1

Berina Cocalić

1. Logički sud/iskaz je osnovni pojam u matematičkoj logici. To je svaka smislena izjava koja može biti ili istinita ili neistinita. Skup svih iskaza najčešće se obilježava sa , a pojedinični iskazi malim slovima , , , U matematici se istinit iskaz naziva stav, tvrdnja ili teorema.

2. „Broj je djeljiv sa .“ U toj rečenici nisu određeni i , pa ta rečenica nije iskaz. Ako zamjenimo za i

određene brojeve, dobit ćemo iskaz (Booleovu funckiju). Za i kažemo da su predmetne veličine, a za odnos između njih predikat. U našem slučaju predikat je „...je djeljiv sa...“, označimo ga sa , pa se navedna iskazna funckija može pisati u obliku ( , .

3. Na skupu iskaza definiraju se relacije:

a. Negacija iskaza , (ne p) je iskaz koji je neistinit akko je iskaz istinit, a istinit akko je iskaz neistinit. Za negaciju iskaza koriste se i oznake i .

b. Konjunkcija iskaza i , u oznaci (p i q je složeni iskaz koji je istinit akko su i iskaz i iskaz istiniti, u protivnom je neistinit.

c. Disjunkcija iskaza i , u oznaci (p ili q je složeni iskaz koji je istinit akko makar jedan od iskaza i istinit, u protivnom je neistinit.

d. Implikacija iskaza i , u oznaci (p implicira q je složeni iskaz koji je neistinit akko je iskaz istinit, a iskaz neistinit, u suprotnom je istinit.

e. Ekvivalencija iskaza i , u oznaci (p je ekvivalentno sa q je složeni iskaz koji je istinit akko iskazi i imaju istu istinitosnu vrijednost, u suprotnom je neistinit.

4. U relejno-prekidačkoj interpretaciji iskazna slova , , , ... interpretiramo kao relejne prekidače, a simbole , interpretiramo redom kao uključen, isključen. Negacije iskaznih slova, tj. formule , , . .. interpretiramo također

kao relejne prekidače. Iskaz koji odgovara električnom kolu u kojem pri položaju prekidača na „isključeno“

gori sijalica, i obrnuto, predstavljaju negaciju iskaza kojem odgovaraju električna kola na slikama:

Ako su , iskazna slova, onda i redom interpretiramo kao sljedeće relejne mreže (strujna kola,

strujni/električni krugovi :

5. Skup je pojam koji se ne definiše. To je objedinjenje nekog mnoštva elemenata u neku cjelinu. Sinonimi za skup su mnoštvo, množina, klasa, familija, kolekcija... Objekti od kojih je sačinjen skup nazivaju se elementi/tačke/članovi skupa, i kažemo da je skup određen svojim elementima.

6. Dva skupa X i Y su jednaki akko su sastavljeni od istih elemenata. (

7. Neka su X i Y skupovi takvi da je svaki element skupa X ujedno i element skupa Y. Tada kažemo da je X podskup od Y, odnosno da je Y nadskup od X. Pišemo: odnosno . Relaciju , odnosno nazivamo relacija inkluzije.

( (

Iz relacija jednakosti i inkluzije slijedi (

8. Partitivni skup (bulean skupa X je skup svih podskupova skupa X. Obilježavamo ga sa ( ili .

Kako je i , sigurno je , ( .

9. Prazan skup (vakuum je skup koji nema elemenata, i označavamo ga sa .

10. Univerzalni skup (označavamo ga sa U ili I je zadani/fiksirani skup u kojem su sadržani svi skupovi koje koristimo u nekom razmatranju.

2

Berina Cocalić

11. Neka su , . Tada je potpuno određen podskupovi od I: koji nazivamo unija skupa X i skupa Y, u oznaci .

koji nazivamo presjek skupa X i skupa Y, u oznaci .

koji nazivamo razlika (diferencija) skupa X i skupa Y, u oznaci .

12. Komplement skupa A u odnosu na skup X obilježavamo sa je razlika . Pišemo:

Oznake za komplement su: ( , , , , .

13. Osnove osobine operacija unije, presjeka i komplementa su: zakoni asocijacije

( ( ( (

zakoni komutacije

zakoni apsorpcije ( (

zakoni distribucije

( ( ( ( ( (

zakoni idempotencije

svojstvo praznog i univerzalnog skupa

De Morganova pravila

( ( ( ( ( (

involucija: (

( (

(

14. Neka su A i B neprazni skupovi. Svaki podskup Dekartovog proizvoda je binarna relacija između elemenata skupa A i elemenata skupa B. Ako su elementi i u relaciji , pišemo ( , ili . Ako je , tada je binarna relacija na skupu A.

15. Za binarnu relaciju kažemo da je relacija poretka akko je: a. refleksivna: ( ( b. tranzitivna: ( (

16. Uređen skup je skup na kojem je zadana relacija poretka. Ako su svaka dva elementa nekog skupa A u relaciji

poretka, to jeste međusobno uporediva, kažemo da je skup A totalno uređen skup. Za skup prirodnih brojeva ( , kažemo da je diskretan ili diskretno uređen ako za svaki ( vrijedi : . Za neki skup, recimo , kažemo da je dobro definisan (određen akko za svaki objekt možemo ustanoviti je li ili nije.

17. Kažemo da su skupovi i ekvipotentni (ili ekvivalentni i pišemo , ako postoji bijekcija : . Za skup

kažemo da je konačan akko ( . Za skup kažemo da je beskonačan akko nije konačan skup. Za skup kažemo da je prebrojiv (izbrojiv) akko je konačan . Beskonačan skup koji nije ekvivalentan sa skupom prirodnih brojeva je neprebrojiv.

18. Uređen par redom elemenata a i b, u oznaci ( , , jeste skup , , . U uređenom paru ( , , element a se

zove prva komponenta, a element b druga komponenta.

19. Neka su A i B skupovi. Skup svih uređenih parova ( , , kod kojih je , označavamo sa A B i nazivamo Dekartov (ili Kartazijev) proizvod skupa A i u skupa B, tj.:

( , 20. Za binarnu relaciju kažemo da je relacija ekvivalencije akko je:

a. refleksivna: ( ( b. simetrična: ( c. tranzitivna: ( (

21. Kvantifikatori, odnosno zamjenice 'neki' i 'svaki' su pomoćno sredstvo za dobijanje nekih iskaza. Univerzalni

kvantifikator, u oznaci , nam govori da je predikat istinit za sve vrijednosti neke od varijabli. Egzistencijalni kvantifikator, u oznaci , nam govori da postoji neka vrijednost varijable za koju je određeni predikat istinit. U slučaju kada je izbor jedinstven, koristi se oznaka . Kvantifikatori se nekada kombiniraju kako bi se od datog predikata formirao iskaz.

Berina Cocalić

22. Neka je (𝑋, ≤) uređen (parcijalno uređen) skup i A neprazan podskup od X. Kažemo da je svaki element 𝑚 ∈ 𝑋 minoranta ili donje ograničenje skupa A u (X,≤) ako za svaki 𝑎 ∈ 𝐴 vrijedi 𝑚 ≤ 𝑎. Odmah slijedi da najviše jedna minoranta pripada skupu A, a kada ona postoji, zovemo je najmanjim elementom skupa A. Minimalni (početni) element 𝑎0 ∈ 𝐴 skupa A definira se formulom: ∀(𝑎 ∈ 𝐴)(𝑎 ≤ 𝑎0 ⇒ 𝑎 = 𝑎0). Za skup A kažemo da je ograničen odozdo ako postoji bar jedna minoranta skupa A u uređenom skupu (𝑋, ≤). Majoranta, najveći element i maksimalni element se definiraju kao minoranta i najmanji u odnosu na dualno uređenje (𝑋, ≥). Za skup A kažemo da je ograničen odozgo ako postoji bar jedna majoranta skupa A. Ako je 𝐴 ⊆ 𝑋 ograničen odozgo i odozdo, kažemo da je skup A ograničen skup. Skup svih minoranti skupa A u (𝑋, ≤) može da ima najveći elemet. Tada je taj element jedinstven i naziva se infinum skupa A u (𝑋, ≤), u oznaci inf 𝐴. Element inf 𝐴(∈ 𝑋) ima svojstva:

a. inf 𝐴 je minoranta skupa A b. za svaku minorantu skupa A vrijedi 𝑚 ≤ inf 𝐴.

Ako skup majoranti skupa A u (𝑋, ≤) nije prazan i ima najmanji element, onda je ovaj element jedinstven i zove se supremum skupa A u (𝑋, ≤), u oznaci sup 𝐴. Ako za neki skup A postoji najveći element max 𝐴 u (𝑋, ≤), onda je očito sup 𝐴 = max 𝐴.

23. Neka su A i B neprazni skupovi, a 𝑓 zakon po kojemu se svakom elementu A pridružuje jedan i samo jedan element skupa B. Uređenu trojku (𝐴, 𝐵, 𝑓) nazivamo funkcija skupa A na skup B, ili preslikavanje iz skupa A u

skup B. Pišemo: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ili 𝐴𝑓→ 𝐵.

