LOGIKA (VGTU dėst. Biržys)

1. LOGINĖ MINTIES STRUKTŪRA. FORMALIZAVIMAS.

Logika – termino kilmė graikiška (logikė), nuo žodžio l o g o s – žodis, sąvoka, tvarka,

persmelkianti ir būtį ir žmogaus sąmonę. Šia prasme terminą Logika pradėjo vartoti dar Herakleitas

(apie 544 – 483 m. pr. Kr). Taigi etimologiškai – logiškas, vadinasi sąmoningas, atsakingas prieš

Būtį, žmogaus mąstymas. Mąstymas tik tuomet logiškas, kai savimi išreiškia didžiąją Kosminę

pasaulio tvarką, Būties tvarką. Taigi Herakleitas logikos kaip filosofinio termino autorius suteikia

šiai sąvokai ontologinį turinį. Vėliau pas naturfilosofus, sofistus, Platoną, Aristotelį terminas logika

praranda fundamentalų ontologinį turinį ir virsta formaliąja logika – mokslu, nagrinėjančiu

žmogaus mąstymą. Mąstymas visuomet turi turinį ir formą.

Turinys – tai objektų, apie kuriuos mąstome, vaizdai, suvoktis, sąvokos. Mąstymo objektai

nebūtinai tik natūralūs pasaulio daiktai (medžiai, debesys, kalnai, gyvūnai ir pan.), bet ir kultūros,

sąmonės dalykai: grožis, tiesa, Don Kichotas, sapnas, laimė, valia, gėris, informacija, kaina, vertė,

Tėvynė ir pan. – t. y. metafiziniai objektai. Kai sakome “Dabar šioje auditorijoje vyksta logikos

paskaita”, tai mąstymo turinį sudaro sąmonėje operuojami objektai “dabar”, “paskaita”, “vyksta”,

“logika”. Logika atsižvelgia į mąstymo turinį (į tai, ką operuojamos sąvokos išreiškia), tačiau tai

nėra jos tikslas. Logika tiria mąstymo proceso formą. Formalioji logika, tai mokslas apie visuotinai

reikšmingas logines minties formas ir priemones, būtinas racionaliam pažinimui bet kokioje

pažinimo srityje ir veiklos produktyvumui.

Norėdami suprasti, kas yra loginė mąstymo forma, panagrinėkime šiuos samprotavimus:

Jei dabar diena, tai ateis naktis.

Dabar diena. Vadinasi, ateis naktis.

Teiginį “Dabar diena” pažymėkime raide p, teiginį “Ateis naktis” – raide q.

Gauname:

Jei p, tai q.

p yra.

--------------------

Vadinasi, q yra.

Panagrinėkime dar ir tokį samprotavimą:

Jei valdau kompiuterį, tai galiu jį panaudoti studijose.

Kompiuterį valdau.

Vadinasi galiu jį panaudoti studijose.

1

Teiginį “Valdau kompiuterį” pažymime raide p, teiginį “Galiu panaudoti studijose” – raide q,

turime:

Jei p, tai q.

p yra.

--------------------

Vadinasi, q yra.

Ši išraiška ir yra loginė dviejų nagrinėtų samprotavimų forma. Samprotaujant pagal šią formą,

pasakomas koks nors teiginys (p) ir iš jo išplaukiąs kitas teiginys (q). Paskui p patvirtinamas, ir

tuomet išvadoje telieka patvirtinti q.

Matome, kad ta pačia logine forma galima išreikšti įvairų turinį. Pateiktų samprotavimų turinys

visiškai skirtingas: pirmajam kalbama apie mėnesio dienų seka, antrajame – apie kompiuterio

valdymą ir studijas. Tačiau abiem samprotavimams bendra tai, kad jų loginė struktūra vienoda.

Pagal struktūrą

Jei p, tai q.

p yra.

--------------------

Vadinasi, q yra

Mes sudarome įvairiausio turinio samprotavimus, pvz.:

Jei laikrodis rodo … val. … min., paskaita turi baigtis.

Laikrodis rodo … val. … min.__

Vadinasi, paskaita turi baigtis.

Panagrinėkime šiuos teigimus:

1 < 2.

Aistė draugauja su Andriumi.

Būtis kildina esamybę.

Nežiūrint to, kad savo turiniu šie trys teiginiai skirtingi, jiems bendra tai, kad jais pasakomi 2

objektai (…) ir tarp jų nustatomas santykis (…). Jei objektus pažymėsime raidėmis a ir b, o santykį

raide S, gausime išraišką: a S b.

Ši išraiška ir yra pateiktų trijų teiginių loginė struktūra.

Minties loginė struktūra yra jos sudėtinių dalių sujungimo būdas, bendras skirtingo turinio

teiginiuose. Minties loginė struktūra dar kitaip vadinama loginė forma.

Logika kaip tik ir tiria priemones minčių struktūroms nustatyti, atranda minčių struktūrų

dėsningumus.

Minties loginė struktūra arba loginė forma nustatoma formalizavimo metodu. Taikant

formalizavimo metodą, kasdieninės natūralios kalbos žodžiai ir teiginiai užrašomi specialiais

loginiais simboliais (raidėmis ir kitais specialiais ženklais). T. y. logika turi savo dirbtinę kalbą.

2

Ankščiau pateikta formulė a S b yra loginės kalbos išraiška. Dirbtines kalbas vartoja ne tik logika.

Brandžiuose moksluose be dirbtinių kalbų išvis neįmanoma išsiversti. Pvz.: matematikos, chemijos

užrašai – dirbtinės kalbos. Na ir patys aktualiausi dirbtinių kalbų pavyzdžiai – tai kompiuterinės

kalbos: “ALGOL”, “FORTRAN” ir pan. Kodėl iškyla dirbtinių kalbų reikšmė? Reikalas tas, kad

natūrali kalba – daugiaprasmė, jos elementai neturi griežto apibrėžtumo, tikslumo, ji be galo

plastiška. Dirbtinės kalbos pašalina dviprasmiškumus, atsirandančius kasdieninėje kalboje, jos

įgalina ekonomiškiausiai ir tiksliausiai reikšti tyrimų rezultatus.

Simbolinių arba dirbtinių kalbų struktūra labai panaši į natūralios kalbos struktūrą. Simbolinės

kalbos turi savo abėcėlę, taisyklės pagal kurias iš abėcėlės vienetų sudaromos loginės formulės.

Dirbtinės kalbos šiuolaikinėje civilizacijoje ir technologijose yra nepakeičiamos, tačiau vis tik jos

turi tik instrumentinę (taikomąją) reikšmę ir nėra pakankamos, nes tėra tik priemonės, kurias būtina

grįsti ir aiškinti natūralia šnekamąja kalba.

Šnekamoje kalboje reikia skirti dvejopo pobūdžio žodžius. Vieni žodžiai turi siaurą prasmę, kiti

– labai plačią. Šių pastarųjų dėka iš siauresnės reikšmės žodžių galima sudaryti teiginius.

Tarkime, reikia nustatyti, kokius žmones vadiname seserimis. Apibrėžti būtų galima sekančiai:

vienas žmogus yra kito žmogaus sesuo tada, ir tik tada, kai jis yra moteris ir yra kažkas, kurie yra jų

abiejų tėvai. Šiame apibrėžime žodžiai “žmogus’, “moteris”, “sesuo”, “tėvai” turi žymiai siauresnę

reikšmę, negu visi likusieji apibrėžime žodžiai: “vienas … yra kito … tada ir tik tada, kai jis yra … ,

ir yra kažkas, kas yra jų abiejų …”. Pastarieji žodžiai turi plačiausią reikšmę, juos galima sutikti

įvairiausiuose teiginiuose. Jie yra priemonė siauresnės reikšmės žodžiams jungti į teiginius.

Galima pasitelkti tokį palyginimą. Kai namas statomas iš plytų, tai vien tik plytų nepakanka, dar

reikia ir skiedinio plytoms surišti. Lygiai taip ir kalboje. Siauresnės reikšmės žodžiai – tai plytos, o

plačiausios reikšmės žodžiai – tai žodžiai cementas. Logikos tikslas ir yra nustatyti žodžių –

cemento prasmes ir jų vartojimo būdus bei taisykles.

Štai pavyzdžiai žodžių, kuriuos tiria logika:

3

Tas

Kuris

Vienas

Toks pat

Skirtingas

Visi

Kai kurie

Yra

Egzistuoja

Nėra

Ne

Taip

Galbūt

Ir

Arba

Objektas

Klasė

Požymis

Santykis

Samprotavimas

Išvada

Įrodymas

Tiesa

Klaidingumas

Tikėtinumas

Klausimai įsisavinimui

1. Kas yra minties loginė struktūra?

2. Kas yra formalizavimo metodas?

3. Kokie dvejopo pobūdžio žodžiai sudaro kalbą?

Pratimai

Kurie žodžiai šiuose teiginiuose yra žodžiai – plytos ir žodžiai – cementas:

“Dėdė yra tėvo ar motinos brolis”

“Materialūs kūnai traukia vienas kitą”

2. PASTOVŪS IR KINTAMIEJI LOGINIAI DYDŽIAI

Esamybės procesuose, reiškiniuose visuomet galime nurodyti pastovius ir kintamuosius

momentus. Štai važiuoja automobilis. Jame sėdi 2 keleiviai, automobilis turi 4 ratus ir pan.

Tačiau automobiliui važiuojant, kinta jo padėtis erdvėje, kuro kiekis bake, variklio detalių

padėtis viena kitos atžvilgiu. Kinta gal ir keleivių nuotaika. Pastovumo ir kintamumo momentai

fiksuojami ir logikoje. Logikos formules, kuriomis užrašomi loginiai minčių ryšiai, sudaro

dvejopo pobūdžio dydžiai – pastovūs ir kintami.

Pastovūs loginiai dydžiai yra tokie dydžiai, kurie turi griežtą apibrėžtą reikšmę, kuri

nesikeičia samprotavimuose.

Pastovūs loginiai dydžiai skirstomi į tris grupes:

1 – mąją pastovių loginių dydžių grupę sudaro logikos terminai: teiginys, sąvoka,

samprotavimas, išvada, įrodymas, požymių klasė ir pan. Visi logikos terminai turi griežtai

apibrėžtą reikšmę, nekintančią samprotavimuose.

4

2 – rąją loginių pastovių dydžių grupę sudaro plačiausios reikšmes žodžiai (žodžiai –

cementas), kurių priemonėmis siauresnės reikšmės žodžiai (žodžiai – plytos) jungiami į

teigimus; ir, arba, jei …, tai, yra, nėra, lygu, vienas, kiekvienas, toks pat, skirtingas ir pan.

3 - čia loginių pastovių dydžių grupę sudaro loginiai simboliai, žymintys tam tikrus

loginius veiksmus: , V, , ~, ir kt.

Loginiai pastovūs dydžiai dar kitaip vadinami loginėmis konstantomis.

Loginiai kintamieji dydžiai yra tokie loginiai dydžiai, kurie neturi griežtai apibrėžtos

reikšmės; jų reikšmė samprotavimuose gali keisti.

Loginiai kintamieji dydžiai žymimi didžiosiomis ir mažosiomis abėcėlės raidėmis:

A, B, C, ……, X, Y;

A, b, c, …...., x, y

Loginių kintamųjų dydžių reikšmės samprotavimuose kinta priklausomai nuo to, kokį

turinį jiems priskiriame. Išraiškoje

Jei p, tai q.

p teisingas,

--------------------

Vadinasi, q teisingas.

žodžiai “jei…, tai”, “vadinasi”, “teisingas” yra loginės konstantos, o p ir q yra loginiai kintamieji

dydžiai, kuriems galima priskirti įvairų konkretų turinį, t. y. p ir q galima pakeisti įvairiais

konkrečiais teiginiais.

Išraiškoje “p ir q” žodis “ir” yra loginis pastovus dydis, o p ir q yra loginiai kintamieji.

Išraiškos “p ir q” reikšmė kinta priklausomai nuo to, kokiais konkrečiais teiginiais pakeičiame p

ir q.

Pvz., p pakeitus teiginiu “B yra studentas”, o q – teigimu “B studijuoja vadybą”,

gauname: “B yra studentas ir B studijuoja vadybą”. Pakeitus p teiginiu “Auditorijoje yra

studentai”, o q teiginiu “Auditorijoje yra studentės”, gauname: “Auditorijoje yra studentai ir

studentės”.

Loginių pastoviųjų ir kintamųjų dydžių vaidmenį galima palyginti su sociologinių

apklausų anketomis. Klausimai, suformuluoti anketoje, - pastovūs dydžiai. Tarpai, palikti

užpildymui, - kintamieji dydžiai, nes kiekvienas asmuo užpildo anketą savaip. Kaip anketa

įgauna apibrėžtų konkretų turinių, užpildžius tuščias vietas, taip ir loginė formulė, loginius

kintamuosius pakeitus konkrečiais teigimais ir žodžiais, įgauna konkrečią apibrėžtą reikšmę.

Kasdieninėje šnekamojoje kalboje nėra kintamųjų. Kintamųjų vietoje joje vartojami

įvardžiai, ypač nežymimieji įvardžiai “kažkas”, “kas nors”, “kažkaip” ir kt. Sakinys “Jei koks

nors studentas turi iš kažkokio dalyko skolą, tai privalo ją likviduoti “ reiškia tą patį, ką ir

5

sakinys “Jei x turi y iš z, tai x privalo likviduoti y iš z”. Betgi sudėtingesnėse pažinimo ir

profesinės veiklos srityse (pvz., marketinge, informatikoje), formuluojant teiginius, įvardžių

nepakanka, todėl be įprastinės šnekamosios kalbos vartojamos dirbtinės kalbos.

Pakartojimui

1. Ką vadiname loginiais pastoviais dydžiais?

2. Kokius yra 3 loginių pastovių dydžių grupės?

3. Ką vadiname loginiais kintamaisiais dydžiais ir kaip jie žymimi?

4. Kuo galima pakeisti loginius kintamuosius dydžius?

Pratimai

1. Atraskite loginius pastovius ir loginius kintamuosius dydžius šiose išraiškose:

jei p, tai q; p arba q; p ir ne-q

2. Pateiktose išraiškose loginius kintamuosius dydžius pakeiskite konkrečiais teiginiais.

3. KAS YRA LOGIKA KAIP MOKSLAS?

Sąvokos “logika” etimologija graikiška. Graikiškai l o g i k o s – reiškia “atitinkąs protą”.

L o g i k e – “logika”.

Logika tiria minčių struktūrą, minčių ryšių dėsningumas, teiginių išvedimo taisykles.

Logika yra mokslas apie samprotavimo būdą. Kadangi mintys reiškiamos kalba, tai

logika tiria kalbą kaip pažinimo priemonę.

Mes studijuosime simbolinę logiką. Simboline ji vadinama todėl, kad joje plačiai

naudojami simboliai. Logika sudaryta kaip simbolių kalba. Dar ji vadinama matematine logika,

nes į ją perkelti matematiniai metodai. Dar ji kartais vadinama formaliąja logika, nes joje

tiriamos mąstymo procedūrų formos. Formalus logikos pobūdis reiškia tai, kad ji tiria tokius

minčių ryšių dėsningumus, kurie priklauso ne nuo mąstymo turinio, bet nuo mąstymo formos,

nuo minčių struktūros.

Mąstymo tikslas, bendrai paėmus, yra tiesa. (Dabar nenagrinėsime tiesos problemas kaip

filosofinės problemos). Pasvarstykime toki išsireiškimą: “Šiandien lyja”. Norėdami įsitikinti, ar

šis teiginys teisingas, turime jį patikrinti – pasižiūrėti į lauką. Bet šį teiginį mes galime sužinoti iš

kito žmogaus, kuriuo mes galime pasitikėti ar ne. Tiesos, kurios mes turime patikrinti patyrimu,

vadinamos fakto arba empirinėmis tiesomis. Tačiau yra kitokio pobūdžio tiesos – vadinamosios

loginės tiesos. Jų teisingumo netikriname patyrimu. Sakykime teiginio “Šiandien lyja arba

šiandien nelyja” nereikia tikrinti patyrimu. Akivaizdu, kad šiandien arba lyja arba ne. Šio

teiginio teisingumą suvokiame iš loginių konstantų “taip”, “arba”, “ne”.

6

Štai, pvz., teiginiai:

Jei Algis neserga, tai jis sveikas.

Jei aš turiu raktus, o aš esu auditorijoje, tai raktai yra auditorijoje.

Nesunku suvokti, kad šie teiginiai teisingi. Jų teisingumo patikrinimui nėra reikalo ieškoti

kažkokio Algio, aiškintis ar jis serga ar ne. Antru atveju visai nereikia knaisiotis mano kišenėse

ir pan. Tokio pobūdžio teiginių teisingumu įsitikiname teoriškai, tai loginės tiesos, kurių

teisingumas priklauso išimtinai nuo jų loginės formos arba loginės struktūros.

Loginės tiesos – tai teiginiai, kurių nereikia tikrinti patyrimu, jų teisingumas priklauso tik

nuo jų loginės struktūros.

Loginės tiesos gaunamos, perdirbant pačioje žinių sistemoje esančią informaciją. Fakto

tiesos surandamos, įgyjant informaciją, išeinančią už esamos žinių sistemos ribų – tai žinių

prieaugis.

Logikos tikslas – nustatyti logines pažinimo teisingumo sąlygas, sukurti efektyvius

loginio pažinimo metodus, nustatyti priemones ir logines procedūras, įgalinančias iš vienų

teiginių išvesti kitus teiginius.

Pakartojimui

1. Kas yra logika?

2. Kaip simbolinė logika dar kitaip vadinama?

3. Koks skirtumas tarp fakto tiesų ir loginių tiesų?

4. Koks logikos tikslas?

Pratimai

Nustatykite, kurie teiginiai yra fakto tiesos ir kurie yra loginės tiesos:

1. Vilniuje gyvena lietuviai ir kitų tautybių žmonės.

2. Vilniuje gyvena kitataučiai arba jie čia negyvena.

3. Mes pasakėme skaičių “1”.

4. Jei mes pasakėme skaičių “1”, tai mes pasakėme pirmąjį sveikųjų skaičių eilės

skaičių.

4. LOGIKA IR FILOSOFIJA

Logika turi savyje filosofinių problemų. Pirmiausia kyla klausimas apie loginių struktūrų

kilmę. Jį pirmasis gvildeno Aristotelis. Kas pačioje tikrovėje atitinka logines struktūras?

Atsakymai į šiuos klausimus filosofijoje pateikiami labai įvairūs. Tarkime, I. Kantas teigia, kad

loginės mąstymo struktūros žmogui yra įgimtos. Jis jas vadina apriorinėmis. (lot. a p r i o r i – iki

7

patyrimo). Taigi pasak Kanto, loginės struktūros nepriklauso nuo patyrimo, nes yra įgimtos.

Tuomet kyla klausimas, ar logika gali būti tikrovės pažinimo metodas?

Filosofijoje sutinkama ir kitokia loginių struktūrų kilmės interpretacija. Teigiama, kad

loginės struktūros yra laisvo žmogaus proto kūrinys, jų neapsprendžia pati tikrovė. Loginės

struktūros ir taisyklės kuriamos susitarimų (konvencijų) pagrindu. Šios konvencijos (susitarimai)

sudaromi patogumo, tikslingumo, mąstymo ekonomijos sumetimais.

Yra ir kita filosofinė koncepcija, pasak kurios ne tik mąstymo turinys bet ir loginės

formos atspindi tikrovės bruožus. Pvz., tikrovėje daiktas yra arba jo nėra, koks nors daiktas turi

kokią nors savybę arba jos neturi ir pan. Vadinasi, loginės struktūros yra objektyvaus pobūdžio,

t.y. nepriklauso nuo žmogaus valios, norų ir pan. (Tai marksistinė pažiūra).

Moderniose šiuolaikinėse loginėse teorijose iš tikrųjų patogumo, tikslingumo,

efektyvumo sumetimais daromos konvencijos. Tačiau jų panaudojimas tik tuomet prasmingas,

kai neišleidžiamos iš dėmesio loginių struktūrų ryšys su praktika, veikla, tikrove. Galų gale, pats

tikslingumas, patogumas yra pačios žmogiškosios tikrovės apspręsti.

Mes, žmonės, skirtingiausiai suprantame pasaulį, save pačiais, tačiau racionaliai

mąstydami operuojame tomis pačiomis loginėmis struktūromis. Loginės struktūros nepriklauso

nuo lyties, rasės, tautiškumo, religijos. Visi mes mąstome pagal tuos pačius loginius dėsnius.

Logika bendražmogiška.

Pakartojimui

1. Kokie filosofiniai klausimai kyla logikoje?

2. Ar logika turi specifinį kultūrologinį pobūdį?

5. LOGIKOS REIKŠMĖ

Šiuolaikiniuose moksluose, pasiekusiuose aukštą teorinio mąstymo lygį, aukštosiose

technologijose, informatikoje, kompiuterijoje ir pan. iškyla daug loginių problemų: kokie turi

būti panaudojami mąstymo būdai, kokios loginės priemonės ir metodai patys efektyviausi.

Kiekvienoje srityje kiekvienas žmogus panaudoja tam tikrą samprotavimo būdą. Kuo

samprotavimo būdas bus geresnis, efektyvesnis, tuo sėkmingiau bus sprendžiamos problemos.

Logika, formuodama pačias efektyviausias logines tiesos gavimo priemones, gali ženkliai

pagelbėti specialiose pažinimo ir technologijų srityse.

Logika yra bendras tiesos gavimo metodas visiems mokslams. Ji yra universali mąstymo

technika.

8

Šiandien, kompiuterizacijos epochoje, aštriai aktualios problemos kyla lingvistikoje,

informatikoje, kibernetikoje. Čia logika yra tiesiog nepakeičiama pagalbininkė, nes, tarkim

lingvistinė semantika, nagrinėdama kalbos prasmines struktūras, turi remtis sakinio logika ir pan.

Abipusi ryšys sieja logiką su matematika. Matematika panaudoja logikoje sukurtas

priemones, o matematikos metodai, savo ruožtu, praturtina logikos arsenalą.

Neabejotinas produktyvus ryšys sieja logiką ir teise. Be logikos neįmanoma vystyti

teisinio įrodymo teorijos. Kas yra įrodymas, hipotezė, versija? Kaip hipotezė, versija virsta

įrodyta tiesa, tai vis loginės mąstymo struktūros – logikos dalykai.

Mūsų laikais atsiranda vis naujos pažinimo sritys, kuriose loginiai klausimai tampa bene

lemtingais pažinimo sėkmei pasiekti. Tai ypač akivaizdu neirofiziologijoje tyrinėjant procesus,

vykstančius žmogaus smegenyse. Šioje srityje vykstančius reiškinius galima aprašyti simbolinės

logikos priemonėmis, kurios čia gali …, ir atlieka euristinį vaidmenį.

Tačiau pati didžiausia logikos reikšmė šiandien yra ta, kad ji tapo efektyviu metodu

pačiose aktualiausiose technikos ir technologijų srityse. Čia ji yra nepakeičiama ir vis

efektyvėjanti priemone automatikoje, kibernetikoje, kompiuterijoje ir informatikoje. Be

simbolinės logikos čia visiškai neapsieinama.

Tačiau reikia nepamiršti, kad logikos taisyklės tėra tik informacijos perdirbimo veiksmai

(iš vienų teiginių išvedami kiti teiginiai). Taigi logikos taisyklės yra būtina problemų sprendimo

sąlyga, tačiau nepakankama.

Loginiai mąstymo veiksmai negali nei nurodyti problemų, nei jų išspręsti. Logika

nepakeičia specialių mokslinių žinių.

Kokia logikos studijų nauda? Logikos studijavimas vysto intelektualines jėgas. Logika

formuoja kritinį požiūrį į savo ar kitų žmonių teiginius, samprotavimus, požiūrius, įsitikinimus.

Logika reikalauja pateikti ne tik teiginio pagrindimą, bet ir tai, kas teiginiui prieštarauja. Teiginį

galima priimti kaip teisingą tik tuomet, kai jis turi pakankamą pagrindą. Loginės klaidos turi

didelę praktinę reikšmę. Jos dažniausia yra prietarų pagrindas ir gali pasitarnauti

demagogiškiems tikslams. Norint padaryti teisingas išvadas, būtina:

a) teisingai suformuoti pradinius samprotavimo teiginius;

b) samprotavimų eiga turi būti logiškai teisinga ir, pagaliau,

c) sprendimai turi būti susieti su teisinga faktine informacija (faktų tiesa).

Vadinasi, logika nurodo, kaip reikia taisyklingai mąstyti.

Pakartojimui

1. Kuo logika reikšminga kitiems metodams?

2. Su kokiais mokslais logika glaudžiausia susijusi?

9

3. Kokia logikos reikšmė technikoje ir šiuolaikinėse technologijose?

4. Kuo logika svarbi žmogui? Kaip ji formuoja kritinį požiūrį?

TEIGINIŲ LOGIKA

Kaip ir kiekvieną mokslą, taip ir logiką sudaro visa eilė teorijų. Pagrindinė logikos teorija

yra teiginių teorija. Teiginių teorija svarbi tuo, kad jos dėsningumai galioja ir kitose logikos

teorijose.

Teiginių logika yra logikos teorija, aiškinanti teiginių ryšius, gaunamus loginių konstantų

“ne”, “ir”, “arba”, :jei…,tai”, “jei ir tik jei…, tai” pagalba.

1. TEIGINIAI IR GRAMATINIAI SAKINIAI

Teiginiu vadinamas bet koks sakinys, kuris yra arba teisingas arba klaidingas. Kalbiniai

teiginiai gali turėti įvairiausias reikšmes: jie gali būti tikėtini, neapibrėžti, galimi, norimi,

laukiami ir pan. - neišsemiama šnekamosios kalbos įvairovė. Teiginių logikoje teiginiai turi tik

dvi reikšmes – jie gali būti arba teisingi arba klaidingi. Teisingumas ir klaidingumas vadinami

teiginio reikšmėmis.

Teiginių pavyzdžiai: “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, “Dabar diena” ir pan.

Loginiai teiginiai skiriasi nuo gramatinių sakinių. Ne visi šnekamosios kalbos sakiniai gali

būti laikomi teiginiais, nes ne visi gramatiniai sakiniai gali būti teisingi arba klaidingi. Tarkime,

klausiamieji sakiniai nėra nei teisingi nei klaidingi. “Kaip gyveni?”. Tegalima kalbėti, ar

klausimas keliamas teisingai ar klaidingai. “Ar Veneroje populiarus Repas?” Klausimas keliamas

neteisingai, nes jis suponuoja: a) Veneroje yra protingos būtybės, b) jos žino Repą, c) venerėčiai

muzikuoja. Tiesa yra tai, kad Repas negali būti atliekamas Veneroje.

Nėra teisingi nei klaidingi ir skatinamieji, liepiamieji sakiniai: “Siek išminties“,

“Nepasiduok tinguliui“, “Noriu namo”. Čia reiškiami žmogaus norai, nuotaikos, jausmai ir pan.

Teiginių logika į tai visai nekreipia dėmesio. Tačiau klausiamųjų, skatinamųjų, liepiamųjų

sakinių loginė analizė visai galima. Klausimus, komandas, vertinimus tiria atitinkamos logikos

sritys, su kuriomis susipažinsime vėliau.

Logikoje teiginiais laikomi tiesioginiai sakiniai. Tiesioginiuose sakiniuose tvirtinama, ar

yra kažkas ar nėra, ar objektai turi ar neturi tam tikrų požymių. Tiesioginiuose sakiniuose

10

nurodoma, ar yra tam tikri faktai ar jų nėra. Tokie tiesioginiai sakiniai yra arba teisingi arba

klaidingi, todėl jie ir yra teiginiai.

Teiginių logikoje teiginys nedalomas į jokias sudėtines dalis. Jis nagrinėjamas kaip

nedaloma visuma. Atskirus teiginius logikoje žymime mažosiomis abėcėlės raidėmis: a, b, c, d.

Kiekvieną atskirą teiginį žymime atskira raide.

“Vilnius Lietuvos sostinė” – a,

“Dabar diena” – b.

Pakartojimui

1. Ką vadiname teiginiu?

2. Kokie gramatiniai sakiniai nelaikomi teiginiais, o kokie laikomi?

3. Ar teiginiai skaidomi į dalis?

Pratimai

Kurie iš pateiktų sakinių yra loginiai teiginiai?

1. Tegul saulė Lietuvoj tamsumas prašalina (V. Kudirka)

2. Kiek dabar valandų?

3. Kokia graži šiandien diena

4. Profesionalumas yra karjeros pagrindas

2. LOGINIS NEIGIMAS

Loginis neigimas žymimas žodžiais “ne”, “nėra”, “netiesa, kad…”, “klaidinga, kad…”.

Teiginio “Auditorijoje yra studentai” neigimas reiškiamas taip:

Auditorijoje nėra studentų.

Klaidinga, kad auditorijoje yra studentai.

