L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Les programmes 1 Les programmes 2 Une approche historique 3 L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Le résultat Des applications 4 La loi

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Sandrine Lagaize 1 Nicolas Perpète 2

1LMPA, ULCO

2Lycée Mariette, Boulogne/mer

shortname (shortinst) L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev 1 / 50

Sommaire

1 Les programmes

2 Une approche historique

3 L’inégalité de Bienaymé-TchebychevLe résultatDes applications

4 La loi faible des grands nombres


Les programmes

1 Les programmes





Les programmes

Le programme de première (1)

Modèle probabiliste


Les programmes


Modèle probabiliste Formule des probabilités totales


Les programmes


Modèle probabiliste Formule des probabilités totales Tableaux et arbres pondérés


Les programmes


Modèle probabiliste Formule des probabilités totales Tableaux et arbres pondérés Probabilité conditionnelle, indépendance


Les programmes



Variable aléatoire


Les programmes



Variable aléatoire Loi d’une v.a., espérance, variance


Les programmes



Variable aléatoire Loi d’une v.a., espérance, variance Loi binomiale


Les programmes


Avec Python :


Les programmes


Avec Python : Simuler une v.a. X de loi donnée

k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4


Les programmes



k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4

Moyenne d’un échantillon (X1, . . . ,Xn) de même loi que X

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n


Les programmes



k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4


Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Avec Python ou le tableur :


Les programmes



k 0 50 100P(X = k) 0, 2 0, 4 0, 4


Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Avec Python ou le tableur : Étant donnés N échantillons de taille n, proportion des

échantillons dont la moyenne est comprise entre µ− 2σ/√n et

µ+ 2σ/√n


Les programmes

Le programme de terminale (1)

Idée générale


Les programmes


Idée générale E (X ) = µ, V (X ) = σ2. Somme et moyenne d’un échantillon

(X1, . . . ,Xn) de même loi que X

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Majoration de P(

|Mn − µ| ≥ kσ√n

)

.


Les programmes


Idée générale E (X ) = µ, V (X ) = σ2. Somme et moyenne d’un échantillon

(X1, . . . ,Xn) de même loi que X

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Majoration de P(

|Mn − µ| ≥ kσ√n

)

.

Ancien programme Nouveau programmeXi ∼ B(p) Xi quelconques

Sn ∼ B(n, p) Sn quelconqueApprox. asympt. par N(0, 1) Calculs exacts via inég. B.T.

Loi N(0, 1) + stat. Loi binomiale + stat. + LGN


Les programmes


Dénombrement


Les programmes


Dénombrement Avec les

(

nk

)


Les programmes



(

nk

)

Loi binomiale


Les programmes



(

nk

)

Loi binomiale Schéma de Bernoulli


Les programmes



(

nk

)

Loi binomiale Schéma de Bernoulli Formule

(

nk

)

× pk × (1 − p)n−k


Les programmes



(

nk

)


(

nk

)

× pk × (1 − p)n−k

Calculs à la main ou à l’aide d’algorithmes


Les programmes



(

nk

)


(

nk

)

× pk × (1 − p)n−k

Calculs à la main ou à l’aide d’algorithmesex 1 : X ∼ B(100, 0.5). Calculer P(X ≤ 10)


Les programmes



(

nk

)


(

nk

)

× pk × (1 − p)n−k

Calculs à la main ou à l’aide d’algorithmesex 1 : X ∼ B(100, 0.5). Calculer P(X ≤ 10)ex 2 : X ∼ B(100, 0.5). Résoudre P(X ≤ α) ≥ 0, 95


Les programmes


Somme de variables aléatoires


Les programmes


Somme de variables aléatoires E (aX ) = aE (X ) et E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )


Les programmes


Somme de variables aléatoires E (aX ) = aE (X ) et E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) dans le cas de v.a. indépendantes –

V (aX ) = a2V (X )


Les programmes


Somme de variables aléatoires E (aX ) = aE (X ) et E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) dans le cas de v.a. indépendantes –

V (aX ) = a2V (X ) Explication sous forme d’exercice.

Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher quiportent chacune deux no : un no rouge et un no bleu. On tire uneboule au hasard dans l’urne et on note X le no rouge, Y leno bleu.

1

2

04

3

4

1 5

Calculer E (X ), E (Y ) et E (X + Y ).


