LOGICA MATEMATICA UCC CAP 1

7/26/2019 LOGICA MATEMATICA UCC CAP 1

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NOTASDECLASE


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Una introduccin a la lgica matemtica para ciencia e ingeniera

Cicern Jimnez Sierra

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Perfil del autor.Cicern Jimnez-Sierra, Especialista en Matemtica Avanzada, Magister en Educacin yDesarrollo Humano, profesor instructor del programa de Ingeniera Industrial, UniversidadCooperativa, sede Neiva, Colombia. [email protected].

Resumen

Este texto est escrito pensando en los estudiantes de ingeniera, matemticas, filosofa o decualquier programa cientfico a nivel de pregrado. Tiene como propsito ilustrartericamente y con bastantes ejemplos los procesos de razonamiento deductivo e inductivo,la aplicacin de la lgica a la ingeniera y a la teora de conjuntos. Su contenido comprendecuatro unidades: Clculo proposicional, lgebra de Bool, Lgica de Predicados de primerorden y Teora de conjuntos.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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Clculo Proposicional

PREFACIO

En las ciencias exactas y de ingeniera el estudiante desarrolla varias competencias; este textotiene como propsito implementar aquellas relacionadas con el pensamiento lgico. Una deellas es la comunicacin matemtica, en la cual se apropia de la simbologa y trminospropios del lenguaje matemtico que lo capacita para leer y escribir un texto en este lenguajey el cientfico. As mismo, desarrolla las competencias de razonamiento y argumentacina travs del trabajo matemtico, por lo cual necesita inicialmente la comprensin de algunoselementos bsicos de la teora de la deduccin, indispensables para entender los procesos deldesarrollo de la actividad matemtica para pensar con rigor y precisin, justificandoafirmaciones. Pero su competencia matemtica debe trascender hasta la modelacin desituaciones problemticas y el planteamiento y soluciones de problemas .

El desarrollo de estas tres competencias, por si solas, amerita un estudio breve de losfundamentos de lgica matemtica y teora de conjuntos; adems por sus aplicaciones en ellgebra de Bool en circuitos electrnicos y otras situaciones problemticas que apoyan elestudio de las probabilidades.

El mdulo Una introduccin a la Lgica Matemticapara estudiantes de las ciencias y deingeniera, presenta una propuesta de cmo abordar estos temas en un primer semestre enforma elemental en programas de ciencias exactas, ciencias de la educacin, de ingenieras eincluso en derecho. De acuerdo al (ICFES y MEN, 2010), los aportes propios del trabajomatemtico escolar a la formacin de un profesional consiste en hacerlo competente encomunicacin y representacin matemtica, razonamiento y argumentacin, y en lamodelacin y resolucin de problemas. Siguiendo esta directriz, el texto desarrolla losconceptos bsicos de la lgica matemtica, suficientes para iniciar sistemticamente elproceso de desarrollo de habilidades que permite al estudiante leer y escribir textosmatemticos, por lo cual, hace un aporte al desarrollo de competencia comunicativa

matemtica. A medida que progresa la temtica, se desarrollan tambin habilidades en elproceso de comprensin y solucin de problemas con enfoques de pensamiento convergentey divergente.

El autor


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LGICA PROPOSICIONAL.Muchas palabras no dan prueba del hombre sabio,

porque el sabio no ha de hablar sino cuando la necesidad

demanda, y las palabras han de ser medidas y

correspondientes a la necesidadThales de Mileto

TEMAS Pag.INTRODUCCIN 61.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA LGICA MATEMTICA 81.1.1 La proposicin y su papel en las matemticas. Porceso de verificacin de laverdade de una proposicin.

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Prctica 1.1 10Prctica 1.2 17

Prctica 1.3 201.1.2 Conectivos y operaciones proposicionales 211.1.2.1 Negacin 221.1.2.2 Conjuncin 231.1.2.3 Disyuncin 271.1.2.4 Condicional o Implicacin 29

Prctica 1.4 321.1.2.5 Bicondicional o Equivalencia 34

Prctica 1.5 361.1.3 Negacin de las operaciones lgicas 37

1.1.3.1 Negacin de la Conjuncin o Primera ley de De Morgan 371.1.3.2 Negacin de la Disyuncin o Segunda ley de De Morgan 371.1.3.3 Negacin del Condicional o Implicacin 391.1.3.4 Negacin del Bicondicional o Equivalencia 41

Prctica 1.6 431.2 FRMULAS BIEN FORMADAS O FBF 461.2.1 Conceptod fundamentales 471.2.2 Tautologa 521.2.3 Contradiccin 52

Prctica 1.7 531.2.4 Implicaciones Tautolgicas 54

Prctica 1.8 551.2.5 Equivalencias tautolgicas 56

Prctica 1.9 581.3 DEDUCCIN O INFERENCIA 581.3.1 Leyes o Reglas de inferencia 611.3.2.1 Ley de razonamiento Modus Ponendo Ponens 611.3.2.2 Ley de razonamiento Modus Tollendo Tollens 67


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1.3.2.3 Ley de razonamiento Modus Tollendo Ponens 721.3.2.4 Ley de razonamiento Simplificacin 751.3.2.5 Ley de razonamiento Adjuncin 761.3.2.6 Ley de razonamiento Simplificacin Disyuntiva 781.3.2.7 Ley de razonamiento Adicin 79

1.3.2.8 Ley de razonamiento Silogismo Hipottico 801.3.2.9 Ley de razonamiento Silogismo Disyuntivo 821.4.1 Mtodos de demostracin de la validez de un razonamiento por reduccin alabasurdo

84

1.4.1.1 Mtodo Directo 84Prctica 1.10 89

1.4.1.2 Mtodo Indirecto por reducci al absurdo 92Prctica 1.11 94

1.5 BIBLIOGRAFIA 95

Aristteles. Estagira, 384 - Calcis, 322 aC.

Informacin tomada deGnesis y evolucin del pensamiento cientfico. Documento deHenri Poincar disponible enhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmBiografa y Vidas:http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htm.

Filsofo griego. Hijo del mdico real deMacedonia, estuvo veinte aos en la Academia

de Platn, primero como discpulo y luego comoinvestigador y como tutor. Acept de Filipo II deMacedonia el cargo de preceptor de Alejandro,de 13 aos, quien siempre conservara un granrespeto por su maestro, le apoyaraeconmicamente e incluso le mandara desde elIndo ejemplares de la fauna y de la flora de suimperio. En Atenas fund el Liceo, dondeenseaba paseando, de ah el nombre deescuela peripattica, segua sus

investigaciones y anlisis de datos, correspondientes a los ms diversos

campos (arte dramtico, constituciones polticas, deportes olmpicos,zoologa), y elaboraba una veintena de obras. Sin embargo, al morirAlejandro a los 33 aos, el clan de Demstenes (autor de las Filpicas y, portanto, enemigo de Aristteles) se envalenton y el Estagirita volvi a decidirsu partida, para ahorrar a los atenienses un segundo atentado contra la

filosofa (el primero lo haban cometido con Scrates). Al ao siguiente,mora en Eubea de lcera de estmago.
http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm


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Los tratados de lgica de Aristteles, conocidos como Organn, contienen elprimer tratado sistemtico de las leyes de pensamiento para la adquisicinde conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lgicacomo ciencia. Aristteles no hace de la lgica una disciplina metafsica sinoque establece correspondencias recprocas entre pensamiento lgico y

estructura ontolgica. El silogismo fue adoptado por los escolsticos querepresentan el sistema teolgico-filosfico, caracterstico de la Edad Media.La escolstica, sin embargo, acab por sobrecargar la teora del silogismo,lo que acarre su descrdito a partir del Renacimiento. Los lgicos de laedad moderna como Rame, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert

procuraron simplificarla al mximo, y su tratamiento matemtico secomplet hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege yRussell. Desde entonces el silogismo se incluye en la lgica de predicadosde primer orden y en la lgica de clases, y ocupa en la ciencia lgica un

papel mucho menor que en otros tiempos.

1.0 INTRODUCCIN

Con seguridad usted se ha preguntado alguna vez, qu es pensar con lgica, cundo unpensamiento es lgico o cundo una persona piensa con lgica; quizs haya observado cmohablan las personas que han perdido la razn.

Puede considerarse que un pensamiento es lgico cuando ste tiene sentido y coherencia conlo que se sabe y es libre de ambigedades. Por tanto, se asocia lo lgico con sacarconclusiones siempre verdaderas a partir de la relacin de proposiciones verdaderas. As por

eejmplo, la lgica tiene que ver con la comprensin de un problema, es decir, con el poderdeterminar y relacionar los datos conocidos con las incgnitas del problema. Ilustremos estocon dos problemas.

El primero. En cierto pas donde la ejecucin de un condenado a muerte solamente puedehacerse mediante la horca o la silla elctrica, se da una situacin que permite a un ciertocondenado librarse de ser ejecutado, mediante el uso adecuado de su lgica. Llega elmomento de la ejecucin y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: Si dices unaverdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla elctrica . Elpreso hace entonces una afirmacin que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sincontradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla elctrica. Cul es la afirmacin quehizo el reo?


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El reo afirma: Me van a matar en la silla elctrica.Y piensan los verdugos: si es verdadlo que ha dicho, no podemos matarlo en la silla elctrica, puesto que esta forma de ejecucinhabamos quedado en reservarla para el caso de que mintiera. Si es falso lo afirmado, no

puede ir a la horca, pues all terminan los que dicen una verdad.

El segundo. En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres seores en fila indiase ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color.

Se le pregunta al tercero de la fila, quien puede ver el color del sombrero del segundo y delprimero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente. Se lepregunta al segundo quien ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a lapregunta. Por ltimo el primero de la fila quien no ve ningn sombrero respondeacertadamente de qu color es el sombrero que tena puesto. Cul es este color y cul es lalgica que us para saberlo?

