Linee di trasmissione: teoria, esercizi e dintornisrtm.det.unifi.it/lab/Appunti/CAP0-TEX.pdf · 2 LINEE DI TRASMISSIONE: TEORIA, ESERCIZI E DINTORNI – A.FRENI La presente dispensa

Linee di trasmissione: teoria, esercizie dintorni

Appunti delle lezioni di Campi Elettromagnetici

A.A. 2001/2002

A. Freni

Facolta’ di Ingegneria, Universita’ degli Studi di Firenze, 27 gennaio 2003

2 LINEE DI TRASMISSIONE: TEORIA, ESERCIZI E DINTORNI – A.FRENI

La presente dispensa rispecchia parte delle lezioni con cui ho annoiato i nu-merosi studenti che hanno seguito il corso di Campi Elettromagnetici da metenuto nell’A.A. 2001/2002 presso la Facolta’ di Ingegneria dell’Universita’degli Studi di Firenze. Essa e’ stata scritta con la sola intenzione di fornireallo studente un aiuto per la preparazione dell’esame e quindi non ha la pre-tesa di essere un testo completo e rigoroso. Si suggerisce percio’ al lettore diapprofondire gli argomenti sui testi qui di seguito elencati che costituisconoanche la bibliografia della dispensa:

R. E. Collin, Foundation for microwave engineering, McGraw-Hill, London,1966.

R. E. Collin, Field Theory of Guided Waves, IEEE Press, New York, 1991.

J. D. Kraus, Electromagnetics, McGraw-Hill, London, 1984.

G. Franceschetti, Campi elettromagnetici, Boringhieri,Torino,1988.

G. Franceschetti, Lezioni di campi elettromagnetici e circuiti, L. & D. Piron-ti, Napoli, 1976.

D. M. Pozar, Microwave Engineering, Addison-Wesley Publishing Company,New York, 1990.

N. N. Rao, Elements of engineering electromagnetics, Prentice-Hall, Inc., Up-per Saddle River, New Jersey, 2000.

Si esprime inoltre un particolare ringraziamento alla Sig.ina MayazzurraRuggiano per l’attenta e competente opera di revisione eseguita a tempo direcord.

Tutti i diritti sono riservati. Nessuna parte del presente libro puo’ essereriprodotta sotto ogni forma e con qualsiasi mezzo senza permesso scrittodell’autore. ISBN 0-13-013201-2

Indice

1 Linee di Trasmissione 51.1 Propagazione in una linea di trasmissione . . . . . . . . . . . . 61.2 Analisi di una linea di trasmissione chiusa su un generico carico 161.3 Potenza in una linea di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Comportamento di una linea per particolari valori del carico . 21

1.4.1 Linea chiusa sulla propria impedenza caratteristica . . 211.4.2 Linea chiusa in corto circuito . . . . . . . . . . . . . . 241.4.3 Linea aperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.4 Linea chiusa su un carico reattivo . . . . . . . . . . . . 331.4.5 Linea chiusa su un generico carico Zu . . . . . . . . . . 33

1.5 Rapporto d’onda stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Linee con perdite 432.1 Valutazione della conduttanza e della resistenza per unita’ di

lunghezza di una linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Linee con piccole perdite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3 Linea con piccole perdite chiusa su un generico carico . . . . . 50

3 La carta di Smith 553.1 Costruzione della carta di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Carta di Smith letta in termini di ammettenza . . . . . . . . . 65

4 Il problema dell’adattamento 734.1 Adattamento tramite trasformatore in quarto

d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Considerazioni sull’uso di un trasformatore

in quarto d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 Analisi di un trasformatore in quarto d’onda tramite riflessioni

multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4 Adattamento tramite stub parallelo . . . . . . . . . . . . . . . 854.5 Adattamento tramite doppio stub . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3

4 INDICE – A.FRENI

5 Applicazioni della teoria delle linee di trasmissione 995.1 Analogia onda piana/linea di trasmissione . . . . . . . . . . . 995.2 Analogia onda piana/linea di trasmissione: incidenza ortogonale1005.3 Analogia onda piana/linea di trasmissione: incidenza obliqua . 104

