View
137
Download
32
Embed Size (px)
Citation preview
2
Matemática
© 3ª Edição - 2002R&A Editora
Autor:Professor Joselias Santos da Silva
Revisão:Silvio Luis Motta
Editoração Eletrônica:Valquíria Farias dos Santos
Capa:Studio Color Company - ( 3326.8366
Projeto Gráfico:R&A Editora
R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos LtdaRua Sete de Abril, 230 - 11º andar - Bloco B - São Paulo - Cep.: 01044-000Fone: (011) 3258.8153 - 3259.7703 - Fax: (011) 3214.0182
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especial-mente por sistemas gráficos, microfilmicos, fotográficos, repográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorizaçãoe/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de qualquer parte desta obra em qualquer sistema deprocessamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. Aviolação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e §§ do C.P.), com pena de prisão e multa, busca e apreensãoe indenizações diversas (arts. 101 à 110 da Lei 9.610 de 19/02/1998, Lei dos Direitos Autorais).
Impresso no BrasilPrinted in Brazil
R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico)
3
MatemáticaConcursos Públicos
MATEMÁTICA
São Paulo
TEORIA
Com mais de 500 questõesresolvidas e comentadas
Joselias Santos da Silva
4
MatemáticaDados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Silva, Joselias Santos da, 1957-Concursos Públicos: matemática : teoria, com
mais de 500 questões resolvidas e comentadas /Joselias Santos da Silva. -- São Paulo : R&AEditora Cursos e Materiais Didáticos, 1999.
Bibliografia.
1. Matemática - Concursos públicos I. Título
99-2008 CDD-510.76
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Concursos públicos 510.76
5
Matemática
Índice1. As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais;
Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; ........................................... 7
• Operações e propriedades com números inteiros ........................................... 8• Números Pares ............................................................................................. 11• Números Ímpares .......................................................................................... 11• Divisibilidade ................................................................................................. 11• Múltiplos e Divisores ...................................................................................... 14• Números Primos ........................................................................................... 14• Números Compostos: .................................................................................... 15• Máximo Divisor Comum (MDC) ..................................................................... 15• Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .................................................................... 15• Números Fracionários e Decimais ................................................................ 18• Operações nas Formas Fracionárias e Decimais .......................................... 20
2. Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume,capacidade, massa e tempo) ......................................................................... 32
• Sistema Métrico Decimal ............................................................................... 32• Medidas de Superfície (área) ........................................................................ 36• Medida de Volume ......................................................................................... 37• Medidas de Capacidade ................................................................................ 38• Medidas de Massa ........................................................................................ 39• Medidas não decimais ................................................................................... 39
3. Juros e Porcentagem ..................................................................................... 51
• Conceitos de Matemática Financeira ............................................................ 51• Regime de Capitalização ............................................................................... 53• Capitalização Simples ................................................................................... 55• Porcentagem ................................................................................................. 63
4. Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta;Divisões Proporcionais .................................................................................. 71
• Razões e Proporções .................................................................................... 71• Série de Razões iguais ou porporções em série ........................................... 74• Razões .......................................................................................................... 76• Divisões Proporcionais .................................................................................. 76
6
Matemática• Regra de Sociedade ...................................................................................... 80• Regra de Três Simples .................................................................................. 90• Regra de Três Composta .............................................................................. 92
5. Sistema do 1º grau ......................................................................................... 98
6. Potenciação e Radiciação............................................................................ 104
• Potenciação................................................................................................. 104• Radiciação .................................................................................................. 105• Produtos Notáveis ....................................................................................... 105
7. Equação do 2º grau ...................................................................................... 107
• Trinômio do 2º grau ..................................................................................... 107• Inequação do 2º grau .................................................................................. 110
8. Questões Resolvidas e Comentadas .......................................................... 117
9. Bibliografia .................................................................................................... 285
7
MatemáticaAs quatro operações com Números Inteiros,
Fracionários e Decimais;Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos;
MMC e MDC; Divisibilidade.
A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar osverdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números.
Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursospúblicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que oaluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntosabordados, não sendo precisos detalhes triviais do 1° grau.
Representaremos inicialmente os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,...
A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamare-mos de conjunto dos números naturais, então :
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... }.Assim, o leitor já observou que os números naturais servem para contar, e este foi ogrande salto da humanidade no sentido matemático, quando as primeiras civiliza-ções começaram a contar seus rebanhos.
A seguir, traremos a idéia de números inteiros; suponha que na reta marquemos ospontos como na figura:
... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...
Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos intei-ros positivos, negativos, não positivos e não negativos.
Então, Z é o conjunto dos números inteiros. Daí:
Z = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }
Representaremos por Z– o conjunto dos números não positivos. Daí :
Z– = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 }
Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos, tere-mos a notação Z
+.
Logo :
Z+ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... }Obs.: Você viu que o conjunto dos inteiros não negativos é o conjunto dos naturais?
8
MatemáticaVamos introduzir a notação com (*), para dizer que o conjunto não possui zero, isto é,
Z* = Z – { 0 } = {... –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3... }
Então, representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a :
Z*– = { ... , –3, –2, –1 }
Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a :
Z*+ = {1 , 2 , 3 , 4 , ... }
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS
A. ADIÇÃOChamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantida-des representadas por dois ou mais números.Representaremos a operação de adição pelo símbolo “+”. Ao resultado daadição chamaremos de soma.
Exemplo :Seja uma caixa A com 10 canetasSeja uma caixa B com 20 canetasEntão, o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e Brepresentaremos por 10 + 20 = 30.Ao resultado da adição chamaremos de soma, isto é, 30 canetas é o resultadoda adição de 10 canetas com 20 canetas.
PROPRIEDADESSejam os números inteiros:Então:
I. a + 0 = a ( Existência do neutro).O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero).
II. a + b = b + aA adição é comutativa.
III. a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + cA adição é associativa.
Exemplo:Uma pessoa tinha x livros.Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou ?Resposta : ( x + 5 ) livros.
Exemplo:Uma microempresa possui 3 funcionários ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00,B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamentoda microempresa?
9
MatemáticaSOLUÇÃOA adição entre 300, 400 e 500 é 300 + 400 + 500 = R$ 1.200,00
B. SUBTRAÇÃOChamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um númeroexcede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo “ – “. Ao resul-tado da subtração chamaremos de diferença .
Exemplo:Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficandocom 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu ?SOLUÇÃOA subtração entre 40 e 30 é40 – 30 = 10 canetas perdidas.
Exemplo:Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se du-rante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas, com quantascanetas acabou o dia ?SOLUÇÃO50 – 15 – 18 = 35 – 18 = 17 Canetas
C. MULTIPLICAÇÃOChamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um númeroquantas vezes for o outro.A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo “×”. Ao resultadoda multiplicação chamaremos de produto. Aos números envolvidos na opera-ção chamamos de fatores.Exemplo:a. 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15b. 7 × 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28c. 10 × 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60
PROPRIEDADES
1. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa).Exemplo:a. 2 × 3 = 3 × 2 = 6b. 5 × 4 × 3 = 4 × 3 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60
2. Associativa5 × 3 × 4 × 2 = 5 × 12 × 2 = 120
10
Matemática3. Qualquer número multiplicado por “0” tem como resultado zero.
2 × 0 = 03 × 4 × 0 = 0
4. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número.a × 1 = a120 × 1 = 120
D. DIVISÃOChamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor)à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelodivisor produza o dividendo. A operação de divisão será representada pelosímbolo “ : ”
ExemploDividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13produza 650.
650 50 13dividendo quociente divisor
x1 24 34 1 24 34 124 34
=
PROPRIEDADES
1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número:30 ÷ 1 = 3027 ÷ 1 = 27
2. Um número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é sempre iguala 1.20 ÷ 20 = 147 ÷ 47 = 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Efetue os produtos :a. 9 × 9 =b. 9 × 98 =c. 9 × 987 =d. 9 × 9876 =e. 9 × 987.654.321 =
RESPOSTAa. 81 b. 882 c. 8883 d. 88.884 e. 8.888.888.889.
11
Matemática02. Efetue os produtos :
a. 12.345.679 × 9 =b. 12.345.679 × 18 =c. 12.345.679 × 27 =d. 12.345.679 × 45 =
RESPOSTAa. 111.111.111 b. 222.222.222 c. 333.333.333 d. 555.555.555
03. Efetue a divisão.888.888.888 ÷ 98.765.432
RESPOSTA9 (veja exercício 01)
NÚMEROS PARESChamamos de números pares aos números que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8.
NÚMEROS ÍMPARESChamamos de números ímpares aos números que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9.
DIVISIBILIDADEEsta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número édivisível por outro sem precisar efetuar os cálculos.
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ).Exemplos: 10 , 24 , 1.208
DIVISIBILIDADE POR 3Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultadoum número múltiplo de 3.
Exemplo:a. 36 (3 + 6 = 9)b. 147 (1 + 4 + 7 = 12)
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um númerodivisível por 4.
Exemplo:a. 840 (40 é divisível por 4)b. 1.232 (32 é divisível por 4)c. 987.624 (24 é divisível por 4)
12
MatemáticaDIVISIBILIDADE POR 5
Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco.
Exemplo:a. 1.230b. 1.345
DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto,tem que ser par e divisível por 3.
Exemplo:a. 324b. 126
DIVISIBILIDADE POR 7
Não há regra, porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor meapresentou.
Exemplo:315 é divisível por 7.Veja como verificar:
1º Sempre separe a casa das unidades.
nn
31 n 5nn
2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2, e subtraia do algarismoà esquerda.Logo:31 – 2 X 5 = 31 – 10 = 21
3º Se o resultado for divisível por 7, então o número original é divisível por 7.
Exemplo:
8.638 é divisível por 7.
nn
863 n 8nn
863 – 8 X 2 = 863 – 16 = 847.
13
Matemáticann
84 n 7nn
84 – 7 X 2 = 70 é divisível por 7. Logo 8.638 é divisível por 7.
DIVISIBILIDADE POR 8Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um númerodivisível por 8.
Exemplo:a. 12.160 é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8.b. 23.800 é divisível por 8, pois 800 é divisível por 8.
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um númerodivisível por 9.
Exemplo:a. 297 é divisível por 9, pois 2 + 9 + 7 = 18 é divisível por 9.b. 1.107 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 é divisível por 9.c. 8.883 é divisível por 9, pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 é divisível por 9.
DIVISIBILIDADE POR 10
Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero).
Exemplo:a. 12.340 é divisível por 10.b. 987.650 é divisível por 10.
DIVISIBILIDADE POR 11
Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos deordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11.
Exemplo:a. 14.927 é divisível por 11 pois,
• soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6• soma dos algarismos de ordem ímpar: 1 + 9 + 7 = 17Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11.
14
MatemáticaExemplo:a. 909.293 é divisível por 11.
• soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5• soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Sendo x e y números inteiros; x é múltiplo de y, se x é produto de y por um outronúmero inteiro z.
Exemplo:a. 21 é múltiplo de 7, pois 21 = 7 . 3b. 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 . 7c. –9 é múltiplo de 3, pois –9 = 3 . (–3)d. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = 10 . 0
Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = x . 0, paraqualquer número x ∈Z.Se x , y são números inteiros, definimos que x é múltiplo de y ou z , tal que x = y . z,nestas condições y e z são divisores de x.
Exemplo:a. 3 é divisor de 21, pois 21 = 3 . 7b. 7 é divisor de 21, pois 21 = 7 . 3c. 3 é divisor de –9, pois 9 = 3 . (-3)d. 10 é divisor de 0, pois 0 = 10 . 0
Observação:Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x.Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x.D (x) = { d ∈ Z | d divide x }M (x) = { m ∈ Z | m é múltiplo de x }
Exemplo:a. D(6) = { –6 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 6 }b. D(3) = { –3 , –1 , 1 , 3 }c. M(5) = { ... –15 , –10 , –5 , 0 , 5 , 10 , 15,...}d. M(–2) = { ... –4 , –2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,.... }
NÚMEROS PRIMOSUm número inteiro x , x ≠ ±1 é primo, se e somente se, seus únicos divisores são –1, 1, –x, x.
15
MatemáticaObservação:Por esta definição observe que 0 , –1 , 1, não são primos.
NÚMEROS COMPOSTOS:Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisorespositivos.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)Dados dois inteiros x e y, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por
MDC(x , y), é o maior elemento do conjunto ( ) ( )D x D yI .
Exemplo:Sejam os inteiros 15 e 24Então, temos:D (15) = { –15 , –5 , –3 , –1 , 1 , 3 , 5 , 15 }D (24) = { –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24}O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de
D (15) I D (24) = { –3 , –1 , –1 , 3 }, logo: MDC (15 , 24) = 3.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dizemos que dois inteiros são primos entre si, quando o MDC entre eles é um.
Exemplo:5 e 9 são primos entre si, pois o MDC (5 , 9) = 1
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Dados dois inteiros x e y, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre x e y, é o menor
elemento positivo do conjunto M (x) I M (y)
Exemplo:Considere os inteiros 6, 8.M (6) = { ... –36 , –30 , –24 , –18 , –12 , –6 , 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , .... }M (8) = { .... –40 , –32 , –24 , –16 , –8 , 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , .... }M (6) I M(8) = { .... –24 , 0 , 24 , 48 .... }
O MMC (6, 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo oMMC (6 , 8) = 24.
16
MatemáticaNota importante:Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposição nos fatores primos.Sendo assim teremos:
a. O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menoresexpoentes
b. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maioresexpoentes.
Exemplo:Considere os inteiros 40 e 72.
40 2 72 220 2 36 210 2 18 25 5 9 31 3 3
140 = 2³ x 51 72 = 2³ x 3²Logo: MDC (40, 72) = 2³ = 8
MMC (40, 72) = 2³ x 3² x 51 = 8 x 9 x 5 = 360
Exemplo:Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120)
72 2 120 236 2 60 218 2 30 29 3 15 33 3 5 51 1
72 = 2³ x 3² 120 = 2³ x 31 x 51
MDC (72, 120) = 23 x 31 = 8 x 3 = 24MMC (72, 120) = 23 x 32 x 51 = 8 x 9 x 5 = 360
Exemplo:Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante.O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e odo terceiro 126 minutos.Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudesdiferentes.Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depoisde :
17
Matemáticaa. 16h e 24 minb. 7h e 48 minc. 140 mind. 126 mine. 8h e 24 min
SOLUÇÃOO tempo de rotação do satélite A = 42 min.O tempo de rotação do satélite B = 72 min.O tempo de rotação do satélite C = 126 min.Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá daqui a:MMC (42, 72, 126) = 23 x 32 x 71 = 8 x 9 x 7 = 504 min.
42 2 72 2 126 221 3 36 2 63 37 7 18 2 21 31 9 3 7 7
3 3 11
42 = 21 X 31 X 71 72 = 23 X 32 126 = 21 X 32 X 71
Logo, decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamentepelo mesmo meridiano.