Una solucin es la siguiente. El ltimo de la fila puede ver el color del sombrero de suscompaeros, si no puede saber cul es el color del suyo es porque los otros dos no sonblancos, por lo que o son los dos negros o es uno de cada color. El segundo de la fila puedever el color del sombrero del primero y ya ha deducido lo que pens el tercero, si tampocoresponde a la pregunta es porque ve que el color del primero es negro, si fuera blanco sabra

que el suyo es negro. El primero por ese mismo planteamiento deduce que su sombrero esnegro .

Despus de solucionar un problema como los anteriores nos debemos sentir seducidos areflexionar sobre qu, cmo, cundo, para qu y por qu razonamos; cmo sabemos si esoque pensamos es vlido o correcto y por tanto aprobado por todos; en sntesis qu es la lgicay cmo se estructura como lenguaje al servicio de la ciencia en general. Eso que llamamoslgica est ntimamente relacionado con una reflexin profunda o razonamiento, lo cualocurre frecuentemente en el da a da de toda persona sin darse cuenta.

En el problema inmediatamente anterior, el hombre de la tercera fila para responder que nopoda decir cul era el color de su sombrero razon: si por delante de mi hubieran dossombreros blancos entonces mi sombrero sera negro. Pero, como no es as, no s cules el color de mi sombrero.

A travs del tiempo han existido muchos pensadores que soaron con formalizar la lgica; elprimero en el mundo occidental en intentarlo fue Aristteles (384 a.C). George Bool 1779-1848 matematiz la lgica dndole el toque formal aplicable a la ingeniera.


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1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LOGICAMATEMATICA

Formalizacin de las Matemticas. GuiseppePeano

Informacin tomada deGnesis y evolucin del pensamiento cientfico. Documento deHenri Poincar disponible enhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm

Esta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalizacin rigurosade las matemticas, que en la etapa clsica griega fu representativa. Eluso de los infenitesimales fue una de las prcticas ms notoria en la pocarenacentista, para la cual no se ofreca una justificacin. La rigorizacin delanlisis lleg con la eliminacin de los infinitesimales y la presencia de loslmites como argumento. En este periodo se crea la lgica simblica, laescuela formal, la lgica booleana, el clculo proposicional, la induccinmatemtica, el clculo de secuentes,.... Personajes muy notables de estaetapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole, de Morgan, Gentzen, Russell, Gdely Whitehead. A Rusell y Gdel se deben los planteamientos de las limitantesde la lgica y de la ciencia en general.Guiseppe PeanoLa enunciacin de los principios del italiano Guiseppe Peano, 1858-1932,acerca de lgica matemtica y su aplicacin prctica quedaron contenidosen su obra Formulaire de mathematiques. Los axiomas de Peano permiten

definir el conjunto de los nmeros naturales.

La proposicin y su papel en las matemticas. Proceso deverificacin de la verdad de una proposicin

Clculo Proposicional. El Clculo Proposicional constituye un lenguaje como tantos de losque el ser humano ha creado. Para su construccin se parte del lenguaje ordinario, en nuestrocaso el espaol; abstraemos aquellas frases con sentido completo que tienen la propiedad deser verdaderaso falsas, las llamadas proposiciones; se simbolizan con cualquier letra delalfabeto espaol p, q, r, s, t y as sucesivamente. Son proposiciones p: 2 es nmero par,q: 2 es nmero primo, como tambin r: 2 es nmero par y primo. Las frases pertenecen al

lenguaje espaol con un contenido matemtico mientras que las letras que simbolizan lasproposiciones al lenguaje Clculo Proposicional, constituyendo el alfabeto de este nuevolenguaje. Las expresiones siguientes no son proposiciones porque carecen de sentidocompleto, al no hacerse afirmacin alguna: Neiva, El lunes es, 8 + 7 y Simn Bolvarel Libertador de cinco naciones. Tampoco son proposiciones,debido a que no se les puedeasignar el valor de verdad verdadero o falso, aunque tienen sentido completo: Hola!,Cmo te va?, Por favor, mrame a los ojos y x + 6 = 10.
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Una frmula matemtica sintetiza una proposicin considerada verdadera por toda lacomunidad matemtica. En la tabla 1, se dan algunas proposiciones matemticas en forma de

frmulas. Por ejemplo, 1 2

2

h b bA

abrevia El rea A de un trapecio es el semiproducto

de la altura h y la suma de las bases1b y

2b .En la siguiente tabla se presenta algunas

frmulas que representan proposiciones de uso frecuente en el trabajo matemtico.

RECTNGULO A bh

ROMBOIDE A bh

CUADRADO 2A L

TRIANGULO2

bhA

ROMBO2

DdA

TRAPECIO( ')

2

b b hA

b: base h: altura

b: base h: altura

L: lado

b: base h: altura

D: Diagonal mayord: diagonal menor

b, b: bases h: altura


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POLIGONOREGULAR 2

PaA

CIRCULO 2A R

Tabla 1. Proposiciones matemticas sintetizadas en frmulas matemticas. Por ejemplo, 2A R sintetiza El rea A de un crcul o es el producto del nmero pi con el cuadr ado del radio.

Prcti ca 1.1

" El xi to no es para quienes se quedan pensando eternamente quepueden hacer algo sino para quienes emprenden acciones parahacerlo"

1. Las siguientes proposiciones se refieren a propiedades de los polgonos acerca de lasreas, segn la Tabla 1. Completar las expresiones para que sean proposicionesverdaderas.

a: El rea de un rectngulo es el _____________ de su base y su altura.b: El rea de un paralelogramo es el producto de su base y su ____________ . c: El permetro de un polgono cualquiera es la______de las longitudes de los lados.d: El rea de un rombo es ______________ de las diagonales.e: El rea de un tringulo es el semiproducto de la base y su _____________.f: El rea de un trapecio es el semiproducto de _______ y la suma de las bases.g: El rea de un polgono regular es el semiproducto del ________ y su apotema.h: El rea de un crculo es ________________del nmero piy el cuadrado del radio.i: El radio de una circunferencia de 2 cm de longitud es________ y el rea de sucrculo es __________________.j: El permetro de un crculo o longitud de una circunferencia es el duplo del producto

del nmero piy ______________.

2. Asigne el valor de verdad a las proposiciones contextualizadas en el rea de polgonos,de acuerdo a la Tabla 1.

p :El rea de un rectngulo de base 12,5 cm y de altura 10 cm es 125cm2

V

q :El rea de un tringulo de base 12,5 cm y de altura 10 cm es 62,2cm2

F

R

a: apotema L: lado

R: radio


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r : El rea de un rombo de diagonales 4,5 cm y 8 cm es 40 cm2 ( )

s : El rea de un crculo de radio 5 cm es 25cm2. ( )

t :El rea de un trapecio de bases 6cm y 4cm y de altura 10cm es80cm2.

( )

u :

El rea de un pentgono regular de apotema 3cm y lado 8cm es 60

cm2. ( )v : El lado de un cuadrado de 64cm2de rea es 5cm. ( )

3. Resolver los problemas siguientes

a. A un experto joyero le llevan cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno,para que los una formando una pulsera. Para ello, dijo el joyero, tendr que cortarcuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar a continuacincada eslabn cortado. Tendr, en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatrosoldaduras. Pero la persona que le encarga el trabajo dice: No, no es necesario hacercuatro empalmes. Puede formarse la pulsera con solo tres. Cmo podra hacerse

esto?b. El amigo Leonardo tiene doce monedas, pero sabe que una de ellas es falsa, porqueque tiene un peso mayor que el peso de cada una de las restantes. Le dicen que useuna balanza y que con solo tres pesadas averige cul es la moneda de peso diferente.Cmo lo hace?

c. Cul nmero corresponde a la ltima casilla?

1

3

4

3

10

3

13

3

19

3

?

d.

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

?

e. Cul es el nombre del polgono correspondiente a la ltima casilla?

OBSERVACIN.

Toda proposicin tiene dos posibles valores de verdad: verdaderoque simbolizaremos V o1 y falso por F o 0. El valor de verdad de una proposicin no siempre es evidente. Enocasiones para determinar si una proposicin es verdadera o falsa es necesario un procesollamado proceso de verificacin, comprobacin, mostracin o demostracin. Este es un


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proceso argumentativo consistente en afirmar y sustentar las afirmaciones a partir de los datoso hiptesis.

Ejemplo 1.1 Proposicin en contexto aritmtico.

Mostrar que la proposicin1 1

: 4 10 1

2 5

p es falsa

Solucin

Se desea demostrar que es falso que el lado izquierdo de la igualdad1 1

4 102 5

tenga el

mismo valor que el derecho 1. En efecto:

Paso 1 1 14 10 1

2 5 ; proposicin dada

Paso 2 4 101

2 5 ; definicin de multiplicacin de fraccionarios

Paso 3

2 2 1

; definicin de divisin

Paso 4 0 1 ! ; definicin de diferenciaLa proposicin 0 1 es un absurdo matemtico, por lo cual es falsa. Ahora

bien, como 0 1 es proposicin falsa, tambin lo es1 1

4 10 12 5

Ejemplo 1.2Proposicin en contexto geomtrico de rea de polgonosregulares.

Proposicin verdadera:El rea A de un paralelogramo es el producto de su base b por sualturah.

A bh

Demostracin de su verdad.

Aceptemos que la proposicin El rea A de un rectngulo es el producto de su base b porsu altura h, es verdadera, por ser algo evidente. Con base a esta proposicin y con la ayuda


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del grfico se explica, por qu la proposicinEl rea A de un paralelogramo es el productode su base b por su alturah, es verdadera.

El paralelogramo MNPQ de la figura tiene base b y altura h. Se debe mostrar que es ciertoque su rea es A bh . Se razona as:

Se ha aceptado que el rea del rectngulo RQPS es A bh . Ahora se transforma elparalelogramo MNPQ en el rectngulo RQPS de rea equivalente al paralelogramo; para ellose agrega al lado izquierdo del paralelogramo el tringulo MRQ y se lo quita a la derecha,pues el tringulo NSP es equivalente al tringulo MRQ, siempre que RM sea igual a SM. Asse observa que el paralelogramo MNPQ es equivalente al rectngulo SPQR. Luego el reade un paralelogramo es el producto de su base por su altura. El argumento seguido paso a

paso en la explicacin permite concluir que la proposicin dada es verdadera.