Netiesa, kad auditorijoje yra studentai.

Šie teiginiai lygiaverčiai. Šnekamojoje kalboje neigimas gali būti reiškiamas dar kitais

žodžiais: “be”, “išskyrus” ir pan. Teiginys “Žmogus buvo be lietsargio” lygiavertis teiginiu

“Žmogus buvo pamiršęs lietsargį”.

Formalioje logikoje neigimas žymimas simboliu – brūkšniu, kuris dedamas virš teiginio.

Pažymėjus teiginių raide p, jo neigimas žymimas p ir skaitomas taip: ne – p; netiesa, kad p;

klaidinga, kad p.

Kyla klausimas, koks yra santykis tarp pradinio teiginio p ir jo neigimo p teisingumo

požiūriu. Tuo tikslu sudaroma teisingumo lentelė.

11

p p

kambaryje yra kėdė kambaryje nėra kėdės

teisinga klaidinga

klaidinga teisinga

Trumpumo dėlei loginio neigimo teisingumo lentelė pateikiama sekančiai:

p p

t k

k t

Raidės t ir k lentelėje yra teiginių “teisinga” ir “klaidinga” ženklai. Iš lentelės matome,

kad jei pradinis teiginys p teisingas, tai jo neigimas p klaidingas; ir atvirkščiai, jei teiginys p

klaidingas, tai p teisingas. Jei teiginys “Kambaryje yra kėdė” teisingas, tai jo neigimas

“Kambaryje nėra kėdės” klaidingas; jei teiginys “Kambaryje yra kėdė” klaidingas, tai jo

neigimas “Kambaryje nėra kėdės” teisingas.

Teisingumo lentelės dar kitaip vadinamos – teisingumo matricomis. Jas vadinsime tiesiog

matricomis.

Dvigubas neigimas lygiavertis teigimu. Šis teiginys vadinamas dvigubo neigimo dėsniu.

Jis užrašomas taip: p ̿ ~ p.

Išnagrinėkime šią išraišką. Ją sudaro teiginys p, šio teiginio neigimas p , teiginio p

neigimas p ̿ ir ženklas ~, reiškiąs lygiavertiškumą (ekvivalentiškumą). p ̿ reikia suprasti taip:

netiesa, kad p teisingas; netiesa, kad p klaidingas; klaidinga, kad p klaidingas.

Visą išraišką p ̿ ~ p skaitoma taip: teiginys “Netiesa, kad ne – p” lygiavertis teiginiui p.

Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys. Jei išraiška visuomet teisinga, tai

kintamuosius pakeitus konkrečiais teiginiais, gausime tiesą. Dvigubo neigimo dėsnyje kintamąjį

p reikia pakeisti kokiu nors konkrečiu teiginiu, paliekant nepakitusius dvigubą neigimą ir

lygiavertiškumo ženklą, nes jie yra loginiai pastovūs dydžiai. Pakeitę p teiginiu “Medus yra

saldus”, išraišką p ̿ ~ p skaitoma taip: teiginys “Netiesa, kad medus yra nesaldus” lygiavertis

teiginiu “Medus yra saldus”. Tai teisinga. Pakeitus p teiginiu “E studijuoja vadybą”, išraiška p ̿

~ p skaitoma: teiginys “Netiesa, kad E nestudijuoja vadybos” lygiavertis teiginiui “E studijuoja

vadybą”. Tai taip pat teisinga. Vadinasi, išraiškoje p ̿ ~ p kintamąjį p galima pakeisti bet kokiu

konkrečiu teiginiu, vis tiek išraiška bus teisinga. Taip yra todėl, kad ši išraiška yra logikos

dėsnis.

Logikos dėsniai dar kitaip vadinami bendrareikšmėmis išraiškomis. Bendrareikšmė – tai

visuomet teisinga išraiška.

Patikrinti, ar išraiška yra logikos dėsnis galima grynai loginėmis priemonėmis. Reikia

išraiškai sudaryti teisingumo lentelę. Dvigubo neigimo dėsnio teisingumo lentelė yra tokia:

12

p p p ̿ ~ p

t k t t

k t k t

Teisingumo lentelę (teisingumo matricą) sudaro eilutės ir stulpeliai. Viršutinėje eilutėje

žymimi visi loginiai elementai, sudarantys išraišką. Dvigubo neigimo dėsnį sudaro: teiginys p, jo

neigimas p , teiginio p neigimas p ̿ ir lygiavertiškumo tarp p ̿ ir p nustatymas. Eilučių

matricoje yra dvi, nes pradinis teiginys yra vienas – teiginys p. Pirmame matricos stulpelyje

pažymėta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p . Iš

loginio neigimo žinome, kad jei teiginys p teisingas, tai jo neigimasp klaidingas, jei p

klaidingas, tai jo neigimas p teisingas. Trečiame stulpelyje p ̿ reikšmė. Vėl taikome loginio

neigimo taisyklę, nes p ̿ yra p neigimas. Taigi, jei p klaidingas, tai p ̿ teisingas, ir jei p

teisingas, p ̿ klaidingas. Paskutiniame stulpelyje nustatomas p ̿ ~ p teisingumas. Trečiame ir

pirmame stulpeliuose pažymėtos teiginių p ̿ ir p teisingumo reikšmės. Šių stulpelių pirma eilutė

vienoda – reikšmė “teisinga”. Skaitome : reikšmė “teisinga” lygiavertė reikšmei “teisinga”. Tai

tiesa. Šitai užrašome paskutinio stulpelio viršutinėje eilutėje. Trečio ir pirmo stulpelio antra

eilutė taip pat vienoda – “klaidinga”. Tai tiesa ir šitai užrašome paskutinio stulpelio antroje

eilutėje. Vadinasi, jei du teiginiai vienodi savo teisingumo reikšmėmis, tai jie lygiaverčiai.

Iš matricos matome, kad išraiška p ̿ ~ p visais atvejais teisinga (tokių atvejų tėra du).

Kadangi p ̿ visuomet lygiavertiška p, tai dvigubą neigimą galima nubraukti. Trigubas neigimas

lygiavertis neigimui ~ p . Jei teiginyje yra lyginis neigimų skaičius, tai juos visus galima

nubraukti, nes jie lygiaverčiai teigimui. Jei teiginyje nelyginis neigimų skaičius, tai jie visi

lygiaverčiai vienam neigimui.

Loginis neigimas taikomas loginėje gramatinių sakinių analizėje. Tarkime, turime sakinį

“S meluoja, kad draugauja su K” šiame sakinyje išreikštos dvi mintys ir būtų netikslu teigti, kad

viena ją priklauso pagrindiniam sakiniui, kita – šalutiniam. Tos dvi mintys yra:

1. S teigė, kad ji draugauja su K,

2. S nedraugauja su K.

Logiškai išanalizavę gauname sakinį: “S teigia, kad jis draugauja su K, ir S nedraugauja su K”.

Pakartojimui

1. Kokiais žodžiais reiškiamas loginis neigimas ir kaip jis simboliškai žymimas? (“ne”,

“nėra”, “netiesa, kad…”, “klaidinga, kad…”)

2. Kaip sudaroma loginio neigimo teisingumo lentelė?

3. Ką teigia dvigubo neigimo dėsnis ir kaip jis patikrinamas?

4. Ką vadiname logikos dėsniu?

13

Pratimai

1. Pateikite šių teiginių neigimus ir nustatykite jų teisingumą:

d) Kiekvienas kūnas turi masę.

e) Lietuvių kalbos veiksmažodžiai kaitomi laikais.

f) Logika tiria žmogaus jausmus.

2. Teiginį “Lietus nebuvo nelauktas” užrašykite loginiais simboliais ir nustatykite, kokiam

teiginiui jis lygiavertis.

3. Išnagrinėkite teiginį “M suklydo teigdamas, kad N sakė netiesą”.

3. KONJUNKCIJA

Visi teiginiai skirstomi į paprastus ir sudėtinius.

Paprastu teiginiu vadinamas teiginys, kuris į jokius kitus teiginius neskaidomas.

Sudėtiniu teiginiu vadinamas teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų

loginėmis jungtimis.

Loginių jungčių yra keturios: ir; arba; jei …, tai; jei ir tik jei…, tai. Šiomis jungtimis

paprastus teiginius “Namas turi stogą”, “Sienoje yra durys” jungiame į tokius sudėtinius:

Namas turi stogą ir sienoje yra durys.

Namas turi stogą arba sienoje yra durys.

Jei namas turi stogą, tai sienoje yra durys.

Jei ir tik jei namas turi stogą, tai sienoje yra durys.

Paprasto teiginio teisingumas nustatomas ne loginiu būdu, o patyrimu, stebėjimu,

eksperimentu. Sudėtinio teiginio teisingumas nustatomas loginėmis priemonėmis. Sudėtinio

teiginio teisingumo reikšmė priklauso:

nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių;

nuo jį sudarančių loginių jungčių pobūdžio.

Konjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių,

sujungtų logine jungtimi “ir”.

Teiginys “Šiandien dangus apniukęs ir lyja lietus” yra konjunkcinis ir sudarytas iš dvejų

paprastų teiginių: “Šiandien dangus apniukęs” (p) ir “Lietus lyja” (q). Turime p ir q. Jungtį “ir”

pažymime simboliu “” (taškas), gauname šią konjunkcijos išraišką:

p q.

Trumpumo dėlei konjunkcinį teiginį vadinsime tiesiog konjunkcija, o teiginius p ir q

konjunkcijos nariais.

14

Konjunkcijos narius galima sukeisti vietomis. Ar pasakysime p ir q, ar q ir p, nuo to

dalyko esmė nepasikeis.

Konjunkciją gali sudaryti ne tik du teiginiai, bet ir daugiau paprastų teiginių. Teiginys

“Studentai A, B, C ir D studijuoja informatiką”. Šio teiginio struktūra: p ir q ir r ir s.

T. y. – p q r s. Kiek paprastų teiginių besudarytų konjunkciją, pagrindinis santykis

konjunkcijoje yra santykis tarp dviejų teiginių. Todėl teiginį p q r s pertvarkius į (p q) (r

s), turėsime du konjunkcijos narius, kurių kiekvienas – taip pat konjunkcinis teiginys.

Konjunkcinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių

teisingumo reikšmių.

Nustatysime konjunkcijos teisingumo sąlygas.

p q p q

Namas turi stogą. Sienoje yra durys. Namas turi stogą ir sienoje yra durys.

teisinga teisinga teisinga

teisinga klaidinga klaidinga

klaidinga teisinga klaidinga

klaidinga klaidinga klaidinga

Konjunkcijos matrica atrodys taip:

p q p q

t t t

t k k

k t k

k k k

Pirmuose dviejuose stulpeliuose pažymėti visi galimi paprastų teiginių teisingumo ir

klaidingumo atvejai. Tokių atvejų tebus keturi: 1) p teisingas, q teisingas; 2) p teisingas, q

klaidingas; 3) p klaidingas, q teisingas; 4) p klaidingas, q klaidingas.

Pirma eilutė po brūkšniu: teiginys p teisingas, teiginys q teisingas – konjunkcija p q

teisinga (ir t.t. – perskaityti matricą).

Konjunkcijos taisyklė: konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai.

Konjunkcija “Namas turi stogą ir sienoje yra langas” teisingas tik tuomet, kai namas turi

stogą ir sienoje tikrai yra langas.

Panagrinėkime…

Šnekamojoje kalboje konjunkcija reiškiama ne tik žodžiu “ir”. Natūrali kalba labai

turtinga. Daugeliu atveju loginiu požiūriu jungčiai “ir” lygiaverčiai šie gramatiniai jungtukai:

“o”, “bet”, “tačiau”, “nors”.

15

Šie teiginiai loginiu požiūriu lygiaverčiai: “Algis dar paskaitoje ir eis į pasimatymą su

Aiste”.

// ,o // .

// ,bet // .

// ,nors // .

// , tačiau // .

Visi šie teiginiai teisingi tik tada, kai teisingi paprasti juos sudarantys teiginiai. Kartais

konjunkcija sudaro žodis “kuris”. “Jis susitiko draugą, kuris skubėjo į paskaitą” (galima pakeisti

jungtuku “ir”).

Kalboje kartais konjunkciją išreiškia žodis “kuris”. “Prie namo stovėjo automobilis,

panašus į Opelį” (…, ir jis…). Konjunkciją gali išreikšti ir žodis “tik”. “Tik Petraitis neišlaikė

matematikos egzamino”. “Petraitis išlaikė, ir niekas kitas neišlaikė”.

// išskyrus // (visi, išskyrus…)

Konjunkciją taip pat išreiškia gramatiniai jungtukai “…nei, nei…”; “kaip, …, taip”; “tai

…, tai”, ir pan.

Kad ir kokiomis kalbinėmis priemonėmis būtų išreikšta konjunkcija, visais atvejais ji

teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai.

Pakartojimui

1. Kokį teiginį vadinama paprastu ir kokį sudėtiniu?

2. Nuo ko priklauso sudėtinio teiginio teisingumas?

3. Kokį teiginį vadiname konjunkcija?

4. Kaip sudaroma konjunkcijos teisingumo lentelė?

5. Kokiomis gramatinėmis priemonėmis konjunkcija išreiškiama šnekamojoje kalboje?

4. PRIEŠTARAVIMO DĖSNIS

Tai vienas svarbiausiųjų logikos dėsnių. Jis užrašomas taip:

Skaitome šitaip: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas “ ne – p ” yra kartu teisingi.

Prieštaravimo dėsnį dar galima nusakyti dar ir taip: teiginys negali būti ir teisingas ir klaidingas.

Išraišką sudaro teiginys p, jo neigimasp , teiginių p ir p konjunkcija, šios

konjunkcijos neigimas. Išraišką pradedame skaityti nuo ilgojo brūkšnio, reiškiančio p p

neigimą: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas ne – p kartu yra teisingi.

16

Kadangi išraiška yra logikos dėsnis, tai kintamąją p pakeitus kokiu nors konkrečiu

teiginiu, visuomet gauname tiesą. Pakeitę p teiginiu, tarkime, “Studentas S mokosi vadybos

fakultete”, išraišką skaitome sekančiai: netiesa, kad teiginys “Studentas S mokosi vadybos

fakultete” ir jo neigimas “Studentas S nesimoko vadybos fakultete” yra kartu teisingi. Akivaizdu,

kad negali būti taip, kad kas nors studijuotų VGTU ir kartu jame nesimokytų.

Norėdami patikrinti, ar išraišką yra logikos dėsnis, sudarome jos matricą:

p p p p

t k k t

k t k t

Pirmame matricos stulpelyje pažymėta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas.

Antrame stulpelyje nustatoma p reikšmė: jei p teisingas, tai ne – p klaidingas, jei p klaidingas,

tai ne – p teisingas. Trečiame stulpelyje nustatomas konjunkcijos p p teisingumo reikšmė.

Žinoma, kad konjunkcija teisinga tik tuomet, kai teisingi visi jos nariai. Pirmoje eilutėje p

teisingas, betp klaidingas, todėl konjunkcija p p klaidinga. Antroje eilutėje p klaidingas,p

teisingas, todėl ir konjunkcija p p taip pat klaidinga. Paskutiniame lentelės stulpelyje

nustatoma teisingumo reikšmė. Remiamės loginio neigimo taisykle. Kadangi, yra

išraiškos p p neigimas, tai išraiškai p p esant klaidingai, jos neigimas yra teisingas.

Neigiant tai, kas yra klaidinga (trečio stulpelio pirma ir antra eilutė), gauname reikšmę “teisinga”

(ketvirtojo stulpelio pirma ir antra eilutės). Taigi, išraiška yra visuomet teisingas teiginys.

Atkreipiame dėmesį į tai, kad išraiška p p visuomet yra klaidinga . Taigi, jei mūsų

mintys įgaus šią formą, tiesos neprieisime. Teiginys “Studentas S mokosi vadybos fakultete ir

studentas nesimoko vadybos fakultete” klaidingas.

Teiginiai p irp vadinami prieštaraujančiais. Du teiginiai vienas kitame prieštarauja, jei

nėra teiginio, kuris patvirtintų juos abu. Logikoje nėra teiginio, kuris patvirtintų ir p ir ne – p .

Prieštaravimo dėsnis draudžia apie objektą mąstyti prieštaringai. Jis nurodo, kad

negalima tuo pat metu ir tuo pačiu atžvilgių ką nors apie objektą teigti ir tą patį neigti. Negalima

suderinti teiginio ir to paties teiginio neigimo. Tai reiškia, kad realios tikrovės įvykiai yra

neatšaukiami. Tikrovė nepermaldaujamai vienkartiška (… arba yra, arba nėra … - ir viskas).

Visai kas kita virtualinėje tikrovėje… Gal todėl ji taip magiškai traukia nebrandžias

(vadinasi besikratančias atsakomybės) asmenybes. Virtualinė tikrovė ontologiškai immorali (lot.

– im – ne). Gal čia ir glūdi jos destruktyvaus poveikio žmogui ištakos…

Prieštaravimo dėsnis yra vienas pagrindinių logikos dėsnių, kuriuo privalu visuomet

vadovautis savo samprotavimuose.

17

Prieštaravimo dėsnį galima taikyti tik vartojant teiginius p irp vienu ir tuo pačiu

požiūriu, viena ir ta pačia prasme. Jei teiginį p vartosime vienu požiūriu, o jo neigimą p - kitu

požiūriu, tai prieštaravimo dėsnis tokių teiginių atžvilgiu negalios. Tarkime, pagal prieštaravimo

dėsnį negali būti laikomi kartu teisingais teiginiai “M yra kambaryje” ir “M nėra kambaryje”. Jei

kas nors sako, kad vis tik galima būti kambaryje ir kartu nebūti jame (pavyzdžiui, gulėti

kambaryje ant sofos ir svajonėmis nuklysti į Paryžių…), tai akivaizdu, kad teiginiai “M yra

kambaryje” ir “M nėra kambaryje” vartojami skirtingomis prasmėmis. Logika reikalauja, kad

samprotavimuose vienas ir tas pats teiginys turi būti vartojamas viena ir ta pačia prasme. Šį

reikalavimą visuomet reikia prisiminti diskusijoje, sekti, kad šio dėsnio griežtai laikytųsi ir

oponentas.

Prieštaravimo dėsnis atspindi tam tikrus (net ontologinius) tikrovės bruožus mūsų

mąstyme. Tai reiškia, kad tikrovės objektai negali kartu ir egzistuoti ir neegzistuoti, turėti kokias

nors savybes it jų neturėti. Ji neatšaukiamai vienkartiška.

Pakartojimui

1. Ką teigia prieštaravimo dėsnis?

2. Kaip jis užrašomas ir patvirtinamas?

3. Kodėl išraiška p p yra visuomet klaidinga?

5. DISJUNKCIJA

Disjunkcija išreiškiama logine jungtimi “arba”.

Disjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių,

sujungtų logine jungtimi “arba”.

Teiginys “Į laboratoriją užėjo studentas M arba į laboratoriją užėjo studentas N” yra

disjunkcinis, sudarytas iš dviejų paprastų teiginių: “Į laboratoriją užėjo studentas M” (p), “Į

laboratoriją užėjo studentas N” (q).

Turime: p arba q.

Jungtį “arba” žymime simboliu V. Taigi, disjunkcijos formulė tokia:

p V q.

Teiginys p ir teiginys q vadinami disjunkciniais. Disjunkcinį teiginį trumpumo dėlei

vadinsime tiesiog disjunkcija.

Disjunkcijos, kaip ir konjunkcijos, narius galima sukeisti vietomis:

p V q lygiavertiška q V p.

Atskiri disjunkcijos nariai – tai alternatyvos. Alternatyva yra vienas galimų atvejų.

Teiginį p V q sudaro alternatyva p ir alternatyva q. Disjunkciją gali sudaryti ne tik du, bet ir

18

daugiau paprastų teiginių, t.y. alternatyvų gali būti dvi arba daugiau. “Egzaminą galima išlaikyti

arba penketui arba šešetui arba …”. Šį teiginį sudaro keli disjunkciniai teiginiai. (…) Kad ir kiek

paprastų teiginių sudarytų disjunkcinį teiginį, pagrindinis santykis disjunkcijoje yra santykis tarp

dviejų teiginių (alternatyvų).

Jungtis “arba” turi dvi reikšmes – griežtąją ir silpnąją. Priklausomai nuo to skiriamos dvi

disjunkcijos rūšys – griežtoji disjunkcija ir silpnoji disjunkcija.

Griežtojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas tik vienas.

Griežtoji disjunkcija žymima simboliu V. Griežtosios disjunkcijos matrica yra tokia:

p q p V q

t t k

t k t

k t t

k k k

Iš matricos matome, kad griežtoji disjunkcija teisinga tada, kai teisingas yra tik vienas jos

narys.

Panagrinėkime klasikinį pavyzdį: mėtant monetą į viršų, “Iškris herbas arba skaičius”.

Šią disjunkciją patikrinsime teisingumo lentele:

p q p V q

Iškris herbas Iškris skaičius Iškris herbas arba skaičius

t t k

t k t

k t t

k k k

Herbas ir skaičius abu iš karto negali iškristi (reikšmė “klaidinga” paskutinio stulpelio

pirmoje eilutėje). Gali būti, kad iškrinta herbas, o skaičius neiškrinta (reikšmė “teisinga”

paskutinio stulpelio antra eilutė). Gali būti taip, kad herbas neiškrinta, o skaičius iškrinta

(reikšmė “teisinga” trečio stulpelio trečioje eilutėje). Galų gale negali būti taip kad neiškrinta nei

herbas nei skaičius (reikšmė “klaidinga” ketvirtoje eilutėje).

Anksčiau pateiktas teiginys “Egzaminą galima išlaikyti arba penketui arba šešetui…” yra

griežtoji disjunkcija, nes, egzaminą išlaikius, galima gauti tik vieną vertinimą: arba …

Griežtoji disjunkcija reiškia: teisingas tik p arba tik q .

Silpnojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas vienas, tačiau

numatoma, kad gali būti įvykdomi ir kiti atvejai. Silpnoji disjunkcija žymima ženklu V (be taško

viršuje).

19

Silpnosios disjunkcijos matrica yra:

p q p V q

t t t

t k t

k t t

k k k

Tarkime, laikraštyje išspausdintas tokio pobūdžio skelbimas: “Akcinei bendrovei

reikalingas vadybininkas, turintis aukštąjį universitetinį išsilavinimą arba didelį praktinį

patyrimą”. Panagrinėkime, kokie asmenys patenkins šiame skelbime suformuluotas sąlygas. Jei

asmuo, padavęs pareiškimą vietai užimti, turės aukštąjį universitetinį išsilavinimą ir didelį

praktinį patyrimą, jis geriausiai atitiks pateiktas sąlygas (reikšmė “teisinga” paskutinio stulpelio

pirmoje eilutėje). Jei jis turės aukštąjį universitetinį išsilavinimą, bet neturės didelio praktinio

stažo, jis taip pat atitiks skelbimo sąlygas (reikšmė “teisinga” antroje eilutėje). Jei šis asmuo

neturės aukštojo universitetinio išsilavinimo, bet turės didelį stažą, jis irgi galės pretenduoti

užimti vietą (reikšmė “teisinga” trečioje eilutėje). Ir, pagaliau, jei jis neturės nei diplomo nei

stažo, tai skelbime nurodytų sąlygų neatitiks (reikšmė “klaidinga” ketvirtoje eilutėje).

Silpnosios disjunkcijos dėsnis: silpnoji disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi

jos nariai.

Samprotavimuose labai svarbu skirti griežtąją ir silpnąją disjunkciją. Teiginį “Egzamine

nusirašinėjo studentas A arba studentas B” (auditorijoje rasta špargalkė) galima suprasti dvejopai

priklausomai nuo to, kokią reikšmę priskirsime jungčiai “arba”. Jei jungtį “arba” suprasime

griežtąja reikšme, tai duotąjį teiginį turėsime suprasti tik taip, kad nusižengė etikai tik vienas

studentas – tik A arba B. Jungčiai “arba” priskyrę silpnąją reikšmę, duotąjį teiginį turėsime

suprasti taip, kad nusižengė studentas A arba studentas B, arba jie abu. Jei nežinosime, ar abu

studentai, ar tik vienas iš jų nusirašinėjo, tai teiginį ir turime formuluoti kaip silpnąją disjunkciją.

Silpnoji disjunkcija yra bendresnio, abstraktesnio pobūdžio, negu griežtoji. Todėl

loginėse išraiškose vartojama silpnoji disjunkcija, nes logikai rūpi sukurti abstrakčius alfabetus,

tinkamus vartoti įvairiuose moksluose.

Šnekamojoje kalboje disjunkcija reiškiama ne tik jungtimi “arba”, bet ir kitais žodžiais:

“gal …, gal”.

Kasdieninėje kalboje vartojant jungti “arba”, neretai pasireiškia psichologiniai faktoriai.

Tarkime, jaunuolis tikisi pabendrauti su panele ir klausia jos, ar ji ateis į diskoteką. Ji gi

atsako ateisianti, jei neišvyks į namus. Vėliau nelaimėlis sužino, kad jau tuo metu, kai buvo

20

klausiama, ji jau buvo nesprendusi išvažiuoti bei taip ir padarė. Ir nors formaliai logiškai ji

kalbėjo teisingai, tačiau tikrumoje melavo… Ech tos panelės.

Pakartojimui

1. Kokį teiginį vadiname disjunkciniu?

2. Kada teisinga griežtoji disjunkcija?

3. Kada klaidinga silpnoji disjunkcija?

4. Kuri disjunkcija (silpnoji ar griežtoji) yra bendresnio pobūdžio? Kodėl?

6. NEGALIMO TREČIOJO DĖSNIS

Remiantis disjunkcijos ir neigimo taisyklėmis, įrodomas vienas svarbiausių logikos

dėsnių, kuris vadinamas negalimo trečiojo dėsniu. Jis užrašomas formule:

p V p,

kuri skaitoma taip: teiginys p teisingas arba jo neigimas ne – p teisingas – trečios galimybės

nėra.

Negalimo trečiojo dėsnis tradiciškai formuluojamas lotynu kalbos posakiu: t e r t i u m

n o n d a t u r (trečios galimybės nėra).

Kadangi išraiška p V p yra logikos dėsnis, tai kintamąjį p pakeitus kokiu nors

konkrečiu teiginiu, visuomet gausime tiesą.

Kintamąjį p pakeitus teiginiu “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, išraišką p V p skaitome

taip: “Vilnius yra Lietuvos sostinė arba Vilnius nėra Lietuvos sostinė”. Trečios galimybės nėra.

Iš šių teiginių teisingas tėra vienas – arba teiginys p, arba jo neigimasp. Remiantis loginio

neigimo taisykle, nustatoma: jei p teisingas, tai jo neigimas p klaidingas; jei p klaidingas, tai jo

neigimas p teisingas. Iš dviejų teiginių teisingas tik vienas, o antras – klaidingas. Tačiau logika

negali nustatyti, kuris būtent teiginys teisingas – p arp. Tam logika neturi priemonių. Tai fakto

tiesų (empirinių) nustatymo reikalas. Kuris iš dviejų prieštaraujančių teiginių teisingas, nustato

atskiri mokslai, patyrimas. Logika nustato tik formalią bendro pobūdžio taisyklę: jei turime kokį

nors teiginį, tai arba jis teisingas, arba jo neigimas teisingas – trečios galimybės nėra.

Negalimo trečiojo dėsnio p V p matrica tokia:

p p p V p

t k t

k t t

Ši matrica sudaryta, remiantis neigimo ir disjunkcijos taisyklėmis. Pirmame stulpelyje

nurodyta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje pagal loginio

neigimo taisyklę nustatomap reikšmė. Trečiame stulpelyje turime disjunkciją p V p. Pirmoje

21

eilutėje nurodyta, kad vienas šios disjunkcijos narių yra teisingas, o kitas klaidingas. Vadinasi p

V p teisinga. Panašiai ir antroje eilutėje. Taigi, paskutiniame stulpelyje gauname tik reikšmę

“teisinga”; tai rodo, kad išraiška p V p logikos dėsnis.

Negalimo trečiojo dėsnį galima užrašyti, pavartojus ir griežtąją disjunkciją: p V p.

Tačiau jau esame nurodę, kad silpnoji disjunkcija yra bendresnio pobūdžio, todėl kaip tik ji

vartojama loginėse išraiškose.

Kaip ir prieštaravimo dėsnis, negalimo trečiojo dėsnis yra vienas pagrindinių dėsnių,

nuolat vartojamų samprotavimuose. Tai pamatinis būties ir mąstymo dėsnis. Jis atspindi

(išreiškia) tą akivaizdų faktą, kad koks nors objektas arba egzistuoja arba neegzistuoja, kad jis

turi kokius nors požymius arba jų neturi.