Dai,
504 min 60
24 min 8h
Resposta: 8h e 24 min. “E”
Exemplo:Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmoponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundose o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrarnovamente.a. 1.320b. 132c. 120d. 60e. 22
18
MatemáticaSOLUÇÃOO primeiro dá uma volta em 132 seg.O segundo dá uma volta em 120 seg.Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá em :
MMC (132, 120) = 23 x 31 x 51 x 111 = 1.320 seg.
132 2 120 266 2 60 233 3 30 211 11 15 31 5 5
1132 = 22 x 31 x 111 120 = 23 x 31 x 51
MMC (132, 120) = 1.320 seg.
1.320 seg 60
120 seg 22 min
0 Resposta: 22 min. “E”
NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS
Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaços iguais.
Cada pedaço representa 18 (um oitavo) da pizza.
(
19
MatemáticaLogo, os três pedaços apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza
( 38 da pizza).
Então o leitor tem que começar a entender que uma fração representa uma parcela(ou várias parcelas) de um todo.
Seja então a fração ab
.
Chamamos de a o numerador da fração e de b o denominador da fração.Quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10 a fração seráchamada de fração decimal, caso contrário de fração ordinária.
Exemplo:
a. 1
8 fração ordinária.
b.4
5 fração ordinária.
c.3
10 fração decimal.
d.7
100 fração decimal.
Quando o numerador for menor que o denominador, a fração será chamada de fraçãoprópria, caso contrário será chamada de fração imprópria (ou mista).
Exemplo:
3
4 (própria)
4
5 (própria)
95
(imprópria)
10
3(imprópria)
obs: As frações impróprias são também chamadas de mistas e escritas da forma qr
b.
20
MatemáticaExemplo:
a. 10
33
1
3= 10 3
1 3
b.74
134
= 7 4
3 1
c.19
53
4
5= 19 5
4 3
Onde:
31
3 lê-se 3 inteiros e 1 terço.
134
lê-se 1 inteiro e três quartos.
34
5 lê-se 3 inteiros e quatro quintos.
OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIAS E DECIMAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕESDevemos primeiramente reduzir as frações a um denominador comum para depoisrealizar as operações necessárias.
Exemplo:
a. 2
3
4
6
3
5+ +
• Vamos achar o denominador comum:3 - 6 - 5 23 - 3 - 5 31 - 1 - 5 51 - 1 - 1
MMC (3, 6, 5) = 30
Logo:
23
46
35
2 x 10 + 4 x 5 + 6 x 330
20 + 20 +18+ + = = =
305830
30:3 = 10 30:6 = 5 30:5 = 6
((
(
21
Matemática
Logo, o resultado é 5830
, que pode ser simplificado por 2 (dividindo numerador
e denominador por 2).
5830
2915
1141515
29
= =
Exemplo:
4
5
3
7
2
21
3
15+ + −
Vamos calcular o denominador comum:
5 - 7 - 21 - 15 3
5 - 7 - 7 - 5 5
1 - 7 - 7 - 1 7
1 - 1 - 1 - 1 105
MMC ( 5, 7, 21, 15 ) = 105
Logo:
105 : 5 = 21
105 : 7 = 15
105 :21 = 5
105 :15 = 7
Logo, a resposta será a fração: 118105
113105
=
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Basta lembrar o esquema :
a
b
c
d
a c
b d⋅ =
⋅⋅
Exemplo:
47
58
4 57 8
2056
xxx
= = que pode ser simplificada: basta dividir o numerador e o
denominador por 4.
2056
514
=
⇒ + + − =+ + −
=
=+ + −
=
4 3 2 3 4 21 3 15 2 5 3 7
105
84 45 10 21105
118105
521
715
215
157
x x x x
22
MatemáticaDIVISÃO DE FRAÇÕES
Basta lembrar o esquema:
a
b
c
d
a
bx
d
c: =
Exemplo:
25
37
25
73
1415
: = =x
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04. Calcule 34
de 160.
Resposta : 3
4 x 160 = 3 x 40 = 120
05. Calcule 35 de 200.
Resposta : 3
5 x 200 = 3 x 40 = 120
06. Qual o valor de X para que35
seja 60.
Resposta : 35
X = 60
∴ Xx
X x X= ∴ = ∴ =60 5
320 5 100
07. Qual o valor do produto : 113
114
115
11n
−
−
−
−
L
a. 1
n
b. 2
n
c. 2 1( )n
n
−
d. ( )2
1n n +
e. ( )3
1n n +
23
Matemática
Solução: 113
114
115
11 2
334
45
1 2−
−
−
−
= ⋅ ⋅−
=L Ln
nn n
Resposta: “B”
08. Calcular 25
de 34
Resposta: = 25
34
620
⋅ = simplificando por 2 temos : 6
20
3
10=
09. Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1.200,00, ganhando nessatransação 1
5 do preço de custo; por quanto deveria vender a mercadoriapara ganhar ½ do preço de custo?
Solução
Seja x o preço de custo.
Logo, x x+1
5 representa R$ 1.200,00
portanto, 6
5
x representa R$ 1.200,00
Isto é, 6
5
x= 1.200,00 ∴ =
⋅x
1200 5
6
.
x = 200 . 5x = R$ 1.000,00
O preço de custo é R$ 1.000.00; como quero ganhar1
2 do preço de
custo12
1000de .
, temos que o preço de venda será: R$ 1.000,00 + R$ 500,00
= R$ 1.500,00.
10. (FUVEST) – Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por :
a.1
125
b.1
8
c. 8d. 12,5e. 80
24
MatemáticaSolução:
Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo pelo inverso1
0 0125,,
Logo 1
0 0125,= 80. Resposta : “E”
11. O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entresi, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois númerosé:a. 1b. 3c. 5d. 11e. 15
Solução:
Sejam x e y os números inteiros positivos dados. Como x e y não são primosentre si, existe um fator primo comum na decomposição deles.Como x . y = 825 = 3 . 52 . 11, então, o fator primo comum só pode ser 5.Daí o MDC ( x , y ) = 5Resposta: “C”
12. Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completana pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12segundos.Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento emque passarão juntos na linha de saída ?a. 66, 60, 55b. 62, 58, 54c. 60, 55, 50d. 50, 45, 40e. 40, 36 e 32
Solução:
Corredor A - dá uma volta em 10 segundos.Corredor B - dá uma volta em 11 segundos.Corredor C - dá uma volta em 12 segundos.Dado que partiram juntos, passarão juntos em:
25
MatemáticaMMC ( 10, 11, 12 ) = 660 segundos
10 - 11 - 12 2
5 - 11 - 6 2
5 - 11 - 3 3
5 - 11 - 1 5
1 - 11 - 1 11
1 - 1 - 1 660
Logo, em 660 seg.
A - dará 660
1066= voltas
B - dará 660
1160= voltas
C - dará 660
1255= voltas
Resposta: “A”
13. Quantos divisores positivos possui o número 216?
Solução:
Vamos decompor o número 216216 2108 254 227 39 33 31
216 = 23 . 33
Para achar o número de divisores positivos, basta somar 1 a cada expoente emultiplicá-los (3 + 1) . (3 + 1) = 4 . 4 = 16 divisores positivos.
14. Temos 3 caixas com igual número de balas e mais uma com 10 balasapenas, tirando-se 6 balas de cada uma das caixas, ficamos com 61 balas.Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras ?a. 23b. 25c. 28d. 31e. 34
26
MatemáticaSolução:Seja x a quantidade de balas em cada caixa.Logo, temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas.Se tirarmos 6 de cada caixa, ficaremos com:
3x + 10 – 24 = 3x – 14Logo, 3x – 14 é igual a 61.
3x – 14 = 613x = 61 + 14 ∴ 3x = 75
x = 75
3 ∴ x = 25
Resposta : ”B”
15. Dois concursos têm o mesmo número de candidatos. Os 34 dos candidatos
do primeiro concurso excedem de 560 os 25 dos candidatos do segundo.
O número de candidatos de cada concurso é:a. 2.000b. 1.800c. 1.600d. 800e. 400
Solução:Seja x o número de candidatos em cada concurso. Logo
3
45
2
54560
560 20
7
15 8
20560 80 20
720
560
x x x
x xx
x
− = =⋅
−= = ⋅
= =x 1.600 candidatos
Resposta: “C”
16. O salário do Sr. Agenor é 112 vezes o salário do Sr. Antenor. Então, o Sr.
Antenor ganha que fração do salário do Sr. Agenor ?
a. 1
2
b 1
3
c. 23
d. 5
6
27
MatemáticaSolução:Se o salário do Sr. Agenor é 11
2 vezes o salário do Sr. Antenor, então, o saláriodo Sr. Agenor é 3
2 do Sr. Antenor, isto é, o salário do Sr. Agenor = 32 salário do
Sr. Antenor. Logo, o salário do Sr. Antenor = 23 salário do Sr. Agenor.
Resposta : “C”
17. Resolva a expressão:( –25.308 ) + ( –9.080 ) – ( +767 ) + ( +49 ) – ( –6 )a. 35.210b. 15.406c. –16.952d. –33.578e. –35.100Resposta : “E”
18. Efetuar os cálculos: ( + 57 ) . ( –722 ) : ( –19 )a. 13.718b. 2.166c. 114d. 35e. –684Resposta : “B”
19. O maior divisor e o menor múltiplo dos números 12, 18 e 30 são,respectivamente:a. 6 e 180b. 1 e 30c. 2 e 90d. 60 e 60e. 3 e 360Resposta : “A”
20. Resolver a seguinte expressão :
23
16
12
:34
12
12
−
+
+ −
a. 3
b. 4
c. 4
11
28
Matemática
d. 5
3
e. 3
16
Resposta: “A”
21. A expressão 56
3a10
215
+
é idêntica a :
a. a
4
1
9+
b. 15
60
2
15
a+
c. 3
10
10
90
a+
d. a
2
1
3+
e. 13
36
Resposta: “A”
22. Efetuar as operações :65,90 – ( 57,40 : 2 ) 1,4 + 7,88a. 13,83b. 33,60c. 37,52d. 39,44e. 53,28Resposta: “B”
23. Calcular : 0,0525 1010
8
3
⋅
a. 52,5b. 5,25c. 525d. 5.250e. 52.500Resposta: “D”
29
Matemática24. Sabendo-se que A = 2x . 32 . 5 , B = 22x . 3 . 52 e que MMC ( A , B ) tem 45
divisores, o valor de x será:a. 1b. 2c. 3d. 4e. 5Resposta : “B”
25. O terço e a metade de um número fazem juntos 860. Qual é esse número?a. 1.002b. 1.022c. 1.032d. 1.042e. 1.052Resposta : “C”
26. Qual é o número cujo 125
aumentado de 600 dá 1.000 como soma ?
a. 100b. 1.000c. 10.000d. 100.000e. 1.000.000Resposta : “C”
27. Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0,57 cadaum. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberá de troco?a. R$ 2,28b. R$ 7,30c. R$ 7,72d. R$ 9,43e. R$ 9,72Resposta : “C”
28. João é 4 anos mais velho que seu irmão José. Se em 1995 José completou22 anos, então João nasceu em:a. 1.969b. 1.970c. 1.973d. 1.975e. 1.977Resposta : “A”
30
Matemática29. Um produto que custa R$ 2,60 estava sendo vendido a R$ 1,70. Viviane
aproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. Quanto Vivianeeconomizou?a. R$ 0,90b. R$ 4,30c. R$ 5,40d. R$ 5,60e. R$ 25,80Resposta : “C”
30. João e Maria são irmãos. Maria nasceu em 1972 e João completou 18anos em 1995. Qual era a idade de Maria quando João nasceu ?a. 2 anosb. 3 anosc. 5 anosd. 7 anose. 8 anosResposta : “C”
31. Quero comprar 3 lápis ao preço de R$ 0,42 cada um. Pagando com umanota de R$ 10,00, quanto receberei de troco ?a. R$ 8,58b. R$ 8,74c. R$ 9,04d. R$ 9,58e. R$ 9, 74Resposta : “B”
32. Augusto é 7 anos mais novo que seu irmão Antônio. Se Antonio nasceuem 1971, quantos anos Augusto completou em 1995?a. 17b. 19c. 24d. 31e. 33Resposta: “A”
33. (CESGRANRIO) – Numa cidade de 248.000 habitantes, a razão entre onúmero de mulheres e de homens é igual a 3
5 . A diferença entre o númerode homens e o número de mulheres é de:a. 62.000b. 124.000c. 93.000
31
Matemáticad. 155.000e. 208.000Resposta : “A”
34. (CESGRANRIO) – Um pequeno agricultor separou para consumo de sua
família 18 de sua produção de feijão. Se ainda sobraram 112 Kg para serem
vendidos, a produção, em Kg, foi de:a. 128b. 160c. 360d. 784e. 846Resposta : “A”
35. (CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. Três
ficaram com 1825 do total e o quarto com o restante. O 1 o ficou com o
dobro do 3 o mais 100 arrobas; o 2 o, com a metade do que coube ao l o
mais 40 arrobas. Quantas arrobas couberam, ao que comprou mais e aoque comprou menos, respectivamente?a. 612 e 238b. 612 e 105,5c. 311 e 195,5d. 311 e 105,5e. 238 e 105,5Resposta : “D”
32
MatemáticaSistema Métrico Decimal
(medidas de comprimento, área, volume,capacidade, massa e tempo)
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
O sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que têm como base a unidadepadrão de comprimento chamada de metro , e seus múltiplos e submúltiplos, quesão: 10,100,1000, etc, vezes maiores ou menores.
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade padrão de medida de comprimento é o metro e representamos por m.Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.
Múltiplos do metroKm - quilômetro (1000 metros)hm - hectômetro (100 metros)dam - decâmetro (10 metros)
Submúltiplos do Metrodm - decímetro (0,1 metro)cm - centímetro (0,01 metro)mm - milímetro (0,001 metro)
Na prática é interessante construir a escada abaixo:
33
MatemáticaEXEMPLOS:
Completar :
a. 0,1234 km = ..................... mb. 2,3456 hm = ..................... mc. 0,3678 km = ................... cmd. 789,2 m = ...................... mme. 1.234,5 mm = ................... mf. 89.765,43 cm = .............. hmg. 765,3 dm = ..................... kmh. 23 m = ............................ cmi. 23 m = ............................ hm
a. Observe que vamos transformar km em m, logo, vamos descer três graus emnossa escada, e no sentido da direita.
Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a direita.Logo: 0,1234 km = 123,4 m.
b. Observe que vamos transformar hm em m, logo, vamos descer dois degrausem nossa escada, e no sentido da direita.