Ejemplo 1.3Proposicin en contexto geomtrico de rea de polgonosregulares.

Proposicin verdadera:El rea A de un rombo es el semiproducto de sus diagonales D y d.

2

DdA

Al igual que en el caso anterior, se acepta como verdadera la proposicin El rea A de unrectngulo es el producto de su base b por su altura h. Con base en esta proposicinverdadera se explica con la ayuda del grfico, por qu la proposicin El rea A de un romboes el semiproducto de sus diagonales D y d, es verdadera.

Demostracin de verdad

Una demostracin para esta proposicin es la siguiente. El rombo MPNQ tiene diagonalmayor D = MN y diagonal menor d = PQ. Debemos mostrar que la frmula de su rea

2

DdA es verdadera. Este hecho puede resolverse encerrando el rombo mediante un

rectngulo SVUT que pase por sus vrtices, tal como se muestra en la figura anterior; el reade este rectngulo es A bh , donde b = MN = D y h = PQ = d; es decir, el rea delrectngulo es A Dd . El rectngulo qued dividido en ocho tringulos rectngulos


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congruentes, de los cuales cuatro constituyen el rombo. Como 4 es la mitad de 8, se concluye

que el rea del rombo es la mitad del rea del rectngulo, es decir,2

DdA . La

argumentacin seguida paso a paso en la explicacin permite concluir que la proposicin

dada es verdadera.

Platn

Informacin tomada deGnesis y evolucin del pensamiento cientfico. Documento deHenri Poincar disponible enhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmyhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/platon.htm.

Platn, 427 - 347 a. C. Filsofo griego, nacido enAatenas en el seno de una familia aristocrtica,abandon su vocacin poltica por la Filosofa, atradopor Scrates. Sigui a ste durante veinte aos y se

enfrent abiertamente a los sofistas (Protgoras,Gorgias). Tras la muerte de Scrates (399 a. C.), seapart completamente de la poltica; no obstante, lostemas polticos ocuparon siempre un lugar central en supensamiento, y lleg a concebir un modelo ideal deEstado. Viaj por Oriente y el sur de Italia, donde entren contacto con los discpulos de Pitgoras; luego pasalgn tiempo prisionero de unos piratas, hasta que fuerescatado y pudo regresar a Atenas. All fund unaescuela de Filosofa en el 387, situada en las afueras

de la ciudad, junto al jardn dedicado al hroe Academo, de donde procede elnombre de Academia.

La Escuela, una especie de secta de sabios organizada con sus reglamentos,residencia de estudiantes, biblioteca, aulas y seminarios especializados, fue elprecedente y modelo de las modernas instituciones universitarias. En ella seestudiaba y se investigaba sobre todo tipo de asuntos, dado que la Filosofaenglobaba la totalidad del saber, hasta que paulatinamente fueron apareciendo -en la propia Academia- las disciplinas especializadas que daran lugar a ramasdiferenciadas del saber, como la Lgica, la tica o la Fsica. Pervivi ms denovecientos aos, hasta que Justiniano la mand cerrar en el 529 d. C., y en ellase educaron personajes de importancia tan fundamental comoAristteles.Platnintent plasmar en la prctica sus ideas filosficas, aceptando acompaar a sudiscpulo Din como preceptor y asesor del joven rey Dionisio II de Siracusa; elchoque entre el pensamiento idealista del filsofo y la cruda realidad de la polticahizo fracasar el experimento por dos veces (367 y 361 a. C.). Sin embargo, las ideasde Platn siguieron influyendo -por s o a travs de su discpulo Aristteles- sobretoda la historia posterior del mundo occidental.

Propone instaurar en Siracusa una utpica repblica dirigida por filsofos. Crea laAcademia de Atenas que no era solo una institucin filosfica, sino centro deformacin poltica para jvenes aristcratas. Segn algunos especialistas, Platn
http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/platon.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/platon.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/monografia/aristoteles/http://www.biografiasyvidas.com/monografia/aristoteles/http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/platon.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm


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edifica su teora del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de lafigura del filsofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas yel de mundo fsico de los objetos. Segn Platn, lo concreto se percibe en funcinde lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas.

Platn escoge el formato dilogo como forma de transmisin del pensamiento.

Desde Platn, una teora cientfica se compone solo de conceptos (ideas) y de leyes(propiedades de los conceptos). Los conceptos o ideas en una teora son lasrepresentaciones intelectuales de los objetos de estudio, producto de una reflexin. LaTeora de conjuntos, por ejemplo, posee entre otros los siguientes conceptos: conjunto,elemento, conjunto unitario, conjunto vaco, conjunto universal, conjunto finito e infinito.

Los conceptos en una teora cientfica pueden ser indefinidos (primitivos o fundamentales) odefinidos. Los conceptos primitivos no tienen definicin a partir de otros conceptos por serlos fundamentales, por ser los primeros. Por ejemplo, en teora de conjuntos, conjuntoyelementoson primitivos; de ellos se tiene una idea no precisa. Los conceptos definidos sonlos que pueden caracterizarse a partir de otros; en teora de conjuntos son definidos losconceptos de conjunto vaco, conjunto unitario,subconjunto, entre otros.

Ilustracin 1 Estructura de una teora cientfica. Esta se compone de conceptos y leyes.

Por otro lado, las leyes de una teora pueden ser indemostrables o demostrables. Una leyindemostrable es una proposicin que se acepta como verdadera sin demostracin y seconstruyen a partir de los conceptos primitivos. La teora cientfica se organiza, sesistematiza, se ordena a partir de un conjunto de leyes indemostrables llamadas axiomasopostulados, las cuales dan una propiedad general de los conceptos indefinidos, dndoles unsoporte slido. Las leyes demostrables, llamadas teoremas, son proposiciones que seconstruyen y deducen de los axiomas o postulados.


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Como ilustracin, para mostrar la verdad de las proposiciones en el ejemplo 2, se us comoaxioma la proposicinEl rea A de un rectngulo es el producto de su base b y su altura h;mientras queEl rea A de un paralelogramo es el producto de su base b por su alturah, esun teorema, pues para ver que es cierta hubo que hacer un proceso de mostracin a partir dedicho axioma. De igual manera se describen con precisin los objetos matemticos por medio

de definiciones, que tambin son proposiciones; Un paralelogramo es un cuadriltero quetiene sus lados opuestos paralelos, es una proposicin que define un paralelogramo.

La redaccin y solucin de un problema son ms claras, aunque no muy expresivas, si serealizan a travs de proposiciones, quitando los adornos de conexin de las frases; porejemplo el problema de los sombreros, anteriormente expuesto puede reescribirse sin adornosy elegancia del espaol de la siguiente manera:

En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos.Tres seores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color.El tercero de la fila puede ver el color del sombrero del segundo y el primero.El tercero de la fila es interrogado. Puede decir el color de su sombrero?

El tercero de la fila responde negativamente.El segundo de la fila puede ver el color del sombrero del primero.El segundo de la fila es interrogado. Puede decir el color de su sombrero?El segundo de la fila responde negativamente.El primero de la fila no puede ver el color del sombrero de sus compaeros y no puede verel suyo.El primero de la fila es interrogado. Puede decir el color de su sombrero?El primero de la fila responde positivamente.Cul es este color y cul es la lgica que us para saberlo?

Ejemplo 1.4

Proposicin en contexto geomtrico de rea de polgonos

regulares.

Proposicin verdadera: Al despejar la variable1b de la ecuacin

1 22

b b hA

se obtiene

2

1

2A b hb

h

.

Demostracin

Paso Afirmacin Justificacin

1. 1 2

2

b b hA

Ecuacin dada

2. 1 2

2. .22

b b hA

Multiplicando por 2 ambos lados de la igualdad en el

paso 1

3. 1 22A b b h Simplificando mediante la propiedad del recproco en

el paso 2 .


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17


4.1 2

2A b h b h Aplicando la propiedad distributiva en el paso 3 .

5.2 1 2 2

2A b h b h b h b h Restando2

b h a ambos lados de 4 .

6.2 1

2A b h b h Simplificando mediante la propiedad del inverso

aditivo en el paso 5 .

7. 2 11 1

2A b h b hh h

Multiplicando ambos lados de la igualdad de 6 por el

recproco de h.

8. 21

2A b hb

h

Simplificando.

9. 21

2A b hb

h

Propiedad simtrica de la igualdad: A B es

equivalente a B A

Prcti ca 1.2


1. Justifique la verdad de las siguientes proposiciones tal como se hizo en el ejemplo 2

y 3, aceptando la proposicinEl rea de rectngulo es el producto de su base por sualturacomo axioma.

a. El rea de un tringulo es el semiproducto de su base por su alturab. El rea de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de su ladoc. El rea de un trapecio es el semiproducto de la suma de sus bases y su alturad. El rea de un polgono regular es el semiproducto de su permetro y su apotemae. El rea de un crculo es el producto del cuadrado del radio y el nmero pi.

2. Demostrar que las siguientes proposiciones son verdadera, tal como se ilustr en elejemplo 1.3.

a. Al despejar la variable V desde la ecuacin mdV

se obtiene mVd

.

[Esta es la frmula para hallar la densidad d de un cuerpo; donde m: masa delcuerpo y V: volumen del cuerpo ]

b. El despeje de la variable D desde la ecuacin2

DdA es

2AD

d .

