Logic a Conjunto s

ndice general

1. Lgica y Teora de conjuntos 31.1. Introduccin a la Lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Repaso histrico (Ref. Grimaldi pg. 187) . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Conceptos bsicos (Ref. Matemtica Discreta, Gregori) . . . . . . . 31.1.3. Tautologas y contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Leyes de Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5. Inferencia lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6. Mtodos de demostracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Datos histricos: G. Cantor (1.845-1.918) . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

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2 NDICE GENERAL

Captulo 1

Fundamentos de Lgica y Teora deConjuntos

1.1. Introduccin a la Lgica

1.1.1. Repaso histrico (Ref. Grimaldi pg. 187)

El primer estudio sistemtico del razonamiento lgico se encuentra en la obra delfilsofo griego Aristteles (384 - 322 a.C.). En una forma modificada este tipo delgica se ense hasta y durante la Edad Media.

El matemtico alemn Gotfried Wilhelm Leibnitz (1.646 - 1.716) ha sido consideradocomo el primer filsofo que intent desarrollar la lgica simblica como un lenguajecientfico universal De Arte Combinatoria, 1.666.

George Boole (1.815 - 1.864) cre un sistema de lgica matemtica que present en1.847 en el panfleto The Mathematical Analysis of Logic, Begin an essay Towardsa Calculus of Deductive Reasoning.

August Morgan (1.806 - 1.871) Formal Logic.

El norteamericano Charles Sanders Peirce (1.839 - 1.914), quien tambin era inge-niero y filsofo introdujo el concepto de cuantificador.

Alfred North Whitehead (1.861 - 1.947) y Bertrand Russell (1.872 - 1.970). PrincipiaMathematica.

1.1.2. Conceptos bsicos (Ref. Matemtica Discreta, Gregori)

Definicin 1.1.2.1 Llamaremos proposicin a toda afirmacin de la que se pueda decirsin ambigedad y de manera excluyente que es cierta o falsa.

Las proposiciones ms sencillas se denominan atmicas. Las proposiciones constitui-das por proposiciones atmicas y otras partculas que sirven de nexo se llaman molecu-lares. Habitualmente vendrn denotadas por las letras p, q, . . .

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4 CAPTULO 1. LGICA Y TEORA DE CONJUNTOS

El clculo proposicional se ocupa de la formacin de proposiciones moleculares yde su valor lgico.

Definicin 1.1.2.2 Se llaman conectores (o conectivos) lgicos a las partculas que seutilizan para formar las proposiciones moleculares.

Algunos conectores son los que siguen:

Disyuncin o . La simbolizaremos por . Ejemplo: p q se lee p o q.

Conjuncin y . La simbolizaremos por . Ejemplo: p q se lee p y q.

Negacin no . La simbolizaremos por . Ejemplo: p se lee no p.

El condicional si . . . , entonces . . . que simbolizaremos por , y que se define demanera que p q (si p entonces q) es falsa cuando p es cierta y q es falsa.

El doble condicional o equivalencia . . . si, y slo si, . . . que simbolizaremos por se define de modo que pq (p si, y slo si, q) es cierta slo cuando p y q sonciertas a la vez o falsas a la vez.

En la siguiente tabla esquematizamos las definiciones anteriores. Habitualmente de-notaremos con un 1 la proposicin verdadera y con 0 indicaremos que la proposicin esfalsa:

p q pq pq p p q pq1 1 1 1 0 1 11 0 1 0 0 0 00 1 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1 1

La jerarqua de los conectores lgicos es la que sigue de mayor a menor ( y tienenigual status):

, , , , El uso del parntesis puede hacer variar el sentido lgico.Ejemplo: Vienes a cenar, o vamos al cine y tomamos un helado.p (t) vienes a cenar.q (nosotros) vamos al cine.r (nosotros tomamos un helado.

p (q r)

1.1. INTRODUCCIN A LA LGICA 5

1.1.3. Tautologas y contradicciones

Una forma proposicional que siempre es verdadera con independencia del valor deverdad de las proposiciones que la integran se llama tautologa. Una forma proposicionalque es siempre falsa con independencia del valor de verdad de las proposiciones que laintegran se denomina contradiccin. Si no se da alguno de los dos casos anteriores sueledecirse que la forma proposicional es una contingencia.

