LMN 2012 - Modul Spiralen - langemathenacht.delangemathenacht.de/spiralen/Modul Spiralen.pdf · Kurven 10. Februar 2012 © Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 SPIRALEN

Kurven 10.Februar2012

©Dr.A.Bornhoff,Dr.A.Rolf,Dr.J.Rolf2012 SPIRALEN 1

Spiralen 1EinführungEine besondersschöneund

vielfältige Klassevon Kurven ist die

derSpiralen.

Ob in der Natur

(Schneckenhaus)

oderNaturwissenschaft(DNA‐Doppelhelix),

derArchitektur,derTechnik(z.B.spiralförmigesGehäuse vonTurbinen)

oderKunst–Spiralensindallgegenwärtig.Ihre Vorkommens‐ und Formenvielfalt beeindruckt und ihre

FormschönheithatMenschenzuallenZeitenfasziniert.

IndiesemModulgehtesnatürlichauchdarum,Spiralenmathematischzubeschreiben.GleichzeitigsollaberdieFaszinationvonSpiralkurvenerfahrbarwerden,indemdasEx‐perimentieren und Herumspielen mit unterschiedlichen Kurvenformen nicht zu kurzkommt…



2Grundlagen:Polarkoordinaten2.1PolarkoordinatensystemKurven kann man in der Mathematik zum Beispiel durch Glei‐chungenbeschreiben.DabeiverwendetmanzurDarstellungvonFunktionsgraphen üblicherweise das kartesische Koordinatensy‐stemzweieraufeinandersenkrechtstehenderAchsen,diesichimNullpunktschneiden.DieseslässtsichprinzipiellauchfürKurvenverwenden, die sich nicht als Funktionsgraphen interpretierenlassen.BeispielKreisgleichung:

(x− xM )2 + (y− yM )2 = r2

DieKreislinieergibtsichalsdieMengeallerPunkte/Zahlenpaare(x;y),diedieGleichungerfüllen.Dabeiist(xM;yM)derMittelpunktundrderRadiusdesKreises.FürkompliziertereKurvenwieSpiralenbietetsichallerdingseinanderesKoordinaten‐systeman,dasselbstkreisförmigangelegtist:dasPolarkoordinatensystem.Bei Polarkoordinaten dienen als Bezugsystem ein fester Punkt(derPolN)undeineindiesemPunktbeginnendeHalbgerade(diePolarachse h).DieLageeinesPunktesPwirddanndurch seinenAbstand vom Pol (den Radius r) und denWinkel zwischen NP undderPolarachse(denPolarwinkelϕ ,“phi”)beschrieben.Wie bei kartesischen Koordinaten schreibtman die beiden Angaben einfach in Klam‐mernhintereinander.DerPolarwinkelwirdgegendenUhrzeigersinnorientiert.Genauwie in kartesischenKoordinatensystemen können auch in Polarkoordinatensy‐stemen gesetzmäßige Zusammenhänge zwischen den Koordinaten der Punkte durchGleichungenausgedrücktwerden.ZueinerKurvegehörendannallePunkte

P(r;ϕ) ,die

einebestimmteGleichung,z.B. r=5⋅ϕ erfüllen.

Am Beispiel des Kreiseswird unmittelbar deutlich, welchen Vorteil PolarkoordinatenfürdieBeschreibungnicht‐funktionalerKurvenbieten:Geben Sie Punkte

P( r;ϕ ) an, die auf einemKreismit Radius r = 10 liegen (Kreismittel

punkt=PolN).BegründenSie füreinensolchenKreisdie (Polarkoordinaten)Gleichung

r(ϕ )=10 .Bei Verwendung von Polarkoordinaten bevorzugtman zurMessung des PolarwinkelsdasBogenmaß. FürdenPolarwinkelwirddannmeist derParameter t verwendet, einPunkthatdanndiePolarkoordinaten

(r;t) .



KleineÜbungzuPolarkoordinaten:

TragenSiediefolgendenPunkteimKoordinatensystemeinundverbindenSiesieinalphabetischerReihenfolge!NehmenSiediepositivexAchsealsPolarachse. Beachten Sie Grad und Bogenmaß!ErinnerungzurUmrechnung:

α= t ⋅180°

π .