24. Za preslikavanje 𝑓: 𝑋 → 𝑌 kažemo da je

a. sirjekcija (ili preslikavanje na) ako je 𝑓(𝑋) = 𝑌 b. injekcija (ili 1-1 preslikavanje) ako je 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) c. bijekcija (ili obostrano jednoznačno preslikavanje) ako je 𝑓 sirjekcija i injekcija.

25. Neka je dato preslikavanje (funkcija) 𝑓: 𝑋 → 𝑌. Za preslikavanje 𝑔: 𝑌 → 𝑋 kažemo da je inverzno preslikavanje (ili

inverzna funkcija) za 𝑓 ako je: 𝑔𝑓 = 1𝑥 i 𝑓𝑔 = 1𝑦.

26. Neka su 𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑖 𝑔: 𝑍 → 𝑊 dva preslikavanja (dvije funkcije), takva da je 𝑅(𝑓) ⊆ 𝑍. Tada preslikavanje ℎ: 𝑋 →

𝑊 definirano formulom ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)), 𝑥 ∈ 𝑋 označavamo sa 𝑔 ∘ 𝑓 ili gf i zovemo kompozicija preslikavanja

(kompozicija funkcija ili složena funkcija) 𝑓 i 𝑔.

Apsolutna vrijednost proizvoljnog realnog broja 𝑥 može se definirati i izrazom |𝑥| = √𝑥2.

27. Princip (potpune) matematičke indukcije proizilazi iz Aksioma indukcije: Ako je S podskup od ℕ koji ima svojstva: 1 ∈ 𝑆, ∀(𝑛 ∈ ℕ)𝑛 ∈ 𝑆 ⇒ 𝜋(𝑛) ∈ 𝑆, onda je 𝑆 = ℕ.

Ako neki iskaz 𝐼(𝑛) ima ove dvije osobine: 1. 𝐼(𝑛) je tačan iskaz za 𝑛 = 1 2. Implikacija 𝐼(𝑛) ⇒ 𝐼(𝑛 + 1) vrijedi za svaki prirodan broj 𝑛

onda je iskaz 𝐼(𝑛) tačan za sve prirodne brojeve 𝑛.

U primjenama, ako želimo dokazati da neka tvrdnja 𝑇(𝑛) vrijedi za ∀(𝑛 ∈ ℕ), radimo sljedeće: 1. baza indukcije (𝑛 = 1, ili, općenitije 𝑛 = 𝑛0 ∈ ℕ): Provjerimo/pokažemo da tvrdnja 𝑇(𝑛) vrijedi za

𝑛 = 1 (odnosno za 𝑛 = 𝑛0) 2. induktivna pretpostavka (𝑛 = 𝑘 ≥ 1, odnosno 𝑛 = 𝑘 ≥ 𝑛0): Pretpostavimo da tvrdnja 𝑇(𝑛) vrijedi za

svaki prirodan broj k 3. korak indukcije (𝑛 = 𝑘 + 1): Koristeći induktivnu pretpostavku pokažemo da tvrdnja 𝑇(𝑛) vrijedi i

za prirodan broj 𝑘 + 1. Tada prema principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja 𝑇(𝑛) vrijedi za ∀(𝑛 ∈ ℕ), odnosno za svaki 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑛0.

28. Za svaki prirodan broj 𝑛 i za sve 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ važi relacija

(𝑥 + 𝑦)𝑛 = (𝑛

0) 𝑥𝑛 + (

𝑛

1) 𝑥𝑛−1𝑦 + ⋯ + (

𝑛

𝑖) 𝑥𝑛−𝑖𝑦𝑖 + ⋯ + (

𝑛

𝑛 − 1) 𝑥𝑦𝑛−1 + (

𝑛

𝑛) 𝑦𝑛

koja se zove Newtonova binomna formula ili binomni razvoj, a koeficienti sa desne strane jednakosti nazivaju se binomnim koeficientima.

29. Osnovna svojstva binomnih koeficienata su (za sve 𝑛, 𝑖 ∈ ℕ0, 𝑖 ≤ 𝑛):

a. (𝑛𝑖) = ( 𝑛

𝑛−𝑖)

b. (𝑛𝑖) + ( 𝑛

𝑖−1) = (𝑛+1

𝑖)

c. (𝑛𝑖) = (𝑛+1

𝑖+1)

𝑖+1

𝑛+1 (ovo svojstvo se zove Pascalova jednakost)

4

Berina Cocalić

30. Dokaz Newtonove binomne formule izvest ćemo metodom matematičke indukcije po . Za lijeva strana

formule je izraz , a njena desna strana svodi se na izraz

, odnosno na binom , pa je za

tvrdnja istinita. Pretpostavimo sada da tvrdnja važi za neki . Pomnožimo sada tu jednakost sa . Dobijemo

( (

(

Koristeći jednakosti

i

te grupišući po dva člana gornje sume uz identične

stepene, i primjenom Pascalove jednakosti dobijemo:

(

što dokazuje da Binomna formula vrijedi i za eksponent . Pa, po principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za svaki , i time je dokaz završen.

31. Neka je , i neka je preslikavanje : dato formulom ( ( . Tada, prema

principu indukcije, zaključujemo da postoji jedinstveno preslikavanje : takvo da je

( , ( ( ( (

To preslikavanje zovemo funkcija faktorijel i ( označavamo sa . Dakle, funkcija ( je potpuno određena svojstvom , ( ( . Obično se funkcija definira i za pomoću jednakosti .

32. Osnovne sredine su harmonijska, geometrijska, aritmetička i kvadratna sredina, i vrijedi ( , :

5

Berina Cocalić

33. Polje realnih brojeva je skup u kome su definirane dvije binarne operacije i (koje zovemo sabiranje i množenje retrospektivno i jedna binarna relacija (manje ili jednako) tako da vrijede aksiomi realnih brojeva:

asocijacija za sabiranje i množenje ( , , ( (

( , , ( (

komutacija za sabiranje i množenje ( , ( ,

egzistencija nule i jedinice

( ( ( (

egzistencija inverznih elemenata za sabiranje i množenje ( ( ( ( (

(

tranzitivnost i antisimetrija relacije

( , , ( ( ( , ( (

distribucija množenja prema sabiranju ( , , ( ( , , (

kompatibilnost relacije prema množenju i sabiranju

( , , ( ( , ( (

usporedivost ( , ( (

Aksiom neprekidnosti: Ako su A i B neprazni podskupovi skupa takvi da je za sve , , onda postoji element , takav da je za sve , . Elementi skupa zovu se realni brojevi.

34. Svojstva realnih brojeva izvedena iz aksioma su - Za sve , , , , vrijede svojstva:

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

( ,

,

(

( (

za sve ( (

35. Posljedice aksioma neprekidnosti su: a. teorema o supremumu: Svaki neprazan odozgo ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum u

. b. Arhimedov aksiom: Neka su dati brojevi , , . Tada postoji broj takav da je c. Cantorov aksiom: Neka je za svaki dat segment , ( i neka povlači , , ,

tj. . Tada je

,

odnosno preciznije, vrijedi , , gdje je sup , inf .

36. Peano je pomoću svojih teorema dao potpunu karakterizaciju prirodnih brojeva, tako da se skup prirodnih brojeva može i definirati kao neprazan skup koji zadovoljava te aksiome: a. Definirano je preslikavanje : (tj. Postoji funkcija sa u ) b. Postoji barem jedan element u (označavamo ga sa c. ( ( d. Ako je ( ( za neke , , onda je , tj. je bijekcija e. Aksiom indukcije: Ako je podskup od , koji ima ova dva svojstva:

, ( ( Onda je .

6

Berina Cocalić

37. Radi jednostavnije formulacije nekih svojstava/teorema u analizi se uvodi prošireni prostor/skup realnih brojeva . Po definiciji je , , gdje su dvije međusobno različite tačke. Uređaj se proširuje sa na stavljajući za svaki .

38. Za svaki realan broj definira se modul (apsolutna vrijednost) realnog broja formulom:

Iz toga neposredno slijedi da je ,

Iz svojstva relacije odmah slijedi da za svaki vrijede nejednakosti:

1. 2. 3. ( 4. (

Apsolutna vrijednost, tj. Funkcija : ima svojstva:

1. ( 2. ( , 3. ( 4. ( ,

5. ( ,

6. ( ,

7. ( ,

(

39. Sabiranjem nejednakosti

a. b.

dobijemo nejednakost ( koja je ekvivalentna sa relacijom .

Dobijenu relaciju nazivamo nejednakost trougla i ima važnu ulogu u mnogim dokazima u analizi i u njenim

primjenama.

40. Neka su u skupu uređenih parova realnih brojeva dvije operacije, koje ćemo označiti sa i i zvati sabiranje odnosno množenje, definirane formulama:

( ( , , , ( , ( , ( , ( ( , , , ( , ( , ( ,

Skup ( , : , u kome su definirane operacije + i kao u ( i ( zove se skup kompleksnih brojeva, i najčešće se označava sa , a njegovi elementi se zovu kompleksni brojevi. Najčešće se označavaju slovima z, w... .

41. Kompleksne brojeve kod kojih je prva komponenta jednaka 0, odnosno elemente ( , , ( zovemo čisto imaginarnim brojevima. Specijalno, element ( , zovemo imaginarna jedinica i označavamo sa i (ili j), tj., po definiciji: ( , i.

