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GUIDG.COM – PG. 1
23/7/2010 – CDI-1: Inequações, passo à passo, exercícios resolvidos. ATENÇÃO: O único objetivo deste arquivo é guiar o estudante para as possíveis soluções dos exercícios propostos pelo livro. Tendo como base o conhecimento sobre estes exercícios, o estudante estará apto para prosseguir no assunto. Exercícios extra: Determine o conjunto solução das inequações: A. x2 + 1< 2x2@3 ≤@5x: Solução: Resolvendo em partes: y1:
x2 + 1 < 2x2@3@ x2 + 4 < 0x2@4 > 0x =F 4p
wwwwwwwwwwwwwwwwwww=F 2
y2:
2x2@3 ≤@5x2x2 + 5x@3 ≤ 0
@5F 25@4 2` a@3` aq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
@5F 49pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4ffffffffffffffffffffffffffffffffffff=@5F 7
4ffffffffffffffffffffffff
x = 12fffe x =@3
Logo o conjunto solução é a interseção de y1 e y2::
S= x2R |@3 ≤ x <@2R S
ou por intervalos@3,@2B c
Tente resolver essa: B. @5< x2@3< 1
S= x2R |@2 <x <2R S
ou por intervalos@2, 2b c
GUIDG.COM – PG. 2
Livro: Calculo A – Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada) Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves (Números reais, pg. 15) - 1.6 Exercícios. (Inequações) 1. Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. aa3@ x < 5 + 3x
ba2x@5<
13ffff+ 3x
4ffffffff+ 1@ x
3ffffffffffffffff
ca2>@3@3x ≥@7
ea
x2 ≤ 9 fa
x2@3x + 2> 0 ga1@ x@2x2 ≥ 0
ha x + 1
2@ xfffffffffffffffff< x
3 + xffffffffffffffff
ia
x3 + 1> x2 + x
ja
x2@1b c
x + 4` a
≤ 0
ka 2
x@2fffffffffffffffff≤ x + 2
x@2fffffffffffffffff≤ 1
la
x4 ≥ x2
ma x
x@3fffffffffffffffff< 4
na
12fffffx@3
4 + xffffffffffffffffffffffff> 1
oa 3
x@5fffffffffffffffff≤ 2
pa
x3@ x2@ x@2> 0 qa
x3@3x + 2 ≤ 0
ra 1
x + 1fffffffffffffffff≥ 3
x@2fffffffffffffffff
sa8x3@4x2@2x + 1< 0
ta12x3@20x2 ≥@11x + 2
Soluções:
aa3@ x < 5 + 3x
resolução:3@ x@5@3x < 0@4x@2 < 0B @1
` a
4x + 2 > 0
x >@24ffff[ x >@
12fff
S= @12fff, +1
f g
da 5xffff< 3
4ffff
GUIDG.COM – PG. 3
ba2x@5<
13ffff+ 3x
4ffffffff+ 1@ x
3ffffffffffffffff
Solução:2x1fffffff@
51fff< 1
3fff+ 3x
4fffffff+ 1@ x
3ffffffffffffffff
mAmA c 1,3,4b c
= 12
24x@60 < 4+ 9x + 4@4x12
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
24x@60@4@9x@4 + 4x < 019x@68 < 0
x <6819fffffff
S= @1 ,6819ffffffff g
ca2>@3@3x ≥@7
resolução:2 >@3@3x ≥@7 + 3
` a
5 >@3x ≥@4 B @1` a
@5 < 3x ≤ 4 D 3` a
@53fff< x ≤ 4
3ffff
S= @53fff, 4
3fffff G
da 5
xffff< 3
4ffff
resolução:5xffff@
34ffff< 0
20@3xx4ffffffffffffffffffffffff< 0
@3x + 204x
fffffffffffffffffffffffffffffff< 0 inequação quocienteb c
Análise do comportamento de sinais das funções de 1ºgrau:y1:@3x + 20 < 0y2: 4x + 0 < 0
GUIDG.COM – PG. 4
portanto temosduassoluções doiscasos
` a:
1ºcaso: x2ℜ | x<0R S
oupor intervalos:@1 ,0b c
2ºcaso: x2ℜ |x >203fffffffV W
ou por intervalos:203fffffff, +1
f g
e a solução finalé a união desses dois conjuntos soluções, fincando assim:
@1 ,0b c
S 203fffffff, +1
f g
ea
x2 ≤ 9Solução: essa é muito fácilnão é mesmo? Mas mostraremos umoutro caminho para resolver:
x2@ 9 ≤ 0
x2@32 ≤ 0 produto notavel, diferença de quadradosb c
x + 3` a
A x@ 3` a
≤ 0 inequação produtob c
Análise do comportamento de sinais das funções de 1ºgrau:y1: x + 3 ≤ 0y2: x@ 3 ≤ 0
Portanto encontramos os valores que tornam esta inequação verdadeira:
S= x2R |@3 ≤ x ≤ 3R S
ou por intervalos@3,3B C
GUIDG.COM – PG. 5
fa
x2@3x + 2> 0 Para resolver, precisamos comparar com a equação do segundo grau: ax2 + bx + c = 0, assim identificamos os valores de a =1, b = -3, c=2. Isso se repetirá sempre, é importante saber!