Portanto, vamos deslocar a vírgula duas posições para a direita.Logo: 2,3456 hm = 234,56 m
34
Matemáticac. Observe que vamos transforrnar km em cm , logo, vamos descer cinco degraus
em nossa escada e no sentido da direita.
Portanto, vamos deslocar a vírgula cinco posições para a direita e neste casopreenchemos as posições com zero quando necessário, logo: 0,3678 km =36.780 cm
d. Observe que vamos transformar m em mm , analogamente aos itens anteriorese concluímos que 789,2 m = 789.200 mm
e. Observe que vamos transforrnar mm em m, logo, vamos subir três degrausem nossa escada, e, portanto, agora no sentido da esquerda.
Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a esquerda, logo: 1.234,5mm = 1,2345 m
35
Matemáticaf. Observe que vamos transformar cm em hm , logo, vamos subir quatro degraus
em nossa escada, e no sentido da esquerda, é claro.
Portanto, vamos deslocar a vírgula quatro posições para a esquerda.Logo : 89.765,43 cm = 8,976543 hm
g. é fácil verificar que:765,3 dm = 0,07653km
h. é fácil verificar que:23 m = 2.300 cm
i. é fácil verificar que:23 m = 0,23 hm
EXERCÍCIO
Calcule em metros.a. 0,02 km + 0,1 hm + 2 m =b. 0,234 hm + 0,l dam + 30 cm =c. 0,045 km + 1000 m + 12.345dm =d. 0,25 hm + 200 dm + 1.000cm =e. 12,34 km + 300 m + 13.456 mm =
Resposta: a. 32 mb. 24,7 mc. 2.279,5 md. 55 me. 12.653,456 m
36
MatemáticaMEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA)
A unidade padrão de medida de superfície é o metro quadrado e representamos porm2.Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.
MÚLTIPLOS DO METRO QUADRADOkm2 - quilômetro quadrado (1000.000 m2)hm2 - hectômetro quadrado (10.000 m2)dam2 - decâmetro quadrado (100 m2)
SUBMÚLTIPLOS DO METRO QUADRADOdm2 - decímetro quadrado (0,01 m2)cm2 - centímetro quadrado (0,0001 m2)mm2 - milímetro quadrado (0,000001 m2)
Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrauequivale a duas casas decimais.
Exemplo:Completar:a. 0,001234 km2 = ................... m2
b. 0,002356 km2 = ................... m2
c. 0,000036 hm2 = ..................cm2
d. 0,789 m2 = ........................ mm2
e. 87.965,4 cm2 = .................. hm2
Respostas: a. 1.234 m2
b. 2.356 m2
c. 3.600 cm2
d. 789.000 mm2
e. 0,000879654 hm2
37
MatemáticaMEDIDA DE VOLUME
A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico e representamos por m3.Teremos, então, múltiplos e submúltiplos.
MÚLTIPLOS DO METRO CÚBICOkm3 - quilômetro cúbico ( 1.000.000.000 m3 )hm3 - hectômetro cúbico ( 1.000.000 m3 )dam3 - decâmetro cúbico ( 1.000 m3 )
SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICOdm3 - decímetro cúbico (0,001 m3)cm3 - centrímetro cúbico (0,000001m3)mm3 - milímetro cúbico (0,000000001 m3)
Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrauequivale a três casas decimais.
EXEMPLO:Completar
a. 0,000.123.4 km3 = ...............................m3
b. 0,000.234 km3 = ..................................m3
c. 0,000.000.036 hm3 = ......................... cm3
d. 0,000.789 m3 = .................................mm3
e. 879.656,4 cm3 = ..................................m3
Resposta:a. 123.400 m3
b. 234.000 m3
c. 36.000 cm3
d. 789 000 mm3
e. 0,8.796.564 m3
38
MatemáticaMEDIDAS DE CAPACIDADEA unidade padrão de capacidade é o litro e representamos por l .Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.
MÚLTIPLOS DO LITROkl - Quilolitro (1.000 litros)hl - Hectolitro (100 litros)dal - Decalitro (10 litros)
SUBMÚLTIPLOS DO LITROdl - decilitro (0,1 do litro)cl - centilitro (0,01 do litro)ml - mililitro (0,001 do litro)
Analogamente, teríamos:
Obs.: A relação entre a medida de capacidade e de volume é :
1l = 1 dm3
Exemplo:
Completara. 2 l = ...................................................dm3
b. 3 dm3 = ................................................. l
c. 3.243 l = .............................................m3
d. 8.426,7 m3 = ......................................dm3
e. 5.000 l = .............................................m3
Resposta: a. 2 dm3
b. 3 lc. 3,243 m3
d. 8,4267 dm3
e. 5 m3
39
MatemáticaMEDIDAS DE MASSA
A medida de massa tem como unidade padrão o grama e representamos por g.Análogamente, temos os múltiplos e submúltiplos
MÚLTIPLOS
Quilograma (kg) - 1.000 gHectograma (hg) - 100 gDecagrama (dag) - 10 g
SUBMÚLTIPLOSDecigrama (dg) - 0,1 gCentigrama (cg) - 0,01 gMiligrama (mg) - 0,001 g
MEDIDAS NÃO DECIMAIS
TEMPO1 Dia = 24 Horas1 Hora = 60 min.1 Minuto = 60 Seg.Ano Comercial = 360 DiasAno Civil = n° exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias)Mês Comercial = 30 DiasMês Civil = n° exato de Dias = 28/29, ou 30, ou 31 dias
EXEMPLO:Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constantede 2m/s. Quantos passos ela dará em 60 segundos ?
Solução:v = 2m/st = 60 seg.s = v ⋅ ts = 2 ⋅ 60s = 120 ms = 12.000 cm
O número de passos é 12 000
80150
.= passos
40
MatemáticaEXEMPLO:
Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25dam 3 + 150m3 + 22.000dm3 +3.000.000cm3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latasde 900 ml . Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1%do líquido, qual o número de latas de soja que a indústria produzirá ?
Solução:0,25 dam3 = 250.000 dm3 = 250.000 l150 m3 = 150.000 dm3 = 150.000 l22.000 dm3 = 22.000 dm3 = 22.000 l3.000.000 cm3 = 3.000 dm3 = 3.000 lTotal = 425.000 dm3 = 425.000 l
1% de perdaResta
4.250 420.750 =
l
l
Distribuímos em latas de 900 m l .Teremos: 420.750 l : 900 ml = 420.750l : 0,9 l = 467.500 latas.
EXEMPLO:
100 dm x 0,1 dam x 100 mm =
Solução:100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0,1 m = 1m3
EXEMPLO:
Uma sala de 0,007 km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura,tem uma porta de 2,40 m 2 de área e uma janela de 2m 2 de área. Sabendo-se quecom 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam 2, indique a quantidade de tinta necessáriapara pintar a sala toda, inclusive o teto.
Solução:Dados do problema:comprimento: 0,007 km = 7 mlargura: 80 dm = 8 maltura: 400 cm = 4 m
Então a área total da sala, sem considerar o chão, é:2 x 7 x 4 + 2 x 8 x 4 + 8 x 7 == 56 + 64 + 56 = 176 m2
Deduzindo a área da porta e janela, temos:176 m2 – 2,40 m2 – 2 m2 == 171,6 m2 a ser pintado.
41
MatemáticaO problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2 (4 m2 ), fazendo a regrade três, temos:1l _____ 4 m2
x l _____ 171,6 m2
x =1716
4
,
x = 42,9 litros
EXEMPLO:
Uma região retangular de 20 km por 15 km está sendo mapeada em uma escalaem que 1 km : 300 km. Qual o menor número de folhas de papel de 5m x 2m quesão necessárias para fazer tal mapa?
Solução:20 km x 15 km
Mapeada a região 20 km300
15 km300
⋅
que usa 0,06666 km x 0,05 kmisto é: 66,666 m x 50 mFolhas de papel 5 m x 2 mSe considerarmos 5 m x 2 m, teremos: 14 x 25 = 350 folhasSe considerarmos 2 m x 5 m, teremos: 34 x 10 = 340 folhasResposta: 340 folhas
EXEMPLO:
Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de200 m, a 60Km/h, leva:
Solução:Ponte: 100mTrem: 200m
v60.000 m
3.600 s
50
3m / s= =
s v t ts
v
t t
= ⋅ ⇒ =
=⋅
⇒ =300 3
5090050
t = 18 s
42
MatemáticaEXEMPLO:
Se 300 cm3 de uma substância têm uma massa de 500g, quanto custarão 75 d l
dessa substância, sabendo-se que é vendida R$ 25,50 o quilograma?
Solução:Obs.: 1l = l dm3 , logo:300 cm3 = 0,3 dm3 = 0,3 l = 3d l
Capacidade Massa3 d l 0,5 kg75 d l x kg
3
75
0 5=
,
x
x = 12,5 kgLogo, o custo total será: 12,5 kg x 25,50 = R$ 318,75
EXEMPLO:
Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartarugapercorreu nos três dias uma distância de :
Solução:Distância percorrida no primeiro dia: 6,05 hm = 605 mDistância percorrida no dia seguinte: 0,72 km = 720 mDistância percorrida no terceiro dia: 12.500 cm = 125 mlogo:605 m + 720 m + 125 m = 1.450 m
EXEMPLO:Num mapa, cuja escala é 1
3.000.000a estrada Belém-Brasília tem 67 cm. Calcular,
em km, a distância real.
Solução:1 cm no mapa equivale a 3.000.000 cm na estradalogo: 67cm no mapa equivalem a 67 x 3.000.000 cm na estrada.Portanto, a distância é 201.000.000 cm; transformando para km: temos 2.010 km.
43
MatemáticaEXEMPLO:
Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo-Horizonte, de 729 km, em7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade média?
Solução:
Velocidade média = distancia
tempo
Velocidade média = 729 km
7,5h
Velocidade média = 97,2 km/h
EXEMPLO:
Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são: 9 cm de largura e12cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largurade 7,5 m. A medida do comprimento dessa sala é :
Solução:Na planta, temos:largura: 9cmcomprimento: 12cm
Na construção, temos:largura: 7,5mcomprimento: x
Trata-se de um problema de regra de Três.largura comprimento9 cm 12 cm7,5 m x m
x =⋅12 7 5
9
,
x = 10m
^
44
MatemáticaEXEMPLO:Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min.Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com25% da velocidade inicial ?
Solução:V1 = 80 Km/ht1 = 1,5 hS1 = v1 ⋅ t1S1 = 80 x 1,5S1 = 120 km
S2 = 3
5120⋅
S2 = 72 kmV2 = 25% ⋅ 80V2 = 20 km/h
TSV
T22
22
7220
= ⇒ =
T2 = 3,6 hLogo: T2 = 3 h + 0,6 h
T2 = 3 h + 0,6 x 60 min.T2 = 3h e 36 min.
EXEMPLO:Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada, para 2.000 litrosde capacidade, com altura igual ao dobro do lado. Na execução da obra, oconstrutor fez o lado igual à altura planejada.Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade, a novaaltura mede :
Solução:A caixa de água planejada:
Como a capacidade era 2.000 litros
Temos:capacidade = 2.000 l = 2.000 dm3 = 2 m3
capacidade = 2 m3
45
Matemáticalogo:capacidade = 2x ⋅ x2 = 2 m3
2x3 = 2 m3
x3 = 1 m3
x = 1 mConclusão: a altura planejada era 2x, portanto:
altura planejada = 2m
A caixa de água construída com o lado igual à altura planejada,
logo: a capacidade é22 ⋅ y = 24y = 2
y =2
4
y = 0,5 mObs.: Entendemos como lado, a aresta da base.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Se a velocidade média de um veículo é 12m/seg., quantos quilômetrosele percorrerá em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a 3.600 segundos).
a. 129,60b. 130c. 132,50d. 135e. 148,40Resposta: A
02. As dimensões de um terreno retangular são: 80m de comprimento por12m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento é 80% damedida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, alargura do segundo terreno é? (em metros)a. 9b. 10
46
Matemáticac. 12d. 15e. 18Resposta: D
03. (BANESPA) - Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmosentido, do ponto de partida em pista circular. O primeiro dá uma voltaem 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos quelevarão para se encontrar novamente.a. 1.320b. 132c. 120d. 60e. 22Resposta: E
04. O pátio de um colégio é retangular e mede 104m de comprimento e 56mde largura. Quer-se plantar eucaliptos em volta, mantendo entre as árvo-res a mesma distância, que deve ser a maior possível. Determinar o nú-mero de pés de eucaliptos, sabendo que se planta um pé em cada canto.
a. 40b. 38c. 35d. 29e. 18Resposta: A
05. Um indivíduo compra um terreno retangular que tem um perímetro de 64metros e cuja largura é 5 metros maior do que a metade do comprimento.Pode-se concluir que a relação entre a largura e o comprimento do terre-no é:
a. 3/5b. 7/9c. 5/7d. 6/8e. 4/6Resposta: B
47
Matemática06. Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferísse-
mos, para a que tem menos água, 2/5 da água contida na outra, ambasficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros de água con-tém cada vasilha?
a. 30 e 6b. 29 e 7c. 28 e 8d. 27 e 9e. 31 e 5Resposta: A
07. Dois viajantes estão distantes, um do outro, 400 km. Se um deles viaja deprimeira classe e o outro de segunda classe, quanto deverá viajar cadaum para que as suas despesas sejam as mesmas, sabendo-se que o pre-ço, por km, é R$ 75.000,00 para a primeira classe e R$ 50.000,00 para asegunda classe.
a. 160 km e 240 kmb. 150 km e 250 kmc. 140 km e 260 kmd. 130 km e 270 kme. 120 km e 280 kmResposta: A
08. Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantoslitros de gasolina consumiria?
a. 40 l
b. 60 l
c. 38 l
d. 55 l
e. 72 l
Resposta: A
09. Uma caixa leva 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas eoutra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficarácheia em :
a. 18 horasb. 12 horasc. 06 horasd. 03 horase. 08 horasResposta: A
48
Matemática10. (TTN) - Uma caixa de água com capacidade de 960 litros, possue uma
tubulação que a enche em 7 horas. Possue um "ladrão" que a esvazia em12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionan-do simultaneamente, em quanto tempo a caixa ficará cheia?
a. 16h e 8min.b. 14h e 8min.c. 16h e 28min.d. 16h e 48min.e. 14h e 48min.Resposta: D
11. Um gramado de 720 m 2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6horas por dia, durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homensconseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias?
a. 2.160b. 2.560c. 2.060d. 2.000e. 2.560Resposta: A
12. (TTN) - No interior de um colégio há um grande pátio quadrado compostode uma área calçada e outra não calçada, destinado aos alunos. A áreacalçada está em redor à área não calçada e tem uma largura de 3m nosseus lados paralelos. A área da parte não calçada está para a área totaldo pátio, assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede:
a. 36mb. 24mc. 18md. 32me. 30mResposta: E
13. (TTN) - Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm, com veloci-dade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60s?a. 240b. 180c. 150d. 120e. 90Resposta: C
49
Matemática14. Uma roda faz 4.590 rotações em 27 minutos. Quantas rotações fará em
2horas e 24 minutos?
a. 24.480 voltasb. 28.440 voltasc. 24.840 voltasd. 24.880 voltasResposta: A
15. Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim dequanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, ovolume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que faltapara encher o primeiro tanque?
a. 3h e 54 minb. 3h e 45 minc. 4h e 53 mind. 4h e 35 mine. 5h e 34 minResposta: B
16. (MPU) - Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionaisaos números 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, ocomprimento do menor corte foi de:
a. 20 metrosb. 40 metrosc. 30 metrosd. 48 metrose. 64 metrosResposta: B
17. (MPU) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósitode água, cuja capacidade é de 7.680.000 litros são proporcionais, respec-tivamente, aos números 10, 6 e 2, nessas condições a medida da larguradesse depósito é de:a. 8 metrosb. 12 metrosc. 40 metrosd. 16 metrose. 24 metrosResposta: E
50
Matemática19. (TRT) - Um trem de 400 metros de comprimento, tem velocidade de 10
km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente umaponte de 300 metros de comprimento?
a. 1min e 48segb. 2min e 24segc. 3min e 36segd. 4min e 12sege. 5minResposta: D
51
MatemáticaJuros e Porcentagem
CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 INTRODUÇÃOO pouco tempo disponível para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunosde Matemática Financeira em classe, além da necessidade de oferecer aoscandidatos aos cargos públicos e privados um material prático provocou onascimento desse material. Nas próximas páginas, o leitor terá a oportunidadede conhecer e manipular diversas formas de aplicações financeiras e, conse-qüentemente, analisar as relações entre elas e as respectivas evoluções como decorrer do tempo.