Les programmes

Linéarité de l’espérance

Propriété : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur lemême espace de probabilité et admettant une espérance. Soit a unréel. On a

1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).


Les programmes



1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).

Dans le contexte du lycée :


Les programmes



1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).

Dans le contexte du lycée :Propriété : Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes, àsupport fini, définies sur le même espace de probabilité. Soit a unréel. On a

1 E (aX ) = aE (X ).

2 E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ).


Les programmes

Preuve pour des V.A discrètes à support fini

1. Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω muni d’uneprobabilité IP.


Les programmes


1. Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω muni d’uneprobabilité IP.Notons X (Ω) = x1, x2, · · · , xn l’ensemble des valeurs prises par X .


Les programmes



Rappel : l’espérance de X est alors


Les programmes




E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi)


Les programmes




E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

∑

i=1

xi IP(X = xi).


Les programmes




E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

∑

i=1

xi IP(X = xi).

On a

E (aX ) =n

∑

i=1

(axi)IP(aX = axi)


Les programmes




E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

∑

i=1

xi IP(X = xi).

On a

E (aX ) =n

∑

i=1

(axi)IP(aX = axi) = a

n∑

i=1

xi IP(X = xi)


Les programmes




E (X ) =∑

xi∈X (Ω)

xi IP(X = xi) =n

∑

i=1

xi IP(X = xi).

On a

E (aX ) =n

∑

i=1

(axi)IP(aX = axi) = a

n∑

i=1

xi IP(X = xi) = aE (X ).


Les programmes


2. Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur un même universΩ muni d’une probabilité IP.Notons X (Ω) = x1, x2, · · · , xn l’ensemble des valeurs prises par X .et Y (Ω) = y1, y2, · · · , ym l’ensemble des valeurs prises par Y .


Les programmes


2. Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur un même universΩ muni d’une probabilité IP.Notons X (Ω) = x1, x2, · · · , xn l’ensemble des valeurs prises par X .et Y (Ω) = y1, y2, · · · , ym l’ensemble des valeurs prises par Y .

Posons Z = X + Y .Notons Z (Ω) = z1, z2, · · · , zl l’ensemble des valeurs prises par X .


Les programmes


Remarque : loi de Z

Pour tout zk ∈ Z (Ω), on a


Les programmes


Remarque : loi de Z


Z = zk = X = xi et Y = yj


Les programmes


Remarque : loi de Z


Z = zk =⋃

(i ,j) ; xi+yj=zkX = xi et Y = yj


Les programmes


Remarque : loi de Z


Z = zk =⋃

(i ,j) ; xi+yj=zkX = xi et Y = yj

D’où IP(Z = zk) =∑

(i ,j) ; xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj).


Les programmes


E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)


Les programmes


E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

=∑

zk∈Z(Ω)

zk∑

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)


Les programmes


E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

=∑

zk∈Z(Ω)

zk∑

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)

=∑

zk∈Z(Ω)

∑

xi+yj=zk

zk IP(X = xi ,Y = yj)


Les programmes


E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

=∑

zk∈Z(Ω)

zk∑

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)

=∑

zk∈Z(Ω)

∑

xi+yj=zk


=∑

zk∈Z(Ω)

∑

xi+yj=zk

(xi + yj)IP(X = xi ,Y = yj)


Les programmes


E (Z ) =∑

zk∈Z(Ω)

zk IP(Z = zk)

=∑

zk∈Z(Ω)

zk∑

xi+yj=zk

IP(X = xi ,Y = yj)

=∑

zk∈Z(Ω)

∑

xi+yj=zk


=∑

zk∈Z(Ω)

∑

xi+yj=zk


=

n∑

i=1

m∑

j=1



Les programmes


E (Z ) =n

∑

i=1

m∑

j=1



Les programmes


E (Z ) =n

∑

i=1

m∑

j=1


=n

∑

i=1

m∑

j=1

xi IP(X = xi ,Y = yj) +n

∑

i=1

m∑

j=1

yj IP(X = xi ,Y = yj)


Les programmes


E (Z ) =n

∑

i=1

m∑

j=1


=n

∑

i=1

m∑

j=1


∑

i=1

m∑

j=1


=n

∑

i=1

xi

m∑

j=1

IP(X = xi ,Y = yj) +m∑

j=1

yj

n∑

i=1

IP(X = xi ,Y = yj)


