Linguaggi L1, L2 & condizioni di verità

Sistemi formali e proprietà ‘metalogiche’

[In]Completezza, [In]Decidibilità

Logica & Calcolabilità

Cognizione & Computazione: le origini delle

Scienze Cognitive

Riassunto delle puntate precedenti:• Definizioni (informali) di proposizione,

argomento, mondo possibile.• Definizione (informale) di argomento valido

e corretto• Definizione (formale) del linguaggio L1 della

logica proposizionale• Definizione (formale) del concetto di

proposizione in L1.• Definizione (formale) dell’algoritmo delle

tavole di verità.

Estensione della logica proposizionale:la logica dei predicati (o predicativa o del I ordine)Con la logica dei predicati è possibile trattare la struttura logica di argomenti più complessi, in particolare di argomenti che contengono importanti operatori logici detti quantificatori (operatori che determinano l’estensione dell’insieme di oggetti che soddisfano una certa proprietà).

L’introduzione del linguaggio artificiale L1 permette di fornire un’analisi logica astratta di un’ampia classe di proposizioni e delle loro condizioni di verità. Questo consente a sua volta di verificare la validità di argomentazioni che abbiano come premesse e conclusioni un certo numero di proposizioni di L1.

Riprendiamo tuttavia l’argomentazione

Tutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

e chiediamoci:1) è possibile tradurre l’argomentazione nel linguaggio L1?2) se è possibile, la traduzione è in grado di conservare la validità dell’argomento?

Traduzione in L1Linguaggio naturale L1

Tutti gli uomini sono mortali pSocrate è un uomo qquindi Socrate è mortale r

Questa traduzione è l’unica possibile, perché le proposizioni dell’argomento sono atomiche e devono quindi essere rappresentate da lettere proposizionali.

Conservazione della validitàLa traduzione in L1 è dunque possibile: ma conserva anche la validità?Per la traduzione, conservare la validità significa che – anche per l’argomento in L1 – se le premesse sono vere allora deve essere vera anche la conclusione. In realtà, tutto ciò che può fare la traduzione è formulare le proposizioni in linguaggio naturale come lettere proposizionali, e di per sé le semplici lettere p e q non sono ‘costrette’ a implicare con necessità r.

In altri termini, non è contraddittorio ammettere che esista un assegnazione di valori di verità a p, q e r tale che

p Vq Vr F

Dove sta il problema?

Il problema sta nel fatto che in L1 le proposizioni p, q e r devono essere trattate come atomiche, perché non contengono alcun connettivo. Ma ciò che garantisce la validità dell’argomento

Tutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

dipende proprio dalla struttura interna di queste proposizioni.

Per estendere l’insieme di proposizioni che è possibile analizzare dal punto di vista della logica, occorre allora analizzare la struttura interna delle proposizioni atomiche. Questo passo porterà ad estendere il linguaggio L1 in un nuovo linguaggio artificiale (L2), capace di rendere conto della validità di argomenti come Tutti gli uomini sono mortali

Socrate è un uomoquindiSocrate è mortale

Per analizzare la struttura interna di una proposizione atomica, ricorreremo a uno strumento di antica tradizione - lo schema soggetto-predicato. Consideriamo la semplice proposizione

“l’erba è verde”In base allo schema soggetto-predicato, avremo

“erba” soggetto “essere verde” predicato

Il ‘predicato’ non è altro che una proprietà attribuita al soggetto.

Proposizioni come “l’erba è verde” non sono tuttavia l’unico tipo di proposizioni di cui possiamo indagare la struttura interna.

Consideriamo infatti una proposizione come“Mario è più alto di Carlo”

Un’applicazione dello schema soggetto-predicato prescriverebbe

“Mario” soggetto“essere più alto di Carlo” predicato

,

Il significato intuitivo della proposizione sembra però compatibile anche con la scomposizione

“Carlo” soggetto“essere più basso di Mario” predicato

Sembra dunque che uno stesso contenuto concettuale sia associato a due proposizioni con due soggetti diversi: con quale criterio scegliere?

Contenuto concettuale della proposizione

?soggetto: Mario ?predicato: essere più alto di Carlo

soggetto: Carlopredicato: essere

più basso di Mario

Soluzione naturale: il contenuto concettuale della proposizione riguarda una relazione tra due soggetti. Questo implica che lo schema dovrà contemplare almeno due casi possibili:

• Predicato attribuito a un soggetto: si tratta di una proprietà di quel soggetto

• Predicato attribuito a n soggetti: si tratta di una relazione che sussiste tra quei soggettiUna generica proposizione atomica può parlare allora di uno o più soggetti: si definisce termine singolare ogni espressione che si riferisca a un soggetto singolo.