1.2 DEFINIÇÕES
JURO(J)Podemos definir juro como sendo a remuneração do empréstimo de um re-curso financeiro, isto é, podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ourecebido) pelo uso de um recurso financeiro.Por exemplo, suponhamos que pedimos um empréstimo de R$ 1000,00 aoBanco da Praça, para pagamento de 10% de juro daqui a um mês . É evidenteque o dinheiro não é nosso, porém ele está a nossa disposição e podemosfazer o que bem entendermos com ele durante um mês. No fim do mês deve-mos devolver a quantia de R$ 1000,00 e pagar pela disponibilidade dessaquantia nesse período; este pagamento , da disponibilidade, é chamado dejuro. (neste caso é R$ 100,00)
CAPITAL(C)Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. Noexemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000,00.
TAXA DE JURO( i)É o valor do juro, em uma unidade de tempo , e será expresso como porcen-tagem do capital, logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidadede tempo.Sendo assim, teremos:a. A taxa de juro de 10% a.d.(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro
é igual a 10% do capital, por dia.b. A taxa de juro de 20% a.a.(vinte por cento ao ano) significa que o valor do
juro é igual a 20% do capital, por ano.
52
MatemáticaSendo assim, teremos:J = JuroC = Capitali = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital.
Daí, pela definição, temos: iJC
=
Observe que podemos concluir que juro em uma unidade de tempo é oproduto do capital pela taxa de juro, isto é: J = C . i
MONTANTE(M)Chamaremos de montante o capital acrescido do juro, e denotaremos por M,isto é: M= C+J
Resumoa. A definição de juro é equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro.b. Observamos a definição taxa de juro(no singular), em uma unidade de tem-
po, isto é, taxa de juro é definida para uma unidade de tempo.
EXEMPLOQual o juro e o montante obtido em uma aplicação de R$ 1.000,00, duran-te um ano, a uma taxa de juro de 25% a.a.?
Solução:Como a taxa de juro está expressa no período anual temos:C= R$ 1.000,00i= 25% a.a.Logo o juro em um ano seráJ = C.iJ = 1000 . 25%
J = 1000 . 25
100
J = 10 . 25J = R$ 250,00
• montante será
M = C + JM = 1.000 + 250M = R$ 1.250,00
53
MatemáticaREGIME DE CAPITALIZAÇÃOChamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evoluiatravés de vários períodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremosdois conceitos:
a. Regime de Capitalização SimplesÉ o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial.Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros serão sempre iguaisao produto do capital pela taxa do período.
EXEMPLOSeja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a10% a.m., durante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montantedessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples?
Solução:Seja J1 o juro no fim do primeiro mês:J1 = 1.000 x 10%J1 = R$ 100,00Seja J2 o juro no fim do segundo mês:J2 = 1.000 x 10%J2 = R$ 100,00Seja J3 o juro no fim do terceiro mês:J3 = 1.000 x 10%J3 = R$ 100,00Assim teremos o Juro Total (J):J = J1+J2+J3
J = 100,00 + 100,00 + 100,00J = R$ 300,00O montante (M) será:M = C+JM = 1.000,00 + 300,00M = R$ 1.300,00
b. Regime de Capitalização CompostaÉ o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no períodoanterior, para gerar juros no período atual.
EXEMPLOSeja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalização composta.
54
MatemáticaNo fim do 1º mês teremos o Juro e o Montante:J1 = 1.000 x 10%J1 = R$ 100,00M1 = R$ 1.100,00No fim do 2º mês teremos o Juro e o Montante:J2 = 1.100 x 10%J2 = R$ 110,00M2 = R$ 1.210,00No fim do 3º mês teremos o Juro e o Montante:J3 = 1.210 x 10%J3 = R$ 121,00M3 = R$ 1.331,00
FLUXO DE CAIXAÉ a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheirorelativas a um determinado intervalo de tempo, na seguinte forma:a. Coloca-se na linha horizontal o período consideradob. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima, e as saídas
com setas de sentido para baixo.c. Evidentemente haverá sempre dois pontos de vista.
EXEMPLOUm carro, que custa RS 500.000,00 é vendido a prazo por 5 prestaçõesmensais e iguais a R$ 120.000,00, com a primeira prestação vencendo 1mês após a venda.No ponto de vista do vendedor a diferença entre a soma das entradas e ovalor do carro, corresponde aos juros relativos à aplicação de R$500.000,00, também representada no gráfico.
C = R$ 500.000,00
No ponto de vista do comprador a diferença entre a soma das saídas e ovalor do carro, corresponde ao juro relativo ao empréstimo de R$500.000,00, também representada no gráfico
55
MatemáticaC = R$ 500.000,00
R$ 120.000,00
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
1. CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTESeja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante umprazo de n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.Conforme vimos no capítulo anterior, os juros serão iguais em todos os perío-dos, e, portanto, teremos:
Onde:J1 = J2 = J3 = ... = Jn = C.idaí, o Juro total nos n períodos seráJ = J1 + J2 + J3 + ... = Jn
J = C.i + C.i + C.i + ... + C.iJ = C.i.nPara o Montante teremosM = C+JM = C + C.i.nM = C.[ 1 + i . n]
EXEMPLOSQual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2.000,00, peloprazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de5% ao mês?
Solução:C = R$ 2.000,00i = 5% a.m.n = 3 meses
56
MatemáticaJ = C . i . nJ = 2.000 . 5% . 3
J = 2.000 . 5
100 . 3
J = 20 . 5 . 3J = R$ 300,00
Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples,rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.
Solução:C = R$ 500. 000,00n = 5 mesesJ = R$ 10.000,00
J = C . i . n10.000 = 500.000 . i . 52.500.000 . i = 10.000
i = 10 000
2 500 000
.
. .
i = 1
250 = 0,004
i = 0,4% a.m.
Calcular o montante da aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 me-ses, à taxa de juros simples de 5% a.m.
Solução:C = R$ 100.000,00n = 6 mesesi = 5% a.m.
M=C.[1+i.n]M = 100.000 . [1 + 5% . 6]M = 100.000 . [1 + 30%]M = R$ 130.000,00
2. TAXAS PROPORCIONAISDuas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razãoque os períodos de tempo a que se referem.Assim, a taxa i1 a . n1 é proporcional à taxa i2 a . n2 se, e somente se:
ii
nn
1
2
1
2=
57
MatemáticaEXEMPLOQual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.?Solução:
ii
nn
1
2
1
2=
i136%
112
=
i1 = 3% a.m.
3. TAXAS EQUIVALENTESDuas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmocapital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.Sejam:i: a taxa de juros simples aplicada no período de 0 a 1
ik: a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionário 1k
do período
.
Se i e ik são equivalentes, temos:J = C.i e J = C.ik.k
então: ii
kk =
EXEMPLOQual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.?
iikk =
ik =36%
12
∴ik = 3% a.m.
Qual a taxa semestral simples equivalente à taxa de 10% a.m.?i = ? a.s.ik =10% a.m.K = 1 semestre = 6 mesesi = ik . k
58
Matemáticai = 10% . 6i = 60% a.s.
Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equiva-lentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais.
EXEMPLOCalcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de36% a.a., durante o prazo de 6 mesesC = R$ 1.000,00i = 36% a.a.n = 6 mesesObserve que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período deaplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m.
Logo:J=1.000 . 3% . 6
J = 1.000 . 3
100 . 6
J = R$ 180,00
4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINÁRIO)Quando as aplicações ocorrem por alguns dias será conveniente utilizarmos ataxa equivalente diária. Nesse caso teremos dois enfoques:a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o núme-ro real de dias.b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias.
Os juros que seguem o enfoque a são chamados de juros exatos.Os juros que seguem o enfoque b são chamados de juros comerciais (ouordinários).
EXEMPLOQual o juro exato de uma aplicação de R$ 365.000,00, à taxa simples de10% a.a. durante 10 dias?
Solução:C = R$ 365.000,00i = 10% a.a.n = 10 dias
59
Matemática
Taxa diária equivalente a 10% a.a. = 10%
365 a.d.
J = 365.000. 10%365
. 10
J = 1.000 . 10% . 10J = R$ 1.000,00
5. VALOR ATUAL E VALOR NOMINALChamamos de Valor Nominal de um título, ao valor dele na data de vencimen-to. Também é conhecido como valor face.Chamamos de Valor Atual de um título, ao valor dele em qualquer data anteriorao seu vencimento.No caso de capitalização simples, o valor atual de um título será o valor queaplicado, a juros simples, durante os n períodos de antecipação ao seu venci-mento, produzirá como montante o valor nominal do título.Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n períodos de antecipa-ção teremos:
Dessa forma:N = V . [1 + i.n]
V= N
i n1+ .
EXEMPLOO valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimentoocorrerá daqui a 3 meses.Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valoratual do título hoje.
60
MatemáticaSolução:N = R$ 1.600,00i = 20% a.m.n = 3 meses de antecipação
V = N
i n1+ .
V = 1600
1 20%.3
.
+V = R$ 1.000,00
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas:a. 300% a.a.b. 90% a.s.
Solução:
a. i = 300%
12 = 25% a.m.
b. i = 90
6 = 15% a.m.
Respostas:a. 25% a.m.b. 15% a.m.
2. Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa dejuros simples de 120% a.a.. Calcule:a. O juro obtidob. O montante
Solução:C = R$ 800.000,00i = 120% a.a. (equivalente a i = 10% a.m.)n = 4 mesesa. J = C.i.n
J = 800.000 . 10% . 4J = R$ 320.000,00
b. M = C + JM = 800.000 + 320.000M = R$ 1.120.000,00
Respostas:a. J = R$ 320.000,00b. M = R$ 1.120.000,00
61
Matemática3. Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00, se a taxa de juros simples
utilizada é 5% a.m.?
Solução:C = R$ 12.000,00J = R$ 1.800,00i = 5% a.m.J = C . i . n1.800 = 12.000 . 5% . n
n = 1800
12 000 5%
.
. ⋅ = 3 meses
Resposta: 3 meses
4. Calcule a taxa de juros simples de uma aplicação, sabendo que apliqueiR$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00, depois de 4 meses.
Solução:C = R$ 5.200, 00M = R$ 6.448, 00n = 4 mesesJ = R$ 1.248, 00 (por que ?)J = C . i . n1.248 = 5200 . i . 4
i = 1248
5200 4
.
⋅i = 0,06i = 6% a.m.Resposta: 6% a.m.
5. Em quantos meses um capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., ajuros simples, renderá juro necessário para a formação de um montantede R$ 953.120,00?
Solução:C = R$ 740.000,00M = R$ 953.120,00i = 3,6% a.m.J = R$ 213.120,00 (por que?)J = C . i . n213.120 = 740.000. 3,6% . n
n = 213 120
740 000 3 6%⋅
⋅. , = 8 meses
Resposta: 8 meses
62
Matemática6. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a.m., triplica em que
prazo?Solução:C = Capital aplicadoM = 3 C (por que ?)i = 8% a.m.J = 2 C (por que ?)Como:J = C . i . n2C = C . 8% . n8% . n = 2
n = 200
8 = 25 meses
Resposta: 25 meses
7. Um investidor recebeu R$ 480.000,00 por uma aplicação de R$ 300.000,00à taxa de juros simples de 10% a.m.. De quantos meses foi essa aplica-ção?
Solução:M = R$ 480.000,00C = R$ 300. 000,00i = 10% a.m.J = R$ 180.000,00 (por que ?)J = C . i . n180.000 = 300.000 . 10% . n
n = 180 000
300 000 10%
.
. ⋅n = 6 mesesResposta: 6 meses
8. Possuo uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 1.300.000,00, que éresgatável daqui a 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples cor-rente de mercado é de 10% a.m., quanto devo pagar por esta letra hoje?
Solução:N = R$ 1.300.000,00n = 3 meses (período de antecipação)i = 10% a.m.
V = Ni n1+ ⋅ V =
1300 0001 10% 3. .
+ ⋅V = R$ 1.000.000,00Resposta: R$ 1.000. 000,00
63
MatemáticaPORCENTAGEM
A porcentagem nada mais é do que uma notação ( % ) usada para representar umaparte de cem partes.
Isto é, 20% – lê-se “20 por cento”, que representa a fração20
100
30% – lê-se “30 por cento”, que representa a fração 30
100
EXEMPLO:Calcule:a. 10% de 200b. 15% de 300c. 25% de 400Solução:a. A palavra, "de" deve ser entendida como produto.
10% 200 20 de 200 = 10
100⋅ =
b. 15% 3004 500
10045 de 300 =
15
100⋅ = =
.
c. 25% 40010 000
100100 de 400 =
25
100⋅ = =
.
Agora vamos ver como são simples os problemas que envolvem porcenta-gem.Estes problemas geralmente são encontrados no nosso cotidiano.
EXEMPLO:A média de reprovação em concurso é de 82%. Quantas pessoas serãoaprovadas em um concurso público com 6.500 inscritos ?