Pakartojimui

1. Kaip formuluojamas trečiojo negalimumo dėsnis?

2. Kokia formule jis užrašomas?

3. Ar logika gali nurodyti, kuris iš prieštaraujančių teiginių teisingas ir kuris klaidingas?

Pratimai

1. Kuriam iš pateiktų pavyzdžių taikomas trečiojo negalimo dėsnis?

a) šiandien arba lyja arba ne,

b) būti ar nebūti – štai klausimas! (V. Šekspyras).

2. Ar galima pritarti tokiam samprotavimui: Teiginiui “Ši gėlė arba geltona arba mėlyna”

taikomas negalimo trečiojo dėsnis. Vienas iš dviejų – arba teisinga, kad gėlė geltona, arba

teisinga, kad ji mėlyna. Trečios galimybės nėra. (Arba abu teiginiai klaidingi, kai, pavyzdžiui,

gėlė – raudona).

7. IMPLIKACIJA

Implikacija išreiškiama logine jungtimi “jei…, tai”. Implikacija yra sudėtinis teiginys,

sudarytas iš dviejų paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi “jei…, tai”.

Teiginys “Jei šiandien penktadienis, tai rytoj bus šeštadienis” yra implikacija, sudaryta iš

dviejų paprastų teiginių: “Šiandien penktadienis” (p), “Rytoj šeštadienis” (q). Turime: jei p, tai

q. Jungtį “Jei …, tai” žymėsime ženklu . Implikacijos formule tokia:

p q.

Pirmasis implikacijos narys p vadinamas antecendentu, o antrasis narys q – konsekventu.

Išraiška p q skaitoma dvejopai: 1) jei p, tai q; 2) iš p seka q. Taigi, implikacijos prasmė ta,

kad iš antecendento seka konsekventas.

22

Pateiktas dvejopas išraiškos p q skaitymas naudingas tada, kai implikacija teiginyje

pasikartoja kelis kartus. Išraiška p (q r) skaitoma taip: jei p, tai iš q seka r. Skliaustai

parodo, kuris teiginys iš kurio teiginio seka. Jei skliaustų nebūtų, tai išraišką būtų sunku suvokti.

Šnekamojoje kalboje implikacija reiškiama įvairiais žodžiais. Jungties “jei…, tai”

teiginyje kartais gali ir nebūti, tačiau teiginys gali turėti implikacijos prasmę. Pvz.: “Lašas po

lašo ir akmenį pratąšo” arba “Ką pasėsi, tą ir pjausi”. Tai tas pat, ką teigtume su jungtimi “jei…,

tai”. “Jei lašės lašas po lašo, tai ir akmenį pratąšys”. “Jei ką pasėsi, tai tą ir pjausi”. Implikaciją

taip pat išreiškia žodžiai “taigi”, “vadinasi”, “reiškia” ir pan.

Jungtis “jei…, tai” – sudėtingiausia iš visų loginių jungčių. Ji turi daug reikšmių, pagal

kurias skiriamos implikacijos rūšys. Svarbiausios jų yra tokios.

Kauzalinė implikacija išreiškia priežastinį ryšį tarp reiškinių. “Jei temperatūra kyla, tai

molekulių judėjimas greitėja”. Šiame teiginyje jungtis “jei…, tai” turi kauzalinės implikacijos

reikšmę: iš p priežastingai seka q.

Griežtoji implikacija išreiškia būtiną ryšį tarp reiškinių. Priežastiniai ryšiai taip pat būtini,

tačiau ne visi būtini ryšiai yra priežastiniai. Pvz.: “Jei skaičius dalijasi iš 9, tai jis dalijasi ir iš 3”.

Čia jungtis “jei…, tai” turi griežtosios implikacijos reikšmę: iš p būtinai seka q.

Formalioji implikacija išreiškia ryšį tarp objekto ir jo požymio. Teiginyje “Jei A yra

žmogus, tai jis yra mirtinga būtybė” pasakoma, kad jei kas nors turi požymi “būti žmogumi”, tai

jis turi ir mirtingumo požymį. Šiame teiginyje jungtis “jei…, tai” turi formaliosios implikacijos

reikšmę.

Materialioji implikacija yra pati bendriausia pamatinė implikacijos rūšis. Materialiojoje

implikacijoje neatsižvelgiama nei į priežastinius, nei į būtinus ar kokius nors kitus ryšius.

Materialiojoje implikacijoje abstrahuojamasi nuo visų prasminių ryšių ir atsižvelgiama tik į vieną

faktorių – teiginių teisingumą ir klaidingumą. Formulė p q ir yra materialiosios implikacijos

simbolinis užrašymas. Ją ir vartosime loginėse išraiškose ir, užuot sakę “materialioji

implikacija”, sakysime tiesiog “implikacija”.

Implikacijos matrica yra tokia:

p q p q

t t t

t k k

k t t

k k t

Skaitome. Pirma eilutė: iš teisingo antecendento p seka teisingas konsekventas q,

implikacija p q teisinga. Taip ir būna samprotavimuose: kai turime teisingą teiginį p ir iš jo

išvedame kitą teisingą teiginį q, tai reiškia, kad mūsų samprotavimo būdas teisingas.

23

Antra eilutė: iš teisingo antecendento p seka klaidingas konsekventas q, implikacija p

q klaidinga. Jei kas nors iš teisingo teiginio išveda klaidingą teiginį, tai jo samprotavimo būdas

klaidingas. Iš teisingo teiginio negali sekti klaidingas teiginys. Jei iš teisingų teiginių būtų galima

logiškai išvesti klaidingus, tai mes nesuprastume vienas kito. Nesusikalbėtume.

Trečia eilutė: iš klaidingo antecendento p seka teisingas konsenventas q, implikacija p

q teisinga. Pradedantiesiems ši implikacija atrodo neįtikėtina. Ar gi galima iš klaidingo teiginio

logiškai išvesti teisingą teiginį. Tam, atrodytų, prieštarauja sveikas protas. Pasirodo galima.

Logika neprieštarauja sveikam protui. Ji eina kartu su juo, bet – toliau.

Tarkime turime samprotavimą:

Molis maistingas

Pyragaitis iškeptas iš molio

Vadinasi, pyragaitis maistingas

Nors šiame samprotavimuose prielaidos “Molis yra maistingas” ir “Pyragaitis iškeptas iš

molio” yra klaidingos, išvada “Pyragaitis maistingas” teisinga ir yra išvesta visiškai logiškai.

Vadinasi, iš klaidingų teiginių galima išvesti teisingus teiginius, ir šiuo atveju implikacija turi

būti laikoma teisinga. Sie! Formalus loginis teisingumas yra būtinas, tačiau ne visuomet

pakankamas. Todėl teisingų teiginių išvedimas iš klaidingų teiginių yra ne dėsningas, bet

atsitiktinis reiškinys. Todėl (dėmesio!) logika negali nurodyti, kada iš klaidingų teiginių gausime

teisingus teiginius.

Ketvirta eilutė: iš klaidingo antecendento p seka klaidingas konsenventas q, implikacija p

q teisinga. Šis atvejis pradedantiesiems taip pat dažnai kelia nuostabą. Tačiau dalykas čia

paprastas. Kai iš klaidingo teiginio p išvedame klaidingą teiginį q, tai samprotaujame teisingai ar

ne? Žinoma, kad gerai (teisingai). Iš klaidingų teiginių ir turi sekti klaidingi teiginiai. Jei,

žmogau, laikaisi klaidingų nuostatų, tai jos ir turi tave nuvesti klystkeliais! Tai teisinga.

Trumpiau implikacijos matricą galima nusakyti taip:

iš teisingo seka teisingas – implikacija teisinga;

iš teisingo seka klaidingas – implikacija klaidinga;

iš klaidingo seka teisingas – implikacija teisinga;

iš klaidingo seka klaidingas – implikacija teisinga.

Implikacijos taisyklė: implikacija klaidinga tik tada, kai iš teisingo antecendento seka

klaidingas konsekventas.

Apibendrinant tai, kas išreikšta implikacijos matricos trečioje ir ketvirtoje eilutėse,

nustatomas svarbus dėsnis: iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys (teisingas arba

klaidingas). Šis dėsnis užrašomas formule:

p (p q),

24

kurią skaitome taip: jei p, tai iš ne – p seka q. Kitais žodžiais, jei turime teiginį p ir nustatome,

kad jis klaidingas (p ), tai iš p seka bet kuris teiginys q. Trumpiau tariant, iš klaidingo teiginio

seka bet kas.

Šie dėsnis turi didžiulę metodologinę reikšme įrodymuose. Jei teorijoje pasirodo

klaidingas teiginys, tai iš jo galima išvesti daug kitų klaidingų teiginių. Arba: jei kas nors vartoja

klaidingus teiginius, tai jis gali įrodyti bet ką. Istorija pateikia aibę pavyzdžių, kai klaidingas

požiūris, įsitikinimai atvedė į daugybę klaidų. Klaidingi komunizmo ar fašizmo teiginiai atvedė į

didžiausias katastrofas XX amžiaus žmonijos istorijoje.

Apibendrinant tai, kas išreikšta implikacijos matricos pirmoje ir trečioje eilutėse,

nustatomas ir kitas implikacijos dėsnis: teisingas teiginys seka iš bet kurio kito teiginio (teisingo

ar klaidingo). Šis dėsnis užrašomas išraiška:

p ⇨ (q ⇨ p),

kuri skaitoma taip: jei p, tai iš q seka p. Kitaip tariant, jei turime teisingą teiginį p , tai jis seka iš

bet kokio teiginio q (teisingo arba klaidingo).

Panagrinėkime teiginį: “Jei mūsų giminaitis skursta, tai mes jam padedame”.

Patikrinkime šį teiginį implikacijos matrica, nustatydami, kada mes įvykdome savo priedermę

giminei.

Pirma eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q teisingas (mes jį paremiame).

Implikacija (…) teisinga, mūsų pareiga įvykdyta.

Antra eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q klaidingas (mes jam nepadedame).

Implikacija klaidinga – mes savo pareigos neįvykdėme.

Trečia eilutė: p klaidingas (mūsų giminaitis neskursta), q teisingas (mes jį paremiame).

Implikacija teisinga (mes paremiame giminaitį). Juk niekas nedraudžia, tarkime, ką nors

padovanoti giminei.

Ketvirta eilutė: p klaidingas (giminaitis pasiturinčiai gyvena), q klaidingas (mes jo

niekaip neremiame). Implikacija teisinga, mūsų įsipareigojimas giminei nesulaužytas.

Dažniausia, kaip matėme, naudojama materialioji implikacija (joje neatsižvelgiama nei į

priežastinius, nei į būtinus ar kokius nors kitus antecendento ar konsekvento ryšius). Kadangi

(materialioje) implikacijoje abstrahuojamasi nuo visų prasminių ryšių, antecendentas ir

konsekventas nagrinėjami tik jų teisingumo požiūriu, tai materialiojoje implikacijoje jungtimi

“jei…, tai” galima jungti bet kokius teiginius. Svarbu tik tai, kad teiginiai būtų prasmingi, nors

jie gali priklausyti ir skirtingiausioms sritims.

Štai, tarkime, teiginiai, iš pažiūros prieštaraujantys sveikam protui:

Jei 2 x 2 = 4, tai ugnis karšta.

Jei 2 x 2 = 4, tai ugnis šalta.

25

Jei 2 x 2 = 5, tai ugnis karšta.

Jei 2 x 2 = 5, tai ugnis šalta.

Šių teiginių antecendentai ir konsekventai priklauso skirtingoms objektų sritims, tačiau iš

jų sudaryti teiginiai nėra beprasmiški (…). Trys teiginiai … yra teisingi. Klaidingas tėra tik

antras teiginys (jo konsekventas klaidingas). Čia visai nesvarbu ar antecendentai ir konsekventai

susiję kokiais nors ryšiais. Jei atsižvelgiama tik į antecendento ir konsekvento ryšį teisingumo

požiūriu, tai implikacine jungtimi “jei…, tai” galime jungti teiginius, priklausančius

skirtingiausioms sritims. Tokie atvejai pasitaiko ir moksluose (…). O šnekamojoje kalboje tai

sutinkame netgi neretai.

Pvz., “Jei Sovietų Sąjunga savanoriškai suteiktų Lietuvai laisvę, tai jūros išdžiūtų”.

Šiame teiginyje antecendentas ir konsekventas paimti iš skirtingų sričių. Jūros negali išdžiūti –

vadinasi konsekventas klaidingas. Tam, kad implikacija būtų teisinga, klaidingas turi būti ir

antecendentas. Šiuo teiginiu pasakoma, kad Sovietų Sąjunga niekad laisvanoriškai nepaleistų

Lietuvos – ji pirmiausia turėjo subyrėti.

Teiginius, priklausančius skirtingoms sritims, implikacijoje galima susieti taip pat

jungtimi “ir”, “arba”. Tarkime: “Panelė graži ir vynas saldus”.

Pakartojimui

1. Kokį teiginį vadiname implikacija?

2. Kas yra antecendentas ir konsekventas?

3. Sudarykite implikacijos teisingumo lentelę.

4. Kaip paaiškinti, kad iš klaidingo teiginio galima išvesti teisingą teiginį?

Pratimai

1. Perskaitykite išraišką (p q) (q r).

2. Konjunkcijos ir disjunkcijos narius galima sukeisti vietomis. Ar galima tai padaryti

implikacijoje?

3. Iš klaidingo teiginio “3 = 2” išveskite teisinga teiginį “3 = 3”.

8. LOGINIS EKVIVALIŠKUMAS (LYGIAVERTIŠKUMAS)

Du teiginiai, sujungti logine jungtimi “jei ir tik jei…, tai” vadinami ekvivalentiškais arba

lygiaverčiais.

Loginį lygiavertiškumą žymime ženklu ~. Išraiška

p ~ q

26

skaitoma dvejopai: 1) jei ir tik jei p, tai q;

2) p ekvivalentiškas (lygiavertiškas) q.

Teiginius “Visi konjunkcijos nariai teisingi” ir “Konjunkcija teisinga” sujungus jungtimi

“jei ir tik jei…, tai”, gausime loginį lygiavertiškumą: “Jei ir tik jei visi konjunkcijos nariai

teisingi, tai konjunkcija teisinga”.

Loginio lygiavertiškumo matrica tokia:

p q p ~ q

t t t

t k k

k t k

k k t

Pirma eilutė: p teisingas, q teisingas. Teiginys “Teisingumas lygiavertis teisingumui”

teisingas.

Antra eilutė: p teisingas, q klaidingas. Teiginys “Teisingumas lygiavertis klaidingumui”

klaidingas.

Trečia eilutė: p klaidingas, q teisingas. Teiginys “Klaidingumas lygiavertis teisingumui”

klaidingas.

Ketvirta eilutė: p klaidingas, q klaidingas. Teiginys “Klaidingumas lygiavertis

klaidingumui” teisingas.

Loginio lygiavertiškumo taisyklė tokia: du teiginiai logiškai lygiaverčiai, jei jų

teisingumo reikšmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi).

Teiginį “Jei ir tik jei mūsų giminaitis skusta, tai mes jam padedame” patikrinkime

teisingumo lentele, nustatydami, kada šią priedermę įvykdome ir kada ne.

Pirma eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q teisingas (mes jam padedame).

Teiginys “Jei ir tik jei mūsų giminaitis skursta, tai mes jam padedame” teisingas. Pažadas

įvykdytas.

Antra eilutė: p teisingas (mūsų giminaitis skursta), q klaidingas (mes jam nepadedame).

Pažadas neįvykdytas.

Trečia eilutė: p klaidingas (mūsų giminaitis skursta), q teisingas (mes jam padedame).

Pažadas neįvykdytas, nes mes buvome pažadėję padėti tik vienu atvejų, būtent, jei jis skurs.

Ketvirta eilutė: p klaidingas (mūsų pažįstamas neskursta), q klaidingas (mes jam

nepadedame). Pažadas ištesėtas.

Matome, kad loginis lygiavertiškumas skiriasi nuo implikacijos. Implikacija teisinga ir

trečioje eilutėje, o loginis lygiavertiškumas toje eilutėje klaidingas.

Loginis lygiavertiškumas – tai implikacija abiem kryptimi.

27

( p ~ q) ~ [(p q) (q p)].

Skaitome taip: teiginys “Jei ir tik jei p, tai q” lygiavertis teiginiui “Iš p seka q ir iš q seka p”.

Teiginys “Jei ir tik jei produktas atitinka Europos Sąjungos standartus, tai jis yra aukštos

kokybės” yra implikacija abiem kryptimis: “Jei produktas atitinka Europos Sąjungos standartus,

tai jis aukštos kokybės, ir jei produktas aukštos kokybės, tai jis atitinka Europos Sąjungos

standartus”.

Šnekamojoje kalboje loginis lygiavertiškumas reiškiamas įvairiais žodžių junginiais: “tik

tada”, “tada ir tik tada”, “tik tuo atveju” ir pan. Kartais jungčiai “jei…, tai” suteikiama jungties

“jei ir tik jei” reikšmė.

Išnagrinėję keturias logines jungtis, sudarysime bendrą jų teisingumo lentelę:

p q p q p V q p V q p q p ~ q

t t t k t t t

t k k t t k k

k t k t t t k

k k k k k t t

Ši matrica ko nors naujo nepateikia, čia tik vienoje vietoje pateikiamos visų loginių

jungčių teisingumo sąlygos. Konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, loginio lygiavertiškumo,

taip pat loginio neigimo teisingumo sąlygas būtina gerai žinoti. Jų nežinant, neįmanoma toliau

studijuoti logikos dalyką.

Pakartojimui

1. Kokius teiginius vadiname logiškai lygiaverčiais?

2. Kaip išraiška p ~ q skaitoma?

3. Kada du teiginiai logiškai lygiaverčiai?

4. Kodėl lygiavertiškumas yra implikacija abiem kryptimis?

Pratimai

Ar pakistų loginė teiginių prasmė, jungtį “jei…, tai” pakeitus jungtimi “jei ir tik jei…, tai”:

1. Jei mokate lietuvių kalbą, tai nesunkiai išmoksite latvių kalbą (pakistų).

2. Jei išraiška yra logikos dėsnis, tai ji visuomet teisinga (nepakistų).

9. SIMBOLINIO ŽYMĖJIMO SISTEMOS

Šiuolaikinę formaliąją (simbolinę) logiką kūrė įvairių šalių mokslininkai. Todėl

susiklostė skirtingos loginių veiksmų simbolinio žymėjimo tradicijos (sistemos). Tam, kad

28

nepasimestume šioje sistematikos įvairovėje, būtina bent jau žinoti jų ženklinius skirtumus. Štai

būdingiausios ženklų sistemos teiginių logikoje:

autoriai neigimas konjunkcija disjunkcija implikacija lygiavertiškumas

ŠrederisPirsas

p p q p + q p q p q

Peanas Raselas

~ p p q p V q p q p q

Hilbertas p p q p V q p q p ~ q

Lukasevičius N p K p q A p q C p q Ɛ p q

Kiti p p q

Galime atkreipti dėmesį į žymaus lenko J. Lukasevičiaus sukurtą vadinamąją beskliaustę

loginių veiksmų žymėjimo sistemą. Tarkime, joje išraiška p (p V q) užrašoma taip: C p A p

q. Išraiška ( p ~ q) ~ [(p q) (q p)] užrašoma Ɛ Ɛ p q K C p q C q p.

Šiuolaikinėje logikos literatūroje naudojamos įvairios loginių veiksmų simbolinio

žymėjimo sistemos.

Pratimai

Išraiška (p q) V (p q) užrašykite įvairių simbolinio žymėjimo sistemų ženklais.

10. SUDĖTINIŲ TEIGINIŲ NEIGIMAS

Neigti galima ne tik paprastus, bet ir sudėtinius teiginius. Sudėtinių teiginių neigimo

procedūra ta pati, kaip ir paprastų teiginių.

Konjunkcijos neigimas: (netiesa, kad p ir q).

Disjunkcijos neigimas: (netiesa, kad p arba q).

Implikacijos neigimas: (netiesa, kad iš p seka q).

Lygiavertiškumo neigimas: (netiesa, kad p lygiavertis q).

Panagrinėkime konjunkcijos neigimą. Tarkime turime teiginį “Netiesa, kad firmos A ir

firmos B gaminių reklama yra teisinga”. Ar tai reiškia, kad abiejų firmų reklamos yra

nepagrįstos? Ne, nereiškia. Manyti, kad abi firmos meluoja, reikštų sudaryti išraišką ~ (p

q ). Ją skaitome: teiginys “Netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne - p ir ne - g”1. Tačiau

išraiška ~ (p q ) nėra logikos dėsnis. Tai rodo jos teisingumo matrica:

p q p q p q p q ~ (p q )

t t k k t k k t

1 Išraiškos nereikia suskliausti, nes skliaustus atstoja neigimą žymįs brūkšnys.

29

t k k t k t k k

k t t k k t k k

k k t t k t t t

Ši matrica sudaryta remiantis tuo, kas jau žinoma. Turime du teiginius – p ir q. Parašome

visus galimus jų teisingumo ir klaidingumo atvejus. p irq teisingumo reikšmes išvedame,

remdamiesi loginiu neigimu: jei p teisingas, tai p klaidingas, ir t.t.Teiginio p q teisingumą

nustatome pagal p (pirmas stulpelis) ir q (antras stulpelis) teisingumo reikšmes. Konjunkcija

teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai. yra p q neigimas. Jei p q teisingas, tai

klaidingas, ir t.t. Teiginiop q reikšmę nustatome pagal p (trečias stulpelis) ir pagalq

(ketvirtas stulpelis) teisingumo reikšmes, taikydami konjunkcijos taisyklę. Paskutiniame lentelės

stulpelyje taikome lygiavertiškumo taisyklę: du teiginiai lygiaverčiai, kai jų reikšmės vienodos

(abu teisingi arba abu klaidingi). Tačiau teiginiai irp q antroje ir trečioje eilutėse

nevienodi savo reikšmėmis, o todėl ir nelygiaverčiai. Reiškia, išraiška ~ (p q ) nėra

visuomet teisingas teiginys, todėl nėra logikos dėsnis. Todėl ir teiginio “Netiesa, kad firmos A ir

firmos B gaminių reklama yra teisinga” negalime suprasti taip, kad abi reklamos melagingos. Ši

teiginį reikia suprasti taip: firma A savo reklamoje arba firma B savo reklamoje sako netiesą

(arba abi sako netiesa, nes silpnojoje disjunkcijoje numatoma, kad ir abu atvejai gali būti realūs).

Visa tai užrašome:

~ (p Vq ).

Šią išraišką skaitome: teiginys “Netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne - p arba ne -

q”. Patikrinsime matrica.

p q p q p q p Vq ~ (p Vq )

t t k k t k k t

t k k t k t t t

k t t k k t t t

k k t t k t t t

Paskutiniame matricos stulpelyje yra tik reikšmė “teisinga”, vadinasi, duotoji išraiška yra

visuomet teisingas teiginys, t.y. logikos dėsnis. Vadinasi, konjunkcijos neigimą suprantame

teisingai.

Panagrinėkime disjunkcijos neigimą. Teiginys “Netiesa, kad firmos A arba firmos B

reklama yra teisinga” reiškia ne tai, kad firmos A reklama neteisinga arba firmos B reklama

neteisinga, bet tai, kad A reklama neteisinga ir B reklama neteisinga:

~ (p Vq ).

Skaitome: teiginys “Netiesa, kad p arba q” lygiavertis teiginiui “Ne – p ir ne – q”.

30

Išraiškos

~ (p q ),

~ (p q )

vadinamos de Morgano taisyklėmis 1 . Skaitome pirmąją taisyklę: konjunkcijos neigimas

lygiavertis kiekvieno disjunkcijos nario neigimui. Skaitome antrąją taisyklę: disjunkcijos

neigimas lygiavertis kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.

Panagrinėkime implikacijos neigimą. Jis suprantamas taip:

~ (p q ).

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad iš p seka q”, lygiavertė išraiškai “p ir ne - q”.

Teiginys “Netiesa, kad jei Sovietų Sąjungoje buvo socialistinė santvarka, tai joje buvo

demokratija” lygiavertis teiginiui “Sovietų Sąjungoje buvo socialistinė santvarka ir joje nebuvo

demokratijos”.

Jau buvo nurodyta, kad lygiavertiškumas yra implikacija abiem kryptim.

Lygiavertiškumo neigimas reiškiamas taip:

~ [(p q) ].

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad p lygiavertis q” lygiavertė išraiškai “Jei iš p seka q, tai

netiesa, kad iš q seka p”.

Pakartojimui

1. Kaip reiškiamas sudėtinių teiginių neigimas?

2. Kam lygiavertis konjunkcijos neigimas?

3. Kam lygiavertis disjunkcijos neigimas?

4. Kam lygiavertis implikacijos neigimas?

Pratimai

1. Išraišką ~ (p q ) patikrinkite teisingumo lentele.

2. Ar teiginys “Jonas klydo ir Marytė klydo” užrašomas išraišką p q ? Ar teisinga, kad

jis lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad Jonas sakė tiesą ir aš sakiau tiesą?

3. Kam lygiavertis teiginys “Netiesa, kad jei Jonas klydo, tai aš klydau”?

11. TEIGINIŲ FORMALIZAVIMAS

Remiantis tuo, ką žinome apie logines jungtis ir loginį neigimą, lengvai galime

formalizuoti teiginius, t.y. užrašyti juos simbolių kalba.

1 A. de Morganas – XIX a. anglų matematikas, logikas, nustatęs šias taisyklės.

31

Formalizuokime teiginį “Jei nėra susitarimo, reguliuojančio žaliavos kainą, ir jei nėra

sutarties, nurodančios žaliavą teikiančio partnerio, tai firma pati gali rinktis partnerį ir mokėti už

žaliavą pasaulinės rinkos kainomis”. Nustatysime sudėtinį teiginį sudarančius paprastus

teiginius: “Nėra susitarimo, reguliuojančio žaliavos kainą” (p ); “Nėra sutarties, nurodančios

žaliavą teikiančio partnerio” (q ); “Firma pati gali rinktis partnerį” ( r ); “Firma gali pirkti

žaliavą rinkos kaina” ( s ). Loginės jungtys išsidėsto taip: jei … ir …, tai … ir … . Nagrinėjamo

teiginio struktūra tokia:

(p q ) ( r s ).

Pakartojimui

Formalizuokite teiginius:

1. Kai girdi samprotavimus, nepagrįstus faktais ir logiškais argumentais, įsitikinimus,

nepatvirtintus racionaliais samprotavimais, darai išvadą, kad kalbiesi su dogmatišku

pašnekovu, besivadovaujančiu išankstinėmis nuostatomis.

2. Jei netiesa tai, ką sako A, arba netiesa tai, ką sako B, tai netiesa, kad jų abiejų teiginiai

yra kartu teisingi.

12. SUDĖTINIO TEIGINIO TEISINGUMO REIKŠMĖS NUSTATYMAS, ŽINANT

PAPRASTŲ TEIGINIŲ TEISINGUMO REIKŠMES

Kadangi sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių

teisingumo reikšmių, tai žinant paprastų teiginių p, q, r … teisingumo reikšmes, lengvai galime

nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikšmę. Taikomos neigimo, konjunkcijos,

disjunkcijos, implikacijos, lygiavertiškumo taisyklės.

Tarkime, kad teiginyje ( p q ) r teiginys p teisingas (t), q klaidingas (k) ir r

klaidingas (k). Tai žinant, lengva nustatyti viso sudėtinio teiginio ( p q ) r teisingumo

reikšmę. Pirmiausia p, q, r pakeičiame ją teisingumo reikšmėmis. Kadangi p teisingas, tai jį

pakeičiame reikšme t (teisinga), q pakeičiame reikšme k (klaidinga), r pakeičiame taip pat

reikšme k (klaidinga). Gauname:

( t k ) k.

Atliekame veiksmą, nurodytą skliaustuose. Šis veiksmas – tai konjunkcija. Vienas

konjunkcijos narys klaidingas, vadinasi, konjunkcija klaidinga. Tai ir užrašome:

k k,

t,

nes, kai iš klaidingo teiginio seka klaidingas teiginys, tai implikacija teisinga. Tad pagal turimas

teisingumo reikšmes sudėtinis teiginys ( p q ) r teisingas.

32

Nustatysime išraiškos ( p ) q teisingumo reikšmę, kai abu pradiniai teiginiai p, q

klaidingi. Gauname:

( k ) k.

Taikome konjunkcijos taisyklę išraiškos daliai . Kadangi abu konjunkcijos nariai

klaidingi, tai konjunkcija klaidinga:

( ) k.

Taikome neigimo taisyklę. Neigiant klaidingumą, gauname reikšmę “teisinga”:

( t t ) k.

Dabar belieka taikyti implikacijos taisyklę. Kai iš teisingo seka klaidingas, implikacija

klaidinga:

k.

Vadinasi, išraiška ( p ) q, kai p ir q klaidingi, yra klaidinga.

