Lista 122 ALI/TIIMatemtica Prof Marcia

Nome:

outubro / 2015

Matriz Inversa:

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz , de mesma ordem, tal que A.= .A = , ento matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A.= .A = , isto implica que a matriz inversa de A, e indicada por ).

Notao:

Exemplo: Sendo A = , vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.

Soluo:

Existindo, a matriz inversa de mesma ordem de A.

Como, para que exista inversa, necessrio que A.= .A = , vamos trabalhar em duas etapas:

Passo: Impomos a condio de que A. = e determinamos :

A.

= .=

A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo mtodo da adio e chegamos :

Assim temos:

=.=

Passo: Verificamos se A = :

.A = .=

Portanto temos uma matriz , tal que: A.= .A =

Logo, inversa de A e pode ser representada por:

= .

1. Determinar, se existir, em cada caso:a) A= 3 4 b) A = 1 2 2 3 -1 3

2. Dadas as matrizes A = 1 2 e B = -3 2 verifique se B inversa de A. 2 3 2 -1

DETERMINANTES

Definio: Determinante um nmero associado a uma matriz quadrada.

Aplicaes dos determinantes na matemtica:

Clculo da matriz inversa; Resoluo de alguns tipos de sistemas de equaes lineares; Clculo da rea de um tringulo, quando so conhecidas as coordenadas dos vrtices.

Determinante de primeira ordem

Dada uma matriz quadrada de ordem M=, chamamos de determinante associado matriz M o nmero real .

Notao: det M ou = Exemplos:

1.

2.

Determinante de segunda ordem

Dada a matriz M=, de ordem 2, por definio, temos que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de ordem dado por:

Assim:

Exemplo: Sendo M=, ento:

det M=

Logo: det M = -2

Concluso: O determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.5. Regra de Sarrus

Dispositivo prtico para calcular o determinante de ordem.

Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante atravs da Regra de Sarrus.

D=

Soluo:

Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da :

Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:

Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundria com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:

Assim:

Exerccios:1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes:

a) A= b) A=

2)

Calcular o valor de na igualdade =0 3) O conjunto soluo de :

a) b){0;1} c){1} d){-1} e) {0}4) Calcule o seguinte determinante:

5) Calcular x na igualdade