A(5,7 ; 135°)

B(4,1 ; 166°)

C(2,2 ; 153°)

D(4,5 ; 117°)

E(2,5 ; 90°)

F(4,5 ; 63°)

G(2,2 ; 0,46)

H(4,1 ; 0,24)

I(5,7 ; 0,79)

J(6,1 ; 0,17)

K(7,2 ; 0,59)

2.1KartesischeKoordinatenundPolarkoordinatenKartesischeKoordinatenlassensichmitHilfedertrigonometri‐schenFunktioneninPolarkoordinaten“umrechnen”.BegründenSie,dassfolgendeBeziehungenfüreinenPunktPmitdenkartesischenKoordinaten(x;y)gelten: r= x2 + y2 ∧ x= r ⋅cos(ϕ) ∧ y= r ⋅sin(ϕ) .

(imBogenmaß: x= r ⋅cos(t) ∧ y= r ⋅sin(t) )

Beispiel:GeradeninPolarkoordinatenZeigenSie,dassdieGerade

y=0,5x+1 inPolarkoordinatendurchdieGleichung

r( t )= 1sin( t )−0,5cos( t ) beschriebenwird.

Welche(Polarkoordinaten)Gleichungenergebensichallgemeinfür

y=mx+ n undfürGe

raden,dieparallelzuryAchseverlaufen?



3ArchimedischeSpiralenLässtmanfürdenPolarwinkelWinkelüber360°bzw. 2π zu,kannmanauchSpiralendurchPolarkoordinatenbeschreiben.EineeinfacheSpiralenformwerdenSie jetztken‐nenlernen.BetrachtenwirdazufolgendeganzalltäglicheSituation:UmViertelnacheinserwachteineRaupe inderMitteeinerKirchturmuhraufdemMinutenzeigerundmöch‐tedortnichtbleiben.WährendderMinutenzeigersichmit konstanter Geschwindigkeit w0 um den Mittel‐punktdreht,kriechtdieRaupeaufdemZeigermitkon‐stanterGeschwindigkeitv0nachaußen.IsttdieabViertelnacheinsverstricheneZeitinMinu‐ten, sogilt fürdenWinkel ϕ zwischenMinutenzeigerundderAusgangs‐dreiUhr‐Stellung:

ϕ(t)=w0 ⋅ t und r(t)= v0 ⋅ t .WelcheBahnbeschreibtdieRauperelativzurUhrfläche?Oderandersausgedrückt–wirwollendochbei realitätsnahenFragestellungenbleiben:WelchenWegmuss einKäfernehmen,dersichaufdemDeckglasderUhrbefindetundausGeselligkeitimmergenauoberhalbderRaupebleibenmöchte?StändederZeigerstill,wäredieBahnderRaupe______________________________________________

BliebesieaufeinembestimmtenZeiger‐Punktsitzen,wäreihreBahn_____________________NunfindenaberbeideBewegungengleichzeitigstatt.DenktmansichdenZeigerunend‐lich lang und beide Bewegungen endlos fortgesetzt, so wird die Raupe unendlich oft(nämlichproStundeeinmal)umdenMittelpunktderUhrgedreht,wobeisiesichimmerweitervonihmentfernt.Während jeder vollen Umdrehung legt die Raupe auf demZeigerdiegleicheStreckezurück.IhreBahnwindetsichmitfortschreitender Zeit in immerweiteren, immer schwächergekrümmtenBögenspiralförmigumdasZentrum.DievonderRauperelativzumZifferblattbeschriebeneKur‐vewirdarchimedischeSpiralegenannt.Wasinderanschau‐lichenDeutungderMittelpunktderUhr ist,nenntmandenPol der Spirale.Archimedes von SyrakushatdieKurve vormehralszweitausendJahrenimWesentlichenso(undohneRaupen)definiert.



