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7/25/2019 Lista de Eletromagnetismo - Escola Olmpica
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Lista de Eletromagnetismo
Escola Olmpica
Gabriel O. Alves
Revisao: Pedro Alves
Contato: [email protected],
gabriel [email protected], Grupo do Facebook:https://www.facebook.com/groups/402050929927944/
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Conteudo
1 Formulario 3
2 Problemas 7
3 Guia 16
4 Dicas 20
5 Gabarito 24
6 Solucoes 25
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1 Formulario
Eletrostatica
Lei de Coulomb:
F= 1
40
q1q2r2
r
Campo eletrico produzido pela cargaq1:
E=
1
q2 F=
1
40
q1
r2 r
F
F
q1
q2
Lei de Gauss:
E=
IS
E dS= q
0
E
nS
Equacao de Poisson:
E= 0
Potencial coulombiano:
V(r) = 1
40
q
r
Calculo do campo a partir do po-
tencial:
E= VPotencial a partir do campo eletrico:
V = Z
E dl
Equacao de Poisson para o poten-cial:
2V = 0
Equacao de Laplace (caso especialda equacao de Poisson, quando =0):
2V = 0Energia eletrostatica:
U(r) =qV(r)
U=1
2
ZV
(r)V(r)dv
Potencial a partir do momento dedipolop:
V(r) = p r
40r3
Forca exercida sob um dipolo emum campo eletrico E:
F= (p E)Torque:
E= p E
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1 FORMULARIO
Magnetismo
Corrente eletrica:
i=dq
dt
Densidade de corrente:
j= v
di
dS = j n
Conservacao de carga eletrica:
j= t
Para correntes estacionarias:
j= 0Segunda lei de Ohm, sendo a re-
sistividade:
R= lS
S
l
j= E
Forca de Lorentz:
F= q(E + vB)Fluxo magnetico:
B =
ZS
B dS
Forca magnetica sobre um elementode corrente:
dF= i(dlB)Momento de dipolo magnetico:
m= iS
Torque magnetico:
B =m BA lei de Ampere:I
C
B dl= 0i
Para B produzido no vacuo porcorrentes estacionarias:
B= 0
B= 0j
Lei de Biot-Savart:
B=0i
4
IC
dl rr2
Lei da inducao:
E= dBdt
Indutancia:
L= i
Indutancia mutua, sendoij a cor-rente em j e i,j o flixo do condutorj na regiao delimitada pelo condutori:
Li,j =i,j
ij
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Dieletricos e materiais mag-
neticos
Polarizacao dieletrica:
P=dp
dv
P =0E
Relacao entre susceptibilidade e cons-tante dieletrica:
= + 1
Densidade volumetrica de cargasde polarizacao:
p = P
Vetor deslocamento:
D= 0E + P= E
Magnetizacao:
M=dm
dv
CampoH:
H= B
0M
H= M
Lei de Ampere para o campo H:
H= j
Circuitos
Primeira lei de Ohm:
V =Ri
Efeito Joule:
P =dW
dt =V i
Tensao no capacitor:
V = qC
Energia eletrostatica armazenadano capacitor:
U=1
2CV2
Tensao no indutor:
V =Ldi
dtEnergia magnetica armazenada no
indutor:
U=1
2Li2
Leis de Kirchoff:
A soma das d.d.p. ao longo deuma malha e nulaP
nj=0 Vj = 0
V1
V2
V3V4
V1 V2+ V3 V4= 0
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1 FORMULARIO
A soma algebrica das correntes
que entram e saem em um no e0 (Adotando sinais opostos paracorrentes que entram e saem)Pn
j=0 ij = 0
i1i2
i3
i1 i2+ i3= 0
Ondas eletromagneticas
Equacoes de Maxwell no vacuo:
E= 0
B= 0
B= 0j +00E
t
E= Bt
Equacao de ondas unidimensional(Sendo x a direcao de propagacao ):
2f
x2 1
v22f
t2 = 0
Velocidade da luz no vacuo:
c= 100
Densidade de energia eletromagneticano vacuo:
U=1
2(0E
2 + 1
0B2)
Vetor de Poynting:
S= 10
(EB)
Lei da conservacao de energia ele-tromagnetica (para = 0 e j= 0):
S= Ut
Condicoes de contorno
E= n (E2
E1) =
+p
0
D= n (D2 D1) =
0
n (E2 E1) = 0
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2 Problemas
Exerccio 1 : (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig)Um fio retilneo muito longo (trate-o como infinito) esta eletrizado com umadensidade linear de carga . Calcule a forca que atua sobre uma cargapuntiforme Q colocada a uma distancia do fio.
Q
Exerccio 2: (Problems in General Physics - I. E. Irodov ) A intensi-dade do campo eletrico depende apenas das coordenadasx e y, de acordo
com a lei E = a (xi+yj)(x2+y2)
, onde a e constante e i ej representam os versoresdos eixos x e y respectivamente. Encontre o fluxo atraves da esfera de raioR com centro na origem.