Išnagrinėkime pavyzdį. Tėvas pasako teiginį: “Jei sūnus nusižengs, jis bus griežčiau ar

švelniau nubaustas”. Šį teiginį sudaro trys paprasti teiginiai: “Sūnus nusižengs” (p), “Jis bus

griežčiau nubaustas” (q), “Jis bus švelniau nubaustas” ( r ). Turime p ( q V r ). Kadangi šiame

tėvo teiginyje kalbama apie ateitį, tai, kai jis šį teiginį pasako, jis dar nėra nei teisingas, nei

klaidingas. Teisingu ar klaidingu jis taps po to, kai sūnus nusižengs ir tėvas jį baus ar nebaus.

Tarkime sūnus nusižengė (p teisingas), tėvas jį griežtai nubaudė (q teisingas), reiškia švelniai

nenubaudė (r klaidingas). Gauname:

t ( t V k ).

t t.

t.

Vadinasi, kai sūnus nusižengė ir tėvas jį griežčiau nubaudė, jo teiginys “Jei sūnus

nusižengs, jis bus griežčiau ar švelniau nubaustas” tapo teisingas.

Tarkime, kad sūnus nusižengė (p teisingas), tačiau tėvas jo nenubaudė nei griežčiau nei

švelniau, t.y. q klaidingas ir r klaidingas. Gauname:

t ( k V k ).

t k.

k.

Vadinasi, jei sūnus nusižengė, o tėvas jo nenubaudė nei griežtai nei švelniai, minėtas

teiginys klaidingas.

Pratimai

1. Nustatykite teiginio p ( p q ) teisingumo reikšmę, jei p klaidingas, o q teisingas.

33

2. Nustatykite išraiškos ( p V q q ) q teisingumo reikšmę, jei p klaidingas ir q

klaidingas.

13. LOGINIŲ JUNGČIŲ PAKEITIMAS

Jau žinote, kad nepaisant to, kokiomis gramatinėmis priemonėmis teiginiai sujungti

tarpusavyje, loginiu požiūriu jie tegali būti sujungti keturiomis loginėmis jungtimis. Tačiau

pasirodo, kad vienas logines jungtis galima pakeisti kitomis. Galimi trys atvejai:

1) galima išsiversti tik su konjunkcija ir neigimu;

2) galima išsiversti tik su disjunkcija ir neigimu;

3) galima išsiversti tik su implikacija ir neigimu.

Jungties “jei ir tik jei …, tai” nepakanka išreikšti kitoms jungtims. Panagrinėsime loginių jungčių

pakeitimą konjunkcija ir neigimu.

Disjunkcijos pakeitimas konjunkcija ir neigimu:

( p V q ) ~

Skaitome: išraiška “p arba q” lygiaverti išraiškai “Netiesa, kad ne – p ir ne - q”

Teiginys “ALGOL yra kompiuterinė kalba arba MALGOL yra kompiuterinė kalba”

lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad ALGOL ne kompiuterinė kalba arba MALGOL ne

kompiuterinė kalba”. Teisingumo lentele lengva įrodyti, kad išraiškos p V q ir lygiavertės.

Implikacijos pakeitimas konjunkcija ir neigimu:

( p q) ~ .

Skaitome: “Iš p seka q” lygiavertiška “Netiesa, kad p ir ne – q”.

Teiginys “Jei gerai studijuosi, tai gausi stipendiją” lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad jei

gerai studijuosi, tai negausi stipendijos”.

Ekvivalentiškumo pakeitimas konjunkcija ir neigimu:

( p ~ q ) ~ ( ).

Skaitome išraiška “p lygiavertis q” lygiavertė išraiškai “Netiesa, kad p ir ne - q, ir

netiesa, kad q ir ne – p”.

Ši formulė išvedama taip. Jau žinome, kad lygiavertiškumas yra implikacija abiem

kryptimis: ( p ~ q ) ~ [( p q ) ( q p )]. Šioje išraiškoje p q ir q p tereikia pakeisti

konjunkcija ir neigimu, ir gauname lygiavertiškumo pakeitimą konjunkcija ir neigimu.

Apžvelgsime jungčių pakeitimą disjunkcija ir neigimu.

Konjunkcijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu:

( p q ) ~ .

Skaitome: “p ir q” lygiavertiška “Netiesa, kad ne – p arba ne – q”.

34

Teiginys “Žodis “stalas” – daiktavardis ir žodis “kėdė” – daiktavardis” lygiavertis

teiginiui “Netiesa, kad žodis “stalas” ne daiktavardis arba žodis “kėdė” ne daiktavardis”.

Implikacijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu:

( p q ) ~ ( V q ).

Teiginys “Jei šiandien ateisi, pavaišinsiu tave arbata” lygiavertis teiginiui “Šiandien

neateisi arba pavaišinsiu tave arbata”. Šnekamojoje kalboje implikacijos pakeitimas disjunkcija

skamba kiek neįprastai, tačiau patikrinimas matrica rodo, kad toks pakeitimas visiškai teisėtas.

Lygiavertiškumo pakeitimas disjunkcija ir neigimu:

( p ~ q ) ~ .

Skaitome: išraiška “p lygiavertis q” lygiavertė išraiškai “Netiesa, jog netiesa, kad ne – p

arba q, arba netiesa, kad ne – q arba p”.

Ši sudėtinga išraiška išvedama taip. Žinoma, kad lygiavertiškumas yra implikacija dviem

kryptims. Implikaciją reikia pakeisti disjunkcija ir neigimu, o paskui konjunkciją pakeisti

disjunkcija ir neigimu.

Panagrinėsime loginių jungčių pakeitimą implikacija ir neigimu.

Konjunkcijos pakeitimas implikacija ir neigimu:

( p q) ~ .

Teiginys “Studentas K yra vadybininkas, ir studentas L yra mechanikas” lygiavertis

teiginiui “Netiesa, kad jei studentas K vadybininkas, tai studentas B ne mechanikas”.

Disjunkcijos pakeitimas implikacija ir neigimu:

( p V q ) ~ ( q ) .

Tarkime pranešta, kad apie 18 val. sporto salėje bus arba studentas A arba studentas B.

Jei informacija teisinga, tai atėję į sporto salę ~ 18 val. rasime arba studentą A arba studentą B.

Lygiavertiškumo pakeitimas implikacija ir neigimu:

( p ~ q ) ~ .

Skaitome: išraiška “p lygiavertis q” lygiavertė išraiškai “Netiesa, kad jei iš p seka q, tai

iš q neseka p”.

Šitaip vienos loginės jungtys pakeičiamos kitomis. Tačiau teoriškai galima eiti dar toliau.

Pasirodo, kad pakanka tik vieno loginio ženklo, kad juo būtų galima pakeisti visas jungtis. Tas

ženklas vadinamas Šeferio štrichu 3 ir žymimas ženklu. Išraiška pq skaitoma: p nesuderinamas

su q. Teiginys “p nesuderinamas su q” reiškia, kad p ir q negali būti kartu teisingi, t.y. .

Pagal de Morgano taisyklę, ~ ( V ). Disjunkciją pakeitus implikacija, turime ( V )

~ ( p ). Vadinasi,

pq ~ ~ ( V ) ~ ( p ).

3 H. M. Šeferis – amerikiečių logikas, 1913 m. įvedęs šį veiksmą.

35

Šitaip iš žodžio “nesuderinama” išvedėme konjunkciją, disjunkciją ir implikaciją. Šeferio

štrichas panaudojamas techninėje logikoje, kai loginius veiksmus atlieka kompiuteriai.

Neigimas ir loginės jungtys Šeferio štrichu užrašomos taip:

~ ( pq ).

( p q ) ~ [(pq) (pq)].

( p V q ) ~ [(pp) (qq)].

( p q ) ~ [p (qq)].

Nesuderinamumo veiksmas reiškiamas matrica:

p q p q

t t k

t k t

k t t

k k t

Lygiai tokia pati yra išraiškos matrica bei kitų išraiškai pq lygiaverčių teiginių

matricos. Paskutinioji pateiktosios matricos eilutė nurodo, kad vienas klaidingas teiginys gali

būti nesuderinamas su kitu klaidingu teiginiu. Tarkime, jei kažkas tvirtina, kad Petras yra baigęs

VGTU, o kitas sako, kad Petras yra baigęs VU, tai jie abu gali klysti, nes Petras gali būti baigęs

Oksfordo universitetą.

Pakartojimui

1. Kaip jungtys pakeičiamos konjunkcija ir neigimu?

2. Kaip jos pakeičiamos disjunkcija ir neigimu?

3. Kaip jos pakeičiamos implikacija ir neigimu?

4. Kas yra Šeferio štrichas?

Pratimai

1. Išraiškoje ( p q ) ( q p ) konjunkciją pakeiskite disjunkcija.

2. Turime išraišką ( p V q ) r . Reikia:

a) implikaciją pakeisti konjunkcija. Gauname . Ar teisingai pakeista?

b) implikaciją pakeisti disjunkcija. Gauname V r. Ar teisingai pakeista?

14. DVEJYBIŠKUMAS

Loginių jungčių pakeitimas rodo, kad kiekvieną teiginių logikos išraišką galima

pertvarkyti taip, kad ją sudarytų tik trys veiksmai: konjunkcija, disjunkcija ir neigimas. Veiksmai

“ “ ir “ V “ vadinami dvejybiškais, t. y. konjunkcija dvejybiška disjunkcijai ir atvirkščiai.

36

Dvi išraiškos vadinamos dvejybiškomis, jei viena gaunama iš kitos, kiekvieną veiksmą

pakeitus dvejybišku veiksmu. Antai išraiškos

( p q ) V r ir ( p V q ) r;

V ( r ) ir ( r V )

yra dvejybiškos. Teisingumas ir klaidingumas – taip pat dvejybiški (dualai). Nesikeičia tik

neigimas – jis vadinamas savaime dvejybišku.

Dvejybiškumo principas teigia: jei dvi išraiškos lygiavertės joms dvejybiškos išraiškos

taip pat lygiavertės.

Pvz.: ~ ( V ). Pagal dvejybiškumo principą gauname: ~ ( ). Arba

~ ( p q ). Iš to seka, kad ~ ( p V q ).

Visuomet teisingo teiginio dualas yra visuomet klaidingas teiginys. Antai išraiškos

dualas yra išraiška , kuri visuomet klaidinga.

Pakartojimui

1. Kada dvi išraiškos vadinamos dvejybiškomis?

2. Ką teigia dvejybiškumo principas?

Pratimai

1. Ar iš išraiškos ~ ( q ) pagal dvejybiškumo principą seka ~ ( V q )?

2. Ar iš ( p V q ) r seka ( p q ) V r?

15. TEIGINIŲ LOGIKOS DĖSNIAI

Teiginių logikos dėsnių yra labai daug. Tai rodo, kad žmogus turi didelę įvairovę

priemonių tikrovei pažinti.

Pateiksime kai kuriuos teiginių logikos dėsnius, turinčius svarbesnę reikšmę.

Dvigubo neigimo dėsnis:

~ p.

Dvigubas neigimas lygiavertis teigimui.

Prieštaravimo dėsnis:

.

Teiginys negali būti kartu ir teisingas ir neteisingas. (Išraiška p yra visuomet

klaidinga. “Stalas yra kambaryje ir stalo nėra kambaryje”).

Negalimo trečiojo dėsnis:

p V .

37

Teiginys p teisingas arba jo neigimas ne – p teisingas – trečios galimybės nėra. Arba:

kiekvienas teiginys arba teisingas arba klaidingas – trečios galimybės nėra. (Tertium non datur).

Iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys:

p ( q ).

Skaitome: jei p tai iš ne – p seka q. Kitaip tariant, jei turime teiginį p ir nustatome, kad jis

klaidingas ( ), tai iš seka bet kuris kitas teiginys q. Iš klaidingo seka bet kas.

Teisingas teiginys seka iš bet kurio kito teiginio (teisingo arba klaidingo):

p ( q p ),

skaitome: jei p, tai iš q seka p. Kitaip tariant, jei turime teisingą teiginį p, tai jis seka iš bet kokio

teiginio q (teisingo arba klaidingo). (Antecendentas ir konsekventas).

Loginis ekvivalentiškumas (lygiavertiškumas):

Du teiginiai logiškai lygiaverčiai, jei jų teisingumo reikšmės vienodos (abu teisingi arba abu

klaidingi).

p ~ q.

Skaitome dvejopai: 1) jei ir tik jei p, tai q; 2) p ekvivalentiškas q.

“Jei ir tik jei visi konjunkcijos nariai teisingi, tai konjunkcija teisinga”.

De Morgano taisyklės:

~ ( V ).

~ ( ).

Skaitome: teiginys “Netiesa, kad p ir q” lygiavertis teiginiui “Ne – p arba ne – q”. Ir: “Netiesa,

kad p arba q” lygiavertis teiginiui “Ne – p ir ne – q”.

De Morgano taisyklės: 1) konjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno disjunkcijos nario

neigimui; 2) disjunkcijos neigimas lygiavertis kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.

Šiuos dėsnius nagrinėjome jau ankščiau. Dabar pateiksiu naujų teiginių logikos dėsnių.

Suprastinimo dėsniai:

( p p ) ~ p.

( p V p ) ~ p.

Suprastinimo dėsniai įgalina išvengti tuščiažodžiavimo, betikslio tų pačių minčių

kartojimo: kiek bekartotume tą patį teiginį p, jis logiškai tera lygiavertis vienam teiginiui p. Kiek

bekartosime “Aš žinau”, “Aš žinau” – nieko naujo nepasakysime. Bet kaip kartais reikia kartoti

ir kartoti “Myliu tave”, “myliu tave” – kaip nelogiška, bet svarbu… Gyvenimas visuomet

daugiau negu logika.

Kiti suprastinimo dėsniai:

( p teisingas teiginys ) ~ p.

( p klaidingas teiginys ) ~ klaidinga.

38

Šie suprastinimo dėsniai išvedami iš konjunkcijos taisyklės. Jei p reikšmės nežinome, o

koks nors kitas teiginys teisingas, tai šių teiginių konjunkcija turi teiginio p reikšmę. Vadinasi,

dar reikia nustatyti, teisingas ar klaidingas teiginys p. Jei teiginio p reikšmės dar nežinome, bet

žinome, kad antrasis teiginys klaidingas, tai šių teiginių konjunkcija klaidinga. Tokiu atveju jau

nebereikia nustatyti p reikšmės.

( p V teisingas teiginys ) ~ teisinga.

( p V klaidingas teiginys ) ~ p.

( p teisingas teiginys ) ~ teisinga.

Šie suprastinimo dėsniai sudaryti, remiantis disjunkcijos ir implikacijos teisingumo

taisyklėmis.

Išskaidymo dėsniai:

p ~ [( p q ) V ( p )].

p ~ [( p V q ) ( p V )].

Skaitome pirmąją išraišką: teiginys p lygiavertis teiginiui “p ir q arba p ir ne – q”.

Skaitome antrąją išraišką: teiginys p lygiavertis teiginiui “p arba q ir p arba ne – q”.

Šie dėsniai parodo, kad prie teiginio p galima tam tikru būdu prijungti bet kurį kitą

teiginį, nepakeičiant p teisingumo reikšmės.

Teiginys “Algis važiuoja atostogauti” lygiavertis teiginiui “Algis važiuoja atostogauti ir

jo draugė važiuoja atostogauti, arba Algis važiuoja atostogauti ir jo draugė nevažiuoja

atostogauti”. Antruoju atveju teiginys “Algis važiuoja atostogauti” lygiavertis teiginiui “Algis

važiuoja atostogauti arba jo draugė važiuoja atostogauti, ir Algis važiuoja atostogauti arba jo

draugė nevažiuoja atostogauti”.

Remdamiesi griežtosios disjunkcijos teisingumo taisykle, gauname dėsnį:

[( p V q ) p ] .

Skaitome: jei gali būti teisingas tik p arba tik q ir nustatyta, kad p teisingas, tai q

klaidingas.

Pvz.: rytoj eisiu į paskaitas pėsčias arba važiuosiu troleibusu. Nusprendžiau važiuoti

troleibusu. Taigi pėsčias neisiu.

[( p V q ) ] q.

Skaitome: jei disjunkcija p V q teisinga ir p klaidingas, tai q teisingas.

Pvz.: tikrai žinome, kad mus dominanti informacija yra viename iš dviejų internetinių

adresų tokiame puslapyje. Surandame viename iš adresų nurodytą puslapį. Pasirodžius, kad tame

puslapyje nėra mus dominančios informacijos, mes žinome, kad ji bus kitu adresu.

Panašiai galima samprotauti, vartojant ir silpnąją disjunkciją:

[( p V q ) ] q.

39

Remiantis silpnosios disjunkcijos taisykle, gaunami šie dėsniai:

p ( p V q ).

q ( p V q ).

Šie dėsniai abejonių nekelia. Jie teigia, kad prie teisingo teiginio disjunktyviai galima

prijungti bet kurį kitą teisingą teiginį, nes silpnoji disjunkcija teisinga, jei vienas jos narys

teisingas.

Įvairių dėsnių galima gauti, remiantis implikacijos teisingumo taisykle.

Antecendento teigimo dėsnis:

[( p q ) p ] q.

Skaitome: jei implikacija p q teisinga ir antecendentas p teisingas, tai konsekventas q

taip pat teisingas.

Pvz.: “Jei įstatymo projektui pritaria dauguma seimo narių, tai įstatymas priimtas.

Įstatymo projektui pritarė dauguma seimo narių. Vadinasi, įstatymas priimtas”.

Konsekvento neigimo dėsnis:

[( p q ) ] .

Skaitome: jei implikacija p q teisinga ir konsekventas q klaidingas, tai antecendentas p

taip pat klaidingas.

Aptarkime tą pačią implikaciją “Jei įstatymo projektui pritaria dauguma seimo narių, tai

įstatymas priimtas”. Neigiame konsekventą – “Įstatymas nebuvo priimtas”. Iš to seka, kad turime

neigti antecendentą – “Įstatymo projektui nepritarė dauguma Seimo narių”.

Kontrapozicijos dėsnis:

( p q ) ( ).

Skaitome: jei iš p seka q, tai iš ne – q seka ne – p. Galima skaityti ir taip: jei iš p seka q,

tai jei konsekventas klaidingas, klaidingas ir antecendentas. Kontrapozicijos atveju išvadoje

tereikia prielaidos antecendentą ir konsekventą sukeisti vietomis ir juos abu neigti.

Pvz.: “Jei firmos produktas buvo nupirktas, tai jo kokybė ir kaina geri”. Iš to seka, kad jei

produkto kokybė ir kaina netikę, tai jis nebuvo nupirktas”.

Implikacijos pereinamumas:

[( p q ) ( q r )] ( p r ).

Skaitome: jei iš p seka q ir iš q seka r, tai iš p seka r.

“Jei vystosi mokslas, tai auga technologinė pažanga. Jei auga technologinė pažanga, tai

kyla ekonomikos lygis. Vadinasi, jei vystosi mokslas, tai kyla ekonomikos lygis”. Implikacijos

pereinamumo dėsnis nurodo, kad jei koks nors teiginys seka iš konsekvento, tai jis seka ir iš

40

antecendento. Kartais šis dėsnis užrašomas: ( p q ) [( q r ) ( p r )]. Skaitome: jei iš

p seka q, tai jei iš q seka r, tai iš p seka r.

Prieštaravimo išvedimas:

( p ) .

Skaitome: jei iš teiginio p seka jo neigimas ne – p, tai ne – p teisingas.

Pvz.: atėję į egzaminą, manome, kad turime špargelkę. Išvertę kišenes, įsitikiname, kad

špargalkės neturime, pamiršome namie. Taigi špargalkės nėra – šakės.

Išraiška ( p ) yra svarbus teiginių logikos dėsnis. Juo remiantis galima išspręsti

vadinamąjį laisvės paradoksą. Jis sako, kad neribota laisvė ima pati sau prieštarauti, ir todėl

laisvę reikia apriboti. Jei teigsime, kad viskas leistina, tai leistina ir neigti teiginį, kad viskas

leistina. O jei leistina neigti, kad viskas leistina, vadinasi, ne viskas leistina. Tad jei iš teiginio

(“viskas leistina”) seka jo neigimas (“ne viskas leistina”), tai tas teiginys (“viskas leistina”)

klaidingas, o jo neigimas (“ne viskas leistina”) teisingas. Panašiai Sokratas paneigia Protagoro

teiginį, kad kiekvienas teiginys teisingas, kad reikia tik mokėti teiginį argumentuoti, ir juo visi

patikės. Jei Protagoro teiginys “Kiekvienas teiginys teisingas” yra tiesa, tai teisingas taip pat ir jo

priešininkų teiginys – “Ne kiekvienas teiginys teisingas”. Tai jei iš teiginio “Kiekvienas teiginys

teisingas” seka jo neigimas “Ne kiekvienas teiginys teisingas”, tai teisingas yra teiginys “Ne

kiekvienas teiginys yra teisingas”.

Tą pačią prasmę, kaip pateiktoji, turi ir ši išraiška:

( p ) p.

Skaitome: jei iš ne – p seka p, tai p teisingas.

Konsekvento nepriklausomybė nuo antecendento:

[( p q ) ( q )] q.

Skaitome: jei iš p seka q ir iš ne – p seka q, tai q teisingas.

Šioje išraiškoje teigiama, kad teiginys q teisingas nepriklausomai nuo to, ar p teisingas,

ar ne – p teisingas. “Jei išlaikysiu paskutinį sesijos egzaminą, vyksiu atostogų į Palangą. Jei

neišlaikysiu paskutiniojo egzamino vyksiu atostogauti į Palangą. Taigi važiuosiu atostogų į

Palangą” (nepriklausomai nuo to, ar išlaikysiu paskutinį egzaminą ar ne).

Kas nesuderinama su konsekventu, nesuderinama ir su antecendentu:

( p q ) ( ).

Skaitome: jei iš p seka q, tai jei q nesuderinamas su r, tai p nesuderinamas ir su r.

Pvz.: jei asmuo studijuoja universitete, tai jis turi laikytis Universiteto statuto. Iš to seka,

kad jei Universiteto statutas nesuderinamas su amoraliu elgesiu, tai studijavimas universitete

nesuderinamas su nusirašinėjimu egzaminu metu.

Antecendentų jungimo dėsnis:

41

[( p q ) ( q r )] [( p V q ) r].

Skaitome: jei iš p seka q ir iš q seka r, tai iš p V q seka r.

“Jei į namus vyksiu autobusu, kelionė truks dvi valandas. Jei į namus vyksiu traukiniu, tai

kelionė taip pat truks dvi valandas. Taigi jei į namus vyksiu autobusu ar traukiniu, kelionė truks

dvi valandas”.

Konsekventų jungimo dėsnis:

[( p q ) ( p r )] [ p ( q r )].

Skaitome: jei iš p seka q ir iš p seka r, tai iš p seka q ir r.

“Jei A buvo Berlyne, tai su juo kartu buvo B, ir jei A buvo Berlyne, tai su juo buvo C.

Vadinasi, jei A buvo Berlyne, tai kartu su juo buvo B ir C”.

Antecendentų ir konsekventų jungimo dėsnis:

[( p q ) ( r s )] [( p r ) ( q s )].

Skaitome: jei iš p seka q ir iš r seka s, tai iš p ir r seka q ir s.

Šiame dėsnyje dviejų implikacijų antecendentai ir konsekventai sujungiami konjunkcija.

“Jei vakar buvo pirmadienis, tai šiandien antradienis, ir jei rytoj trečiadienis, tai poryt

ketvirtadienis. Iš to seka, kad jei vakar buvo pirmadienis ir rytoj trečiadienis, tai šiandien

antradienis ir poryt ketvirtadienis”.

Konsekventų ir antecendentų nesuderinamumo dėsnis:

[( p q ) ( r s)] ( ).

Skaitome: jei iš p seka q ir iš r seka s, tai jei q nesuderinamas su s, tai p nesuderinamas

su r.

Šis dėsnis nurodo, kad jei dviejų implikacijų konsekventai nesuderinami (negali kartu

būti teisingi), tai nesuderinami ir tų implikacijų antecendentai.

“Jei dėstytojas kalba nuobodžiai, tai studentus ima miegas, ir jei dėstytojas nuolat vartoja

nesuprantamus terminus, tai studentus tas pykina. Iš to seka, kad jei netiesa, kad studentus ima

miegas ir dėstytojo kalba juos pykina, tai netiesa, kad dėstytojas dėsto nuobodžiai ir vartoja

nesuprantamus terminus”.

Pakartojimui

1. Aptarkite suprastinimo ir išskaidymo dėsnius.

2. Kokius žinote dėsnius, pagrįstus disjunkcijos taisykle?

3. Nurodykite dėsnius, pagrįstus implikacijos taisykle.

Pratimai

Suskirskite teiginių logikos dėsnius į 4 klases:

42

1) turinčius vieną kintamąjį (p);

2) turinčius du kintamuosius (p, q);

3) turinčius trys kintamuosius (p, q, r);

4) turinčius keturis kintamuosius (p, q, r, s).

16. TEIGINIŲ LOGIKOS TAIKYMAS SAMPROTAVIMUOSE.

(ŠNEKAMOSIOS KALBOS FORMALIZAVIMAS).

Samprotavimą sudaro trys dalys: prielaidos, išvada ir išvedimo taisyklė.

Prielaidos yra pradiniai samprotavimo teiginiai.

Išvada yra tas teiginys, kuris gaunamas iš prielaidų.

Išvedimo taisyklė įgalina iš prielaidų padaryti išvadą.

Iš tam tikrų prielaidų daroma ne bet kokia, bet tam tikra išvada. Tai padaryti įgalina toji

išvedimo taisyklė, kuria remiamasi samprotavimuose. Išvedimo taisyklėmis būna logikos dėsniai

arba kokios nors kitos taisyklės.

Panagrinėkime samprotavimą:

Jei dėstytojas nepatraukliai dėsto ( ), tai studentai nestudijuoja produktyviai ( ).

Dėstytojas dėsto nepatraukliai ( ).________________________________________Vadinasi, studentai nestudijuoja produktyviai ( ).

Pirmieji du teiginiai yra šio samprotavimo prielaidos, o išvada nuo jų atskirta brūkšniu.

Šiame samprotavime taikomą logikos dėsnį galima surasti, formalizavus samprotavimą,

nustačius jo loginę struktūrą. Gauname:

prielaidos .

.___________

išvada Vadinasi, .

Logikos išraiškos rašomos vienoje eilutėje. Tuo tikslu prielaidas reikia sujungti

konjunkcijos ženklu, o išvadą prie prielaidų prijungti implikacijos ženklu, nes išvada seka iš

prielaidų. Pateikto samprotavimo loginė struktūra vienoje eilutėje užrašoma taip: [( ) ]

. Ši išraiška ir yra toji išvedimo taisyklė, kuria remiamasi, iš prielaidų darant išvadą

(antecendento teigimo dėsnis – jei antecendentas teisingas, tai teisingas ir konsekventas).

Kiek prielaidų sudaro samprotavimą? Samprotavime mažiausiai turi būti dvi prielaidos.

Bet gali būti dvi, trys, keturios ir t.t. prielaidos.

Turime vieną prielaidą: “Jei paskaita prasidėjo, tai dėstytojas yra auditorijoje”. Šią

prielaidą sudaro du paprasti teiginiai, sujungti implikacija: p q. Iš šios prielaidos galima gauti

išvadą, panaudojus kontrapozicijos dėsnį: ( p q ) ( ). Tad iš prielaidos “Jei paskaita

43

prasidėjo, tai dėstytojas yra auditorijoje” seka išvada “Jei dėstytojo auditorijoje nėra, tai paskaita

neprasidėjo”.

Tarkime turime tris teiginius: “Kaupiasi debesys” (p); “Kyla vėjas” (q); “Prasideda

audra” (r). Iš šių teiginių sudarykime sudėtinį teiginį: “Jei kaupiasi debesys ir kyla vėjas, tai

prasideda audra”. Laikykime šį teiginį prielaida ir padarykime iš jos išvadą. Pirmiausia

nustatome, kad prielaidos loginė struktūra tokia: ( p q ) r. Šios išraiškos daliai q r

taikykime kontrapozicijos dėsnį. Gauname: . Vadinasi, iš prielaidos ( p q ) r darome

išvadą ( p ) . Sujungę prielaidą ir išvadą implikacija, gauname: [( p q ) r] [( p )

]. Taigi iš prielaidos “Jei kaupiasi debesys ir kyla vėjas, tai prasideda audra”, darome išvada

“Jei kaupiasi debesys ir nekyla audra, tai vėjas nekyla”.

Būtina pažymėti, kad iš tos pačios prielaidos, panaudojant skirtingus logikos dėsnius,

galima gauti skirtingas išvadas. Iš prielaidos “Jei internetinė svetainė įdomi, tai joje daug kas

lankosi” galima daryti įvairias išvadas. Panaudojus dėsnį, kas nesuderinama su konsekventu,

nesuderinama su antecendentu – ( p q ) ( ) – ir r pakeitus teiginiu “Interneto

svetainė užmiršta”, skaitome: “Iš to kad interneto svetainė įdomi ir joje daug kas lankosi, seka,

kad jei netiesa, kad svetainėje daug kas lankosi ir ji yra užmiršta, tai netiesa, kad internetinė

svetainė įdomi ir ji yra užmiršta”.

