolávat p·sobení tlakových sil a pro svoji trvanlivost.

Beton má nicmén¥ i n¥které nedostatky. Jedním z nich je omezená houºevnatost, re-

spektive k°ehkost, kv·li které se mohou betonové konstrukce z°ítit náhle nebo dokonce

explozivn¥. Tento problém nar·stá s rostoucí pevností betonu a s velikostí konstrukcí.

Vysokopevnostní beton stejn¥ jako masivní betonová konstrukce je schopen odolávat

p·sobení zna£ných sil. Pokud je v²ak mez pevnosti by´ jen lokáln¥ p°ekro£ena m·ºe

dojít ke katastrof¥ a to bez p°edchozího varování, tj bez plastické deformace p°edchá-

zející z°ícení. Tomuto problému byla v¥nována jiº zna£ná pozornost, zejména v²ak p°i

b¥ºných teplotách. Zájem o p·sobení zvý²ených teplot na mechanické vlastnosti betonu

vnikl pom¥rn¥ nedávno. Na celém sv¥t¥ p°itom vzniká nebo jiº stojí °ada rozm¥rných

betonových konstrukcí (TV v¥ºí, p°ehrad, most·, ochranných obálek jaderných elek-

tráren atd.), které jsou vystaveny riziku p·sobení vysokých teplot, a´ uº v d·sledku

poºáru, jaderné havárie nebo teroristického útoku. Vystavení vysokým teplotám m·ºe

být ²okové (rychlý oh°ev nebo rychlé ochlazení) nebo dlouhodobé. Od betonu pouºitého

v t¥chto konstrukcích se p°itom o£ekává, ºe si ponechá alespo¬ £ást svých mechanických

vlastností jak b¥hem p·sobení vysokých teplot, tak po vychladnutí.

Tato práce vnikla zpracováním v¥t²ího mnoºství experimentálních dat, získaných na

vzorcích betonu pouºitého p°i konstrukci ochranné obálky (kontejnmentu) jaderné elek-

trárny Temelín. Ukázalo se, ºe pro interpretaci hlavních výsledk· získaných trojbodo-

vým ohybem trámc·, je nezbytn¥ nutné pouºít p°ístupy a metody lomové mechaniky.

Lomová mechanika je pom¥rn¥ mladá vyvíjející se disciplínu, p°ehledová literatura prak-

ticky neexistuje, stejné veli£iny jsou r·znými autory jinak nazývány i ozna£ovány a nao-

pak veli£iny shodného významu jsou ozna£ovány r·zn¥. Pro lep²í orientaci v symbolech

pouºívaných v této práci byla sestavena tabulka na stran¥ 7.

13

3 Mechanické vlastnosti betonu - úvod

do problematiky

3.1 Tuhost a pevnost

Základem navrhování a posuzování konstrukcí je lineární teorie pruºnosti a pevnosti,

která pouºívá dv¥ základní charakteristiky betonu:

1. Tuhost, která vyjad°uje schopnost betonu (konstrukce) odolávat p·sobícímu na-

p¥tí (síle) v oblasti elastického chování. Chování materiálu popisuje Hook·v zá-

kon, materiálovým parametrem je modul pruºnosti E. Chování konstrukce lze

popsat analogicky jako vztah p·sobící síly P a deformace δ: P = Eδ, kde E je

tuhost konstrukce1. Nap°íklad v p°ípad¥ t°íbodového ohybu trámce2 se jeho tuhost

ur£í jako po£áte£ní sm¥rnice l-d k°ivky3 Ed0 = ∆P∆δ |δ=0= E0 = P

δ .

2. Pevnost, která je vyjád°ena pomocí meze pevnosti σu, která je do ur£ité míry

materiálovým parametrem, respektive pomocí mezní síly Pu, která vyjad°uje mez

pevnosti konkrétní konstrukce.

Modul pruºnosti E je moºné experimentáln¥ ur£it r·znými metodami, jednou z moºností

je vyuºít test· trojbodovým ohybem pomocí vztahu odvozeného metodou kone£ných

prvk· Stiborem [1]:

E =E0

4B

(S

W

)3[1− 0, 387

W

S+ 12, 13

(W

S

)2,5]

+92E0

B

(S

W

)2

F1 (α) , (3.1)

1P°ípadn¥ dP = Eddδ, kde Ed je diferenciální tuhost konstrukce.2Viz obrázek 4.5 na stran¥ 50.3Viz. obrázek 4.10 na stran¥ 56.

15

Mechanické vlastnosti betonu - úvod do problematiky

kde E0 je tuhost trámce ur£ená z po£áte£ní sm¥rnice l-d k°ivky a

F1 (α) =∫ α

0xY 2 (x) dx (3.2)

je integrál funkce geometrie de�nované vztahem 3.13.

Baºant [6] uvádí jednodu²²í vztah

E =E0

4B

(S

W (1− α)

)3

λ (α) , (3.3)

kde λ = 1, 379exp{−1, 463α2 − 0, 036(S/W )2 − 0, 201α(S/W ) + 0, 004(S/W )3

}je

funkce geometrie, platná v intervalu 4 ≤ S/W ≤ 84.

Pevnost betonu v tlaku fc5 se ur£uje dle �SN EN 12390-3 [7].

Pevnost betonu v tahu ohybem je dle �SN EN 12390-5 [8] de�nována jako maximální

nominální nap¥tí na spodním okraji t°íbodov¥ ohýbaného trámce, tj.

fcf ≡ σNu =3PuS

2BW 2, (3.4)

kde Pu je maximální síla p·sobící na trámec b¥hem zkou²ky. Ostatní symboly jsou

z°ejmé z obrázku 4.5 na stran¥ 50.

Pevnost betonu v p°í£ném tahu fct se ur£uje testem podle �SN EN 12390-6 [9]

s pouºitím vztahu

fct ≡ σNu =2Pu

πBS.

Pevnost betonu v p°í£ném tahu se obvykle povaºuje za prakticky totoºnou s pevností

v tahu ft.

P°ístup lineární teorie pruºnosti má své limity. Jedním z t¥chto limit· je, ºe jej nelze

dob°e pouºít pro výpo£et ²í°ení a stability trhlin. Vychází totiº pouze z kritéria pev-

nosti a nebere do úvahy, ºe ²í°ení trhliny vyºaduje energii. Nehodí se proto zejména

4V na²em p°ípad¥ je S/W = 3.5Mezi fc a ft platí empirický vztah ft ≈ 0, 55

√fc s chybou < 10% [1].

16

Tuhost a pevnost

na výpo£ty stability masivních konstrukcí (nap°. ochranné obálky jaderné elektrárny).

P°edstavme si trámec namáhaný na tah, u kterého je nominální nap¥tí σN = PWB men²í

neº pevnost v tahu. Lze p°edpokládat, ºe v n¥kterém míst¥ je trámec oslaben (nehomo-

genitou materiálu nebo trhlinou) a v tomto míst¥ nap¥tí lokáln¥ vzroste nad pevnost

v tahu a za£ne se ²í°it trhlina. V materiálu kolem trhliny nap¥tí poklesne a p°itom

se uvolní potenciální elastická energie. Ta se vyuºije k dal²ímu ²í°ení trhliny. Tím se

ov²em zmen²í pr·°ez konstrukce, dále roste nap¥tí a dojde aº k explozívní destrukci. Je

z°ejmé, ºe takový katastro�cký scéná° nemusí nastat, pokud není k dispozici dostatek

energie na tvorbu trhliny. Více energie (elastické energie) je p°itom k dispozici v masiv-

ních konstrukcích (tzv. size-e�ect [10], viz obr. 3.3). Dal²í podrobnosti jsou uvedeny

v £ásti 3.2.2.

�í°ení trhlin je moºné studovat s vyuºitím numerických metod (FEM). První modely

tohoto typu p°edpokládaly, ºe nap¥tí v betonu klesá k nule ihned po dosaºení meze pev-

nosti - obrázek 3.1(a) - obr. vlevo. Tento p°ístup v²ak vedl k r·zným výsledk·m, podle

toho jaká sí´ byla p°i výpo£tu pouºita (obr. (b) � (e)). Rashid [11] zavedl do numeric-

kých výpo£t· metodou FEM nelineární chování tj. zm¥k£ení materiálu - obrázek 3.1 (a)

- obr. vpravo.

17


Obrázek 3.1: Citlivost metody FEM na jemnost sít¥ [6]

18

Lomové charakteristiky LEFM

3.2 Lomové charakteristiky LEFM

3.2.1 Kritická hnací síla trhliny Gc a kritický faktor intenzity nap¥tí KIc

P°ekonat nedostatky teorie pruºnosti uvedené v p°edchozí kapitole se pokou²í lomová

mechanika, která je zaloºena na bilanci energie v okolí ²í°ící se trhliny. Lomová mecha-

nika m·ºe být lineární (LEFM) respektive nelineární.

Lineární lomová mechanika vychází z p°edpokladu, ºe beton se deformuje p°ímo

úm¥rn¥ p·sobícímu nap¥tí aº do meze pevnosti. Trhlina se povaºuje za dvoudimenzio-

nální útvar (coº znamená, ºe beton v blízkém okolí trhliny je nepo²kozen, ponechává si

své p·vodní, dokonale elastické vlastnosti). Základním parametrem LEFM je houºevna-

tost. K jejímu vyjád°ení se pouºívají dva v podstat¥ ekvivalentní parametry (materiálové

charakteristiky)6:

1. Kritická hnací síla trhliny Gc vyjad°uje energii pot°ebnou k vytvo°ení trhliny, je

vztaºena na jednotku plochy trhliny.

2. Kritický faktor intenzity nap¥tí KIc, který je £asto nazýván lomová houºevnatost.

Energetický p°ístup do lomové mechaniky poprvé zavedl Griffith [4]. Uv¥domil si, ºe

p°i vzniku trhliny se vytvá°ejí dva nové povrchy na jejichº vytvo°ení je t°eba dodat

energii a vyjád°il ji jako7 GfaB = 2γaB. Veli£ina Gf tedy charakterizuje odpor t¥lesa

proti ²í°ení trhliny neboli lomovou houºevnatost materiálu.

Povaºujeme-li ²í°ení trhliny za adiabatický proces (coº beze zbytku platí p°i rych-

lém explozívním ²í°ení, ale p°ibliºn¥ i p°i ²í°ení pomalém) je zm¥na vnit°ní energie

6Za materiálové charakteristiky lze kritickou hnací sílu respektive kritický faktor nap¥tí povaºovatpouze u k°ehkých materiál·, u kterých vý²e uvedené p°edpoklady LEFM beze zbytku platí. V p°í-pad¥ kvazik°ehkých materiál· s výraznou lomovou procesní zónou (tj. i v p°ípad¥ betonu) jsou tytoparametry závislé na velikosti zku²ebních vzork· (nap°. Hillerborg [3]).

7aB je plocha trhliny, Gf je energie na vytvo°ení jednotkové plochy trhliny, γ je energie na vytvo°eníjednotkové plochy povrchu (povrchová energie materiálu) - trhlina má dva povrchy proto Gf = 2γ.P°edpokládáme, ºe trhlina prochází celou tlou²´kou vzorku B a má délku a

19


konstrukce U rovna práci vn¥j²ích sil WP , tj.

dU = dWP .

Vnit°ní energie konstrukce je dána p°edev²ím potenciální elastickou energií Ue a energií

nov¥ vytvo°ených povrch· trhliny GfaB. Postupnými úpravami vý²e uvedené rovnice

dostáváme:

d (Ue + GfaB) = dWP

d (GfaB) = d (WP − Ue)

Gf =1B

d (WP − Ue)da

Pravá strana poslední rovnice se obvykle ozna£uje jako rychlost uvol¬ování deforma£ní

energie nebo jako hnací síla trhliny a zna£í se G

G =1B

(−dUe

da+

dWP

da

)[J/m2]. (3.5)

V nekone£ném vzorku namáhaném v £istém tahu nap¥tím σN , ve kterém se kolmo

na p·sobící sílu ²í°í eliptická trhlina (obr. 3.2), je podle Inglise [12] moºné zm¥nu

Obrázek 3.2: Eliptická trhlina délky 2a v nekone£ném vzorku. Nap¥tí je £ist¥ tahové(tzv. mod I).

potenciální elastické energie t¥lesa vyjád°it jako8

∆Ue = −12Bπa2σ2

N/E′, (3.6)

8Odvození viz. [13, str.121].

20


kde E′

= E pro stav rovinné napjatosti, resp. E′

= E/(1 − ν2) pro stav rovinné

deformace.

Rovnici 3.5 je pak moºno upravit na tvar

G = πaσ2N/E

′+

1B

dWP

da. (3.7)

Trhlina se bude ²í°it, pokud G > Gf , kritická hodnota G, tj. Gc = Gf , se nazývá kritická

hnací síla trhliny. Dá se ukázat9, ºe platí∣∣∣∂WP

∂a

∣∣∣ ≈ ∣∣∂We∂a

∣∣ dP dx,10 díky £emuº se druhý

£len v rovnici 3.7 dá zanedbat. Nap¥tí vyjád°ené z této rovnice je tzv. kritické nap¥tí

σc =

√E′Gc

πa.

Tento vztah lze pouºít i naopak, tj. hnací síla trhliny se dá ur£it z experimentáln¥ ur£e-

ného kritického nap¥tí. Uvedené vztahy v²ak platí jen v p°ípad¥ jednoduché geometrie

dle obr. 3.2, k vyjád°ení nap¥óvých pom¥r· v okolí ²pice trhliny se u reálných t¥les

standardn¥ pouºívá faktor intenzity nap¥tí KI11. Ten je de�nován v modu I (£istý tah)

v polárních sou°adnicích s po£átkem ve vrcholu trhliny jako

KI = limr→0

√2πrσ(r, 0). (3.8)

Známe-li faktor intenzity nap¥tí, m·ºeme vyjád°it nap¥tí v okolí trhliny12, nap°íklad

pro tahové nap¥tí p·sobící na rovinu trhliny platí:

σyy =KI√2πr

(1 + sinθ

2sin

3θ

2) cos

θ

2. (3.9)

V p°ípad¥ geometrie dle obr. 3.2 je σ(r, 0) = σN

√a2r a tedy KI = σN

√πa. Tento

vztah lze zobecnit pro libovolnou geometrii nahradíme-li nominální nap¥tí σN lokálním

nap¥tím σN Y (α)13, pak KI = σN√

πaY (α). Kritické hodnot¥ nominálního nap¥tí σcN

odpovídá kritická hodnota faktoru intenzity nap¥tí, která se obvykle nazývá lomová

9Viz. nap°. [13, str. 118].10dx je posun okraj· t¥lesa.11Zavedli jej Kies [14] a inºený°i �rmy Boeing [15].12Standardní vztahy vyjád°ené v polárních sou°adnicích viz nap°. [16, 13].13Y (α) je tzv. funkce geometrie (kde α = a/W ). Jediná �drobná� potíº spo£ívá v tom, ºe funkce

geometrie je známa jen v ur£itých, geometricky jednoduchých p°ípadech.

21


houºevnatost

KIc = σNc

√πaY (α) . (3.10)

Protoºe σc = σNc Y (α) platí téº

KIc =√

E′Gc, (3.11)

a je tedy z°ejmé, ºe známe-li modul pruºnosti E lze G vypo£ítat z KI a naopak.

V inºenýrské praxi je se vºilo spí²e pouºití KI neº G, protoºe slouºí k výpo£tu stavu

napjatosti v okolí vrcholu trhliny.

Je zajímavé si v²imnout, ºe rovnici 3.10 je moºno p°epsat do tvaru KIc =σNc

√πWg (α), kde g (α) je op¥t bezrozm¥rná funkce α. Vyjád°íme-li z tohoto vztahu

kritické nap¥tí dostaneme po úprav¥

log σNc = −12

log W + const.,

coº je vyjád°ením vlivu rozm¥ru na kritické nap¥tí v p°iblíºení lineární elastické lomové

mechaniky (²ikmá £ára v obr. 3.3).