EinearchimedischeSpiraleistdieBahneinesPunktes,dersichaufeinemmitkonstan‐terWinkelgeschwindigkeitw0rotierendenHalbstrahlmitkonstanterGeschwindigkeitv0vomZentrumnachaußenbewegt.ZeigenSieunterVerwendungderGleichungenvonSeite4:DieGleichungderarchimedi

schenSpiraleinPolarkoordinatenist

r= v0w0

⋅ϕ .AllgemeinhabenarchimedischeSpiralenalsoGleichungenderForm

r=a ⋅ϕ bzw. r=a ⋅t

miteinervonNull verschiedener reellenKonstantena,derRadius ist also zumPolar‐winkel proportional. Archimedische Spiralen zeichnen sich durch einen konstantenWindungsabstandüber den gesamtenDefinitionsbereich aus (– dieRaupe kriecht im‐mermitdergleichenGeschwindigkeitundschafftdeshalbproStundeimmerdiegleicheStrecke,welche diesemWindungsabstand entspricht). (ImFalle des EinstiegsbeispielsmitderRaupeistw0unddamitanegativ–warum?)FürExperimentierfreudige:Siekönneneinfachselbsteinearchimedische Spirale zeichnen. Alles, was Sie benötigen, sind zwei StifteundeinStückBindfaden...

ImAlltagtrittdiearchimedischeSpiralehäufigdortauf,woet‐was ordentlich aufgewickelt ist (Taue, Toilettenpapier), oderwoetwasLinienförmigeseineFlächebildensoll(Lakritzspira‐len, Schallplattenrillen). Insbesondere kommt sie auf jedemhandelsüblichenInformationsträgerzurAnwendung:AufeinerCDwerdendieDateninFormvonkleinenVertiefungen(für0und 1 als kleinstmögliche digitale Dateneinheiten) beginnendbeiderinnerstenSpurderCDspiralartignachaußengeschrie‐ben(sieheAbbildung).

FürdieWeiterarbeitbenötigenSienundasProgrammGeogebra.→ Öffnen Sie das Programmundwählen Sie imMenü „Perspektiven“dieEinstellung„Algebra&Grafik“.

→KlickenSiemitderrechtenMaustasteindasGrafikFensterundwählenSiedenPunkt„Grafik“aus.WählenSiedenReiter„Koordinatengitter“und„ShowGrid“sowieden„GridType“Polaraus.

ImFolgendenlernenSieamBeispielvonarchimedischenSpiralen,wieSiemitGeogebraSpiralendarstellenkönnen.

→Wählen inderWerkzeugleistedasSymbol „Schieberegler“ausundklickenSie in eineEckederGraphikumeszupositionieren.StandardmäßigläuftderParameteravon5bis5.



→GebenSienunzunächstdieBedingungfürdieAbhängigkeitvonRadiusundPolarwinkelein:

r( t )= a ⋅t .

Der Malpunkt muss eingegeben werden. Die Gleichung wird als Gerade gezeichnet.WennSiedieGleichungmitderrechtenMaustasteanklicken,könnenSiedasAnzeigendiesesObjektsverhindern.ZurErstellungderSpiralkurveverwendenSiedenBefehl „Kurve“.DiesererzeugteinekartesischeParameterkurve,einzugebensindalsox‐undy‐Koordinate,einLaufparame‐tersowieuntereundobereGrenzefürdenLaufparameter.Wegen

x= r ⋅cos(t) und

y= r ⋅sin(t) (s.o.)ergibtsichalso(mitderoberenGrenze20)fol‐

gendeEingabeindieEingabezeile(unten):Kurve[r(t)cos(t),r(t)sin(t),t,0,20]MitHilfedesSchiebreglerskönnenSienunverschiedenearchimedischeSpiralenzeich‐nen. (WählenSie ggf. „Objekt anzeigen“, rechteMaustaste aufdemKurvenbefehl.EineentsprechendeDateifindenSieauchaufwww.langemathenacht.de.)WelchenEinflusshataaufdieSpirale?WieunterscheidensichdieSpiralenfürnegativesundpositivesa?Variieren Sie die obereGrenze –wie ist diese zuwählen, damit genau eine halbe / eineganze/5ganzeSpiralwindungengezeichnetwerden?4SpiralenhöhererOrdnungDurchleichteVariationderGleichungfürarchimedischeSpiralengelangtmanzueinerKlassevonSpiralen,beidenenderWindungsabstandnichtkonstantist.Untersuchen Sie mit Hilfe von Geogebra folgende Fälle und beschreiben Sie jeweils dieAuswirkungenaufdieGestaltderSpirale.1.ErhöhungdesGradesvonrunda

r2 =a2 ⋅t (FermatscheSpirale) oder r3=a3 ⋅t WennSiedieGleichungr(t)ändern,müssenSiediesejeweilsfunktionaldarstellen,alsonachrumstellen.FürdieQuadratwurzelbzw.dieKubikwurzelverwendetGeogebradieBefehleSqrt()bzw.Cbrt().