5.3.1 Polarizzazione perpendicolare (caso TEz) . . . . . . . . 1055.3.2 Polarizzazione parallela (caso TMz) . . . . . . . . . . . 110

5.4 Il problema di N linee in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.5 Teoria delle piccole riflessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Capitolo 1

Linee di Trasmissione

Si consideri una struttura costituita da due o piu’ superfici cilindriche indefi-nite realizzate mediante un buon conduttore e si supponga che tali conduttorisiano immersi in un mezzo omogeneo ed isotropo.

Sia Σ(x, y, z) un sistema di coordinate cartesiano con asse z parallelo allegeneratrici delle superfici cilindriche (Fig. 1.1). In tale tipo di struttura, chegeneralmente prende il nome di linea di trasmissione, si puo’ avere, in funzio-ne della frequenza di lavoro, la propagazione di un campo elettromagneticosecondo piu’ configurazioni o modi. Tra questi, il modo trasverso elettro-magnetico (TEM), per cui le componenti di campo longitudinale risultanoassenti (Ez = Hz = 0), risulta certamente il principale. Infatti per taleconfigurazione si ha la propagazione di tutte le componenti di frequenza delsegnale ed e’ possibile determinare univocamente tensione e corrente lungo idue o piu’ conduttori.

In seguito, se non espressamente specificato, considereremo sempre chenella linea si propaghi il solo modo TEM.

Figura 1.1: Esempi di linea di trasmissione.

5

6 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

Zg

Vg Zu

z 0dz

Figura 1.2: Schematizzazione di una linea di trasmissione chiusa su un caricoZu e alimentata da un generatore avente impedenza interna Zg.

Le equazioni cui obbediscono tensione e corrente lungo la linea possonoessere ricavate in modo rigoroso risolvendo le equazioni di Maxwell soggettea specifiche condizioni al contorno per la particolare struttura in esame. Tut-tavia esse possono essere anche ricavate mediante un semplice approccio ditipo circuitale: approccio che cronologicamente ha costituito il primo metodoper lo studio delle linee di trasmissione.

1.1 Propagazione in una linea di trasmissione

Si consideri la generica linea descritta in Fig. 1.2 chiusa su un carico diimpedenza Zu ed alimentata da un generatore di tensione Vg di impedenzainterna Zg. Si prenda ora in esame un tratto di linea dz molto corto, in modotale da poter applicare le normali tecniche dei circuiti a costanti concentrate.In tal caso il tratto di linea dz puo’ essere schematizzato come rappresentatoin Fig. 1.3, dove le quantita’ C, L, R, G sono chiamate costanti primariedella linea e sono rispettivamente:

• C−capacita’ per unita’ di lunghezza [F/m] (tiene conto dei fenomenicapacitivi tra i due conduttori);

• L−coefficiente di autoinduzione [H/m] (tiene conto dei fenomeni diautoinduzione dei conduttori);

• R−resistenza per unita’ di lunghezza [Ω/m] (tiene conto delle perditeohmiche nei conduttori);

1.1. PROPAGAZIONE IN UNA LINEA DI TRASMISSIONE 7

V(z+dz) G dz

I(z+dz)

C dz V(z)

I(z)

z+dz z

R dz L dz

Figura 1.3: Circuito equivalente di un tratto dz infinitesimo di linea.

• G−conduttanza per unita’ di lunghezza [Ω−1/m] (tiene conto delle per-dite dovute all’isteresi ed alla conducibilita’ residua nel mezzo in cui so-no immersi i conduttori cosi’ come delle eventuali perdite per radiazionedella linea).

Se le costanti primarie risultano costanti lungo la linea, questa e’ det-ta uniforme. Nello specifico caso, verranno in seguito analizzate solo lineeuniformi.