Panaudojus implikacijos pereinamumo dėsnį ( p q ) [( q r ) ( p r )] ir r

pakeitus teiginiu “Pravartu turėti kelias įdomias svetaines”, skaitome: iš prielaidos “Jei interneto

svetainė įdomi, tai joje daug kas lankosi” seka išvada “Iš to, kad interneto svetainėje daug kas

lankosi, tai pravartu turėti kelias įdomias svetaines, seka, kad jei interneto svetainė įdomi, tai

pravartu turėti kelias įdomias interneto svetaines”.

Teiginių logika sėkmingai taikoma sudėtingiems klausimams, sudėtingoms situacijoms

spręsti. Išnagrinėsime tokį atvejį. Tarkime, kad tam tikrą nusikaltimą galėjo padaryti tik vienas iš

keturių įtariamų asmenų: K, L, M, N. K teigia, kad nusikaltimą padarė L; L teigia, kad

nusikaltimą padarė N; M sako, kad jis nepadarė nusikaltimo; N sako, kad jis nepadarė

nusikaltimo. Kas padarė nusikaltimą, jei yra žinoma, kad tik vienas iš keturių teiginių teisingas?

Kiekvieno asmens parodymus žymėsime atskiru simboliu: nusikaltimą padarė L (L);

nusikaltimą padarė N (N); M nepadarė nusikaltimo ( ); N nepadarė nusikaltimo ( ). Taigi

turime keturis teiginius: L, N, , .

Tarkime, kad teisingas teiginys L (nusikaltimą padarė L). Jei L teisingas, tai pagal

sąlygą, visi kiti trys teiginiai turi būti klaidingi. Jei L teisingas, tai N (nusikaltimą padarė N)

klaidingas: L . Tai atitinka sąlygą. Jei L teisingas, tai (M nepadarė nusikaltimo)

klaidingas. Tada turime neigti ( ). Žinome, kad dvigubas neigimas lygiavertis teigimui:

~ M. Tačiau M reiškia: nusikaltimą padarė M. Išeina, kad nusikaltimą padarė dar ir antras

44

asmuo, bet tai prieštarauja sąlygai. Vadinasi prielaida, kad L teisingas (nusikaltimą padarė L)

atkrinta, nustatome, kad L nusikaltimo nepadarė.

Tarkime, kad teisingas teiginys N (nusikaltimą padarė N). Susidaro ta pati situacija, kaip

ir aukščiau pateiktoji. Jei N teisingas, tai klaidingas. O dvigubas neigimas tolygus teigimui:

“Netiesa, kad M nepadarė nusikaltimo” lygiavertis teigimui “M padarė nusikaltimą”. Vėl išeina,

kad nusikaltimą padarė dar ir antras asmuo. Taigi nustatome, kad teiginys N klaidingas ir N

nusikaltimo nepadarė.

Tarkime, kad teisingas teiginys (M nepadarė nusikaltimo). Pagal sąlygą, visi likusieji

teiginiai turi būti klaidingi: L (nusikaltimą padarė L) klaidingas, vadinasi, L nepadarė

nusikaltimo; N (nusikaltimą padarė N) klaidingas, vadinasi, N nepadarė nusikaltimo;

(nusikaltimo N nepadarė) klaidingas, vadinasi, N padarė nusikaltimą. Gavome aiškų

prieštaravimą: N nepadarė nusikaltimo ir N padarė nusikaltimą. Teiginys, iš kurio seka

prieštaravimas, yra klaidingas. Vadinasi, prielaida (M nepadarė nusikaltimo) klaidinga, ir

nusikaltimą padarė M.

Kad nusikaltimą padarė M, įrodo ir paskutiniojo atvejo patikrinimas. Tarkime, kad (N

nepadarė nusikaltimo) teisingas. Tada L (nusikaltimą padarė L) klaidingas, N (nusikaltimą

padarė N) klaidingas, (M nepadarė nusikaltimo) klaidingas, vadinasi M padarė nusikaltimą.

Pakartojimui

1. Kas sudaro samprotavimą?

2. Ką vadiname prielaidomis ir ką – išvadomis?

3. Koks dėsnio vaidmuo samprotavimuose?

4. Kokiu ženklu sujungiamos prielaidos ir kokiu ženklu prie prielaidų prijungiama išvada?

Pratimai

17. IŠSPRENDŽIAMUMO PROBLEMA

Visos loginės išraiškos skirstomos į tris grupes.

1. Visuomet teisingos išraiškos. Jos yra logikos dėsniai. Kai samprotavimas įgauna

logikos dėsnio formą, išvada visuomet esti teisinga (esant teisingoms samprotavimo

prielaidoms).

2. Visuomet klaidingos išraiškos. Jos yra logikos dėsnių neigimas. Kai samprotavimas

įgauna visuomet klaidingos išraiškos formą, teisinga išraiška niekuomet negaunama.

3. Kartais teisingos (atitinkamai – kartais klaidingos) išraiškos. Kai samprotavimas

įgauna šios išraiškos formą, tai gaunama teisinga arba klaidinga išvada. Kada gaunama teisinga

45

išvada ir kada klaidinga – dėsningumo nėra. Tai priklauso tik nuo objektų, apie kuriuos

samprotaujama.

Išsprendžiamumo problemos esmė yra ta, kad, panaudojus apibrėžtą loginių veiksmų

skaičių, galima nustatyti, ar nagrinėjamoji išraiška yra visuomet teisinga, ar visuomet klaidinga,

ar kartais teisinga (atitinkamai – kartais klaidinga).

Išsprendžiamumo problema yra pagrindinė kiekvienos loginės teorijos problema.

Kiekvienoje loginėje teorijoje nustatoma, kokios išraiškos joje laikomos bendrareikšmėmis, t.y.

dėsniais.

Teiginių logikoje išsprendžiamumo problemą galima spręsti keliais būdais. Išnagrinėsime

du būdus: vartojant matricų metodą ir suteikiant išraiškai normaliąją formą.

IŠSPRENDŽIAMUMO PROBLEMOS SPRENDIMAS MATRICŲ METODU.

Jau ankščiau išraiškų teisingumą nustatydavome matricomis. Panagrinėkime šį samprotavimą:

Netiesa, kad teorija S ir teorija S1 teisinga.

Nustatyta, kad teorija S klaidinga._______

Vadinasi, …

Kokia išvada seka iš šių prielaidų? Tarkime, kad kas nors samprotauja taip: jei dvi

teorijos nėra abi kartu teisingos ir viena iš jų yra klaidinga, tai antroji teorija teisinga. Tikrinant,

ar ši išvada teisinga, pirmiausia reikia samprotavimą formalizuoti. Teiginį “Teorija S teisinga”

pažymėkime raide p, teiginį “Teorija S1 teisinga” raide q. Gauname:

.

.

Vadinasi, q.

Sujunkime prielaidas konjunkcija: . Išvadą prie prielaidų prijunkime implikacija: (

) q. Ši išraiška ir yra nagrinėjamo samprotavimo loginė struktūra, išvedimo taisyklė.

Jos teisingumą nustatysime matrica:

p q p p q ( ) q

t t k t k k t

t k k k t k t

k t t k t t t

k k t k t t k

Paskutiniame lentelės stulpelyje yra tiek reikšmė “teisinga” tiek ir reikšmė “klaidinga”.

Vadinasi, nagrinėjamoji išraiška nėra logikos dėsnis, nes ji yra kartais teisinga ir kartais

klaidinga. Tai rodo, kad samprotavimui įgavus šios išraiškos formą, kartais galima gauti teisingą,

o kartais – klaidingą išvadą. Iš tiesų, jei yra žinoma, kad dvi teorijos negali būti kartu teisingos ir

46

kad viena iš jų klaidinga, tai vien tik logiškai samprotaujant negalima daryti išvados, kad antroji

teorija būtinai teisinga, nes abi teorijos gali būti klaidingos. Vien tik logikos priemonėmis tokiu

atveju neįmanoma nustatyti, ar antroji teorija teisinga, ar neteisinga. Reikia teoriją konkrečiai

tirti.

Pateikto samprotavimo prielaidas pertvarkykime taip:

Netiesa, kad teorija S teisinga ir teorija S1 teisinga ( ).

Nustatyta, kad teorija S teisinga ( p ) .__________________

Vadinasi, teorija S1 klaidinga ( ).

Ar teisingą padarėme išvadą – į tai atsako šio samprotavimo struktūros ( p)

patikrinimas matrica:

p q q p q p ( p )

t t k t k k t

t k t k t t t

k t k k t k t

k k t k t k t

Paskutinis matricos stulpelis rodo, kad nagrinėjamoji išraiška yra visuomet teisinga, o tai

reiškia, kad išvadą padarėme teisingą.

Ankščiau nagrinėjome samprotavimą: iš prielaidos: “Jei debesys kaupiasi ir kyla vėjas,

tai prasideda audra” seka išvada “Jei kaupiasi debesys ir neprasideda audra, tai nekyla vėjas”.

Patikrinkime ar teisinga padarytoji išvada.

Šį samprotavimą esame užrašę išraiška [ (p q ) r ] [ ( p ) ]. Iki šiol

sudarinėdavome matricas išraiškoms, kuriose būdavo daugiausia du pradiniai teiginiai – p ir q,

pasitaikydavo dar jų neigimai. Tuo tarpu šioje išraiškoje yra trys pradiniai teiginiai – p, q, r. Tad

paprastų teiginių visų galimų teisingumo atvejų skaičius bus žymiai didesnis. Iš viso matricoje

bus 8 eilutės:

p q r q p q (p q) r p (p ) [(p q) r] [(p ) ]

t t t k k t t k t t

t t k k t t k t k t

t k t t k k k k t t

t k k t t k k t t t

k t t k k k k k t t

k t k k t k k k t t

k k t t k k k k t t

k k k t t k k k t t

47

Matricos paskutiniame stulpelyje yra tik reikšmė “teisinga”. Vadinasi, nagrinėjamoji

išraiška yra logikos dėsnis, ir padaryta išvada teisinga.

Matricos patogios spręsti išsprendžiamumo problemą, kai išraiškoje nedaug paprastų

teiginių. Kuo paprastų teiginių daugiau, tuo matrica darosi sudėtingesnė. Jei išraiškoje yra 4

paprasti teiginiai, tai matricą sudarys jau 16 eilučių, jei 5 – 32 eilutės. Sudarant matricas, kyla

techninio pobūdžio sunkumų, nes lengvai galima apsirikti. Tokiu atveju išsprendžiamumo

problemą galima spręsti kitu būdu – suteikiant išraiškai normaliąją formą.

IŠSPRENDŽIAMUMO PROBLEMOS SPRENDIMAS, SUTEIKIANT LOGINĖMS

IŠRAIŠKOMS NORMALIĄJĄ FORMĄ

Kiekvieną teiginių logikos formulę galima išreikšti, pavartojus tris veiksmus – neigimą,

konjunkciją ir disjunkciją.

Normaliąją formą išraiška turės tada, kai joje bus tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija.

Be to, neigimas turi tekti tik paprastiems teiginiams.

Suteikiant išraiškai normaliąją formą, remiamasi šiais lygiavertiškumais:

lygiavertiška p (1)

lygiavertiška (2)

lygiavertiška (3)

lygiavertiška (4)

lygiavertiška (5)

lygiavertiška (6)

lygiavertiška (7)

lygiavertiška (8)

lygiavertiška (9)

lygiavertiška (10)

lygiavertiška (11)

(1) (5) dėsniai mums jau žinomi. Tai dvigubo neigimo dėsnis, de Morgano taisyklės,

implikacijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu, implikacijos neigimo lygiavertiškumas. (6) (7)

lygiavertiškumai taip pat žinomi. Tai konjunkcijos ir disjunkcijos narių sukeitimas vietomis

(komutatyvumas). (8) ir (9) lygiavertiškumai vadinami asociatyviniais dėsniais. Jie parodo, kad

teiginį galima įkelti arba iškelti už skliaustų. Jie visai panašūs į elementariuosius matematikos

veiksmus: a ( b c ) = (a b ) c ; a + ( b + c ) = ( a + b ) + c. Dėl to ir sakoma, kad su

jungtimi “ir” galima atlikti veiksmą, panašų į daugybos veiksmą, o su jungtimi “arba’ galima

atlikti veiksmą, panašų į sudėties veiksmą. (10) ir (11) lygiavertiškumai vadinami

distributyviniais dėsniais. (10) dėsnis panašus į distributyvumą elementariojoje matematikoje: a

48

( b + c ) = (a b ) + ( a c ). Konkretus (10) dėsnio pavyzdys: teiginys “Tais metais gegužės

mėnuo buvo labai šiltas ir pūtė pietryčių vėjas arba dažnai buvo giedra” lygiavertis teiginiui

“Tais metais gegužės mėnuo buvo šiltas ir pūtė pietryčių vėjas arba tais metais gegužės mėnuo

buvo šiltas ir visai nelijo”.

Kai išraiškoje yra daugiau teiginių, atsiranda šie du distributyvinių dėsnių variantai:

1. [ ( ) ( ) ] ~ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ].

Matome, kad šiuo atveju distributyvinis dėsnis taikomas du kartus: [ ] ~ [

] ir [ ] ~ [ ].

Panašiai [ ] ~ [ ].

2. [ ] ~ [ ].

Šiuo atveju teiginys laikomas neskaidomu vienetu ir prie jo prijungiami teiginys r ir

teiginys s.

Panašiai [ ] ~ [ ].

O jei pvz., turime išraišką , tai, pirmiausia sukeitę konjunkcijos narius

vietomis, gauname , o paskui šiai išraiškai taikome antrąjį distributyvinio dėsnio

variantą.

Suteikiant išraiškoms normaliąją formą, kartais tenka remtis dar ir kitais

lygiavertiškumais. Tačiau mūsų tikslui pakanka pateiktų lygiavertiškumų, jie laikomi

pagrindiniais.

Loginėms išraiškoms galima suteikti dvi normaliąsias formas – konjunktyvią normaliąją

formą ir disjunktyvią normaliąją formą. Kiekviena iš šių normaliųjų formų turi savo variantus.

Pakartojimui

1. Kaip suprantama išsprendžiamumo problema?

2. Kokiais būdais ji sprendžiama?

Pratimai

Išvados teisingumą nustatykite matrica:

1. Jei ilgai šąla, tai ežerai pasidengia ledu. Nešąla, vadinasi, ežerai nepasidengę ledu.

2. Jei ilgai šąla, tai ežerai pasidengia ledu. Ežerai nepasidengę ledu. Vadinasi, nešąla.

18. IŠRAIŠKOS KONJYNKTYVI NORMALIOJI FORMA

Išraiškos konjunktyvi normalioji forma yra jai lygiavertė išraiška, kuri yra paprastų

disjunktyviai susietų teiginių konjunkcija.

49

Kiekvienai išraiškai lygiaverčių pertvarkymų dėka galima suteikti konjunktyvią

normaliąją formą. Suteiksime normaliąją formą išraiškai .

Remiantis (3) lygiavertiškumu, patvarkome :

.

Pritaikę (11) , gauname:

.

Gautoji išraiška yra konjunktyvi normalioji forma. Ji yra konjunktyvus teiginys, be to,

kiekvienas konjunkcijos narys yra paprastų teiginių disjunkcija.

Pavadinimo “konjunktyvi normalioji forma” santrumpa yra knf. Išnagrinėkime du knf

standartinius variantus.

Vienas konjunktyvios normaliosios formos variantų yra visuomet teisingas teiginys.

Jei išraiškai suteikiama konjunktyvi normalioji forma, kurioje konjunkcijos nariai yra

paprastų teiginių disjunkcijos ir kiekvienoje disjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio

neigimas, tai tokia išraiška yra visuomet teisinga.

Natūralu, kad ne kiekvienai išraiškai galima suteikti tokią konjunktyvią normaliąją

formą. Ją galima suteikti tik toms išraiškoms, kurios yra logikos dėsniai.

Aptariamąją konjunktyvią normaliąją formą suteiksime išraiškai .

Remdamiesi (4) lygiavertiškumu, skliaustuose esančią implikaciją pakeičiame

disjunkcija: .

Atkreipkite dėmesį į išraišką . Ji gaunama taip. Pagal (4), implikaciją keičiant

disjunkcija, reikia implikacijos ženklą pakeisti disjunkcijos ženklu ir neigti buvusios

konjunkcijos antecendentą. Kadangi implikacijos antecendentas buvo , tai jis įgauna dar vieną

neigimą . Buvęs implikacijos konsekventas išlieka nepakitęs.

Pritaikę (1), pašaliname dvigubą neigimą:

.

Remdamiesi (4), implikaciją pakeisime disjunkcija:

.

Pritaikę (3), pašaliname neigimą:

.

Pašaliname dvigubą neigimą:

.

Pritaikę (11), gauname:

50

Ši išraiška yra ta konjunktyvi normalioji forma, kuri visuomet yra teisingas teiginys. Ji

yra konjunktyvus teiginys, be to, kiekvienas konjunkcijos narys yra paprastų teiginių disjunkcija.

Kiekvienoje disjunkcijoje yra teiginys ir to teiginio neigimas. Pirmoje disjunkcijoje turime ,

antroje - . Teiginiai ir yra visuomet teisingi, jie yra negalimo trečiojo dėsnio

pasireiškimai. Žinome, kad disjunkcija teisinga, jei teisingas bent vienas jos narys. Vadinasi, prie

ir disjunktyviai galime prijungti bet kokius teiginius, vis tiek visa disjunkcija bus

teisinga. Kadangi disjunkcija teisinga ir disjunkcija teisinga, tai šių disjunkcijų

konjunkcija taip pat teisinga.

Suteiksime konjunktyviai normaliąją formą išraiškai:

[ ] .

Remdamiesi (4), skliaustuose esančią implikaciją pakeičiame disjunkcija:

[ ] .

Vėl implikaciją pakeičiame disjunkcija pagal (4):

.

Pritaikę (2) pašaliname didįjį neigimą:

.

Taikome (3):

[ .

Pašaliname dvigubą neigimą:

[ ] .

Laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškai taikome (11);

[ ] .

Vėl taikome (11), prieš tai aiškumo dėlei sukeitę disjunkcijos narius vietomis pagal (7):

[ ].

Dabar taikome (11), t.y. prie p V r disjunktyviai prijungiame kiekvieną laužtiniuose

skliaustuose esanti konjunkcijos narį:

.

Gautoji išraiška yra konjunktyviai normalioji forma, kuri yra visuomet teisinga. Ji yra

konjunkcija, kurios atskiri nariai – disjunktyvūs teiginiai. Kiekvieną disjunkciją sudaro koks nors

teiginys ir to teiginio neigimas.

Konjunktyvi normalioji forma, kuri yra visuomet teisinga, įgalina nustatyti, ar formulė B

yra formulių A1, A2, A3…An loginis sekmuo.

Tegul turime prielaidas . Reikia nustatyti, ar iš šių prielaidų galima išvesti

sekmenį q. Tuo tikslu prielaidos sujungiamos konjunkcija, o išvada prie prielaidų prijungiama

implikacijos ženklu. Gauname:

51

[ ] .

Šiai išraiškai suteikiame knf. Pirmiausia implikaciją keičiame disjunkcija pagal (4):

.

Taikome (2):

Taikome (3) ir (1):

[ ]

Remdamiesi (7), disjunkcijos narius sukeičiame vietomis:

[ ].

Laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškos daliai taikome (11):

[ ].

Dar kartą taikome antrąjį distributyvinį dėsnį:

Gautoji išraiška yra knf, kuri yra visuomet teisingas teiginys, dėl to ir teiginys q yra

prielaidų loginis sekmuo.

Jei, prielaidas sujungus konjunkcija ir ieškomą sekmenį prie prielaidų prijungus

implikacija, sudarytajai išraiškai neįmanoma suteikti knf, kuri yra visuomet teisinga, tai reiškia,

kad duotasis teiginys iš turimųjų prielaidų logiškai neseka.

Antrasis konjunktyvios normaliosios formos variantas yra tobula knf.

Išraiškos tobula konjunktyvi normalioji forma yra jos konjunktyvi normalioji forma,

turinti šiuos požymius:

a) joje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių;

b) nė viename konjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių;

c) nė viename konjunkcijos naryje nėra teiginio ir kartu to teiginio neigimo;

d) kiekviename konjunkcijos naryje yra visi išraiškoje esantys teiginiai, ir kiekvienas

teiginys yra su neigiamo ženklu arba be jo.

Išsiaiškinkime šiuos tobulos knf požymius.

Reikalavimą a) galima įvykdyti, remiantis suprastinimo dėsniu Jei, pvz.,

turime išraišką tai vienas pasikartojantis konjunkcijos narys išbraukiamas.

Gauname

Reikalavimas b) įvykdomas, remiantis suprastinimo dėsniu Jei turime

išraišką tai pirmajame konjunkcijos naryje pasikartojantį teiginį p

išbraukiame. Gauname

Reikalavimas c) reiškia, kad nė viename konjunkcijos naryje neturi būti formos

teiginių. Tokios formos teiginys visuomet būtų teisingas. Dėl to, jei, sakysime, yra išraiška

52

, tai trečiąjį konjunkcijos narį reikia išbraukti.

Gauname .

Reikalavimas d) įvykdomas taip: jei kurio nors išraiškos teiginio X konjunkcijos naryje

trūksta, tai tą teiginį ir jo neigimą disjunkcijos ženklu reikia prijungti prie konjunkcijos

nario. Šis prijungimas teisėtas, remiantis išskaidymo dėsniu [ ]. Tegu turime

išraišką . Ji yra knf, tačiau nėra tobula knf, nes neatitinka reikalavimo d). Remiantis

išskaidymo dėsniu, prie teiginio prijungiame trūkstamą teiginį q: [ ].

Pritaikę (11), gauname: .

Tobulą knf galima suteikti bet kuriai išraiškai, išskyrus visuomet teisingas. Šią formą

suteiksime išraiškai

Remiantis (4), implikaciją pakeičiame disjunkcija:

.

Gavome konjunktyvią normaliąją formą, kuri nėra tobula knf, nes neatitinka reikalavimo

b). Dėl to pasikartojantį teiginį išbraukiame:

.

Ši knf taip pat dar ne tobula knf, nes ji neatitinka d) reikalavimo. Dėl to prie teiginio

disjunkcijos ženklu prijungiame

Taikome (11):

.

Gautoji išraiška vėlgi nėra tobula knf, nes ji neatitinka a) reikalavimo. Dėl to

pasikartojantį konjunkcijos narį išbraukiame:

Ši išraiška jau yra išraiškos tobula knf.

Tobula knf įgalina nustatyti visus turimųjų prielaidų sekmenis. Tuo tikslu prielaidos

sujungiamos konjunkcija ir gautai išraiškai suteikiama tobula knf: kiekvienas tobulos knf

konjunkcijos narys ir kiekviena konjunkcija su bet kuriuo narių skaičiumi yra turimų prielaidų

sekmuo.

Tegul turime prielaidas ; p. Nustatysime jų sekmenis. Tuo tikslu išraiškai

suteiksime tobulą knf.

Remiantis (2):

Pagal reikalavimą d) prie teiginio p prijungsime trūkstamą narį q:

[ ].

53

Laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškos daliai taikome (11):

Gautoji išraiška yra tobula knf. Ji rodo, kad iš prielaidų ir išvedami 7 sekmenys:

Pakartojimui:

1. Kas yra išraiškos konjunktyvi normalioji forma?

2. Kuri knf visuomet teisinga?

3. Ką įgalina nustatyti knf, kuri visuomet teisinga?

4. Kas yra tobula knf?

5. Ką parodo tobula knf?

Pratimai:

1. Suteikite konjunktyvinę normaliąją formą, kuri yra visuomet teisinga išraiškai [

]

2. Ar išraiška yra prielaidų loginis sekmuo?

3. Suteikite tobulą knf išraiškai [ ] V p.

4. Kokie sekmenys išvedami iš prielaidų p; p q?

19. DISJUNKTYVI NORMALIOJI LOGIKA

Išraiškos disjunktyvi normalioji forma yra jai lygiavertė išraiška, kuri yra paprastų

konjunktyviai susietų teiginių disjunkcija.

Pavadinimo “disjunktyvi normalioji forma” santrumpa yra dnf.

Kiekvienai teiginių logikos išraiškai lygiaverčių pertvarkymų dėka galima suteikti

disjunktyvią normaliąją formą. Suteiksime disjunktyvią normaliąją formą išraiškai

Taikome (4):

Sukeičiame konjunkcijos narius vietomis:

Taikome (10):

Gautoji išraiška yra disjunktyvi normalioji forma. Ji yra disjunkcija, kurios kiekvienas

narys yra konjunktyvus teiginys.

54

Vienas disjunktyvios normaliosios formos narys yra visuomet klaidingas teiginys.

Jei išraiškai suteikiama disjunktyvi normalioji forma, … disjunkcijos nariai yra paprastų

teiginių konjunkcijos ir kiekvienoje konjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas,

tai tokia išraiška yra visuomet klaidinga.

Panagrinėkime išraišką

Remdamiesi (5), pašaliname neigimą:

Implikaciją pakeičiame disjunkcija, pritaikę (4):

Remdamiesi (10), pertvarkome laužtiniuose skliaustuose esančią išraiškos dalį:

Vėl taikome (10), prieš tai aiškumo dėlei sukeisdami konjunkcijos narius vietomis:

Gautoji išraiška yra toji disjunkcijos normalioji forma, kuri yra visuomet klaidinga. Ji yra

disjunkcija, kiekvienas disjunkcijos narys yra paprastų teiginių konjunkcija. Be to kiekvienoje

konjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas. Kadangi yra visuomet

klaidingas teiginys, tai prie jo konjunktyviai galima prijungti bet kokius kitus teiginius, vis tiek

jų konjunkcija bus klaidinga (konjunkcijos klaidingumui pakanka bent vieno jos nario

klaidingumo). Tą patį galima pasakyti ir apie

Jei išraiškai negalima suteikti konjunktyvios normaliosios formos, kuri yra visuomet

teisinga, ir negalima suteikti disjunktyviai normaliosios formos, kuri yra visuomet klaidinga, tai

tokia išraiška yra kartais teisinga (atitinkamai – kartais klaidinga).

Antrasis disjunktyviosios normaliosios formos standartas yra tobula dnf.

Išraiškos tobula disjunktyvi normalioji forma (dnf) yra jos disjunktyvi normalioji forma,

turinti šiuos požymius:

a) joje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių;

b) nė viename disjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių;

c) nė viename disjunkcijos naryje nėra teiginio ir to teiginio neigimo;

d) kiekviename disjunkcijos naryje yra visi išraiškoje esantys teiginiai, ir kiekvienas

teiginys yra su neigimo ženklu arba be jo.

Šie reikalavimai panašus į reikalavimus, keliamus tobulai knf. Antai išraiškoje

viena disjunkcijos narį reikia išbraukti, remiantis suprastinimo dėsniu

. Reikalavimas b) įvykdomas, remiantis suprastinimo dėsniu . Pvz., išraiška

yra dnf, bet netobula. Dėl to pirmajame disjunkcijos naryje pasikartojantį

55

teiginį p reikia išbraukti: Reikalavimas c) reiškia, kad tobuloje dnf formoje negali

būti formos teiginių. Tokios formos teiginiai būtų visuomet klaidingi. Jei tokių teiginių

pasitaiko, išbraukiamas visas disjunkcijos narys. Pvz., išraiška , taikant

jei reikalavimą c), suprastinama, išbraukiant pirmąjį disjunkcijos narį. Lieka

Reikalavimas d) įvykdomas panašiai kaip ir tobulos knf atveju: jei kurioms išraiškos teiginio X

disjunkcijoje naryje trūksta, tai tą teiginį ir jo neigimą, … disjunktyviai , konjunkcijos

ženklu reikia pajungti prie to disjunkcijos nario. Toks prijungimas teisėtas, remiantis išskaidymo

dėsniu

Tobulą dnf galima suteikti bet kuriai išraiškai, išskyrus visuomet klaidingas . Suteiksime

šią formą išraiškai

Remiantis (4):

Pašaliname dvigubą neigimą:

Taikome (10) pirmąjį variantą:

Gautoji išraiška yra disjunktyvi normalioji forma, tačiau ji dar nėra tobula dnf. Ji

neatitinka reikalavimo b) nes joje yra disjunkcijos nary Dėl to viena teiginį išbraukiame.

Taip pat pagal reikalavimą c) reikia išbraukti disjunkcijos narį Gauname:

Vykdydami reikalavimą d), prie q prijungiame trūkstamą teiginį p:

Laužtinuose skliaustuose esančiai išraiškos daliai taikome (10):

Pagal reikalavimą a), išbraukiame pasikartojančius disjunkcijos narius ir gauname

išraišką, kuri yra tobula dnf:

Tobula dnf parodo įvairias galimybes, kurioms esant, turimoji išraiška yra teisinga.