Obrázek 3.3: Vliv rozm¥ru konstrukce na kritické nominální nap¥tí (tzv. size e�ect [6]).

22


Funkce geometrie Y (α) je v p°ípad¥ uspo°ádání dle obr. 3.2 rovna jedné, v ostatních

p°ípadech bývá ur£ena numericky pomocí FEM. V p°ípad¥ trojbodového ohybu trámce

dle obr. 4.5 lze nominální nap¥tí v míst¥ zá°ezu nalézt ze vztahu σNc = 3SPu2BW 2 a vztah

3.10 po dosazení p°ejde do tvaru:

KIc =3SPu

2BW 2

√πaY (α) . (3.12)

Lomovou houºevnatost ve smyslu LEFM14 je tedy moºné ur£it z l-d diagramu získaného

b¥hem trojbodového ohybu. Funkce geometrie závisí jen na hloubce zá°ezu a dal²ích

rozm¥rech zku²ebního t¥lesa. V literatu°e (nap°. v [6]) lze nalézt £etná vyjád°ení této

funkce, v¥t²inou bývají omezena na ur£itý rozsah geometrických rozm¥r·. Nap°. �SN

EN ISO 12737 [17] uvádí funkci geometrie pro S = 4W a 1 ≤ W/B ≤ 4, coº tvaruna²ich vzork· nevyhovuje. Musíme pouºít univerzální p°edpis dle Pastora15

Y (α) = Y∞ (α) + 4W

S(Y4 (α)− Y∞ (α)) , (3.13)

kde

Y4 (α) =1, 9− α

[−0, 089 + 0, 603 (1− α)− 0, 441 (1− α)2 + 1, 223 (1− α)3

](1 + 2α) (1− α)3/2

a

Y∞ (α) =1, 989− α (1− α)

[0, 448− 0, 458 (1− α) + 1, 226 (1− α)2

](1 + 2α) (1− α)3/2

.

14Je t°eba poznamenat, ºe KIc roste s rostoucí pevností betonu. Je p°itom velmi dob°e známo, ºepráv¥ vysokopevnostní betony se vyzna£ují k°ehkým lomem, t¥ºko je tedy moºné kritický faktorintenzity nap¥tí povaºovat za dobrou charakteristiku lomové houºevnatosti, tj. schopnosti odolávat²í°ení trhlin.

15Viz nap°. Stibor [1], v jehoº práci byla Pastorova funkce dokonale prov¥°ena pomocí programuAnsys.

23


Pr·b¥h této funkce je znázorn¥n na obrázku 3.4.

Obrázek 3.4: Funkce geometrie Y (α) pro trámec trojbodov¥ ohýbaný

3.2.2 K°ehkostní £íslo s

Parametrem, který vyjad°uje zda pro danou konstrukci je rozhodující charakteristikou

pevnost v tahu ft nebo kritické nominální nap¥tí ve smyslu LEFM σNc je jejich podíl,

tzv. k°ehkostní £íslo [16]:

s =σNc

ft=

KIc

ft√

πaY (α)=

√E′Gc

ft√

πa. (3.14)

�ím je k°ehkostní £íslo men²í, tím je konstrukce k°eh£í16.

Základním p°edpokladem platnosti lineární lomové mechaniky je, jak jiº bylo uve-

16K°ehkostní £íslo se dá pouºít pro hrubý odhad aplikovatelnosti LEFM (pro s > 10), resp. aplikova-telnosti kriteria pevnosti (pro s < 0.1). V rozsahu 0.1 < s < 10 je t°eba pouºít p°ístupy nelineárnílomové mechaniky [6]. V p°ípad¥ experiment· t°íbodového ohybu zpracovaných v této práci jek°ehkostní £íslo s ' 1.

24


deno, ºe trhlina je dvoudimenzionální útvar, jehoº hranice (uzav°ená k°ivka) je jasn¥

de�nována. Ve skute£nosti se v²ak p°ed ²picí trhliny a kolem roviny trhliny vytvá°í

trvale plasticky deformovaná zóna, takzvaná lomová procesní zóna (FPZ), která má

ur£itou, navíc ne zcela p°esn¥ de�novanou, ²í°ku (viz. tabulku 3.1)17. Pokud je tato

Tabulka 3.1: Typická hodnota ²í°ky lomové procesní zóny pro r·zné materiály ([1, 15])

Materiál wFPZ [mm]

sklo, diamant 10−6

nástrojá°ská ocel 10−2

cementová pasta s p°ím¥sí k°emi£itých úlet· 1cementový kámen 5�15malta 100�200vysokopevnostní beton 150�300b¥ºný beton 200�500p°ehradní beton 700

²í°ka zanedbatelná ve srovnání s rozm¥ry studované konstrukce (testovaného vzorku)

pak je stále lineární lomová mechanika dob°e pouºitelná. Trhlinu není moºné povaºovat

za dvoudimenzionální teprve v p°ípad¥, ºe rozm¥ry FPZ jsou srovnatelné s rozm¥ry

vzorku £i konstrukce. V okolí lomové procesní zóny je nap¥óvé pole významným zp·-

sobem deformováno a kritéria stability pouºívaná LEFM ztrácejí svoji platnost a jsou

nepouºitelná (vztahy 3.6 a 3.8). V p°ípad¥ velmi masivních konstrukcí (kontejnment

JE) jsou p°edpoklady LEFM obvykle s dostate£nou p°esností spln¥ny a kritická hnací

síla trhliny stejn¥ jako kritický faktor nap¥tí jsou pouºitelné p°i výpo£tu stability trhlin.

Potíº ale tkví v tom jak tyto materiálové parametry nalézt, máme-li k dispozici pouze

výsledky zkou²ek na malých vzorcích, jejichº rozm¥ry jsou srovnatelné s rozm¥ry lomové

procesní zóny. Tento problém se snaºí18 °e²it nelineární lomová mechanika.

17V p°ípad¥ betonu wFPZ závisí zejména na velikosti pouºitého kameniva.18Dosud ne zcela úsp¥²n¥.

25

Nelineární lomové charakteristiky

3.3 Nelineární lomové charakteristiky

V sou£asnosti se pouºívá n¥kolik model·, které se snaºí nahradit nelineární chování

betonu v okolí trhliny zjednodu²eným popisem. O n¥kterých z nich pojednáme v ná-

sledujících odstavcích.

3.3.1 Model efektivní trhliny

Model efektivní trhliny [18] vyuºívá parametry de�nované v lineární lomové mechanice,

tj. faktor intenzity nap¥tí a hnací sílu trhliny. K jejich výpo£tu je t°eba znát délku

trhliny a, která v²ak v p°ípad¥ existence lomové procesní zóny není dob°e de�novaná19.

V p°ípad¥ t°íbodového ohybu trámce je efektivní délka trhliny aeu zavedena jako délka

trhliny (resp. �ktivního zá°ezu), p°i níº by m¥l dokonale elastický trámec p°i stejném

maximálním zatíºení Pu stejné prohnutí δu20 (obr. 3.5). Znamená to, ºe trámec je podle

⇒Obrázek 3.5: Zavedení efektivní délky trhliny. Parametr aeu se ur£í pro P = Pu a δ = δu.

tohoto modelu aº do meze pevnosti v celém objemu dokonale elastický, av²ak �zm¥k£ený�

zá°ezem délky aeu> a0 . Efektivní délku trhliny je moºné ur£it z trojbodového testu ze

vztahu 3.121, kdyº za α dosadíme αeu = aeu/W a za E dosadíme Eu=Puδu. To vede ov²em

k nelineární rovnici, kterou je nutné °e²it numericky. Zajímavé je, ºe Nallathambi

a Karihaloo [19] analogickou rovnici 3.3 °e²í podstatn¥ jednodu²eji: za α dosazuje

αeu pouze ve zlomku této rovnice, ve funkci geometrie λ(α) ponechává délku zá°ezu

19P°ítomnost plastické deformované zóny na £ele trhliny zp·sobuje, ºe se t¥leso chová tak jakoby v n¥mbyla trhlina del²í neº je reáln¥ pozorovaná trhlina s jasným odd¥lením povrch·.

20Význam symbol· Pu a δu je ilustrován na obrázcích 4.21 a 4.22.21P°edpokladem je, ºe modul pruºnosti E jsme ur£ili z po£áte£ní lineární £ásti l-d diagramu.

27


a022. To vede k moºnosti rovnici °e²it analyticky, tj.

aeu = W

{1− 3

√[PuS3

4BW 3δuE′ λ(a0

W)]}

.

Dal²ím parametrem tohoto modelu je efektivní hodnota faktoru intenzity nap¥tí

KIce23, která se ur£í ze vztahu 3.12, kde za a dosadíme aeu, t.j.

KIce =3SPu

2BW 2

√πaeuY (αeu) . (3.15)

Stejným zp·sobem lze ur£it efektivní hodnotu kritické hnací síly Gce jako:

Gce =K2

Ice

E′Y (αeu). (3.16)

3.3.2 Model �ktivní trhliny

Model �ktivní trhliny24 navrhl Hilleborg [20, 3]. Model °e²í základní problém li-

neární lomové mechaniky, tj.existenci singularity na ²pici trhliny, kde nap¥tí dosahuje

nekone£ných hodnot (vztah 3.9 a obr. 3.6).

Model ponechává trhlinu jako dvoudimenzionální útvar, ostrý p°echod elastický mate-

riál - trhlina bez nap¥tí pouºívaný v LEFM v²ak nahrazuje pozvolným �m¥knutím�. To

znamená, ºe trhlina je i po svém vzniku schopna p°ená²et ur£ité nap¥tí, které pozvolna

klesá s rostoucí ²í°kou trhliny w (obrázek 3.7). Obvykle se tato závislost aproximuje

bilineárním modelem, p°i£emº se ukazuje, ºe u malých vzork· se projeví pouze první

p°ímka, nebo´ trhlina se nesta£í pln¥ vyvinout. Plocha pod k°ivkou σ(w), tj.

gf =∫ wc

0σ(w)dw

22Bylo by jist¥ zajímavé zjistit, k jaké nep°esnosti toto zanedbání vede.23Op¥t platí totéº co pro KIc, tj. ºe KIce roste s rostoucí pevností betonu. Do výpo£tu KIce není

zahrnuta sestupná £ást l-d k°ivky. Viz poznámka 14 na stran¥ 23.24N¥kdy téº nazývaný modelem kohezní trhliny.

28


Obrázek 3.6: Nap¥tí na ²pici trhliny v modelu LEFM a v modelu �ktivní trhliny

je energie pot°ebná na vytvo°ení jednotkové plochy trhliny25. P°edpokládá se, ºe pevnost

v tahu ft, tvar k°ivky σ(w) a tedy i gF jsou nezávislé na geometrii a jsou materiálovými

parametry. Místo bilineárního modelu je moºné pouºít i jiné (lineární, exponenciální

atp.). Vztah σ(w) je vlastn¥ konstitu£ním vztahem, který °ídí nap¥tí v závislosti na ote-

v°ení trhliny. Je proto vhodný pro pouºití v numerických modelech (CohFRANC3D [23],

viz obr. 3.8, ATENA26 aj.). Parametry k°ivky σ(w) se obvykle ur£ují pomocí inverzní

analýzy [24, 25]27, v poslední dob¥ zejména pomocí metody neuronových sítí [21, 26].

Hlavním nedostatkem metody efektivní trhliny je to, ºe zanedbává t°etí rozm¥r trh-

liny, tj. ²í°ku lomové procesní zóny wFPZ . Tato ²í°ka je p°itom ovliv¬ována nap¥óvým

stavem v okolí trhliny, který závisí nap°. na vzdálenosti volného povrchu konstrukce.

Mnoha autory [27, 28, 29, 30] bylo so�stikovanými experimenty28 dokázáno, ºe hodnota

gF na ²í°ce lomové procesní zóny wFPZ závisí.

25Pro dostate£n¥ velké vzorky s hlubokým zá°ezem by m¥la být shodná s energií Gf , kterou zavedlGriffith respektive kritické hnací síle Gc. V p°ípad¥ malých vzork· je v²ak experimentáln¥ ur£enáhodnota Gc podstatn¥ men²í neº gF , protoºe maximálního zatíºení Pu je p°i experimentu dosaºenod°íve, neº dojde k úplnému otev°ení trhliny. Nap¥tí na ²pici zá°ezu není nulové, ale má kone£nouhodnotu σ0 (obr. 3.7).

26�ervenka Consulting27Planas et al. [25] do²li aº explicitnímu vyjád°ení w1 jako funkce ft, ftf , E

′a rozm¥r· vzorku,

bohuºel pouze pro a0W

> 0, 3.28Nap°íklad tak, ºe kvazik°ehký materiál byl p°i lomových experimentech vlepen v tenké vrstv¥ mezi

materiály dokonale elastické. �í°ka wFPZ tak byla omezena na ²í°ku vrstvy, coº m¥lo za následeksníºení velikosti lomové energie [28].

29


(a) Tradi£ní bilineární model (b) K°ivka σ(w) pouºívaná v modelu SBETA v pro-gramu ATENA [21]

Obrázek 3.7: Nap¥tí p°ená²ené �ktivní trhlinou v závislosti na její ²í°ce w. gF je speci-�cká energie pot°ebná na vytvo°ení jednotkové plochy trhliny, Gc je kri-tická hnací síla trhliny a σ0 je nap¥tí na ²pici vrubu v okamºiku dosaºenímeze pevnosti.

3.3.3 Charakteristická délka lch

Charakteristická délka lch byla zavedena Modeerem [31]29

lch =E′Gc

f2t

. (3.17)

jako kriterium aplikovatelnosti lineárn¥ elastické lomové mechaniky na daný materiál

a danou konstrukci. Metody LEFM jsou podle Modeera pouºitelné u konstrukcí,

jejichº ²í°ka (W ) je v¥t²í neº desetinásobek lch30. Planas et al. [25] v¥dom si úskalí

s experimentálním ur£ením Gc de�nuje lch p°ímo z modelu efektivní trhliny jako

lch =E′w1

2ft. (3.18)

I v této de�nici je ov²em ignorován �ocas� závislosti σ(w), který se u malých vzork·

projevuje pouze na tvaru sestupné £ásti l-d k°ivky, av²ak u masivních konstrukcí se

projeví i na hodnot¥ σu. Podle n¥kterých autor· je charakteristická délka vícemén¥

totoºná s ²í°kou lomové procesní zóny wFPZ . Charakteristická délka lch by mohla být

29Snad proto je nazývána �Hilleborgova charakteristická délka� [3].30Hilleborg tuto podmínku sníºil na W > 3− 5 lch.

30


Obrázek 3.8: Schéma implementace konstitu£ního vztahu dle obr. 3.7 a) do numerickéhoprogramu CohFRANC3D [22].

dal²ím parametrem31, který vyjad°uje k°ehkost, alespo¬ u masivních vzork·, pro které

platí Gc = gF32.

31Zhang et al. [2] zavedli index lchl, kde l je charakteristický rozm¥r konstrukce. Index má tu výhodu,

ºe je bezrozm¥rný, jeho fyzikální význam není v²ak zcela z°ejmý.32Potom totiº platí lch = gF

W ue, kde W u

e je elastická energie p°i maximálním zatíºení, jde tedy o podíllomové energie a maximální hodnoty energie elastické, materiál je tím k°eh£í, £ím je jeho charak-teristická délka men²í. Rozm¥r délky je zde proto, ºe gf má rozm¥r [J/m2], zatímco W u

e má rozm¥r[J/m3].