Analizzando il circuito equivalente di un tratto infinitesimo di linea neldominio della frequenza, si puo’ scrivere:

V (z) = V (z + dz)− I(z + dz) (R + jωL) dz , (1.1)

I(z) = I(z + dz)− V (z) (G+ jωC) dz , (1.2)

da cui, per dz → 0,

V (z + dz)− V (z)

dz=dV (z)

dz= (R + jωL) I(z + dz), (1.3)

I(z + dz)− I(z)

dz=dI(z)

dz= (G+ jωC)V (z) . (1.4)

Definendo Leq = L− jR/ω, Ceq = C − jG/ω si ottiene

dV (z)

dz= jωLeqI(z + dz) , (1.5)

dI(z)

dz= jωCeqV (z) . (1.6)


d

2a2a

2b

2ah

w

L = µ0

π arccosh(d/2a)L = µ0

2πln(b/a) L ' µ0h

w, w À h

C = πε1 arccosh(d/2a) C = 2πε1ln(b/a)

C ' ε1wh, w À h

R = 1a

√µ0fπσ

R = a+b2ab

√µ0fπσ

R = 2w

√µ0fπσ

G ' 2πfC tan γ G ' 2πfC tan γ G ' 2πfC tan γ

dove: ε = ε1 − jε2, tan γ = ε2+σ/ωε1

Tabella 1.1: Costanti primarie per alcune linee di trasmissione di uso comune.

Potendo esprimere

I(z + dz) = I(z) +dI(z)

dzdz , (1.7)

la prima equazione puo’ essere riscritta nella forma

dV (z)

dz= jωLeqI(z) + jωLeq

dI(z)

dzdz . (1.8)

Avendo supposto la linea uniforme, non potranno essere presenti su di essabrusche variazioni della corrente, per cui la derivata della corrente assumera’valori finiti ed il secondo termine a secondo membro risultera’ trascurabi-le rispetto al primo. Pertanto le equazioni differenziali che descriverannol’andamento di tensione e corrente lungo la linea risulteranno le seguenti:

dV (z)

dz= jωLeqI(z) , (1.9)

dI(z)

dz= jωCeqV (z) . (1.10)

Derivando quindi la prima equazione differenziale rispetto alla variabile z efacendo uso della seconda, si perviene ad una equazione differenziale in cui


compare la sola tensione

d2V (z)

dz2+ ω2LeqCeqV (z) = 0 . (1.11)

Analogamente, derivando la seconda equazione differenziale rispetto alla va-riabile z, tramite la prima, si perviene ad una equazione differenziale in cuicompare la sola corrente

d2I(z)

dz2+ ω2LeqCeqI(z) = 0 . (1.12)

E’ conveniente definire costante di propagazione k la quantita’ k2 = ω2LeqCeq,per cui le due equazioni differenziali appena scritte assumono la forma

d2V (z)

dz2+ k2V (z) = 0 , (1.13)

d2I(z)

dz2+ k2I(z) = 0 . (1.14)

Tali equazioni differenziali risultano del secondo ordine, lineari, omogenee,a coefficienti costanti, inoltre sono formalmente uguali ed hanno soluzionigenerali:

V (z) = V+ exp(jkz) + V− exp(−jkz) , (1.15)

I(z) = I+ exp(jkz) + I− exp(−jkz) , (1.16)

dove le costanti complesse V+, V−, I+, I− dovranno essere determinate inbase alle condizioni al contorno (una volta cioe’ specificato il carico ed ilgeneratore).

Si noti come la costante di propagazione sia in generale una quantita’complessa

k = ω√LeqCeq = β − jα ∈ C , (1.17)

dove β > 0 e’ detta costante di fase mentre α ≥ 0 costante di attenuazione.Nel caso in cui non siano presenti perdite, cioe’ R = G = 0, la costante

di propagazione risulta puramente reale e pari alla costante di fase

k = ω√LC = β ∈ R+ . (1.18)

A questo punto e’ utile esaminare le soluzioni generali della propagazionelungo la linea ed in particolare quella dell’andamento della tensione:

V (z) = V+ exp(jkz) + V− exp(−jkz) . (1.19)


Sara’ nostro compito dimostrare che il termine V+ exp(jkz) rappresenta unaonda di tensione che si propaga dal generatore verso il carico (onda diret-ta) mentre il termine V− exp(−jkz) rappresenta un’onda che si propaga dalcarico verso il generatore (onda riflessa).