Solução:Se a média de reprovação é de 82%, vamos concluir que a média de aprova-ção é de 18%.Logo, basta calcular :
18% 6 500 1170 de 6.500 = 18
100 aprovados⋅ =. .
64
MatemáticaEXEMPLO:
Se eu comprar um objeto por R$ 20.000,00 e vendê-lo por R$ 25.000,00,qual será a minha porcentagem de lucro?
Solução:Lucro:R$ 25.000,00 – R$ 20.000,00Lucro:R$ 5.000,00Logo, para achar a porcentagem basta dividir o lucro pela base, isto é,dividir R$ 5.000,00 por R$ 20.000,00:
5 000
20 0000 25
25
10025%
.
.,= = =
EXEMPLO:Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com um abatimentode R$ 1.600,00, encontrar a taxa usada na operação.
Solução:Basta dividir o abatimento pelo preço do produto, isto é :
1600
50 0000 032
3 2
1003 2%
.
.,
,,= = =
EXEMPLO:Um produto foi vendido, com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço totalda nota, 10% correspondem a despesas. O lucro líquido do comercianteé de:
Solução:Vamos supor, sem perda de generalidade, que o preço inicial do produto é100.Preço inicial - 100Preço de venda com lucro de 20% – 120Despesa (10% de 120) – 12Preço com lucro líquido = 120 – 12 = 108Logo, lucro líquido = 108 – 100 = 8
Logo, % do lucro líquido = 8
100 = 8%
EXEMPLO:João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofáspagando R$ 322.000,00 incluindo o Imposto sobre Produtos Industrializa-dos (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15%, ad valorem , ovalor do imposto foi de:
65
MatemáticaSolução:Seja :x o valor do produtox +15%x = 322.000x + 0,15x = 322.0001,15x = 322.000
x =322 000
115.
,
x = R$ 280.000,00Logo, o valor do imposto é: R$ 322.000,00 – R$ 280.000,00 = R$ 42.000,00
EXEMPLO:Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercado-ria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20%ao custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um .... :
Solução:Preço de custo = 100 (un.)Preço de venda s/desc = 120 (un.)Preço de venda c/desc. = 120 x 80% = 96 (un.)Comparando o preço de custo com o preço de venda c/ desconto , temos:
96 100
1004%
−= −
Houve um prejuízo de 4%
EXEMPLO:Maria vendeu um relógio por R$18.167,50 com prejuízo de 15,5% sobre opreço de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, eladeveria ter vendido por:
Solução:Preço vendido: R$ 18.167,50Preço de compra: x84,5%x = 18.167,50
x =18167 50
0 845. ,,
x = 21.500Para ter um lucro de 25%,Teremos:21.500 x 1,25 = R$ 26.875,00
66
MatemáticaEXEMPLO:
A empresa “Vestebem” comprou o produto “A” pagando 10% de impostosobre o preço de aquisição e 30% de despesas com transporte sobre ocusto da mercadoria, com o imposto. Sabendo-se que na venda de “A” aempresa obteve um lucro de R$ 143,00, correspondente a 20% sobre opreço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), o preço deaquisição da mercadoria com o imposto foi de R$:
Solução:x . (1,10 . 1,30 . 0,20) = 143
x =⋅ ⋅143
110 130 0 2, , ,
x = R$ 500,00 (preço da mercadoria)Impostos (10%) = R$50,00Preco de aquisição da mercadoria + imposto: R$ 550,00
EXEMPLO:Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seusprodutos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, eleprepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço decusto, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momentoda compra.
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preçoda tabela, de modo a não ter prejuízo?a. 10%b. 15%c. 20%d. 25%e. 36%Solução:Sejax - preço de custopreço de venda sem prejuízo = x . 1,44preço de venda com 80% = 1,80 . x
Logo, xx
⋅⋅144180,, = 0,8% = 80%
Portanto, preço de venda sem prejuízo = 80% do preço de venda com 80%de acréscimo.Daí, o desconto máximo será de 20%.
67
MatemáticaEXEMPLO:
João vendeu um fogão com prejuízo de 10% sobre o preço de venda.Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 264.000,00 o pre-ço de venda foi de:
Solução:Seja:x - preço de vendaComo teve prejuízo de 10% sobre o preço de venda, temos:Preço de compra = preço de venda + 10% preço de venda264.000 = x + 10% . x264.000 = x + 0,1 . x264.000 = 1,10 . x1,10 . x = 264.000
x =264 000
110.
, = 240.000
O preço de venda foi de R$ 240.000,00
EXEMPLO:Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em se-guida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transaçõesrepresenta, sobre o custo inicial do terreno, um percentual de:
SOLUÇÃOSe um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com 10% de lucro, então opreço inicial foi de:
16 500110
15 000.,
.=
Logo, o lucro total foi:
20 700 15 000
15 000
. .
.
− 5 700
15 0000 38 38%
.
.,= =
68
MatemáticaEXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. A fração 0,01040,65
é equivalente a :
a.1
250b.
2
125
c.1
50d.
3
125
e.7
250
Resposta: B
02. Efetuando-se 12 1,70 8 1,80 10 1,8630
⋅ + ⋅ + ⋅ , obtém-se:
a. 1,72b. 1,74c. 1,75d. 1,78e. 1,79Resposta: D
03. Pelo pagamento atrasado da prestação de um carnê, no valor de R$1.200,00, recebeu-se uma multa de 7,5 % do seu valor. O total pago foi :
a. R$ 1.250,00b. R$ 1.275,00c. R$ 1.290,00d. R$ 1.680,00e. R$ 2.100,00Resposta: C
04. Se uma pesssoa já liquidou os 716 do valor de uma dívida, a porcentagem
dessa dívida que ainda deve pagar é :
a. 56,25%b. 56,5%c. 58,25%d. 58,5%e. 62,25%Resposta: A
69
Matemática05. Um lojista comprou 180 canetas de um mesmo tipo e vendeu 120 delas
pelo mesmo preço total pago pelas 180. Se vender cada uma das 60canetas restantes ao preço unitário das outras 120, a porcentagem delucro desse lojista, pela venda de todas as canetas, será de:
a. 40%b. 50%c. 52%d. 55%e. 60%Resposta: B
06. Um título, no valor de R$ 80.000,00, foi pago com 3 meses de antecedência,sofrendo um desconto comercial simples de R$ 1.500,00. A taxa anual dodesconto foi :
a. 7,75%b. 7,5%c. 7,25%d. 6,5%e. 6,25%Resposta: B
07. (BANESPA) - Um pequeno silo de milho perdeu 15% da carga pela açãode roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dosroedores, era:
a. 61b. 75c. 87,5d. 90e. 105Resposta: B
08. (TTN) - Num clube 2/3 dos associados são mulheres. Se 3/5 das mulheressão casadas e 80% das casadas têm filhos, o número de associados doclube, sabendo-se que as mães casadas são em número de 360, é de:a. 4.500b. 1.752c. 750d. 2.250e. 1.125Resposta: E
70
Matemática09. Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com abatimento de
R$ 1.600,00, encontrar a taxa utilizada na operação.
a. 3,2%b. 3,5%c. 3,8%d. 4,2%e. 2,3%Resposta: A
10. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado duranteo mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 queo primeiro. A taxa é de:
a. 8,0% a.ab. 7,5% a.ac. 7,1% a.ad. 6,9% a.ae. 6,2% a.aResposta: B
11. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período detempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação domenor capital deve superar a do maior em:
a. 20%b. 60%c. 40%d. 50%e. 70%Resposta: D
12. (TTN) - Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720,00 e vendeu-os a R$ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons, opreço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom foi de:a. R$ 12,00b. R$ 75,00c. R$ 60,00d. R$ 40,00e. R$ 15,00Resposta: C
71
MatemáticaRazão e Proporção;
Regra de Três Simples e Composta;Divisões Proporcionais.
RAZÕES E PROPORÇÕES
Sejam quatro números a, b, c, e d (todos diferentes de zero). Dizemos que a, b, c, e
d formam uma proporção se a razão a
b é igual a razão
c
d. Então indicaremos a
proporção por:
a
b
c
d= lê-se: a está para b; assim como c está para d.
Obs.: Chamamos também a e d de extremos da proporção e b e c de meios daproporção. Além disso dizemos que a e c são antecedentes da proporção;b e d são conseqüentes da proporção.
EXEMPLO:
Na proporção 1, 2, 3, e 6 temos: 12
36
=
lê-se: 1 está para 2 assim como 3 está para 6.
antecedentes: 1 e 3conseqüentes: 2 e 6meios: 2 e 3extremos: 1 e 6
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃOEm toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
EXEMPLO:
a.a
b
c
d= então ad = bc
b.1
2
3
6= então 1 x 6 = 3 x 2
72
MatemáticaEXEMPLO:Verifique se os itens abaixo são ou não proporções:
a.3
4
12
16=
b.2
3
6
7=
Solução:
a.34
1216
= , como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios
temos: 3 . 16 = 48 = 4 . 12. Logo, 3
4
12
16= é uma proporção.
b.2
3
6
7= , observe que o produto dos extremos não é igual ao produto dos meios,
isto é, 2 . 7 = 14 ≠ 3 . 6 = 18. Logo, 23
67
= não é uma proporção.
EXEMPLO:Calcule x nas proporções:
a.3
4 20=
x
b.2
3
8=
x
Solução:
a.34 20
=x
, como o produto dos meios tem que ser igual ao produto dos extremos,
temos, 4x=3.20
4x = 60 ∴ x= 60
4∴ x = 15
b.2
3
8=
x, como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios,
temos2x = 3 . 82x = 24
x x= ∴ =242
12
73
MatemáticaPROPRIEDADEQuando somamos (ou subtraímos) os antecedentes e os conseqüentes a proporçãonão se altera. Isto é:
Se a
b
c
d= é uma proporção, então:
a
b
c
d
a c
b d
a c
b d= =
++
=−−
EXEMPLO:
Calcular x e y na proporção x2
y6
= , sabendo que x + y = 4 .
Solução:
Se x y2 6
= é uma proporção, então, x y x y2 6 2 6
= =++
Logo:
x y x y
2 6 8= =
+
x y
2 6
4
8= =
Logo:
x2
48
88
= ∴ ∴ ∴ ∴ 8x = 4.2 8x = 8 x = x = 1
y
6
4
8
24
8= ∴ ∴ ∴ ∴ 8y = 6.4 8y = 24 y = y = 3
EXEMPLO:
Calcular x e y na proporçãox36
y12
= , sabendo que x – y = 6 .
Solução:
Como x y
36 12= é uma proporção, temos:
x y
36 12= =
x - y
36 -12
x y
36 12= =
x - y
24
x y
36 12= =
6
24
Daí
x
36
216
24= ∴ ∴ ∴ ∴
6
24 24x = 36.6 24x = 216 x = x = 9
y
12
72
24= ∴ ∴ ∴ ∴
6
24 24y = 12.6 24y = 72 y = y = 3
74
MatemáticaSÉRIE DE RAZÕES IGUAIS OU PROPORÇÕES EM SÉRIEChamamos de série de razões a igualdade de várias razões.
a
b=
c
d= ...
m
n
EXEMPLO:
1.2
1=
4
2=
6
3=
8
4
2.39
=4
12=
515
=6
18=
721
PROPRIEDADE
Seja a série de razões a
b=
c
d= ... =
m
n
então: a
b
a c m
b d n= =
+ + ++ + +
c
d= ... =
m
n
...
...
EXEMPLO:
Calcule x , y , z , na série de razão x3
y5
=z1
= , sabendo que x + y + z = 180
Solução:
x
3=
y
5=
z
1=
x + y + z
3 + 5 +1
Logo
x
3=
y
5=
z
1=
180
9
x
3
540
9= ∴ ∴ ∴ ∴
180
9 9x = 3.180 9x = 540 x = x = 60
y
5
900
9= ∴ ∴ ∴ ∴
180
9 9y = 5.180 9y = 900 y = y = 100
z
1
180
9= ∴ ∴ ∴ ∴
180
9 9z = 1.180 9z = 180 z = z = 20
75
MatemáticaEXERCÍCIOS
01. Calcular x, tal que x
5105
17=
Resposta: x = 150
02. Calcular o valor de x, tal que 14412
x10
=
Resposta: x = 120
03. Calcular x e y, na proporção x4
y5
= , sabendo que x + y = 45.
Resposta: x = 20; y= 25
04. Calcular x e y, na proporção x5
y3
= , sabendo que x – y = 14
Resposta: x = 35; y= 21
05. Calcular x , y , z e w na série de proporção x5
y4
z3
w7
= = = , sabendo que x
+ y + z + w = 114Resposta: x = 30; y= 24; z=18 e w=42
06. Calcular a e b na proporção a
19b17
= , sabendo que a + b = 72
Resposta: a = 38; b= 34
07. Calcular a e b na proporção a4
b3
= , sabendo que a – b = 5
Resposta: a = 20; b= 15
08. Calcular x e y na proporção x
12y3
= , sabendo que x 2 + y2 = 68
Resposta: x = 8; y= 2 ou x=-8 e y=-2
09. Calcular x e y na proporção x
10y5
= , sabendo que x 2 – y2= 12
Resposta: x = 4; y= 2 ou x=-4 e y=-2
10. Calcular a, b e c sabendo que 8ab = 5ac = 2bc e a + b + c = 150Resposta: a = 20; b= 50; c=80
11. Calcule x, y e z na série de proporção 1x
2y
=4z
= , sabendo que x . y . z = 64
Resposta: x = 2; y= 4; z=8
12. Calcular x ,y e z na proporção x2
y3
=z4
= , sabendo que 2x + 3y + 4z = 58
Resposta: x = 4; y= 6; z=8
76
Matemática
13. Calcular x, y e z na proporção x1
y2
=z3
= , sabendo que 4x + 3y + 2z = 48
Resposta: x = 3; y= 6; z= 914. Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18
Resposta: x = 8; y= 6; z=4
RAZÕESChamamos de razão entre dois números a e b (b # 0) ao quociente de a por b.
Denotamos: a
b ou a : b ( lê-se a está para b )
EXEMPLO:
a. A razão de 1 está para 2 é 12
ou 0,5.
b. A razão de 9 está para 3 é 9
3 ou 3.
c. A razão de 24 está para 4 é 24
4 ou 6.
Obs.: Sendo assim chamaremos de razão entre duas grandezas à razão entre suasmedidas.
EXEMPLO:a. A razão entre 2m de um fio e 5m de uma linha é:
Solução:
2
5
m
m=
2
5= 0,4
b. Um carro percorre 20Km em 30 minutos. Então a razão entre o espaçopercorrido e o tempo gasto é:
Solução:
20
30
km
min=
2
3km / min
DIVISÕES PROPORCIONAIS
DIRETAMENTE PROPORCIONAISDizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais, quando a razão entreseus valores é sempre constante.