31


3.3.4 Metoda lomové energie a lomové práce

Pro ur£ení energie gF z Hilleborgova modelu vypracoval Rilem doporu£ený postup

[5] zaloºený na t°íbodovém ohybu trámc·. Lomová práce WP je de�nována jako práce

vn¥j²í p·sobící síly P od po£átku zat¥ºování, aº do úplného rozru²ení vzorku. P°edpo-

kládá se, ºe ve²kerá práce se pouºije na vytvo°ení trhliny, práce je tedy rovna plo²e pod

l-d diagramem. Platí

WP =∫ δmax

0Pdδ +

12mgδmax. (3.19)

V p°ípad¥ velmi hmotných vzork· se do lomové práce zapo£ítává i práce gravita£ních sil,

tedy p°ibliºn¥ 12mgδmax. Lomová energie je lomová práce vztaºená na jednotku plochy

trhliny (rozumí se projektované plochy), tj.

GF =WP

(W − a0) B=

∫ δmax

0 Pdδ + 12mgδmax

(W − a0) B, (3.20)

kdeW a B jsou p°í£né rozm¥ry vzorku a a0 je hloubka zá°ezu. Protoºe práce gravita£ních

sil zp·sobí jen posunutí l-d diagramu ve svislém sm¥ru a její ur£ení není zcela p°esné, je

vhodné pouºít univerzální metodu33 Elices et al. [32], která °e²í problém chyb¥jícího

�ocasu� l-d k°ivky práv¥ posunutím grafu ve svislém sm¥ru, tak aby �ocas� aproximovaný

hyperbolou konvergoval k vodorovné ose. Porovnání lomové energie m¥°ené pomocí

rovnice 3.20 s hodnotami korigovanými dle [32] a s hodnotami gF nalezenými inverzní

analýzou provedl Ker²ner [21]:

hodnota standardní odchylka

GF dle rovnice 3.20 2187 763

GF korigovaná dle [32] 2339 824

gF 2134 673

Z tabulky je patrný soulad mezi gF a GF , který není zdaleka zcela samoz°ejmý.

33Metoda je podrobn¥ji popsána nap°. ve Stiborov¥ práci [1].

32


Lomová energie nezávislá na tvaru a velikosti zku²ebních vzork·

Karihaloo, Abdalla [33, 30] a také Duan et al. [29] upozornili na experimentální

zku²enost, ºe hodnota GF závisí na velikosti testovaných vzork·. D·vodem je z°ejm¥

to, ºe gF je ovlivn¥na tvarem lomové procesní zóny a ten je zase ovlivn¥n volnými

okraji vzorku, jak je ilustrováno obrázkem na stran¥ 66. Duan et al. [29, 28] navrhli

p°edpokládat, ºe parametry k°ivky σ(w) v modelu �ktivní trhliny se v pr·b¥hu pohybu

trhliny vzorkem m¥ní a speci�cká lomová energie g se tak stává funkcí délky trhliny34.

Lomová energie zavedená vztahem 3.20 m·ºe pak být ur£ena vztahem

GF =1

(W − a0) B

∫ W−a0

0gf (x) dx. (3.21)

Pro vyjád°ení závislosti gF (a) doporu£ili pouºít bilineární model (viz. téº obr.

gf (x) =

{G∞ pro x < W − a0 − al

G∞

(1− x−(W−a0−al)

al

)pro x ≥ W − a0 − al

(3.22)

kde G∞ je hodnota lomové energie, jaká by byla nam¥°ena na nekone£n¥ velikém

vzorku35 a al je minimální ²í°ka ligamentu, p°i které se jiº projeví bilineární závislost

(dokud je W-a< al je závislost gf(a) lineární). Dosazením 3.22 do 3.21, dostaneme

GF

( a0

W

)=

G∞

(1− al

2W (W−a0)

)je− li W − a0 > al

G∞

(1− (W−a0)

2al

)je− li W − a0 ≤ al

(3.23)

Abdalla a Karihaloo [30] vypracovali jednoduchý postup na ur£ení této funk£ní

závislosti, který vyºaduje experimentáln¥ ur£it GF

(a0W

)s vyuºitím metodiky Rilemu

a to pro nejmén¥ dv¥ r·zné hloubky zá°ezu a. Vztah 3.23 pak p°edstavuje soustavu

dvou (nebo více) rovnic pro dv¥ neznámé: G∞ a al. Jsou-li rovnice více neº dv¥, °e²í

se soustava metodou nejmen²ích £tverc·.

Závislosti GF (a také KIc) na hloubce zá°ezu se experimentáln¥ v¥novali také Reis

a Ferreira (souhrn jejich výsledk· je v tabulce 3.2) [35]. Lomová energie GF zjevn¥

vykazuje závislost na hloubce zá°ezu a nelze ji tedy bez dal²ího povaºovat za mate-

34Je vhodné ji ozna£it jiným indexem: gf(a).35pochopiteln¥ posta£uje W-a�al

33


Obrázek 3.9: Bilineární model gf(a) [34]

riálovou charakteristiku. Kritický faktor intenzity nap¥tí je naopak na hloubce zá°ezu

nezávislý36.

Lomová energie se £asto pouºívá jako parametr vyjad°ující houºevnatost. Je v²ak evi-

dentní, ºe stejn¥ d·leºitá je znalost tvaru l-d k°ivky. Z hlediska lomové práce m·ºeme

l-d k°ivku rozd¥lit p°inejmen²ím na dv¥ oblasti: rostoucí £ást, které odpovídá práce Wa

a klesající £ást, které odpovídá práce Wd. Platí tedy WP = Wa + Wd, viz. obrázek 4.36

na stran¥ 85. Ode£teme-li od práce vykonané p°i r·stu zatíºení do maxima síly poten-

ciální energii elastické deformace, dostaneme disipa£ní £len, tj.37 práci spot°ebovanou

na trvalou plastickou deformaci materiálu Wp = Wa −We.

36Na druhé stran¥ je ale dob°e známo, ºe závisí na rozm¥ru vzork· a to dokonce i u k°ehkých vzork·.37Zanedbáme-li vývin tepla, kinetickou energii a za zjednodu²ujícího p°edpokladu, ºe odt¥ºovací p°ímka

má sm¥rnici E0.

34


Tabulka 3.2: Vliv hloubky zá°ezu na lomovou energii a na kritickou hodnotu faktorunap¥tí [35] u polymerových beton·. �í°ka trámc· W = 60 mm. Vzorky:1 - polyesterbeton, 2 - epoxybeton, 3 - epoxybeton vyztuºený uhlíkovýmivlákny, 4 - epoxybeton vyztuºený sklen¥nými vlákny.

KIc

a 1. 2. 3. 4. pr·m¥r

10 mm 1.146 (100%) 2.131 (100%) 3.03 (100%) 2.389 (100%) 100%20 mm 1.327 (116%) 2.127 (100%) 2.872 (95%) 2.386 (100%) 103%

GF

10 mm 5.301 (100%) 6.523 (100%) 27.145 (100%) 10.051 (100%) 100%

20 mm 6.743 (127%) 8.108 (124%) 30.037 (111%) 11.479 (114%) 119%

3.3.5 Modelování l-d diagram· matematickými funkcemi

Diagramy zatíºení-pr·hyb získané t°íbodovým ohybem betonových trámc· vykazují vy-

soký stupe¬ podobnosti, je proto lákavé pokusit se jejich pr·b¥h vystihnout n¥jakou

matematickou funkcí (funkcemi). Teprve z t¥chto funkcí proloºených experimentáln¥

nalezenými l-d k°ivkami se pak ur£ují lomové charakteristiky. Pravd¥podobn¥ nejjed-

nodu²²í je tzv. 2e model podle Barra [36]38:

P (δ) = c1 [exp (−c2δ)− exp (−c3δ)] . (3.24)

V rámci své diplomové práce [38] zhotovil Kutín program MoLoCh39, který prokládá

dvouexponenciální model l-d daty a z vypo£tených parametr· c aº c po£ítá lomové

charakteristiky, tj. lomovou energii GF , lomovou energii vzestupné v¥tve, lomovou ener-

gii sestupné v¥tve a kritický resp. kritický efektivní faktor intenzity nap¥tí.

Jiný komplikovan¥j²í model navrhli Zhang et al. [2, 39]. Pouºili r·zné funkce pro

38Frantík et al. [37] si v²imli, ºe funkce má pouze dva stupn¥ volnosti a modi�kovali prokládánífunkce zavedením dopl¬ující podmínky minimální hodnoty parametru c. Pouºili k tomu metodugenetických algoritm·.

39Modelování Lomových Charakteristik.

35


vzestupnou £ást l-d diagramu resp. pro sestupnou, tj.:

a)P (δ) = Pu

[1− (1− δ

δu)α

]proδ ≤ δu

b)P (δ) = Pu exp [−β (δ − δu)γ ] proδu ≤ δ, (3.25)

kde α zavedli jako index zpevn¥ní, β > 0 jako koe�cient zm¥k£ení a γ > 0 jako index

zm¥k£ení.

Zhang et al. de�novali také n¥kolik nespeci�ckých parametr· pro vyjád°ení houºev-

natosti z nichº si pozornost zaslouºí zejména index k°ehkosti, index plastické deformace

a index deformace p°i poru²ení. Jejich význam a de�nice jsou uvedeny v £ásti 4.14.

36

Vliv teploty na mechanické vlastnosti betonu

3.4 Vliv teploty na mechanické vlastnosti betonu

Pokud vystavíme beton p·sobení vysokých teplot, musíme o£ekávat, ºe dojde k ne-

vratným zm¥nám, které se projeví i po jeho vychladnutí. Vlastnosti, které materiál

má po vychladnutí, se obvykle nazývají jako zbytkové (reziduální). V betonu, který je

vystaven teplotnímu namáhání dochází k celé °ad¥ proces·.

1. Vysu²ování vody

a) Vysu²ování kapilární vody z porézní struktury vzorku. Kapilární voda (resp.

makro-voda), je snadno odpa°itelná voda, která se nachází v kapilárních pó-

rech (r > 5 nm) hcp a kameniva. Vysu²ování je fyzikální proces, který p°i

zah°ívání probíhá v ²irokém rozmezí teplot kolem 100◦C a také p°i pokojové

teplot¥, nachází-li se beton v prost°edí s nízkou relativní vlhkostí. V p°ípad¥

�na²eho� betonu je nejv¥t²í rychlost odparu p°i 92,96◦C (minimum na obr. 4.3

- minimum na k°ivce DTA vyjad°uje maximální rychlost odparu).

b) Vysu²ování gelové (mezo-) vody. Gelová voda je fyzikáln¥-chemicky vázána

v jemných (r ∈(0,7 - 1) nm) pórech cementového gelu a uvol¬uje se aº p°i

teplotách 200◦C aº 400◦C.

c) Vysu²ování chemicky vázané vody (dehydratace), která probíhá p°i teplotách

nad 400◦C (minimum p°i 491,33◦C na obr. 4.3). Jedná se zejména o dekom-

pozici hydroxidu vápenatého (Ca(OH)2→CaO + HO).

2. Urychlení hydrata£ních proces· (zejména u mladého nevyzrálého betonu), které

nastává zejména v d·sledku zvý²ení pohyblivosti molekul vody a také díky

zvý²ení rozpustnosti Ca(OH)2 ve vod¥.

3. Chemické a fázové zm¥ny v kamenivu (zejména dekompozice uhli£itan· v p°ípad¥

vápencového a dolomitického kameniva, p°ípadn¥ fázová zm¥na k°emene).

4. Naru²ení vazeb a vznik mikrotrhlin mezi kamenivem a hcp v d·sledku rozdílné

teplotní roztaºnosti.

5. Chemické a fázové zm¥ny v hcp (jedná se zejména o dekompozici uhli£itanu vápe-

natého CaCO→CaO + CO p°i teplot¥ 821◦C) - viz tabulka 3.3 a obrázek 4.3 na

stran¥ 48.

37


sloºka vzorec teplotní rozmezí rozkladu [◦C]

kalciumsilikáthydráty CSH typ 1 a 2 95�120ettringit C6ASH32 125�135

monosulfát C4ASH12 185�195portlandit CH 495�550

uhli£itan vápenatý CaCO3 850�1000sádrovec CSH2 160�185

CAH10 110�130kalciumalumináthydráty C2AH8 175�185

C3AH6 280�320

Tabulka 3.3: Teplotní rozmezí rozkladu n¥kterých sloºek ztvrdlé cementové pasty [40]

Uvedené procesy mají £asto protich·dné d·sledky. Vysu²ování vody p°i teplotách do

200◦C a hydrata£ní procesy zlep²ují pevnost betonu zatímco vysu²ování gelové nebo

dokonce chemicky vázané vody stejn¥ jako vnik trhlin a chemických £i fázových zm¥n

vede ke zhor²ení mechanických vlastností. Závislost zbytkových mechanických veli£in

na teplot¥, které byl materiál vystaven proto nemusí být monotonní. Platí to zejména

o pevnosti v tlaku. P°i namáhání materiálu v tlaku není vliv trhlin na pevnost zpo£átku

p°íli² významný (p·sobením tlaku se mikrotrhliny uzav°ou) a p°evládá kladný vliv

sníºení vlhkosti. P°i namáhání v tahu respektive v ohybu je vliv trhlin od po£átku

dominantní a pevnost betonu s teplotou monotónn¥ klesá.

3.4.1 Vliv vlhkosti betonu

Jiº pom¥rn¥ dlouho je známo, ºe odolnost betonu v tlaku (pevnost a odolnost proti sta-

tickému namáhání) je ovliv¬ována velmi dramaticky relativní vlhkostí betonu (viz nap°í-

klad tabulku 3.4). P°i p°irozeném vyschnutí betonu (na vzduchu p°i normální pokojové

teplot¥) z p·vodn¥ saturovaného stavu se jeho pevnost v tlaku zvý²í o 12 aº 27% [42],

zatímco p°i dokonalém vysu²ení m·ºe být nár·st pevnosti aº 50% [43]. N¥kdy40 pozoro-

vané zpevn¥ní betonu vystaveného teplotám t¥sn¥ nad 100◦C (obrázek 3.10 aº 3.12) lze

proto z°ejm¥ p°i£íst na vrub zpevn¥ní zp·sobenému jeho £áste£ným vysu²ením. Dobrý

d·kaz tohoto záv¥ru byl podán m¥°ením pevnosti v tlaku u vzork· vystavených vy²-

²ím teplotám, p°i£emº u £ásti vzork· bylo zabrán¥no ztrát¥ vody speciální povrchovou

40Tj. ne vºdy, z°ejm¥ záleºí na po£áte£ní vlhkosti vzork· a pravd¥podobn¥ i na jiných okolnostech.

38


Tabulka 3.4: Vliv relativní vlhkosti a teploty na dobu, po kterou je beton schopen odo-lávat stálé p·sobící síle [41].

Teplota25◦C 35◦C 60◦C

Rh[%] doba odolnosti [hodin]10% 2.505 114.7 ∞55% 0.106 2.879 ∞96% 0.016 0.664 327

úpravou nebo tím, ºe oh°ev probíhal v autoklávu. �Vlhké� vzorky m¥ly p°i zah°átí na

149◦C pevnost v tlaku o 25% resp. 30% niº²í neº ty, které mohly p°i zvý²ené teplot¥

p°irozen¥ vysychat [44, 45] . To, ºe oh°ev betonu v podmínkách ve kterých je zabrá-

n¥no ztrát¥ vody má hor²í následky pro jeho pevnost m·ºe být velmi významné pro

konstrukce pouºité v jaderných za°ízeních, nebo´ p°i projektových haváriích dochází

k uvol¬ování zna£ného mnoºství vodní páry, a´ uº z naru²eného chladicího okruhu

nebo z havarijního sprchového systému. V p°ípad¥ kontejmentu je beton od vnit°ního

prost°edí odd¥len plynot¥snou ocelovou výstelkou a proto je znemoºn¥no vysu²ování

betonu sm¥rem dovnit°.