42. Na osnovu ( i ( i aksioma za sabiranje i množenje u skupu , lako se provjeri da je ( , , polje. Pri tome je kompleksni broj ( , neutralni element za sabiranje, ( , ( , , ( , jedinični element, dok je

( , (

,

za ( , ( , .

Ako obratimo pažnju na kompleksne brojeve ( , (skup tih brojeva označimo sa ) kod kojih imaginarna komponenta nula, lako se zaključuje da je polje u odnosu na operacije i u skupu , pa je polje ( , , podpolje polja ( , , . Slijedi da je preslikavanje : dato formulom ( ( , bijekcija za koju vrijedi ( ( ( , ( ( ( , pa se svako bijektivno preslikavanje : za koji vrijede ova dva identiteta zovu izomorfizam polja ( , , i ( , , .

43. Neka je , kompleksan broj. Tada za broj kažemo da je konjugovan/spregnut

kompleksan broj broju . Iz ove definicije slijedi da je i konjugovan broju . Otuda je ( , tj. operacija

konjugovanja (tj. preslikavanje koje svakom dodjeljuje involutivna. Operacija konjugovanja ima svojstva:

(

( , Im(z)

(

(

8

Berina Cocalić

51. Za tačku kažemo da je tačka gomilanja skupa ( ako u svakoj okolini tačke a postoji bar jedna tačka skupa A različita od same tačke a. Tačka nagomilavanja skupa ( može se definirati i kao tačka u čijoj svakoj okolini postoji beskonačno mnogo tačaka skupa A.

52. Bolzano-Weierstrassova teorema za skupove – Svaki beskonačni ograničeni skup u ima bar jednu tačku

gomilanja u . Svaki beskonačni skup u ima bar jednu tačku gomilanja u .

53. Konačni niz elemenata (nepraznog skupa) je svako preslikavanje (funkcija) : gdje je M neki konačan podskup skupa . Beskonačni niz, tj. niz u (nepraznom) skupu X je svako preslikavanje : skupa prirodnih brojeva u skup X. Vrijednost ( preslikavanja u tački zove se n-ti član niza i obično se označava sa . Ako je sprecifična zavisnost od , onda se naziva opšti član niza. Ako je X skup , onda dobijemo niz realnih brojeva (niz u , a ako je X skup , govorimo o nizu kompleksnih brojeva. Ako je X skup nekih funkcija, onda je ( funkcionalni niz (niz funkcija). Ako je X neki skup brojeva, onda je niz : brojni/numerički niz.

54. Pod okolinom tačke, odnosno broja podrazumijevamo bilo koji interval podskupova koji sadrži

otvoreni interval skupa kojem ta tačka pripada. Specijalno, svaki otvoreni interval u koji sadrži tačku zovemo okolina tačke (u tačke i označavamo sa ( ili ( . Pri tome, za svaki okolinu tačke datu sa ( , : zovemo -okolina tačke . Tačke skupa različite od i , tj. sve tačke skupa zovemo konačnim, a tačke i beskonačnim tačkama skupa . Okoline (u ) tačaka u se definiraju analogno kao i okoline (u tačaka . Jedino odstupanje je što se tačke i ne uključuju se u sopstvene okoline (dakle posmatraju se okoline u tačaka iz , i pod njihovim okolinama se podrazumijevaju skupovi oblika:

( , : ( , :

( , : , : Dva navedena skupa nazivamo beskonačnim/neograničenim razmacima.

55. Za niz ( u kažemo da je konvergentan (u ) ako postoji broj ( takav da za svaki realan broj

postoji prirodan broj takav da za sve prirodne brojeve veće od vrijedi . U tom broj zovemo granična vrijednost/limes niza ( i pišemo lim( (ili lim ; lim . Tada kažemo da niz konvergira ka a ili teži ka a kad i pišemo ( . U slučaju kada je limes beskonačan ili , kažemo da niz ( divergira u užem smislu, a ako limes ne postoji, tada kažemo da niz ( divergira u širem smislu.

56. Za niz u kažemo da je nula-niz ili beskonačno mala veličina (ili infinitezimala u odnosu na kad ako je lim .

57. Osnovna svojstva graničnih vrijednosti nizova u :

a. ako niz ima graničnu vrijednost, ona je jednoznačno određena b. svaki konvergentan niz je ograničen c. jednakost lim , gdje je vrijedi akko , pri čemu je ( ) nula niz d. zbir i razlika dva nula-niza su nula-nizovi e. proizvod ograničenog niza i nula-niza je nula-niz f. veza između algebarskih operacija u skupu i graničnog prelaza – neka su ( i ( konvergentni nizovi u

neka je lim i lim . Tada je: i. lim (

ii. lim ( iii. lim (

iv. lim

g. svojstva limesa koja su u vezi sa relacijom poretka u i. ako je lim i lim i , onda je , počev od nekog . Analogno važi kada

se znak < zamijeni znakom > ii. ako za svaki (ili počev od nekog i nizovi ( i ( imaju graničnu vrijednost, onda

je i lim lim . Analogno važi kada se znak zamijeni znakom . iii. Teorema o dva žandara/policajca ili Sendvič teorem ili Teorema o uklještenju:

Neka su ( , ( i ( tri niza u takva da je: ° za svaki (ili počev od nekog n °lim lim Tada je lim

9

Berina Cocalić

Dokaz: Pretpostavimo, suprotno tvrđenju, da neki niz ( ima dvije granične vrijednosti , koje su

konačne. Neka je

, Tada se okoline ne sijeku, pa je očito nemoguće da i u jednoj i u drugoj budu

skoro svi članovi posmatranog niza ( . Time je dokaz završen.

h. ako je lim , onda je lim

58. Dokažimo da je lim

. Neka je

. Tada je za . Koristeći se binomnim razvojem u kom su svi sabirci pozitivni, dobijemo:

(

(

Otuda je

( pa vrijedi

( , odatle je lim , tj. lim

.

59. Neka je : , niz prirodnih brojeva takav da je , i neka je : niz

elemenata proizvoljnog skupa ( . Tada za niz : sa članovima ( kažemo da je podniz

/djelomični niz niza ( .

60. Za tačku kažemo da je tačka gomilanja niza ako postoji podniz ( tog niza koji teži ka kad

. 61. Bolzano-Weierstrassova teorema za nizove

a. svaki ograničen niz realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja u b. svaki niz realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja u .

62. Za niz ( u kažemo da je Cauchyjev ili fundamentalan ako za svaki postoji indeks takav da je

čim su inde i veći od . Cauchyjev niz ima svojstva: a. svaki konvergentan niz je Cauchyjev b. svaki Cauch jev niz je ograničen c. Ako Cauchyjev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan Kako vrijedi i obrat osobine a., vrijedi i Cauchyjev princip konvergencije: Svaki Cauchyjev niz u je konvergentan u .

63. Za niz ( u kažemo da je neopadajući ako je za svaki , a da je (strogo rastući ako je

za svaki . Za niz ( u kažemo da je nerastući ako je za svaki , a da je (strogo) opadajući ako je za svaki . Četiri navedena tipa niza nazivaju se monotoni nizovi.

64. Kriterij konvergencije monotonih nizova: Svaki monoton i ograničen niz u je i konvergentan u . Stoga vrijedi

teorem konvergencije monotonih nizova: a. neka je ( neopadajući niz u . Tada ( konvergira u akko je ograničen odozgo b. svaki neopadajući niz u ima graničnu vrijednost u Analogne izjave vrijede i za nerastuće nizove.

65. Dokažimo da je niz ( realnih brojeva definiran opštim članom (

, , konvergentan. U tu

svrhu dovoljno je dokazati da je ovaj niz (strogo) rastući i ograničen odozgo. Na osnovu Bernulijeve nejednakosti, imamo (za svaki ):

tj.

(

odakle slijedi da je niz ( (strogo rastući. Dokažimo da je niz ( ograničen odozgo. Za primjenom Newtonove formule imamo:

10

Berina Cocalić

( (

Iz nejednakosti , , i formule za zbir prvih n članova geometrijskog niza dobijemo:

tj. niz ( je ograničen odozgo. Odavdje slijedi da niz ( ima konačnu graničnu vrijednost. Tu graničnu vrijednost (prema Euleru zovemo broj e (Eulerov broj). Dakle:

lim

( ,

Broj e je transcedentan, tj. ne zadovoljava nikakvu algebarsku jednačinu s racionalim koeficientima. Ima veliki značaj u matematičkoj analizi, a često i prirodno se uzima za bazu logaritma (prirodni logaritam ln .

66. Neka je dat niz ( u i neka je za svaki . Beskonačan red ili, kraće red u je uređen par

(( , ( koji se sastoji od dva niza ( , ( ( , , odnosno ( , ; su članovi reda, a

( parcijalne sume reda. Niz ( nazivamo nizom parcijalnih suma datog reda. Sam red se kraće označava: ili ili . Za se kraće kaže da je n-ti član reda , a ako je specifična zavisnost od n, onda se naziva opšti član reda .

67. Neka je ( niz u . Kažemo da je niz ( sumabilan u ili da je red konvergentan u ako je niz

parcijalih suma ( reda konvergentan u . Limes lim

se naziva suma reda i označava se sa

. Ako red nije konvergentan u , kaže se da je divergentan.