Per verificare cio’ e’ comunque necessario esaminare l’andamento dellatensione nel dominio del tempo: si consideri quindi la sola onda diretta e sioperi la trasformata inversa di Fourier

v+(z, t) = F−1 [V+(ω) exp[jk(ω)z]] =

=1

2π

∫ +∞

−∞V+(ω) exp[jk(ω)z] exp(jωt)dω . (1.20)

Poiche’ la tensione sulla linea v+(z, t) e’ una quantita’ reale, per ogni ascissaz, dovra’ essere verificata la condizione:

V+(−ω) exp[jk(−ω)z] =(V+(ω) exp[jk(ω)z]

)∗, (1.21)

dove l’operatore ∗ indica il complesso coniugato. Essendo il segnale in in-gresso alla linea reale, lo spettro dell’ampiezza dell’onda diretta godra’ dellaseguente proprieta’

V+(−ω) = V ∗+(ω) , (1.22)

per cui la precedente condizione equivale a richiedere

k(ω) = −k∗(ω) , (1.23)

od equivalentemente, in termini di costante di fase e di attenuazione,

β(−ω) = −β(ω) , α(−ω) = α(ω) . (1.24)

Si supponga che il mezzo sia non dispersivo, cioe’ che χ = β/ω risultiuna costante rispetto alla pulsazione ω, ed inoltre che anche la costante diattenuazione α risulti costante rispetto alla pulsazione ω.

In tali ipotesi,

v+(z, t) = exp(αz)1

2π

∫ +∞

−∞V+(ω) exp(jωχz) exp(jωt)dω , (1.25)

da cui, ricordando la proprieta’ di traslazione temporale della trasformata diFourier, per cui

F−1 [G(ω) exp(jωτ)] = g(t+ τ) (1.26)


z 0

v (t,z)+

~

v (t ,z)+

~0

v Jtf

v (t +Jt,z)+~

0

Figura 1.4: Andamento lungo la linea dell’onda di tensione per due istantisuccessivi (α = 0).

dove g(t) = F−1 [G(ω)], si avra’:

v+(z, t) = F−1 [V+(ω) exp(jωχz)] exp(αz) = v+(t+ χz) exp(αz) , (1.27)

dove v+(t) = F−1 [V+(ω)].Si noti che esitono valori temporali e spaziali in cui la funzione v+(x)

assume sempre lo stesso valore. Infatti, incrementando opportunamente ivalori della coordinata z e del tempo t, rispettivamente di ∆z e ∆t, si potra’avere

v+(t+ χz) = v+(t+ ∆t+ χ[z + ∆z]) . (1.28)

Cio’ si verifichera’ qualora gli argomenti della funzione v+(·) risultano uguali,cioe’ quando

t+ χz = t+ ∆t+ χz + χ∆z , (1.29)

e quindi

∆z

∆t= − 1

χ= −ω

β= −vf . (1.30)

La quantita’ vf = ωβ

ha dimensioni di una velocita’ ed e’ definita velocita’ di

fase. Nel caso in cui non sia presente alcuna perdita (α = 0) tale velocita’di fase risulta quella con cui l’onda diretta di tensione trasla dal generatoreverso il carico (verso negativo della coordinata z) come mostrato in Fig. 1.4.


0 " =0|V(=)|

=0

" =0

= =

Figura 1.5: Diagramma di Brilluin.

Analogamente per l’onda riflessa

v−(z, t) = F−1 [V−(ω) exp(jωz/vf )] exp(αz) = v−(t− z/vf ) exp(−αz) ,(1.31)

per cui l’onda riflessa traslera’ sempre con velocita’ vf ma dal carico verso ilgeneratore (verso positivo della coordinata z).