Pro£ p°i vysu²ení vzork· m·ºe dojít k jejich zpevn¥ní není z°ejm¥ dosud zcela známo.

Molekuly vody respektive ionty OH− v C-S-H gelu pravd¥podobn¥ n¥jakým zp·sobem

naru²ují existující vazby, nap°íklad tak, ºe se váºí na Si4+, tvo°í hydroxylové skupiny

Si-OH, a saturují tak vazebnou schopnost k°emíku [46, 47]. Dal²í moºnost je, molekuly

vody tvo°í monomolekulární �lm, který odd¥luje vrstvy C-S-H gelu a naru²uje van der

Waalsovy vazby mezi t¥mito vrstvami [48].

Na rozdíl od odolnosti v tlaku se41 mechanické vlastnosti betonu namáhaného v tahu

resp. v ohybu zhor²ují s klesajícím obsahem vody. Zhang a spol. [47] provedli rozsáhlou

studii, ve které se pokusili (podle mého názoru ne zcela v¥rohodn¥) odli²it vliv vysu²ení

materiálu teplotou od vlivu samotné teploty. Za pozitivní jev povaºují sníºení k°ehkosti

materiálu (vyjád°ené pomocí tzv. indexu k°ehkosti B - viz formule 4.12.

41 Podle v²ech m¥ známých autor· (nap°. [42, 47, 49]).

39


3.4.2 Naru²ení vazby mezi cementovou pastou a kamenivem

Kamenivo v betonu významným zp·sobem p°ispívá ke zvý²ení houºevnatosti betonu

(viz.£ást 4.11.3). Protoºe teplotní roztaºnost cementové pasty se li²í od roztaºnosti ka-

meniva, lze p°edpokládat, ºe p°i oh°ívání vzork· dochází ke vzniku nap¥tí mezi mezi

kamenivem a pastou za vzniku mikrotrhlin. Tyto mikrotrhliny by pochopiteln¥ vedly

ke sníºení pevnosti spojení. V [41] bylo ukázáno, ºe naru²ení vazby mezi kamenivem

a pastou vede k nelineárnímu chování na rostoucí £ásti l-d k°ivky.

Obrázek 3.10: Pevnost v tlaku (fcu) a pevnost v tahu (ft′) jako funkce teploty [47].

40


Obrázek 3.11: Pevnost betonu v tlaku vyjád°ená v procentech p·vodní pevnosti p°edzah°átím Lankart [50].

41


(a)

(b)

Obrázek 3.12: Pevnost v tlaku u betonu pouºitého p°i výstavb¥ kontejnment· v JE(Janotka, Bágel [51])

42

4 Experimentální stanovení vlastností

betonu a jejich analýza

4.1 P°íprava vzork·, pouºitý materiál

Vzorky betonu pro experimentální práci byly vyrobeny z b¥ºného betonu, konkrétn¥ ze

sm¥si, jejíº sloºení je tém¥°1 shodné se sm¥sí pouºitou p°i stavb¥ ochranné obálky JE

Temelín. Sloºení sm¥si je uvedeno v tabulkách 4.1, 4.2. Pouºitý cement je portlandský

cement s malým podílem popílku a stopami strusky. Slínek pouºitý na jeho výrobu

byl vypálen na optimální obsah volného CaO, má vysoký podíl alitu a p°evládá v n¥m

CAF nad CA. Pr·m¥rná velikost krystal· alitu se pohybuje mezi 0,025 aº 0,030 mm

a velikost zrn belitu £iní pr·m¥rn¥ 0,020 mm. Pouºité kamenivo je shodné s kamenivem

pouºitým p°i výstavb¥ kontejmentu, °í£ní písek pochází z pískovny Halámky a ºulové

kamenivo z lomu Kobylí hora. Granulometrická k°ivka kameniva je na obrázku 4.1.

Zp·sob p°ípravy2 vzork· m¥l p°edev²ím za úkol zajistit uniformní sloºení vzork·

a stejnom¥rnou hydrataci. Vzorky ve formách byly zakryty PE-fólií, aby bylo zabrán¥no

vysu²ování povrchu (lze p°edpokládat, ºe prost°edí, ve kterém probíhala hydratace m¥lo

100% relativní vlhkost).

1Cement i kamenivo pocházejí ze stejných zdroj·, plasti�kátor Ligoplast SF se jiº nevyrábí a bylnahrazen plasti�kátorem Reobuilt, který je zaloºen na stejné bázi (sulfátový výluh). Zám¥sová vodataké není p·vodní, byla pouºita pitná voda z vodovodního °ádu stavební fakulty.

2Podrobný popis p°ípravy vzork· lze nalézt nap°íklad v práci Ho²kové [52].

43

Experimentální stanovení vlastností betonu a jejich analýza

Tabulka 4.1: Sloºení betonu studovaného v této práci

sloºka obsah [kg/m3]

cement 42,5R 499voda 215plasti�kátor Reobuilt (náhrada za Ligoplast SF) 4,9kamenivo 0�4 mm (pískovna Halámky) 710kamenivo 8�16 mm (ºula Kobylí hora) 460kamenivo 16�32 mm (ºula Kobylí hora) 530

Tabulka 4.2: Minerální sloºení cementu 42,5R Mokrá

sloºení cementu fázové sloºení slínku

slínek 93,2% alit CS 70%sádrovec 4,7% belit C2S 11,4%popílek 1,8% celit CA 7,9%struska 0,3% tetrakalcium aluminát ferit C4AF 9,7%

Cvoln 1%

4.2 Oh°ev vzork·

Pro zaji²t¥ní reprodukovatelnosti m¥°ení a také pro odli²ení poru²ení zp·sobené gradien-

tem teploty (respektive mechanickým nap¥tím, které je generováno gradientem teploty),

je t°eba zvlá²tní pozornost v¥novat zp·sobu zah°ívání vzork·. Vzorky byly zah°ívány

stabilní rychlostí 2◦C/min. Felicetti et al. [53] poukázali výpo£tem FEM, ºe p°i

této rychlosti oh°evu by nem¥lo dojít ke vzniku nap¥tí zp·sobenému gradientem tep-

loty, které p°ekro£í mez pevnosti. Po dosaºení cílové teploty byly vzorky po dobu 120

minut ponechány na této teplot¥. Tato doba posta£uje k tomu aby byl stejnom¥rn¥ pro-

h°át celý objem vzorku, coº bylo prokázáno kontrolním °e²ením rovnice vedení tepla.

Chlazení probíhalo op¥t kontrolovan¥ po dobu 24 hodin.

44

Oh°ev vzork·

Obrázek 4.1: K°ivka kameniva

45


4.3 Základní charakteristiky betonu ve stá°í 28 dní

Ve stá°í betonu 28 dní byly stanoveny n¥které fyzikální charakteristiky relevantní pro

zm¥nu mechanických vlastností p·sobením vysokých teplot ([54, 55, 56, 57, 58] ta-

bulka 4.3). Byla téº provedena diferenciální termální analýza cementového gelu (obrá-

zek 4.3).

Tabulka 4.3: Vybrané charakteristiky betonu ve stá°í 28 dní

charakteristika hodnota poznámka

Objemová hmotnost

objemová hmotnost £erstvého betonu[kg/m3] 2400objemová hmotnost ve stá°í 28 dní[kg/m3] 2200

Textura cementového gelu

speci�cký objem pór· V [mm3/g] 3,85m¥°eno rtuóvýmporozimetrem

speci�cký povrch pór· S [m2/g] 2,79m¥°eno (dusíkem) adsorp£nímetodou BET

speci�cká délka pór· l [m/g] 3,9 104vypo£teno metodou popsanouv [56] na stran¥ 7

porozita m [%] 8,8vypo£teno metodou popsanouv [56] na stran¥ 7

Hygrofyzikální vlastnosti

sou£initel vlhkostní vodivosti[m2/s−1] 1,8 10−8

sou£initel difuzní propustnosti [s] 7,3 10−12

Termofyzikální vlastnosti

sou£initel tepelné vodivosti[Wm−1K−1] 1,54sou£initel teplotní délkové roztaºnosti[Wm−1K−1] 0,73 10−5

teplotní závislost je vyne²enana obrázku 4.2

sou£initel vlhkostní délkovéroztaºnosti [%kg/kg] 2,26 10−4

m¥rná tepelná kapacita [Jkg−1K−1] 790

46

Základní charakteristiky betonu ve stá°í 28 dní

Obrázek 4.2: Teplotní závislost diferenciálního sou£initele délkové teplotní roztaº-nosti [56]

47


Obrázek 4.3: DTA k°ivka cementové pasty zkoumaného betonu [57].

48

Nanoporozita ur£ená plynovou adsorp£ní metodou BET

4.4 Nanoporozita ur£ená plynovou adsorp£ní metodou BET

P°edchozími experimenty (Kapi£ková et al. [59]) bylo zji²t¥no, ºe k hlavním zm¥-

nám v textu°e cementové pasty v betonu vystaveného p·sobení vysokých teplot dochází

na úrovni nanopór·. V d·sledku tepelného namáhání dochází k nár·stu objemu pór·

men²ích neº 10-8m. Z tohoto d·vodu byla pro studium porézní struktury zvolena ad-

sorp£ní plynová metoda BET, která umoº¬uje citliv¥ zaznamenat zm¥ny textury na

úrovni pór· (mikrotrhlin) této velikosti. Nam¥°ené k°ivky (obrázek 4.4) ukazují prudký

nár·st nanopór· o polom¥ru 2 nm u vzork· vystavených p·sobení teploty 380◦C. K ná-

r·stu tedy dochází v intervalu teplot 220 � 380◦C. Tento interval odpovídá dehydrataci

kalciumsilikáthydrátú a kalciumalumináthydrát·. K dal²í dramatické zm¥n¥ textury

dochází aº v intervalu mezi 500◦C a 700◦C, kdy pík u polom¥ru 2 nm zcela vymizí.

Jako vysv¥tlení tohoto jevu se nabízí totální rozpad struktury provázený p°esunem roz-

m¥ru p°evaºujících pór· do oblasti pór· s °ádov¥ v¥t²ím polom¥rem.

Obrázek 4.4: Distribu£ní k°ivky objemu nanopór· pro r·zné teploty [60]

49


4.5 Uspo°ádání experiment· TPB

Zkou²ka t°íbodovým ohybem zku²ebních t¥les byla uspo°ádána dle �SN ISO 4013 �Be-

ton: Stanovení pevnosti v tahu ohybem zku²ebních t¥les� [?]. Schéma zkou²ky je na

obrázku 4.5, kde P je síla, kterou je vzorek zat¥ºován a a je hloubka zá°ezu ve st°edu

trámce.

Obrázek 4.5: Zkou²ka trojbodovým ohybem se zá°ezem, ilustrace symbol·.Rozm¥ry vzorku: L = 400 mm,W = 100 mm, B = 100 mm, hloubka zá°ezu a = 25 mm,vzdálenost podp¥r S = 300 mm.

4.6 Analýza k°ivek

Nam¥°ené k°ivky je t°eba p°ed výpo£tem charakteristik upravit, aby byly odstran¥ny

n¥které chyby zp·sobené m¥°ením. Jedná se p°edev²ím o odstran¥ní po£áte£ního ne-

lineárního �náb¥hu�, který je zp·soben zejména lokální plastickou deformací materiálu

pod podporami. Nelineární náb¥h je nahrazen p°ímkou (obrázek 4.10) a l-d k°ivka je

posunuta, tak aby tato p°ímka vycházela z po£átku (Pu(0) = 0). Zejména vzorky za-

h°áté na vy²²í teploty mají rostoucí £ást l-d k°ivky nelineární v celém rozsahu (konvexní

50

Analýza k°ivek

£ást p°echází v konkávní bez zjevné lineární £ásti), a proto je toto nahrazení do zna£né

míry ovlivn¥no úsudkem zpracovatele.

Obrázek 4.6: l-d k°ivky pro vybrané teploty. Stá°í 90 dní. Z grafu je dob°e patrnézvý²ení po£áte£ní tuhosti E0 pro teploty kolem 300◦C.

U vzork· m¥°ených p°i vy²²ích teplotách je deformace v¥t²í neº rozsah m¥°ení a pro

výpo£et lomové energie GF a charakteristik od ní odvozených je nutné odhadnout

klesající konce konce k°ivky (obrázek 4.31). O této problematice je více pojednáno

v kapitolách 4.12, 4.11 a 3.3.5. P°íklad je zobrazen na obrázku 4.31.

51


Obrázek 4.7: l-d k°ivky betonu: stá°í 180 dní.

52

Analýza k°ivek

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

stáří: 90 dní

0 100

200 300

400 500

600 700

800 900

1000

T [°C]

0 0.5

1 1.5

2

d [mm]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P [kN]

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

stáří: 180 dní

0 100

200 300

400 500

600 700

800 900

1000

T [°C]

0 0.5

1 1.5

2

d [mm]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P [kN]

(b)

Obrázek 4.8: Prostorové zobrazení l-d k°ivek pro beton r·zného stá°í a r·zné teploty

53


4.7 Pevnost

Pevnost v p°í£ném tahu a pevnost v tlaku byly ur£eny pomocí standardních postup·,

pevnost v tahu ohybem fcf m·ºeme v²ak vyjád°it pouze p°ibliºn¥, nebo´ uspo°ádání

experimentu dle obrázku 4.5 neodpovídá p°esn¥ poºadavk·m �SN ISO 75 4013 [?],

která p°edpokládá experiment provád¥ný na vzorcích bez zá°ezu. Tuto potíº obejdeme

tak, ºe ²í°ku trámce W ve vztahu 3.4 nahradíme ²í°kou ligamentu W − a0.

Tabulka 4.4: Pevnost v p°í£ném tahu, v tlaku a v tahu ohybem v závislosti na teplot¥a stá°í vzork·.

série stá°í[dní]

teplota[◦C]

fct[MPa] fc[MPa] fcf [MPa] ∆50fcf [MPa] po£etvzork·

M 90 20 5,95 67,12 7,3 ±0,2 4A 90 100 5,5 65,58 5,91 ±0,05 4D 90 200 5,17 64,56 5,4 ±0,4 4B 90 300 4,86 71,34 6,19 ±0,04 4E 90 400 4,06 69,46 4,1 ±0,1 4C 90 500 2,94 48,56 3,00 ±0,03 4F 90 600 1,83 36,11 1,8 ±0,1 4G 90 700 0,95 25,45 0,7 ±0,05 4K 90 800 0,72 17,11 0,67 ±0,01 4L 90 900 0,26 6,47 0,24 ±0,02 4H 90 1000 0,22 5,06 0,157 ±0,006 4U 180 20 5,3 67,77 7,0 ±0, 2 3R 180 300 4,77 58,78 5,6 ±0,2 3S 180 600 1,56 32,26 1,5 ±0,2 3T 180 900 0,6 7,64 0,23 ±0,02 2

54

Pevnost

(a) Pevnost v tlaku

(b) Pevnost v p°í£ném tahu

(c) Pevnost v tahu ohybem

Obrázek 4.9: Pevnost v závislosti na teplot¥. Chybové úse£ky p°edstavují odhad prav-d¥podobné chyby ∆50.