Potreban uslov za konvergenciju reda (test n-tog člana : Ako je red konvergentan, onda niz ( njegovih članova konvergira ka nuli, tj. lim

.

68. Cauch jev opšti kriterijum za konvergenciju redova: Red konvergira akko za svaki postoji ,

takav da iz slijedi .

Simbolički, ( ( ( , (

69. Ako je red konvergentan, onda se lako vidi da je konvergentan i red za svaki i vrijedi

jednakost

. Za sumu

kaže se da je ostatak poslije p-tog člana.

70. Za red kažemo da je pozitivan (tj. da je red sa pozitivnim/nenegativnim članovima ako je za svaki

, ili (opštije ako postoji prirodan broj takav da je za svaki .

71. Pozitivni red je konvergentan akko je niz ( njegovih parcijalnih suma ograničen odozgo. Primjenom

navedenog stava dokazuje se da je

, gdje je fiksan realan broj, konvergentan ako je , a divergentan

ako je . Ovaj red naziva se hiperharmonijski red. Ako je , dobijemo tzv. harmonijski red.

72. Za date redove i , red ( naziva se njihovim zbirom, a red ( razlikom tih redova.

73. Red , ( , , naziva se geometrijskim redom. Parcijalna suma tog reda predstavlja sumu prvih k članova geometrijske progresije i data je sa , odnosno sa:

(

Za je lim , pa tada geometrijski red ima konačnu sumu s datu sa lim

tj. konvergentan je. Ako je geometrijski red divergira i to u određenom smislu za , a oscilira za .

11

Berina Cocalić

74. Pretpostavimo da postoji prirodni broj , takav da za članove pozitivnih redova i važe nejednakosti za sve (ili nejednakosti za svaki i za svaki ). Tada iz konvergencije reda slijedi konvergencija reda , a iz divergencije reda slijedi divergencija reda . U ovom slučaju kažemo da je red majoranta reda , a red minoranta reda .

75. Dalamberov kriterijum

Jača forma kriterija: Ako za pozitivni red postoji i , tako da je

za , onda on

konvergira. Ako pak postoji , tako da je

za n , onda pozitivni red divergira.

Slabija / granična forma kriterija: Neka za članove pozitivnog reda postoji

. Tada za

red konvergira, a za on divergira. (Za ovaj kriterij je neodlučiv.

Najjača forma kriterija: Ako je

, onda pozitivni red konvergira, a ako je

,

pozitivni red divergira.

Dokaz: ° Iz nejednakosti

, dobijemo:

, ,...,

.

Kako red

konvergira, to konvergira i red . Dakle konvergira i red .

Na osnovu potrebnog uslova za konvergenciju, ako je

za svaki onda opšti član ne teži ka nuli,

pa red divergira.

° Ako je

i . Označimo sa . Tada postoji n tako da je

za svaki . Na osnovu dokazanog dijela ° ovog stava dobijemo da red konvergira.

Ako je

tada je

počev od nekog n pa tvrdnja opet slijedi iz prvog dijela stava.

° Neka je >0, takav da je . Tada postoji ( takav da vrijedi:

( (

Otuda je

, za svaki , , . Kako red ( konvergira, to konvergira i red .

76. Košijev korijeni kriterijum

Ako za pozitivni red a postoji n i q , tako da je a q za n n, onda on konvergira. Ako pak

postoji n , tako da je a za n n , onda pozitivni red a divergira.

Neka postoji lim a l. Tada za l red a konvergira, a za l on divergira.

Ako je lim a , onda pozitivni red a konvergira, a ako jelim a

, pozitivni red a divergira.

Ako za pozitivni red a vrijedi: lim a l, onda l a konvergira, a za l a

.

77. Rabeov kriterijum

Ako, počevši od nekog n, važi nejednakost

, odnosno

, onda red

konvergira, odnosno divergira. Ako je lim

, onda red konvergira, a divergira za r>1 i r<1.

78. Integralni kriterijum

Neka je ( nenegativna i nerastuća realna funkcija na , ( ) za neki a>0 i neka je ( . Tada red

( konvergira akko konvergira nesvojstveni integral (

, tj. ovaj red i ovaj integral su

ekvikonvergentni.

79. Gaussov kriterijum

Pretpostavimo da se odnos

članova reda može napisati u obliku

što je ekvivalentno sa relacijom:

, ( ), gdje su , i (>1) konstante, a ( je

ograničen niz u . Tada: a. za , odnosno red konvergira, odnosno divergira b. za , , odnosno , red konvergira, odnosno divergira c. za , red divergira

12

Berina Cocalić

80. Dirichletov kriterij

Neka je zadan red (u i neka su zadovoljeni sljedeći uslovi: a. niz ( monotono teži nuli b. niz ( ) parcijalnih suma reda je ograničen Tada je red konvergentan (u )

81. Primjenom Dirichtletovog kriterijuma dobije se Abelov kriterijum za konvergenciju redova u (redova sa

članovima proizvoljnog predznaka, sa opštim članom oblika ): Neka je zadan red i neka su zadovoljeni sljedeći uslovi: a. niz ( je monoton i ograničen b. red je konvergentan Tada je red konvergentan.

82. Posmatrajmo posebnu vrstu redova sa konstantnim članovima promjenjivog znaka.

Red ( gdje su realni brojevi , svi istog znaka (odnosno red sa osobinom da za svaki vrijedi , )naziva se alternativnim redom.

83. Leibnizov kriterijum

Ako je , ( i lim , onda alternativni red ( konvergira. Osim toga, stavi li se (

, (

, onda je , ( , . (vrijednost sume S alternativnog

reda nalazi se u intervalu susjedne parcijalne sume, tj. ili ). Ostatak ovog reda ima

sumu po apsolutnoj vrijednosti manju od prvog izostavljenog člana, tj. ( te

( .

84. Ako red konvergira, onda i red konvergira (u ). Ako red konvergira, onda se kaže da red

apsolutno konvergira. Za red se kaže da uslovno konvergira (da je semikonvergentan) ako konvergira, ali pri tom ne konvergira apsolutno.

85. Neka je (

niz realnih brojeva. Formalan izraz: zove se beskonačni proizvod sa opštim članom .

Proizvod prvih n članova tog proizvoda je n-ti parcijalni proizvod.

13

Berina Cocalić

86. Svako preslikavanje : definirano na nekom podskupu X skupa realnih brojeva i sa vrijednostima iz nekog podskupa Y skupa zove se realna funkcija jedna realne nezavisno promjenjive. Dakle, realna funkcija realne promjenjive je svaka uređena trojka ( , , koja se sastoji od skupa ( , kojeg zovemo oblast definiranosti, skupa ( , kojeg zovemo područje vrijednosti, te nekog pravila pomoću kojeg svakom elementu pridružujemo tačno jedan element (koji ovisi o . Pridruženi element zove se vrijednost funkcije na elementu i označava se sa ( .

87. Oblast definiranosti (domen, definiciono područje realne funkcije realne promjenjive označavamo sa ( ili

( , ili samo D – ako se iz konteksta zna o kojoj se funkciji radi. Ako nije drugačije naznačeno (rečeno , pod (prirodnim) domenom realne funkcije realne promjenjive date analitičkim izrazom ( obično se podrazumijeva maksimalan (u smislu inkluzije podskup skupa koji taj izraz dopušta, tj. domen ( funkcije zadane analitičkim izrazom ( zadan je formulom: ( ( de inirano (ima smisla Područje vrijednosti (kodomen) realne funkcije često označavamo sa K, dok skup ( ( ( (skup vrijednosti funkcije, rang funkcije) : označavamo sa ( .

88. Neka je : realna funkcija jedne realne promjenjive. Tada se skup svih onih tačaka ( , kod kojih je

i ( naziva grafikom ili grafom funkcije . Označavamo ga sa ( . prema tome, po definiciji je: ( ( , ( ( .

89. Neka su date realne funkcije jedne realne promjenjive, tj. preslikavanja kod kojih su domeni D i kodomeni K

podskupovi skupa , pa pišemo : . za takve dvije funkcije definiramo: a. zbir – : funkcije i funkcije : ( ( ( ( b. razlika – : funkcije i funkcije : ( ( ( ( c. proizvod – : funkcije i funkcije : ( ( ( (

d. količnik –

: funkcije i funkcije :

(

(

( , : (

90. Za skup ( kažemo da je simetričan u odnosu na nultu tačku (tj. tačku ako za svaki broj također

pripada skupu . Kažemo da je funkcija : K ( , definirana na simetričnom skupu , parna ako je ( ( za svaki , a neparna ako je ( ( za svaki .

91. Kažemo da je funkcija : periodična ako postoji broj (koji se naziva periodom funkcije ), takav

da važi: a. ( b. ( ( ( Najmanji pozitivan broj p (ako postoji) za koji su ispunjeni uslovi a., i b. naziva se osnovni (temeljni) period funkcije i obično se označava sa .

92. Neka je . Za funkciju : K ( kažemo da je:

a. neopadajuća na skupu ako ( , ( ( ( b. rastuća na skupu ako ( , ( ( ( c. nerastuća na skupu ako ( , ( ( ( d. opadajuća na skupu ako ( , ( ( ( Za funkciju koja zadovoljava bilo koji od uslova a-d kažemo da je monotona, a za funkciju koja zadovoljava uslov b. ili uslov d. da je strogo monotona na skupu E.