@bF b2@4AaA cq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Agora substituímos nessa fórmula, que é conhecida como fórmula de Báskara, daqui pra frente será muito usado, portanto é bom você memorizar! Substituindo os valores a fórmula fica assim:
@ @ 3` a
F @ 3` a2
@ 4A 1` aA 2` aq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2 1` affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 3F 9@ 8pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2fffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 3F 1p
wwwwwwwwwwwwwww
2ffffffffffffffffffffffff = 3F 1
2ffffffffffffffff
Resolvendo, encontramos os valores de x: S = { 1,2 } Mas o exercícios não quer os valores de x, e sim para quais valores de x a função é maior que zero? (símbolo >) então fazemos o gráfico para melhor visualizar:
O software Geogebra gera esse gráfico facilmente, mas você também deve aprender a fazer o gráfico sem a ajuda do computador, veja que só precisamos dos valores de x e do sinal de a, que identifica se a parábola esta para cima (positivo) ou para baixo (negativo).
Agora podemos responder a pergunta, para que valores a função é maior que zero? A resposta é a parte cinza do gráfico, ou
S= @1 ,1b c
S 2, +1b c
ou ainda x26 1,2B C
ga1@ x@2x2 ≥ 0
O processo de resolução é o mesmo, mas veja que o sinal de a é negativo, então a parábola esta para baixo.
S= x2ℜ |@ 1 ≤ x ≤ 12fffV W
ou por intervalos: @1,12fffF G
GUIDG.COM – PG. 6
ha x + 1
2@ xfffffffffffffffff< x
3 + xffffffffffffffff
Solução: Veja que x ≠ 2 ex ≠@3 (por que? Por que o denominador não pode ser zero!) ... então:
x + 1` a
3 + x` a
< x 2@ x` a
2@ x` a
3 + x` affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
2x2 + 2x + 3@ x2@ x + 6fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff< 0
Inequação quociente, resolvendo o numerador:
y1:
2x2 + 2x + 3< 0
@2F 4@4 2` a
3` aq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=@2F @20pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
4fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
[ não existe x2ℜ por que deu raiz negativaA
Resolvendo o denominador:
y2:
@ x2@ x + 6 < 0
1F 1@4 @1` a
6` aq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
@2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 1F 5
@2ffffffffffffffff=@3 e 2
Logo os valores que satisfazem a inequação podem ser vistos no gráfico (em vermelho):
A solução é a interseção dos dois conjuntos, como a primeira não intercepta o eixo x, ela é toda positiva por isso não interfere no resultado.