55


4.8 Modul pruºnosti E

Young·v modul pruºnosti vypo£teme pomocí vztahu 3.1. Hodnotu funkce F pro

a = 25 mm nalezneme pomocí numerické integrace: F1 = 0, 0937. Vztah 3.1 se po

dosazení rozm¥r· vzorku redukuje na3

E = 149E0, (4.1)

kde tuhost trámce E0 se ur£í jako sm¥rnice rostoucí £ásti l-d k°ivky tj. E0 = tan α =∆P∆δ |δ=0 (obrázek 4.10). Výsledky jsou sumarizovány v tabulce 4.5 a znázorn¥ny na

Obrázek 4.10: Ur£ení tuhosti trámce z rostoucí £ásti l-d k°ivky.

obrázku 4.11. P°í£ina prudkého nár·stu modulu pruºnosti u betonu 90 dní starého

s teplotou ºíhání s vrcholem p°i teplotách kolem 300◦C není zcela z°ejmá, a není ani

dokumentována v dostupné literatu°e. Nár·stu modulu pruºnosti nicmén¥ £áste£n¥ ko-

responduje ur£itý nár·st pevnosti p°i podobných teplotách na vzorcích stejného stá°í.

Tento nár·st je obvykle [42, 47, 49] vysv¥tlován urychlením hydrata£ních proces· u po-

m¥rn¥ mladého betonu. Tomuto vysv¥tlení p°irozen¥ nahrává fakt, ºe analogický jev3Konstanta 149 je v jednotkách SI, tj. m−1.

56

Kritická hnací síla trhliny Gc a kritický faktor intenzity nap¥tí KIc

Tabulka 4.5: Modul pruºnosti betonu E získaný analýzou l-d k°ivek v závislosti na tep-lot¥ a stá°í vzork·.

série stá°í [dní] teplota [◦C] E [GPa] ∆50[GPa]

M 90 20 7,4 ±0,6A 90 100 9 ±1D 90 200 13 ±2B 90 300 16 ±1E 90 400 9 ±1C 90 500 4,90 ±0,04F 90 600 1,9 ±0,3G 90 700 0,36 ±0,05K 90 800 0,36 ±0,02L 90 900 0,16 ±0,02H 90 1000 0,067 ±0,006U 180 20 9,0 ±0,8R 180 300 5,25 ±0,2S 180 600 0,77 ±0,06T 180 900 0,111 ±0,0004

není pozorován u betonu starého 180 dní. P°esto v²ak je p°ekvapující velikost nár·stu,

nebo´ modul pruºnosti je cca 4x vy²²í neº modul pruºnosti �zralého� 180 dní starého

betonu p°i stejné teplot¥. Bylo by nanejvý² vhodné tento zvlá²tní experimentální vý-

sledek prov¥°it novými experimenty a v p°ípad¥ reprodukovatelnosti jevu se jej pokusit

teoreticky vysv¥tlit. Protoºe v obou p°ípadech hraje z°ejm¥ podstatnou roli obsah vody,

bylo by vhodné experimenty doplnit o studium vzork·, u kterých bude p°i zah°ívání

zabrán¥no ztrátám vody.

4.9 Kritická hnací síla trhliny Gc a kritický faktor intenzity

nap¥tí KIc

Tyto parametry byly vypo£teny s pouºitím vztah· 3.10 a 3.11. P°i hodnocení jejich

významu je t°eba mít na pam¥ti omezení, zp·sobená nelineárním chováním betonu

(existencí lomové procesní zóny). Je známo, ºe za materiálové charakteristiky lze kritic-

kou hnací sílu respektive kritický faktor nap¥tí povaºovat pouze u k°ehkých materiál·,

57


Obrázek 4.11: Modul pruºnosti betonu E získaný analýzou l-d k°ivek v závislosti nateplot¥ a stá°í vzork·. Chybové úse£ky p°edstavují odhad pravd¥podobnéchyby ∆50.

u kterých vý²e uvedené p°edpoklady LEFM beze zbytku platí4. V p°ípad¥ kvazik°eh-

kých materiál· s výraznou lomovou procesní zónou (tj. i v p°ípad¥ betonu) jsou tyto

parametry siln¥ závislé na velikosti zku²ebních vzork· (nap°. Hillerborg [3]).

4Ale i u takových materiál· je KIc ovlivn¥n tahovým modem, který se m¥ní v závislosti na rozm¥rechtestovaného vzorku[13]. P°i experimentech nikdy není dosaºen £istý mod I.

58

Kritická hnací síla trhliny Gc a kritický faktor intenzity nap¥tí KIc

Obrázek 4.12: Kritický faktor intenzity nap¥tí jako funkce teploty

Obrázek 4.13: Hnací síla trhliny jako funkce teploty

59


4.10 Charakteristiky efektivní trhliny

4.10.1 Délka efektivní trhliny

Délka efektivní trhliny se ur£uje ze vztahu 3.1, kde vystupuje implicitn¥ jako horní mez

v integrálu F1(α). Tato úloha se standardn¥ °e²í numericky, poda°ilo se nám v²ak nalézt

p°ibliºné analytické vyjád°ení ve tvaru

α (F1) =12

+arctan(b1 + b2 lnF1 + b3(lnF1)2 + b4(lnF1)3)

π, kde

b1 = 0, 2872 + 0, 2091W

S

b2 = 0, 5268− 0, 0067W

S(4.2)

b3 = 0, 0381 + 0, 017W

S

b4 = 0, 0284− 0, 002W

S,

který platí v ²irokém intervalu pom¥ru ²í°ky trámce ku rozp¥tí podpor tj. pro 0, 1 <WS < 1. Nalezená funkce je vynesena v grafu 4.14. Pro v²echny p°ípustné hodnoty

relativní délky trhliny (0 < α < 1), je odchylka men²í neº 0,007 (obrázek 4.155), coº

v na²em p°ípad¥ (W = 100mm) p°edstavuje 0,7 mm, pro 0, 1 < α < 0, 9 je chyba men²í

neº 0,002 (0,2 mm).

Pokud nyní vyjád°íme F1 ze vztahu 3.1, m·ºeme vypo£ítat délku efektivní trhliny

podstatn¥ jednodu²²ím zp·sobem neº je obvyklý numerický postup. Máme:

F1 =2B

9

(W

S

)2(

E

Eu− 1

4B

(S

W

)3(

1− 0, 387W

S+ 12, 13

(W

S

)2,5))

, kde Eu =Pu

δu.

Po dosazení rozm¥r· vzork· (W/S=1/3) je6:

F1 =(

E

Eu− 111, 3

)/405. (4.3)

Nazna£eným postupem byla vypo£tena délka efektivní trhliny u studovaného souboru5P°ekvapivé je, ºe takto vypadá chyba funkce 4.2 pro v²echny pom¥ry W/S. Pro£ je tomu tak unumericky �tované k°ivky je p°inejmen²ím pozoruhodné a rozhodn¥ to stojí za bliº²í rozbor.

6konstanty jsou op¥t v SI

60

Charakteristiky efektivní trhliny

Obrázek 4.14: Aproximace funkce α(F1) a její chyba. P°esné hodnoty vypo£tené nume-rickou integrací jsou znázorn¥ny jako body a navrºená funkce 4.2 jakospojitá plná £ára.

vzork·. Výsledky výpo£tu jsou znázorn¥ny na obr. 4.16 (a).

Model efektivní trhliny se pokou²í lineárn¥-plastické chování trámce (p°ed dosaºením

maximální hodnoty zat¥ºovací síly) nahradit £ist¥ lineárním p°i£emº sníºení tuhosti zp·-

sobené vznikem procesní zóny je nahrazeno �ktivním zvý²ením hloubky zá°ezu v trámci.

Obecn¥ vzato je vy²²í hodnota aeu indikátorem vzniku plastické procesní zóny v okolí

²pice trhliny. Tak je tomu i u vzork· 180-denního stá°í z na²ich experiment·. V p°ípad¥

90-denního betonu je v²ak rychlej²í nár·st délky efektivní trhliny s teplotou zp·soben

zejména prudkým nár·stem modulu pruºnosti nam¥°eného u t¥chto vzork· p°i teplotách

kolem 300◦C7. Nelze jej tedy jednozna£n¥ p°isoudit pouze roz²í°ení procesní zóny.

Dále ur£íme efektivní kritického faktoru intenzity nap¥tí, a to s pomocí vztahu 3.16

a efektivní hodnotu hnací síly trhliny s pomocí vztahu 3.12.

7Ke sníºení tuhosti trámce s vy²²ím modulem pruºnosti je t°eba del²í trhliny.

61


Obrázek 4.15: Chyba funkce 4.2 v závislosti na relativní délce trhliny

62

Charakteristiky efektivní trhliny

(a) Délka efektivní trhliny

(b) Efektivní hodnota kritického faktoru intenzity nap¥tí

(c) Efektivní hodnota hnací síly trhliny

Obrázek 4.16: Parametry efektivní trhliny jako funkce teploty

63


4.11 Lomová energie

4.11.1 Lomová energie podle Rilemu

Pro výpo£et lomové energie GF podle vztahu 3.20 je d·leºité, aby záznam t°íbodového

ohybu byl proveden aº do vysokých hodnot deformace, kdy deformující síla jiº klesá

k nule8. M¥°ení, která máme k dispozici, jsou v tomto ohledu velmi kvalitní, nebo´ jsou

zaznamenány do mimo°ádn¥ vysokých hodnot deformace (δmax ≈ 2,5 mm). Pro teploty

do 400◦C je tato hodnota dostate£ná pro výpo£et lomové energie s dobrou p°esností.

V p°ípad¥ vy²²ích teplot je v²ak relativní hodnota p·sobící síly v okamºiku ukon£ení

záznamu pom¥rn¥ vysoká, coº nevyhnuteln¥ vede ke zvý²ení relativní chyby výpo£tu

lomové energie. Bude tedy vhodné n¥jakým zp·sobem nahradit chyb¥jící £ást l-d k°ivky

pro δ > δmax. Nahrazení hyperbolou, tak jak je popsáno v [32, 1] není v na²em p°ípad¥

p°íli² vhodné, jak je ilustrováno na obrázku 4.17 (a). Pokud bychom m¥li sestupné

(a) (b)

Obrázek 4.17: Sestupná £ást l-d k°ivky pro vybrané teploty v logaritmickém resp. v se-milogaritmickém m¥°ítku. Pro jiné teploty je pr·b¥h obdobný, nejsouuvedeny pouze kv·li zachování dobré £itelnosti obrázk·.

£ásti l-d k°ivky nahradit hyperbolou, musely by být k°ivky na tomto obrázku alespo¬

p°ibliºn¥ lineární. Toho nelze dosáhnout dokonce ani svislým posunutím l-d k°ivek (není

ilustrováno). Z obrázku 4.17 (b) je z°ejmé, ºe p°ibliºn¥ lineární jsou sestupné £ásti l-

8Paradoxn¥ práv¥ tato pe£livost zp·sobí, ºe lomová energie není materiálovým parametrem, ale zá-visí na rozm¥rech vzorku, hloubce zá°ezu a na velikosti FPZ. V okamºiku, kdyº se trhlina blíºík hornímu povrchu trámce je totiº �lokální� lomová energie tímto povrchem siln¥ ovlivn¥na coº sepromítne i do výsledné hodnoty GF (obrázek 4.19 a vztah 3.21). Neexistuje ov²em ºádný jednodu-chý p°edpis, jak tento problém vy°e²it.

64

Lomová energie

d k°ivky tehdy, je-li vynesen graf v semilogaritmickém tvaru, tj. lnP v závislosti na

δ − δu. Musí tedy platit P = c1 exp(−c2(δ − δu). S výhodou m·ºeme vyuºít model

Zhanga et al. de�novaný vztahem 3.25 (b). Index zm¥k£ení γ dodává dal²í stupe¬

volnosti umoº¬ující korigovat mírné odchylky od linearity v semilogaritmickém grafu.

Z°ejm¥ ov²em bude platit γ ≈ 1. Jsou-li k°ivky mírn¥ konkávní (jako nap°íklad k°ivka

pro 800◦C v grafu 4.17 (b), bude γ > 1, jsou-li konvexní (jako nap°íklad k°ivka 500◦C)

bude γ < 1. Nahradíme-li chyb¥jící £ást sestupné v¥tve l-d k°ivky uvedeným modelem

(jak je ilustrováno na obrázku 4.31), získáme lomovou energii jiº prostou numerickou

integrací. Integraci m·ºeme prodlouºit do libovoln¥ vysokých hodnot d, p°i£emº p°i

hodnotách d → 6mm dosahuje síla °ádu 10−7kN a m·ºe být proto zcela zanedbána.

Z obrázku 4.18 je patrné, ºe lomová energie je prakticky konstantní aº do teploty

600◦C, pak za£íná prudce klesat.

Obrázek 4.18: Lomová energie jako funkce teploty

65


4.11.2 Lomová energie nezávislá na tvaru vzorku v roz²í°eném modelu

efektivní trhliny

D·vodem nelinearity p°i ²í°ení trhliny konstrukcí je zejména deformace pole nap¥tí

v okolí ²pice trhliny v d·sledku existence lomové procesní zóny v okolí trhliny. �í°ka

lomové procesní zóny se b¥hem postupu trhliny konstrukcí m¥ní, jak je demonstrováno

na obr. 4.19. FPZ je nedílnou sou£ástí trhliny a proto lze p°edpokládat, ºe se zm¥nou

(a) P°i vzniku trhliny má procesní zóna p°ibliºn¥tvar trojúhelníku

(b) P°i dal²im ²í°ení dosáhne procesní zóna své ma-ximální ²í°ky wFPZ . Lomová procesní zóna je pln¥rozvinutá.

(c) Nakonec procesní zóna na horním okraji "vy-jíºdí" z trámce

Obrázek 4.19: Tvar lomové procesní zóny se p°i ²í°ení trhliny vzorkem (konstrukcí) m¥nía v d·sledku toho se m¥ní i energie pot°ebná na ²í°ení trhliny. wL je ²í°kalomové procesní zóny na spodním okraji trámce, wU je ²í°ka na hornímokraji.

²í°ky FPZ se m¥ní i energie vyºadovaná k ²í°ení trhliny. Experimentáln¥ ur£ená hodnota

GF je proto vºdy ovlivn¥na rozm¥ry vzorku a hloubkou zá°ezu. V této £ásti se pokusíme

66

Lomová energie

vyvinout metodiku pro ur£ování lomové energie pokud moºno nezávislé na rozm¥rech

vzorku a hloubce zá°ezu, tedy lomové energie platné pro nekone£n¥ velký vzorek.

P°ijmeme-li zjednodu²ující p°edpoklad, ºe energie G pot°ebná na vytvo°ení jednot-

kového objemu lomové procesní zóny je konstantní, pak pro energii gf pot°ebnou na

vytvo°ení jednotkové plochy trhliny platí:

gf =GB

dVFPZ

da,

kde a je délka trhliny. Ur£it p°esn¥ délku trhliny ov²em není vzhledem k existenci po-

m¥rn¥ rozsáhlé lomové procesní zóny moºné, pojem délka trhliny nemá z°ejmý význam.

Musíme se tedy spokojit s p°ibliºným modelovým vyjád°ením. Vhodný je vý²e zavedený

Obrázek 4.20: Rozm¥ry lomové procesní zóny v modelu efektivní trhliny. l je délka lo-mové procesní zóny, wFPZ je ²í°ka pln¥ rozvinuté lomové procesní zóny.

model efektivní trhliny, pokud jej zobecníme pro libovolnou hodnotu zatíºení a defor-

mace. Délku trhliny a ztotoºníme s délkou efektivní trhliny ae, jejíº hodnotu získáme

ze vztahu 4.2, tím ºe do vztahu 4.3 dosadíme p°íslu²nou dvojici P a δ (obrázek 4.21).