[De acuerdo a la Tabla 1, esta es la frmula para hallar el rea A de un rombo;donde D: Diagonal mayor y d: diagonal menor]


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18

c. Al despejar la variable R desde la ecuacin 2A R se obtieneA

R

.

d. [De acuerdo a la Tabla 1, esta es la frmula para hallar el rea A de un crculo;donde R: radio]

e. El despeje de la variable R desde la ecuacin2L R

es 2

LR

.f. [De acuerdo a la Tabla 1, esta es la frmula para hallar la longitud de una

circunferencia o permetro del crculo, donde R: radio]g. Considere la proposicin siguiente. El rea A de la superficie de una caja con tapa

como la figura est dada por 2 2 2A wl hl wh . Aqu l: largo de la caja, w:ancho de la caja, h: altura de la caja.

Demostrar que la proposicin siguiente es verdadera:Al despejar la variable w de la ecuacin 2 2 2A wl hl wh se obtiene

2

2

A lhw

l h

.

Ejemplo 1.5 Proposicin en contexto de ecuaciones lineales con unavariable.Proposicin: Al resolver la ecuacin 1 2 3 306t t t t se obtiene 75t .

Para ver si dicha afirmacin es verdadera o falsa, se sigue el siguiente proceso.

Demostracin

Paso Afirmacin Justificacin

1. 1 2 3 306t t t t Ecuacin dada.

2. 1 2 3 306t t t t Destruyendo parntesis el igualdad del paso 1 .

3. 4 6 306t Reduciendo trminos semejantes en el paso 2 .

4. 4 6 6 306 6t Aplicando la propiedad xxx a la igualdad del

paso 3 .

5. 4 300t Simplificando ambos lados de 4 .

6.4 300

4 4

t

Multiplicando ambos lados de la igualdad por

en el paso 5 .


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19


7. 75t Multiplicando por

1

4ambos lados de la

igualdad 6 .

Ejemplo 1.6 Proposicin en contexto ecuaciones cuadrticas.

Proposicin verdadera: La ecuacin cuadrtica 26 15 10 0y y tiene conjunto solucin

5 2,

2 3S

.

Para ver si dicha afirmacin es verdadera o falsa, se compara la ecuacin con la ecuacin

modelo 2 0ay by c , la cual puede resolverse mediante la frmula2

4

2

b b acy

a

.

De la comparacin resulta que 6, 15, 10a b c .

DemostracinPaso Afirmacin Justificacin

1. 26 11 10 0y y Ecuacin dada

2.2

4

2

b b acy

a

Frmula de solucin una cuadrtica

2 0ay by c .

3.

215 11 4 6 10

2 6y

Reemplazando a por 6, b por 11 y c por en -10 en

el paso 2 .

4. 15 361

12y

Por simplificacin en el paso 3 .

5.15 19

12y


6.15 19

12y

o

15 19

12y


7.2

3y o

5

2y Por simplificacin en el paso en 6


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Prcti ca 1.3

" El xi to no es para quienes se quedan pensando eternamente que

pueden hacer algo sino para quienes emprenden acciones parahacerlo"

1. Demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas, segn los ejemplos 1.5.a. Al resolver la ecuacin 2 3 3 4 5 3 3 5t t t t t t se obtiene 3t .

b. Al resolver la ecuacin 4 5 4 5 10 3 7 2t t t t se obtiene1

35t .

c. Al resolver la ecuacin 2

2 3 3 4 3 2 1 2t t t t t t t se

obtiene 4t .

d. Al resolver la ecuacin 2 2

7 4 3 5 4 1 1 2t t t t se obtiene1

2t .

e. Al resolver la ecuacin 2 25 1 6 3 7 3 2 5 2t t t t t t t se obtiene7

3t .

2. Demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas, segn los ejemplos 1.6.

a. La ecuacin cuadrtica 25 1 82 2 7t t t t tiene conjunto solucin 8, 1S

.

b. La ecuacin cuadrtica

2 2211 199 3 2 1t t t t

tiene conjunto solucin 12,17S .

c. La ecuacin cuadrtica 2 2 21 7 1t t t tiene conjunto solucin

2,9S .

d. La ecuacin cuadrtica 22 7 3 2 5t t t t tiene conjunto solucin

1,11S .

e. La ecuacin cuadrtica 1 2 14 2 3 4t t t t t tiene conjunto solucin

8,3S .


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21


Conectivos y operaciones proposicionales

Ilustracin 2. Mapa conceptual de las operaciones lgicas: negacin, conjuncin, disyuncin,condicional y bicondicional.

Continuando con la construccin del lenguaje de la lgica matemtica, el ClculoProposicional, despus de las proposiciones, abstraemos tambin del espaol ciertosvocablos fundamentales llamados conectores lgicos o conectivos proposicionales y leasignamos su respectiva simbolizacin en el nuevo lenguaje:

Conectivos proposicionales

Lenguaje espaol Lenguaje lgica matemticaExpresin del espaol Expresin simblica

NoY O

si entonces si y solo si

Los conectores lgicos clasifican las proposiciones como simples o compuestas. Unaproposicin es compuesta si y solo si contienen conectivos proposicionales mientras que unaproposicin es simple (atmica) si y solo si no contiene conectivos lgicos. Por ejemplo la

proposicin compuesta Un nmero natural n, 1n , es primo si y solo si n es divisiblesolamente por n ypor 1, tiene tres proposiciones simples y los dos conectivos lgicos si ysolo siey.

Al negar una proposicin p o al conectar dos proposicionesp, q con un conectivo lgico seobtiene una nueva proposicin que llamaremos negacin, conjuncin, disyuncin,condicional y bicondicional. En este sentido los conectivos lgicos se llaman operadoreslgicos y ~ p , p q , p q ,p q y p q son las operaciones lgicas, en forma similar


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a lo que sucede cuando formamos con los nmeros 11 y 7 expresiones como11 7, 11 7, 11 7, 11 7 .

Negacin.

En espaol, negamos una proposicin anteponiendo la palabra no al verbo. Es usualtambin negar una proposicin anteponiendo a la proposicin la expresin no es cierto queo no es verdad que o no es el caso que. Cada una de stas expresiones son el significadodel smbolo ~ del lenguaje de la lgica matemtica. As, ~ p: 9 no es nmero par es unaproposicin verdadera, la cual puede escribirse como No es cierto que 9 es nmeropar oNo es verdad que 9 esnmeropar. De la misma manera, la negacin de la proposicin q:7 8 = 56 (V) es ~ q: 7 8 56 (F). Obsrvese el uso del smbolo cuyo significado esno es igual o diferente.

Definicin 1.1

Negacin de una proposicin.El smbolo de la expresin p significa que el valor de verdad

de la negacin p es verdadera si p es falsa y falsa si p esverdadera.

Esta definicin se sintetiza en la siguiente tabla.

Ordinariamente

usamos otros vocablos para negar como nuncayjams. Por ejemplo nunca he estado aquy jams volver son proposiciones que contienen negacin. Aunque todas las expresionescon las cuales denotamos negacin en el lenguaje diario, no, no es verdad, no es cierto, jams,nunca, entre otras, no tienen exactamente el mismo significado en espaol, en el ClculoProposicional tienen el significado de ~ dada en la definicin 1.1.

Ejemplo 1.7 Proposicin en contexto geomtrico

A continuacin se muestran proposiciones simples y sus respectivas negaciones

PROPOSICIN SIMPLE NEGACIN:p El permetro de un polgono es la suma

de las longitudes de los lados (V):p El permetro de un polgono no es la

suma de las longitudes de los lados (F):q El permetro de un crculo es el producto

del doble de con el radio (V):q El permetro de un crculo no es el

producto del doble de con el radio (F)rEl rea de un crculo es el producto de con el cuadrado del radio (V)

:r El rea de un crculo no es el productode con el cuadrado del radio (F)

P ~ p1 00 1

Tabla 2 Significado del smbolo en el ClculoProposicional. Verdadero se denota por 1 y falso por 0


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:s El permetro de un rectngulo de base10cm y altura 4cm es 30cm (F)

:s El permetro de un rectngulo de base10cm y altura 4cm no es 30cm (V)

:t El permetro de un crculo de radio 5cmes 5cm (F)

:t El permetro de un crculo de radio 5cmno es 5 cm (V)

:u El rea de un crculo de radio 5cm es225 cm (V)

:u El rea de un crculo de radio 5cm no es225 cm (F)

Conjuncin.

La palabra y se usa en nuestro lenguaje cotidiano para juntar dos proposiciones y formar

una nueva proposicin.La conjuncin es la operacin lgica que consiste en enlazar dosproposiciones con el operador lgico y ().

Sean las proposiciones p: 7 + 2 = 9 (V) y q: 72 = 5 (V); la conjuncin de p con q esp q: 7 + 2 = 9 y 72 = 5 (V), la cual es verdadera segn la Tabla 3.

Definicin 1.2Conjuncin.La conjuncin de dos proposiciones es verdadera si y solo si las dos

proposiciones son verdaderas.Esta es una propiedad muy importante de la conjuncin!

El sentido de la conjuncin en matemticas es similar al de la vida cotidiana; es verdadera siambas son verdaderas.

Ejemplo 1.8 Conjuncin en contexto no matemtico

La proposicin compuesta Leonardo es ingeniero yTatiana es qumica farmaceuta, esverdadera. Puede saberse si es cierto que la proposicin simple Tatiana es qumicafarmaceutaes verdadera?

Solucin. S! Puesto que la conjuncin es verdadera solamente cuando ambas proposicionesson verdaderas, necesariamente Tatiana es qumica farmaceutaes proposicin verdadera.

Ejemplo 1.9 Conjuncin en contexto no matemtico

p q p q

1 1 11 0 00 1 00 0 0

Tabla 3 Significado de en elClculo Proposicional. Verdadero sedenota por 1 y falso por 0


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La figura muestra una seccin transversal pentagonal de unacolumna de madera para una casa, inscrita en unacircunferencia de radio 10cm; el carpintero raspa la partesombreada para formar la columna de seccin transversalpentagonal de lado 8cm.

Demostrar que en la figura, la conjuncin El rea del crculo es 2100 cm y el rea del

pentgonola es 40 21 es verdadera.