Nel caso in cui siano invece presenti delle perdite (α 6= 0) l’onda direttae/o riflessa trasleranno ancora con velocita’ vf ma nel loro propagarsi siattenueranno esponenzialmente essendo ora presente il termine exp(±αz).

Consideriamo il caso in cui il mezzo sia privo di perdite (α = 0) madispersivo: in tal caso la costante di fase β(ω) risultera’ una funzione nonlineare della pulsazione ω (Fig. 1.5). Nella maggior parte delle applicazioniil suo andamento in funzione della pulsazione ω e’ tuttavia generalmentelinearizzabile nella banda di frequenza in cui l’ampiezza del segnale e’ ancoraapprezzabile.

Sia V (ω) = Vs(ω) +Vd(ω) lo spettro del segnale reale v(t) in ingresso allalinea, dove

Vs(ω) = V (ω)U(−ω) , Vd(ω) = V (ω)U(ω) , (1.32)

con U(ω) funzione gradino unitario di Heaviside (U(ω) = 0 per ω < 0,U(ω) =1 per ω ≥ 0), e gli spettri destro Vd(ω) e sinistro Vs(ω) siano centratirispettivamente su ω0 e −ω0 (Fig. 1.6).

Si consideri il caso in cui sia presente la sola onda diretta, cioe’ V+(ω) =V (ω), e se ne operi la trasformata inversa di Fourier. Poiche’ il segnale


ω0 ω0−ω0

V (ω)s

V (ω)d

V(ω)

Figura 1.6: Spettro del segnale all’ingresso della linea.

applicato alla linea e’ una funzione reale esso sara’ rappresentabile come

v+(z, t) = F−1 [V+(ω) exp(jβz)] = F−1 [V (ω) exp(jβz)] =

= 2Re

1

2π

∫ +∞

0

[V (ω) exp(jβz)] exp(jωt)dω

. (1.33)

A questo punto si sviluppi in serie di potenze la costante di fase β(ω) nell’in-torno della frequenza centrale ω0

β(ω) = β(ω0) + β′(ω0)(ω − ω0) +1

2β′′(ω0)(ω − ω0)2 +O(ω − ω0)2 , (1.34)

dove

β′(ω0) =dβ(ω)

dω

∣∣∣∣ω=ω0

, β′′(ω0) =d2β(ω)

dω2

∣∣∣∣ω=ω0

. (1.35)

Nell’ipotesi precedentemente introdotta, in cui l’andamento della costantedi fase β(ω) risulta pressoche’ lineare nella banda di frequenza nella quale|Vd(ω)| > 0, e’ possibile trascurare, nello sviluppo, i termini superiori alprimo ordine. In tal caso si avra’:

v+(z, t) '

2Re

1

2π

∫ +∞

0

Vd(ω) exp[jβ(ω0)z] exp[jβ′(ω0)z(ω − ω0)] exp[jωt]dω

,

(1.36)

e, moltiplicando e dividendo l’integrando per la quantita’ exp(jω0t), risultera’

v+(z, t) = 2Re

exp[j(β(ω0)z + ω0t

)]·

· 1

2π

∫ +∞

0

Vd(ω) exp[j(ω − ω0

)(β′(ω0)z + t

)]dω

. (1.37)


Lo spettro complesso Vd(ω) e’ non nullo solo nell’intervallo (ω0−∆ω, ω0+∆ω),per cui, operando il cambiamento di variabile x = ω − ω0:

v+(z, t) = 2Re


)]·

· 1

2π

∫ +∆ω

−∆ω

Vd(x+ ω0) exp[jx(β′(ω0)z + t

)]dx

=

(1.38)

= 2Re


)]·

· 1

2π

∫ +∞

−∞Vd(x+ ω0) exp

[j x(β′(ω0)z + t

) ]dx

=

(1.39)

= 2Re


)]F−1 [Vd(ω + ω0) exp [jωβ′(ω0)z] ]

.