77
MatemáticaEXEMPLO:Sejam x e y duas grandezas, tal que:x : 2 , 3 , 5y : 6 , 9 , 15
logo, x e y são diretamente proporcionais, pois : 2
6=
3
9=
5
15
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o produtoentre seus valores é sempre constante.
EXEMPLO:Sejam x e y duas grandezas, tal que:x : 1 , 2 , 3y : 12 , 6 , 4logo, x e y são inversamente proporcionais, pois: 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4
EXEMPLOS DE DIVISÕES PROPORCIONAISVamos iniciar esta seção com um exemplo.
EXEMPLO:Dividir o número 80 em três partes diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5.Solução:Como vamos dividir o número 80 em três partes. Sejam, x , y e z essas partes, daítemos:x + y + z = 80Como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5 temos,que a razão entre os valores das grandezas é constante.
Isto é, x
k k2
= =, y
3= k e
z
5
Portanto, temos:
xk
2= ⇒ x = 2k (1)
yk
3= ⇒ y = 3k (2)
zk
5= ⇒ z = 5k (3)
78
MatemáticaSomando as equações (1), (2) e (3) temos:
x = 2ky = 3k +z = 5k
x + y + z = 10k ⇒ 10k = x + y + z ⇒ 10k = 80
∴ = ∴ = k k80
108
O k é chamado de constante de proporcionalidade.Como queremos os valores de x, y e z, basta substituir k = 8, nas equações (1), (2)e (3).Logo:x = 2k ⇒ x = 2 x 8 ⇒ x = 16y = 3k ⇒ y = 3 x 8 ⇒ y = 24z = 5k ⇒ z = 5 x 8 ⇒ z = 40
EXEMPLO:Dividir 120 em três partes diretamente proporcionais a: 3 , 4 e 5.Solução:Já observamos que se x , y e z são as partes procuradas, temos: x + y + z = 120Analogamente, como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionaisàs grandezas 3, 4 e 5 temos, que a razão entre seus valores é sempre constante, daí:
x3
= k x = 3k⇒ (1)
y
4= k y = 4k⇒ (2)
z
5= k z = 5k⇒ (3)
Somando (1), (2) e (3), temos:x = 3ky = 4k +z = 5k
120 = 12k12k = 120 ∴ k = 10
Substituindo k =10 em (1), (2) e (3) temos:x = 3 . 10 ∴ x = 30y = 4 . 10 ∴ y = 40z = 5 . 10 ∴ z = 50Então o aluno já percebeu que, os problemas de divisões proporcionais são sim-plesmente as aplicações de grandezas proporcionais.Vamos agora ver os casos de inversamente proporcionais .
79
MatemáticaEXEMPLO:Dividir o número 52 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4.Solução:Sejam x, y e z as três partes procuradas. Daí temos: x + y + z = 52Como as grandezas x, y e z são inversamente proporcionais as grandezas 2 , 3 , e 4,temos, que o produto dos seus valores são constantes, daí:2x = k3y = k4z = k
Daí teremos:
xk
=2
(1)
yk
=3
(2)
zk
=4
(3)
Logo, somando (1) , (2) e (3) temos:
x y zk
+ + =2
+k3
+k4
522
=k
+k
3+
k
4
k
252+
k
3+
k
4=
6 4 3
12
k k k+ += 52
13
12
k= 52 ∴ k =
52.12
13 ∴ k=48
k é chamado de constante de proporcionalidade.Substituindo k = 48 em (1), (2) e (3) temos:
x = 48
2 ∴ x = 24; y =
48
3 ∴ y = 16; z =
48
4 ∴ z = 12
80
MatemáticaEXEMPLO:Dividir o número 94 em três partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5.Solução:Analogamente, sejam x, y e z as partes procuradas, daí, x + y + z = 94Como x, y e z são inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 temos que o produto entre osvalores é constante, daí:
3x = k ⇒ x =k3
(1)
4y = k ⇒ y =k
4(2)
5z = k ⇒ z =k
5(3)
Somando (1), (2) e (3) temos:
x y zk
+ + +=k3
+k4 5
945
=k
3+
k
4+
k
k
3+
k
4+ =
k
594
20k +15k +12k60
= 94 ∴ 47k60
= 94
k =94.60
47 ∴ k=120
logo, a constante de proporcionalidade é k = 120.Substituindo k = 120 em (1), (2) e (3) temos:
x = ∴120
3 x = 40
y = ∴120
4 y = 30
z = ∴120
5 z = 24
REGRA DE SOCIEDADEGeralmente, os problemas de divisões proporcionais que envolvem divisões de lu-cros, prejuízos, capitais e etc., recebem o nome de regra de sociedade.
81
MatemáticaEXEMPLO:(TTN) – Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividirentre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 anoe 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. O lucro do sócio Afoi de:
a. R$ 8.000,00b. R$ 10.000,00c. R$ 12.000,00d. R$ 14.000,00e. R$ 16.000,00
Solução:Este é um problema típico de regra de sociedade.x = a parcela de lucro do sócio A.y = a parcela de lucro do sócio B.Então: x + y = 28.000Como o sócio A ficou na empresa 1 ano e 3 meses (15 meses) e empregou R$9.000,00, temos que x é diretamente proporcional a 15 e 9.000, logo :x = 9.000 x 15 kx = 135.000 k (1)Analogamente, o sócio B ficou na empresa 1 ano (12meses) e empregou R$ 15.000,00,temos então, que y é diretamente proporcional a 12 e 15.000 , logo :y = 15.000 x 12 ky = 180.000 k (2)Se: x + y = 28.000
x = 135.000 ky = 180.000 kx + y = 315.000 k315.000 k = 28.000
k =28.000315.000 ∴ k =
28315 ∴ k =
445
Substituindo k =4
45 em (1) e (2), temos
x = ∴135 000. .4
45 x = 12.000
y = ∴180 000. .445
y = 16.000 Resposta: C
82
MatemáticaEXEMPLO:Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo-se que partici-param da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cadaum?Solução:Sejam :x – a parcela do 1° sócio.y – a parcela do 2° sócio.z – a parcela do 3° sócio.Como o lucro é diretamente proporcional ao tempo na sociedade, temos que:x + y + z = 13.500x = 3k (1)y = 5k + (2)z = 7k (3)13.500 = 15 kk = 900Logo, substituindo em (1), (2) e (3) temos:x = 3 x 900 ⇒ x = R$ 2.700,00 (lucro do 1° sócio).y = 5 x 900 ⇒ y = R$ 4.500,00 (lucro do 2° sócio).z = 7 x 900 ⇒ z = R$ 6.300,00 (lucro do 3° sócio).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes deum jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às fal-tas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltasforam 1, 2, 2, 3 e 5? (R$)
Solução:
x = k, y = k
2, z =
k
2, v =
k
3, w =
k
5
k + k
2 +
k
2 +
k
3 +
k
5 = 152.000
30 15 15 10 6
30152 000
k k k k k+ + + += .
76
30152 000
76
k= ∴
⋅∴. k =
152.000 30 k = 60.000
83
Matemáticax = R$ 60.000,00 (1° jogador).y = R$ 30.000,00 (2° jogador).z = R$ 30.000,00 (3° jogador).v = R$ 20.000,00 (4° jogador).w = R$ 12.000,00 (5° jogador).
2. Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, saben-do que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses eque o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.Solução:x = 9 x 80.000 ky = 11 x 20.000 kx + y = 28.200Logo:x = 720.000 ky = 220.000 k28.200 = 940.000 k
k = ⇒28 200
940 000
3
100
.
. k =
Logo:
x = ∴720 0003
100. . x = R$ 21.600,00
y = ∴220 0003
100. . y = R$ 6.600,00
3. Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia,sendo que o capital da lª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª pessoa durante 20 meses. Se o lucroauferido for de R$ 400.000, quanto receberá a 1ª pessoa, sabendo-se queela ainda tem mais 10% de lucro, conforme contrato?
Solução:Sejam :x = 24 ky = 36 kz = 20 kx + y + z = 360.00080 k = 360.000k = 4.500A 1ª pessoa receberá:x = 24 x 4.500 = 108.000 mais 40.000, portanto, receberá: R$ 148.000,00
84
Matemática4. Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três
primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quan-tia de R$ 507.000,00 dividida em partes inversamente proporcionais a
214
, 123
e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será
de:
Solução:Observe que :
21
4=
2 4 +1
4=
9
4
⋅
123
=1 3 + 2
3=
53
⋅
Logo:
xk k
=9
4, y = , z =
k1,25
3
xk
=⋅4
9
yk
=⋅35
zk
=12,
Portanto:
x y zk k
+ + =49
3+
5+
k1,2
507 00024 32 4 45
54.
,=
+ +∴
k k k k = 270.000
x = ⋅ ∴4
9270.000 x = R$ 120.000,00
y = ⋅ ∴35
270.000 y = R$ 162.000,00
z = ∴270 000
12.,
z = R$ 225.000,00 Resposta: R$ 120.000,00
85
Matemática5. Duas pessoas devem dividir entre si a importância de R$ 180.000,00. A
primeira pretende receber 23 da importância total e a segunda acha que
tem direito a receber R$ 72.000,00. Por fim concordaram em dividir a im-portância total proporcionalmente às respectivas pretensões. Quantorecebeu cada uma?
Solução:
Primeira pessoa (x): de 23
180.000.00 = 120.000
Segunda pessoa (y): 72.000Assim temos:x = 120.000 ky = 72.000 kx + y = 180.000 = 192.000 k
k = ∴180 000.
192.000 k =
15
16
x = ⋅ ∴120 00015
.16
x = 112.500
y = ⋅ ∴72 00015
.16
y = 67.500
6. João resolveu fazer um bolão para jogar na sena. Convidou inicialmentePedro e depois Antônio, tendo João contribuído com R$ 12,00 e seusamigos com R$ 6,00 e R$ 18,00, respectivamente. Sabendo-se que a re-partição do prêmio, a João, Pedro e Antônio, foi feita diretamente propor-cional às importâncias desembolsadas e inversamente proporcional aosnúmeros 2, 3 e 6, respectivamente, e que Antônio ganhou R$ 12.000,00,mais que Pedro. O valor do prêmio foi de R$:Solução:
João – J = ⋅ ∴1212
k J = 6k
Pedro – P = ⋅ ∴61
3k P = 2k
Antônio – A = ⋅181
6k = 6
1
3k +12.000
181
⋅6
k = 613
k +12.000
3k = 2k + 12.0003k - 2k = 12.000 ∴ k = 12.000
86
Matemáticateremos:João = 6k = 6 x 12.000 = 72.000Pedro = 2k = 2 x 12.000 = 24.000Antônio = 2k + 12.000 = 2 x 12.000 + 12.000 = 36.000Total do prêmio = 132.000
7. Dois amigos constituem uma sociedade participando o 1° com R$10.000,00 e o 2° com R$ 8.000,00. Após 10 meses de existência da empre-sa, o 1° sócio aumentou seu capital em mais R$ 5.000,00. Decorridos 2meses dessa data o 2° sócio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sa-bendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00. Ao2° sócio coube a participação no lucro de: (R$).Solução:x = R$ 10.000 . 10 + R$ 15.000 . 14 ∴ x = 310.000 ky = R$ 8.000 . 12 + R$ 6.000 . 12 ∴ y = 168.000 k
x + y = 478.000 k23.900 = 478.000 k
k = ∴23 900.
478.000 k = 0,05
logo: y = 168.000 x 0,05 y = R$ 8.400,00
8. Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes quesejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente 2/3 e 4/7 e inversa-mente a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá ?Solução:
x = ⋅23
9k4
y = ⋅4
7
21k
2
x + y = 135logo:
xk
=3
2
y = 6k
1353
6= +k
k2
15135
k
2 k =
135 2
15= ⇒
⋅
k = 18
87
MatemáticaLogo:
xk
= ⇒ ⋅3 3
2 x =
218
x = 27
y = 6k ⇒ y = 6 . 18
y = 108
9. Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira estejapara a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceiracomo 6 está para 12.Nestas condições, a terceira parte vale:
Solução:Sejam as partes x , y e zLogo :
xy
y=
45
x =5
⇒4
yz
=6
12 y =
12z =
z2
⇒6
x + y + z = 570Logo:
xz
= ⋅ ∴4
2
2
5y =
4
5 x =
5z
Se:x + y + z = 570
2570
5z +
z
2+ =z
4 5 10z z z+ +10
= 570
19 570 10
10z = 570 z =
19⇒
⋅
z = 300
10. Uma herança de R$ 200.000,00 foi dividida entre três irmãos, de acordocom suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcelae ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmãos mais velhos recebe-ram R$ 150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos éde 40 anos, a idade do irmão mais novo, contada em anos é:
88
MatemáticaSolução:t1 , t2 , e t3 as idades dos irmãos, ex, y e z as respectivas parcelas, onde: t1 < t2 < t3
Então temos:
x + y + z = 200.000y + z = 150.000logo: x = 50.000
Temos ainda que:
t1 + t2 + t3 = 40Como “ao mais velho caberia a maior parcela“ temos que a divisão é direta-mente proporcional as idades.Logox = k t1 (1)y= k t2 (2)z= k t3 (3)
Somando (1), (2) e (3)
x + y + z = k . ( t1+ t2 + t3 ) ∴ 200.000 = k . 40 ∴ 40 . k = 200.000k = 5.000
Voltando em (1)
x = k . t150.000 = 5.000 . t15.000 . t1 = 50.000
t150 000
= ∴.
5.000 t = 101
Portanto, a idade do mais novo é 10 anos.