93. Osnovne elementarne funkcije realne promjenjive su (konstante i identička funkcija eksponencijalne i

logaritamske funkcije, stepene funkcije, trigonometrijske funkcije i inverzne trigonometrijske funkcije.

94. Stepen sa realnim izložiocem (eksponentom i osnovom (bazom) a, (a>1), je izraz definiran sa sup inf . Funkcija zove se eksponencijalna funkcija sa osnovom (bazom) a.

95. Inverzna funkcija : ( , funkcije : ( , date sa ( ( , tj. funkcije

e p : naziva se logaritamska funkcija sa osnovom (bazom a i označava simbolom log : . Pri tome log zovemo logaritam broja x po bazi a. Dakle log . Logaritamsku funkciju, ili logaritam sa osnovom a=e zovemo prirodni logaritam i označavamo ga sa ln: .

96. Cauchyjeva teorema o egzistenciji limesa funkcije: Za egzistenciju konačne vrijednosti funkcije : K

( , u tački (koja je tačka gomilanja skupa D, ali mu ne mora pripadati potrebno je i dovoljno da za svaki postoji okolina U tačke a tako da vrijedi

( , ( , ( (

14

Berina Cocalić

97. Neka je : K ( , neopadajuća funkcija i neka su inf i sup tačke gomilanja skupa D. Tada

postoje lim ( i lim ( . Da bi limes lim ( bio konačan potrebno je i dovoljno da funkcija na skupu bude ograničena odozdo, a analogno važi i za funkciju lim ( .

98. Kažemo da je funkcija beskonačno mala u odnosu na funkciju kad (ili u tački , odnosno u okolini

tačke a i pišemo: ( ( . ( ( je malo od ( ako postoji takva okolina tačke da je

( ( ( za svaki gdje je ( beskonačno mala funkcija kad , tj. lim ( . Ako postoji U okolina tačke i funkcija koja je ograničena na ( ( ( za svaki , pišemo

( ( (f(x) je veliko O od ( ). Ako je istovremeno ( ( ( (

kažemo da su funkcije f i g istog reda. Neka postoji okolina U tačke a i funkcija , takve da je lim ( i ( ( ( za svaki . Tada kažemo da se funkcija asimptotski ponaša kao funkcija kada (tj. i su ekvivalentne funkcije kad i pišemo ( ( ( ( je ekvivalentno sa g(x) kada .

99. Neka su , podskupovi od i : K funkcija. Kažemo da je funkcija neprekidna (neprekinuta,

kontinuirana) u tački ako za svaku okolinu V tačke ( u K postoji okolina U tačke u D takva da je ( . U protivnom slučaju kažemo da je prekidna (prekinuta, nekontinuirana u tački , i za tačku kaže se da je tačka prekida (tačka diskonitnuiteta funkcije . Kaže se da je u tački : a. prekid prve vrste funkcije ako postoje konačne granične vrijednosti ( i ( , pri čemu se zahtijeva

postojanje samo prvog (odnosno samo drugog) od tih limesa ako je samo lijeva (odnosno samo desna) tačka gomilanja skupa D specijalno, kaže se da je takav prekid otklonjiv ako je još ( = ( , tj. ako postoji (konačan lim

(

b. prekid druge vrste funkcije ako nije prve vrste (tj. ako bar jedna od graničnih vrijednosti ( i ( ne postoji ili je beskonačna

Kaže se da je u tački : a. otklonjiv prekid funkcije ako postoji konačna granična vrijednost lim

(

b. pol funkcije ako postoji beskonačna granična vrijednost lim (

c. esencijalni prekid funkcije ako granična vrijednost lim ( ne postoji

i. esencijalni prekid I vrste : Ako postoje konačne granične vrijednosti lim ( i lim

(

ii. esencijalni prekid II vrste: Ako nije esencijalni prekid I vrste

100. Svaka tačka gomilanja domena funkcije : K ( , naziva se singularna tačka /singularitet funkcije ako . a. ako postoji konačan lim

( onda se tačka ( naziva singularnom tačkom funkcije koja se može

otkloniti. b. ako je lim

( onda se tačka ( naziva pol funkcije

c. ako granična vrijednost funkcije u tački ( ne postoji, onda se singularna tačka naziva esencijalnim singularitetom funkcije , i to:

i. singularitet I vrste ako postoje konačni lim ( i lim

(

ii. singularitet II vrste ako nije singularitet prve vrste

101. Svako svojstvo neprekidne funkcije koje je u vezi sa ponašanjem te funkcije u nekoj okolini njene tačke neprekidnosti nazivamo lokalno svojstvo (neprekidne funkcije). a. Neka je funkcija : K ( , neprekidna u tački . Tada:

i. postoji takva okolina tačke da je ograničena na tj. postoje realni brojevi i takvi da ( ( (

ii. ako je ( postoji takva okolina tačke da je ( istog znaka kao ( za svaki ; zapravo postoji takav da

( ; ( (

(

odnosno

( ; ( (

(

b. Pravila o aritmetičkim operacijama sa neprekidnim funkcijama: Neka su na skupu ( definirane realne funkcije , i neka je svaka od funkcija , neprekidna u tački . Tada su i funkcije , ( ,

,

(uz dodatnu pretpostavku ( ) i neprekidne u tački .

c. Pravilo o neprekidnosti složene funkcije: Neka je realna funkcija definirana na skupu ( i neka je realna funkcija definirana na skupu ( koja sadrži sliku ( funkcije tako da je kompozicija definirana. Ako je funkcija neprekidna u tački i funkcija neprekidna u tački ( , onda je složena

15

Berina Cocalić

funkcija . Neprekidna u tački . Kraće – kompozicija dvije neprekidne funkcije je također neprekidna funkcija.

102. Za funkciju : K ( , kažemo da je neprekidna na skupu ako je ona neprekidna u svakoj

tački iz S. Skup svih funkcija : K ( , koje su neprekidne na skupu D označavat ćemo sa ( . a. Prva Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu: Ako je realna funkcija

neprekidna na segmentu , , onda je ona na tom segmentu i ograničena b. Druga Weierstrassova teorema o neprekidnim funkcijama na segmentu: Ako je realna funkcija

neprekidna na segmentu , , ona na tom segmentu postiže svoj infimum i supremum, tj. postoje brojevi , i tačke , , takvi da je ( za svaki , , ( i ( .

c. Bolzanova teorema: Neka je realna i na segmentu , neprekidna funkcija. Ako na rubvima toga segmenta ima suprotne predznake, tj. ako je ( ( , onda postoji bar jedna tačka ( , takva da je ( .

d. Bolzano-Cauch jeva teorema o međuvrijednostima: Neka je realna i na segmentu , neprekidna funkcija. Ako su i dvije tačke tog segmenta takve da je ( ( , onda za ma koji realan broj C između ( ( postoji bar jedna tačka c između i takva da je ( , tj. neprekidna funkcijana segmentu prima svaku međuvrijednost.

e. Cantorova teorema: Ako je : , ( , , ) neprekidna funkcija na segmentu , , onda je ona i uniformno neprekidna na tom segmentu.

103. Elementarne realne funkcije jedne realne promjenjive su sve one funkcije koje čine najmanju klasu realnih

funkcija jedne realne promjenjive sa sljedećim svojstvima: a. Ako je iz , tj. ako je f osnovna elementarna funkcija, onda je iz

b. Ako su , iz , onda su i , ,

iz pri čemu su te funkcije definirane na zajedničkom dijelu domena

funkcija i , s tim da za funkciju

isključuju tačke za koje je (

c. ako su : , : dvije funkcije takve da je ( i f, g iz , onda je i funkcija : iz Svaka elementarna funkcija je neprekidna gdje je definisana.

o Funkcija ( cos ( je elementarna funkcija, jer se dobije kao kompozicija osnovnih elementarnih funkcija: logaritamske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, eksponencijalne funkcije i trigonometrijske funkcije. Primjeri funkcija koje nisu elementarne su: Dirichletova funkcija , , ...

104. Svako preslikavanje : , gdje je i , a ( , , ) polje kompleksnih brojeva, zove se

kompleksna funkcija kompleksne promjenjive. Ako je pak i , onda za : kažemo ada je kompleksna funkcija realne promjenjive. Polazeći od Eulerove formule (cos sin ( , , i imaginarna jedinica , može se definirati eksponencijalna funkcija u kompleksnom domenu:

(cos sin ( a. kompleksna eksponencijalna funkcija b. kompleksne trigonometrijske funkcije (hiperboličke funkcije sin i cos definiraju se

jednakostima sin

, cos

c. kompleksna logaritamska funkcija - , višeznana funkcija: Log log ( k , , a njena glavna vrijednost log log , , gdje je log logaritam u realnom domenu.