(1.40)

L’integrale che appare nella precedente espressione risulta quindi l’antitra-sformata della parte destra dello spettro del segnale traslato in banda base,valutata in β′(ω0)z + t.

Si consideri adesso, per semplicita’, il caso in cui il segnale applicatoalla linea sia l’esito di una modulazione di ampiezza (o comunque di unamodulazione che porta ad un segnale simmetrico rispetto a ω0). Per tale tipodi segnale l’antitrasformata che appare nella precedente espressione risultera’reale

F−1 [Vd(ω + ω0) exp [jωβ′(ω0)z]] =1

2v+

(β′(ω0)z + t

)∈ R , (1.41)

per cui

v+(z, t) = cos(β(ω0)z + ω0t

)v+

(β′(ω0)z + t

). (1.42)

Si noti ora come l’onda di tensione sia data dal prodotto di un’onda sinusoi-dale avente pulsazione ω0 che trasla, nel verso delle z negative, con velocita’pari alla velocita’ di fase vf = ω0/β0 calcolata nel centro banda e un’ondache si propaga ancora lungo il verso delle z negative ma con una velocita’,che definiremo velocita’ di gruppo vg, pari a

vg = [β′(ω0)]−1

=

[dβ(ω)

dω

∣∣∣∣ω=ω0

]−1

=dω(β)

dβ

∣∣∣∣β=β0

. (1.43)

Tale velocita’ di gruppo esprime quindi la velocita’ con cui si propagal’inviluppo del segnale. Nel caso di dispersione normale (dvf/dω < 0) tale


velocita’ di gruppo rappresenta anche la velocita’ di trasferimento dell’ener-gia, per cui risultera’ sempre minore od uguale alla velocita’ della luce nelvuoto 1 .

Si noti come la velocita’ di fase vf calcolata nel centro banda possa risul-tare, per mezzi dispersivi con dispersione normale, maggiore della velocita’della luce. Questo non e’ in contrasto con i principi della teoria della relati-vita’, dato che la velocita’ di fase vf non e’ la velocita’ con cui si spostanomasse ed energie, ma e’ una entita’ puramente geometrica.

Solo nel caso in cui un mezzo sia non dispersivo la velocita’ di trasferi-mento dell’energia coincide con la velocita’ di gruppo e con quella di fase equindi quest’ultima dovra’ risultare minore o uguale alla velocita’ della lucenel vuoto.

Nel caso in cui non si possano trascurare i termini di ordine superiorenello sviluppo della costante di fase β(ω) (cio’ accade per tempi di propaga-zione troppo lunghi o per andamenti della costante di fase non linearizzabilirapportati alla banda del segnale utilizzato), l’inviluppo del segnale ad altafrequenza si deformera’ ed in particolare tendera’ ad allargarsi ed a ridursiin ampiezza (disperdersi).

Per esprimere le ampiezze dell’onda di corrente I+ e I− in funzione delleampiezze dell’onda di tensione V+ e V−, derivando rispetto alla variabile zl’espressione della tensione lungo la linea

dV (z)

dz= jkV+ exp(jkz)− jkV− exp(−jkz) (1.44)

e facendo uso dell’equazione (1.9) si ottiene

I(z) =k

ωLeq[V+ exp(jkz)− V− exp(−jkz)] . (1.45)

Definendo impedenza caratteristica della linea la quantita’

Z0 =ωLeqk

=ωLeq

ω√CeqLeq

=

√LeqCeq∈ C , (1.46)

e’ possibile rappresentare la corrente lungo la linea nel seguente modo:

I(z) =V+

Z0

exp(jkz)− V−Z0

exp(−jkz) , (1.47)

1Nel caso di dispersione anomala (dvf/dω > 0), ad esempio per la dispersione introdottadalla conduttivita’ del mezzo, generalmente tale asserzione non e’ valida.