Então os valores que tornam a inequação verdadeira é o conjunto:
S= x2ℜ |x<@3e x>2R S
ou por intervalos@1 ,@3b c
S 2, +1b c
GUIDG.COM – PG. 7
ia
x3 + 1> x2 + x Solução: x3 + 1@ x2@ x > 0x2 x@1` a
@1 x@1` a
> 0
x2@1b c
x@1` a
> 0
y1: x2@1> 0
x =F 1pwwwwwwwwwwwwwww
=F 1
y2: x@1> 0
x > 1
y2: Comparando y1 com y2 temos:
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:
S= x2R |@1 <x < 1e x>1R S
ou por intervalos@1,1b c
S 1, +1b c
GUIDG.COM – PG. 8
ja
x2@1b c
x + 4` a
≤ 0
Inequação produto, resolvendo: y1: x2@1 ≤ 0
y2: x + 4 ≤ 0
x ≤@4
Comparando y1 com y2 temos:
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:
S= x2R |x ≤@4 e @1 ≤ x ≤ 1R S
ou @1 ,@4b C
S @1,1B C
* As próximas resoluções foram copiadas
GUIDG.COM – PG. 9
ka 2
x@ 2fffffffffffffffff≤ x + 2
x@ 2fffffffffffffffff≤ 1
(Continua na próxima página)
GUIDG.COM – PG. 10
GUIDG.COM – PG. 11
la
x4 ≥ x2
GUIDG.COM – PG. 12
ma x
x@3fffffffffffffffff< 4
GUIDG.COM – PG. 13
na
12fffffx@3
4 + xfffffffffffffffffffffff> 1
GUIDG.COM – PG. 14
oa 3
x@5fffffffffffffffff≤ 2
GUIDG.COM – PG. 15
pa
x3@ x2@ x@2> 0 Solução: pax3@ x2@ x@2 = 0
Pesquisa de raízes: (-2) é o coeficiente d, e 1 é o coeficiente a da função polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na fração d/a . Divisores de d(-2): {±1, ±2} Divisores de a(1): {±1}
Possíveis Raízes: daffff: F 1,F 2P Q
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau:
1 -1 -1 -2 1 1 0 -1 -3 F -1 1 -2 1 -3 F 2 1 1 1 0 V
E re-escrevemos a função polinomial como: x2 + x + 1
b cA x@2` a
= 0
Mas estamos procurando por valores tais que: x2 + x + 1
b cA x@2` a
> 0
GUIDG.COM – PG. 16
qa
x3@3x + 2 ≤ 0 Neste caso a soma dos coeficientes resultam num valor igual a zero, conclui-se que 1 é raiz da equação, para mais informações consulte o exercício “t”. Prosseguimos realizando a divisão de polinômios.
Portanto o intervalo que satisfaz a inequação é: S= @1 ,@2b C
U 1P Q
GUIDG.COM – PG. 17
ra 1
x + 1fffffffffffffffff≥ 3
x@2fffffffffffffffff
GUIDG.COM – PG. 18
sa8x3@4x2@2x + 1< 0
GUIDG.COM – PG. 19
ta12x3@20x2 ≥@11x + 2
O procedimento já foi visto em algumas resoluções anteriores e chama-se Pesquisa de raízes (é o último capitulo do assunto Polinômios), são poucos os alunos que tenham estudado isso no ensino médio, portanto se você não entender deverá estudar Polinômios e equações polinomiais. Solução: 12x3@20x2 + 11x@2 ≥ 0
12x3@20x2 + 11x@2 = 0
Agora devemos fatorar o polinômio e precisamos das raízes. O procedimento é um pouco longo, mas funciona. Pesquisa de raízes: (-2) é o coeficiente d, e 12 é o coeficiente a da função polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na fração d/a . Divisores de d(-2): {±1, ±2} Divisores de a(12): {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
Possíveis Raízes: daffff: F 1,F
12fff,F 1
3fff,F 1
4ffff,F 1
6fff,F 1
12fffffff,F 2,F
22fff,F 2
3fff,F 2
4ffff,F 2
6fff,F 2
12fffffffV W
Percebemos que algumas são equivalentes, e resumimos o conjunto em: daffff: F 1,F
12fff,F 1
3fff,F 1
4ffff,F 1
6fff,F 1
12fffffff,F 2,F
23fffV W
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau:
12 -20 11 -2 1 12 -8 3 1 F -1 12 -32 43 -45 F 1/2 12 -14 4 0 V
E re-escrevemos a função polinomial como:
12x2@14x + 4b c
A x@12ffff g
= 0
Mas estamos procurando por valores tais que:
12x2@14x + 4b c
A x@12ffff g
≥ 0 (ineq. Prod.)
GUIDG.COM – PG. 20