Les programmes


E (Z ) =n

∑

i=1

m∑

j=1


=n

∑

i=1

m∑

j=1


∑

i=1

m∑

j=1


=n

∑

i=1

xi

m∑

j=1


j=1

yj

n∑

i=1

IP(X = xi ,Y = yj)

=n

∑

i=1

xi IP(X = xi) +m∑

j=1

yj IP(Y = yj)


Les programmes


E (Z ) =n

∑

i=1

m∑

j=1


=n

∑

i=1

m∑

j=1


∑

i=1

m∑

j=1


=n

∑

i=1

xi

m∑

j=1


j=1

yj

n∑

i=1

IP(X = xi ,Y = yj)

=n

∑

i=1

xi IP(X = xi) +m∑

j=1

yj IP(Y = yj)

= E (X ) + E (Y ).


Les programmes


Exercice.Un QCM comporte 5 questions. Pour chacune d’entre elles, 4réponses sont proposées, dont une seule est exacte. On note S lenombre de bonnes réponses à ce QCM pour un élève qui répondau hasard à toutes les questions.


Les programmes



1 Loi de S .


Les programmes



1 Loi de S .

2 On pose Xi =

1 si l’élève a bon à la question i

0 sinonCalcul de E (S) et V (S).


Les programmes



1 Loi de S .

2 On pose Xi =

1 si l’élève a bon à la question i

0 sinonCalcul de E (S) et V (S).

S = X1 + X2 + X3 + X4 + X5.


Les programmes


Application à la loi binomiale


Les programmes


Application à la loi binomiale X ∼ B(n, p)

X = X1 + · · ·+ Xn, où les Xi sont ind. et suivent une loi deBernoulli


Les programmes




E (X ) = np, V (X ) = np(1 − p)


Les programmes




E (X ) = np, V (X ) = np(1 − p)

Cas général


Les programmes




E (X ) = np, V (X ) = np(1 − p)

Cas général (X1, . . . ,Xn) échantillon de même loi que X

Espérance, variance et écart-type de Sn = X1 + · · ·+ Xn et deMn = Sn

n


Les programmes


Concentration, loi des grands nombres


Les programmes


Concentration, loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev


Les programmes


Concentration, loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Inégalité de concentration


Les programmes


Concentration, loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Inégalité de concentration Loi des grands nombres


Une approche historique

1 Les programmes






Le théorème de Bernoulli




Jakob Bernoulli (1654-1705)




Jakob Bernoulli (1654-1705)

« Voici le problème que je veux maintenant publier ici, l’ayant étudié avec soin

pendant 20 ans, problème dont la nouveauté aussi bien que la grande utilité ainsi

que ses profondes difficultés dépassent en poids et valeur tous les chapitres

précédents de mon oeuvre ».

Ars Conjectandi. 1713



Le problème

Bernoulli considère une urne contenant b boules blanches et r boulesrouges.



Le problème

Bernoulli considère une urne contenant b boules blanches et r boulesrouges.Notons p = b

b+rla proportion de boules blanches.



Le problème



Il effectue plusieurs fois n tirages avec remise dans cette urne.



Le problème



Il effectue plusieurs fois n tirages avec remise dans cette urne.Il constate que le nombre de boules blanches obtenu sn est chaquefois différent



Le problème



Il effectue plusieurs fois n tirages avec remise dans cette urne.Il constate que le nombre de boules blanches obtenu sn est chaquefois différentmais que la proportion sn

nest proche de p lorsque n est grand.



La modélisation

Notons Sn la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanchesobtenu après n tirages.



La modélisation


On sait que Sn ∼ B(n, p).



La modélisation



Pour tout k ∈ 0, · · · , n, on a

IP(Sn = k) =

(

n

k

)

pk(1 − p)n−k .



La modélisation



Pour tout k ∈ 0, · · · , n, on a

IP(Sn = k) =

(

n

k

)

pk(1 − p)n−k .

Bernoulli avait constaté que plus k est proche de np plus cettequantité est grande.



Illustration

Représentation graphique de la densité de la loi B(400 ; 0, 5)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250



Le résultat de Bernoulli

Bernoulli a remarqué aussi que pour δ > 0 fixé, IP(|Snn− p| ≥ δ) est

d’autant plus petite que n est grand.