Demostracin

PASO CONSECUENCIA LGICA JUSTIFICACIN

1. 2cirA r Frmula de rea de un crculo

2. 2100cir

A cm Reemplazando r = 10cm en 1.

3.2

pen

PaA Frmula de rea de un polgono regular

4.

2 2

10 4

84

9.2cm

a cm cm

cm

Por teorema de Pitgoras en el tringulorectngulo de hipotenusa R = 10 cm y catetos

84

2 2

L cmcm y apotema a.

5.2

2

40 84

2

=40 21

penA cm

cm

Simplificando

El hecho de que la conjuncin sea verdadera solamente cuando las dos proposiciones sonverdaderas constituye el fundamento de dos leyes de la lgica, dos esquemas de razonamientocorrecto, que toda persona utiliza en sus razonamientos cotidianos.

Todo razonamiento empieza con una o ms proposiciones verdaderas, llamadas premisas,que constituyen la hiptesis, lo que se sabe, y que sustenta o fundamenta un cierto


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conocimiento llamado conclusin o tesis, la cual es obtenida de esa hiptesis. Las personascuando razonamos anunciamos la hiptesismediante las frases puesto que,se sabe que,como, deentre otras; anunciamos que nos disponemos a dar la conclusincon frasescomo por consiguiente, luego, se concluye, se deduce, se infiere, entre otras.

Primera propiedad de la conjuncin o ley lgica adjuncin

Ilustracin 3. Esquema de la ley de razonamiento Simplificacin. La expresin p q representa

la premisa del razonamiento, mientras que p (o q) la conclusin que se obtiene a partir de lapremisa.

El anterior esquema de razonamiento, mostrado en la Ilustracin 3, se lee se sabe que

p q

es verdadera. L uego, p es verdadera

. Resumiendo:

Ejemplo 1.10 Razonamiento Simplificacin en un contexto geogrfico

Sabemos que (es verdad que), Neiva es la capital del Huila y tiene clima caliente.Se deduce que (es verdad que), Neiva es la capital del Huila.

Puesto que,Neiva es la capital del Huila y tiene clima caliente es verdadero, se infiereque,Neiva tiene clima caliente es verdad.

Observacin.

Estos dos razonamientos son vlidos; es decir, si reemplazamos esta conjuncin Neiva es lacapital del Huila y tiene clima caliente por otra conjuncin verdadera se puede concluir una

de sus dos proposiciones.

Ejemplo 1.11 Razonamiento Simplificacin en un contexto matemtico

Se sabe que 2 es nmero par y primo. Se concluyeque 2 es primo es verdad.

De 2 es nmero par y primo,se infiere que 2 es primo es verdad.

De una conjuncin verdadera se deduce cada proposicin componente de la conjuncinque siempre es verdadera.


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Segunda propiedad de la conjuncin o ley lgica adjuncin

Ilustracin 4. Esquema de la ley de razonamiento Adjuncin. Las letras p y q representan laspremisas del razonamiento, mientras que p q la conclusin que se obtiene a partir de las

premisas.

Otro razonamiento que se fundamenta en la conjuncin es la Adjuncin.

Ejemplo 1.12 Razonamiento Adjuncin en un contexto matemtico

Sabemos que, p: 2 es nmero primo, adems que q: 2 es nmero par; se deduce que,p q : 2 es nmero primo y par.

Continuemos nuevamente con el tema de conjuncin. Poco a poco tratar de convencer allector que no nos debe preocupar el hecho, que las dos proposiciones que se juntan no estnrelacionadas en su contenido. No nos interesa; lo importante es la forma p, ~ q, p qde las proposiciones. La afinidad entre los contenidos de las proposiciones es importantecuando se aplica la lgica a una ciencia en particular, para deducir hechos propios de esaciencia; en lgica no ocurre esto: La lgica es una ciencia formal que permite razonarsistemticamente en cualquier ciencia, por tal razn debe ser libre de los contenidos de lasproposiciones.

La palabra pero, utilizada frecuentemente en el lenguaje cotidiano, tiene un significadocercano al y. As, como y me deja salir y como pero me deja salir enuncian casi lomismo en nuestro idioma, mientras que en lgica las tomaremos como expresiones queenuncian exactamente lo mismo. De esta manera se acorrala el lenguaje para que pierdaexpresividad pero gane precisin y concisin. Por tanto las palabras y y pero sernsimbolizados por . Consideremos los conjuntos A = 1, 2, 3 y B = 2, 3, 4, 5; losenunciados "1 1 "A y B o "1 1 "A pero B (el smbolo significa pertenece) tienen laforma p (~q).

Disyuncin

La operacin disyuncin de dos proposiciones p y q consiste en unir las dos proposicionesmediante el conectivo lgico o.

De dos proposiciones cual quieras verdaderas se concluye vlidamente su conjuncin.


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En el lenguaje usual, utilizamos la palabra o en el sentido de plantear una indecisin poruna de dos alternativas. En el comercio se oye proposiciones como o rebaja el precio o mevoy o est dentro del negocio o fuera. Este es el o que usamos, un o excluyente. Esta

o se denota por y su significado es:

Definicin 1.3

Disyuncin exclusiva

La disyuncin exclusiva de dos proposiciones es falsa cuando las dosson verdaderas o las dos son falsas.

En el lenguaje de la lgica, se necesita otro o, el inclusivo (no exclusivo) con un sentidoy/o, con el siguiente significado:

Definicin 1.4Disyuncin inclusivaLa disyuncin inclusiva de dos proposiciones es verdadera cuando

por lo menos una de las dos proposiciones es verdadera.

Muy importante propiedad de la disyuncin!

Esto se muestra en la Tabla 5. Son disyunciones inclusivas

p q: 38 = 24 o 5+6 = 11(V);

r s: 4 es primo o 7-10 = 3 (F);

t w: 7 es par o 9 es impar (V).

p qp q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Tabla 4. Significado del smbolo en el Clculo

Proposicional. La disyuncin exclusiva solamente esfalsa cuando ambas proposiciones son verdaderas ycuando ambas son falsas.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Tabla 5 Significado del smbolo en el Clculo proposicional.La disyuncin inclusiva solamente es falsa cuando ambas

proposiciones son falsas


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Ejemplo 1.13 Razonamiento Disyuncin en un contexto no matemtico

La proposicin compuestaLeonardo es ingeniero o Tatiana es qumica farmaceutaes verdadera. Puede confirmar que la profesin de Tatiana es qumica farmaceuta?

Solucin. Una disyuncin incluiva es verdadera en tres posibilidades: cuando ambasproposiciones son verdaderas, cuando la primera es falsa y la segunda verdadera ocuando la primera es verdadera y la segunda es falsa. En este ltimo caso laproposicin Tatiana es qumica farmacutaes falsa mientras que en las dos primerasposibilidades es verdadera. En consecuencia, no hay la seguridad de la profesin deTatiana.

Por otro lado se presenta algo interesante; si se supiera que Tatiana es qumicafarmacutaes proposicin verdadera, la conclusinLeonardo es ingeniero o Tatianaes qumica farmaceuta necesariamente ser verdadera ya que una de las dos esverdadera. Esto siempre ocurre no importa cul sea la otra proposicin, por lo que sedice que este razonamiento es vlido y correcto.

Propiedad de la disyuncin o ley de adicin:

Una breve mirada a la tabla de valores de la disyuncin, tabla 5, permite concluir queuna disyuncin es verdadera en tres oportunidades: las dos proposiciones son

verdaderas, una es verdadera y la otra no. Es suficiente que por lo menos una

proposicin sea verdadera para que la disyuncin sea verdadera. Esto implica la leyde adicin:

Ilustracin 5. Esquemas del razonamiento Adicin. En el primero la premisa es py la conclusin . En el segundo la premisa es q y la conclusin .p q p q

De una proposicin verdadera se deduce una disyuncin verdadera formadapor la proposicin y otra cualqui era.


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De una proposicin verdadera p se obtiene una disyuncin verdadera formada por p y otracualquiera proposicin q. De la proposicin p: 3 + 5 = 8 (V) se concluye una disyuncinverdadera :3 5 8 o 7 2=10p q (V). Observe que : 7 2=10q es falsa pero ladisyuncin es verdadera.

Con la disyuncin existen otras reglas de razonamiento, que analizaremos posteriormente.

Condicional o implicacin.

La expresin si entonces se usa en el lenguaje ordinario para enlazar dosproposiciones y obtener otra llamada proposicin condicional o implicacin.El condicionalo implicacin es una operacin lgica que enlaza dos proposiciones con el conectivo lgico

si entonces. La expresin p q representa la operacin lgica condicional oimplicacin de p a q y se lee si p entonces q o p implica a q. Laproposicin p recibe elnombre de antecedente, hiptesis o supuesto y q consecuente, tesis o conclusin:

p qAntecedente Consecuente

Hiptesis TesisSupuesto Conclusin

Son condicionales si usa jabn Caricia entonces un arrume de hombres corren detrs de ti,si almuerza juicioso entonces sale a jugar, si un tringulo es equiltero entonces esissceles, si a y b son las longitudes de los catetos de un tringulo rectngulo y c la longitudde su hipotenusa entonces 2 2 2a b c , si el lado de un heptgono regular mide 10cmentonces supermetro mide 70cm y si llueve entonces 56 = 30.

En el lenguaje cotidiano o en el contexto de una ciencia se exige que las dos proposicionestengan una estrecha relacin y solo se aceptan aquellas proposiciones condicionales en lascuales la segunda proposicin dependa de la primera. El ltimo ejemplo enuncia unalocura en el lenguaje corriente, pero, en lgica no es as, pues lo importante es la formacondicional pq y no la conexin de los contenidos. Parece que la persona comn ycorriente solamente acepta como verdaderas aquellas implicaciones con antecedentes yconsecuentes verdaderos; considera falsos aquellos condicionales en donde el antecedentesea verdadero y el consecuente falso. El significado del smbolo en el ClculoProposicional se da en la tabla 6.

p qp q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla 6. Significado de la operacin lgica condicional. Elcondicional es falso solamente cuando el antecedente p esverdadera y el consecuente falso.


