Logica_Proposicional

1PURO UFF

Lgica Proposicional

Profa. Flvia Cristina Bernardini

2PURO UFF

Representao de conhecimento

O que conhecimento? O que representar?

Smbolo como CENTRO da representao

Representao mental de bola Representao mental de solidariedade

3PURO UFF

Desafios para representao de conhecimento

O que representar?

Quem interpretar a representao? Humano Computador

Que linguagem de representao utilizar?

4PURO UFF

Representao de conhecimento

Lgica Proposicional 1 Ordem

Redes semnticas Frames Regras de produo

5PURO UFF

Lgica matemtica

Lgica matemtica cincia do raciocnio e da demonstrao (sculo XIX)

George Boole matemtico ingls (1815 -1864)

lgebra Booleana utiliza smbolos e operaes algbricas para representar proposies e suas inter-relaes.

6PURO UFF

Lgica matemtica

As idias de Boole Base da Lgica Simblica Aplicao computao e eletrnica.

Sentenas declarativas proposies Pr-requisitos:

Princpio do terceiro excludo: uma proposio s pode ser verdadeira ou falsa, no havendo outra alternativa.

Princpio da no contradio: uma proposio no pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

7PURO UFF

Conceitos bsicos

Proposio enunciado verbal, susceptvel de ser verdadeiro ou falso.

Exemplos de proposies: A terra azul. Recife a cidade do frevo. Glria Perez escreveu a novela Amrica. 2+2=5 Ana arquiteta ou engenheira.

Uma proposio s pode ter um valor lgico: verdadeiro ou falso

8PURO UFF

Conceitos bsicos

Proposio Simples: menor gro de significado

Flvia a professora de IA da turma atual do PURO da UFF (V)

Fluminense o atual campeo carioca (F)

Composta: constituda de proposies simples interligadas por conectivos lgicos O Curioso Caso de Benjamim Button no ganhou o Oscar de melhor filme

O Curioso Caso de Benjamim Button levou o Oscar de melhores efeitos visuais e de melhor figurino

Se chover hoje,vou ao cinema

9PURO UFF

Conceitos bsicos

Conectivos:

NO (negao) E (conjuno) OU (disjuno) SE-ENTO (condicional) SE, E SOMENTE SE (bi-condicional)

10PURO UFF

A linguagem proposicional

Alfabeto Variveis proposicionais: nomes que representam proposies simples.

Conectivos lgicos: : No V : OU : E : Se..Ento : Se, e somente Se

Smbolos auxiliares: ( )

11PURO UFF

A Linguagem proposicional

Sentenas Toda proposio uma sentena Se uma sentena, ento tambm Se e so sentenas, ento so:

^ tambm V

Exemplos: (chuvausar_capa)^(sol usar_capa)

12PURO UFF

Semntica

Semntica das sentenas dada pela funo , chamada funo de atribuio de valores lgicos: :Variveis proposicionais (V, F)

ExemplosSejam as proposies simples: P: A Terra gira em torno do sol. Q: Salvador a capital da Bahia. R: 3,2 um nmero inteiro.

Temos ento: (P) = V (Q) = V (R) = F

13PURO UFF

Semntica

Como cada proposio verdadeira(v)ou falsa (f), dadas n variveis proposicionais, existem 2n possibilidades para .

Exemplo para n=3 P Q R

T T T

T T F

T F T

T F F

F T T

F T F

F F T

F F F

14PURO UFF

Semntica

O valor lgico de uma sentena dado pela funo , definida abaixo: Para toda varivel proposicional P, (P)= (P) .

Se uma sentena, ento ( P)= (P)= , onde:

V = F F = V

Ou seja, ( ) definido pela tabela verdade:

V FF V

15PURO UFF

Semntica

Se e so sentenas, ento ( ^ ) = ( ) ^ ( ) Onde tabela verdade

P Q P P^Q PvQ PQ PQ

V V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V

16PURO UFF

Semntica

Supresso de parntesis: A ordem de precedncia :

^ v

Para conectivos idnticos, faz-se associao esquerda.Exemplo:

P v Q ^ R v S T v Udenota

((P v ((Q ^ R) v S)) (T v U))

17PURO UFF

Definies

Sentena Verdadeira ou Falsa

Interpretao V ou F

Modelo (sentena satisfazvel) Um contexto onde ( ) = V

18PURO UFF

Definies

Sentena vlida Sentena verdadeira para todas as interpretaes

Sentena contraditria (insatisfazvel) Sentena falsa para todas as interpretaes

Contingncia Nem contradio nem vlida

19PURO UFF

Definies

satisfaz : ()=V |==

tautologia, se e somente se, |== para todo

contradio, se e somente se, no existe tal que |==

satisfazvel, se e somente se, existe tal que |==

insatisfazvel, se e somente se, uma Contradio

20PURO UFF

Consequncia lgica

Uma sentena consequncia lgica de uma sentena ( |== ) se, e somente se ()=V sempre que ()=V .

Em outras palavras: |== , se, e somente se |== para todo tal que |== .

Seja um conjunto de sentenas A={1, 2,...n} e uma sentena .

Ento, A |== se e somente se 1, 2,...n |==

Exemplos: (Modus Ponens) (Modus Tollens)

22PURO UFF

Propriedades da conseqncia lgica

Reflexividade: |==

Transitividade: Se |== e |== ento |==

23PURO UFF

Propriedades da equivalncia lgica

Reflexividade: |==|

Transitividade: Se |==| e |==| ento |==|

Simetria: Se |==| e |==|

24PURO UFF

Dedutibilidade

Um argumento uma afirmao de que uma dada sentena (a concluso) consequncia de outras sentenas {1,..., n,n 1} (as premissas).

Notao:

Para dizer que uma consequncia de

{1,..., n}

1.