Autrement dit, avec les notations actuelles :






Autrement dit, avec les notations actuelles :∀δ > 0,

limn→+∞

IP(∣

∣

∣

Sn

n− p

∣

∣

∣≥ δ

)

= 0.


L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1 Les programmes





L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Le résultat

Inégalité de Markov

Cette inégalité attribuée à Markov (1856-1922) a été prouvée en1869.




Cette inégalité attribuée à Markov (1856-1922) a été prouvée en1869.Propriété :

Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance µ.Pour tout δ > 0, on a

IP(X ≥ δ) ≤ µ

δ.




Cette inégalité attribuée à Markov (1856-1922) a été prouvée en1869.Propriété :

Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance µ.Pour tout δ > 0, on a

IP(X ≥ δ) ≤ µ

δ.




0

0.01

0.02

0.03

0.04

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250δ

IP(X ≥ δ)



Preuve en image

Soit G la fonction définie sur R par G (x) = IP(X ≥ x).



Preuve en image

Représentation graphique de la fonction G



Preuve en image

Représentation graphique de la fonction G

xi

IP(X = xi )



Preuve en image

xi

IP(X = xi )xi IP(X = xi )



Preuve en image

Représentation graphique de E (X )

E (X )



Preuve en image

Comparaison entre E (X ) et δIP(X ≥ δ)

E (X )

E (X )

δ

δIP(X ≥ δ)



Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878) a obtenu le résultat en 1853.




Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878) a obtenu le résultat en 1853.

Pafnouti Tchebychev (1821-1894) l’a obtenu en 1867.




Propriété : Soit X une variable aléatoire admettant une espéranceµ et une variance V . Pour tout δ > 0, on a

IP(|X − µ| ≥ δ) ≤ V

δ2.




Propriété : Soit X une variable aléatoire admettant une espéranceµ et une variance V . Pour tout δ > 0, on a

IP(|X − µ| ≥ δ) ≤ V

δ2.

Démonstration : On applique l’inégalité de Markov à la variablealéatoire (X − µ)2.



Remarques

Remarque 1 : Cette inégalité n’a d’intérêt que pour δ > σ =√V .



Remarques


Remarque 2 : Cette inégalité est dite inégalité de concentration.



Remarques


Remarque 2 : Cette inégalité est dite inégalité de concentration.Elle donne un intervalle de fluctuation pour X ,

]µ− δ, µ+ δ[

de niveau 1 − V

δ2.



Première application

Soit X une variable aléatoire admettant une variance. On note µ sonespérance et σ2 sa variance.





On souhaite estimer IP(X ∈]µ − 2σ, µ+ 2σ[) etIP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[).




0

0.01

0.02

0.03

0.04

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

µ− 2σ µ+ 2σ




0

0.01

0.02

0.03

0.04

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

µ− 3σ µ+ 3σ





Par l’inégalité de BT, on obtient :






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[)






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ)






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

4σ2






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

4σ2=

3

4






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

4σ2=

3

4

et

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[)






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

4σ2=

3

4

et

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[) = IP(|X − µ| < 3σ)






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

4σ2=

3

4

et

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[) = IP(|X − µ| < 3σ) ≥ 1 − σ2

9σ2






IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) = IP(|X − µ| < 2σ) ≥ 1 − σ2

4σ2=

3

4

et

IP(X ∈]µ− 3σ, µ+ 3σ[) = IP(|X − µ| < 3σ) ≥ 1 − σ2

9σ2=

8

9.



Limite de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev




Il s’agit d’une majoration grossière.





Exemple : soit X ∼ B(400 ; 0, 5).





Exemple : soit X ∼ B(400 ; 0, 5).

Par l’inégalité de BT, on IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) ≥ 0, 75





Exemple : soit X ∼ B(400 ; 0, 5).


alors que le calcul nous donne





Exemple : soit X ∼ B(400 ; 0, 5).


alors que le calcul nous donne

IP(X ∈]µ− 2σ, µ+ 2σ[) ≈ 0, 95.


L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Des applications

Application : Inégalité de concentration pour la

moyenne empirique

On considère une suite (Xn) de variables aléatoires définies sur unmême espace de probabilité, deux à deux indépendantes, de mêmeloi, admettant une espérance µ et une variance V .




moyenne empirique


Pour tout n ∈ N, notons Sn = X1 + · · ·+ Xn etMn =

1n(X1 + · · ·+ Xn).