Exerccio 3: (Seletiva OIF 2015 - Adaptada) Um anel delgado de raioRtem ao longo de sua circunferencia uma densidade linear de carga positiva. Um eletron pode se movimentar livremente no eixozdo anel. Determinea equacao do movimento e a frequencia de oscilacao do eletron nas proximi-
dades do anel.
Exerccio 4 : (300 Creative Physics Problems with Solutions - LaszloHolics) Uma longo cilindro de raio R possui uma cavidade de raio r. Oseixos do cilindro e da cavidade sao paralelos, separados por uma distanciad.O cilindro possui densidade volumetrica de carga uniforme , e a constantedieletrica relativa do material vale 1. Encontre a expressao do campo eletricono interior da cavidade.
Figura 1: Fonte: 300 Creative Physics Problems with Solutions
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2 PROBLEMAS
Exerccio 5: (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig) Uma
distribuicao de carga esfericamente simetrica tem densidade volumetrica decarga dada por
(r) =0exp(r/a) (0 r < )onde 0 e uma constante e r e a distancia a origem.
a) Calcule a carga total da distribuicaob) Calcule o campo eletrico num ponto qualquer do espaco
Exerccio 6: (Curso de Fsica de Berkeley Vol.2, E. M. Purcell - Adap-
tada) Calcule a energia potencial Ude uma uma esfera de raio ae carga Q,com densidade volumetrica de carga uniforme.
Exerccio 7: (Problems in General Physics - I. E. Irodov ) Encontreo potencial Vna borda de um disco de raio R de densidade superficial decarga.
Exerccio 8: (Guide to Physics Problems - S.B. Cahn) Uma carga pon-tuale e colocada a uma distanciaR do centro de uma esfera metalica de raioa, com R > a. A esfera e isolada e eletricamente neutra.
O R
a
e
a) Encontre o potencial eletrostatico na superfcie da esferab) Encontre a forca agindo na carga
Exerccio 9: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questionsand Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) Uma esfera de metal de raio a e cercada por uma esfera metalicaconcentrica de raio interno b, onde b > a. O espaco entre as esferas e pre-enchido por um material cuja condutividade varia com a intensidade docampo eletrico E de acordo com a relacao = kE, sendo K constante. Emantida uma diferenca de potencial V entre as duas esferas. Qual e a cor-
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rente que flui entre elas?
Exerccio 10: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questi-ons and Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) A atmosfera terrestre e um condutor eletrico porque contem porta-dores de cargas livres que sao produzidas por ionizacao de raios cosmicos.Dado que a densidade de cargas livres e constante no tempo e no espaco e eindependente a posicao horizontal,
a) Determine as equacoes e condicoes de contorno para computar o campoeletrico da atmosfera em funcao da altitude se o campo proximo da superfcie
e constante no tempo e vertical, nao varia horizontalmente e tem uma mag-nitude de 100V /m. Voce pode assumir que a superfcie terrestre e perfeita-mente plana, caso o deseje,b) Faca uma estimativa de como a condutividade depende da altitudec) Resolva as equacoes do item a)
Exerccio 11 : (Princpios de Eletrodinamica Classica - J. Frenkel) Con-sidere um capacitor formado por duas placas paralelas de area S, que estaoseparadas por um distanciad. Se o alinhamento das placas for perturbado demodo que sobre uma borda a separacao sejad +e sobre a borda oposta seja
d , onde d, mostre que a capacitancia se torna, aproximadamente,
C=S0
d
1 +
2
3d2
d
Exerccio 12: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questi-ons and Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) Um capacitor de placas paralelas com separacao d entre as placas epreenchido com uma camada de material 1, com constante dieletrica 1, con-dutividade 1 e espessura d1, e com uma camada de material 2, com 1, 1e d2. O capacitor esta submetido a uma diferenca de potencial V constante.Despreze os efeitos das bordas.
a) Qual e o campo eletrico nos materiais (1) e (2)?
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2 PROBLEMAS
b) Qual e a corrente que flui atraves do capacitor? Qual e sua direcao?
c) Qual e a densidade superficial total de carga na interface entre 1 e 2?d) Qual e a densidade superficial de carga livres na interface entre 1 e 2?
Exerccio 13: (Guide to Physics Problems - S.B. Cahn) a) Considereduas esferas dieletricas solidas de raio a, separadas por uma distancia R(R a). Uma das esferas tem carga q, e a outra e neutra. As dimensoeslineares do sistema sao multiplicadas por um fator 2. Agora, qual deve ser acarga da primeira esfera de modo que a forca entre as esferas continue cons-tante?b) Considere agora um anel condutor feito de um fio fino, onde d e o diametro
do fio e D e o diametro do anel (novamente D d). Uma carga Q aplicadaao anel e o suficiente para que ele se quebre devido a repulsao eletrostatica.Assim como no itema), as escalas sao multiplicadas por dois. Com que cargao novo anel vai se romper?
Exerccio 14 : (Aptitude Test Problems in Physics - S.S. Krotov) Doiscapacitores de placas paralelas sao dispostos perpendicularmente ao eixo co-mum. A separacao d entre os capacitores e muito maior que a distancia l deseparacao entre as placas e seu tamanho. Os capacitores tem cargas q1 e q2,respectivamente. Encontre a forca Fde interacao entre os capacitores.