Pateiktoji išraiška yra teisinga dviem atvejais: kai p klaidingas ir q teisingas

kai q teisingas ir p klaidingas Tuo lengva įsitikinti, išraišką

pakeitus nurodytomis teiginių p ir q teisingumo reikšmėmis.

56

Pirmas atvejis:

.

Antras atvejis:

.

Pakartojimui

1. Kas yra išraiškos disjunktyvi normalioji forma?

2. Kuri dnf visuomet klaidinga?

3. Kas yra tobula dnf?

4. Ką parodo tobula dnf?

Pratimai

1. Suteikite disjunktyvią normaliąją forma, kuri yra visuomet klaidinga, išraiškai

.

2. Suteikite tobulą dnf išraiškai

3. Kurioms galimybėms esant, išraiška yra teisinga?

20. TEIGINIŲ LOGIKOS TAIKYMAS TECHNIKOJE

Teiginių logika plačiai taikoma šiuolaikinėje technikoje, kibernetikoje, kompiuterijoje,

informatikoje. Pateiksime tokį pavyzdį. Parodytoji schema įgali valdyti informaciją: praleisti

vienus signalus, sulaikant antruosius, ir priešingai.

Aįvedimas

išvedimas

Bįvedimas

“ir”

“ir”

“arba”

57

valdymas

S1 S2

1 brėž.

Į išvedamą eina signalai, patenkantys įvedimo kanalu A arba įvedimo kanalu B

priklausomai nuo to, kaip veikia valdymas S1 ir S2. Kai valdymo signalas S1 praleidžia signalą,

ateinantį kanalu A, tai signalas ties kanalu B sulaikomas. Padavus valdymo signalą S2, gausime

atvirkščią vaizdą. Tad šios schemos veikimas aprašomas loginėmis išraiškomis

P = (A S1) V (B S2);

P = (B S2);

P = (A S1).

PREDIKATŲ LOGIKA

SAVYBIŲ TEORIJA

Yra samprotavimų, kurių išvadų negalima pagrįsti teiginių logikos priemonėmis. Pvz.:

Visi Algio draugai yra studentai.

Rimas nėra studentas.___________

Vadinasi Rimas nėra Algio draugas.

Tokio tipo samprotavimo loginį teisingumą galima pagrįsti, tariant prielaidų ir išvados

struktūrą.

Teiginių logikoje teiginys laikomas nedaloma visuma. Tačiau loginį teiginį galima

nagrinėti ir jo struktūros požiūriu, panašiai kaip gramatika nagrinėja gramatinį sakinį, surasdama

sakinio dalis – veiksnį, tarinį, pažyminį ir pan. Žinoma, loginio teiginio struktūra visai kitokia,

negu gramatinio sakinio.

Predikatų logika yra logikos teorija, nagrinėjanti vidinę teiginio struktūrą.

Teiginį sudaro objektas ir požymis, kuris tam objektui priskiriamas arba nepriskiriamas.

Plačiausia prasme objektas yra tai, ką galima pavadinti. Požymis yra tai, kuo objektai yra

panašūs arba kuo jie skiriasi vienas nuo kito. Teiginyje “Vilnius yra Lietuvos sostinė” objektas

yra Vilnius, kuriam priskiriamas požymis “būti Lietuvos sostine”. Teiginio objektas kartai dar

vadinami subjektu, o požymiai dar kitaip vadinami predikatais.

Skiriami tokie požymiai: savybės, santykiai ir pavadinimai.

Savybė yra toks požymis, kurį galima priskirti bent vienam objektui. Savybę “būti kietu”

gali turėti ir ne vienas objektas, pvz., sakome “Plienas yra kietas”, “Akmuo yra kietas” ir pan.

Tai prasmingi ir teisingi teiginiai.

Santykis yra toks požymis, kuri galima priskirti mažiausiai dviem objektams. Požymiai

“būti seserimi”, “būti lengvesniu” yra santykiai. Teiginys “Marytė Algio sesuo”- prasmingas

58

teiginys. Tuo tarpu teiginys “Marytė sesuo” yra beprasmiškas, nes požymis “būti seserimi” yra

santykis, ir jo negalima priskirti vienam objektui. Dėl to, kad savybes galima priskirti vienam

objektui, o santykius galima priskirti mažiausiai dviem objektams, savybės vadinamos

vienviečiais predikatais, o santykiai – daugiaviečiais predikatais.

Pavadinimas taip pat yra požymis, nes vieną objektą nuo kito galima atskirti pagal jų

pavadinimą. Pavadinimai nagrinėjami ne predikatų logikoje, bet loginėje semantikoje.

Predikatų logika nagrinėja savybes ir santykis. Pagal tai predikatų logika skirstoma į dvi

dalis – savybių teorija ir santykių teoriją.

1. Propozicinė funkcija, jos pavertimas teiginiu.

Teiginys turi proporcinės funkcijos struktūrą.

Žodis funkcija plačiausia prasme reiškia priklausomybę. Dydžiai, esantys kokiame nors

reiškinyje, dažnai kinta priklausomai vienas nuo kito. Pvz.: produkto kaina priklauso nuo darbo

našumo, gamybos kaštų, rinkos konjunktūros ir t.t. Todėl ir sakoma, kad kaina yra minėtų

veiksnių funkcija.

Funkciniai ryšiai yra ir logikoje. Vieni dydžiai logikoje kinta priklausomai nuo kitų

dydžių kitimo. Tai matėme jau teiginių logikoje, kurioje sudėtinio teiginio teisingumas priklauso

nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reiškinį. Vadinasi sudėtinio teiginio teisingumo

reikšmė yra funkcija, kintanti priklausomai nuo sudėtinį teiginį sudarančių paprastų teiginių

teisingumo reikšmės kitimo.

Funkciniai ryšiai predikatų logikoje reiškiasi tuo, kad predikatų logikoje teiginio

teisingumas priklauso nuo to, kokiems objektams priskiriamas tam tikras požymis. Vadinasi,

predikatų logikoje teiginio teisingumas yra funkcija, kintanti priklausomai nuo to, kokiems

objektams tas požymis priskiriamas.

Kas yra teiginio funkcija?

Panagrinėkime šiuos teiginius:

Karšis yra žuvis.

Kuoja yra žuvis. x yra žuvis.

Ešerys yra žuvis.

Lygindami šiuos teiginius, matome, kad jie vienas nuo kito skiriasi tik savo objektais,

skirtingiems objektams priskiriamas tas pats požymis; skirtingiems subjektams priskiriamas tas

pats predikatas. Žodžius “karšis”, “kuoja”, “ešerys” pakeitę kintamuoju x, gauname išraišką

x yra žuvis.

Ar šią išraišką galima vadinti teiginiu? Ne, negalima. Teiginys turi būti teisingas arba

klaidingas. Tuo tarpu išraiška “x yra žuvis” nėra nei teisinga, nei klaidinga. Jei kompiuterio

ekrane randame parašytą teiginį “Karšis yra žuvis”, tai jį laikome teisingu. Tačiau jei … randame

59

išraiška “x yra žuvis”, tai negalime pasakyti, ar ši išraiška teisinga, ar klaidinga, nes nežinome,

kas yra x. Išraiška “x yra žuvis” yra ne teiginys, bet teiginio funkcija, kuri dar kitaip vadinama

propozicine funkcija (lot. p r o p o s i t i o – teiginys).

Propozicinė funkcija – tai funkcija, nustatanti atitinkamą tarp tam tikros srities objektus,

kurie yra jos argumento reikšmės, ir teisingumo bei klaidingumo.

Išraiškose

x yra rinkotyros specialistas,

x yra mokslas,

x yra aukštoji universitetinė mokykla.

Kintamasis x yra vadinamas šių funkcijų argumentu. Šių išraiškų virtimas teisingais ar

klaidingais teiginiais priklauso nuo to, kokias reikšmes įgauna argumentas x. Kintamojo x

pakeitimas kokio nors objekto pavadinimu ir yra pirmasis, paprasčiausias būdas propozicinei

funkcijai paversti teiginiu. Pakeitę x kokio nors asmens (pvz., Bekampio) pavarde, mokslo (pvz.,

ekonomika) ir aukštosios mokyklos pavadinimais, gauname:

Bekampis yra rinkotyros specialistas.

Ekonomika yra mokslas.

VGTU yra aukštoji universitetinė mokykla.

Tai teisingi teiginiai. Tuo tarpu x pakeitus asmens, kuris nėra vadybininkas, pavarde arba

požymį “būti mokslu” priskyrus astrologijai, gauname klaidingus teiginius, pvz., “Astrologija

yra mokslas”. Propozicinės funkcijos virtimas teisingu ar klaidingu teiginiu priklauso nuo to,

kokiam objektui požymis priskiriamas, kitaip tariant, priklauso nuo argumento x reikšmių.

Antras būdas propozicinę funkciją paversti teiginiu yra susiejimas kvantoriais. Terminas

kvantorius kilęs iš lotynų kalbos žodžio q u a n t u m – “kiek”.

Kvantorius teiginį apibūdina kiekybiškai. Požymi galima priskirti vienam objektui

(“Saulė K. yra studentė”) arba keliems objektams (“Kai kurie jaunuoliai – studentai”) arba

visiems kurios nors klasės objektams (“Visi, esantys šioje auditorijoje, studentai”). Kokiam

objektų skaičiui požymis priskiriamas arba nepriskiriamas – tai ir nurodo kvantorius.

Kasdieninėje šnekamojoje kalboje yra visa eilė vadinamųjų žodžių:

visi nė vienas keliolika egzistuoja

kiekvienas kai kurie vienintelis daug

bet kuris keli yra be galo daug.

Kvantoriniams žodžiams priklauso ir visi kiekiniai skaitvardžiai. Šiems žodžiams reikšti

logikoje pakanka dviejų pagrindinių kvantorių – egzistavimo kvantoriaus ir bendrumo

kvantoriaus.

60

Egzistavimo kvantorius žymimas simboliu x. Ženklas yra anglų kalbos žodžio exist,

vokiečių kalbos existeren apversta pirmoji raidė, kurios vidurinis brūkšnelis prailgintas. Simbolis

x skaitomas taip:

yra toks (tokie) x.

Egzistavimo kvantorius rašomas prieš propozicinę funkciją. Šitaip propozicinę funkciją

susiejus egzistavimo kvantoriumi, ji virsta teiginiu. Propozicinės funkcijos “x yra rinkotyros

specialistas”, “x yra mokslas”, “x yra aukštoji universitetinė mokykla” susiejus egzistavimo

kvantoriumi, gauname:

x (x yra rinkotyros specialistas).

x (x yra mokslas).

x (x yra aukštoji universitetinė mokykla).

Šios išraiškos skaitomos taip:

Yra toks x, kuris yra rinkotyros specialistas.

Yra toks x, kuris yra mokslas.

Yra toks x, kuris yra aukštoji universitetinė mokykla.

Tikrai, vadybininkų, kurie yra rinkotyros specialistai yra daug. Yra daug mokslų, daug

aukštųjų universitetinių mokyklų Lietuvoje.

Tačiau pateiktose išraiškose visai nenurodyta, kokiai objektų sričiai, klasei priklauso

objektas x. Todėl žymiai geriau išraiškas skaityti, konkrečiai nurodant objektų klasę, kuriai tas

požymis priskiriamas:

x (x – vadybininkas ir x – rinkotyros specialistas).

x (x – žinių sistema ir x - mokslas).

x (x – mokykla ir x – aukštoji universitetinė mokykla).

Vadinasi, išraiškos “x yra rinkotyros specialistas”, “x yra mokslas”, “x yra aukštoji

universitetinė mokykla”, susiejus jas egzistavimo kvantoriumi, skaitomos taip:

Yra toks x, kuris yra vadybininkas ir kuris yra rinkotyros specialistas.

Yra toks x, kuris yra žinių sistema ir kuris yra mokslas.

Yra toks x, kuris yra mokykla ir kuris yra aukštoji universitetinė mokykla.

Galima šiuos teiginius skaityti ir daugiskaitoje: … . Teiginio skaitymas vienaskaitoje ar

daugiskaitoje priklauso nuo to, kokiam skaičiui objektų požymis priskiriamas.

Egzistavimo kvantorius negali nurodyti, koks konkretus objektų skaičius tą požymį.

Egzistavimo kvantorius tenurodo, kad yra bent vienas objektas, turįs tokį požymį, bet galbūt jų

yra ir daugiau. Vadinasi, egzistavimo kvantoriumi reiškiama, kad požymį turi bent vienas arba

kai kurie tos klasės objektai.

61

Bendrumo kvantoriumi tvirtinama, kad požymi turi kiekvienas nagrinėjamos klasės

objektas. Bendumo kvantorius žymimas simboliu x. Ženklas yra anglų kalbos žodžio all,

vokiečių kalbos žodžio alle apversta pirmoji raidė. Simbolis x skaitomas taip:

kiekvienas x.

Bendrumo kvantorį parašius prieš propozicinę funkciją, ji virsta teiginiu. Propozicines

funkcijas “x yra žinduolis”, “x yra sportininkas”, “x yra maistas” susiejus bendrumo

kvantoriumi, gauname:

x ( x yra protinga būtybė).

x ( x yra vadybininkas).

x ( x yra maistas).

Šios išraiškos skaitomos taip pat naudojant objektų klasę, kurios sudėtyje yra tie objektai

x: protingos būtybės yra žmonės; būti vadybininku gali, tarkime, rinkotyrininkas; būti maistu,

tarkime, gali duona. Jei išraiška susieta bendrumo kvantoriumi, tai nurodymas objektų klasės,

kurios sudėtyje yra objektai x, reiškiamas implikacija. Pateiktos išraiškos skaitomos:

Kiekvienas x, jei x žmogus, tai x protinga būtybė.

Kiekvienas x, jei x rinkotyrininkas, tai x vadybininkas.

Kiekvienas x, jei x duona, tai x maistas.

Propozicines funkcijas susiejus egzistavimo ar bendrumo kvantoriais, galima gauti ir

klaidingus teiginius. Pvz., išraišką “x yra plaukikas” susiejus bendrumo kvantoriumi ir požymį

“būti plaukike” priskyrus sportininkams, gauname: “Kiekvienas x, jei x sportininkas, tai x

plaukikas”. Tai klaidinga, nes ne kiekvienas sportininkas – plaukikas. Panašiai klaidingas yra

teiginys “Kiekvienam x teisinga, kad x + 3 = 6”.

Iš kitų kvantorių … apribojantys kvantoriai. Jie užrašomi išraiškomis

x P(x) F(x),

x P(x) F(x),

kurios skaitomos taip: kiekvienas x turi predikatą F, jei jis turi predikatą P; yra toks x, kad kai x

turi predikatą F, jis turi ir predikatą P.

Skaitinis kvantorius nurodo, kad yra tikslus skaičius n tokių x, kurie turi predikatą F:

xn F(x).

Begalybės kvantorius teigia, kad yra begalinis skaičius tokių x, kurie turi predikatą F:

x F(x).

Kvantoriai atlieka loginių operatorių vaidmenį. Operatoriumi logikoje vadinamas

simbolis arba kombinacija simbolių, kurie, pavartojus juos kokioje nors loginėje formoje,

sukuria naują formą. Konjunkcija, disjunkcija ir kitos teiginių logikos jungtys, kvantoriai – tai

vis loginiai operatoriai.

62

Pakartojimui

1. Kuo pasireiškia funkciniai ryšiai logikoje?

2. Kas yra propozicinė funkcija?

3. Kaip propozicinė funkcija paverčiama teiginiu?

4. Kokius žinote kvantorius?

Pratimai

1. Susiekite propozicines funkcijas kvantoriumi ir perskaitykite:

a) x yra lietuvių kalbos daiktavardis;

b) x yra angliški skoliniai lietuvių kalboje.

2. Susiekite propozicines funkcijas bendrumo kvantoriumi ir perskaitykite:

a) x yra inžinierius;

b) x yra privati firma.

2. Kvantoriai ir kintamieji savybių teorijoje

Savybių teorijoje objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z. Savybes žymėsime

didžiosiomis raidėmis F, G, H.

Išraiška

F(x)

skaitoma: x turi savybę F. Atitinkamai išraiškos G(x), H(x) skaitomos: x turi savybę G; x turi

savybę H.

Išraiškos

x F(x); x G(x)

skaitomos: yra toks x, kuris turi savybę F; kiekvienas x turi savybę G.

Teiginį “Kai kurie spaudos leidiniai yra laikraščiai” formalizuosime taip. Žodis “kai

kurie” reiškiamas egzistavimo kvantoriumi (x), savybę “būti spaudos leidiniu” žymėsime raide

F, savybę “būti laikraščiu” – raide G. Kai išraiškoje yra egzistavimo kvantorius, savybės

susiejamos konjunkcija. Gauname: x[F(x) G(x)].

Skaitome: yra tokie x, kurie turi savybę F ir savybę G. kitaip tariant, yra tokie x, kurie

turi savybę “būti spaudos leidiniais” ir turi savybę “būti laikraščiais” – tokia teiginio “Kai kurie

spaudos leidiniai yra laikraščiai” loginė struktūra savybės teorijos požiūriu.

Teiginį “Visi kompiuteriai yra informacinės priemonės” formalizuosime taip “Žodis” …

reiškiamas bendrumo kvantoriumi, savybę “būti informacine priemone” – raide G. Kai išraiškoje

yra bendrumo kvantorius, savybės susiejamos implikacija. Gauname: x[F(x) G(x)]. Skaitome:

63

kiekvienas x, jei x turi savybę F, tai x turi savybę G. Kitaip tariant, kiekvienas x, jei x turi

savybę “būti kompiuteriu”, tai x turi savybę “būti informacine priemone” – tokia yra teiginio

“Visi kompiuteriai yra informacinės priemonės” loginė struktūra savybių teorijos požiūriu.

Predikatų logikoje, taip pat, kaip vėliau matysime, ir kitose logikos teorijose, operuojama

ir teiginių logikos veiksmais – neigimu, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, lygiavertiškumu.

Savybes galima neigti. Neigiant savybę, virš jos rašomas neigimo ženklas:

Skaitome: x neturi savybės F; netiesa, kad x turi savybę G.

Galima neigti ne tik savybes, bet ir kvantorius. Neigiant kvantorį, virš jo rašomas

neigimo ženklas:

; .

Skaitome: netiesa, kad yra toks (tokie) x; netiesa, kad kiekvienas x.

Išraiška

F(x)

skaitoma: netiesa, kad kiekvienas x turi savybę F.

Panagrinėkime teiginį “Mūsų grupėje nėra užsieniečių”. Savybę “būti mūsų grupės

studentu” pažymėjo raide F, savybę “būti užsieniečiu” – simboliu G, susieję savybes

konjunkcija, nustatome nagrinėjamo teiginio loginę struktūrą: x[F(x) (x)]. Skaitome: netiesa,

kad yra tokių x, kurie turi savybę F ir neturi savybės G. Kitaip tariant, netiesa, kad yra tokių x,

kuri turi savybę “būti mūsų grupės studentais” ir neturi savybės “būti mūsų tėvynainiais”.

Išraiškoje gali pasitaikyti ne vienas kvantorius, bet du ir daugiau. Išraiška

xy[F(x)VF(y)] skaitoma: yra toks x ir yra toks y, iš kurių x turi savybę F arba y turi savybę F.

Pvz., yra koks nors žmogus x ir yra koks nors žmogus y, iš kurių x turi savybę “būti

inžinieriumi” arba y turi savybę “būti inžinieriumi”. Visuomet galima atrasti du žmones, kurių

vienas arba kitas yra inžinierius.

Išraiška xF(x) yF(y) skaitoma: kiekvienas x turi savybę F ir yra tokių y, kurie turi

savybę F. Pvz., kiekvienas žmogus mirtingas, tačiau ir kiti gyviai … neamžini.

Kvantoriaus galiojimo sritį parodo skliaustai. Išraiškoje x [F(x) G(x)] bendrumo

kvantorius galioja visai išraiškai, tuo tarpu išraiškoje xF(x) yF(y) bendrumo kvantorius

galioja tik iki konjunkcijos ženklo.

Predikatų logikos išraiškose būna trejų rūšių kintamieji.

1. Individualiniai kintamieji – tai x, y, z … , juos galima pakeisti atskirų objektų

vardais.

2. Predikatiniai kintamieji – tai F, G, H … , juos galima pakeisti konkrečiais predikatais

(savybėmis ir santykiais).

64

3. Propoziciniai kintamieji – tai p, q, r … . Jie paimti iš teiginių logikos ir gali būti

pakeisti konkrečiais teiginiais.

Išraiškoje p x F(x) yra visų trijų rūšių kintamieji: x – individinis, F – predikatinis, p –

propozicinis kintamasis.

Kintamieji x, y, z predikatų logikos išraiškose yra dvejopo pobūdžio – surišti arba laisvi.

Surištas kintamasis – tai kuris yra kvantoriuje ir, atitinkamai, kvantoriaus galiojimo

srityje. Laisvas kintamasis – tai tas, kurio kvantoriuje nėra. Išraiškoje x [F(x) F(y)] V G(x)

kvantoriuje esąs kintamasis x – surištas; laužtiniuose skliaustuose esąs x taip pat surištas, nes jis

yra kvantoriaus galiojimo srityje; y – laisvas kintamasis; paskutinysis x – taip pat laisvas, nes jis

yra už kvantoriaus galiojimo srities.

Esminė kvantoriaus savybė ta, kad jis laisvus kvantorius paverčia surištais. Išraiška,

kurioje nėra laisvų kintamųjų, yra teiginys, o ne propozicinė funkcija.

Objektus, kuriems galima priskirti tam tikrą savybę, sudaro tos savybės sritį. Pvz.,

savybės “saldus” sritis yra visi objektai, kuriems būdinga ši savybė.

Pakartojimui

1. Kaip teiginiai formalizuojami savybių teorijoje?

2. Kaip nustatyti kvantoriaus galiojimo sritį?

3. Kokie kintamieji būna predikatų logikos išraiškose?

4. Ką vadiname laisvais ir surištais kintamaisiais?

Pratimai

1. Perskaitykite išraiškas:

a)

b)

2. Savybių teorijos simboliais užrašykite teiginius:

a) yra tokių kalnų, į kurias nelengva įkopti;

b) kiekvieno žmogaus gyvenime yra neišspręstų problemų;

c) vis normalūs žmonės trokšta laimės;

d) kai kurie žmonės moka kelias kaltas.

65

3. Savybių teorijos dėsniai

Dėsnių savybių teorijoje yra daug. Panagrinėsime kai kurios iš jų.

Atskirą grupę sudaro 4 dėsniai, įgalinantys vienus kvantorius pakeisti kitais.

Skaitome: išraiška “Kiekvienas x turi savybę F” lygiavertė išraiškai “Netiesa, kad yra

toks x, kuris neturi savybės F”.

Teiginys “Kiekvienas žmogus turi rankas” lygiavertis teiginiui “Netiesa, kad yra toks

žmogus, kuris neturėtų rankų”.

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad kiekvienas x turi savybę Fx” lygiavertė išraiška “Yra

toks x, kuris neturi savybės F”.

Kadangi netiesa, kad visi žmonės sąžiningi, tai yra tokie žmonės, kurie nesąžiningi.

Skaitome: išraiška “Yra toks x, kuris neturi savybės F” lygiavertė išraiškai “Netiesa, kad

kiekvienas x neturi savybės F”.

Kadangi yra sąžiningų žmonių, tai netiesa, kad kiekvienas žmogus nesąžiningas.

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybę F” lygiavertė išraiškai

“Kiekvienas x neturi savybės F”. Teiginys “Netiesa, kad mūsų grupėje yra studentas, kuris moka

kinų kalbą” lygiavertis teiginiui “Kiekvienas mūsų grupės studentas nemoka kinų kalbos”.

Svarbus savybių teorijos dėsnis yra šis:

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybę F, tai savybę F turi koks nors y.

Šis dėsnis yra loginis bendrų teiginių taikymo atskiriems atvejams pagrindas. Kadangi

kiekvienas Lietuvos pilietis privalo laikytis įstatymų, tai jų privalo laikytis ir Jonaitis.

Pateiktajam dėsniui artimas šis dėsnis:

Skaitome: jei koks nors objektas y turi savybę F, tai yra toks x, kuris turi savybę F.

Tai reiškia, kad jei koks nors laisvai pasirinktas objektas y turi tam tikrą savybę, tai tą

savybę turi ir koks nors objektas x, kuris priklauso tai pačiai klasei, kaip ir objektas y. Pvz., Šopo

yra verslininkas, reiškia, yra ir daugiau žmonių, kurie yra verslininkai.

Pateiksime dėsnius, kurie nurodo, kaip reikia kvantorius įkelti į skliaustus ir iškelti už

skliaustų. Jie vadinami kvantorių išskaidymo ir jungimo dėsniais.

66

Bendrumo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje:

.

Skaitome: išraiška “Kiekvienas x turi savybę F ir savybę G” lygiavertė išraiškai

“Kiekvienas x turi savybę F ir kiekvienas x turi savybę G”.

Teiginys “Kiekvienoje šalyje yra universitetai ir mokyklos” lygiavertis teiginiui

“Kiekvienoje šalyje yra universitetai it yra mokyklos”.

Kitas išskaidomas egzistavimo kvantorius konjunkcijoje:

Skaitome: jei yra toks x, kuris turi savybę F ir savybę G, tai yra toks x, kuris turi savybę

F, ir yra toks x, kuris turi savybę G.

Palyginus su bendrumo kvantoriaus išskaldymu konjunkcijoje, skirtumas čia tas, kad tarp

skliaustuose esančių išraiškų negalima rašyti lygiavertiškumo ženklo. Žinome, kad

lygiavertiškumas yra implikacija abiem kryptim. Tačiau šioje išraiškoje iš

negalima išvesti . Tai rodo kad ir toks pavyzdys. Yra toks sportininkas, kuris

disko metime 1963 metais pasiekė geriausią rezultatą, ir yra toks sportininkas, kuris pasiekė

geriausią rezultatą disko metime 2003 metais. Tačiau klystume teigdami, kad yra toks

sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą disko metime 1963 ir 2003 metais.

Išraiškos, kuri tvirtintų bendrumo kvantoriaus išskaidymą disjunkcijoje, negali būti.

Tarkime, kad grupei vaikų davėme kiekvienam po viena vaisių – obuolį arba kriaušę. Tada iš

teiginio “Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba kriaušę” neseka teiginys “Kiekvienas vaikas gavo

obuolį arba kiekvienas vaikas gavo kriaušę”. Juk vieni vaikai gavo obuolius, kiti – kriaušes.

Predikatų logikoje iš vienų dėsnių išvedami kiti dėsniai, remiantis dvejybiškumo

principu. Konjunkcija ir disjunkcija, kvantoriai ir vadinami dvejybiškais. Be to,

dvejybiški taip pat simboliai ir . Ženklas vadinamas atvirkštine implikacija. Jei

implikacijoje ir p seka q, tai atvirkštinėje implikacijoje iš q seka p. Dvejybiškumo principo esmė

yra ta, kad nustatoma, jog išraiška, kurioje yra bendrumo kvantorius x ir konjunkcija, lygiavertė

išraiškai, kurioje: 1) bendrumo kvantorius pakeičiamas egzistavimo kvantoriumi; 2) konjunkcija

pakeičiama disjunkcija; 3) implikacija pakeičiama atvirkštine implikacija.

Taikant dvejybiškumo principą bendrumo kvantoriaus išskaldymui konjunkcijoje, reikia

pakeisti , konjunkcija pakeisti disjunkcija (V). Gauname egzistavimo kvantorius

išskaldymą disjunkcijoje:

Skaitome: išraiška “Yra toks x, kuris turi savybę F arba savybę G” lygiavertė išraiškai

“Yra toks x, kuris turi savybę F arba savybę G” lygiavertė išraiškai “Yra toks x, kuris turi savybę

F arba yra toks x, kuris turi savybę G”.

67

Bendrumo kvantoriaus išskaldymas implikacijoje:

Skaitome: “Kiekvienas x, jei x turi savybę F, tai x turi savybę G”. Iš to seka, kad, jei

kiekvienas x turi savybę F, tai kiekvienas x turi savybę G”.

Šis dėsnis rodo, kad atskirais atvejais atsiranda tam tikras skirtumas tarp žodžių

“kiekvienas” ir “visi”. Panagrinėkime tokį atvejį. Tam tikras skaičius asmenų nutarė persikelti

per upę kiaura valtimi. Situaciją galima nusakyti taip: kiekvienas, kuris įsės į valtį [F(x)], nuskęs

kartu su ja [G(x)]. Vadinasi, jei jie visi kartu susės į valtį [ x F(x)], tai jie visi kartu nuskęs su

valtimi [ x G(x)]. Iš tiesų, jei valtis neišlaikys vieno žmogaus, tai ji neišlaikys ir visų į ją

įsėdusių. Tačiau atvirkštinė implikacija negalima. Gali būti teisinga tai, kad jei jie visi kartu sės į

valtį, tai visi nuskęs kartu su ja. Tačiau gali būti klaidinga, kad kiekvienas, kuris atskirai sės į

valtį, nuskęs kartu su ja.