16

Berina Cocalić

105. Neka je na otvorenom intervalu ( ( , definirana realna funkcija jedne realne promjenjive. neka je proizvoljna fiksirana tačka iz J. Označimo sa takav realan broj da . Broj ( ( 0) nazivamo priraštaj funkcije u tački 0 koji odgovara priraštaju argumenta . tada možemo formirati količnik

( (

Pustimo sada da teži nuli. Ako se pri tome desi da količnik teži konačnom broju, onda taj broj nazivamo izvodom ili derivacijom funkcije ( u tački (po argumentu . U ovom slučaju kaže se da funkcija ( ima (konačan prvi izvod u tački . Izvod funkcije ( u tački (ako postoji označavamo sa ( . Dakle, po definiciji je

( lim ( (

.

Funkciju također nazivamo izvodom (ili derivacijom) funkcije f, ili izvodnom funkcijom.

106. Fizikalna interpretacija izvoda: Neka je ( bilo koja veličina koja zavisi od nezavisno promjenjive . tada izvod ( označava brzinu kojom se mijenja veličina ( u odnosu na promjenu veličine .

Broj ( (

naziva se prosječnom brzinom materijalne tačke u vremenskom intervalu od do .

prosječna brzina o kretanju naše materijalne tačke daje sljedeću informaciju. Ona pokazuje kojom brzinom treba jednoliko da se kreće materijalna tačka da bi od momenta do prešla put ( ( . No, ta brzina ne daje informaciju o tome kakvo je bilo stanje kretanja u pojedinim momentima i . Zbog toga je prirodno pustiti da i tražiti limes.

lim

( (

Ovaj limes naziva se trenutnom brzinom naše materijalne tačke u momentu . S druge strane, mi znamo da je ovaj limes jednak ( , odnosno izvodu funkcije ( u tački . Dakle, trenutna brzina materijalne tačke se definira kao izvod puta po vremenu.

107. Granične vrijednosti

a. ( lim

( (

lim

( (

b. ( lim

( (

lim

( (

ako postoje, nazivaju se lijevim i desnim izvodom funkcije u tački . Lijevi i desni izvod nazivamo jednostranim izvodom.

108. Za funkciju : ( , kažemo da u tački ( je tačka gomilanja skupa D ima beskonačan

izvod koji je jednak (ili ako je lim

( (

= (ili lim

( (

= ).

109. Da bi funkcija bila diferencijabilna u tački , potrebno je i dovoljno da postoji ( , tj. da funkcija ima

konačan izvod ( . Skup svih tačaka ( u kojima funkcija ima (konačan izvod čini domen funkcije ( .

110. Dokaz: - Dokažimo da je uslov potreban. Iz pretpostavke da je funkcija diferencijabilna u tački imamo:

o ( (

(

Za svaki i . Iz ove jednakosti, prelaskom na graničnu vrijednost dobijemo:

lim

( (

( pa je ovim potreban uslov dokazan.

- Dovoljan uslov slijedi iz prethodnog dokaza.

111. Osnovna pravila diferenciranja: Ako su funkcije i oblika : (E diferencijabilne u tački ,

onda su funkcije , ,

, diferencijabilne u tački i pri tome važe jednakosti:

a. ( ( ( ( b. ( ( ( , gdje je c proizvoljna konstanta c. ( ( ( ( ( (

d.

(

( ( ( (

(

17

Berina Cocalić

112. Neka je funkcija neprekidna, strogo monotona na intervalu ( , koja ima izvod različit od nule u tački ( , . Tada inverzna funkcija ima izvod u tački ( ( , (( , koji je jednak

( , tj. ( (

( .

Dokaz: Neka su ispunjeni uslovi teoreme. Tada, kako znamo, postoji inverzna funkcija koja je neprekidna i strogo monotona na intervalu ( , , pa je ( ( za . Kako je po pretpostavci

funkcija diferencijabilna u tački , to je ( – ( ( – ( ( , pri čemu je lim

( ( .

Iz posljednje jednakosti slijedi da je – ( – ( ( ( ( , jer za ( je ( , a za ( je ( , pri čemu je lim

( ( ( (

(

Iz posljednje jednakosti imamo da je ( (

( ( ( za .

Prelaskom na graničnu vrijednost za dobijemo da je (

( što je i trebalo dokazati.

113. Neka je funkcija definirana na intervalu ( , , a funkcija definirana na intervalu ( , koji je

sadržan u (( , . Ako je funkcija diferencijabilna u tački iz intervala ( , , a funkcija diferencijabilna u tački ( ( , , onda je i složena funkcija diferencijabilna u tački , i njen izvod je jednak ( ( ( .

114. Izvod n-tog reda funkcije kojeg označavamo sa ( ili sa

. Njegova vrijednost u tački E je vrijednost

izvoda (prvog izvoda) funkcije ( u tački .

115. Ako funkcija oblika : (E diferencijabilna u tački , onda se izraz ( , preciznije, funkcija ( , odnosno linearna funkcija po x: ( ( naziva se diferencijalom funkcije u tački i označava se sa :

a. ( ( b. ( , ( (

Diferencijal funkcije u tački geometrijski predstavlja prirast funkcije u tački , tj. prirast ordinate tangente u tački na grafik funkcije ( .

116. Diferencijal složene funkcije jednak je proizvodu izvoda te funkcije po međuargumentu i diferencijala

međuargumenta.

117. Ako je argument funkcije ( direktna nezavisno promjenljiva, a ne međuargument, onda se uzima po dogovoru da je diferencijal argumenta jednak njegovom priraštaju, tj. . Usvajajući ovaj dogovor jednakost ( ( važi uvijek bez obzira da li je direktno nezavisno promjenljiva ili međuargument. Naprijed kazano predstavlja invarijantnost forme diferencijala (prvog reda).

118. Diferencijal n-tog reda funkcije u tački , koji odgovara po vrijedosti definira se kao diferencijal

funkcije ( u posmatranoj tački i označava se sa ( ( . Slijedi da je ( ( ( za ( . Svojstvo invarijantnosti forme diferencijala višeg reda u opštem slučaju nije očuvano.

119. Fermantov stav: Neka funkcija : ( , , ( , , ima lokalni maksimum (lokalni minimum u tački

, i neka ona ima u toj tački kako desni tako i lijevi izvod. Tada je ( i

( (

( i

( ). Ako je pri tome funkcija diferencijabilna u tački , onda je ( .

120. Darbouxov stav: Neka je funkcija : , , , , neprekidna na segmentu , i neka ima u svakoj

tački intervala ( , (konačan ili beskonačan izvod. Tada izvod uzima sve vrijednosti koje su između ( i

( za koje pretpostavljamo da također postoje.

121. Rolleov stav: Neka je funkcija : , , , , neprekidna na segmentu , i neka ima u svakoj tački

intervala ( , (konačan ili beskonačan izvod i ( ( , onda postoji bar jedna tačka iz intervala ( , takva da je ( .

Dokaz: Ako je ( . za , , onda je tačnost Rolleove teoreme očigledna. Neka funkcija na segmentu , uzima vrijednosti različite od ( , npr. veće od ( pa i od ( , onda postoji tačka iz

18

Berina Cocalić

intervala ( , takva da je ( sup ( za , . Kako u tački funkcija ima lokalni maksimum, to prema Fermantovoj teoremi imamo ( , pa je Rolleov stav dokazan.

122. Lagrangeov stav: Neka je funkcija : , , , , neprekidna na segmentu , i neka ima u svakoj

tački intervala ( , (konačan ili beskonačan izvod, onda postoji bar jedna tačka iz intervala ( , takva da je ( ( ( ( . Dokaz:Definirajmo na segmentu , funkciju formulom ( ( , gdje je . . Odredimo tako da bude ( ( . Iz ovog uslova dobijemo da je:

( (

pa je ( (

( (

Funkcija na segmentu , zadovoljava uslove Rolleove teoreme, pa postoji bar jedna tačka iz intervala

( , takva da je ( , tj. ( ( (

ili ( ( ( ( .

123. Posljedice Lagrangeove teoreme:

a. Ako funkcija ima izvod (konačan ili beskonačan u svakoj tački razmaka , , onda za proizvoljne , , , , važi jednakost: ( ( ( ( , gdje je broj između .

b. Ako funkcija : , zadovoljava uslove Lagrangeove teoreme i pri tome je i. sup ( za ,

ii. inf ( za ,

onda važe nejednakosti ( (

.

c. Ako je funkcija neprekidna na razmaku , i ima izvod jednak nuli na tom razmaku, onda je ( . na tom razmaku.