Termini Singolari• Nomi propri (“Mario”, “Carlo”, ecc.) • Pronomi dimostrativi ed espressioni che

cominciano con un aggettivo dimostrativo (“questo”, “quel tavolo”)

• Pronomi personali singolari (“io”, “egli”, ecc.) • Descrizioni definite, vale a dire espressioni che

cominciano con un articolo determinativo singolare (“il presidente della Repubblica”, “il sindaco di Berlino”, ecc.)

Consideriamo i seguenti esempi.Mario è alto

Mario e Carlo sono fratelliMario è più alto di Carlo

Il predicato è ‘ciò che resta’ quando vengono eliminati dalla proposizione i termini singolari:

..... è alto..... e ..... sono fratelli..... è più alto di .....

..... è alto Predicato a 1 posto(proprietà)

..... e ..... sono fratelli Predicato a 2 posti(relazione)

..... è più alto di ..... Predicato a 2 posti(relazione)

Attenzione! La relazione ‘essere fratelli’ è simmetrica (l’ordine non conta), ma quella ‘essere più alto di’ non lo è.

Estensione del linguaggio artificiale L1 al linguaggio artificiale L2: si tiene conto dell’analisi logica interna delle proposizioni.

Linguaggio L2 – Prima parte1. Un insieme, eventualmente infinito, di lettere

per predicati P, Q, R, ...2. Un insieme di lettere per termini singolari a,

b, c, ... (eventualmente con apici e indici)3. I connettivi e i simboli speciali di L1, vale a

dire parentesi e virgole.

Siamo ora in grado di dare la (prima parte della) definizione di proposizione in L2:

Proposizione di L2 – Prima parte1. Se P è un predicato a n posti e a1, ... , an

sono termini singolari, Pa1 ... an è una proposizione atomica di L2.

2. Se A è una proposizione di L2, allora A è una proposizione di L2.

3. Se A e B sono proposizioni di L2, allora A B, A B, A B sono proposizioni di L2.

Riassumendo:Mario = m (termine singolare)

Mario è alto = Amè alto = A (pred. a 1 posto)

proposizione atomica di L2 (I parte)Attenzione! Am è un esempio della forma generale Pa1 ... an: infatti si pone P=A e a1 = m (ricordiamo che in questo caso n=1).

Mario, Carlo = m, c (termini singolari)

Mario e Carlo sono fratelli = Fmc

sono fratelli = F (pred. a 2 posti)

proposizione atomica di L2 (I parte)Attenzione! Fmc è un esempio della forma generale Pa1 ... an: infatti si pone P=F, a1=m, a2 = c (ricordiamo che in questo caso n=2).

Torniamo al nostro argomentoTutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

Il linguaggio L1 non è in grado di esprimere la struttura interna di nessuna delle proposizioni dell’argomento, mentre il linguaggio L2-prima parte è in grado di esprimere la struttura della seconda premessa e della conclusione.Come fare con la prima premessa?

Essa appare cruciale, perché esprime la validità di una proprietà per tutti gli individui di un certo insieme. Perché il linguaggio L2 possa esprimere questo tipo di proposizioni, sarà necessaria una riformulazione della proposizione stessa nei seguenti termini:Per ogni possibile x, se x è un uomo allora x è mortale.Questa riformulazione introduce due nozioni essenziali che dovranno far parte del linguaggio L2: le variabili e i quantificatori.

Una variabile non è altro che un termine singolare generico, cioè un termine che può assumere valori diversi: quando per esempio si dice che

x+y = y+x, si intende con ciò che quella uguaglianza è valida per qualunque numero si decida di sostituire a x e y.

Un quantificatore è invece un operatore logico presente in proposizioni che affermano per quanti individui di un dato insieme valgono una certa proprietà P o una certa relazione Pn. Introdurremo due quantificatori:

Quantificatore universale xPx “per ogni x, x è P”

Quantificatore esistenziale xPx “esiste un x che è P”

L’estensione completa di L1 porterà dunque alla seguente definizione:

Linguaggio L2 – Seconda parte1. Un insieme, eventualmente infinito, di lettere

per predicati P, Q, R, ...2. Un insieme di lettere per termini singolari a,

b, c, ... (eventualmente con apici e indici) e per variabili x, y, z, ... (eventualmente con apici e indici)

3. I connettivi di L1, i simboli speciali di L1 (vale a dire parentesi e virgole) e i quantificatori (per ogni) e (esiste)

In analogia con la definizione del linguaggio L1, vorremmo ora definire l’insieme delle proposizioni ammesse in L2.

Attenzione! L’introduzione dei quantificatori ci costringe a una generalizzazione della nozione di proposizione.

Nel caso, poniamo, del connettivo di congiunzione , la proposizione AB viene generata dall’applicazione di a due elementi (A,B) che sono già singolarmente delle proposizioni a tutti gli effetti, cioè

: A,B A B

Consideriamo invece“per ogni x, x soddisfa la proprietà P”

che formalmente si esprime come xPx.