Objem VFPZ pak vyjád°íme s pomocí obrázku 4.20. Délka l a ²í°ka w lomové procesní

zóny jsou funkcí délky efektivní trhliny, wFPZ je ²í°ka pln¥ rozvinuté lomové procesní

zóny a na délce efektivní trhliny nezávisí. Derivaci objemu VFPZ podle délky efektivní

trhliny m·ºeme vyjád°it:

dVFPZ

dae=

B wL(ae) pro wL < wFPZ (a)B wFPZ pro wL > wFPZ and l < W (b)B {wFPZ − wU (ae)} pro l > W (c),

(4.4)

67


Obrázek 4.21: Délka efektivní trhliny ae pro obecnou hodnotu deformace trámce δ. Stá°ívzorku 180 dní, T = 300◦C. l-d k°ivka ur£ena experimentáln¥ v celémzobrazeném rozsahu.

kde jednotlivé rovnice se vztahují k obrázk·m (a) aº (c) na obr. 4.19 a wL a wU jsou

²í°ky lomové procesní zóny na dolním, respektive horním okraji trámce. Tyto vztahy

m·ºeme je²t¥ více zjednodu²it p°ijmeme-li p°edpoklad, ºe závislost ²í°ky lomové procesní

zóny na délce efektivní trhliny na obou okrajích trámce je lineární, tedy ºe dwdae

= konst.

V p°ípad¥ pln¥ rozvinuté procesní zóny je ²í°ka lomové procesní zóny na spodním okraji

trámce konstantní a rovna wFPZ . Dostaneme tedy

dVFPZ

dae=

B(

dwLdae

ae + w01

)(a)

B wFPZ (b)

B(w − dwU

daeae

)(c),

(4.5)

kde derivace dwLdae

a dwUdae

jsou konstantní a w a w jsou konstanty stanovené p°i

vniku zóny do spodního respektive horního okraje trámce. .

68

Lomová energie

Obrázek 4.22: Délka efektivní trhliny ae pro obecnou hodnotu deformace trámce δ. Stá°ívzorku 180 dní, T = 600◦C. Konec sestupné v¥tve l-d k°ivky je aproxi-mován vztahem 3.25 b).

Nyní m·ºeme vyjád°it gf jako funkci délky efektivní trhliny9:

gf (ae) =

G∞−G0

at(ae − a0) + G0 pro ae < at + a0

G∞ pro at + a0 < ae < W − al

G∞ − (ae −W + al) G∞al

pro ae > W − al

(4.6)

Porovnáním konstant dostaneme:

G∞ −G0

at= G dwL

dae

G0 − (G∞ −G0)a0

at= G w01 (4.7)

G∞ = G wFPZ

G∞al

= G dwU

dae

G∞ − (al −W )G∞al

= G w02.

9Zavedeme p°itom jiné symboly, abychom se p°iblíºili bilineárnímu modelu uvedenému na stran¥ 33.Význam symbol· je z°ejmý z obrázku 4.23.

69


Obrázek 4.23: Zavedení trojlineárního modelu lomové energie gf

Vý²e uvedeným postupem jsme dokázali, ºe funk£ní závislost gf (ae) m·ºe být nahra-zena p°ibliºn¥ t°ílineární funkcí 4.6, která je zobrazena na obrázku 4.23.

Experimentální ur£ení lomové energie jako funkce délky efektivní trhliny10 je pom¥rn¥

snadnou záleºitostí. Musí totiº platit [61] (srovnej vztah 3.5):

gf (ae) = G =1B

dWtot

dae, (4.8)

kde Wtot je práce vn¥j²ích sil a elastických sil. Pro práci vn¥j²ích sil pouºijeme stejný

p°edpis jakým jsme zavedli lomovou práci WP (3.19), integraci v²ak neprovedeme p°es

celou l-d k°ivku, ale jen do aktuální hodnoty δ, tj. WP =∫ δ0 P (x)dx. Za p°edpokladu

platném v modelu efektivní trhliny, tj. ºe trámec je dokonale elastický, ale je �zm¥k£ený�

efektivní trhlinou, potenciální energii elastických sil Ue lze vyjád°it jako P 2(δ)2E , kde

10Pokud jsme p°ijali roz²í°ený model efektivní trhliny i mimo obvyklou mez pouºití tj. pro P 6= Pu, δ 6=δu.

70

Lomová energie

Obrázek 4.24: Práce vn¥j²ích a práce elastických sil (obrázek je normalizován na plochuligamentu) (vztah 4.9) jako funkce pr·hybu trámce δ

E = Pδ . Pro práci Wtot vn¥j²ích a elastických sil platí (ilustrace je na obrázku 4.24):

Wtot = WP − Ue =∫ δ

0P (x)dx− P 2(δ)

2E. (4.9)

Máme tedy vztah

gf (ae) =1B

d(∫ δ

0 P (x)dx− P (δ) δ2

)dae

. (4.10)

Výpo£et lze provést n¥kolika zp·soby:

1. Numericky vypo£teme integrál v £itateli a provedeme numerickou derivaci podle

ae. Tento postup je moºný, jen je nutné p°i derivaci pouºít vhodný �ltr k vyhlazení

experimentálních dat, protoºe ta jsou zna£n¥ za²um¥ná.

71


2. Analyticky provedeme derivaci ve vztahu 4.10 s vyuºitím rovnic 4.2, 4.3 a dosta-

neme tak gf (ae) jako funkci P, δ a dP (δ)dδ . Postup je následující: protoºe ae je funkcí

δ m·ºeme rovnici 4.10 p°epsat:

gf (ae) =1B

d(∫ δ

0 P (x)dx− P (δ) δ2

)dδ

dδ

dae

a po provedení derivací podle δ dostaneme:

gf (ae) = 12B

(P (δ)− δ

dP (δ)dδ

)dδ

dae.

Derivaci dδdae

vyjád°íme jako dδdae

= dδdF1

dF1dae

a s pouºitím rovnic 4.2, 4.3 dále:

dF1

dae=

πF1

W

(1 +

(0, 36 + 0, 531 ln F1 + 0, 0404(lnF1)2 + 0, 0248(lnF1)3

)2)0, 531 + 0, 0808 ln F1 + 0, 0744(lnF1)2

dδ

dF1=

405P 2(δ)

149E0

(P (δ)− δ dP (δ)

dδ

) .

Pro p°ímé zpracování l-d k°ivek je tento postup v podstat¥ ekvivalentní postupu

p°edchozímu se v²emi problémy spojenými s numerickou derivací, ale mohl by být

velmi vhodný pokud pro modelování tvaru l -d k°ivky vyuºíváme n¥který z model·

uvedených v £ásti 3.3.5. V takovém p°ípad¥ je totiº moºné derivaci dP (δ)dδ provést

analyticky.

3. T°etí moºností je, ºe numericky ur£íme Wtot, stejn¥ jako v prvním p°ípad¥, a zís-

kanou závislostí Wtot(ae) proloºíme vhodnou k°ivku. Výhodou tohoto postupu je,

ºe se vyhneme numerické derivaci a zpracování je tak jednodu²²í a výsledky nejsou

ovlivn¥ny pouºitím �ltru. Jako k°ivku k proloºení Wtot(ae) vybereme polynom,

nebo integrál trojlineárního modelu zavedeného vztahem 4.6, tj.:

Wtot(ae) =

G∞−G0

2at(ae − a0)

2 + G0ae + c1 pro ae < at + a0

G∞ae + c2 pro at + a0 < ae < W − al

G∞ae − (ae −W + al)2 G∞

2al+ c3 pro ae > W − al,

(4.11)

kde konstanty c1, c2 a c3 jsou voleny tak, aby k°ivky (parabola - p°ímka - parabola)

na sebe navazovaly v bodech napojení tj. v bodech ae = at + a0, respektive

ae = W−al. Proloºení obou k°ivek je ilustrováno na obrázku 4.25. Získanou k°ivku

72

Lomová energie

Obrázek 4.25: Proloºení polynomu £tvrtého stupn¥, respektive trojlineárního modeluenergií G vynakládanou na ²í°ení trhliny. Graf je vynesen v závislosti na∆ae = ae − a0.

analyticky derivujeme podle aea tím získáme lomovou energii gf jako funkci ae

(respektive jako funkci ∆ae = ae − a0). Výsledek je ilustrován na obrázku 4.26.

Z obrázku je patrné, ºe p°i tro²e dobré v·le lze skute£n¥ závislost gf (ae) získanoup°ímo numerickou derivací rozd¥lit na t°i lineární úseky a ºe tedy trojlineární

model velmi dob°e popisuje experimentální skute£nost. Významná je existence

�plató� mezi vzestupnou a sestupnou £ástí funkce gf (ae), která nazna£uje, ºe

rozm¥ry vzorku (²í°ka trámce W ) jsou dostate£né k ur£ení G∞ (obrázek 4.27).

V²echny pouºité metody poskytují velmi podobný výsledek, s výjimkou situace kdyº se

²pice efektivní trhliny blíºí k hornímu okraji vzorku (∆ae → W − a0), kde trojlineární

model selhává, respektive kde se energie G chová pon¥kud podivn¥: derivace dGdae

totiº

za£íná op¥t r·st místo aby se blíºila k nule11. Zdá se, síla v l-d diagramu �klesá p°íli²11A to aº na vzácné výjimky prakticky u v²ech analyzovaných k°ivek, proto se nelze spokojit s trivi-

73


Obrázek 4.26: Výpo£et lomové energie gf r·znými metodami

pomalu� a tak na kone£né dolomení trámce je zapot°ebí více energie neº bylo o£ekáváno.

Tento paradox by bylo moºné pom¥rn¥ velmi dob°e odstranit svislým posunutím l-d

k°ivky12, bohuºel v²ak z rozboru vychází posun sm¥rem dol·13, který z°ejm¥ nemá

fyzikální opodstatn¥ní14. Nezbývá tedy neº se smí°it s tím, ºe se jedná z°ejm¥ o chybu

zp·sobenou tím, ºe ne zcela p°esn¥ známe ae jako funkci zatí°ení a pr·hybu trámce.

Vztah 3.1 není natolik p°esný15, abychom byli schopni vyjád°it délku efektivní trhliny

dobrou p°esností i p°i ae → W .

álním vysv¥tlením, ºe v této oblasti l-d k°ivky je relativní p°esnost m¥°ení velmi nízká, jak je vid¥tna za²um¥ní k°ivky získané derivací (byl pouºit �ltr pr·m¥rující hodnoty dvaceti experimentálníchbod·). Takºe pokud jde o chybu m¥°ení je to chyba systematická.

12Tímto posunem jsme se jiº zabývali v kapitolách 3.3.4 a 4.11.13Dokonce do té míry, ºe by do²lo k faktickému od°íznutí významné £ásti experimentáln¥ nam¥°ené

sestupné £ásti l-d k°ivky.14Svislý posun l-d k°ivky sm¥rem dol· by byl fyzikáln¥ zd·vodnitelný snad jen v p°ípad¥ ultralehkých

heliem £i vodíkem pln¥ných plynosilikát·.15Podle MKP studie provedené Stiborem [1, strana 31] chyba dramaticky roste pro α > 0, 85, coº

p°ibliºn¥ souhlasí s na²ím pozorováním. P°i niº²ích hodnotách α je chyba v rozsahu do 4%.

74

Lomová energie

Obrázek 4.27: �í°ka plató z t°ílineárního modelu

4.11.3 Vliv kameniva

V heterogenním materiálu, jakým beton bezesporu je, se trhlina ne²í°í p°ímo£a°e, ale

sleduje cestu nejmen²ího odporu. Pokud je v betonu kvalitní kamenivo - jehoº pevnost

v tahu je vy²²í neº pevnost cementové pasty - trhlina obvykle neprochází kamenivem,

ale hledá si cestu kolem zrna. Velikost kameniva a také pevnost spojení mezi ním

a cementovou pastou proto do zna£né míry ovliv¬ují celkovou délku trhliny, ²í°ku

lomové procesní zóny a v kone£ném d·sledku i lomovou energii betonu. Jednotlivé

kousky kamene se obvykle na l-d k°ivce neprojeví, ale lze najít i výjimky, jako nap°íklad

na k°ivce betonu stá°í 180 dn·, nevystaveného p·sobení vysokých teplot (obr. 4.28).

U beton· vystavených p·sobení vy²²ích teplot se takovéto �zuby� neobjevují, coº je

z°ejm¥ zp·sobeno naru²ením vazby mezi kamenivem a cementovou pastou.

75


(a) "l-d k°ivka a délka efektivní trhliny

(b) Lomová energie G a její �t

Obrázek 4.28: T°íbodový ohyb trámce betonu 180 dní starého, T = 20◦C. Na záznamuje patrný zub zp·sobený pravd¥podobn¥ p°etrºením kamene pevn¥ uchy-ceného v cementové past¥.

76

Lomová energie

(a)

Obrázek 4.29: Lomová energie G∞ nezávislá na tvaru vzorku a její vztah k lomovéenergii GF vypo£tené dle doporu£ení Rilemu.

77


(a)

Obrázek 4.30: Porovnání r·zných metod výpo£tu lomových energií. Gc, Gce a G∞ jsouporovnány s GF dle metodiky Rilemu.

78

Modelování l-d diagram· matematickými funkcemi

4.12 Modelování l-d diagram· matematickými funkcemi

Jak jiº bylo uvedeno a od·vodn¥no v £ásti v¥nované ur£ení lomové energie, pro od-

had tvaru sestupné £ásti l-d k°ivky je velmi vhodná funkce zavedená Zhangem et

al. 3.25 (b). Proloºením této funkce l-d k°ivkami získáme koe�cient zm¥k£ení β a in-

Obrázek 4.31: Chyb¥jící £ást sestupné v¥tve l-d k°ivky m·ºe být nahrazena vztahemZhanga et al. 3.25 b).

dex zm¥k£ení γ. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce 4.6 a na obrázku 4.32.

Význam koe�cientu zm¥k£ení β a indexu zm¥k£ení γ je patrný z obrázku 4.33.

Zhang at al. jako kriterium k°ehkosti materiálu navrhli derivaci funkce 3.25 (b) , tj.dP (δ)

dδ = −βPu(δ − δu)γ−1 exp (−β (δ − δu)γ) v maximu l-d k°ivky tj. v bod¥ δ = δu.

Tato derivace nabývá hodnoty −∞ pro γ < 1, hodnoty −βPu pro γ = 1, respektive jerovna nule v p°ípad¥, ºe γ > 1. Parametr β tak je, coby kriterium k°ehkosti, prakticky

vy°azen ze hry, protoºe γ je p°esn¥ rovno jedné jen zcela výjime£n¥. Derivace dP (δ)dδ je

nespojitou funkcí γ a jako kritérium k°ehkosti není optimální (ke strukturním zm¥nám

velmi pravd¥podobn¥ nedochází skokem). Dále je z°ejmé, ºe (a) p°i vlastním �tování

metodou nejmen²ích £tverc· je význam vrcholu l-d k°ivky pom¥rn¥ malý (nemá v¥t²í

79


Tabulka 4.6: Koe�cient zm¥k£ení β a index zm¥k£ení γ jako funkce teploty

série stá°í [dní] teplota [◦C] β [-] ∆50β [-] γ [-] ∆50γ [-]

M 90 20 3,7 ±0,8 0,85 ±0,02A 90 100 3,1 ±0,6 0,80 ±0,02D 90 200 3,1 ±0,6 0,88 ±0,02B 90 300 3,3 ±0,6 0,98 ±0,05E 90 400 2,4 ±0,4 1,02 ±0,08C 90 500 1,4 ±0,1 1,07 ±0,08F 90 600 1,04 ±0,06 1,03 ±0,01G 90 700 1,0 ±0,1 1,44 ±0,08K 90 800 1,07 ±0,07 1,31 ±0,04L 90 900 0,91 ±0,08 1,14 ±0,06H 90 1000 0,9 ±0,2 1,5 ±0,2U 180 20 2,8 ±0, 7 0,66 ±0,04R 180 300 4 ±1 1,170 ±0,008S 180 600 1,06 ±0,03 1,04 ±0,04T 180 900 1,0 ±0,3 1,68 ±0,07

váhu, neº ostatní £ásti k°ivky), a (b) pro k°ehké chování materiálu je významná derivace

v ²ir²ím okolí vrcholu neº jen v tomto bod¥ samotném. Na²t¥stí pro nás nemusíme

tento zajisté zapeklitý problém °e²it: obecn¥ platí, ºe £ím je β v¥t²í, respektive γ men²í,

tím je materiál k°eh£í. V p°ípad¥ indexu γ je zlomovou hodnotou γ = 1. V na²em

p°ípad¥ koe�cient β prudce klesá prakticky p°i stejné teplot¥, p°i které hodnota indexu

zm¥k£ení γ p°ekra£uje hodnotu γ = 1. Tuto teplotu (' 350◦C), respektive interval

teplot (300◦C � 500◦C), je moºné povaºovat za kritickou teplotu, p°i které dochází

k pom¥rn¥ výraznému sníºení k°ehkosti materiálu. Za pov²imnutí stojí, ºe pro teploty

vy²²í neº 500◦C výrazn¥ klesá chyba m¥°ení. Poznamenejme, ºe n¥které dal²í sledované

parametry (nap°. Pu a pon¥kud p°ekvapiv¥ i Gf ) v této teplotní oblasti nevykazují

ºádné dramatické zm¥ny; jiné parametry (zejména aeu) se v této oblasti teplot m¥ní

podobným zp·sobem jako koe�cient a index zm¥k£ení. Samotná lomová energie Gf ,

i kdyº je velmi oblíbená, tedy není dobrým a spolehlivým indikátorem zm¥n k°ehkosti

respektive houºevnatosti, protoºe neobsahuje ºádnou informaci o tvaru sestupné £ásti

l-d k°ivky.