124. L'Hospitalovo pravilo: Neka su i realne funkcije koje zadovoljavaju sljedeće uslove:

a. jedan od ova dva: i. lim

( lim (

ii. lim ( (ili i lim

( (ili

b. i su definirane i neprekidne u nekoj okolini ( tačke osim, možda, u tački c. postoje (konačni ili beskonačni izvodi ( i ( za svaki ( , osim, možda, za d. bar jedan od izvoda ( i ( je različit od nule za svaki za svaki ( , osim, možda za

e. postoji lim

(

( ( . Tada postoji i lim

(

( i važi jednakost lim

(

( lim

(

( (

125. Neka realna funkcija jedne realne promjenjive u tački , ima konačan n-ti izvod ( ( . Označimo sa ( razliku između funkcije ( i odgovarajućeg Taylorovog polinoma

( ( (

(

(

(

( (

(

n-tog stepena u tački a, tj. ( ( ( . Tada je ( ( ( , ili:

( ( (

(

(

(

( (

( (

što zovemo Taylorova formula funkcije ( u tački a (odnosno u okolini tačke a , pri čemu je ( njen ostatak. Taylorova formula sa ostatkom u Peanovom obliku ( ( (( ),( ) : ( ( + (( ),( )

Taylorova formula sa ostatkom u Lagrangeovom obliku ( (

(

( ( , (

( ( (

(

(

(

( (

(

(

( (

Taylorova formula sa ostatkom u Cauchyjevom obliku (

( (

( , (

( ( (

(

(

(

( (

(

( (

(

Formula koja se dobije iz Taylorove formule za

( ( ( (

( (

(

i vrijedi u nekoj okolini tačke naziva se Maclaurinova formula sa ostatkom ( :

a. (

( ( ( , ( – u Lagrangeovom obliku

b. ( (

( ( - ( – u Cauchyjevom obliku

19

Berina Cocalić

126. Globalne ekstremne vrijednosti: Da bi funkcija , koja ima konačan ili beskonačan izvod u razmaku , , , bila (strogo rastuća (odnosno strogo opadajuća u tom razmaku, potrebno je i dovoljno da za svaki , vrijedi ( (odnosno ( , pri čemu relacija ( ne može biti ispunjena ni u kom razmaku , , koji je sadržan u , .

127. Lokalna ekstremne vrijednosti: Neka je ( neprekidna u nekoj okolini tačke c i diferencijabilna u . tada

je u tački c lokalni ekstrem funkcije ( ako ( mijenja znak kada x prolazi kroz c. Ako ( ne mijenja znak kada prolazi kroz c, onda u tački c funkcija ( nema ekstremnu vrijednost. Pri tom:

a. ako je ( za ( , i ( za ( , , onda je u tački c strogi lokalni minimum

b. ako je ( za ( , i ( za ( , , onda je u tački c strogi lokalni maksimum

128. Bez izvoda: Funkcija : ( , naziva se konveksnom ako za proizvoljne ( , ( , važi:

( ( ( gdje je , , . Ako za i umjesto važi znak , za funkciju kaže se da je strogo konveksna. Ukoliko umjesto znaka vrijedi znak (odnosno , za funkciju kaže se da je konkavna (odnosno strogo konkavna).

Sa prvim izvodom: Neka je funkcija : ( , diferencijabilna. Da bi bila konveksna (strogo konveksna) u ( , , potrebno je i dovoljno da je neopadajuća (strogo raste u ( , . Sa izvodom višeg reda: Neka funkcija : ( , ima u svakoj tački ( , drugi izvod. Da fi bila konveksna (konkavna) na ( , , potrebno je i dovoljno da bude ( ( ( ) za ( , .

129. Neka je funkcija ( definirana u nekoj okolini tačke i diferencijabilna u . Neka je, dalje, neprekidna

u tački i njen grafik u toj tački ima tangentu. Tačka ( , ( naziva se prevojnom tačkom krive ( ako je funkcija strogo konveksna (konkavna) u skupu i strogo konkavna (konveksna) u skupu . Ako kriva ( ima prevojnu tačku ( , ( i funkcija ima neprekidan drugi izvod u

tački , onda je ( .

130. Ako prvi izvod posmatrane funkcije ne postoji u nekoj tački njenog domena, treba izračunati (ako postoje lijevi i desni prvi izvod u toj tački, kao i lijevu i desnu graničnu vrijednost prvog izvoda te funkcije u svakoj od eventualnih njenih singularnih tačaka, da bi se ustanovio ugao pod kojim grafik zadane funkcije "ulazi" i "izlazi" iz te tačke. U slučaju kada je

( ( , pri čemu su

( ( konačni, tačka ( , ( naziva se

uglovna (ili ugaona tačka ili prelomna tačka), dok u slučaju kada je (

( i bar jedan od izvoda

( ( je beskonačan za tačku ( , ( kažemo da je povratna tačka (ili šiljak) grafika funkcije

(razlikuju se jednostrani i dvostrani šiljci . Za ovakve tačke kaže se još i da su špicevi grafika funkcije . Lijevi izvod

( predstavlja koeficijent pravca lijeve tangente (odnosno lijeve polutangente), a desni izvod (

koeficijent pravca desne tangente (odnosno desne polutangente, ako se umjesto odgovarajuće prave posmatra odgovarajuća poluprava . Kao rezultat ispitivanja (toka funkcije treba nacrtati grafik (u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu na kome su naznačene sve karakteristične (kritične tačke i asimptote (sve koje postoje).

131. Neka funkcije i preslikavaju razmak , u skup . Ako je funkcija diferencijalna na razmaku i ako

je ( ( za , onda kažemo da je funkcija tačna/striktna primitivna funkcija funkcije na razmaku , . Ako je tačna primitivna funkcija funkcije na razmaku , ., onda svaka druga tačna primitivna funkcija funkcije na razmaku , . ima oblik , gdje je realna konstanta, tj. .

20

Berina Cocalić

132. Funkcija : , naziva se primitivna funkcija funkcije : , ( , na (konačnom ili beskonačnom razmaku , ako je funkcija neprekidna na razmaku , i ima izvof koji je jednak funkciji na razmaku , , osim, možda, na prebrojivom skupu tačaka iz razmaka , . Neka funkcija F oblika na razmaku , . Tada se familija: : , podudara sa familijom funkcija : . Neka funkcija f oblika : , ( , ima na razmaku , primitivnu funkciju. Tada se neodređenim integralom funkcije f na razmaku , naziva skup : , svih njenih primitivnih funkcija na razmaku , . Neodređeni integral funkcije f na razmaku , označava se simbolom ( . proizvod ( nazive se podintegralni izraz, a funkcija ( podintegralna funkcija.

133. Osnovna svojstva neodređenih integrala:

a. Izvod neodređenog integrala funkcije f oblika : , ( , postoji u svakoj tački , sa isključenjem možda prebrojivog skupa tačaka iz tog razmaka i pri tome važi jednakost

( (

b. Diferencijal neodređenog integrala funcije f oblika : , ( , postoji u svakoj tački , sa isključenjem možda prebrojivog skupa tačaka iz tog razmaka i pri tome važi jednakost

( (

c. Ako je F diferencijabilna funkcija na razmaku , , onda važi jednakost:

( (

d. Neka funkcije f i g oblika , ( , retrosprektivno imaju funkcije kao tačne primitivne funkcije na razmaku , . tada funkcija ima na razmaku , primitivnu funkciju i pri tome važi jednakost:

( ( d ( (

pri čemu su proizvoljne realne konstante od kojih je bar jedna različita od nule.

134. Četiri osnovna pravila integriranja: a. Ako je ( ( , onda je ( ( , gdje je proizvoljna realna konstanta, b. ( ( , gdje je konstanta c. ( ( ( ( ( d. Ako je ( ( i ( , onda je ( ( . Specijalno za (

( ,

135. Pri integriranju predhodnim svođenjem na oblik diferencijala koristimo sljedeće transformacije diferencijala:

a.

( ,

b.

(

c.

( ( , ( ,

Na taj način zadani integral svedemo na oblik:

( ( ( ( ( ( ( ( , (

136. Neka treba izračunati integral ( . Ako pomoću zamjene ( dobijemo jednakost ( ( ( ( , lahko se računa integral ( ( , i onda vrijedi jednakost

( ( ( ( (

gdje je C proizvoljna realna konstanta, i dobijebnu formulu nazivamo formula zamjene promjenjive u neodređenom integralu.

137. Neka su funkcije i oblika , ( , neprekidne funkcije na razmaku , i diferencijabilne

u svakoj tačku tog razmaka osim možda u tačkama prebrojivog skupa tačaka iz razmaka , . Tada su funkcije i primitivne funkcije nekih funkcija koje ćemo obilježiti sa i na razmaku , . Otuda slijedi da je funkcija , kao proizvod neprekidnih funkcija, neprekidna i ima izvod izvod na razmaku , , osim možda na prebrojivom skupu tačaka , , i pri tome važi jednakost: ( ( ( ( ( ( , , .

Tako je funkcija primitivna funkcija funkcije + na razmaku , , pa je

( ( ( ( ( ( ( , ,

21

Berina Cocalić

Polazeći od toga da funkcije i imaju primitivne funkcije i koristeći svojstvo da je integral zbira jednak zbiru integrala, posljednju jednakost možemo napisati u obliku

( ( ( ( ( (

koja važi za , , pri čemu se konstanta C ne piše eksplicitno već se podrazumijeva da je sadržana u integralu ( ( . Posljednja jednakost naziva se formulom za parcijalnu integraciju.

138. Za ograničenu funkciju : , ( , , kažemo da je integrabilna po Riemannu na

segmentu , ako je ( ( . Tada se broj ( ( naziva određeni

(Riemannov) integral funkcije f na segmentu , , i piše se (

, pri čemu su a, odnosno b donja, odnosno

gornja granica integrala.

139. Kriterij integrabilnosti funkcije: Da bi ograničena funkcija : , ( , , ) bila integrabilna na segmentu , , potrebno je i dovoljno da za svaki postoji takva podjela segmenta , da je:

( (

140. Prva teorema o srednjoj vrijednosti određenog integrala: Neka su , , i ( (ili ( ) za

svaki , , te neka je inf , ( , , ( . Tada postoji broj , ( , takav da je

( (

(

(1).