Se volessimo trattare i quantificatori nello stesso modo dei connettivi, dovremmo intendere i quantificatori come operatori che vengono applicati ad elementi ‘di base’ come Px, cioè (nel caso di ) qualcosa del tipo

: Px x Px Ma in questo caso, l’espressione x Px non può essere considerata come un’applicazione di a una proposizione, per il semplice motivo che Px non è una proposizione, non è cioè qualcosa di cui possiamo chiederci se è vera o falsa.

Possiamo infatti chiederci:“Socrate è un uomo” è vera o falsa?

Ma non possiamo chiederci: “x è un uomo” è vera o falsa?

Potremo farlo solo quando avremo sostituito x con un termine singolare, cioè fino a quando non specifichiamo di quale soggetto stiamo parlando.Dovremo allora parlare di formule di L2: una volta introdotta questa definizione più generale, sarà possibile isolare le proposizioni di L2 come casi particolari di formule.

Formula di L21. Se P è un predicato a n posti e t1, ... , tn sono

termini singolari o variabili, Pt1 ... tn è una formula di L2.

2. Se A è una formula di L2, allora A è una formula di L2.

3. Se A e B sono formule di L2, allora A B, A B, A B sono formule di L2.

4. Se A è una formula di L2, allora xA e xA sono formule di L2.

5. Nient’altro è una formula di L2.

Ricordiamo: ciascuno dei t1 ... tn che ricorrono nell’espressione Pt1 ... tn può essere o un termine singolare () o una variabile ():

Pt1 ... tn, con t1 = a1, t1 = a2,..., tn-1 = an-1, tn = an

Pt1 ... tn, con t1 = x1, t2 = a2,..., tn-1 = an-1, tn = an

............

............Pt1 ... tn, con t1 = x1, t2 = x2, ..., tn-1 = xn-1, tn = an

Pt1 ... tn, con t1 = x1, t2 = x2, ..., tn-1 = xn-1, tn = xn

Da [Se P è un predicato a n posti e a1, ... , an sono termini singolari, allora Pa1 ... an è una proposizione atomica di L2] – punto 1, def. di prop di L2 – Prima parte

e [Se P è un predicato a n posti e t1, ... , tn sono termini singolari o variabili, Pt1 ... tn è una formula di L2] – punto 1, def. di formula di L2

segue che Sono proposizioni tutte le formule che non contengono variabili.

Il problema è a questo punto il seguente: quale condizione deve soddisfare una formula con variabili per essere una proposizione?

Prendiamo la formula “x è mortale”: essa non soddisfa la caratteristica fondamentale di una proposizione, perché non ha senso chiedersi se “x è mortale” sia vera o falsa.

L’ambiguità può essere allora eliminata in due modi: 1) per sostituzione2) per quantificazioneIn entrambi i casi, quello che si ottiene è la trasformazione di una formula in una proposizione.

(1) SOSTITUZIONE – È possibile sostituire in “x è mortale”

la variabile x con un termine singolare (p. es. “Socrate”) e ottenere così

“Socrate è mortale”Se t è un generico termine singolare, si indica con P[x/t] l’operazione di sostituzione della variabile x con il termine singolare t nella formula Px: nell’esempio sopra, scriveremo dunque M[x/s], dove M è la lettera predicativa per «essere mortale» e s è il termine singolare che indica Socrate.

(2) QUANTIFICAZIONE – È possibile non sostituire x direttamente con un termine singolare, ma ricondurre la variabile sotto l’azione di un quantificatore. Nell’esempio sopra:

“x è mortale” “per ogni x, x è mortale”Mentre cioè non potevamo chiederci se “x è mortale” è vera o falsa, possiamo chiederci se “per ogni x, x è mortale” è vera o falsa.Una variabile che in una formula è sottoposta all’azione di un quantificatore si dice vincolata.

Riassumendo:Nella procedura

“x è mortale” “Socrate è mortale”la variabile x è sostituita.

Nella procedura“x è mortale” “per ogni x, x è mortale”

la variabile x è vincolata, cioè ricondotta sotto l’azione di un quantificatore.

Variabili vincolate o libereUna variabile che compare in una formula B di L2 è detta vincolata se è contenuta in una parte di B della forma xA o xA. Una variabile che compare non vincolata in una formula A di L2 è detta libera in A.

Proposizione di L2 – Seconda parteUna formula A di L2 è una proposizione se nessuna variabile compare libera in A.

Linguaggio L1 Linguaggio L2

Condizioni di verità Condizioni di verità

di proposizioni di L1 di proposizioni di L2

Tavole di verità ?(connettivi verofunzionali)

Le condizioni di verità per proposizioni di L2 dovranno tenere conto della struttura interna delle proposizioni stesse.