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Definicin 1.5Condicional o implicacinUna proposicin condicional es falsa si y solo si el antecedente es

verdadero y el consecuente es falso.

As, si aprueba el ao entonces le compro bicicleta, sera verdadera al ser ambasproposiciones verdaderas y falsa cuando el aprobar el ao fuera cierto mientras queregalar la bicicleta, falso.

Concluyendo, en el lenguaje cotidiano se acepta la implicacin en la forma

Si entonces V V VV F F

y las otras dos posibilidades F-V y F-F no son aceptados.

La expresin sientonces es simbolizada en el Clculo Proposicional por: ; tiene elsignificado:

Mas adelante veremos la importancia de esta propiedad del condicional! Son muchoslos razonamientos que se construyen con el condicional. Por esta razn, el condicional es laoperacin lgica ms importante.

Ejemplo 1.14Valor de verdad de condicionales en contexto matemtico ygeogrfico

Hallar el valor de verdad de las implicaciones o condicionales siguientes. Complete.

r s Si en Colombia hay 100 departamentos entonces hay 100 capitalesF F V

a bSi el rea A de un crculo es

2A r

entonces A es directamente a r2

c d Si el permetro L de un crculo es2L R

entonces Les directamente

proporcional a R

e f Si una pulgada es 2,54cm entonces 10 pulgadas son25,4cm

(g h) jentonces su rea es 25cm2


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Si la base de un rectngulo MNPQ mide10cm y su base 3cm

En el quehacer matemtico se dedica bastante tiempo en encontrar relaciones abstractas entredos conceptos, relaciones que normalmente tienen forma de implicacin HT, donde H esla hiptesis y T la tesis. Demostrar la verdad de proposiciones de la forma HT ha sido, es

y ser una parte importante de la actividad matemtica desde los griegos. La hiptesis es unsupuesto que se considera verdadero al iniciar una investigacin para producir una

consecuencia lgica verdadera.

Ejemplo 1.15 Formas de expresar un condicional

Expresar la proposicin condicional si hay vida entonces hay oxgeno en otras seis formas.

Solucin.Este condicional equivale en el lenguaje cotidiano a: Si hay vida implica que hay oxgeno,es suficiente que haya vida para que haya oxgeno,es necesario que haya oxgeno paraque haya vida, hay oxgeno si hay vida hay oxgeno siempre que haya vida y hayoxgeno cuando hay vida.

Clases de implicaciones:

Con respecto a un condicional, hay cuatro clases de implicaciones

DIRECTA RECIPROCA CONTRADIRECTA CONTRARRECIPROCA

H T T H H T T H

Tabla 7 Tabla de las clases de condicionales: directa, recproca, contradirecta y contrarrecproca.

Los matemticos leen e interpretan la expresin HT de la siguiente manera:

Si H entonces TH implica TH es condicin suficiente para T (lo que significa que si el hecho H est presente, con

seguridad el hecho T se dar)

T es condicin necesaria para H (lo que significa que si el hecho T no se da, tampoco sedar H)

T si HT siempre que HT cuando H


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Ejemplo 1.16 Clases de condicionales

Escriba los cuatro clases de condicionales para el condicional Si un carro anda entoncestiene combustible.

Solucin

SIMBOLO EJEMPLO IMPLICACINHT: Si un carro anda entonces tiene combustible DirectaTH: Si un carro tiene combustible entonces anda Recproca

HT: Si un carro no anda entonces no tiene combustible Contra-directaTH: Si un carro no tiene combustible entonces no anda Contra-recproca

Prcti ca 1.4


En el contexto de la respectiva figura, resuelva los ejercicios del 1 al 4 de la siguiente manera:

Lea la proposicin con buena puntuacin para determinar cul es el conectivo principal,es decir aquel que parte la frase en dos.

Simbolice cada proposicin simple mediante cualquier letra

En la expresin simblica, encierre la primera parte de la frase entre parntesis al igualque la segunda.

Finalmente, halle su valor de verdad utilizando una tabla como se ilustra en el ejercicio1.

Ejercicio 1 Ejerccio 2


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1. Si la base del tringulo de la figura mide 12 metros y su altura 6 metros, el rea de lasuperficie triangular es 36 metros cuadrados.

Simbolizacin:

p: La base del tringulo de la figura mide 12 metros (V)

q: La altura del tringulo de la figura mide 6 metros (V)

r: El rea del tringulo de la figura mide 42 metros cuadrados (F)

Una buena lectura del texto de la proposcicin permite concluir que esta es un condicional,el cual se simboliza p q r .

El valor de verdad de p q r se sintetiza en la tabla que sigue: p q r

p q r p q p q r

V V F V F

2. Si las diagonales del rombo de la figura miden 30 metros y 40 metros, su rea es 600metros cuadrados.

3. Si el radio del crculo de la figura mide 30 centmetros, su rea es 29 cm

4. Si el tringulo sombreado de la figura mide 10 centmetros cuadrados, el rea de todo elhexgono es 120 centmetros cuadrados.

5. El siguiente condicional es verdadero.

p q : Si un tringulo es equiltero entonces es issceles.

Con este condicional haga lo siguiente:

Simbolice y enuncie literalmente su recproco, Simbolice y enuncie literalmente su contradirecto

Simbolice y enuncie literalmente su contrarrecproco.

Para los ejercicios del 6 al 10, escriba las proposiciones condicionales en la forma si entonces

Ejercicio 3 Ejerccio 4


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6. Ser issceles es una condicin necesaria para que un tringulo sea equiltero.

7. Que la suma de dos ngulos agudos de un tringulo sea 90 es condicin suficiente paraque el tringulo sea rectngulo.

8. 180A B C siempre que A, B y C sean los ngulos internos de un tringulo.

9. El nmero n es par cuando 2n k donde 0, 1, 2, 3, 4,...n 10.Una condicin necesaria para que el nmero n sea natural es que n sea entero

11.Escriba una condicin suficiente pero no necesaria para que una expresin simblica dela lgica proposicional sea una frmula bien formada.

12.Escriba una condicin necesaria pero no suficiente para que una expresin simblica dela lgica proposicional sea una frmula bien formada.

13.Escriba una condicin suficiente pero no necesaria para que una expresin simblica dela lgica proposicional sea una frmula bien formada.

14.Escriba una condicin necesaria pero no suficiente para que una frmula bien formadano sea tautologa

15.Escriba una condicin necesaria y suficiente para que un razonamiento sea vlido.

Bicondicional o equivalencia.

Usamos la expresin si y solo si, abreviadamente sii, para obtener de dos proposicionesuna nueva proposicin llamada bicondicional o equivalencia de proposiciones. Laequivalencia o bicondicional es una operacin lgica que consiste en unir dos proposiciones

simples con el operador lgico si y solo si, simbolizado. Este smbolo denota doscondicionales, una de izquierda a derecha y otra de derecha a izquierda, es decir,

p q p q q p .

Son ejemplos de bicondicionales: un conjunto A es vaco si y solo si carece de elementos,

un polgono es cuadrado si y solo si tiene cuatro lados y canto si y solo si me pagan. Elsmbolo tiene el significado dado en la Tabla 8.

Definicin 1.5 Bicondicional o equivalencia

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Tabla 8. Significado de la operacin lgica bicondicional. El bicondicional esverdadero cuando las dos proposiciones son verdaderas o las dos falsas.


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Un bicondicional es verdadero si y solo si ambas proposiciones son

verdadera o ambas falsas.

Propiedad muy importante como se mostrar ms adelante!

Ejemplo 1.17 Bicondicionales en contexto no matemtico

Consideremos las dos proposiciones compuestas con su respectivo valor de verdad Juan estudia matemticas y tiene excelentes habilidades cognitivas (F) Juan estudia matemticas si y slo si tiene excelentes habilidades cognitivas (V)

Se puede saber si es cierto que Juan estudia matemticas?Solucin. Si. Puesto que, Juan estudia matemticas y tiene excelentes habilidades cognitivases una conjuncin falsa, segn la tabla de la conjuncin existen tres posibilidades de verdadpara estas dos proposiciones:

i. Juan estudia matemticas (V); Juan tiene excelentes habilidades cognitivas (F)ii. Juan estudia matemticas (F); Juan tiene excelentes habilidades cognitivas (V)

iii. Juan estudia matemticas (F); Juan tiene excelentes habilidades cognitivas (F)

En los casos (i) e (ii) el bicondicional Juan estudia matemticas si y slo si tiene excelenteshabilidades cognitivases falsa, pero en (iii) cumple con la condicin de ser verdadera. Portanto tenemos la certeza que es falso que Juan estudia matemticas.

Por otro lado, como Juan estudia matemticas si y slo si tiene excelentes habilidadescognitivas es verdadera, segn la tabla del bicondicional existe dos posibilidades de verdad

para estas dos proposiciones:i. Juanestudia matemticas (V); Juan tiene excelentes habilidades cognitivas (V)ii. Juan estudia matemticas (F); Juan tiene excelentes habilidades cognitivas (F)

En el caso (i) la conjuncin Juan estudia matemticas y tiene excelentes habilidadescognitivas es verdadera, pero en (ii) cumple con la condicin de ser falsa. Por tanto tenemosla certeza que es falso que Juan estudia matemticas.

As que por ambos lados se tiene la certeza de que Juan estudia matemticas es falso.