11. Três amigos “A”, “B” e “C” constituem uma sociedade que, após umano, apura um lucro de R$ 48.000,00, cabendo ao sócio “B” R$ 16.000,00
e a “C” o valor correspondente a 13 de “A”. Sabendo-se que o capital de
“C” é R$ 24.000,00 menor do que do “B”, o capital da empresa é de R$:
Solução:Solução - Regra de sociedadelucro do 1° — xlucro do 2° — y = 16.000
lucro do 3° — x
3
89
Matemática
lucro total: x + 16.000 + x
3 = 48.000
4x3
= 32.000 x =32.000 3
4⇒
⋅
x = 24.000Portanto, teríamos :lucro do 1° sócio = 24.000 = k . c1 (1)lucro do 2° sócio = 16.000 = k . c2 (2)lucro de 3° sócio = 8.000 = k . (c2 – 24.000) (3)Dividindo (2) por (3), temos :
kc2
k (c - 24.000)=
16.0008.0002⋅
c2
c - 24.000= 2 c = 2c - 48.000
22 2∴
c2 = 48.000Daí substituindo c2 em (2), temos :k . c2 = 16.00048.000 . k = 16.000
k = ∴16 000.48.000
k =13
Substituindo k em (1), temos:k . c1 = 24.000
1
3c = 24.000 c = 24.000 3 c = 72.0001 1 1⇒ ⋅ ∴
Portanto, temos:Capital do l° sócio R$ 72.000,00.Capital do 2° sócio R$ 48.000,00.Capital do 3° sócio RS 24.000,00.Total R$ 144.000,00
90
MatemáticaREGRA DE TRÊS SIMPLES
Chamamos de problemas de regra de três ao tipo de problemas que envolvemgrandezas diretamente ou inversamente proporcionais.Vamos iniciar esta seção com um exemplo simples:
EXEMPLO:24 operários fizeram 60 metros de um muro. Quantos operários, nas mesmascondições, farão 90 metros do mesmo muro?Solução:O caminho para resolver será mais fácil se você se concentrar nas variáveis, vejaentão que as variáveis são operários e metros do muro .Analise então que, quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construídos,mais (menos) operários serão necessários.Observamos que quanto mais cresce (ou diminue) a variável metros do muro maiscresce (ou diminue) a variável operários . Isto é, quanto maior for o muro mais operáriosserão necessários. Logo, as duas variáveis tem o mesmo sentido. Neste caso, como mesmo sentido, fixamos um sentido para a variável que possui a incógnita (veja afigura), e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura.
Operários Metros de Muro
Agora colocamos os dados
Operário Metros de Muro24
x
60
90
Como o sentido é o mesmo, mantemos a razão:
24 60
90x=
Agora é só resolver
60x = 24 x 90x = 36 operários
Agora vamos criar um algoritmo para resolver.
1°. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas.OperáriosMetros de Muro
2°. Veja em que sentido elas variam, fazendo uma pergunta, por exemplo “ quantomais metros de muro temos que fazer, mais ou menos operários precisamos?”.Resposta: “mais operários” . Logo, verifica-se que têm o mesmo sentido, asvariáveis.
91
Matemática3°. Desenhe o sentido das variáveis,
Operários Metros de Muro
4°. Coloque agora os dados.Operários Metros de Muro24
x
60
90
5°. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e o sinal de “ = ”.
24
x=
6°. Se possui o mesmo sentido mantenha a razão da outra.
24 6090x
=
7°. Agora resolva a operação60x = 24 x 90x = 36 operários
EXEMPLO:Um funcionário recebeu R$ 960,00 por 24 dias de trabalho. Quanto deveria re-ceber se trabalha-se 30 dias ?
Solução:1°. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas.
Salário Dias
2°. Quanto mais dias se trabalha, mais ou menos salários devemos receber ?Resposta: mais salários; logo, temos o mesmo sentido para as variáveis.
Salário Dias
3°. Vamos colocar os dados.Salário Dias960
x
24
30
4°. A razão da variável que possui a incógnita (Salário) e o sinal de “=”
960
x=
5°. Como as variáveis possuem o mesmo sentido, mantemos a razão da outravariável.
960 24
30x=
92
Matemática6º. 24x = 960 x 30
x =⋅960 30
24
x = R$ 1.200,00
EXEMPLO:24 operários fazem um serviço em 40 dias. Em quantos dias 30 operáriosfarão o mesmo serviço?
Solução:1°. Escreva as variáveis
Operários Dias
2°. Quanto mais operários trabalham, menos dias vão levar para terminar. Logo,observe que o sentido é oposto, logo escolha um sentido para cada variável.
Operários Dias
3°. Coloque os dados:Operários Dias24
30
40
x
4°. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e "="
40
x=
5°. Como o sentido é "contrário", inverta a razão da outra variável e iguale
40 30
24x=
logo: 30x = 40 x 24 ∴ 30x = 960 ∴ x = 32 dias
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis, são conhecidoscomo problemas de regra de três composta.
EXEMPLO:Em 30 dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimen-to por 9 metros de largura. Quantos operários seriam necessários para fazerum asfaltamento, em 20 dias, de 600 metros de comprimento por 10 metros delargura.
93
MatemáticaSolução:
1º. Primeiramente vamos escrever as variáveis envolvidas no enunciado.DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA
2º. Vamos colocar os dados e a incógnita do problema.DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA30 24 960 920 x 600 10
3°. Vejamos qual a variável que possui a incógnita e a relação (direta ou inversa)entre ela e as outras variáveis.• Quanto mais dias tenho de prazo, menos operários preciso. (Relação in-
versa).• Quanto mais comprido for o asfaltamento mais operários preciso para reali-
za-lo.• Quanto mais largo for o asfaltamento mais operários eu preciso.
4º. Vamos escrever a razão da variável "operários" e considerar as outras razões, noproduto delas, conforme a relação direta ou inversa.
DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA30
20
24
x
960
600
9
10
24 2030
960600
910x
= ⋅ ⋅
Simplificando:
24 2
3
96
60
9
10x= ⋅ ⋅
Simplificando, ainda temos:
24 23
9660
9101
248
155
3
x=
/⋅ ⋅
/
24 2 8 3
5 10
48
50x=
⋅ ⋅⋅
⇒ = 24
x
48x = 24 x 5048x = 1.200 x = 25 operários
94
MatemáticaEXEMPLO:Um gramado de 720m 2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horaspor dia durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriampodar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias.
Solução:Vejamos as variáveis e os dados do problema.
GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS720 2 6 2x 3 8 3Vejamos as relações entre a variável Gramado e as outras.• Quanto mais Gramado podado mais homens serão necessários.• Quanto mais horas por dia os homens trabalharem mais Gramado seria po-
dado.• Quanto maior for o Gramado, mais dias de trabalho serão necessários.
GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS720
x
2
3
6
8
2
3
720 2
3
6
8
2
3x= ⋅ ⋅
720 24
72x=
24x = 720 x 72x = 2.160 m2
EXEMPLO:
24 operários fazem 25 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas
por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dis-pensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de 1 hora por dia.
Solução:
Vejamos as variáveis.OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO
Antes de colocar os dados, veja que se 25 do serviço foi feito, então falta 3
5 paraterminar a obra, logo:
OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO
24
20
10
x
7
6
25
35
95
Matemática10 20
2467
25
35x
= ⋅ ⋅
Calculando:2
53
5
25
53
23
=/
⋅/
=
10 20
24
6
7
2
3
10
21x= ⋅ ⋅ ⇒ =
10
xx = 21 dias
EXEMPLO:
Se 23 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas
por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10horas por dia, em quantos dias?
Solução:Evidente que teremosOBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS POR DIA2
3
13
5
x
8
6
6
10
Observe que:• Quanto maior for a obra mais dias serão necessários.• Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários.• Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias serão necessários.
5 68
106
23
13x
= ⋅ ⋅
5 2
1
6
8
10
6x= ⋅ ⋅
5 120
48x=
120x = 5 . 48x = 2 dias
EXEMPLO:Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando-se aobra com 12 operários, trabalhando 6 horas dia. Decorridos 10 dias, quando jáhavia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que colocar 4 operários para outroprojeto. Nessas condições para terminar a obra no prazo pactuado, a empresadeve prorrogar o turno por mais:
96
MatemáticaSolução:
Regra de três composta.OBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS/DIA
12
3
30
20
12
8
6
x
6 1 2030
8122
3x= ⋅ ⋅
6 8
12x= ⇒ 8x = 72
x = 9 horas/diaPortanto, a empresa deve prorrogar o turno por mais 3 horas.
EXEMPLO:Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será conclu-ída em:
Solução:TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA
10 96 610 x 8
Trata-se de regra de três, quanto mais horas/dias, será preciso menos dias.Daí teremos:
TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA10
10
96
x
6
8
Logo: 96 10
10
8
6x= ⋅ ⇒
⋅∴ x =
96 6
8 x = 72dias
EXEMPLO:12 pedreiros constroem 27m 2 de um muro em 30 dias, de 8 horas. Quantashoras devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem36m2 do mesmo muro?
Solução:PEDREIROS MURO DIAS HORAS/DIA
12
16
27
36
30
24
8
x
8 16
12
27
36
24
30x= ⋅ ⋅
97
Matemática8 4
5x=
x = 10 horas/dia
EXEMPLO:Um criador sabe que 900 frangos consomem, em 30 dias, 8,1 toneladas de ra-ção. Ele adquiriu 1.000 frangos e 10,5 toneladas de ração. Considerando-seque o agricultor pretende abater essas aves daqui a 40 dias, quando elas esti-verem no peso ideal, o criador para que não falte alimento as aves, deve com-prar, adicionalmente, a quantidade de ração em Kg. de:
Solução:FRANGOS DIAS RAÇÃO
900
1000.
30
40
81,
x
81 900
1000
30
40
9
10
3
4
,
.x= ⋅ ⇒ = ⋅
8,1
x
81 2740
40,x
= ∴ ⋅ 27x = 8,1
x = 12 toneladas ou x = 12.000 kg.Deve o agricultor adicionar : 12.000 – 10.500 = 1.500 kg.
98
MatemáticaSistema do 1º grau
Um sistema de equações do 1º grau com n variáveis, é um conjunto de equações dotipo
ai1 . x1 + ai2 . x2 + ... ain . xn = bi onde i ∈ *Ν e ai1 , a
i2 ... a
in são números reais.
Vamos concentrar nossa atenção somente nos sistemas com duas variáveis.
EXEMPLOS:
a.x y
x y
− =+ =
1
2 7
b.2 4 10
12 4 4
x y
x y
+ =− =
Queremos, no caso de duas variáveis, achar os valores de x e y que satisfazem atodas as equações, simultaneamente.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO
1º. Método da substituição
Expressamos uma das variáveis em função da outra, então substituímos estafunção na outra equação. Teremos então uma equação com apenas umaincógnita. Resolvendo esta equação chegamos a solução parcial do sistema,bastando apenas substituir o valor encontrado na expressão inicial paraencontrar a solução final.ExemploVamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau.
x y
x y
− =+ =
1
2 7
Vamos expressar a variável x em função da variável y, na primeira equação
x y
x y
− =+ =
⇒1
2 7 x = 1+ y (*)
Substituindo a expressão da variável x na segunda equação teremosx + 2y = 71 + y + 2y = 71 + 3y = 7 ∴ 3y = 7-1 ∴ 3y = 6
y =3
6 ∴ y = 2
99
MatemáticaEncontramos o valor da incógnita y (y=2).
Substituindo y = 2 na equação (*) temos
x = 1+yx = 1+2
x = 3
Logo, a solução do sistema é: x = 3 e y = 2
EXEMPLO:Encontrar a solução do sistema de equação do 1º grau.
2 4 10
12 4 410 4
2
x y
x yy+ =
− =
⇒ ⇒ =−
⇒ 2x = 10 - 4y x x = 5 - 2y (*)
Substituindo (*) na segunda equação temos:12x - 4y = 412 (5-2y) - 4y = 460 - 24y - 4y = 460 - 28y = 4 ∴ -28y = 4-60 ∴ -28y = -56
y =−−56
28 ∴ y = 2
Substituindo o valor de y (y=2) na equação (*) temos:
x = 5-2y ∴ x = 5 - 2 × 2 ∴ x = 5 - 4 x = 1Logo, a solução do sistema é: x = 1 e y = 2
2º. Método da comparação
Expressamos a mesma incógnita em todas as equações e igualamos asexpressões. Encontramos assim uma das incógnitas. Para encontrar a soluçãoda outra incógnita basta substituir o valor encontrado em uma das expressõesanteriores.
EXEMPLO:Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau.
x y
x yy y
− = ⇒+ = ⇒
⇒ + = −1
2 71 7 2
x = 1+ y (*)
x = 7 - 2y
1+y+2y=7 ∴ 1+3y=7 ∴ 3y=7-1 ∴ 3y = 6 ∴ y =6
3 ∴ y = 2
100
MatemáticaSubstituindo y = 2 em (*) temos
x = 1+y ∴ x=1+2 ∴ x=3
Logo a solução é: x = 3 e y = 2
EXEMPLOVamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau.
2 4 10
12 4 4 4 4
12
x y
x y y
+ = ⇒− = ⇒
=
+⇒
x =10 - 4y
2
x
x = 5 - 2y (*)
x =1+ y
3 (**)
Igualando (*) e (**) temos
5 21
3− =
+y
y
3(5-2y) = 1 + y15 - 6y = 1 + y
-7y = -14 ∴ y =−−14
7 ∴ y = 2
Substituindo y=2 em (*) teremosx = 5 - 2yx = 5 - 2 × 2x = 5 - 4
x = 1
Solução: x = 1 e y = 2
3º. Método de redução ao mesmo coeficienteComparamos as duas equações de modo que possuam o mesmo coeficientepara a mesma incógnita. Eliminamos então esta incógnita obtendo assim asolução da outra.Após obter esta solução procedemos como no caso anterior.Alguns exemplos para facilitar a compreensão.Exemplo:
x y
x y
− =+ =
1
2 7
Multiplicando a primeira equação por 2 teremos:
2 2 2
2 7
x y
x y
− =+ =
101
MatemáticaSomando as equações:
2 2 2
2 7
x y
y
− =+ =
∴
x +
3x = 9 x = 3
Substituindo x = 3 na primeira equação:
x - y = 13 - y = 1- y = 1-3- y = -2y = 2
Solução x = 3 e y = 2
EXEMPLO
2 4 10
4 4
x y
x y
+ =− =
12
Somando as duas equações:
2 4 10
4 4
x y
x y
+ =− =
∴12
+
14x = 14 x = 1
Substituindo x = 1 na primeira equação:
2x + 4y = 102×1 + 4y = 102 + 4y = 104y = 10 - 24y = 10 - 2
4y = 8 ∴ y = 2
Solução x = 1 e y = 2
EXEMPLO
2 6 18
4 11
x y
x y
+ =+ =
Calculando o MMC (6,4) = 12, vemos que basta multiplicar a primeira equaçãopor 2 e a segunda equação por 3.
Obtemos então
4 12 36
3 12 33
x y
x y
+ =+ =
102
MatemáticaSubtraindo as equações temos
4 12 36
3 12 33
x y
x y
+ =+ =
-
x = 3
Substituindo na 1ª equaçãoObtemos 2x + 6y = 18
2×3 + 6y = 18 ∴ 6 + 6y = 18 ∴ 6y = 18 - 6
6y = 12 ∴ y = 2
TIPOS DE SISTEMA
a. Sistema possível e determinado
É o sistema que possui apenas uma solução possível. Podemos representá-lopor duas retas concorrentes.
b. Sistema possível e indeterminado
O sistema é possível e indeterminado quando uma equação for resultado damultiplicação da outra por uma constante. Neste caso cada equação representaa mesma reta. Há infinitas soluções.
c. Sistema impossívelNeste caso o sistema não possui solução. As equações representam retasparalelas.