Erinnerung: Zur Darstellung beider Äste müssen Sie den Scharparameter in einemsymmetrischenIntervallumNulllaufenzulassen.BeachtenSie:DurchdiefunktionaleDarstellungderSpiralengleichungerhaltenSiebeimGrad2fürr=sqrt(...)denpositivenAstderHyperbel,fürr=‐sqrt(...)dennegativen.WieliegendiebeidenSpiralÄstezueinanderfürgeraden/fürungeradesn?2.negativerGradvontWähltmanGleichungen,beidenenzwischenRadiusundPolarwinkel(odereinerPotenzdes Polarwinkels) Antiproportionalität besteht, erhält man sogenannte HyperbolischeSpiralen.

r= a

t (HyperbolischeSpirale)oder r= a

t2 (Krummstab)

Untersuchen Sie diese Spiralen und zeichnen Sie zunächst nur einen Ast, also t≥0 .WieverhältsichdieSpiralefür t→0 ,wiefür t→∞ ?WennSiemöchten,könnenSieauchjeweilswiederdieLagederbeidenSpiralästezueinanderuntersuchen.5DielogarithmischeSpiraleMottenbehaltenwährendihresFlugeseinenoptischenReizstetsunterkonstantemBlickwinkel imAuge (–diesesPhä‐nomen wirdMenotaxis genannt). Stellt das Mondlicht denReiz dar, so erreichen die Motten auf diese Weise geradeFlugbahnen, denn derMond ist soweit entfernt, dassmandievonihmausgehendenLichtstrahlenalsparallelbetrach‐tenkann.InderNähekünstlicherLichtquellennimmtderWegderMottenandereGestaltan:In‐dem sie die Strahlen einermit guter Näherung punktförmigen Lichtquelle unter kon‐stantemWinkel schneiden, fliegensienichtmehrgeradeaus, sondernbewegensich inengerwerdendenWindungenumdasZentrumherum.

WelcheBahnbeschreibenSiedabeigenau?



Genauer gefragt: Welche ebene Kurve schließt mit allen Strahlen durch einen festenPunktdengleichenWinkelein?DieBeantwortungderFragehängtnatürlichvomWinkelα ab.DietrivialenFälle:Für α=0°ergibtsicheineGeradedurchdenPol,für α=90°einKreisumdenPol.Für den Fall α<90° be‐trachten wir der Einfach‐heit halber nur einzelneLichtstrahlen und tun so,als ob das Insekt seineFlugrichtung nur an ihnenneu einstellt. Der Vollwin‐kelumSwirddazu ineinefesteZahlgleicherTeilwin‐kel(hier:12)unterteilt.

MessenSiedenBlickwinkelundsetzenSiedieZeichnungfort.Einesistdirektklar:DaderWinkelgrößerNullist,wirdderProzesstheoretischnieen‐den:DerPolisteinasymptotischerPunktdesStreckenzuges,derinunzähligen,immerengerenWindungenumlaufenwird.BegründenSie:NachKonstruktionsindalleentstandenenDreieckeähnlich.Daraus folgt,dassdasVerhältnis jezweieraufeinander folgender,sichentsprechenderDreiecksseitenimmergleichist.(Mansagt:DieLängedieserSeitenbildeteinegeometrischeFolge.)MessenSienäherungsweisedieRadienderKurvenpunkteAn.

Radius SA0

SA1 SA2

SA3

Längeinmm BestimmenSiedasVerhältniszweieraufeinanderfolgenderStrecken

SAn+1 und SAn .

BegründenSiedassdieFunktion r( n )=SA0 ⋅(sin(α ))n dieLängedesRadius

SAn inAb

hängigkeitvonnbeschreibt.( α istderkonstanteBlickwinkel,s.o.)Unabhängig davon, wie viele Polgeraden für eine diskrete Näherungslösung benutztwerden,bleibendiewichtigenEigenschaftenderKonstruktionerhalten:Alleauftreten‐denDreieckesindeinanderähnlich,d.h.dieaufeinanderfolgendenRadieneinesStrec‐kenzugesbildeneinegeometrischeFolge,rhängtexponentiellvonnab.