Dokaz: Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je funkcija g nenegativna (na , ). Tada iz ( za svaki , slijedi ( ( ( ( za svaki , . Kako je , , to se integrisanjem dobije

(

( (

(

(

Iz pretpostavke da je ( na , imamo da je (

, Posmatrajmo slučajeve:

I. Ako je , onda iz nejednakosti (1') slijedi da je ( (

, pa relacija (1) vrijedi za

svaki iz segmenta , .

II. Ako je onda iz nejednakosti (1') slijedi

( (

pa se za broj u relaciji (1)

može uzeti da je

( (

, što je i trebalo dokazati.

141. Osobine integrabilnih funkcija i određenih integrala

a. Ako je , , ( , , i : , ( , onda je , . b. Ako je , i proizvoljan realni koeficient, onda je i , i pri tome važi jednakost:

(

(

.

c. Ako je , , , onda je ( , , i pri tome važi jednakost ( (

(

(

d. Ako je , , tada je i , ,

, , uz uslov za svaki , i

, e. Ako je , , onda njena restrikcija na proizvoljni segment , , je također integrabilna

funkcija na segmentu , . f. Ako su , , , onda je , g. Neka su , , proizvoljni realni brojevi koji predstavljaju krajeve triju segmenata. Ako je funkcija

integrabilna na najvećem od tih segmenata, tada (vrijedi svojstvo aditivnosti : (

(

(

142. Osnovne osobine integrabilnih funkcija koje su zadane nejednakostima

a. Ako su , , i ( ( za svaki , , onda je (

(

b. Ako je , i ( za svaki , , funkcija nije identički jednaka nuli na segmentu , i

bar u jednoj tački , u kojoj je neprekidna je ( , onda je (

c. Ako je , i ( za svaki , , onda je ( (

(

d. Ako je , , , onda važi: (

(

( sup , (

22

Berina Cocalić

e. Nejednakost Bunjakovskog: Ako su , , , onda važi:

( (

( (

( (

143. Definišimo funkciju iz u formulom ( (

čije je definiciono područje skup kako

većih od tako i manjih od za koje funkcija integrabilna na segmentu , ili na segmentu , . Prema tome funkcija predstavlja funkciju gornje granice određenog integrala.

144. Prva fundamentalna teorema integralnog računa: Ako je , , onda je funkcija ( (

za

diferencijalna funkcija u svakoj tački , u kojoj je funkcija neprekidna, i pri tom važi

( ( (u toj tački .

Posljedica: I. Ako je : , ( , , neprekidna funkcija, onda ona na segmentu , ima tačnu

primitivnu funkciju pri čemu je ( (

za svaki , i familiju svih tačnih primitivnih

funkcija funkcije predstavlja skup : . II. Ako je , i skup svih tačaka prekida funkcije najviše prebrojiv, onda funkcija definirana sa

( (

za svaki , predstavlja primitivnu funkciju funkcije na segmentu , , a

familiju svih primitivnih funkcija funkcije funkcije na , predstavlja skup : .

145. Druga fundamentalna teorema integralnog računa: Ako je , i skup tačaka prekida funkcije je najviše prebrojiv skup, a funkcija proizvoljna primitivna funkcija funkcije na segmentu , , onda važi

formula (

( ( .

a. Dokaz: Neka je proizvoljna primitivna funkcija funkcije na segmentu , . Znamo da je (

(

, pri čemu je proizvoljna realna konstanta. Kako je ( , za svaki , važi

jednakost ( (

( . Odavdje, za dobijemo da je (

( ( , pa je

dokaz završen. b. Važnost: Primijetimo da Newton – Leibnizova formula predstavlja vezu između određenog i

neodređenog integrala i ona je od velikog značaja, jer izračunavanje određenog integrala svodi se na izračunavanje neodređenog integrala (što je mnogo praktičnije nego po definiciji pomoću limesa integralne sume, odnosno pomoću donjeg i gornjeg integrala . No, postoje funkcije koje su na nekom segmentu integrabilne (u Riemannovom smislu , ali na tom segmentu (ni na njegovoj unutrašnjosti) nemaju tačnu primitivnu funkciju, niti, pak, primitivnu funkciju.

146. Osnovna formula integralnog računa: Ako je , is kup tačaka prekida funkcije je najviše prebrojiv skup, a funkcija proizvoljna primitivna funkcija funkcije na segmentu , , onda važi formula (Newton-Leibnizova formula):

(

( (

Ta formula važi i u slučaju , kao i u slučaju (promjenom mjesta a i b mijenja se istovremeno znak obje strane jednakosti). Dokaz: Neka je proizvoljna primitivna funkcija funkcije na segmentu , . Tada prema drugoj posljedici

prve fundamentalne teoreme integralnog računa imamo da je ( (

, gdje je C proizvoljna realna

konstanta. Kako je ( , to za svaki , važi jednakost ( (

( . Odavde, za

dobijemo da je (

( ( , što je i trebalo dokazati.

147. Neka je ( , , , , ( , , , ( , ( i neka izvod ( postoji na

segmentu , osim, možda, najviše na prebrojivom skupu tačaka toga segmenta i ( , . Tada važi

formula zamjene promjenjive: (

( (

, pri čemu je sa označen izvod funkcije u onim

tačkama segmenta , u kojima on postoji.

148. Neka su funkcije , ( , , pri čemu su funkcije i diferencijabilne u svakoj tački segmena , osim, možda, najviše na prebrojivom skupu tačaka toga segmenta, te neka i predstavljaju funkcije koje pripadaju klasi , , pri čemu simboli ( i ( predstavljaju izvode funkcija i restrospektivno, u onim

tačkama u kojima oni postoje. Tada važi formula za parcijalnu integraciju: ( (

( (

( (

.

23

Berina Cocalić

149. Neka je funkcija definirana na polusegmentu , i neka je integrabilna (u Riemannovom smislu)

na nekom segmentu , . Ako postoji granična vrijednost lim (

, onda tu graničnu vrijednost

nazivamo nesvojstveni integral prve vrste funkcije na polusegmentu i označavamo sa (

. Ako

lim (

postoji i konačan je, kažemo da je funkcija integrabilna u nesvojstvenom smislu na skupu , i

da nesvojstveni integral konvergira.

150. Neka je , ( pri čemu je b singularna tačka i neka je funkcija : ( integrabilna na

proizvoljnom segmentu , . Ako postoji limes lim (

, on se naziva nesvojstvenim integralom

druge vrste funkcije f na polusegmentu J i označava se sa (

. Ako lim (

postoji i konačan

je, kažemo da nesvojstveni integral konvergira.

151. Cauch jev opšti kriterijum konvergencije integrala: Da bi nesvojstveni integral (

koji ima singularitet

u tački ( konvergirao, potrebno je i dovoljno da za svaki postoji ( ,

, tako da za par , , , važi: (

. Ako pretpostavimo da je funkcija f

neprekidna gotovo svuda na polusegmentu , , onda važi nejednakost (

(

za sve

, , , .

152. Ako konvergira integral (

, onda kažemo da integral (

apsolutno konvergira. Za svaki

integral koji ne konvergira apsolutno, kažemo da je uslovno konvergentan.

153. Dirichletov kriterijum za ispitivanje neapsolutne konvergencije: Neka su , realne funkcije definirane na , i neka su ispunjeni uslovi:

a. na , ima ograničenu primitivnu funkciju (

b. monotono teži nuli kad

Tada nesvojstveni integral ( (

konvergira.

154. Abelov kriterijum za konvergenciju nesvojstvenih integrala: Neka su , realne funkcije definirane na

, i neka konvergira integral (

, a funkcija je monotona i ograničena. Tada integral

( (

konvergira.

155. Kažemo da je figura izmjerljiva ako je . Pri tom zajedničku vrijednost nazivamo površinom

figure i označavamo sa ( . ( d

156. Neka su ( i ( , , neprekidne funkcije koje imaju i neprekidne izvode. Tada se kriva L,

određena jednačinama ( , ( , može rektificirati. Pri tom njena dužina iznosi

( (

.

a. Zapremina obrtnog tijela: ( d

b. Površina obrne površi: P ( ( d

157. Stepeni red je funkcionalni red oblika (

( ( gdje

su , , , , , , realne konstante (i ovdje se nazivaju koeficientima stepenog reda).

158. Taylorov red realne funkcije u tački njenog domena D( u kojoj ona ima konačan izvod proizvoljnog

reda je stepeni red: ( ( (

( . Ako je onda je taj red Maclaurinov

red. Tajlorov red u tački realne funkcije konvergira na razmaku , ka funkciji akko niz ostataka Ta lorove formule konvergira ka na tom razmaku. Dovoljan uslov da funkciju f možemo prikazati njenim Ta lorovim redom u okolini tačke je da postoje realni brojevi i takvi da vrijedi:

a. Funkcija f ima svoje derivacije ( u intervalu ( R, +R) b. Za svaki je ( , R +R

24

Berina Cocalić

159. Ako je onda je taj red Maclaurinov red. Najpoznatiji Maclaurinovi razvoji su:

a.

(

b. sin (

(

c. cos (

(

d. ln( (

( ( ,

e. (

( ( ( ,