Figura 2: Fonte: S.S. Krotov
Exerccio 15: (Major American Universities Ph.D. Qualifying Questi-ons and Solutions - Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromag-netism) Um fio cilndrico de permeabilidade e percorrido por uma correnteestacionaria I. Se o raio do fio eR, encontre os campos B e H dentro e forado fio.
Exerccio 16: (Princpios de Eletrodinamica Classica - J. Frenkel) A bo-bina de Helholtz e um dispositivo usado para produzir um campo magneticoaltamente uniforme em laboratorio. Este consiste de duas espiras circularesde raio a, encaixadas coaxialmente com separacao h. Mostre que a melhor
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homogeneidade do campo ocorre quando h e igual a a. Calcule tambem a
magnitude do campo.
h
a
Exerccio 17: (D. J. Griffths - Introduction to Electrodynamics - Adap-tada) Mostre que a forca no circuito 2 devido ao circuito 1 (Na figura), podeser escrita como:
Figura 3: Fonte: D. J. Griffthss
F2 = 0
4 i1i2 I I rr2dl1 dl2
Exerccio 18: (Exame Unificado de Fsica) Uma espira condutora re-tangular (comprimentoa, largura b e resistencia R situa-se nas vizinhancasde um fio reto inifinitamente longo que e percorrido por uma correnteipara adireita, conforme a figura. A espira afasta-se do fio com velocidade constante~v, de forma que a distancia do centro da espira ao fio e dada por s(t) =s0+vt.Calcule:
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2 PROBLEMAS
Figura 4: Fonte: Exame do segundo semestre de 2015
a) o modulo do campo magnetico produzido pela corrente num ponto situadoa uma distancia s do fio. Indique a direcao e o sentido do campo na religiaodelimitada pela espira para um dado valor de s(t)b) o fluxo magnetico na regiao delimitada pela espira para um dado valor des(t)c) a forca eletromotriz induzida na espira para uma certa distancia s(t)d) a corrente indizida na espira, iind
Exerccio 19: (Guide to Physics Problems - S.B. Cahn) Um fio circular
de raio a e isolado de um fio infinito reto e longo na direcao tangencial.Encontre a indutancia mutua.
a
Exerccio 20: (Aptitude Test Problems in Physics - S.S. Krotov) Duaslongas bobinas cilndricas de enrolamento uniforme e de mesmo comprimentoe aproximadamente mesmo raio tem indutancias L1 e L2. As bobinas estaocoaxialmente inseridas uma na outra e sao conectadas a um gerador de cor-rente conforme a figura. A direcao da corrente no circuito e indicada pelassetas. Determine e indutancia equivalente L de tal composicao.
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Exerccio 21 : (200 Puzzling Physics Problems) A mola mostrada nafigura possui N voltas, comprimento x0 e constante elastica k. Qual e avariacao de comprimento da mola quando uma corrente i0 flui por ela?
Exerccio 22: (Physics by Example: 200 Problems and Solutions - W.G. Rees) Uma anel metalico de secao transversal de 2.5cm2 e permeabilidade
relativa de 1500 e raio medio de 40cm e enrolando uniformemente com 3000voltas de fio. Se uma corrente de 1.6Apassa atraves do fio, encontre o campomedio B e magnetizacao no anel.
Exerccio 23: (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig) Umcapacitor de placas paralelas e formado por dois discos circulares de raio aseparados por uma distancia d a. As placas estao ligadas a um geradorAC que produz uma carga no capacitorQ = Q0sin(t). Admita que o campoE entre as placas e uniforme, desprezando fuga de linhas de forca, e tome oeixo zao longo do eixo do capacitor. Calcule o campo B entre as placas, auma distancia do eixo.
Exerccio 24 : (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig)Um fio condutor retilneo cilndrico muito longo, de condutividade e raioa, transporta uma corrente constante, de densidade j = E uniformementedistribuda sobre a secao transversal. Tome o eixo do cilindro como eixo z.a) Calcule Bna superfcie do fiob) Calcule o vetor de Poynting Sna superfcie do fioc) Mostre que o fluxo de S atraves da superfcie de um trecho de compri-mento l do fio e igual a a energia dissipada em calor pelo efeito Joule nesse
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2 PROBLEMAS
trecho, por unidade de tempo. Note que essa energia flui do espaco em torno
do fio para dentro dele.
Exerccio 25: (Exame Unificado de Fsica) O campo eletrico de umaonda plana monocromatica no vacuo e dado por
E(z, t) = (E1x + E2y)ei(kzt)
ondexe ysao os versores cartesianos nas direcoesx e t, respectivamente,e E1 e E2 sao constantes.a) Encontre a inducao magnetica B(z, t)b) Mostre que o campo eletrico e a inducao magnetica sao ortogonais entresic) Calcule o vetor de Poynting da onda
Exerccio 26: (Curso de Fsica Basica Vol. 3 - M. H. Nussenzveig)Calcule a impedancia do circuito da figura entre os pontos 1 e 2 a frequenciae mostre que, se as constantes de tempo CeLforem iguais, a impedanciasera independente da frequencia.