Ejemplo:

q (p q)

p q pq q(pq)1 0 0 11 1 1 10 1 1 10 0 1 1

Las siguientes proposiciones son tautologas y se denotan de forma simplificada conlas letras que aparecen a continuacin:

p q q S (Simplificacin)p p q A (Adicin)q (p q) C (Condicional)(p q) (q r) (p r) SH (Silogismo hipottico)(p q) (r s) (p r) q s SD (Silogismo disyuntivo)(p q) p q MP (Modus (ponendo) ponens)(p q) q p MT (Modus (tollendo) tollens)

Dos formas proposicionales p y q se dicen equivalentes y se escribe p q si sus tablasde verdad coinciden.

Ejemplo: p q p q.

p q p q p q1 1 1 11 0 0 00 1 1 10 0 1 1

1.1.4. Leyes de Morgan

(p q) p q(p q) p q


1.1.5. Inferencia lgica

Definicin 1.1.5.1 La inferencia lgica es el proceso que permite obtener una proposicincierta (conclusin) a travs de otras proposiciones ciertas (premisas), de tautologas y delas leyes de inferencia que veremos a continuacin:

Ley de la unin: Si en un cierto lugar de una inferencia se tiene la premisa p yen otro la premisa q, se puede concluir p q.

Ley de insercin de tautologas: En cualquier momento de una inferencia sepuede usar (escribir) una tautologa.

Ley de uso de las tautologas: Si se tiene una tautologa que es una implicacin yse posee el antecedente (como cierto) se puede concluir el consecuente (como cierto).

Definicin 1.1.5.2 Las reglas de inferencia son el proceso prctico de llevar a acabo lainferencia atendiendo a las leyes anteriores y las tautologas.

En Matemticas, un implicacin de la forma A B se llama teorema. Las premi-sas que constituyen A son las hiptesis, la conclusin se llama tesis. El razonamiento(matemtico) basado en la inferencia lgica para llegar de la hiptesis a la tesis se llamademostracin.

Si A B constituye un teorema directo, se dice que B A es su recproco.El teorema A B constituye el contrario de A B (equivalente a B A).

1.1.6. Mtodos de demostracin

Mtodo directo. Se llega a la conclusin a travs de las premisas mediante el uso delas reglas de inferencia.

Reduccin al absurdo. Este mtodo se basa en que a partir de premisas ciertas yreglas vlidas no se puede llegar a una contradiccin. Para ello, si la conclusin bus-cada es S, se introduce como premisa auxiliar S. El proceso matemtico concluyeen la prctica cuando al aplicar las reglas de inferencia se obtiene una contradiccincualquiera (por ejemplo A A), luego S es cierta.Ejemplo:

P1: p q rP2: q sP3: r Se desea concluir s

P4: s (Premisa auxiliar)P5: s q C-D(2)P6: q MP(4,5)P7: p q A(6)P8: r MP(1,7)

1.1. INTRODUCCIN A LA LGICA 7

Mtodo de induccin. Para probar la validez del mtodo necesitamos usar la siguien-te propiedad de los nmeros naturales N:

Todo subconjunto de N tiene un primer elemento. El mtodo se usa paraprobar que una propiedad P (n) que se enuncia para cada nmero naturaln es cierta para todo n N.

El proceso matemtico consta de dos pasos:

1. Probar que P (1) es cierta, y

2. probar que P (n) P (n+ 1).

P1: P(1)P2: P(n) P(n+1)

P3: Existe algn enunciado P (n) falso. (Premisa auxiliar)P4: Sea P (m) el primer enunciado falso.P5: P (m 1) es cierto.P6: P (m) es cierto.

Ejemplo: Probar por induccin sobre n la frmula:

(1 + 2 + + n)2 = 13 + 23 + + n3

Demostracin:

n = 1.12 = 13 = 1

Supongamos que el resultado es cierto para n. Demostraremos que entoncestambin es cierto para n+ 1.

(1 + + n+(n+ 1))2 = (1 + + n)2 + (n+ 1)2 + 2 (1 + + n) (n+ 1)= 13 + + n3 + (n+ 1)2 + 2 (n+ 1) n

2 (n+ 1) =

= 13 + + n3 + (n+ 1)2 + n (n+ 1)2= 13 + + n3 + (n+ 1)3


1.1.7. Cuantificadores

cuantificador universal;

cuantificador existencial.Ejercicios:

(xp(x)) xp(x)(xp(x)) xp(x)

(xp(x)) (xq(x)) xp(x) q(x)Sin embargo:

(xp(x)) (xq(x)) x(p(x) q(x))Contraejemplo:p(x) x 0q(x) x 0p(x) q(x) Verdadero (xp(x)) (xq(x)) Falso.