Išraiškos, kuri tvirtintų egzistavimo kvantoriaus išskaidymą implikacijoje, negali būti.

Patyrinėsime kvantorių jungimo dėsnis. Jie nurodo, kaip kvantorius iškeliamas už

skliaustų.

Bendrumo kvantoriaus jungimas konjunkcijoje:

Šis dėsnis lengvai gaunamas iš bendrumo kvantoriaus išskaidymo konjunkcijoje dėsnio,

sukeitus vietomis jo lygiavertes dalis.

Išraiškos, kuri tvirtintų egzistavimo kvantoriaus jungimą konjunkcijoje, negali būti, nes

egzistavimo kvantorius išskaidymo konjunkcijoje dėsnis suformuluotas ne kaip

lygiavertiškumas, bet kaip implikacija. Žinome, kad implikacijos antecendentas ir konsekventas

negali būti sukeisti vietomis.

Bendrumo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje:

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybę F arba kiekvienas x turi savybę G, tai kiekvienas x

turi savybę F arba savybę G.

Tarkime, kad kiekvienas mūsų grupiokas keliavo baidarėmis Molėtų ežerais arba mūsų

grupiokas keliavo Žeimena. Iš čia seka, kad kiekvienas mūsų grupiokas keliavo Molėtų ežerais

arba Žeimena. Tačiau iš išraiškos negalima išvesti išraiškos

Pvz., teisinga tai, kad kiekvienas medis turi lapus arba spyglius. Tačiau

būtų klaidinga teigti, kad kiekvienas medis turi lapus arba kiekvienas medis turi spyglius. Abu

šie teiginiai klaidingi, kad ir jų disjunkcija klaidinga.

Egzistavimo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje:

68

Šis dėsnis vėlgi gaunamas iš egzistavimo kvantoriaus išskaidymo disjunkcijoje dėsnio,

lygiavertiškumo narius sukeitus vietomis.

Išraiškos, kuri tvirtintų bendrumo kvantoriaus jungimą implikacijoje, negali būti, nes

bendrumo kvantoriaus išskaidymas implikacijoje suformuluotas ne kaip lygiavertiškumas.

Egzistavimo kvantoriaus jungimas implikacijoje:

Skaitome: jei yra toks x, kuris turi savybę F, tai yra toks x, kuris turi savybę G. Iš to seka,

jog yra toks x, kad jei x turi savybę F, tai x turi savybę G.

Tarkime, kad yra grupė studentų, kurie laikys logikos egzaminą. Jei yra studentai, kurie

laikys logikos egzaminą, tai yra studentas (tas ar kitas), kuris geriausiai išlaikys egzaminą. Iš to

seka, kad jei kažkuris studentas laikys egzaminą, tai jis išlaikys geriausiai.

Visi teiginių logikos dėsniai galioja ir predikatų logikoje, todėl savybių teorijos dėsnius

galima išvesti iš teiginių logikos dėsnių. Tuo tikslu teiginių logikos išraiškose kintamuosius p, q,

r reikia pakeisti savybių logikos kintamaisiais F(x), G(x), H(x), o loginės konstantos išlieka.

Išraiškoje pakeitę p išraiška F(x), o logines konstantas (dvigubą neigimą ir

lygiavertiškumo ženklą) palikę, gauname dvigubo neigimo dėsnį savybių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad išraiška “Netiesa, kad x neturi savybės F”

lygiavertė išraiškai “x turi savybę F”.

Pvz., jei netiesa, kad ši mergina nesimpatiška, tai reiškia, kad ji simpatiška.

Išraiškoje pakeitę p išraiška F(x), o logines konstantas palikę, gauname

prieštaravimo dėsnį savybių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad netiesa, jog x turi savybę F ir x neturi savybės F.

Pvz., neteisinga teigti, kad kas nors yra protingas ir neprotingas. Toks tvirtinimas tinka

kiekvienam objektui.

Išraiškoje pakeitę p išraiška F(x), gauname negalimo trečiojo dėsnį savybių

teorijoje.

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad x turi savybę F arba neturi savybės F.

Šitaip savybių teorijos dėsnius išvedant iš teiginių logikos dėsnių, prieš kiekvieną

savybių teorijos dėsnį rašomas bendrumo kvantorius. Jis parodo, kad tai kas dėsnyje teigiama,

tinka kiekvienam x.

69

Jei teiginių logikos išraiškoje yra ne vienas, bet keli kintamieji, tai kiekvienas iš jų

pakeičiame atskira savybių teorijos išraiška. Dėsnyje p pakeitę F(x), q pakeitę

G(x), gauname kontrapozicijos dėsnį savybių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad jei iš to jog x turi savybę F, seka, kad x turi savybę

G, tai iš to, kad x neturi savybės G, seka, jog x neturi savybės F.

Pavyzdys. Kiekvienas, jei jis krepšininkas, tai jis sportininkas. Iš to seka, kad jei jis ne

sportininkas, tai jis ir ne krepšininkas.

Savybių teorijos dėsniai iš teiginių logikos dėsnių išvedami ir kitokiu būdu. Teiginių

logikos kintamieji p, q, r pakeičiami išraiškomis ir pan. Dėsnyje

p pakeitus išraiška o q – išraiška gauname:

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybę F, tai yra toks y, kuris turi savybę G. Iš to seka,

kad jei netiesa, jog yra toks y, kuris turi savybę G, tai netiesa, kad kiekvienas turi savybę F.

Pakartojimui

1. Aptarkite vienų kvantorių pakeitimo kitais dėsniais.

2. Kaip formuluojami bendrumo ir egzistavimo kvantorių išskaidymai ir jungimai

konjunkcijoje, disjunkcijoje ir implikacijoje?

3. Kas yra dvejybiškumas predikatų logikoje ir kaip jo dėka išvedami dėsniai?

4. Kaip savybių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių?

Pratimai

1. Remdamiesi kvantorių pakeitimo dėsniais, nustatykite, kokiems teiginiams lygiaverčiai

šie teiginiai:

a) Visi pasiruošėme seminarui.

b) Netiesa, kad visi pasiruošėme seminarui.

2. Išraiškai taikydami dvejybiškumą, išveskite

naują dėsnį.

3. Teiginių logikos dėsnį paverskite savybių teorijos dėsniu.

4. Išraiškų pertvarkymas savybių teorijoje

70

Savybių teorijos išraiškos įvairiai pertvarkomos, iš vienų išraiškų išvedant kitas joms

lygiavertes išraiškas.

Dėsniai

rodo, kad kurioje nors išraiškoje kintamąjį pakeitę kitu kintamuoju, gauname jai lygiavertę

išraišką. Išraiškoje pakeitę x kintamuoju y, gauname lygiavertę išraišką

Keičiant kintamąjį kitu kintamuoju, reikia pakeitimą daryti visoje išraiškoje,

kur tas kintamasis bebūtų. Be to, surištų kintamųjų negalima pakeisti surištais. Išraiškos

negalima patvarkyti į išraišką . Pirmoje išraiškoje y

laisvas kintamasis, o antroje jis pakeičiamas surišta kintamuoju.

Savybių teorijos išraiškas galima taip pertvarkyti, kad kvantoriai būtų iškelti prieš visus

kitus išraišką sudarančius simbolius. Sakoma, kad šitaip pertvarkytu išraiška įgauna normaliąją

formą. Išraiškos normalioji forma ši: . Skaitome:

kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad x turi savybę F arba y turi savybę G.

Taikant kvantorių lygiavertiškumo dėsnius ir teiginių logikos dėsnius, savybių teorijos

išraiškas galima taip pertvarkyti, kad neigimas tektų tik savybėms. Panagrinėkime išraišką:

.

Skaitome, netiesa, kad jei yra toks x, kuris turi savybę F, tai kiekvienas y turi savybę G.

Taikant šiai išraiškai teiginių logikos dėsnį , gauname:

.

Pritaikę kvantorių lygiavertiškumo dėsnį , gauname:

Gautoje išraiškoje neigimas tenka tik savybėms.

Panašiai išraiškos pertvarkomos ir antroje predikatų logikos dalyje - santykių teorijoje.

Pakartojimui

1. Kaip vieni kintamieji pakeičiami kitais kintamaisiais?

2. Kaip pertvarkyti savybių teorijos išraišką, kad ji įgautų normaliąją formą?

Pratimai

1. Išraiškoje laisvą kintamąjį pakeiskite kitu kintamuoju.

2. Suteikite normaliąją formą išraiškai

3. Išraišką pertvarkykite taip, kad neigimas tektų tik savybėmis.

71

5. Formalioji implikacija

Teiginys, tyrintis formą “iš to, kad x turi predikatą F, visuomet seka, kad x turi predikatą

G, vadinamas formaliąja implikacija. Šis apibrėžimas reiškiamas išraiška

Taigi formalioji implikacija reiškiama materialiąja implikacija bei bendrumo kvantoriai ir

turi šią prasmę: kiekvienas objektas, turintis predikatą F, turi ir predikatą G.

Čia galimi du atvejai.

1. Objektų klasė yra baigtinė, ir jos elementai yra žinomi. Tarkime, kad ant prekystalio

pateikta 20 prekių. Tada teiginio “Kiekvienas x, jei x yra prekė, gulinti ant prekystalio,

tai ji yra lietuviška” teisingumas nustatomas, peržiūrint kiekvieną prekę. Vadinasi, šiuo

atveju išraiška turi konjunkcijos prasmę:

Ši formalioji implikacija

teisinga, kai teisingi visi konjunkcijos nariai, t.y. visos atskiros implikacijos.

2. Objektų x klasė nesuskaičiuojama. Tada formaliosios implikacijos teisingumas negali

būti reiškiamas atskirų implikacijų konjunkcija. Teiginio “Kiekvienas x, jei x gyvoji

būtybė, tai x būdingas vislumas” teisingumas negali būti nustatytas stebint atskirus

atvejus, nes tų atvejų nesuskaičiuojama daugybė”.

Formalioji implikacija reikalinga formalizuoti vienam iš jungties “jei …, tai” vartojimo

variantų. Joje šiek tiek išreiškiamas prasminis antecendento ir konsekvento ryšys.

Pakartojimui

1. Kas yra formalioji implikacija ir kokiu tikslu ji vartojama?

2. Kaip nustatomas formaliosios implikacijos teisingumas?

Pratimai

1. Teiginiui “Visos miesto firmos turi pelną” suteikite formaliosios implikacijos prasmę.

2. Aptarkite šio teiginio teisingumo nustatymą.

SANTYKIŲ TEORIJA

6. Santykių samprata

72

Savybių teorijoje požymis buvo priskiriamas mažiausiai vienam objektui. Santykių

teorija nagrinėja tokius požymius, kuriu negalima priskirti vienam objektui. Mažiausiai turi būti

du objektai.

Kalboje gausu žodžių, reiškiančių santykius, pvz.:

daugiau brolis dovanuoti priežastingumas

lygu močiutė sukurti judėjimas

skirtingas bičiulis suvokti ginčas

būti tarp draugas kviesti mainai.

Santykių teorijoje objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z. Pačius santykius

žymėsime didžiosiomis raidėmis R, S. T.

Išraišką

xRy

skaitome taip: tarp objektų x ir y yra santykis R. Šią struktūrą turi teiginys “Medžiotojas nušovė

lapę”:

x R y

Medžiotojas nušovė lapę.

Kai santykis yra tarp dviejų objektų, jis vadinamas dviviečiu santykiu. Tačiau yra ir tokių

santykių, kurie egzistuoja tarp trijų, keturių ir daugiau objektų. Tokiu atveju sakoma, kad

santykis yra trijų, keturių vietų ir t.t. Jei savybės yra vienviečiai predikatai (požymiai), tai

santykiai yra daugiaviečiai predikatai (požymiai).

Teiginyje “Panevėžys yra tarp Vilniaus ir Šiaulių” santykis “būti tarp” reikalauja trijų

objektų. Panevėžį pažymėję raide x, Vilnį – y, Šiaulius – z, šį teiginį užrašome formule

R(x, y, z)

Skaitome: tarp objektų x, y, z yra santykis R.

Žodis “duoti” taip pat reiškia trivietį santykį: kas nors duoda ką nors kam nors, pvz.,

tėvas duoda vaikui kriaušę. Terminas “prekyba” – keturvietis santykis: kas nors kam nors ką nors

parduoda už tam tikrą kainą. Taigi prekės pirkimas yra keturvietis santykis, kuri sudaro pirkėjas,

pardavėjas, prekė ir pinigai, sumokami už prekę.

Daugelis požymių, kurie laikomi savybėmis, pasirodo tikrumoje esą ne savybės bet

santykiais. Kai sakoma, kad poelgis x geresnis už poelgį y, tai griežtai tariant, toks teiginys

netiksliai suformuluotas. “Būti geresniu” yra trijų vietų santykis: x geresnis už y z atžvilgiu, t.y.

poelgis x geresnis už poelgį y esamų moralei normų požiūriu.

Loginių santykių teorijoje pagrindinis santykis yra santykis tarp dviejų objektų, žymimas

išraiška xRy.

Santykių teorijoje plačiai vartojami kvantoriai. Panagrinėkime šias išraiškas:

73

x studijuoja geriau už y.

x atkūrė y.

Šios išraiškos yra ne teiginiai, bet propozicinės funkcijos. Santykių teorijoje ir

propozicinių funkcijų teiginiai sudaromi panašiai, kaip ir savybių teorijoje. Paprasčiausias būdas

propozicinę funkciją paversti teiginiu yra kintamųjų dydžių pakeitimas konkrečių objektų

vardais, pvz.:

Vytautas studijuoja geriau už Marytę.

Lietuvių tauta atkūrė nepriklausomybę.

Antras būdas propozicinę funkciją paversti teiginiu – susiejimas kvantoriais:

(x studijuoja geriau už y).

(x atkūrė y).

Šiuos teiginius skaitome taip:

Yra toks x ir yra toks y, iš kurių x studijuoja geriau už y.

Yra toks x ir yra toks y, iš kurių x atkūrė y.

Tai teisingi teiginiai, nes kiekvienoje grupėje gali būti du studentai, iš kurių vienas

studijuoja geriau už kitą; yra daug tautų, kurios atkūrė savo nepriklausomybę.

Santykių teorijoje, kaip ir savybių teorijoje, propozicinės funkcijos gali būti susiejamos

įvairiais kvantoriais. Išraiška Vy (xRy) skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad

tarp jų yra santykis R. Trumpiau galima sakyti taip: kiekvienas x yra santykyje R su kiekvienu y.

Tegul R reiškia “sukelti, x – “priežastis”, y – “pasekmė”. Skaitome: kiekvienai priežasčiai ir

kiekvienai pasekmei teisinga, kad priežastis sukelia pasekmę.

Išraiška (xRy) skaitome: yra toks x, kuris su kiekvienu y yra santykyje R. Pvz.,

yra žmonių, kurie … pavydūs.

Jei išraišką susiejantys kvantoriai vienodi, tai juos galima sukeisti vietomis. Ar

parašysime (xRy), ar (xRy), nuo to išraiškos esmė nepasikeis. Tačiau jei išraišką

susiejantys kvantoriai nevienodi, tai jų sukeisti vietomis negalima, nes, sukeitus vietomis,

pakinta išraiškos prasmė.

Santykių teorijoje yra ir tokių išraiškų, kuriose ne visi kinttamieji susieti, pasitaiko ir

laisvų kintamųjų. Išraiškoje (xRy) kintamasis x surištas, o kintamasis y laisvas.

Pakartojimui

1. Ką nagrinėja santykių teorija?

2. Kiek objektų santykis gali apimti?

74

3. Kaip santykių teorijoje vartojami kvantoriai?

Pratimai

1. Kurie iš pateiktų žodžių reiškia savybes ir kurie – santykius:

a) gyventi kaimynystėje;

b) mylėti;

c) būti geru specialistu.

2. Kiek objektų reikalauja šie santykiai:

a) diskusija;

b) vienareikšmiškumas;

c) kaltinti;

d) sugriauti.

3. Perskaitykite išraišką (xRy) ir x bei y pakeiskite konkrečiais objektais, o santykį

R konkrečiu santykiu taip, kad gautumėte teisingą teiginį.

7. Veiksmai su santykiais

Su loginiais santykiais atliekami tam tikri veiksniai.

Santykio neigimas

Santykį neigiant, virš santykio rašomas neigimo ženklas. Išraišką

x y

skaitome: netiesa, kad tarp x ir y yra santykis R; tarp x ir y nėra santykio R.

Teiginyje “Netiesa, kad Sovietų Sąjungoje buvo ginamos žmogaus teisės” nurodoma, kad

tarp šių objektų tokio santykio nebuvo.

Santykio konversija

Kai xRy yra bet koks santykis, tai xRy konversija yra santykis, kuris atsiranda tarp x ir y.

Santykio konversija žymima simboliu R ir išreiškiama formule

XRy~yRx.

Santykio “x yra y tėvas” konversija – tai santykis “y yra x sūnus”. Santykio “Marytė myli

Joną” konversija – “Jonas yra “Marytės mylimas”. Taigi, jei santykį reiškiąs žodis yra

veiksmažodis, tai santykio konversija reiškiama neveikiamąja … (pasyvu).

Tam tikro santykio konversijos konversija yra pradinis santykis:

R ~ R.

Santykio “x lengvesnis už y” konversija – santykis “y sunkesnis už x”; santykio “y

sunkesnis už x” konversija – santykis “x lengvesnis už y”.

Pažymėtina, kad konversijos neigimas nieko nekeičia:

75

Skaitome: konversijos neigimas lygiavertis konversijos neigimui.

Galima konversuoti ir santykį konjunkciją ir disjunkciją. Pvz.:

RVS~(xRyVxSy)~(yRxVySx).

Tegul R žymi santykį “suvalgyti”, o S santykį “pagaminti”. Sudarome teiginį “x suvalgė

y arba x pagamino y”. Jį konversavę, gausime: “y buvo x-so suvalgytas arba y buvo x

pagamintas”.

Santykyje xRy visi objektai x sudaro šio santykio sritį, o visi objektai y sudaro santykio

R konversinę sritį. Santykio sritį ir konversinę sritį sudaro vienarūšiai arba nevienarūšiai

objektai. Santykyje “x draugauja su y” santykio sritį ir konversinę sritį sudaro vienarūšiai

objektai – žmonės. Tuo tarpu santykyje “Inžinieriai sukūrė naują mobiliųjų telefoną” santykio

sritį sudaro žmonės, o konversinę sritį – kitos rūšies objektai – elektroniniai įrenginiai. Santykio

sritis ir konversinė sritis sudaro santykio lauką.

Santykio sudėtis

Dviejų santykių sudėtinis nustatoma, kad tarp objektų x ir y yra bent vienas iš santykių R,

S. Santykių sudėtis žymima simboliu . Išraiška

R S

skaitoma: santykis R sudedamas su santykiu S. Detaliai santykių sudėtis reiškiama formule:

xRyxSy.

Santykių sudėtis suprantama taip, kad tarp objektų x ir y yra bent vienas sudėdamų

santykių. Vadinasi, ženklas čia reiškia tą patį, ką ir silpnoji disjunkcija teiginių logikoje:

(RS)~(xRyVxSy).

Santykis “būti tėvais” yra santykių “būti tėvu” (R) ir “būti motina” (S) sudėtis. Tai

reiškia: x yra y tėvas arba x yra y motina. Jei ką nors laikome x tėvas, tai turi būti arba x tėvas,

arba x motina. Santykių “būti draugu” (R) ir “būti pažįstamu” (S) sudėtis reiškia, kad x yra y

draugas arba x yra y pažįstamas.

Santykių daugyba

Dviejų santykių daugyba nustatoma, kad tarp objektų x ir y yra abu santykiai R ir S.

Santykių daugybe žymima ženklu . Išraiška

RS

skaitoma: santykis R dauginamas su santykiu S. Detaliau santykių daugyba užrašoma taip:

xRyxSy.

Sudauginus santykius “būti jaunesniu” (R) ir “būti draugu” (S), gauname: x jaunesnis už

y ir x yra y draugas. Taigi ženklas reiškia tą patį, ką ir konjunkcija teiginių logikoje:

76

(RS)~(xRyxSy).

Sudauginę santykius “dirbti geriau” (R) ir “dirbti greičiau” (S), gauname: x dirba geriau

už y ir x dirba greičiau už y. Pvz., naujai sukurtas kompiuteris dirba geriau ir greičiau už seną.

Santykių sudėtis ir daugyba tarpusavy skiriasi. Sudedant du santykius, laikoma, kad tarp

objektų x ir y yra bent vienas sudedamų santykių. Dauginant du santykius, laikoma, kad tarp

objektų x ir y yra abu santykiai. Jei santykį “pažinti” sudėsime su santykiu “patikti”, gausime: x

pažįsta y arba x patinka y. Jei šiuos du santykius dauginsime, gausime: x pažįsta y ir x patinka y.

Santykių kompozicija

Santykių kompozicija iš dviejų santykių sudaromas naujas sudėtinis santykis. Santykiai

“senas kolega”, “tėvo brolis” ir pan. gaunami santykių kompozicijos būdu.

Santykių kompozicija žymima taip:

RS.

Santykių kompozicija – veiksmas, kuriuo nustatomas santykis tarp objektų x ir y,

remiantis jų santykiais su objektu z:

xRSy~ x(xRzzSy).

Teiginį, kad tarp x ir y yra santykiai R ir S, užrašome: xR; Sy. Tokiu atveju egzistuoja

objektas z, su kuriuo x yra santykyje R ir kuris yra santykyje S su y:

xRzzSy.

Skaitome: x yra santykyje R su z, o z yra santykyje S su y.

Tegul R reiškia “būti dukra”, o S – “būti seserimi”. Tada pateiktą santykį kompozicijos

formulę skaitome: x yra z dukra, o z yra y sesuo. Vadinasi, x yra y sesers dukra. Sukomponavę

santykius “dukra” ir “sesuo”, gavome naują santykį “sesers dukra”.

Tegul R reiškia “pažįstamas”, o S – “draugas”. Sukomponavę šiuos du santykius,

gauname: x yra z pažįstamas, o z yra y draugai; vadinasi, x yra y draugo pažįstamas.

Galima santykių kompozicijos konversija:

xRzzSy~zSyxRz~ySzzRx.

Tegu R žymi santykį “būti mokytoju” S – “būti vyresniuoju draugu”. Kompozicijos “x

yra mokytojas, o z yra y vyresnysis draugas” konversija bus tokia: “y yra x mokinio jaunesnysis

draugas”. Tegu x žymi Sokratą, y – Aristotelį, z – Platoną. Teiginio “Sokratas yra Platono

mokytojas, o Platonas yra Aristotelio vyresnysis draugas” konversija yra teiginys “Aristotelis yra

Sokrato mokinio (Platono) jaunesnysis draugas”.

Pakartojimui

1. Kaip santykis neigiamas?

2. Kas yra santykio konversija?

77

3. Apibūdinkite santykių sudėtį ir daugybą, nusakykite skirtumą tarp šių veiksmų.

4. Kas yra santykių kompozicija?

Pratimai

1. Suraskite santykio konversija: “Pirkėjas susipažino su nauju butu”.

2. Kaip sukomponuoti santykį “brolio sūnus”?

3. Išspręskite uždavinį: Sigutei dukart daugiau metų, negu Birutė jų turės tada, kai Zinai bus

tiek, kiek Sigutei dabar. Kuri vyriausia, vidurinė ir jauniausia?

8. Specialios loginės santykių savybės

Nors pasaulyje begalė objektų ir santykių tarp jų, tačiau santykiai turi tikrų savybių,

kurias ir išnagrinėsime.

REFLEKSYVUMAS. Refleksyviniu vadinamas toks santykis, kai objektas yra tame

santykyje su pačiu savimi. Refleksyvumo santykis užrašomas

xRx.

Lygybės, tapatybės, panašumo santykiai yra refleksyvus, nes kiekvienas objektas lygus

pats sau, tapatus pats sau ir pan.

Nerefleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas nėra tame santykyje su savim pačiu.

Nerefleksyvumo santykis užrašomas

x x.

Būti sunkesniu, vyresniu, kaimynu, kolega – nerefleksyvūs santykiai, niekas negali būti

paties savęs kolega ir pan.

SIMETRIŠKUMAS. Simetrišku vadinamas toks santykis, kai būdamas tarp objektų x ir y,

jis yra tarp objektų y ir x. Simetriškumo santykis užrašomas

xRy yRx.

Santykis “stovėti greta” simetriškas, nes jei x sėdi greta y, tai y sėdi greta x. Skirtumo

santykis taip pat simetriškas: x skiriasi nuo y; o y skiriasi nuo x.

Jei santykio, kuris yra tarp objektų x ir y, nėra tarp objektų y ir x, jis vadinamas

nesimetrišku. Nesimetriškumo santykis užrašomas

xRy y x.

Santykiai “būti tėvu”, “būti protingesniu” – nesimetriški: jei x yra y tėvas, tai y yra sūnus

arba duktė; jei x sunkesnis už y, tai y lengvesnis už x. Kartais negalima pasakyti ar santykis

simetriškas, ar nesimetriškas. Pvz., jei x myli y, tai jokiomis logikos priemonėmis nenustatysi, ar

y myli x, ar nemyli.

78

TRANZITYVUMAS. Tranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x

ir y ir tarp objektų y ir x, yra taip pat tarp objektų x ir z. Tranzityvumo santykis užrašomas

(xRy yRz) xRz.

Santykiai “lygus”, “didesnis”, “aukštesnis” – tranzityvūs: jei x įvyko ankščiau už y, o y

įvyko ankščiau už z, tai x įvyko ankščiau už z.

Netranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y ir tarp objektų

y ir z, nesti tarp objektų x ir z. Netranzityvumo santykis užrašomas

(xRy yRz) x z.

Pvz., jei x yra y tėvas ir y yra z tėvas, tai x jau ne z tėvas, bet senelis. Kartais vien logikos

priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar santykis tranzityvus, ar netranzityvus. Pvz., jei x yra y

bičiulis, o y yra z bičiulis, tai visai neaišku, ar x yra z draugas.

VIENAREIKŠMIŠKUMAS. Dažnai svarbu nustatyti kiekį objektų, tarp kurių yra kuris

nors santykis. Kiekvienas turi tik vieną tėvą ir vieną motiną, tuo tarpu pastarieji gali turėti ir

daugiau vaikų.

Vienareikšmiu vadinamas toks santykis, kai santykyje xRy kiekvieną objektą y atitinka

tik vienas objektas x. Santykis “x yra y pirmasis mokytojas” – vienareikšmis. Kiekvienas (y),

pirmą kartą atėjęs į mokyklą, turi savo pirmąjį mokytoją (x). Tačiau pirmasis mokytojas turi ne

vieną mokinį, bet visą klasę.

Vienareikšmiškumo santykis užrašomas

(xRy yRz) (x = z).

Jei x yra y tėvas, tai y yra x sūnus ir x = z, nes y negali turėti vieną tėvą.

Abipusiai vienareikšmis santykis yra tada, kai santykyje xRy kiekvieną objektą y atitinka

tik vienas objektas x, ir atvirkščiai: kiekvieną objektą x atitinka tik vienas objektas y. Teiginyje

“M. Mažvydas išleido pirmąją lietuvišką knygą” išreikštas … vienareikšmis santykis. …

žiniomis, pirmąją lietuvišką knygą išleido vienas asmuo – M. Mažvydas, ir atvirkščiai: M.

Mažvydas išleido vienintelę pirmąją lietuvišką knygą.

Yra santykių, kurie turi kelias specialias ligines savybes. Skirtumo santykis yra

nerefleksyvus, simetriškas; lygybės santykis refleksyvus, simetriškas, tranzityvus.

Pakartojimui

1. Koks santykis vadinamas refleksyviu, nerefleksyviu?

2. Koks santykis vadinamas simetrišku, nesimetrišku?

3. Kas yra tranzityvumas, netranzityvumas?

4. Koks santykis vadinamas vienareikšmiu, abipusiai vienareikšmiu?

79

Pratimai

Išspręskite uždavinį:

Danutė, Janina, Birutė, Bronius, Domas ir Tomas kartu mokėsi universitete, ir trejas

vestuves šešetas nutarė iškelti taip pat kartu. Kas ką vedė, jei žinoma, kad Tomas – Danutės

brolis. Jis vyresnis už Domą. Birutė – vyriausia iš merginų. Bendras kiekvienos poros amžius

visų vienodas, tačiau metai skirtingi. Domui ir Janinai kartu tiek pat metų, kiek jų turi Bronius ir

Danutė.