80

Modelování l-d diagram· matematickými funkcemi

(a)

(b)

Obrázek 4.32: Koe�cient zm¥k£ení β a index zm¥k£ení γ jako funkce teploty

81


(a)

(b)

Obrázek 4.33: Ilustrace fyzikálního významu koe�cientu zm¥k£ení a indexu zm¥k£ení

82

Model fiktivní trhliny

4.13 Model �ktivní trhliny

Charakteristická délka lch

K výpo£tu charakteristické délky pouºijeme vztah 3.17, p°i£emº posta£í, kdyº namísto

E′pouºijeme E 16. Chyba, které se tím dopustíme, je men²í neº 4%, protoºe Poissonovo

£íslo ν má v p°ípad¥ betonu hodnotu ≈ 0,2. Jak víme z kapitoly 3.3.2, experimentáln¥

ur£ená kritická hnací Gc v·bec neodpovídá energii na vytvo°ení jednotkové plochy trh-

liny gF . Jako nejlep²í moºný odhad gF pouºijeme proto lomovou energií G∞.

Planas·v vztah 3.18 pouºijeme k odhadnutí konstanty w1 modelu efektivní trhliny

(viz obrázek 3.7 (a)).

Obrázek 4.34: Charakteristická délka jako funkce teploty

16d·vodem pro toto zjednodu²ení je p°edev²ím fakt, ºe stav napjatosti p°esn¥ neznáme (nejedná seo rovinný problém, napjatost i deformace jsou trojosé).

83


Obrázek 4.35: Konstanta w1 modelu �ktivní trhliny ur£ená orienta£n¥ pomocívztahu 3.18.

4.14 Nespeci�cké lomové charakteristiky

4.14.1 Index k°ehkosti B

K°ehkost obecn¥ je vnímána jako schopnost konstrukce se �z°ítit� bez p°edchozího va-

rování; £ím k°eh£í je konstrukce, tím men²í je p°etrvávající plastická deformace p°ed-

cházející destrukci. Ke k°ehkému chování mají sklon takové konstrukce, ve kterých je

p°i dosaºení meze pevnosti nahromad¥n dostatek potenciální elastické energie (Ue - viz

obrázek 4.36), aby dokázal zcela pokrýt energetické poºadavky ²í°ící se trhliny (G). Je

to problém p°edev²ím masivních konstrukcí (mezi které samoz°ejm¥ pat°í i kontejn-

ment JE), protoºe elastická energie roste úm¥rn¥ objemu (∼l3), zatímco lomová práce

roste s plochou trhliny (∼l2, kde l je charakteristický rozm¥r konstrukce). Jako index

k°ehkosti je proto smysluplné de�novat podíl energie pot°ebné k úplné destrukci vzorku

a potenciální elastické energie, tj.

B =Wf

Ue. (4.12)

84

Nespecifické lomové charakteristiky

Pro stanovení indexu k°ehkosti pot°ebujeme ur£it mnoºství elastické energie, tj. po-

tenciální energie, která se ze vzorku uvol¬uje dojde-li k odtíºení p°i maximální hodnot¥

p·sobící síly. Tato energie p°ispívá k ²í°ení trhliny a je proto d·leºitá pro stano-

vení, zda materiál vykazuje k°ehké chování, £i nikoliv. Nejlep²ím známým zp·sobem

jak tuto energii ur£it je odtíºení vzorku p°i dosaºení maxima síly P u. Tyto odt¥ºovací

k°ivky nemáme k dispozici, proto se musíme spokojit s odhadem, který je z°ejmý z ob-

rázku 4.36. Z vrcholu l-d k°ivky spustíme dv¥ úse£ky, jedna je kolmá na osu x, druhá má

sm¥rnici rovnou tuhosti trámce, t.j. E0. Plocha mezi t¥mito úse£kami je rovna hledané

elastické energii Ue. Výsledky pro námi studovnou sérii vzork· jsou prezentovány na

obrázku 4.37 (a).

Obrázek 4.36: Ilustrace zavedení Wa,Wd, Wp, a Ue v l-d diagramu.

4.14.2 Index plastické deformace P

Tento index vyjad°uje do jaké míry materiál vykazuje plastické chování. Je zaveden

jako pom¥r plastické energie a potenciální elastické energie v okamºiku dosaºení meze

85


pevnosti, tj.

P =Wp

Ue. (4.13)

Výsledky pro námi studovnou sérii vzork· jsou prezentovány na obrázku 4.37 (b).

86

Nespecifické lomové charakteristiky

(a) Index k°ehkosti

(b) Index plastické deformace

Obrázek 4.37: Index k°ehkosti a index plastické deformace

87

5 Shrnutí, záv¥ry a diskuse

K popisu chování masivních betonových konstrukcí typu ochranné obálky jaderné elek-

trárny pot°ebujeme znát kritický faktor intenzity nap¥tí respektive kritickou hnací sílu

trhliny betonu, jeho hodnotu v²ak pomocí experiment· na vzorcích kone£né velikosti

není moºné spolehliv¥ ur£it. P°i hodnocení vlivu vysokých teplot na spolehlivost a odol-

nost takovýchto konstrukcí musíme tedy pouºít jiné parametry vystihující k°ehkost re-

spektive lomovou houºevnatost materiálu. Takovými parametry jsou lomová energie

a tvar lomové k°ivky.

Lomová energie podle metodiky Rilemu je v zásad¥ dosta£ujícím parametrem pro

porovnání lomových vlastností pokud jsou experimenty provád¥ny na vzorcích stejného

rozm¥ru, není v²ak materiálovým parametrem. V této práci byla navrºena zcela nová

metodika pro ur£ování lomové energie nezávislé na rozm¥rech vzorku a na rozm¥rech

lomové procesní zóny. Takto ur£ená lomová energie je materiálovým parametrem a m·ºe

být proto lépe pouºita pro posuzování konstrukcí z hlediska odolnosti proti ²í°ení trhlin.

Dále bylo ur£eno mnoºství r·zných více £i mén¥ standardních parametr· nelineární

lomové mechaniky, nap°íklad kritická hnací síla trhliny Gc a kritický faktor intenzity

nap¥tí KIc. Pro tyto ú£ely byl vytvo°en originální postup výpo£tu délky efektivní trhliny

(vztah 4.2).

Bylo zji²t¥no, ºe ze v²ech posuzovaných parametr· nelineární lomové mechaniky ko-

e�cient zm¥k£ení β a index zm¥k£ení γ indikují nejcitliv¥ji zm¥nu reziduální k°ehkosti

betonu v závislosti na teplot¥. Tyto parametry kvantitativn¥ popisují zm¥nu tvaru k°i-

vek získaných t°íbodovým ohybem trámc·. Koe�cient zm¥k£ení β ani index zm¥k£ení γ

nejsou na rozdíl od jiných parametr· p°íli² ovlivn¥ny stá°ím vzork· v dob¥ zah°ívání coº

významným zp·sobem urychluje experimentální práci. K významnému poklesu k°eh-

kosti betonu dochází p°i teplot¥ kolem 350 ◦C (obrázky 4.32 na stran¥ 81). P°estoºe

89

Shrnutí, záv¥ry a diskuse

p°i t¥chto teplotách dochází jiº k pom¥rn¥ významné ztrát¥ pevnosti (coº je podstatné

u subtilních konstrukcí), lomová energie z·stává prakticky konstantní aº do teplot ko-

lem 600 ◦C (obrázek 4.29 na stran¥ 77). M·ºeme tedy u£init záv¥r, ºe masivní betonové

konstrukce, u kterých je rozhodujícím kritériem lomová houºevnatost a nikoliv pevnost,

mají po ²okovém oh°evu do 600 ◦C je²t¥ dostate£nou zbytkovou odolnost.

U betonu vystaveného p·sobený vysokých teplot lze tedy z pohledu jeho k°ehkosti

rozli²it dv¥ p°echodové teploty a to p°ibliºn¥ 350◦C a 600◦C. Ob¥ tyto teploty jsou také

z°etelnými p°echodovými teplotami v distribuci nanopór· a lze pro n¥ nalézt vysv¥tlení

i na DTA k°ivce1 a p°echodová teplota 350◦C je patrná i na k°ivce teplotní závislosti

diferenciální délkové teplotní roztaºnosti.

Doporu£ení a úkoly pro p°í²tí výzkum

• B¥hem zpracování výsledk· byl zaznamenán pozoruhodný nár·st statického mo-

dulu pruºnosti p°i teplotách kolem 300 ◦C u mladého 90-ti denního betonu. Pro

tento jev nebylo v literatu°e nalezeno ºádné vysv¥tlení. Bylo by tedy vhodné se

tomuto jevu v budoucnu podrobn¥ji v¥novat.

• Pevnostní a lomové charakteristiky betonu jsou z°ejm¥ výrazn¥ ovliv¬ovány jeho

vlhkostí. Lze doporu£it studium t¥chto charakteristik u betonu zah°ívaného p°i

zvý²ené vlhkosti (a tlaku).

• Je z°ejmé, ºe p°i teplotách kolem 350 ◦C dochází v betonu k zásadním strukturním

zm¥nám (vzr·st modulu pruºnosti u mladých beton·, pokles k°ehkosti u beton·

v²eho stá°í). Je t°eba provést hlub²í rozbor z hlediska chemie betonu, teplotních

zm¥n porézní struktury atp.

• Metodiku výpo£tu lomové energie nezávislé na rozm¥rech vzork· G∞ by bylo

vhodné p°evézt z tabulkového procesoru Excel do prakticky pouºitelné formy, tj.

do n¥jakého rozumného výpo£tového jazyka a také dal²ími experimenty ov¥°it její

platnost.

1P°i 350◦C je rychlost dehydratace kalciumsilikát- a kalciumalumináthydrát· nejv¥t²í, v intervalu600◦C�800◦C dochází k fázové p°em¥n¥ k°emene, rozkladu portlanditu a posléze k dekarbonataciCaCO3.

90

Literatura

[1] Miroslav Stibor. Lomové parametry kvazik°ehkých materiál· a jejich ur£ování. Dok-torská diserta£ní práce, VUT FAST, Brno, 2004.

[2] Bisheng Zhang, Nenad Bicanic, Christopher J. Pearce, & Gojko Balabanic. Asse-sment of toughness of concrete subjected to elevated temperatures from completeload-displacement curve, part 1: General introduction. ACI Materials Journal,September-October:550�555, 2000.

[3] A. Hillerborg. Analysis of one single crack. In Wittmann [68], strana 223�249.

[4] A. A. Gri�th. The phenomenon of rupture and �ow in solids. Phil. Trans. RoyalSoc, (A 221):1031�1046, 1921.

[5] Rilem Commitee FMC-50. Determination of the fracture energy of mortar andconcrete by means of the three-point-bend tests on notched beams. Materials andStructures, 18:285�290, 1985.

[6] Zden¥k Baºant, editor. Proceedings of The First International Conference onFracture Mechanics Of Concrete Structures FramCoS 1, Breckenridge, 1992. El-sevier Science Publishers Ltd.

[7] �SN EN 123 90-3, Zkou²ení ztvrdlého betonu - Stanovení pevnosti betonu v tlaku,�NI, Praha.

[8] �SN EN 123 90-5, Zkou²ení ztvrdlého betonu - Stanovení pevnosti betonu v tahuohybem, �NI, Praha.

[9] �SN EN 123 90-6, Zkou²ení ztvrdlého betonu - Stanovení pevnosti v p°í£ném tahuzku²ebních t¥les, �NI, Praha.

[10] Zden¥k P. Baºant & L. Cedolin. Stability of Structures: Principles of Elastic,inelastic and demage theories. Oxford University Press, New York, 1990.

[11] Y. R. Rashid. Analyses of prestresed concrete presure vessels. Nuclear Engineeringan Design, 7(4):334�355, 1985.

91

Literatura

[12] C. E. Inglis. Stresess in plate due to the presence of cracks and sharp corners.Trans. Inst., Naval Architects, 55:219�241, 1913.

[13] Ji°í Kunz. Základy lomové mechaniky. FJFI �VUT, Praha, 2000.

[14] J. A. Kies. Toughness testing of hot stretched acrylics. In Proc of Aircraft IndustriesAssociation and Air Development Command joint Conference, Dayton, 1955.

[15] B. Cotterell. The past, present, and future of fracture mechanics. EngineeringFracture Mechanics, 69(5):533�553, 2002.

[16] P. Kumar Mehta & Paulo J. M. Monteiro. Concrete: Microstructure, Propertiesand Materials. Prentice Hall, New Jersey, 2001.

[17] �SN EN ISO 12737, �NI, Praha .

[18] G. R. Irwin. Plastic zone near a crack and fracture toughness. In Sagamore Res.Ord. Materials, Proceedings of 7th Conference, strana 4�63, 1960.

[19] P. Nallathambi & B. L. Karihaloo. Determination of size-independent fracturetougness of plain concrete. Magazine of Concrete Research, 38(135):67�76, 1986.

[20] A. Hilleborg, Modéerer, & P. E. Petersson. Analysis of crack formation and crackgrowth in concrete by means of fracture mechanics and �nite elements. Cementand Concrete Research, 6:773�781, 1976.

[21] Zbyn¥k Ker²ner, Drahomír Novák, Ladislav �outil, David Lehký, & Josef Kní-ºek. Fracture-mechanical parameters of �bre-reinforced cement-based compositefor statistical modelling. In Bílek & Ker²ner [96], strana 548�553.

[22] James H. Hanson & Anthony R. Ingra�ea. Using numerical simulations to comparethe fracture toughness values for concrete from the size-e�ect, two parameter and�ctious crack models. Engineering Fracture Mechanics, 70(7�8):1015�1027, 2003.

[23] L. F. Martha, L. J. Gray, & A. R. Ingra�ea. Three dimensional fracture simulationwith single domain, direct boundary element formulation. International Journalon Numerical Methods in Engineering, 35:1927�1921, 1992.

[24] M. Elices & J. Planas. Fracture mechanics parameters of concrete. AdvancedCement Based Materials, 4:116�127, 1996.