1.2. Conjuntos

1.2.1. Datos histricos: G. Cantor (1.845-1.918)

Cantor naci en San Petersburgo, pero vivi la mayor parte de su vida en Halle. Laltima parte de su vida estuvo enturbiada por repetidas enfermedades mentales y pasmucho tiempo en un sanatorio. Su contribucin ms profunda a las matemticas fue suteora de los conjuntos infinitos y de los nmeros infinitos. Particularmente importante essu distincin entre conjuntos numerables y no numerables. De l puede pensarse que fueel matemtico que liber el infinito.

1.2.2. Primeras definiciones

Definicin 1.2.2.1 Un conjunto es la reunin en un todo de determinados objetos biendefinidos y diferenciables los unos de los otros.

Habitualmente los conjuntos se simbolizan mediante letras maysculas, y sus elementosmediante minsculas. Si a es un elemento del conjunto A, diremos que a pertenece a A yescribiremos a A.

Un conjunto queda completamente determinado si se conocen todos sus elementos.Para especificar un conjunto utilizaremos alguna de las opciones que siguen:

Enumerando sus elementos. Ejemplo: A = {a, b, 3, 8, pi}.Dando la propiedad (o propiedades) que caracteriza(n) a los elementos del conjunto.Por ejemplo: B = {x R : x [0, 1]}.

1.2. CONJUNTOS 9

Se llama cardinal de un conjunto A al nmero de elementos de dicho conjunto y sudenota |A|. El conjunto vaco, es decir, de cardinal cero se denota por .

Definicin 1.2.2.2 Diremos que un conjunto B es subconjunto o parte de un conjuntoA o que B est contenido en A si, todos los elementos de B son a su vez elementos de A.Es decir,

B A (x B x A).

Definicin 1.2.2.3 Diremos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B) si A B yB A, es decir si ambos poseen los mismos elementos.

Claramente, A para todo conjunto A. Adems si A B y B C entonces A C.Ejemplo:

N Z Q R C.

Definicin 1.2.2.4 Si A X definimos el complementario de A en X y se denota porAcX = {x X : x 6 A}.

Definicin 1.2.2.5 Sea A un conjunto se define el conjunto de las partes de A como elconjunto formado por todos los subconjuntos de A y se denota P(A). As:

P(A) = {B : B A}.

Ejemplo: (Conjunto de las partes de A = {1, a, {a}}).

P(A) = {{1}, {a}, {{a}}, {1, a}, {1, {a}}, {a, {a}}, {1, a, {a}}, }.Si A es un conjunto de n elementos, entonces |P(A)| = 2n.

Operaciones con conjuntos

Definicin 1.2.2.6 Sean A y B conjuntos. Se define:

A unin B y se denota A B al conjunto:

A B = {x : x A x B}.

A interseccin B y se denota A B al conjunto:

A B = {x : x A x B}.

Cuando la interseccin es el conjunto vaco se dice que A y B son disjuntos.

A \B = {x : x A x 6 B}.

Proposicin 1.2.2.1 Propiedades:


Idempotencia: A X,A A = A, A A = A.

Conmutativa: A,B X,A B = B A, A B = B A.

Asociativa: A,B,C X,A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C :

Distributiva: A,B,C X,A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C).

Leyes de Morgan: A,B X,(A B)cX = AcX BcX (A B)cX = AcX BcX .

Si {Ai}iI es una familia de subconjuntos de X, denotamos:

iIAi = {x X : x Ai i I}iIAi = {x X : x Ai para algn i I}.

Definicin 1.2.2.7 Dados A,B X conjuntos se define el producto cartesiano de A yB y se denota por AB a:

AB = {(a, b) : a A b B}.De igual manera, dados n conjuntos A1, A2, . . . , An, se define el producto cartesiano

de los conjuntos anteriores como el conjunto

A1 A2 An = {(a1, a2, . . . , an) : ai Ai, i = 1, 2, . . . , n}.

1.3. AplicacionesDefinicin 1.3.0.8 Una aplicacin es una terna f = (A,B,G), donde A y B son con-juntos y G A B tal que a A !b B tal que (a, b) G. Escribiremos f : A By diremos que A es el conjunto inicial y que B es el conjunto final.

Si (a, b) F diremos que b es imagen de a por f y escribiremos f(a) = b. Tambindiremos que a es antiimagen de b.

El subconjunto de B formado por todas las imgenes de todos los elementos de A sedenomina imagen de f y se denota por Im(f), esto es,

Im(f) = {f(a) : a A}.

1.3. APLICACIONES 11

Ejemplos: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c}.

Si G = {(1, a), (2, b)}, entonces f = (A,B,G) no es una aplicacin dado que 3 notiene imagen.

Si G = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, c)} entonces f = (A,B,G) no es una aplicacin dadoque 1 tiene ms de una imagen.