9. Tapatybės santykis

Tapatybės santykis turi svarbią reikšmę moksluose ir įvairiose technologijų bei gyvenimo

srityse. Tapatybę galima nagrinėti dviem požiūriais – ontologiniu ir loginiu. Ontologiniu

požiūriu nagrinėjama objektų ir reiškinių tapatybė. Loginiu požiūriu nagrinėjama minčių

tapatybė. Tiek ontologiniam, tiek ir loginiam tapatybės aspektui būdingi bendri bruožai, kuriuos

ir panagrinėsime.

Kalboje tapatybė reiškiama įvairiai:

x tapatus y.

x toks pat, kaip y.

x lygus y, ir pan.

Yra keli tapatybės dėsniai. Pagrindinis tapatybės dėsnis formuluojamas taip: x tapatus y ,

jei ir tik jei x turi kiekvieną požymį, kurį turi y , ir y turi kiekvieną požymį, kurį turi x .

Kitaip tariant, x tapatus y, jei ir tik jei x visi jų požymiai bendri jiems abiems. Tapatybę

pažymėję ženklu = , požymius – raide Q, pagrindinį tapatybės dėsnį užrašome taip:

(x = y) ~ Q [Q(x) ~ Q (y)].

Skaitome: x tapatus y, jei ir tik jei kiekvieną požymį Q, kai jį turi objektas x, tai jį turi

objektas y, ir priešingai.

Vadinasi, jei objektas x turi kokį nors požymį, o objektas y jo neturi, tai x skirtingas nuo

y.

Nesunku suprasti, kad tokių objektų, kurių visi požymiai būtų tie patys, tikrovėje nėra.

Absoliučiai tapačių objektų negali būti dėl …. pasaulio įvairovės. Sakoma, kad nėra dviejų

tapačių lapų ant medžio. Absoliuti tapatybė yra abstrakcija, sudaryta atsyjant nuo tikrovės.

Realiai egzistuoja ne absoliučiai, bet santykiniai tapatūs objektai, t.y. objektai, kuriuo nors

atžvilgiu turintys tuo pačius požymius.

Iš pagrindinio tapatybės dėsnio išvedamas kitas svarbus tapatybės dėsnis: kiekvienas

objektas tapatus pats sau. Šis dėsnis užrašomas taip

x = x.

80

Dėl šio dėsnio būna įvairių nuomonių. Kildavo teisėtas klausimas, kaip objektai išsaugo

savo tapatybę, jei jie kinta, vystosi. Jau Herakleitas teigė, kaip žinote, kad gamtoje nieko nėra

pastovaus. P a n t a z e i - štai Herakleito principas. Herakleitas sako – du kart į tą pačią upę

neįbristi. Kitas graikų filosofas Kratilas nuėjo dar toliau – į tą pačią upę ir vieną kartą neįbrisi.

Nes brendant upė keičiasi! Upė netapati pati sau. Kratilas moki, kad reikia susilaikyti nuo

sprendimų apie daiktus. Nes, pasak Kratilo, pradėjus ką nors teigti apie daiktą, daiktas kinta,

vadinasi, baigus sakyti, daiktas jau kitas. Tegalima pirštu rodyti į daiktą.

Akivaizdu, Kratilo samprotavimai, neišlaiko sveiko proto kritikos, nes daiktams kintant,

juose visuomet išlieka pastovumo momentai. Juose daiktai išlaiko savo kokybinį ir kiekybinį

saiką – apibrėžtumą. Kitaip tariant, jie nenustatę buvę tuo, kas jie yra, t.y. tapatūs sau.

Šio santykinio objektų pastovumo momento atsispindėjimas mąstyme yra loginis

tapatybės dėsnio aspektas: kiekviena mintis tapati pati sau. Šis dėsnis užrašomas taip

A = A,

kur A reiškia kokią nors mintį.

Iš šio dėsnio seka, kad tame pačiame samprotavime sąvokos, teiginiai turi būti vartojami

vienareikšmiškai. Diskusija gali būti nevaisinga todėl, kad diskutuojančios pusės neišaiškina, ar

tuo pačiu žodžiu supranta skirtingus ar tuos pačius objektus.Štai pavyzdys: mokinys klausia

mokytojo, ar galima bausti už tai, ko nepadarei. Mokytojas atsako, kad ne. tada mokinys prašo jo

nebausti už tai, kad jis neparuošė pamokos. Mokytojas …, kad klausdamas mokinys žodį

“nepadarė” vartoja prasme “nepadarė ir neprivalo daryti”. Tuo tarpu mokinys, prašydamas

nebausti, žodį “nepadarė” vartoja prasme “nepadarė, bet privalėjo padaryti”.

Pakartojimui

1. Kokiais dviem požiūriais tapatybė nagrinėjama?

2. Apibūdinkite tapatybės dėsnį.

3. Kaip suprantamas loginis tapatybės dėsnio aspektas?

4. Kodėl sąvokas ir teiginius samprotavimuose reikia vartoti vienareikšmiškai?

Pratimai

1. Ar žodis “Petras” vienareikšmiškai pavartotas:

a) Petras yra vyras;

b) Petras yra vardas.

Kodėl antras sakinys netaisyklingai parašytas?

2. Suraskite klaidų šiame samprotavime: Lapė – plėšrūnė. Lapė - …. žodis. Vadinasi, kai kurie

… žodžiai – plėšrūnai.

81

10. Santykių teorijos dėsniai

Santykių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių.

Išraiškoje pakeitę p xRy, o logikos konstantas palikę, gauname dvigubo neigimo dėsnį

santykių teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad išraiška “Netiesa, kad tarp x ir y

nėra santykio R” lygiavertė išraiškai “Tarp x ir y yra santykis R”.

Pvz., jei netiesa, kad doktorantas nebaigė rašyti disertacijos, tai šitai reiškia, kad

doktorantas baigė rašyti disertacija.

Išraiškoje pakeitę p xRy, gauname negalimo trečiojo dėsnį santykį teorijoje:

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R arba tarp jų

santykio R nėra.

Jei teiginių išraiškoje yra ne vienas, bet keli kintamieji, tai kiekvienas iš jų pakeičiamas

atskira santykių teorijos išraiška: p pakeičiamas xRy, q pakeičiamas xSy ir t.t. Pvz.,

kontrapozicijos dėsnis santykių teorijoje reiškiamas taip:

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad jei

tarp jų yra santykis R, tai tarp jų yra santykis S; iš to seka, kad jei tarp x ir y nėra santykio S, tai

tarp jų nėra santykio R. Pvz., apie bet kuriuos du žmones teisinga pasakyti, kad iš to, jei jie

broliai, tai jie giminės, seka, kad jei jie ne giminės, tai jie ne broliai.

Santykių teorijos dėsniai išvedami taip pat iš savybių teorijos dėsnių, savybes pakeičiant

santykiais.

Pakartojimui

Kaip santykių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių?

Pratimai

Paaiškinkite, kaip išvedamos šios išraiškos:

1)

2)

11. Santykių išreiškimas savybių teorijos terminais

Santykiai gali būti:

1. Tarp individų, pvz., “Jonas aukštesnis už Petrą”.

2. Tarp objektų klasių, pvz., “Šitos komandos žaidėjai aukštesni, negu anos”.

82

3. Tarp pačių santykių, pvz., “Verčiau ubagas, negu vargas”.

Nors predikatų logikoje skiriame savybes (vienviečius predikatus) ir santykius

(daugiaviečius predikatus), tačiau šis skirtumas ne absoliutus. Pačius santykius galima laikyti

savybėmis, būtent, savybėmis sutvarkytų objektų dvejetų, trejetų, ketvertų ir t.t. Antai santykis

“būti vedusiam” gali būti aiškinamas kaip savybė, kurią atitinka sutvarkytas dvejetas – vyras,

moteris. Tada predikatas “vedęs” priskiriamas vyriškiui.

Tai, kad objektų dvejetas, trejetas, ketvertas ir t.t. yra sutvarkytas duotojo santykio

atžvilgiu, reikia, jog šiuo santykiu galima susieti ne bet kokius objektus, o tik išdėstytus tam tikra

tvarka. Pvz., santykį “daugiau” atitinka skaičių pora 2, 1. Ji ir yra sutvarkyta šio santykio

atžvilgiu. O pora 1, 2 šio santykio neišpildo, nes 1>2 – klaidinga. Panašiai santykis “būti

ištekėjusiai” reiškia savybę, kurią atitinka dvejetas – moteris, vyras.

Pakartojimui

1. Kodėl skirtumas tarp savybių ir santykių ne absoliutus?

2. Ką reiškia, kad objektų dvejetas, trejetas ir t.t. yra sutvarkytas kurio nors santykio

atžvilgiu?

12. Išsprendžiamumo problema predikatų logikoje

Ankščiau nagrinėjome, kaip teiginių logikoje galima spręsti išsprendžiamumo problemą

kiekvienos išraiškos atžvilgiu, teikiant matricų metodą arba suteikus normaliąją formą. Visai kas

kita predikatų logikoje. Predikatų logikoje nėra kokio nors bendro metodo išsprendžiamumo

problemai spręsti. Nei savybių teorijoje, nei santykių teorijoje nėra bendro metodo nustatyti, ar

tam tikra išraiška visuomet teisinga, ar visuomet klaidinga, ar ji kartais teisinga. To priežastis –

predikatų logikos sudėtingumas. Predikatų logikoje nagrinėjami sudėtingesni loginiai veiksmai,

negu teiginių logikoje. Tiesa, atskirose predikatų logikos srityse egzistuoja metodai

išsprendžiamumo problemai spręsti. Tačiau sudėtingesniais atvejais, nustatant predikatų logikos

išraiškos teisingumo reikšmę, reikia nemaža patyrimo ir sumanumo.

Pasaulis – neišsemiama įvairiausių objektų su skirtingiausiomis savybėmis tikrovė, todėl

jos neįmanoma aprėpti viena logine išsprendžiamumo procedūra. Išsprendžiamumo teorija

predikatų logikoje kuriama atskiroms objektų sritims.

Predikatų logikos formulė vadinama išpildoma kokioje nors objektų srityje, jei jos

predikatinius kintamuosius F, G, R, S … pakeitus tam tikrais konkrečiais predikatais ir laisvus

individinius kintamuosius x, y, z… pakeitus tam tikrais individualiais objektais, formulė tampa

teisingu teiginiu.

83

Predikatų logikos formulė vadinama visuomet teisinga, arba bendrareikšme, kokioje nors

objektų srityje, jei jos predikatinius ir individinius kintamuosius pakeitus bet kuriais tos objektų

srities predikatais ir individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu.

Predikatų logikos formulė vadinama, visuomet teisingu, arba bendrareikšme, bet kurioje

objektų srityje, jei jos predikatinius ir individinius kintamuosius pakeitus bet kuriais tos objektų

srities predikatais ir individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu.

Pateiktuose apibrėžimuose numatoma, kad predikatų logikos formulėse nėra

individualius objektus žyminčių simbolių.

Išraiška , žinoma, ne visuomet teisinga, ne bendrareikšmė, nes ne bet kurie

predikatai ir individualūs objektai ją paverčia teisingu teiginiu. Tuo tarpu išraiška

visuomet teisinga bet kurioje objektų srityje.

Jei formulė Q kokioje nors srityje ne visuomet teisinga, tai toje srityje išpildoma. Jei

formulė kokioje nors srityje neišpildoma, tai formulė Q toje srityje visuomet teisinga.

Išsprendžiamumo problema predikatų logikoje laikoma išspręsta, jei yra metodas, kuris

įgalina nustatyti, kokiose objektų srityse kiekviena formulė išpildoma arba esti visuomet teisinga

ir kokiose – ne. efektyvi išsprendimo priemonė predikatų logikoje yra aksiominis dedukcinis

metodas, kurio struktūra aiškinama vėliau.

Pakartojimui

1. Apibūdinkite išsprendžiamumo problemą predikatų logikoje.

2. Kada predikatų logikos formulė išpildoma?

3. Kada predikatų logikos formulė bendrareikšmė kurioje nors objektų srityje ir bet kurioje

objektų srityje?

Pratimai

1. Ar išraiška išpildoma kokioje nors srityje?

2. Kokiose srityse išraiška yra bendrareikšmė?

13. Predikatų logikos taikymas filosofijoje

Baigiant nagrinėti predikatų logiką, trumpai paliesime jos panaudojimą samprotavimams

nagrinėti. Yra geras pavyzdys, parodantis kaip gali pasitarnauti predikatų logika sprendžiant

problemą, dėl kurios buvo tiek daug ginčijamasi. Senovės filosofas Zenonas Elėpėtis įrodinėjo,

kad, nagrinėdami kūno judėjimą, prieiname prieštaravimą mąstyme. Kadangi prieštaravimų

mąstyme neturi būti, tai protas negali įrodyti kūnų judėjimo. Zenonas sako, kad strėlė iš taško A

pasiekia tašką B per tam tikrą laiką. Pažymėkime tą laiką t1 – t2. Per šį laiką strėlė turi pereiti

84

tarpinius taškus, esančius tarp A ir B. Kiekvienu laiko t1 – t2 momentu strėlė turi būti kuriame

nors tarpiniame taške. Tai, kad strėlė yra kokiame nors tarpiniame taške, reiškia, kad ji tuo laiko

momentu (nors ir labai trumpu) yra rimtyje, t.y. nejuda. Išeina, kad judėjimą sudaro rimties

būvių suma, o tai aiškiai klaidinga. Iš čia Zenonas daro išvadą, kad strėlės judėjimo protas negali

įrodyti.

Šį Zenono samprotavimą galima užrašyti predikatų logikos terminais. Įnešime šiuos

žymėjimus:

a – judas kūnas (strėlė).

T – bet kuris laiko t1 – t2 momentas.

m – bet kuris erdvės taškas.

Teiginį, kad kiekvienu laiko t1 – t2 momentu yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a

turi būti, užrašome:

(a yra taške m laiko t1 – t2 momentu T).

Tačiau iš to dar neseka, kad strėlė laiko tarpu t1 – t2 yra rimties būvyje. Strėlė per laiką t1 – t2

būtų rimties būvyje tuo atveju, jei iš teiginio “Bet kuriuo laiko t1 – t2 momentu T yra toks erdvės

taškas m, kuriame strėlė a turi būti” būtų galima išvesti teiginį “Yra toks erdvės taškas m,

kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t1 – t2 momentu T”. Šį antrą teiginį užrašysime

(a yra taške m laiko t1 – t2 momentu T).

Vadinasi, Zenono įrodinėjimas, kad strėlė nejuda, būtų teisingas, jei būtų teisinga

implikacija [ (a yra taške m laiko t1 – t2 momentu T)] (a yra taške m laiko t1 –

t2 momentu T).

Tačiau kaip tik ši implikacija nėra teisinga, nėra logikos dėsnis. Iš teiginio

(a yra taške m laiko t1 – t2 momentu T)

negalima išvesti teiginio

(a yra taške m laiko t1 – t2 momentu T).

Toks antecendento kvantorių sukeitimas vietomis konsekvente

neleistinas.

Išraiška

nėra predikatų logikos dėsnis. Tačiau predikatų logikos dėsnis yra išraiška

Pagal šią išraišką, nagrinėjant strėlės kelią erdvėje, tegalima pasakyti: iš teiginio “Yra

toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t1 – t2 momentu T” seka teiginys

“Bet kuriuo laiko t1 – t2 momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti”. Tačiau

iš to neseka išvada, kad strėlė laiko tarpu t1 – t2 yra rimtyje. Vadinasi, Zenono Elijiečio

85

samprotavime, kad strėlė nejuda slypi tiesiog loginė klaida. Pateiktas pavyzdys rodo, kokią

naudą gali teikti simbolinės kalbos vartojimas vietoj įprastinės kalbos.

LOGINIŲ KLASIŲ TEORIJA

1. Loginė klasė ir jos struktūra

Teiginių logika ir predikatų logika rodo, kad teiginiai gali būti nagrinėjami įvairiais

požiūriais. Jei, pvz., teiginį “Kiekvienas lietuvis yra žmogus” nagrinėsime savybių teorijos

požiūriu, tai jame atrasime bendrumo kvantorių objektą, jo savybes “būti lietuviu” ir “būti

žmogumi”. Tačiau teiginį “Kiekvienas lietuvis yra žmogus” galima nagrinėti ir kitu požiūriu.

Galima tirti, kokie objektai sudaro lietuvių ir žmonių visumą, kiek tokių objektų yra, kokie jų

tarpusavio santykiai.

Loginė klasė yra visuma objektų, turinčių bendrus požymius.

Ąžuolas, beržas, klevas, uosis ir t.t. sudaro loginę klasę “medžiai”, nes jie visi turi

bendrus požymius: yra augalai, turi šaknis, kamieną, lapus ir t.t. Žodžiai “eiti”, “bėgti”, “skristi”,

“nešti” ir t.t. sudaro loginę klasę “veiksmažodžiai” dėl to, kad turi bendrą požymį – yra veiksmo

pavadinimai. Krepšininkai, futbolininkai, imtynininkai ir kt. Sudaro loginę klasę “sportininkai”.

Logikos požiūriu, pasaulio objektai egzistuoja ne kas sau,ne atskirai, bet sudaro tam

tikras klases. Todėl pasaulis suvokiamas kaip loginių klasių visuma.

Loginės klasės dar vadinamos loginėmis aibėmis.

Objektai, sudarantys klasę, vadinami loginės klasės elementais. Kiekvienas atskiras

veiksmažodis yra klasės “veiksmažodžiai” elementas, kiekvienas atskiras žmogus yra klasės

“žmonės” elementas.

Loginės klasės sudaro ne tik elementai, bet ir elementų deriniai. Elementų deriniai,

sudarantys loginę klasę, vadinami poklasiais. Klasę “žmonės” sudaro ne tik atskiri žmonės –

Jonas, Marytė, Liubomiras ir t.t. – bet ir poklasiai – lietuviai, islandai, kinai ir t.t

Ta pati klasė gali būti klase poklasiu. Tai priklauso nuo to, su kokia klase tą klasę

lyginame. Jai laikysime, kad klasę “krepšininkai” sudaro atskiri žaidėjai (pvz., Sabonis, Jautokas

ir kt.), tai visuma “krepšininkai” yra loginė klasė. Visuma “krepšininkai” yra klasė ir tuo atveju,

kai ją nagrinėjame kaip susidedančią iš atskirų poklasių, pvz.: “Žalgirio”, “Lietuvos rytos”

krepšininkai. Jei klasę “krepšininkai” nagrinėsime ryšium su klase “sportininkai”, tai šiuo atveju

krepšininkai yra klasės “sportininkai” poklasis. Klasę “sportininkai” sudaro daug poklasių –

krepšininkai, futbolininkai, imtynininkai ir pan. Taigi klasėje “sportininkai” kur kas daugiau

elementų, negu klasėje “krepšininkai”, kuri yra klasės “sportininkai” poklasis.

Elementus žymėsime mažosiomis alfabeto raidėmis: x, y, z. Klases ir poklasius

žymėsime didžiosiomis raidėmis: A, B, C. Elemento priklausymą klasei žymėsime simboliu .

86

Išraiška

x A

skaitoma: x yra klasės A elementas; x priklauso klasei A, ir pan.

Teiginys “Sviprlytė yra studentė” loginių klasių teorijoje užrašomas išraiška x A ,

kurioje x žymi Svirplytę, A – studentus, žymi x priklausymą klasei A.

Poklasio įskyrimą į klasę žymėsime simboliu . Išraiška

A B

skaitoma: klasė A įskiriama į klasę B; A yra klasės B poskyris.

Teiginys “Krepšininkai yra sportininkai” klasių teorijoje užrašomas išraiška A B , kur

A žymi krepšininkus, o B – sportininkus.

Pagal elementų skaičių klasės būna trejopos.

1. Klasės, kurias sudaro daug elementų. Tokios klasės gali turėti apibrėžtų ir neapibrėžtų

elementų skaičių. Klasių “Valstybės – Europos sąjungos narės”, “Lietuvos Respublikos

apskritys” elementai tiksliai suskaičiuojami. Klasė “Vingio parko medžiai 2004 m.” taip pat

apibrėžta, nes Vingio parke 2004 m. auga tam tikras medžių skaičius. Žinoma, nežinia ar jis

tiksliai suskaičiuotas. Klasės “sveikieji skaičiai”, “taškas”, “atomas” sudaro neapibrėžtas

elementų skaičius: visuomet galima atsirasti sveiką skaičių, didesnį už duotąjį; pasaulis

begalinis, todėl ir atomų skaičius begalinis.

Žodis “daug” klasių teorijoje reiškia, kad jei klasę sudaro bent du elementai, tai toji klasė

priskiriama toms klasėms, kurias sudaro daug elementų. Čia priskiriamas ir tos klasės, kurių

elementų skaičius griežtai neapibrėžtas – pvz., klasė “vaikai”. Ką priskirti šiai klasei – tai

priklauso nuo samprotaujančio asmens. Kitos tokios klasės: “protingi”, “gražūs”, “garbingi” ir

pan.

2. Klasės, kurias sudaro vienas elementas. Klasę “Ilgiausia Lietuvos upė” sudaro vienas

elementas – Nemunas. Klasės, kurios sudaro vienas elementas, gramatiškai gali būti

formuluojamos ir daugiskaitoje, pvz., “Asmenys, parašę pirmąją lietuvišką knygą”. Kadangi

tokių asmens tebuvo vienas (M. Mažvydas), tai šią klasę sudaro vienas elementas. Panašūs

formulavimai daugiskaitoje leistini ir teisėti, ypač tada, kai dar nežinoma klasės elementų

skaičius.

3. Klasės, kurios neturi vieno elemento. Tokios klasės vadinamos nulinėmis arba

tuščiomis. “Amžinasis variklis”, “bevaikės motinos duktė”, “mažiausias iš lygiųjų” – tai nulinės

klasės, nes jose pažymėtų objektų tikrovėje nėra. Nulinės yra ir socialinės psichologijos klasės:

“lemtis”, “stebuklas” ir pan. Nulinės klasės dažnai vadinamos fikcijomis, klaidingomis

sąvokomis. Logikoje nulinė klasė žymima simboliu O.

87

Nulinę klasę galima apibrėžti kaip klasę, kurios kiekvienas elementas įskiriamas į klasę ir

neįskiriamas į klasę A:

Pagal prieštaravimo dėsnį, klasė, kurios kiekvienas elementas būtų įskiriamas į ją ir

neįskiriamas, negalima, taigi tokia klasė neturi elementų. Nulinę klasę galima suprasti ir kaip

klasę objektų, kurie netapatūs patys sau (tuo pačiu tokia klasė neturi elementų, nes kiekvienas

objektas yra tapatus pats sau).

Nulinių klasių nedera painiuoti su idealizuotais objektais, tokiais kaip “taškas”,

“absoliučiai kietas kūnas”, “absoliučiai juodas kūnas – juodoji dėžė” ir pan. Tikrai, tokių objektų

realioje tikrovėje nėra, tačiau yra šių idealizuotų objektų prototipai: juodi kūnai, kieti kūnai ir t.t.

Tokie idealizuoti objektai gaunami idealizavimo procese ir naudojami moksliniame diskurse bei

turi euristinę vertę.

Visiška priešingybė nulinės klasės yra universalioji klasė. Ją sudaro visi objektai tos

srities, kurią turime galvoje spręsdami vienas ar kitas problemas. Kai orientuojama kokia nors

klase, ji visuomet mąstoma tam tikroje objektų srityje, arba universaliojoje klasėje. Operuojant

klase “pasakos”, ši klasė vartojama objektų srityje “tautosaka”; orientuojant klase “poezijos

kūriniai” ši klasė vartojama objektų srityje “grožinės literatūros kūriniai”. Objektų sritis

(universalioji klasė), kurios ribose vyksta samprotavimas, gali plėstis arba siaurėti. Universalioji

klasė žymima skaičiumi 1.

Pakartojimui

1. Kas yra loginė klasė?

2. Ką vadiname klasės elementais, poklasiais?

3. Kaip klasės skirstomas pagal elementų skaičių?

4. Kas yra universalioji klasė?

Pratimai

Suskirstykite klases pagal elementų skaičių:

1. Studentų mokslinės konferencijos dalyviai.

2. Inžinieriai, kurie kartu yra vadybininkai.

3. Rašytojai, parašę knygą “Don Kichotas”.

4. Lietuviai lakūnai, pirmieji perskridę Atlantą.

2. Izomorfizmas ir homomorfizmas

Izomorfizmas (graikų kalbos i s o s – “vienodas”, m o r p f i e – “forma”) ir

homomorfizmas (graikų kalbos h o m o i o s – “panašus”) yra svarbūs klasių ir santykių

88

požymiai.

Jei tarp klasės A ir klasės B elementus nustatytas toks atitikimas, kad kiekvieną klasės A

elementą atitinka tik vienas klasės B elementas ir kiekvieną santykį klasėje A atitinka tik vienas

santykis klasėje B, o kiekvieną klasės B elementą atitinka tik vienas klasės A elementas ir

kiekvieną santykį klasėje B atitinka tik vienas santykis klasėje A, tai toks atitikimas vadinamas

abipusiai vienareikšmiu, arba izomorfiniu, atitikimu.

Jei auditorijoje yra 25 stalai ir 25 studentai ir už kiekvieno stalo sėdi po vieną studentą,

tai auditorijoje esančių stalų klasė ir studentų klasė yra izomorfinės. Kiekvieną stalą atitinka tik

vienas studentas, kiekvieną studentą atitinka tik vienas stalas, ir erdvinius santykius tarp stalų

atitinka erdviniai santykiai tarp studentų. Jei kambaryje yra 10 vyrų, kurių visi yra su švarkais ir

nėra nė vieno kitaip apsirengusio, tai vyrų klasė ir švarkų klasė yra izomorfinės.

Izomorfizmas – svarbi bendramokslinė sąvoka, nurodanti, kad dviejų sistemų struktūros

tam tikru atžvilgiu vienodos.

Galima pateikti begalę izomorfizmo pavyzdžių: muzikos kūrinys ir …, ir t.t. ir t.t.

Matome, kad izomorfizmas susijęs ne su visomis objektų santykiais, o tik su kai kuriais.

Kitais požymiais objektai gali skirtis. Dvi klasės gali būti izomorfinės vienais požymiais ir

neizomorfinės kitais.

Izomorfizmo sąvokos apibendrinimas yra homomorfizmas. Homomorfizmas – tai

nepilnas izomorfizmas, t.y. atitikimo vienareikšmiškumas tik viena kryptimi: kiekvieną klasės A

elementą atitinką tik vienas klasės B elementas ir kiekvieną santykį klasėje A atitinka tik vienas

santykis klasėje B.

Tarkime, kad yra grupė žmonių (pvz.- 3), pragyvenusių įvairų metų skaičių: pirmasis –

21, antrasis – 19. Atitinkama jų amžiaus skaitinė išraiška yra 21>20>19. Asmenų pragyventų

metų didėjimo santykis su tą didėjimą išreiškiančių skaičių santykiu yra ne izomorfinis, bet

homomorfinis. Mat santykį 21>20>19 atitinka ne tik minimi trys asmenys, bet ir begalė kitų

žmonių ir objektų.

Jei klasės A objektams x, y, z… išpildomos šios klasės santykis R, tai klasės B objektams

x’, y’, z’… išpildomas B klasės santykis R’, atitinkantis santykį R. klasės B objektai ir santykiai

vadinami klasės A objektų ir santykių homomorfiniu atvaizdu. Kadangi, kiekvienas

izomorfizmas kartu yra ir homomorfizmas, bet ne priešingai, tai nurodytą sąlygą turi patenkinti ir

izomorfizmas.

Homomorfinis originalo atvaizdas yra nepilnas, apytikris originalo struktūros

pavaizdavimas. …. automobilio modelis yra homomorfinis būsimo automobilio pavaizdavimas.

Homomorfizmo sąvoka išreiškia atitinkamo santykį tarp tikrovės ir jos pažinimo,

aprašymo tais ar kitais terminais bei teorijomis. Jei teorija teisinga, tai jos teiginius atitinka

89

faktui, realiai esantys tikrovėje. Kita vertus, atrandami faktai fiksuojami teorijos teiginiais. Betgi

pasaulio pažinimo pilnumas ir tikslumas visuomet yra santykiniai, dėl to atitikimas tarp realaus

pasaulio objektų ir jų atvaizdų mąstyme yra homomorfinis.

Izomorfizmo ir homomorfizmo sąvokų paskirtis – pertvarkyti apie objektus gaunamą

informaciją (kurioje kartu su esminiais požymiais būna ir neesminių, netralinių požymių),

suteikiant jai … ir patogią formą.

Pakartojimui

1. Kas yra izomorfizmas?

2. Kas yra homomorfizmas?

3. Kokia šių sąvokų paskirtis?

Pratimai

Ar izomorfinės šios klasės:

1. Studentai grupėje, jų …..

2. Kairės rankos ir dešinės kojos pirštai

90