L R
RC
1 2
Exerccio 27: (Electricity and Magnetism - E. M. Purcell, D.J Morin -Adaptada) a) Calcule a constante de amortecimento e a frequencia angular0 das oscilacoes livres e a constante de amortecimento para o circuito RLCserie:
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Figura 5: Fonte: Purcell, Morin
b) Faca o mesmo para o circuito RLC paralelo:
Figura 6: Fonte: Purcell, Morin
c) Se ambos os circuitos possuem o mesmo L, C e o mesmo fator dequalidade Q, qual e a relacao entre Re R0?
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3 GUIA
3 Guia
Livros recomendados
Livros-texto:
Curso de Fsica Basica - Vol.3 - Eletromagnetismo - Moyseses H. Nus-senzveig
Introduction To Electrodynamics - David J. Griffths
Electricity and Magnetism - Edward M. Purcell, David J. Morin (Casovoce nao encontre a edicao mais recente, utilize a antiga: Electricityand Magnetism - Berkeley Physics Course - Vol. 2 - Edward M. Purcell,contudo esta versao utiliza o sistema CGS de unidades)
Electromagnetism - John C. Slater
A Students Guide to Maxwell Equations - Daniel Fleisch
I. E. Irodov - Basic laws of electromagnetism
Livros de exerccios:
Aptitude Test Problems in Physics - S.S. Krotov
A Guide to Physics Problems - Part 1- Mechanics, Relativity, and Elec-trodynamics - Sidney B. Cahn
200 Puzzling Physics Problems
Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions- Yung-Kuo Lim - Problems and Solutions on Electromagnetism
Problems in General Physics - I. E. Irodov
Physics by Example: 200 Problems and Solutions - W. G. Rees
300 Creative Physics Problems with Solutions - Laszlo Holics
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Lista de problemas das OIFs
IPhO
Utilize este site para encontrar problemas da IPhO por topicos:
http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_web/problems/
Clique no assunto que voce deseja na primeira fileira da tabela e os pro-blemas serao organizados na ordem desejada. Faca isso para procurar porproblemas de eletromagnetismo! Chamamos atencao para o seguinte proble-mas:
1967 - Problema 2: Malha infinita de resistores. E um exerccio classico,que apresenta um raciocnio que pode ser utilizado em muitos outrosproblemas. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1967_T2-P.pdf
1996 - Problema 2: Estudo do movimento de um eletron dentro de umcilindro condutor. Trabalha com alguns conceitos elementares de relati-vidade e com forca de lorentz. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1996_T2-P.pdf
2005 - Problema 2: Um bom problema de magnetismo. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2005_T2-P.pdf
1983 - Problema 3: Um bom exerccio sobre circuitos RLC. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1983_T2-P.
1985 - Problema 2: Um exerccio sobre o Efeito Hall. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_1985_T2-P.pdf
2003 - Problema 2: Problema sobre cristais piezoeletricos, trabalhacom diversos conceitos. http://www.raunvis.hi.is/~martin/ipho/ipho_problems/ipho_2003_T2-P.pdf
2013 - Problema 2: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2013/ipho2013-theoretical-problem-2.pdf
2012 - Problema 1.c: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2012/2012-08-09%20IPhO2012_Theoretical_problems.pdf
2011 - Problema 2: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2011/IPhO2011_Th_Q2.pdf
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2011 - Problemas 2,3 e 4: http://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdf
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http://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2011_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2012_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/es2013_eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/est-fin_2014eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://www.ioc.ee/~kalda/ipho/es/e-s-2015-eng.pdfhttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://rmph.lbi.ro/2012/index.php?id=problems_physicshttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xi_teorica_2006.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica3_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xiii_teorica1_2008.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/~oibf/wp-content/uploads/2013/07/provas/oibf_xv_teorica_2010.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdfhttp://apho.phy.ntnu.edu.tw/download/past_APhO_roblems/2001%20APhO/APhO2001_theory_prob_2.pdf7/25/2019 Lista de Eletromagnetismo - Escola Olmpica
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4 DICAS
4 Dicas
Exerccio 1 : Calcule a contribuicao de um elemento infinitesimal dzdo fio, e integre de ate (A integral devera convergir). Alem disso,por argumentos de simetria, mostre que somente a componente vertical dacontribuicao dos elementos inifinitesimais contribui com a forca resultante.
Q
dzr
z
Exerccio 2: Tente usar coordenadas esfericas!
Exerccio 3: Para calcular a carga do anel tente encontrar a contri-buicao de cargadqde um arco infinitesimal do anel, a partir dos parametros
dados. Em seguida identifique as forcas agindo no eletron e monte a EDOde segunda ordem que descreve o movimento do eletron.
Exerccio 4 : Dica 1: Utilize o princpio da superposicaoDica 2: Suponha que ha um cilindro menor na cavidade de densidade decarga de sinal sinal contrario, em seguida utilize a lei de Gauss para calcularo campo gerado pelo cilindro de carga negativa. Por fim, utilize o princpioda superposicao e relacione o campo do cilindro original, o campo do cilin-dro de carga negativa e o que campo dentro da cavidade que voce pretendeencontrar. Nao se esqueca de deixar os campos em notacao vetorial, paraencontrar a direcao correta do campo na cavidade.