Si G = {(1, a), (2, a), (3, c)} entonces f = (A,B,G) s es una aplicacin en la que atiene dos antiimgenes y b no tiene ninguna.

Si f = (R,R, G), donde G = {(x,x) : x R} no es una aplicacin.

1. Dado un conjunto A, llamaremos identidad de A a la aplicacin

iA : A Aa a

2. Dado un subconjunto B A, llamamos inclusin de B en A a la aplicacin:i : B A

b b

3. Sean A y B conjuntos y AB el producto cartesiano de ambos. A las aplicacionespA : AB A

(a, b) a

pB : AB B(a, b) b

las denominaremos proyecciones asociadas al producto cartesiano AB.

1.3.1. Tipos de aplicaciones

Sean A y B dos conjuntos y f : A B una aplicacin.

f se dice inyectiva si elementos distintos de A tienen imgenes distintas por f , esdecir, si verifica que

a, a A, a 6= a f(a) 6= f(a)o equivalentemente,

a, a A, f(a) = f(a) a = a.


f se dice sobreyectiva, exhaustiva o suprayectiva, si todo elemento de B es imagende algn elemento de A, es decir, si

b B, a A tal que f(a) = b,o lo que es lo mismo Im(f) = B.

f se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. En este caso todo elemento tieneuna nica antiimagen y por tanto la correspondencia f1 de B en A que asocia acada elemento de B su origen por f , es una aplicacin a la que llamaremos inversade f , y f se llama invertible.

Ejemplos:

f1 : R R tal que f1(x) = 2x+ 1 es una aplicacin biyectiva.

f2 : R R tal que f2(x) = x2 no es ni inyectiva ni suprayectiva.

Definicin 1.3.1.1 Sean f : A B una aplicacin y A1 A. Entonces f|A1 : A1 Btal que f|A1(a1) = f(a1) a1 A1 es una aplicacin que se denomina aplicacin restringidaa A1.

Composicin de aplicaciones

Sean f : A B y g : C D dos aplicaciones de manera que B C (habitualmenteB=C). Llamaremos aplicacin compuesta de f y g, g f a la aplicacin g f : A Ddefinida como (g f)(a) = g(f(a)) para cualquier a A.

Ejemplos: f : R R, f(x) = x2 y g : R R g(x) = x+ 2. Entonces:f g : R R, (f g)(x) = x2 + 4x+ 4.g g : R R, (g f)(x) = x2 + 2.

Proposicin 1.3.1.1 Sean f : A B, g : B C, h : C D aplicaciones:

1. Si f es biyectiva entonces f f1 = iB y f1 f = iA.

2. (h g) f = h (g f).

3. Si f y g son inyectivas entonces g f es inyectiva.

4. Si f y g son suprayectivas entonces g f es suprayectiva.

5. Si f y g son biyectivas entonces g f es biyectiva.

6. Si f y g son biyectivas entonces (g f)1 = f1 g1.

En general, la composicin de aplicaciones no es conmutativa.

1.4. RELACIONES BINARIAS 13

1.4. Relaciones binarias

Definicin 1.4.0.2 Si A es un conjunto, una relacin binaria en A es un subconjunto Rde A A. Si (a, b) R escribiremos aRb.

Definicin 1.4.0.3 Dado A un conjunto, una relacin binaria en A se dice que es unarelacin binaria de orden si verifica:

1. a a a A. (Propiedad Reflexiva).

2. Si a, b A tal que a b b a a = b. (Propiedad Antisimtrica).

3. Si a, b, c A tal que a b b c a c. (Propiedad transitiva).

Un conjunto ordenado es un par (A,) donde A es un conjunto y es una relacinbinaria de orden definida en A.

Ejemplos:

1. (N,), (R,).

2. Si X es un conjunto (P(X),) es un conjunto ordenado.

3. (N, |) es un conjunto ordenado donde si n,m N, n|m si y slo si n es divisor dem.

Definicin 1.4.0.4 Sea A un conjunto ordenado, B A y b B.

1. Diremos que b es un elemento maximal de B si no existe b B con b b y b 6= b.

2. Diremos que b es un elemento minimal de B si no existe b B con b b y b 6= b.

Definicin 1.4.0.5 Sea (A ) un conjunto ordenado, B A y a A.

1. Diremos que a es cota superior de B si b a para cada b B.

2. Diremos que a es cota inferior de B si a b para cada b B.

3. Diremos que a es el supremo de B si:

a) a es cota superior de B.

b) Si a es otra cota superior de B entonces a a.

4. Diremos que a es el nfimo de B si:

a) a es cota inferior de B.

b) Si a es otra cota inferior de B entonces a a.