MitwachsenderZahlderfürdieNäherungslösungeingezeichnetenPolgeradenwirdderStreckenzugeiner„echten“,glattenKurveimmerähnlicher.AuchbeiGrenzwertbildungergibt sich –wie imdiskreten Fall – ein exponentieller Zusammenhang!DerRadius rhängtdannnichtmehrvonn,sondernvomMittelpunktswinkel

ϕ bzw.tab.

JedeKurve,diealledurcheingemeinsamesZentrumverlaufendenGeradenunterdemgleichen Winkel schneidet, deren Tangente also mit dem Radius stets den gleichenWinkeleinschließt,isteinelogarithmischeSpirale.SpiralendieserArtwerdendurchGleichungenderForm r=c ⋅bt oderüblicher r=a ⋅ekt beschrieben.StelltmandieGleichungzumPolarwinkelum,ergibt sichdernamensge‐bendelogarithmischeZusammenhang:

t= 1

k ⋅ln(ra) .

DieseSpiralartunterscheidetsichgrundsätzlichvonallenbisherbesprochenen:BeiihrwächstderRadiusexponentiellmitdemPolarwinkel.SiebestehtnurauseinemAst,derkeinAnfangundkeinEndebesitzt.ZeichnenSieverschiedenelogarithmischeSpiralenmitGeogebra.FührenSieeinenzweitenSchiebereglerein,damitSiedieAuswirkungenderParameteraundkuntersuchenkönnen.(EineentsprechendeDateifindenSieauchaufwww.langemathenacht.de.)5SpiralenundkeinEndeSiehabennuneinigeGrundlagenüberSpiralenund ihreDarstellung inGeogebraken‐nengelernt.AbschließendeinigeImpulsezurweiterenArbeit...→Muster&More–SpiralenundKurvenmitGeogebra

ExperimentierenSiemitdenDarstellungsmöglichkeitendesProgrammsunderzeugenSieweitereKurven.DiefolgendeInternetseitehältvieleAnregungenfürweitereKurvenundFigurenbereit:Herzkurven,Rosetten,diePascalscheSchnecke...

http://www.mathematische‐basteleien.de/polarkoordinaten.htm→Natürlichspiralig–SpiraleninderNatur

EsistschonfaszinierendinwelcherVielfaltSpiraleninderNaturvorkommen.VielleichtmöchtenSiediesbezüglicheinmalselberrecherchieren:diegenetischeSpiraleunddasPhänomenderPhyllotaxis(sowieinsbesonderedieVerbindungzurberühmtenFibonac‐ci‐Folge), SchneckenhäuserundMuscheln, Spiralnebel...Dieerste Internetseitegibtei‐nenEinstiegsüberblickundenthältfaszinierendeAbbildungen,diezweitezeigtVerbin‐dungenzwischenSpiralmustern,Fibonacci‐FolgeundGoldenemSchnittauf.

http://www.holger‐ullmann.de/Muscheln/Fraktale/Beispiele_Spiralen.htmlhttp://www.uwe‐alfer.de/privat/privat_fib010.html



→SpiraleninanderenModulen...

RecherchierenSiedenBegriffKlothoideund tauschenSie sichdarübermit jemandemauseinerArbeitsgruppezumModul„Autobahnkreuze“aus.

RecherchierenSiedasVorkommenvonSpiralenindersog.Mandelbrot‐Mengeundbe‐gebenSiesichzusammenmitjemandemauseinerArbeitsgruppezumModul„FraktaleKurven“aufdieSuche.→SpiralenohneEnde...

Gehen Sie selbst auf Entdeckungsreise... Begeben Sie sich auf die Spuren eines armenSteinmetzes, der durch das Ableben desMathematikers Jakob Bernoulli vor eine (fürihn)unlösbareAufgabegestelltwurde...OderspürenSiedermystischenBedeutungvonSpiralennach...Oder...Oder...Oder...Quellen

Mathe‐Welt.Spiralen,Beilagezu:Mathematiklehren111

HomepagevonJürgenKöller,http://www.mathematische‐basteleien.de/(Januar2012)

Heitzer,Johanna:Spiralen.EinKapitelphänomenalerMathematik,Leipzig1998

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