Qual’è l’intuizione che sta dietro le condizioni di verità per proposizioni di L2? Consideriamo una semplice proposizione atomica di L2 come Pa, dove P = predicato a 1 posto (proprietà )a = termine singolare ( individuo)

Possiamo immaginare che P rappresenti una specifica proprietà e che a rappresenti uno specifico individuo secondo una particolare interpretazione (o mondo possibile).

LINGUAGGIO MONDOm W(m)A W(A)

WEs.: “Mario” Mario

nome persona

“alto” altezzapredicato proprietà

Dunque un’interpretazione o mondo possibile W non è altro che un certo modo di associare elementi del linguaggio (in questo caso L2) a elementi del mondo che il linguaggio descrive.Allora una proposizione di L2 come Am (formalizzazione di “Mario è alto”) è:

• vera in W quando W(m) – cioè l’oggetto associato da W ad m – soddisfa la proprietà associata da W a A [cioè quando “Mario” è il nome di un individuo alto];

• falsa in W, altrimenti.

Più in generale, un’interpretazione W sensata per L2 dovrà:

• specificare quali sono gli oggetti rappresentati dai termini singolari di L2

• specificare quali sono le proprietà e relazioni rappresentate da ogni predicato di L2.

Interpretazione

Un’interpretazione di un linguaggio logico L è una struttura W = D, f dove:

1. D è un insieme non vuoto, detto dominio;2. f è una funzione che a ogni termine t di L

associa un elemento f(t) del dominio D e che a ogni predicato P di L associa una proprietà o relazione che sussiste per elementi di D.

Interpretazione W = D, f del linguaggio L

Linguaggio L Dominio D

f

m L f(m) DA L f(A) vale per

elementi di D

Interpretazione estensionale dei predicati

Proposizione «l’erba è verde», doveV:= predicato «verde», e:= termine singolare «erba»

«Ve» è vera nell’interpretazione W = D, f quando f(e) appartiene a f(V)

cioè quando l’individuo che la f associa al termine singolare «e» appartiene all’insieme che f associa al predicato V.

Proprietà «essere verde» in W: Dl’insieme degli oggetti verdi di D

Abbiamo visto cosa significa che una proposizione Pa di un linguaggio L è vera in un’interpretazione W: significa che W(a) soddisfa effettivamente la proprietà W(P).E nel caso di una proposizione composta del tipo Pa Qb ? L’estensione è semplice:

Pa Qb è vera in W quando Pa è vera in W e Qb è vera in W,

cioè quando W(a) soddisfa la proprietà W(P) e W(b) soddisfa la proprietà W(Q).

Condizioni di verità per proposizioni di L2

Sia W = D, f un’interpretazione di L2. Supponiamo per semplicità che, ogni volta che occorre una formula del tipo Px, sia possibile effettuare la relativa sostituzione P[x/t]. Possiamo allora definire il valore di verità valW(A) di una generica formula A in un’interpretazione W come segue:

1. valW(Pt) = V (dove t può essere una variabile o un termine singolare) se f(t) soddisfa la proprietà f(P), altrimenti valW(Pt) = F.

2.valW(Pt1 ... tn) = V (dove t1 ... tn possono essere variabili o termini singolari) se f(t1)...f(tn) stanno nella relazione f(P), altrimenti valW(Pt1...tn)=F.

3. valW ( A) = V se valW (A) = F, altrimenti valW ( A) = F.

4. valW (A B) = V se valW (A)=V e valW(B)=V, altrimenti valW (A B) = F.

5. valW(A B) = F se valW(A) = F e valW(B) = F, altrimenti valW(A B) = V.6. valW(A B) = F se valW(A) = V e valW(B)=F, altrimenti valW(A B) = V.7. valW(xAx) = V se valW(A[x/a]) = V per ogni sostituzione di x con un termine singolare a, altrimenti valW(xAx) = F.8. valW(xAx) = V se valW(A[x/a]) = V per almeno una sostituzione di x con un termine singolare a, altrimenti valW (xAx) = F.

Analogia fondamentale

Logica proposizionale Possibili assegnazioni di V,F alle prop. A, B, C,..

MONDI POSSIBILI

Possibili interpretazioni W = D, f

Logica predicativa

Una formula A è conseguenza logica di una formula B

B ⊨ Ase per qualsiasi interpretazione W tale che valW (B) = V vale anche valW (A) = V.

Una formula A di L2 è valida (e lo indicheremo con ⊨ A) se e solo se valW (A) = V per ogni W, cioè se A è vera in ogni interpretazione.

A questo punto possiamo tradurre il nostro argomento in L2 conservandone la validità.

Linguaggio naturale L2Tutti gli uomini sono mortali x(Ux Mx)Socrate è un uomo U[x/s]quindi Socrate è mortale M[x/s]

In entrambi i casi, se sono vere le premesse allora è necessariamente vera anche la conclusione.