.

n

25PURO UFF

Dedutibilidade

Um argumento pode ser vlido(correto, legtimo) ou no vlido (incorreto, ilegtimo).

Dizemos ainda que um argumento no vlido um sofisma.

26PURO UFF

Dedutibilidade

Um argumento :

vlido se, e somente se{1,..., n} |==

e, portanto, se e somente se (1 ^...^ n) tautologia.

1.

.

n

27PURO UFF

Dedutibilidade

Uma regra de inferncia um argumento vlido utilizado em dedues.

28PURO UFF

Exemplos de regras de inferncias

Adio (AD)

Simplificao (Simp)

v

v

^

^

29PURO UFF


Conjuno (Conj)

Absoro (Abs)

^

^

( ^ )

30PURO UFF


Modus Ponens (MP)

Modus Tollens (MT)

31PURO UFF


Silogismo Disjuntivo (SD)

Silogismo Hipottico (SH)

v v

32PURO UFF


Dilema Construtivo (DC)

v v

33PURO UFF

34PURO UFF

Exemplo

Logo,

{ P ^ Q, P V QS} |- P ^ S

{ P ^ Q, P V RS} |== P ^ S

1 - P ^ Q Premissa2 - P V Q S Premissa

3 - P Simp 1

4 - P V Q Adio 3

5 - S MP 2,4

6 - P ^ S Conj 3,5

35PURO UFF

Dedutibilidade

Como as regras de inferncias so argumentos vlidos, temos que:

se A |- ento A |== Problema: Existe um conjunto de regras de inferncia tal que:

se A |== ento |- Observe que para toda tautologia ,

{} |== Logo, alm das regras de inferncia, precisamos de axiomas a partir dos quais as tautologias possam ser deduzidas: os chamados Axiomas Lgicos

36PURO UFF

Dedutibilidade

Em outras palavras, estamos procurando um sistema dedutivo. Um sistema dedutivo dito ser consistente se, e somente se

se A |- ento A |== Um sistema dedutivo dito ser completo se, e somente se

se A |- ento A |== O problema se torna ento: Existe um sistema dedutivo e completo para o clculo proposicional?

37PURO UFF

Dedutibilidade

Existe um sistema dedutivo consistente e completo :

Linguagem: Sentenas s com os conectivos e V .

Esquema de axiomas:

(( v ) v )

( v ( v ))(( v ) v ( v ) v ( v )))

38PURO UFF

Dedutibilidade

Regra de inferncia: Modus Ponens (MP)

Seja um sistema dedutivo consistente e completo. Ento um conjunto de sentenas A inconsistente se, e somente se

A |- e A |- para alguma sentena .

39PURO UFF

Dedutibilidade

Problema grave: se A inconsistente, ento A |- para qualquer .

Para mostrar que {a1, a2, ...an} inconsistente: Usar um sistema dedutivo, ou Usando a tabela da verdade ou o mtodo da refutao, provar que a1 ^ a2 ^ ... ^ an uma contradio.

40PURO UFF

Dedutibilidade

Outro mtodo para provar que A |== demonstrao condicional, para provar que {a1, a2, ...an} |==

basta mostrar que {a1, a2, ...an, } |- Pois: {a1, a2, ...an} |== sss1 ^ 2 ^ ... ^ n |== sss{} |== 1 ^ 2 ^ ... ^ n ( )sss{} |== 1 ^ 2 ^ ... ^ n ^ ) )sss{a1, a2, ...an, } |==

41PURO UFF

Dedutibilidade

Demonstrao indireta (ou por absurdo), para provar que

{a1, a2, ...an} |== , basta provar que

{a1, a2, ...an } |- c,onde c uma contradio.

42PURO UFF

Dedutibilidade

Pois:

{a1, a2, ...an } |- c sss1 ^ 2 ^ ... ^ n |== c sss... |== v c sss... |== v c

43PURO UFF

Exerccios

Representar as sentenas contidas usando lgica proposicional: Os seguros de vida, embora tenham crescido em um percentual semelhante aos dos seguros de sade, ainda tm um papel relativamente pequeno no mercado.Aparentemente, hbitos arraigados levam o brasileiro a se preocupar menos com a sorte de sua famlia, na falta de seu chefe, do que com o automvel ou o padro devida aps a aposentadoria.

44PURO UFF

Exerccios

Mostrar:

(PQ) ^ P |== QP |== Q P(PR) ^ (QR) |== (P v Q) R

45PURO UFF

Exerccios Extras

(F) F

(F G) (F G)

(F G) (G F)

(F G) ((F G) (F G))

(F G) (( F G) (G F))

(G G) G

((F G) H) (F (G H))

((F G) H) (F (G H))

(F (G H)) ((F G) (F H))

(F (G H)) ((F G) (F H))

(F G) (F G)

(F G) (F G)

Utilize tabela verdade para demonstrar as seguintes equivalncias (PARA CASA):

46PURO UFF

Exerccios Extras

Dadas as seguintes premissas:

1. Que o Antnio no vai Igreja e o Henrique no vai Igreja falso.

2. Se a Alice no vai Igreja, ento o Henrique no vai Igreja.

3. Se o Antnio vai Igreja ento o Henrique vai Igreja

Prove que Alice vai Igreja.

47PURO UFF

Exerccios Extras

A = Antonio vai Igreja B = Henrique vai Igreja C = Alice vai Igreja1. (A B) Premissa2. C B Premissa3. A B Premissa4. B C de 25. B C de 46. A B de 17. A B de 6

8a. A Sil. Disj. 7 8b. B Sil. Disj. 79a. B Sil. Disj. 7,8a 9b. A Sil. Disj. 7,8b

10a. C MP 5,9a 10b. B MP 3,9b contradio

Soluo:

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