[25] J. Planas, G. V. Guinea, & M. Elices. Size-e�ect and invers analysis in concretefracture. International Journal of Fracture, 95:367�378, 1998.

[26] Ragip Ince. Prediction of fracture parametres of concrete by arti�cial neural ne-tworks. Engineering Fracture Mechanics, 71(15):2143�2159, 2004.

[27] Kai Duan, Xiaozhi Hu, & F. H. Wittmann. Boundary e�ect on concrete fractureand non-constant fracture energy distribution. Engineering Fracture Mechanics,70(16):2257�2268, 2003.

92

Literatura

[28] Kai Duan, Xiao-Zhi Hu, & Folker H. Wittmann. Thickness e�ect on fracture energyof cementitious materials. Cement and Concrete Research, 33(4):499�507, 2003.

[29] K. Duan, X. Z. Hu, & F. H. Wittmann. Boundary e�ect on concrete fractureinduced by non-constant fracture energy dissipation. In FramCoS 4 [64], strana49�55.

[30] H. M. Abdalla & B. L. Karihaloo. Determination of size-independent speci�cfracture energy of concrete from three-point bend and wedge splitting tests. Ma-gazine of Concrete Research, 55:133�141, 2003.

[31] A. Modeer. A fracture mechanics applied to failure of analysis of concrete materials.Report tvbm-1001, Division of building materials, University of Lund, Sweden,1979.

[32] M. Elices, G. V. Guinea, & J. Planas. Measurement of the fracture energy usingthree-point bend tests: part 3, in�uence of cutting the p-d tail. Materials andStructures, 25:327�334, 1992.

[33] B. L. Karihaloo & H. M. Abdalla. A simple method for determination of the truespeci�c fracture energy of concrete. In Bílek & Ker²ner [96], strana 415�432.

[34] X. Hu & F.H Wittmann. Size e�ect on toughness induced by crack close to freesurface. Engineering Fracture Mechanics, 65:209�211, 2000.

[35] J. M. I. Reis & A. J. Ferreira. The in�uence of notch depth on the fracture mecha-nics properties of polymer concrete. International Journal of Fracture, 124:33�42,2003.

[36] B. Barr & M. K. Lee. Modelling of the strain softening behaviour of plain concreteusing a double-exponencial model. Magazine of Concrete Research, 34:33�53, 2003.

[37] Petr Frantík, Zbyn¥k Ker²ner, & Ladislav �outil. Aplikace 2e modelu: modi�kaceur£ení parametr·. In �esko-Slovenská konference Experiment 04, VUT FAST vBrn¥, Brno, 2004.

[38] Ale² Kutín. Modelování lomov¥-mechanických parametr· betonu. Diplomová práce,VUT FAST, Brno, 2005.

[39] Bisheng Zhang, Nenad Bicanic, Christopher J. Pearce, & Gojko Balabanic. Asse-sment of tougness of concrete subjected to elevated temperatures from completeload-displacement curve, part 2: Experimental investigation. ACI Materials Jour-nal, September-October:556�566, 2000.

[40] P. R. Ellis. Analysis of mortars by di�erential thermal analysis. 12�14 May 1999.

[41] Sidney Mindess. The applicatin of fracture mechanics to cement and concrete. Ahistorical review. In Wittmann [68], strana 1�30.

93

Literatura

[42] Zden¥k P. Baºant & Maurice F. Kaplan. Concrete at High Temperatures: MaterialProperties and Mathematical Models. Longman Ltd, Harlow, 1996.

[43] S. E. Pihlajavaara. An analyses of the factors exerting e�ect on strength and otherproperties of concrete at elevated temperatures. In ACI Special Publication 341[63], strana 347�354.

[44] D. J. Hannant. E�ect of heat on concrete strength. Engineering, 203(21), 1964.

[45] V. V. Bertero & M. Polivka. In�uence of thermal exposure on mechanical charac-teristics of concrete. In ACI Special Publication 341 [63], strana 505�531.

[46] F. L. Feldman & P. J. Sereda. Engineering Journal, 53:53�59, 1970.

[47] Bisheng Zhang, Nenad Bicanic, Christopher J. Pearce, & Phillips David V. Relati-onship between brittleness and moisture loss of concrete exposed to high tempera-tures. Cement and Concrete Research, 32(3):363�371, 2002.

[48] F. H. Wittmann. In Hydraulic cement pastes, strana 96�117, University of She�eld,Wegsham Springs, 1976.

[49] Franti²ek Vodák, Karel Trtík, Olga Kapi£ková, & Pavel Demo. The e�ect of tem-perature on strength-porosity relationship for concrete. Construction and BuildingMaterials, 18(7):529�534, 2004.

[50] D. R. Lankart, D. L. Birkimer, F. Fondriest, & M. J. Snyder. E�ect of mois-ture content on the structural properties of portland cement concrete exposed totemperatures up to 500F. In ACI Special Publication 25 [62], strana 59�109.

[51] I. Janotka & L. Bágel. Bound water content, permeability and residual compressivestrength of concrete at high temperatures. In Dhir et al. [94], strana 51�58.

[52] �árka Ho²ková. Vliv teploty na porézní strukturu a pevnost betonu. Doktorskádiserta£ní práce, FSv �VUT Praha, 2003.

[53] R. Felicetti, P. G. Gambarova, & M. Semiglia. Residual capacity of hsc thermallydamaged deep beams. Journal of Structural Engineering, 125(3):319�327, 1999.

[54] Vít¥zslav Vydra, Franti²ek Vodák, Olga Kapi£ková, & �árka Ho²ková. E�ect oftemperature on porosity of concrete for nuclear safety structures. Cement andConcrete Research, 31(7):1023�1026, 2001.

[55] F. Vodák at al. E�ect of temperature and thermal cycling on porosity of concreteof nuclear safety structures. In Durability of concrete. Vol. Supl, strana 527�536,ACI, Dayton, 2000.

[56] Franti²ek Vodák et al. Trvanlivost a stárnutí betonových konstrukcí jadernýchelektráren. Záv¥re£ná zpráva o °e²ení projektu, Fakulta stavební �VUT, Praha,2000.

94

Literatura

[57] Franti²ek Vodák et al. Experimental study of relation among elevated temperatureexposure, strength and structure of concrete employed in containment of "NPP Te-melín". Záv¥re£ná zpráva o °e²ení projektu, International Atomic Energy Agency,Vienna, 2001.

[58] Franti²ek Vodák et al. Tables of physical properties of concretes for nuclear-safetystructures. CTU reports No. 5, Vydavatelství �VUT, Praha, 2000.

[59] O. Kapi£ková, H. Kloko£níková, & F. Vodák. Determination of cement stone tex-ture by porogram analysis. Acta Polytechnica, 39:53�59, 1999.

[60] �. Ho²ková, O. Kapi£ková, & F. Vodák. Temperature e�ect on nanoporosity ofconcrete of nuclear-safety-related structures. Acta Polytechnica, 39(3):23�31, 1999.

[61] Vít¥zslav Vydra. Determination of size independent speci�c fracture energy of con-crete. In Proceedings of international workshop Physical and Material Engineering2005, strana 228�231, Prague, 2005.

[62] Temperature and concrete. ACI Special Publication no. 25, Detroit, 1971. ACI.

[63] International Seminar on concrete for nuclear reactors. ACI Special Publicationno. 34, Vol. 1, Detroit, 1972. ACI.

[64] Proceedings of The Fourth International Conference on Fracture Mechanics Of Con-crete Structures FramCoS 4, Rotterdam, 2001. Elsevier Science Publishers Ltd.

[65] Byung-Wan Yo & Ghi-Ho Tae. Experimental study on fracture energy of low-heatconcrete by three-point-bend tests. Journal of Non-destructive testing, 37(12):907�915, 2001.

[66] Shilang Xu & Hans W. Reinhardt. Determination of double-k criterion for crackpropagation in quasi brittle fracture. Part I: Experimental investigation of crackpropagation. International Journal of Fracture, 98:111�149, 1999.

[67] Folker H. Wittmann. Fracture process zone and fracture energy. In Baºant [6],strana 391�403.

[68] F. H. Wittmann, editor. Fracture Mechanics Of Concrete. Elsevier Science Pub-lishers Ltd, 1983.

[69] Miroslav Vo°echovský, Zden¥k P. Baºant, & Drahomír Novák. Procedure of sta-tistical size e�ect prediction for crack inition problems. In Bílek & Ker²ner [96],strana 433�438.

[70] Canan Tasdemir, Mehmet A. Tasdemir, Frak D. Lydon, & Ben I. G. Barr. E�ect ofsilica fume and aggregate size on the brittleness of concrete. Cement and ConcreteResearch, 26(1):63�68, 1996.

95

Literatura

[71] Vít Sopko. Radia£ní k°ehnutí betonu. Doktorská diserta£ní práce, FSv �VUTPraha, 2003.

[72] Angelo Simone. Continuous-Discontinuous Modelling of Failure. Doktorská diser-ta£ní práce, Technische Universiteit, Delft, 2003.

[73] Ji°í �ejnoha & Jitka Bittnarová. Pruºnost a pevnost 10. FSv �VUT, Praha, 2003.

[74] Rilem Commitee 44-PHT. In U. Schneider, editor, Behaviour of concrete at highttemperatures. Kassel University Germany, 1985.

[75] Rilem. Determination of fracture parametres KSIC , CTODc of plain concrete using

three-point-bend tests. Materials and Structures, 23:457�460, 1990.

[76] Rilem. Size-e�ect method for determining fracture energy and process zone size ofconcrete. Materials and Structures, 23:461�465, 1990.

[77] G. Appa Rao & B. K. Raghu Prasat. Fracture energy and softening behaviour ofhigh-strength concrete. Cement and Concrete Research, 32(2):247�252, 2002.

[78] Byung Hwan Oh. Fracture energy of concrete and equivalent crack length. InBaºant [6], strana 419�423.

[79] D. J. Naus, C. Seni, & V. Vydra et al. Assesment and management of ageing ofmajor nuclear power plant components important to safety: Concrete containmentbuildings. IAEA-TECDOC 1025, International Atomic Energy Agency, Vienna,June 1998.

[80] Sherif S. Morcos & Reidar Bjorhovde. Fracture criteria of concrete. In Baºant [6],strana 169�172.

[81] K. Miled, R. Le Roy, K. Sab, & C. Boulay. Compressive behavior of an idealizedeps lightweight concrete: size e�ects and failure mode. Mechanics of Materials,36(11):1031�1046, 2003.

[82] Hirozo Mihashi. Material structure and tension softening proprties of concrete. InBaºant [6], strana 239�250.

[83] O. Michalko, P. Semerák, & V. Vydra. Zkou²ení betonu ultrazvukovým povrchovýmvln¥ním. In Zborník konference Stavebné materiály a sku²obníctvo, strana 149�151,Bratislava, Orgware, 2001.

[84] Minoru Kunieda, Norihiko Kurihara, Yuichi Uchida, & Keitetsu Rokugo. Appli-cation of tension softening softening diagrams to evaluation of bond properties atconcrete interfaces. Engineering Fracture Mechanics, 65(2�3):299�315, 2000.

[85] V. K. R. Kodur, Fu-Ping Cheng, Tien chih Wang, & M. A. Sultan. E�ect of stren-gth and �ber reinforcement on �re resistance of high-strength concrete columns.Journal of Structural Engineering, 129(2):253�259, 2003.

96

Literatura

[86] B. L. Karihaloo. Fracture Mechanics & Structural Concrete. Longman Group Ltd.,Essex, 1995.

[87] Milan Jirásek. Numerical modeling of deformation and failure of materials. �VUT,Praha, 2003.

[88] I. Janotka & T. Nürnbergerová. Concrete behaviour in reactor envelope of a NPPat temperatures up to 200C. The Arabian journal for science and engineering,24:19�32, 1999.

[89] I. Janotka & S. C. Mojumdar. Thermal analysis of the evaluation of concretedamage by high temperatures. Journal of thermal analyses and calorimetry, 81:197�203, 2005.

[90] Xiaozhi Hu & Kai Duan. In�uence of fracture process zone height on fractureenergy of concrete. Cement and Concrete Research, 34:1321�1330, 2003.

[91] X. Z. Hu & F. H. Wittmann. Fracture energy and fracture process zone. Materialsand Structures, 25:319�326, 1992.

[92] A. Hilleborg. The theoretical basis of method to determine the fracture energy gf

of concrete. Materials and Structures, 18(106):291�296, 1986.

[93] Ravindra Gettu, Pere c. Prat, & Mohamad Taghi Kazemi. Material brittlenessfrom nonlinear fracture mechanics. In Baºant [6], strana 430�436.

[94] Ravindra K. Dhir, Kevin A. Paine, & Mun Cheong Tang, editors. Proceedings of theInternational Conference Global Construction: Ultimate Concrete Opportunities,Dundee, 2005. Thomas Thelford.

[95] Zden¥k Bittnar & Ji°í �ejnoha. Numerical Methods in Structural Mechanics. ASCEPress, New York, 1996.

[96] Vlastimil Bílek & Zbyn¥k Ker²ner, editors. 2nd International Symposium Non-Traditional Cement and Cocrete, Brno, 2005. VUT FAST Brno, �PSV UherskýOstroh.

[97] Zden¥k P. Baºant & Emilie Becq-Giraudon. Statistical prediction of fracture pa-rametres of concrete and implicatins for choice of testing standard. Cement andConcrete Research, 32(4):773�781, 2002.

[98] Amit Barde. Early age �exural behaviour of cementious systems and factors af-fecting maturity based predictions. Master's thesis, Purdue University, USA, 2004.

[99] R. V. Balendran, Abid Nadaem, Tayyab Maqsood, & H. Y. Leung. Flexural andsplit cylinder strenghts of hsc at elevated temperatures. Fire Technology, 39:47�61,2003.

97

Vlastní publikace vztahující se k této

práci2

D. Naus, C.Seni, V. Vydra et al. Assesment and management of ageing of major nuclearpower plant components important to safety: Concrete containment buildings. IAEA-TECDOC-1025, International Atomic Energy Agency, Vienna, June 1998.

Vít¥zslav Vydra. Determination of size independent speci�c fracture energy of concrete.In Proceedings of international workshop Physical and Material Engineering 2005, strana228�231, Prague, 2005.

Vít¥zslav Vydra, Franti²ek Vodák, Olga Kapi£ková a �árka Ho²ková. E�ect of tem-perature on porosity of concrete for nuclear safety structures. Cement and ConcreteResearch, 31(7):1023�1026, 2001.

Franti²ek Vodák et al. Trvanlivost a stárnutí betonových konstrukcí jaderných elektrá-ren. Záv¥re£ná zpráva o °e²ení projektu, Fakulta stavební �VUT, Praha, 2000.

O. Michalko, P. Semerák, & V. Vydra. Zkou²ení betonu ultrazvukovým povrchovýmvln¥ním. In Zborník konference Stavebné materiály a sku²obníctvo., strana 149�151,Bratislava, Orgware, 2001.

F. Vodák at al. E�ect of temperature and thermal cycling on porosity of concrete ofnuclear safety structures. In Durability of concrete. Vol. Supl., strana 527�536, ACI,Dayton, 2000.

Franti²ek Vodák et al. Experimental study of relation among elevated temperatureexposure, strength and structure of concrete employed in containment of "NPP Teme-

2U n¥kterých publikací byl autor £lenem publikujícího týmu.

99

Literatura

lín". Záv¥re£ná zpráva o °e²ení projektu, vypracováno pro International Atomic EnergyAgency, Vienna, 2001.

Franti²ek Vodák et al. Tables of physical properties of concretes for nuclear-safetystructures. CTU reports No. 5, �VUT, Praha, 2000.

100

Documents

Lomové charakteristiky betonu vystaveného p·sobení