Ordinariamente los matemticos leen o interpretan PQ as:P si y solo si QP es equivalente a QP es una condicin suficiente y necesaria para Q


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La expresin un conjunto es vaco si y solo si carece deelementos, un matemtico tambinpuede leerla un conjunto es vaco, es equivalente a, el conjunto carece de elementoso unconjunto es vaco es condicin suficiente y necesaria para que el conjunto carezca deelementos. En toda definicin matemtica hay implcita una equivalencia, tal como semuestra a continuacin:

:21

pp Un nmero natural n mayor que 1 es primo si y solo si n es divisible solamente por n y por

1

:43

pp Un rectngulo es cuadrado si y solo si sus cuatro lados son iguales

:65

pp Un paralelogramo es un rombo si y solo si sus cuatro lados son iguales

De esta manera se ha completado el estudio de los conectivos lgicos, los cuales como hemosvisto, unen proposiciones atmicas para formar una proposicin compuesta que recibe elnombre de acuerdo al conectivo utilizado: negacin, conjuncin, disyuncin exclusiva e

inclusiva, condicional y bicondicional. En la Tabla 9 se presenta el resumen de los valoresde verdad de las cinco operaciones lgicas estudiadas.

Prcti ca 1.5


Escriba las proposiciones bicondicionales en la forma si y solo si

Proposicin

Proposicin

Simple

Negacin

Conjuncin

Disyuncin

Exclusiva

Disyuncin

Condicional

Bicondicional

P q ~ q p

q p v q p

q p

q p

q

V V 0 V F V V VV F V F V V F FF V F V V V FF F F F F V V

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8Tabla 9. Resumen de las operaciones lgicas. En las columnas

1C y

2C se dan las cuatro

combinaciones posibles de valores de verdad 1 y 0 para las proposiciones simples p y q. En las

columnas3

C ,4

C ,5

C ,6

C7

C y8

C se da respectivamente el significado de los smbolos de las cinco

operaciones lgicas.


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1. Es necesario y suficiente que un tringulo tenga los tres lados iguales para que seaequiltero

2. Que los ngulos de un tringulo sean agudos es condicin necesaria y suficiente para queel tringulo sea acutngulo

3. Que una proposicin sea verdadera independientemente de los valores de verdad de las

proposiciones simples equivale a decir que la proposicin es una tautologa.4. Que una funcin sea inyectiva y sobreyectiva equivale a ser biyectiva.

Negacin de las operaciones lgicas

Negacin de la conjuncin o primera ley de De Morgan

La negacin de la conjuncin equivale a la disyuncin de las negaciones de las proposiciones.Simblicamente,

p q p q

Ejemplo 1.18 Negacin de una conjuncin en contexto geogrfico

Negar la conjuncin,

Neiva no es la capital arqueolgica del Huila y se ubica a 300 kilmetros de Bogot

Solucin. Empecemos por simbolizar la conjuncin constituida por las proposiciones simples

p: Neiva es la capital arqueolgica del Huila (F)q: Neiva se ubica a 300 kilmetros de Bogot (V)

As,

Neiva no es la capital arqueolgica del Huila y se ubica a 300 kilmetros de Bogot~p q

es simbolizada ~ p q . Su valor de verdad verdadero se obtiene mediante la tabla siguienteen C5.

C1 C2 C3 C4 C5 C6

p q ~ p ~ q ~ p q ~p q F V V F V F

Su negacin simblica es p q p q mientras que su negacin literal es:

Neiva es la capital arqueolgica del Huila o no se ubica a 300 km.

Esta es falsa segn la columna C6 de la tabla.


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Negacin de la disyuncin o segunda ley de De Morgan

La negacin de la disyuncin equivale a la conjuncin de las negaciones de las proposiciones.Simblicamente,

p q p q

Ejemplo 1.19 Negacin de una disyuncin en contexto matemtico

Considrese el tringulo rectngulo de la figura, en donde uno de sus ngulos agudos es .

Los nmeros reales Sen y Cos son definidos comoCateto opuesto a

SenHipotenusa

y

Cateto adyacente aCosHipotenusa

.

Negar simblica y literalmente la disyuncin,

HipotenusaSen

Cateto opuesto a

oHipotenusa

CosCateto adyacente a

Solucin. Empecemos por simbolizar la disyuncin constituida por las proposiciones simples

r:Hipotenusa

SenCateto opuesto a

(F)

s:Hipotenusa


(F)

As,Hipotenusa

SenCateto opuesto a

oHipotenusa


F F


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39


es simbolizada r s . Su valor de verdad es falso y se obtiene mediante la tabla siguiente enC5.

C1 C2 C3 C4 C5 C6

r s ~ r ~ s r s ~ ~r s

F F V V F V

Su negacin simblica es r s r s mientras que su negacin literal es

HipotenusaSen

Cateto opuesto a

yHipotenusa


y es verdadero segn la columna C6 de la tabla.

Negacin del condicional

La negacin del condicional equivale a la conjuncin del antecedente con la negacin delconsecuente del condicional. Simblicamente,

p q p q

Ejemplo 1.20 Negacin de un condicional en contexto matemtico

Negar simblica y literalmente el condicional enunciado segn la siguiente figura,

Si el pentgono MNPQR tiene los lados iguales entonces es regular

Solucin. Empecemos por simbolizar la proposicin condicional constituida por lasproposiciones simples

t: El pentgono MNPQR tiene los lados iguales (V)u: El pentgono MNPQR es regular (F)


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As,Si el pentgono MNPQR tiene los lados iguales entonces es regular

V F

es simbolizadat u

. Su valor de verdad es falso y se obtiene mediante la tabla siguiente enC4.

C1 C2 C3 C4 C5

t u ~ u t u ~t u

V F V F V

Su negacin simblica es t u t u mientras que su negacin literal es

El pentgono MNPQR tiene los lados iguales y no es regular,

el cual es verdadero segn la columna C5 de la tabla.

Ejemplo 1.21 Negacin de un bicondicional en contexto matemtico

Negar simblica y literalmente el bicondicional,

222 es mltiplo de 3 si y solo si 2 + 2 + 2 es mltiplo de 3

Solucin. Empecemos por simbolizar la proposicin bicondicional constituida por lasproposiciones simples

r: 222 es mltiplo de 3 (V)s: 2 + 2 + 2 es mltiplo de 3 (V)

As,222 es mltiplo de 3 si y solo si 2 + 2 + 2 es mltiplo de 3

V V

es simbolizada r s . Su valor de verdad es verdadero y se obtiene mediante la tablasiguiente en C5.

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

r s ~ r ~ s r s ~r s ~ r s

F F V V V F F


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41


Su negacin simblica es r s r s o r s r s mientras que sunegacin literal es

222 es mltiplo de 3 2 + 2 + 2 no es mltiplo de 3

o

222 no es mltiplo de 3 2 + 2 + 2 es mltiplo de 3

y es verdadero segn la columna C6 y C7 de la tabla.

Ejemplo 1.22 Negacin simblica

Negar la expresin simblica r s t s

Solucin

Se debe negar la conjuncin de una disyuncin con un condicional. Por consiguiente seutilizarn las leyes de negacin de la conjuncin, de la disyuncin y del condicional, paso apaso.

Conjuncin

r s t s

P EXPRESIN SIMBLICA EXPLICACIN

1. r s t s Expresin simblica dada

2. r s t s r s t s

La negacin de laconjuncin es equivalente ala disyuncin de lanegacin de ambosmiembros de la conjuncin

3. r s t s r s t s

Desarrollando la negacinde disyuncin. La negacinde la disyuncin esequivalente a la conjuncinde la negacin de ambosmiembros de la disyuncin

11. r s t s r s t s Desarrollando la negacindel condicional. Lanegacin del condicional es


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la conjuncin delantecedente con lanegacin del consecuente.

Negacin del bicondicional

La negacin del bicondicional equivale al bicondicional de la negacin de una de susproposiciones. Simblicamente,

p q p q o p q p q

Ejemplo 1.23 Negacin simblica

Negar la expresin simblica v r u w

Solucin

Se debe negar la disyuncinde un bicondicional con un condicional. Por consiguiente seutilizarn las leyes de negacin de la disyuncin, del bicondicional y del condicional, paso apaso.

Disyuncin

v r u w

P EXPRESIN SIMBLICA EXPLICACIN

1. v r u w Expresinsimblica dada

2. v r u w v r u w

La negacin de ladisyuncin esequivalente a la

conjuncin de lanegacin de ambosmiembros de ladisyuncin

3. v r u w v r u w Desarrollando lanegacin del


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bicondicional. Seniega solo una.

12. v r u w v r u w

Desarrollando lanegacin delcondicional. Seniega solo elconsecuente.

Prcti ca 1.6


1. Considere la proposicin siguiente.Si una funcin no es biyectiva entonces no es inyectiva o no es sobreyectiva.a. Escriba simblica y literalmente la recproca, contrarrecproca y la contradirecta

b. Escriba simblica y literalmente la negacin de este condicional

c. Escriba este condicional mediante condiciones de suficiencia y necesidad.

Clasifique las proposiciones como simple, negacin, conjuncin, disyuncin, condicional o

bicondicional.2. Si un nmero natural no es par entonces es impar3. Una proposicin es simple si y solo si carece de conectivos4. 17 es nmero natural primo5. 15 es mltiplo de 3 y de 56. 40150 = 110 40150 =110

Hallar el valor de verdad de las proposiciones

7. 4 4 0 4 4 1 ( )

8. Si 9 4 20 entonces 20 4 9 ( )

9. 45 es mltiplo de 5 ( )10.169 es mltiplo de 13 y 10 es divisor de 25 ( )

11.173 5 1 3 3

128 6 2 5 10

( )

12.23 8 5 3

34 3 9 10

( )


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13. 7 14 2 3 44 3 5 5

( )

14.Problema. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga de una a la otraorilla de un ro; dispone de una barca en la que solo caben l y una de las otras tres cosas.Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechugase la come, cmo debe hacerlo?

15.Lectura. Consideremos el siguiente texto extrado del libro Clculo y Geometra Analticade George Simmons. Extraiga del texto, simbolice y niegue: tres proposiciones simples,tres simples negadas, tres conjunciones, tres disyunciones, tres condicionales y tresbicondicionales.