103
Matemática
EXERCÍCIOS
01. Resolva os sistemas:
a.x y
x y
+ =− =
7
1 Resposta: x=4 e y=3
b.x y
x y
+ =− =
2 11
2 Resposta: x=5 e y=3
c.x y
x y
+ =+ =
4 18
2 3 21 Resposta: x=6 e y=3
d.3 7 23
2 3 23
x y
x y
− =+ =
Resposta: x=10 e y=1
e.2 5 13
3 13
x y
x y
+ =+ =
Resposta: x=4 e y=1
f.
x y z
z u x
y z u
u x y
+ + =+ + =+ + =+ + =
6
3
4
5
Resposta: x=2; y=3; z=1 e u=0
g.x y
xy
+ ==
3
2 Resposta: x=1 e y=2 ou x=2 e y=1
h.x y
xy
+ ==
5
6 Resposta: x=2 e y=3 ou x=3 e y=2
i.α βαβ
+ ==
10
25 Resposta: α = 5 e β = 5
j.
x y
x u
y z
z u
+ =+ =+ =+ =
4
3
3
8
Resposta: Impossível
104
MatemáticaPotenciação e Radiciação
POTENCIAÇÃOSeja “a” um número real diferente de zero e n um número natural positivo.
Então,
an = a . a . a . a ....... a
n vezes
POR DEFINIÇÃO a1 = a e a0 = 1
EXEMPLOa. 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81b. 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.024
a-n = 1
an
EXEMPLO
a. 21
2
1
83
3− = =
b. 41
4
1
643
3− = =
PROPRIEDADES: a ∈ R, a ≠ 0 m, n ∈ N1. am . an = am+n
2.a
aa
m
nm n= −
3. (a ) .m n m na=
4. (ab) .n n na b=
5.ab
a
b
n n
n
=
6.ab
ba
n n
=
−
1 244 34 4
105
MatemáticaEXEMPLO
a. 22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32 b.3
33 3 9
6
46 4 2= = =−
c. ( )3 3 812 2 4= = d. (2.3)3 = 23 . 33 = 8 x 27 = 216
e.62
6
2
364
92 2
2
= = = f.35
53
5
3
259
2 2 2
2
=
= =−
RADICIAÇÃO
Seja a ∈R e n ∈N, n > 1 chamamos an de raiz n-ézima de a, tal que a b a bn n= ⇔ =
onde b ∈R.Exemplo
a. 8 23 = pois 8 = 2³
b. − = −64 43 pois -64 = (-4)³
PROPRIEDADES
1. a amnmn=
2. a b abn n n =
3.a
b
ab
n
nn=
4. a amn nm=
EXEMPLO
a. 2 2 2 8124124 3= = = b. 16 81 16 814 4 4⋅ = ⋅ = 2.3 = 6
c.2
3
23
3
33= d. 10 1043 12=
PRODUTOS NOTÁVEISSejam a e b números reais então:1. (a + b)² = a² + 2ab + b²2. (a - b)² = a² - 2ab + b²3. (a + b) (a - b) = a² - b²4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³5. (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
106
Matemática6. a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)7. a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
EXERCÍCIOS1. Fatore:
a. x² - 9b. x² - 2xy + y²c. a² + 6a + 9d. ab + ac + bc + b²e. m²x² - n²y²f. x2m - y2n
g. x5 - 1h. x5 + 1i. x² + 2x + 1 - y²j. x4 - y4
Soluçãoa. x² - 9 = (x-3) (x+3)b. x² - 2xy + y² = (x - y)2
c. a² + 6a + 9 = (a + 3)2
d. ab + ac + bc + b² = a (b+c) + b(c+b) == a (b+c) + b(b+c) == (a+b) (b+c)
e. m²x² - n²y² = (mx - ny) (mx + ny)f. x2m - y2n = (xm - yn) (xm + yn)g. x5 - 1 = x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x - 1 =
= x5 - x4 + x4 - x3 + x3 - x2 + x2 - x + x - 1 == x4 (x - 1) + x3 (x - 1) + x2 (x - 1) + x (x - 1) + (x - 1) == (x - 1) [x4 + x3 + x2 + x + 1]
h. x5 + 1 = x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + 1 == x5 + x4 - x4 - x3 + x3 + x2 - x2 - x + x + 1 == (x5 + x4) - (x4 + x3) + (x3 + x2) - (x2 + x) + (x + 1) == (x+1) [x4 - x3 + x2 - x + 1]
i. x² + 2x + 1 - y² = (x+1)2 - y2 == (x + 1 - y) (x + 1 + y)
j. x4 - y4 = (x2 - y2) (x2 + y2) == (x - y) (x + y) (x2 + y2)
107
MatemáticaEquação do 2º grau
TRINÔMIO DO 2º GRAU
Chamamos de trinômio do 2º grau a função y = a x2 + bx + c, a ≠ 0.Chamamos os valores de x para o qual ax2 + bx + c = 0 de raízes da equação dosegundo grau.Chamamos de discriminante ao termo b2 - 4ac, e representamos por ∆ , isto é,∆ = b2 - 4ac.• Se ∆ > 0, então existem duas raízes reais e distintas.
Neste caso as raízes são
xb
aI =
− − ∆2
e xb
aII =
− + ∆2
• Se ∆ = 0, então existem duas raízes reais e iguaisNeste caso as raízes são
x xba
I II= = −2
• Se ∆ < 0, não existem raízes reais.
EXEMPLOCalcule as raizes de:a. x2 - 3x + 2 = 0
a = 1 b = -3 c = 2∆ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.1.2 = 9-8 = 1∆ = 1 > 0 existem duas raízes reais e distintasLogo
xb
a
xb
a
I
II
=− −
=− − −
=−
= =
=− +
=− − +
=+
= =
∆
∆2
3 1
21
3 1
2
2
21
2
3 1
21
3 1
2
4
22
( )
.
( )
.
Resposta {1, 2}b. 4x2 - 4x + 1 = 0
a = 4 b = -4 c = 1∆ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0
∆ = 0, existem duas raízes reais e iguaisLogo
x xb
aI II= =
−=
− −= =
2
4
2 4
4
8
1
2
( )
.
Resposta 12
12
;
108
Matemáticac. 9x2 + 6x + 6 = 0
a = 9 b = 6 c = 6∆ = b2 - 4ac = 62 - 4.9.6 = 36 - 216 = -180∆ = -180 < 0 então não existem raízes reais
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
Seja ax2 + bx + c = 0, com xI e xII raízes. Então a soma das raízes é:
S = xI + xII = −b
a
O produto das raízes é:
P = xI . xI = c
a
EXEMPLOQual a soma e o produto das raízes:a. x2 - 5x + 6 = 0
S = −b
a= −
−( )5
1 = 5
P = ca
= 61
= 6
b. 4x2 + 4x + 1 = 0
S = −b
a= −
4
4 = -1
P = c
a =
1
4
GRÁFICOS DO TRINÔMIO DO 2º GRAU
CASO I - (a>0 e ∆ > 0)Neste caso teremosuma parábola de mínimo,onde o vértice será
V ( −ba2
, −∆4a
)
0
C
y
x
V
xI xII
4aD
2ab
109
MatemáticaCASO II - (a>0 e ∆ =0)
Neste caso teremostambém uma parábolade mínimo, onde o vérticeserá
V ( −ba2
, 0 )
CASO III - (a>0 e ∆ < 0)Neste caso teremostambém uma parabólicade mínimo, onde o vérticeserá
V ( −ba2
, −∆4a
)
CASO IV - (a<0 e ∆ > 0)Neste caso teremosuma parábola de máximo,onde o vértice será
V ( −ba2
, −∆4a
)
0= =
C
y
xxI xII
2ab
0
C
y
x2ab
4a∆
0
C
xI xI I
y
x
V
2ab
4a∆
110
MatemáticaCASO V - (a<0 e ∆= 0)
Neste caso teremostambém uma parábola demáximo, onde o vérticeserá
V ( −b
a2, 0 )
CASO V I - (a < 0 e ∆ < 0)Neste caso teremostambém uma parábola demáximo, onde o vérticeserá
V ( −b
a2, −
∆4a
)
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Seja y = ax2 + bx + c
1º caso ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ > 0
Se ∆ > 0 então existem duas raízes reais e distintas (xI e xII)então
sinal de a sinal contrário de a sinal de a
xI xII
Isto é,Entre as raízes sinal contrário ao de a, fora do intervalo das raízes sinal de a.
0
C
y
x2ab
4a∆
0
C
xI xII= =
y
x2ab
111
MatemáticaEXEMPLOCalculex2 - 3x + 2 > 0Observe que a = 1, b = -3, c = 2Calculando as raízes teremos xI = 1 e xII = 2 como o sinal de a é positivo teremoslogo
+ — +
1 2
x<1 ou x>2
2º Caso ∆∆∆∆∆ < 0
Como ∆ < 0, então não existem raízes reais, daí o trinômio sempre terá o sinal de a.
EXEMPLOSeja y = x2 + 2x + 2a = 1 b = 2 c = 2∆ = b2 - 4ac = 22 - 4.1.2 = 4 - 8 = -4
∆ = -4 < 0Como a = 1 > 0 e ∆ < 0 então y = x² + 2x + 2 sempre é positivo.
ExemploResolvax2 - 5x + 6 < 0Vamos achar as raízesa = 1>0 b = -5 c = 6as raízes são xI = 2 e xII = 3logo
+ — +
2 3logo: 2 < x < 3
112
MatemáticaEXEMPLO
x xx
2 7 121
− +−
>0
x2 - 7x + 12 > 0Raízes de x2 - 7x + 12 = 0 são xI = 3 e xII = 4Raiz de x-1=0 é x=1
1 3 4
x-1 - + + +
x2 - 7x + 12 + + - +
x xx
2 7 121
− +−
- + - +
Resposta 1< x < 3 ou x > 4
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Se o gráfico da função y = ax 2 + bx + c (sendo a, b, c, números reais) fortangente ao eixo dos x, então pode-se afirmar que:a. b2 > 4 acb. b2 < 4 acc. b = 4a + acd. 4 ac = b2
e. c = 0Resposta “D”
02. O gráfico do trinômio do 2º grau ax 2 - 10x + c é o da figura:
0
y
x
-9
5
113
MatemáticaPodemos concluir que:a. a = 1 e c = 16b. a = 1 e c = 10c. a = 5 e c = 10d. a = -1 e c = 10e. a = -1 e c = 16Resposta “A”
03. (FMU/FIAM) Dada a função f(x) = ax 2 + bx + c com a < 0 e c> 0, podemosconcluir que o gráfico desta função:a. intercepta o eixo dos x em um único pontob. é tangente do eixo horizontalc. não intercepta o eixo dos xd. é secante ao eixo horizontal e o intercepta em dois pontos de abscissaspositivas ambase. corta o eixo horizontal em dois pontos de abscissas positiva e negativa.Resposta “E”
04. (MACK) Considere a função, de R em R, definida por y = ax 2 + bx + c, ondeb2 - 4ac < 0 e a < 0. Então:a. y > 0 se x for interior ao intervalo das raízesb. y > 0 se x for exterior ao intervalo das raízesc. y < 0 para todo 0 x ∈ Rd. y > 0 para todo 0 x ∈ Re. existe um único x ∈ R tal que y = 0Resposta “C”
05. (CESESP) Assinale a alternativa correspondente aos valores de x, para
os quais a função f: R ⇒ R e f(X) = − 2x3 +
14
é sempre negativa:
a. ∀ ∈ℜx
b. x ≥3
8
c. x >38
d. x ≠ 0
e. /∃ ∈ℜ − + <xx2
314
0
Resposta “C”
114
Matemática06. A função y = x 2 - 1
a. toma valores positivos, se -1 < x < 1b. toma valores negativos, se -1 < x < 1c. toma valores negativos, se x < -1 ou x >1d. toma valores não negativos, qualquer que seja o valor atribuído a xe. toma valores não positivos, qualquer que seja o valor atribuído a xResposta “B”
07. (PUC) O trinômio -x² + 3x - 4:a. é positivo para todo número real xb. é negativo para todo número real xc. muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reaisd. é positivo para 1 < x < 4e. é positivo para x<1 ou x>4Resposta “B”
08. (CESESP) Seja f a função quadrática definida por f(x) = -3x² + 6x - 3. Qualdentre as seguintes alternativas é verdadeira?a. Qualquer que seja o valor atribuído a x, a função toma sempre um valor
menor ou igual a zerob. a função toma valores positivos para os valores de x tais que -2 < x < 1c. a função toma valores positivos para os valores de x tais que x < -2 ou x >
1d. para qualquer valor atribuído a x, a função toma sempre um valor maior ou
igual a zeroe. a função toma valores negativos apenas para os valores de x tais que -1 <
x < 1Resposta “A”
09. (CESGRANRIO) O conjunto da solução da inequação x² - 3x < 10 é:a. ] - ∞ , -2 [b. ] - ∞ , -2 [ ∪ ] 5, + ∞ [c. ] -2, 5 [d. ] 0, 3 [e. ] 3, 10 [Resposta “C”
115
Matemática10. (PUC) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio
P(x) = mx² + 2 (-m -2) x + m² + 4 é negativo quando x = 1?a. 1 < m < 2b. -1 < m < 2c. -5 < m < -4d. -3 < m < 2e. 0 < m < 1Resposta “E”
11. (FGV-SP) Sendo A o conjunto solução da inequação (x² - 5x) (x² - 8x + 12)< 0, assinale a alternativa correta:a. {x ∈ R/ o < x < 3} ⊂ Ab. 0 ∈ Ac. 5,5 ∈ Ad. -1 ∈ A
e.9
2 ∈ A
Resposta “C”
12. (PUC) Os valores de x que verificam x 5x 6x 2
2 − +−
< 0 são expressos por:
a. x < 3b. 2 < x < 3c. x < 2 ou x > 3d. x ≠ 2e. x < 3 e x ≠ 2Resposta “E”
13. (USP) A solução da inequação (x-3) (-x² + 3x + 10) < 0 é:a. -2 < x < 3 ou x > 5b. 3 < x < 5 ou x < -2c. -2 < x < 5d. x > 6e. x < 3Resposta “A”
14. (USP) Os valores de x que satisfazem a inequação (x² - 2x + 8) (x² - 5x + 6)(x² - 16) < 0 são:a. x < -2 ou x > 4b. x < -2 ou 4< x <5c. -4 < x < 2 ou x > 4d. -4 < x < 2 ou 3 < x < 4e. x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4Resposta “D”
116
Matemática15. (LONDRINA) Seja a função definida
por f(x) = ax² + bx + c, representadana figura. Então:a. a.b < 0b. b.c > 0c. a.c > 0d. a - b > 0
e.b
c < 0
Resposta “A”
0
y
x