Exerccio 5: a) Encontre a carga de uma casca esferica muito fina de
depois integre. Considere que a casca tem um volume dV = 4r2|{z}Area
Espessuraz}|{dr .
Lembre-se que dQ(r) =p(r)dV(r).b) Use a Lei de Gauss e o resultado do item anterior.
Exerccio 6: Tente adotar uma solucao analoga ao item anterior!
Exerccio 7: Tente utilizar a geometria desta figura:
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r
dr
Ou seja, coloque a origem na borda do disco, em seguida calcule a con-tribuicao dos pontos que estao a uma mesma distancia r da origem!
Exerccio 8: Utilize o metodo das cargas imagens. Pesquise caso nao oconheca!
Exerccio 9: Tente encontrar a corrente a partir da densidade de cor-rente e da relacao dada no enunciado para a condutividade. Tambem tenterelacionar o potencial com o campo eletrico.
Exerccio 10: a) Utilize a equacao de continuidade b) A funcao maiselementar que descreve a densidade de partculas na atmosfera e uma expo-nencial decrescente (Da forma: n(z) = n0e
mgz/kT, sendo T a temperaturada atmosfera), a partir da, encontre uma expressao analoga para a con-dutividade. Lembre-se que a condutividade e inversamente proporcional afrequencia de colisoes, que por sua vez e proporcional a densidade do meio,ou seja, como a expressao para a condutividade vai mudar? c) Combinetodos os resultados anteriores.
Exerccio 11 : Dica 1: Tente dividir o capacitor entre varios capaci-tores infinitesimais. Deste modo o capacitor vai ser constitudo por varioscapacitores menores de placas paralelas, e a capacitancia de cada capacitorinfinitesimal sera dC dx/y, sendo dx a largura de cada capacitor e y adistacia entre as placas infinitesimais.Dica 2: Caso voce tenha encontrado uma expressao para a capacitancia,mas ainda assim ela nao esta igual aquela pedida pelo enunciado, tente usarTaylor e expanda a expressao para um polinomio!
Exerccio 12: a) A correntei deve ser a mesma em ambos os materiais,
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4 DICAS
assim como a densidade de corrente j. Tente relaciona-la com o campo
eletrico a as propriedades dos meios, assim voce encontra uma das duasequacoes necessarias para resolver o problema.b) Idemc) Utilize as condicoes de contornod) Idem
Exerccio 13: Escreva a forca em termos do momento de dipolo daesfera e do campo eletrico.
Exerccio 14 : Dica 1: Trate os capacitores como dipolosDica 2: Calcule o campo eletrico produzido por um dos capacitores, emseguida, relacione a forca d einteracao com o momento de dipolo do outro
capacitor e o modulo do campo eletrico naquele pontoExerccio 15: Utilize a lei de Ampere. Para um ponto interno ao fio,
isto e, para r < R, a corrente e i(r) < I. Voce pode calcula-la a partir dadensidade de corrente.
Exerccio 16: Calcule o campo utilizando Biot-Savart. De preferenciapor coordenadas cilndricas. Para mostrar que a melhor homogenidade docampo ocorre nessa situacao, calcule o campo magnetico para uma distanciazqualquer, no eixo das espiras, e veja como a derivada e a segunda derivadase comportam, conforme a distancia z e alterada.
Exerccio 17: Dica 1: Utilize Biot-Savart para encontrar a intensidade
do campo magnetico, em seguida calcule a forca sob um elemento de correntepela expressao dF= i(dlB).Dica 2: Utilize a indentidade vetorial ABC= (A C)B (A B)CDica 3: Note que dl2 r= dr.Alem disso, voce provavelmente encontrou umtermo extra na integral. Voce pode mostrar que este termo vale 0, demonstreisso por meio do teorema fundamental do gradiente!Dica 4: A integral de linha que voce quer calcular e de um caminho fe-chado, como o ponto de incio e o mesmo ponto de termino, pelo teoremafundamental do gradiente a integral se anula.
Exerccio 18: Este exerccio pode ser resolvido a partir da Lei deLenz! Calcule o campo magnetico a uma distancia do fio por meio dalei de Ampere e utilize coordenadas cilndricas para trabalhar com o campomagnetico, assim, calcular o fluxo sera facil.
Exerccio 19: Calcule o campo magnetico produzido pelo fio reto a umadistancia x, em seguida calcule o fluxo do campo atraves da area delimitadapelo fio circular, para isso, a divida em tiras infinitesimais de espessura dx,paralelas ao fio, e integre.
Exerccio 20: Tente resolver o problema por meio da geometria dasbobinas. Lembre-se que o fluxo e proporcional ao numero de voltasN.
Exerccio 21 : Tente relacionar a energia potencial elastica com a ener-
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gia magnetica do sistema!
Exerccio 22: Use a lei de Ampere para o encontrar o campoHe utilizeexpressoes para relacionar H, Be Ma partir dos parametros dados.