Ejemplos: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Consideremos en A la relacin | ser divisor.Entonces (A, |) es un conjunto ordenado.

1 es el nico elemento minimal y 5, 6 y 8 son los elementos maximales de A.Si B = {2, 4}, 4 y 8 son las cotas superiores y 1 y 2 son las cotas inferiores de B.Si C = {2, 5}, este subconjunto no tiene cotas superiores y por tanto no tiene supremo.

Sin embargo, 1 es una cota inferior de B (la nica).

Definicin 1.4.0.6 Un conjunto ordenado (A,) se dice que es un retculo si a, b A nf{a, b} sup{a, }.

Ejemplo: Si X es un conjunto (P(X),) es un retculo. Claramente si A,B P(X),sup{A,B} = A B e nf{A,B} = A B.

1.4.1. Relaciones de equivalencia

Dado un conjunto A, llamaremos relacin de equivalencia a una relacin binaria en Aque verifica las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva. A las relaciones de equivalen-cia las representamos mediante el smbolo , de modo que si dos elementos a y b estnrelacionados a b, y en caso contrario, a 6 b.

Ejemplos:

1. En el conjunto formado por todas las rectas del plano, la relacin ser paralelas esde equivalencia.

2. En el conjunto Z de los nmeros enteros, fijado un entero p > 1, la relacin definidapor

m n t Z : m n = t p, m, n Zes de equivalencia y la denominaremos congruencia mdulo p.

1.5. Estructuras algebraicasDefinicin 1.5.0.1 Sea A un conjunto no vaco. Una ley de composicin interna en Aes una aplicacin : A A A. Si (a, b) A A, la imagen de (a, b) por se denotaa b.

Ejemplos:

. : N N N tal que la imagen de (a, b) N N es el producto a b en N.La suma + : R R R es una ley de composicin interna en R.La resta de nmeros naturales no es una ley de composicin interna en N.

Definicin 1.5.0.2 Sea una ley de comosicin interna en A.1. Diremos que satisface la propiedad conmutativa si a b = b a a, b A.

1.5. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 15

2. Diremos que satisface la propiedad asociativa si (a b) c = a (b c) a, b, c A.3. Dado e A, diremos que e es elemento neutro de si e a = a e a A.4. Si tiene elemento neutro e, dado a A diremos que b A es el elemento simtrico

de a si a b = b a = e.Definicin 1.5.0.3 Un grupo es un par (G, ) donde G es un conjunto no vaco y esuna ley de composicin interna en G que verifica:

1. es asociativa.2. e G elemento neutro de .3. g G existe elemento simtrico de g.

Diremos que un grupo (G, ) es abeliano si es conmutativa.Proposicin 1.5.0.1 Sea G un grupo. Entonces:

1. El elemento neutro es nico.

2. Si g G, g tiene un nico elemento simtrico.Definicin 1.5.0.4 Un cuerpo es una terna (K,+, ) donde K es un conjunto no vacoy +, son leyes de composicin internas en K tales que:

1. (K,+) es un grupo abeliano. Denotaremos por 0 el elemento neutro de K y si a Kdenotaremos por a al elemento simtrico de a.

2. a) es asociativa.b) es conmutativa.c) Existe 1 K \ {0} tal que 1 a = a a K \ {0}.d) a K \ {0} existe a1 K \ {0} tal que a1 a = 1. A a1 le llamaremos el

inverso de a.

e) a (b+ c) = a b+ a c a, b, c K.Ejemplos:

1. (R,+, ) es un cuerpo.2. (C,+, ) es un cuerpo.3. (Z,+, ) no es un cuerpo.

Definicin 1.5.0.5 Sean A y B conjuntos. Una ley de composicin externa de A sobreB es una aplicacin : AB B.

Ejemplo: Consideramos : R R2 R2 tal que (, (x, y)) = (x, y). Entonces es una ley de composicin externa de R sobre R2.


Definicin 1.5.0.6 Si (K,+, ) es un cuerpo, se define:

K[x] = {a0 + a1 x+ . . .+ an xn : ai K, 1 i n, n N}.Si p(x) = a0 + a1x+ . . .+ an xn con an 6= 0 diremos que el grado de p(x) es n. Cuandop(x) = a K diremos que el grado de p(x) es 0. A ai cuando i = 0, 1, . . . , n se les llamacoeficientes de p(x).

Teorema 1.5.0.1 (Teorema Fundamental del lgebra) Si p(x) C[x] y el gradode p(x) es mayor que 0 entonces existen a, z1, z2, . . . , zn C tales que p(x) = a (x z1) (x z2) . . . (x zn).

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