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn)




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ puis E (Mn)




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ puis E (Mn) =1nE (Sn)




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Sn) = nµ puis E (Mn) =1nE (Sn) = µ.




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).


Et V (Sn)




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).


Et V (Sn) = nV




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).


Et V (Sn) = nV puis V (Mn)




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).


Et V (Sn) = nV puis V (Mn) =1n2V (Sn)




moyenne empirique



1n(X1 + · · ·+ Xn).


Et V (Sn) = nV puis V (Mn) =1n2V (Sn) =

Vn.




moyenne empirique


Pour tout n ∈ N, notons Mn =1n(X1 + · · ·+ Xn).

On a E (Mn) = µ et V (Mn) =Vn.




moyenne empirique




Par l’inégalité de BT, on obtient,




moyenne empirique




Par l’inégalité de BT, on obtient, pour tout δ > 0,

IP(|Mn − µ| ≥ δ) ≤ V

nδ2.



Cas particulier : Variables aléatoires de loi de

Bernoulli

On considère une suite (Xn) de variables aléatoires deux à deuxindépendantes et de loi de Bernoulli B(p) avec p ∈]0, 1[.




Bernoulli


On a E (Mn) = p et V (Mn) =p(1−p)

n.




Bernoulli


On a E (Mn) = p et V (Mn) =p(1−p)

n.

Par l’inégalité de BT, on obtient, pour tout δ > 0,

IP(|Mn − p| ≥ δ) ≤ p(1 − p)

nδ2≤ 1

4nδ2.



Exercice en terminale (1)

On lance 3600 fois un dé équilibré à six faces. On souhaite minorer laprobabilité que le nombre d’apparitions du chiffre 1 soit compris entre480 et 720.

Soit S la variable aléatoire comptant le nombre d’apparitions duchiffre 1 au cours de ces lancers.






1 Loi de S .






1 Loi de S .

2 Calcul de E (S) et V (S).






1 Loi de S .


3 480 < S < 720 ⇐⇒ |S − 600| < 120.






1 Loi de S .


3 480 < S < 720 ⇐⇒ |S − 600| < 120.

4 Inégalité de B.T. → P (480 < S < 720) ≥ 0, 96.




On effectue une suite de lancers d’un dé à quatre faces. Quel nombrede lancers suffit-il pour pouvoir affirmer avec un risque d’erreurinférieur à 5 % que la fréquence d’apparition du 4 est strictementcomprise entre 0, 24 et 0, 26 ?On pose

Xi =

1 si le dé tombe sur 4 au lancer numéro i ,

0 sinon.

On note Mn la fréquence d’apparition du 4 au cours des n premierslancers.





Xi =


0 sinon.


1 Espérance et variance de chacune des Xi .





Xi =


0 sinon.


1 Espérance et variance de chacune des Xi .2 Expression de Mn en fonction des Xi .





Xi =


0 sinon.


1 Espérance et variance de chacune des Xi .2 Expression de Mn en fonction des Xi .3 On cherche n tel que P (|Mn − 0, 25| < 0, 01) ≥ 0, 95.





Xi =


0 sinon.


1 Espérance et variance de chacune des Xi .2 Expression de Mn en fonction des Xi .3 On cherche n tel que P (|Mn − 0, 25| < 0, 01) ≥ 0, 95.4 Inégalité de concentration → Valeur de n.



Intervalle de confiance : le problème

On lance 1000 fois une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elleest équilibrée.




On lance 1000 fois une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elleest équilibrée.On note p la probabilité de tomber sur pile.




On lance 1000 fois une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elleest équilibrée.On note p la probabilité de tomber sur pile.On obtient 540 fois pile.




On lance 1000 fois une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elleest équilibrée.On note p la probabilité de tomber sur pile.On obtient 540 fois pile.

Donner un intervalle de confiance pour p au niveau 0,95.



Intervalle de confiance : la modélisation

Pour tout entier i strictement positif, notons la variable aléatoire Xi

prenant la valeur 1 si on obtient pile au i -ième lancer et prenant lavaleur 0 sinon.





prenant la valeur 1 si on obtient pile au i -ième lancer et prenant lavaleur 0 sinon.Alors pour tout i , Xi ∼ B(p).






Notons Mn =1n

n∑

i=1

Xi la proportion de pile obtenue après n lancers.






Notons Mn =1n

n∑

i=1

Xi la proportion de pile obtenue après n lancers.