Exerccio 23: Encontre a corrente de deslocamento no capacitor e usea lei de Ampere
Exerccio 24 : a) Use a lei de Ampereb) Utilize coordenadas cilndricas e lembre-se da relacao entre os versores noproduto vetorial (Eles devem obedecer a regra da mao direita)c) Utilize a segunda lei de Ohm para calcular a resistencia de um trecho decomprimento l do fio, em seguida calcule a potencia dissipada pelo efeitoJoule.
Exerccio 25: a) Utilze as equacoes de Maxwell! b) Utilize algumaoperacao da algebra vetorial que te permita calcular o angulo entre doisvetores.
Exerccio 26: Utileze a formula para calcular a reatancia do indutor edo capacitor, em seguida calcule a impedancia total a utilizando as formualspara configuracoes serie e paralelo. Alem disso, lembre-se que as constantesRC e RL sao, respectivamente:tauC=RC e L=L/R.
Exerccio 27: Utilize as duas leis de Kirchoffe monte a EDO de segundaordem. Suponha que a solucao e da forma eit.
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5 GABARITO
5 Gabarito
Exerccio 1 :F = Q20
Exerccio 2: =RaExerccio 3: my= e
2R2y, 2 = e
2mR2
Exerccio 4 : E= Q20
d
Exerccio 5: a) Q= 80a3 b) E(r) = 20a
3
0r2
h1 er/a
12
r2
a2+ r
a+ 2
iExerccio 6: U= 3
5Q2
40a
Exerccio 7: V = R0
Exerccio 8: a) V = 140
eR
b) F =
140
e2a3
R3(2R2a2)(R2a2)2
Exerccio 9: i= 4Kv2ln ( ba)
Exerccio 10: a) dj/dz = 0, E(0) = 100V /m b) = 0exp
mgzkT
c)
E=E0expmgz
kT
, onde E0 = 100V /m
Exerccio 12: a) E1 = V2
d12+d21, E2 =
V1d12+d21
b) J = 1E1, perpen-
dicular as placas c) t = 0(12)Vd12+d21
d) l = (1221)d12+d21
Exerccio 13: a) q0 = 4
2qb) Q0 = 4Q
Exerccio 14 : F = 32
q1q2l2
0d4
Exerccio 15: Para r > R: B(r) = 0i2r
e H(r) = i2r
, para r < R:
B(r) = 0ir
2R
2e H(r) = ir
2R
2
Exerccio 16: B= 0ia2
(a2+(h2
)2
)32
z
Exerccio 18: a) B= 0i2s
b) = 0ia2
ln
s0+vt+ b2
s0+vtb
2
c)E= 0i
2ab
(s0+b
2+vt)(s0
b
2+vt)
v
d) iind= 0i2R
ab(s0+
b
2+vt)(s0
b
2+vt)
v
Exerccio 19: L12 =0aExerccio 20: L= L1+ L2+ 2
L1L2
Exerccio 21 : x 0I20N2R22kx2
0
Exerccio 22: B = 3.6T, M= 2.9 106Am1Exerccio 23: B= 0Q0
2a2
cos(t)
Exerccio 24 : a) B(a) = 0|j|a2 b) S= |j2
|2a
Exerccio 25: a) B(z, t) = z
(E2x E1y)ei(kzt) c) S = 10k
(E21 +
E22)e2i(kzt)k
Exerccio 26: 1Z
= 1Z1
+ 1Z2
= 1R+Li
+ 1R 1
Ci, quando R = L a
impedancia vale: Z=q
CL
Exerccio 27: a) 0=q
1LC R2
4L b) 0=
q 1LC 1
4R2C2 c) R0R= 0
00
LC
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6 Solucoes
Exerccio 1 : Para resolver o problema, voce deve calcular a contribuicaode um trecho infinitesimal de comprimento dzdo fio, a uma distancia z docentro. Como o fio possui densidade linear de carga , a carga de um trechoinfinitesimal vale dq = dz. Alem disso, lembre-se que pela simetria doproblema, as componentes horizontais da forca de atracao se cancelam (Paratodo ponto a na posicao z, ha um ponto na posicaoz, cuja componentehorizontal tem mesma intensidade mas direcao contraria). Deste modo aforca que atua sobre a carga puntiforme devido a um trecho inifinitesimal dofio e:
dFy = 1
40
Qdq
r2 sin
Q
dzr
z
Comodq= dz,r2
=2
+z2
e sin = /p(2 + z2), a expressao anteriorfica:dF =
Q
40
dz
(2 + z2)3
2
Agora basta integrar de ate :
F = Q
40
Z
dz
(2 + z2)3
2
A integral acima pode ser resolvida por meio de uma substituicao trigo-nometrica, basta fazer:
z= tan
E portanto:
dz
d = sec2
Deste modo a integral fica:
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6 SOLUCOES
Z dz
(2 + z2)3
2
=
Z sec2 d
(2 +2 sec2 )3
2
= 1
2
Z 1
sec d=
1
2
Z cos d=
1
2sin+C
Como:
sin = zp
z2 +2
Segue que:
Z
dz(2 + z2)
3
2
= 12" zp
z2 +2#
= 22
Finalmente:
F= Q
40
Z
dz
(2 + z2)3
2
= Q
40
2
2
F = Q
20
Exerccio 5: a) Para calcular a carga total, voce pode calcular a con-
tribuicao de uma casca esferica de volume:
dV =Adr = 4r2dr
Deste modo, a contribuicao de uma casca esferica de raio r e:
dQ= (r)dV = 4r2er/adr
dr
r
Integrando de 0 ate encontramos a carga total da distribuicao:
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dQ= (r)dV = Q= 4 Z 0
r2er/adr
Voce pode calcular essa integral por meio de duas integrais por partesconsecutivas: Z
r2er/adr= ar2er/a + 2aZ
rer/adr
Z r2er/adr= ar2er/a + 2a
arer/a + a