Los filsofos presocrticos de la antigua Grecia, es decir aquellos que vivieron antes de lapoca de Scrates (470?- 399 a.C.) constituyeron uno de los grupos de personas msdestacados e influyentes en la historia de la humanidad. El ms conocido de ellos fuePitgoras de Samos (580? - 500? A.C.), un matemtico, cientfico y mstico cuyas ideassiguen vivas hoy como parte del cuerpo de la civilizacin moderna. La geometra griega fueciertamente uno entre la media docena de logros intelectuales supremos de todos los tiempos.Tales (625?-547?), el maestro de Pitgoras, haba creado la geometra como lacontemplacin de modelos abstractos de lneas y figuras y haba construido las primerasdemostraciones de los primeros teoremas. Pero Pitgoras fue la primera persona en ver lageometra como un sistema organizado de pensamiento sostenido por la demostracindeductiva, con un teorema dependiendo de otro en un tejido lgico firmemente unido. Latradicin nos dice tambin que l mismo descubri muchos teoremas, muy destacadamenteel hecho de que la suma de los ngulos en cualquier tringulo es igual a dos ngulos rectos,y el famoso teorema de Pitgoras que dice que, en todo tringulo rectngulo el cuadrado dela longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de los cuadrados de loscatetos.

Pitgoras naci en la, hermosa isla de Samos, a una milla o dos de la costa del mar Egeo y aun da de camino de Mileto, la ciudad de Tales, a lo largo de la orilla del mar. Cuando tenaunos 50 aos, emigr de Samos a la colonia griega de Trotona, en el sur de Italia, dondeestableci la famosa escuela pitagrica, una sociedad cuasi-religiosa que puede reclamar elhonor de ser la primera universidad del mundo. Los pitagricos fueron muy conocidos pordos enseanzas: la doctrina de la transmigracin de las almas de un cuerpo al otro en elmomento de la muerte y la teora de que los nmeros constituyen la verdadera esencia detodas las cosas.

Los creyentes llevaban a cabo ritos de purificacin y segn reglas alimenticias y morales

estrictas (nada de sexo y nada de carne) para permitir a sus almas la elevacin a nivelessuperiores de espiritualidad en vidas posteriores. Sus creencias les conducan tambin aconsiderar los sexos como iguales y a tratar humanamente los animales y a los esclavos:porque quin sabe? En una vida posterior uno podra volver como esclavo, o el alma de unopodra tomar como residencia el cuerpo de un animal, incluso ay! El de un insecto. Comomodo de lograr la purificacin de la mente, los pitagricos estudiaban geometra, aritmtica,msica y astronoma: aritmtica no en el sentido de las tcnicas computacionales tiles, sinoms bien como la teora de nmeros abstracta. Eran aficionados en particular a los nmeros


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figurados, que surgen al colocar puntos en formas geomtricas regulares. Por ejemplo,

tenemos los nmeros cuadrados:

Como se indica, cada nmero puede obtenerse a partir de su predecesor sumando una fronteraen forma de L llamada gnomon, que significa la escuadra de un carpintero. Dado que los

gnomos sucesivos son los sucesivos nmeros impares, es inmediatamente claro a partir delas distribuciones en cuadrados que la suma de los n primeros nmeros impares es igual a2

n

:2)12(...1197531 nn .

Ilustracin 6 Sucesin de los cuadrados de los nmeros naturales estrechamente relacionados conlos nmeros impares

Negar paso a paso cada una de las siguientes expresiones simblicas:

16. Disyuncin r s t v

17. Conjuncin r s t v

18. Condicional r s t v

19. Bicondiconal r s t v

20. Condicional r s t v

21. p r q r p q

22. p r q r p q

23. s t p q r t

24. p q r t s t u

FRMULAS B IEN FORMADAS DEL CLCULOPROPOSICIONAL

Euclides [330 a.C - 275 a.C].


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Informacin tomada deGnesis y evolucin del pensamiento cientfico. Documento deHenri Poincar disponible enhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm

Euclides [330 a.C - 275 a.C]. Matemtico griego. Pocose conoce a ciencia cierta de la biografa de Euclides,

pese a ser el matemtico ms famoso de la Antigedad.

Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo queexplicara su buen conocimiento de la geometraelaborada en la escuela de Platn, aunque no pareceque estuviera familiarizado con las obras de Aristteles.Ense en Alejandra, donde alcanz un gran prestigioen el ejercicio de su magisterio durante el reinado deTolomeo I Ster; se cuenta que ste lo requiri para que

le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de lasmatemticas, a lo que Euclides repuso que no exista una va regia para

llegar a la geometra.

La tradicin ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notableamabilidad y modestia, y ha transmitido as mismo una ancdota relativaa su enseanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en elestudio de la geometra le pregunt qu ganara con su aprendizaje;Euclides, tras explicarle que la adquisicin de un conocimiento es siemprevaliosa en s misma, orden a su esclavo que diera unas monedas almuchacho, dado que ste tena la pretensin de obtener algn provecho desus estudios.

Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asociaprincipalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusincon las obras ms famosas de la literatura universal, como la Biblia o elQuijote. Se trata, en esencia, de una compilacin de obras de autoresanteriores (entre los que destaca Hipcrates de Quos), que las super deinmediato por su plan general y la magnitud de su propsito.

De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo quese entiende todava como geometra elemental; en ellos Euclides recoge lastcnicas geomtricas utilizadas por los pitagricos para resolver lo que hoyse consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadrticas, e incluyen

tambin la teora general de la proporcin, atribuida tradicionalmente aEudoxo.

Los libros del sptimo al dcimo tratan de cuestiones numricas y los tresrestantes se ocupan de geometra de los slidos, hasta culminar en laconstruccin de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas,que haba sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.
http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htmhttp://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm


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La influencia posterior de los Elementosde Euclides fue decisiva; tras suaparicin, se adopt de inmediato como libro de texto ejemplar en laenseanza inicial de la matemtica, con lo cual se cumpli el propsito quedebi de inspirar a Euclides. Ms all, incluso, del mbito estrictamentematemtico, fue tomado como modelo, en su mtodo y exposicin, por

autores como Galeno, para la medicina, o Espinoza, para la tica.

De hecho, Euclides estableci lo que, a partir de su contribucin, haba deser la forma clsica de una proposicin matemtica: un enunciado deducidolgicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el casode los Elementos, los principios que se toman como punto de partida sonveintitrs definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nocionescomunes.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuentediscusin a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los

postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Sucondicin distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibidadesde la misma antigedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlocomo teorema; los esfuerzos por hallarle una demostracin prosiguieronhasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definirgeometras consistentes, llamadas no euclidianas, en las que no secumpliera la existencia de una nica paralela trazada a una recta por un

punto exterior a ella.

Conceptos fundamentales

Para escribir una frase correctamente en espaol necesitamos de un conjunto de letras(alfabeto), signos de puntuacin, reglas ortogrficas, entre otras cosas. Para escribircorrectamente una expresin en el Clculo Proposicional necesitamos de un conjunto desmbolos que consiste de: letras proposicionales, conectivos (operadores lgicos) y parntesisy corchete izquierdos y derechos ( ) y [ ] (signos de puntuacin).

Smbolos del CP = 1 2 3, , ,... , ~, , , , , , ,p p p

En el Clculo proposicional, CP, las expresiones correctamente escritas se llaman, frmulasbien formadas, (fbf). En espaol las frmulas bien formadas vienen a ser las palabras o frasescon sentido; la frase La amam de Carlos no tiene sentido pues una de sus palabras,

posiblemente mam, est mal escrita, por cual sta frase es una frmula mal formada delespaol. As mismo es muy importante la puntuacin para que las frases tengan el sentidodeseado; no es lo mismo decir por ejemplo, Leidy, razona, rpido! que Leidy razonarpido, el sentido cambia al colocarlas comas y los signos de admiracin; igual sucede conla puntuacin en los lenguajes no naturales como el Clculo Proposicional.


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Ilustracin 7. Mapa conceptual de las partes del lenguaje Clculo Proposicional

Definicin 1.5

Formula bien formada

Una frmula bien formada, fbf, del Clculo Proposicional CP, sedefine inductivamente as:

i. Cualquier letra proposicional es frmula bien formadaii. La expresin formada por el smbolo negacin seguido de una

letra proposicional es frmula bien formadaiii. Si A y B son frmulas bien formadas entonces

, , ,A B A B A B A B tambin son frmulas bienformadas.

iv. Si una expresin no proviene de la aplicacin de las tres

reglas anteriores, no es una frmula bien formada

Una frmula bien formada, fbf, diferente de una letra proposicional, posee una estructuraproposicional dada por los conectivos lgicos que la forman; y en una estructuraproposicional sobresale un conectivo lgico llamado conectivo lgico principalque le da elnombre a la proposicin de negacin, conjuncin, disyuncin, condicional o bicondicional.


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En el siguiente mapa conceptual se observa una clasificacin de las frmulas bien formadasdel Clculo Proposicional. Una frmula bien formada puede ser tautologa, contradiccin ouna que no es tautologa ni contradiccin llamada indeterminacin. La tautologa es como lania consentida del Clculo Proposicional; hemos trabajado para llegar a estudiar y aplicar

la tautologa en los razonamientos humanos.

Ilustracin 8. Mapa conceptual de la clasificacin de las frmulas bien formadas (fbf) del lenguaje Clculo Proposicional

Ejemplo 1.24 Frmula bien formada del Clculo Proposcicional

Hagamos una traduccin del espaol al Clculo Proposicional de la ltima proclama delLibertador Simn Bolvar, para obtener una frmula bien formada:

Simi muerte contribuye a que cesen los partidos y se consolide la unin entoncesbajartranquilo al sepulcro.

Intervienen las proposiciones simples:p: mi muerte contribuye a que cesen los partidosq: mi muerte contribuye a que se consolide la uninr: yo bajar tranquilo al sepulcro

Al leer con una puntuacin adecuada, se obtiene la fbf para la ltima proclama de Bolivar:(pq)r

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LOGICA MATEMATICA UCC CAP 1