Le problème consiste à trouver δ tel que

IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 0, 95.



Intervalle de confiance : la résolution

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a





IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.





IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.

Il suffit donc de choisir δ tel que

1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.





IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.


1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.

C’est-à-dire

δ ≥ 1√4000 × 0, 05





IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.


1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.

C’est-à-dire

δ ≥ 1√4000 × 0, 05

=1

10√

2





IP(|M1000 − p| < δ) ≥ 1 − p(1 − p)

1000δ2≥ 1 − 1

4000δ2.


1 − 1

4000δ2≥ 0, 95.

C’est-à-dire

δ ≥ 1√4000 × 0, 05

=1

10√

2≈ 0, 07.



Intervalle de confiance : la conclusion

L’intervalle [0, 54 − 0, 08; 0, 54+ 0, 08] est un intervalle de confiancepour p au niveau 0,95.



Méthode de Monte-Carlo

Mn =Snn= prop. de points dans le quart de disque

bb

b

b

b

b

b

bb

b





bb

b

b

b

b

b

bb

b

π ≈ 4 ×Mn





bb

b

b

b

b

b

bb

b

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

)





bb

b

b

b

b

b

bb

b

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

)

P(∣

∣Mn − π4

∣

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2





bb

b

b

b

b

b

bb

b

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

)

P(∣

∣Mn − π4

∣

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2

Il faut 100 × plus de temps pour avoir la 2e décimale que pouravoir la 1re





bb

b

b

b

b

b

bb

b

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

)

P(∣

∣Mn − π4

∣

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2


Problème annexe : temps pour remplir l’écran ?





bb

b

b

b

b

b

bb

b

π ≈ 4 ×Mn

Sn ∼ B(

n, π4

)

P(∣

∣Mn − π4

∣

∣ < δ)

≥ 1 − 14nδ2


Problème annexe : temps pour remplir l’écran ? Loi géométrique et série harmonique


La loi faible des grands nombres

1 Les programmes






Convergence en probabilité

Définition : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires et soit X unevariable aléatoire toutes définies sur un même espace de probabilité.On dit que Xn converge en probabilité vers X si

∀ǫ > 0, limn→+∞

IP(|Xn − X | ≥ ǫ) = 0.



Convergence en probabilité

Définition : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires et soit X unevariable aléatoire toutes définies sur un même espace de probabilité.On dit que Xn converge en probabilité vers X si

∀ǫ > 0, limn→+∞

IP(|Xn − X | ≥ ǫ) = 0.

On note XnIP−→

n→+∞X .



Loi faible des grands nombres

Théorème : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires définies surun même espace de probabilité, deux à deux indépendantes, de mêmeloi admettant une espérance µ et une variance. Alors on a

1

n

n∑

i=1

XiIP−→

n→+∞µ.



Loi faible des grands nombres

Théorème : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires définies surun même espace de probabilité, deux à deux indépendantes, de mêmeloi admettant une espérance µ et une variance. Alors on a

1

n

n∑

i=1

XiIP−→

n→+∞µ.

Remarque : L’inégalité de Bienaymé Tchebychev précise la vitessede convergence.



Application dans le cas du schéma de Bernoulli

Soit (Xn) une suite de variables aléatoires définies sur un mêmeespace de probabilité, deux à deux indépendantes, dont la loi est laloi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. Alors on a

1

n

n∑

i=1

XiIP−→

n→+∞p.



Illustration



Illustration


Résumé

Résumé

Dénombrement.


Résumé

Résumé

Dénombrement.

Espérance et variance d’une somme/d’une comb. lin.


Résumé

Résumé

Dénombrement.


Somme et moyenne d’un échantillon.

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n


Résumé

Résumé

Dénombrement.



Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Loi binomiale


Résumé

Résumé

Dénombrement.



Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Loi binomiale

Loi normale


Résumé

Résumé

Dénombrement.



Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Loi binomiale

Loi normale

Inégalité de B.T. et applications


Résumé

Résumé

Dénombrement.



Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

Mn =X1 + X2 + · · ·+ Xn

n

Loi binomiale

Loi normale

Inégalité de B.T. et applications Inégalité de concentration, loi binomiale, stat., LGN


Documents

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Les programmes 1 Les programmes 2 Une approche historique 3 L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Le résultat Des applications 4 La loi