Z er/a
Z
r2er/adr= ar2er/a + 2a arer/a a2er/aZ
r2er/adr= ar2er/a 2a2rer/a 2a3er/a + C
Portanto:
Q= 40
Z
0
r2er/adr= 40
ar2er/a 2a2rer/a 2a3er/a
0
Claramente todos os termos tendem a 0 quando r , deste modo:
Q= 80a3
b) Voce pode encontrar o campo eletrico pela lei de Gauss, utilizando oresultado do item anterior (Lembre-se que as cargas exteriores ao ponto emquestao nao contribuem com o campo eletrico:
ISE dS=
Q
0
4r2E(r) =Q(r)
Para encontrar Q(r) basta utilizar a integral do exerccio anterior, de 0ate r:
E(r) = 1
4r240
ar2er/a 2a2rer/a 2a3er/a r0
Apos simplificar a expressao obtemos:
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6 SOLUCOES
E(r) =20a3
0r2
1 er/a
12
r2
a2+
r
a+ 1
Exerccio 11 : Divida o capacitor em vario capacitores infinitesimais de
placas paralelas. A capacitancia de cada um desses capacitores vale:
C=dS
y
y
dx
yrepresenta a distancia entre as placas edSrepresenta a area do capacitorde espessura infinitesimal. dS pode ser escrito como dS = S.dx/l, onde lrepresenta a largura do capacitor. Deste modo a expressao anterior fica:
dC= S
l
dx
y
x e y podem ser relacionados atraves de um vnculo. Veja a seguintefigura:
y0
x
2
l
Ou seja, por semelhanca de triangulos fica facil ver que:
y0
2 =
x
l = y0 =2
l x
E a distancia y entre as placas, em funcao de x, e:
y= y 0 + d =2l
x + d
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y0
d d y
Assim, a expressao da capacitancia fica:
dC=S
l
dx2lx + d
Como o capacitor e composto com capacitores infinitesimais em paralelo,e a capacitancia equivalente de capacitores paralelos e Ceq =C1+C2+ +Cn,
basta integrar de 0 ate l para encontrar a capacitancia total:
C=S
l
Z l0
dx2lx + d
C= S
l
l
2
ln
2
l x + d
l0
C=S
l
l
2ln
d +
d
C= S
ll
2ln1 + d
1 d
!Por fim, basta expandir o logaritmo por uma serie de Taylor:
ln
1 +
d
=
d
d
22
+
d
33
...
e,
ln1
d=
d d
2
2 d
3
3
...
Portanto:
ln
1 +
d
1 d
!= ln
1 +
d
ln
1
d
=
d
d
22
+
d
33
...
!
d
d
22
d
33
...
!
ln
1 +
d
1 d
! 2
d+
3
d3
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6 SOLUCOES
A capacitancia e entao:
C= S
l
l
22
d+
3
d3
C=S
d
1 +
2
d2
Exerccio 16: Primeiro, calcule a intensidade do campo magnetico no
eixo de uma so espira, a uma distancia z, por meio da lei de Biot e Savart:
a
z r
dl
dB
Figura 7: Representacao da espira. O vetor dl e tangencial a espira, destemodo, a contribuicaodB de um elemento infinitesimal da figura tem a direcaomostrada na figura, pois o vetor dBdeve ser perpendicular tanto a dlquantoar, que e o versor na direcao de r.
B=0i
4
Z dl r
r2
Como as componentes horizontais se cancelam, por simetria, deve-se con-siderar somente a componente vertical. Alem disso, um arco infinitesimal daespira vale dl= ad, onde representa o angulo que percorrea espira :
B=0i cos
4 Z ad
r2
Como r= cte.:
B=0ia cos
4r2
Z 20
d=0ia
2r2 cos
Como cos = a/r e r=
a2 + z2, o campo magnetico vale:
B= 0ia
2
2(a2 + z2)3
2
z
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h
a
Pz
Figura 8: Procuramos a intensidade do campo magnetico no ponto P
Agora, a partir da expressao anterior, vamos encontrar o ponto de maiorhomogeneidade. Para isto, iremos procurar o valor de zpara o qual a deriv-
cada de Bcom respeito a zse anula:
dB/dz= 0 = za2 + z25/2 = 0 = z= 0Deste modo, a primeira derivada do campo so se anula no plano da espira,
ou seja, quando nao ha separacao entre elas, assim, devemos encontrar umvalor de zpara o qual a segundaderivada e nula:
d2B/dz2 = 0 = (a2 4z2)
a2 + z2
7
2 = z= a2
Ou seja, a maior homogeneidade ocorre quando z = a/2. A separacaoentre as espiras e, portanto:
h= a
E o campo magnetico no ponto desejado vale:
B= 0ia
2
(a2 + h2
2)3
2
z
Exerccio 18: a) O campo magnetico B, a uma distancia s, pode serencontrado a partir da lei de Ampere:
I B dl= 0i
Bs
Z 20
d= 0i
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6 SOLUCOES
Bs
Figura 9: Representacao das linhas do campo magnetico
B= 0i
2s
b) O fluxo em um trecho infinitesimal da espira e:
d =BdA= 0i
2xadx
s + b2
s
b
2 x
dx
=0ia
2
Z s+a/2sa/2
dx
x
Resolvendo a integral e fazendo s(t) =s0+ vt:
=0ia
2 ln
s0 + vt + b
2
s0+ vt b2
!
