UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECampus Prof. Jose Alosio de Campos

Departamento de Matematica

4a. Lista de exerccios (Limites de funcoes)- Calculo I - 2012.1, 05/03/2012

1. Para a funcao g cujo grafico e dado, determine o valor de cada quantidade, se ela existir. se naoexistir, explique por que.

a)limx2g(x) b) limx2+g(x) c)limx2g(x)d)limx2g(x) e) g(2) f)limx2+g(x)

2. Para a funcao R cujo grafico e mostrado abaixo, determinea)limx2R(x) b)limx5R(x)c)limx3R(x) d)limx3+R(x)e) As equacoes das assntotas verticais.

3. Um paciente recebe uma injecao de 150 mg de uma droga a cada 4 horas. O grafico, na figuraabaixo, mostra a quantidade f(t) da droga na corrente sangunea apos t horas. Encontrelimt12f(t) e limt12+f(t)e explique o significado desses limites laterais.

1

4. Esboce o grafico da funcao a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais limxaf(x)existe:

f(x) =

2 x, se x < 1x, se 1 x < 1(x 1)2, se x 15. Determine os limites infinitos

a) limx5+6

x 5 b) limx12 x

(x 1)2 c) limx5+ ln(x 5)

6. Dado que limxaf(x) = 3, limxag(x) = 0 e limxah(x) = 8 encontre, se existir, o limite. Casonao exista explique por que.

a)limxa[f(x)]2 b)limxa[h(x)]1/3 c)limxa2f(x)

h(x) f(x) .

7. Os graficos de f e g sao dados. Use-os para calcular cada limite. Caso nao exista o limite, expliquepor que.

a)limx2[f(x) + g(x)] b)limx1[f(x) + g(x)] c)limx0[f(x)g(x)] d)limx1f(x)g(x)

e)limx2[x3f(x)] f)limx13 + f(x).

8. Calcule os limites justificando cada passagem pelas leis do limite que forem usadas.

a)limx22x2 + 1

x2 + 6x 4 b)limx1(t2 + 1)3(t+ 3)5.

9. Calcule o limite, se existir.

a)limx2x2 + x 6x+ 2

b) limx4x2 + 5x+ 4x2 + 3x 4 c)limx1

x3 1x2 1 d)limx0

(2 + x)3 8x

2

e)limx0

1 + x 1

xf)limx2

x4 16x 2 g)limx0

1x 1x2 + x

h)limx414 +

1x

x+ 4

10. Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que

a) limx0x3 + x2 sen pix = 0;

b) limx0x3 sen 1x = 0;

c) limx0x4 sen2(2x3

)= 0;

11. Se 3x f(x) x3 + 2 para 0 x 2, encontre limx1f(x).12. Prove que lim0+

xesen(pi/x) = 0.

13. Dado |g(x) 2| 3(x 1)2 para todo x, encontre limx1g(x).14. Encontre, quando existir, o limite. Caso nao exista, explique o por que.

a) limx4|x+ 4|x+ 4

b)limx0(1x 1|x| ) c) limx0ln(x) d) limxpi/2tg(x).

15. Seja

f(x) ={

4 x2, x < 2x 1, x > 2

a) Encontre limx2f(x) e lim2+f(x).b) Existe limx2f(x)?c) Esboce o grafico de f .

16. (a) Se o smbolo bxc denota a funcao maior inteiro, calculei) limx0+bxc ii)limx2bxc iii) limx2,4bxc.

17. Na teoria da relatividade, a formula da Contracao de Lorentz

L = L01 v2/c2

expressa o comprimento L de um objeto como uma funcao de sua velocidade v em relacao a umobservador, onde L0 e o comprimento do objeto no repouso e c e a velocidade da luz. EncontrelimvcL e interprete o resultado. Por que e necessario o limite a` esquerda?

18. Quao proximo de 5 devemos tomar x para que 6x 1 esteja a uma distancia de 29 menor que a)0,01 b)0,0001

19. Use o grafico dado de f para encontrar um numero tal que |f(x) 3| < 0, 6 sempre que 0 0. Sugestao: Use |xa| = |x a|

x+a.

22. Suponha que limxaf(x) = e limxag(x) = c, c R. Prove que limxa[f(x) + g(x)] =.

23. Para a funcao g, cujo grafico e dado abaixo, determine

a) limxg(x) limx3g(x) c)limx2+g(x) d)limxg(x)e)limx0g(x) f) As equacoes das assntotas.

24. Esboce o grafico de um exemplo de funcao f que satisfaca as condicoes dadas abaixo.limx0+f(x) =, limx0f(x) = , limxf(x) = 1 e limxf(x) = 1.

25. Encontre os limites.

a) limx

12x3 5x+ 21 + 4x2 + 3x3

b)limx1

2x+ 3c)limy

2 3y25y2 + 4y

d)limtt2 + 2

t3 + t2 1e)limx(pi/2)+ etgx.

26. Encontre as assntotas horizontal e vertical da curva y =x2 + 4x2 1 .

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27. Para o limite

limx

4x2 + 1x+ 1

= 2

encontre o valor de N para = 0, 5.

28. Use a definicao de limite para provar que limxex =.

29. Encontre a inclinacao da reta tangente a` parabola y = 1 + x+ x2 nos pontos onde x = a.

30. Considere um objeto movendo-se com uma funcao posicao s = f(t).a)Escreva uma expressao para a velocidade media dele no intervalo de tempo desde t = a ate t =a+ h.b)Encontre uma expressao para a velocidade instantanea dele no tempo t = a.

Exerccios e figuras retirados do livro Calculo, James Stewartvolume I

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