c) A e.m.f induzida pode ser encontrada a partir da Lei de Lenz:
E= ddt
= 0ia2
1
s0+ b2
+ vt 1
s0 b2 + vt
!v
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E= 0i
2ab
(s0+ b2
+ vt)(s0 b2+ vt)v
d) Pela primeira Lei de Ohm:
E=Ri
Portanto:
iind= 0i
2R
ab
(s0+ b
2
+ vt)(s0
b
2
+ vt)v
Exerccio 23: A corrente de deslocamento na regiao e dada por:
id=0E
t
E pela lei de Ampere:IC
B dl= 0id=00E
t
O fluxo do campo eletrico e:
=
Z E dS= E2
E como o capacitor e formado por placas paralelas, o campo eletrico vale:
E=V
d =
Q
Cd=
Q
0A=
Q
a2
Portanto:
IC B dl= 00E
t
=02
a2
dQ
dt
=02
a2
Q0d(sin (t))
dtO campo Bentre as placas vale entao:
B2 = 02
a2Q0
d(sin(t))
dt
B=0Q0
2
a2 cos(t)
Exerccio 24 : a)
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6 SOLUCOES
I B dl= 0i= 0|j|a
2 = 2aB(a) =0|j|a2
B(a) =0|j|a
2
b) O vetor de Poynting e:
S= 1
0(EB)
Pelo resultado do item anterior:
S= 1
0(E 0|j|a
2 )
S= 1
0((|E|z) (0|j|a
2 ))
S= 1
0|E|
0|j|a
2 (z | {z }
)
Como |E|= |j|/:
S= |j2|
2a
c) A resistencia de um trecho de comprimentol do fio e, pela segunda Leide Ohm:
R=l
A
A potencia dissipada nesse trecho vale:
P =V i2
=Ri2
=l
A (|j|A)2
Como = 1/:
P = |j|2A
l
De acordo com o exerccio anterior, o vetor de Pointing e:
S= |j2|
2a
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Veja que ele e radial, ou seja, e normal a superfcie do cilindro. O fluxo
do vetor S e portanto:
S=S A= |j2|a
2 2al=
|j2|a2
2l
S= |j|2A
l
Ou seja:
S=P
Exerccio 25: Por meio da equacao:
E= Bt
E possvel encontrar o campo magnetico B pois ja foi dado o campoeletrico, basta calcular seu rotacional:
E(z, t) = (E1x + E2y)ei(kzt)
E=
x y zx
y
z
E1ei(kzt) E2e
i(kzt) 0
Calculando a determinante:
E= E2(ei(kzt))
z x E1
(ei(kzt))
z y
E= Bt
=zE2ei(kzt)x zE1ei(kzt)y
Integrando:
B(z, t) = z
(E2xE1y)ei(kzt)
b) Para mostrar que os campos sao ortogonais entre si basta mostrar queo produto escalar entre E e B e nulo. Assim:
E B= (E1ei(kzt))(E2e
i(kzt)) + (E2ei(kzt))(E1ei(kzt))
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6 SOLUCOES
Portanto:
E B= e2i(kzt)(E1E2 E1E2)
E B= 0
c) O vetor de Poynting e:
S= 1
0(EB)
S= 10
x y z
E1ei(kzt) E2e
i(kzt) 0z
E2ei(kzt) z
E1e
i(kzt) 0
Calculando a determinante obtem-se:
S= 1
0
k
(E21 + E
22)e
2i(kzt)k
Exerccio 26: A impedancia do trecho do circuito composto pelo resis-tor e pelo indutor em serie e:
Z1=R+Li
Ja para o segundo trecho, composto pelo resistor e pelo capacitor:
Z2 = R 1
Ci
A impedancia do circuito e a impedancia equivalente de Z1 e Z2 emparalelo, portanto:
1
Z =
1
Z1+
1
Z2=
1
R+Li+
1
R
1C
i
Se as constantes de tempos forem iguais, vale a relacao:
C=L = RC= L
R = R=
rL
C
A impedancia e entao:
1
Z =
1qLC
+Li+
1qLC 1
Ci
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Z=
qLC
+LiqLC 1
Ciq
LC
+Li +q
LC 1
Ci
Z=
rC
L
Que e independente da frequencia.
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