da cui, confrontando quest’ultima relazione con l’eq. (1.16), e’ immediatoesprimere le ampiezze dell’onda di corrente in funzione di quelle dell’onda ditensione:

I+ =V+

Z0

, I− = −V−Z0

. (1.48)

L’espressione generale della tensione e della corrente lungo la linea assumequindi la forma:


I(z) =V+

Z0

exp(jkz)− V−Z0

exp(−jkz) . (1.50)

Nel caso di assenza di perdite (R = G = 0) l’impedenza caratteristica dellalinea risultera’ puramente reale

Z0 = R0 =

√L

C∈ R+ . (1.51)

Tuttavia, anche in presenza di perdite (R 6= 0, G 6= 0), si puo’ verificare ilcaso in cui l’impedenza caratteristica della linea risulta reale. Infatti se e’soddisfatta la condizione di Heaviside2, ovvero

R

ωL=

G

ωC, (1.52)

e’ facile verificare che la parte immaginaria dell’impedenza caratteristica dellalinea risulta nulla:

Z0 =

√LeqCeq

=

√L− jR/ωC − jG/ω =

√(LC +RG/ω2)

C2 +G2/ω2− j (CR/ω − LG/ω)

C2 +G2/ω2.

(1.53)

Si noti comunque che, in tal caso, anche se l’impedenza caratteristica dellalinea risulta puramente reale, a causa della presenza delle perdite, l’onda siattenuera’ nel suo propagarsi.

1.2 Analisi di una linea di trasmissione chiusa su ungenerico carico

Si prenda ora in esame una linea di impedenza caratteristica Z0 chiusa su ungenerico carico Zu e si indichi con Vu ed Iu, rispettivamente, il valore dellatensione e della corrente sul carico (Fig. 1.7):

2Oliver Heaviside 1850–1925

1.2. ANALISI DI UNA LINEA DI TRASMISSIONE CHIUSA SU UN GENERICO CARICO 17

Zu

z 0

Iu

VuZ0 V(z')

I(z')

z'

Z(z')

Figura 1.7: Linea chiusa sul generico carico Zu.

Vu = V (0) = V+ exp(jkz) + V− exp(−jkz)|z=0 = V+ + V− , (1.54)

Iu = I(0) =V+

Z0

exp(jkz)− V−Z0

exp(−jkz)

∣∣∣∣z=0

=V+ − V−Z0

. (1.55)

Esprimendo tali relazioni in termini delle ampiezze V+ e V− si ha

V+ =1

2

(Vu + Z0Iu

), (1.56)

V− =1

2

(Vu − Z0Iu

). (1.57)

Cio’ permette di esprimere la tensione e la corrente ad una qualsiasi distanzaz dal carico in funzione della tensione Vu e della corrente Iu sul carico. Infatti:

V (z) = V+ exp(jkz) + V− exp(−jkz) =

= Vu

exp(jkz) + exp(−jkz)

2

+ jZ0Iu

exp(jkz)− exp(−jkz)

2j

,

(1.58)

per cui

V (z) = Vu cos(kz) + jZ0Iu sin(kz) , (1.59)

ed analogamente

I(z) = Iu cos(kz) + jVuZ0

sin(kz) . (1.60)

E’ uso comune definire questa forma della soluzione soluzione di tipo sta-zionario mentre la forma (1.49)–(1.49) soluzione di tipo viaggiante. E’ poi


conveniente definire una impedenza locale Z(z) che la linea, chiusa su uncarico Zu, presenta all’ascissa z come il rapporto tra la tensione e la correntea tale ascissa z, quindi:

Z(z) =V (z)

I(z)=Vu cos(kz) + jZ0Iu sin(kz)

Iu cos(kz) + j VuZ0

sin(kz). (1.61)

La suddetta espressione puo’ essere convenientemente riscritta tenendo contoche Zu = Vu/Iu :

Z(z) = Z0Zu + jZ0 tan(kz)

Z0 + jZu tan(kz). (1.62)

Quest’ultima equazione esprime il fatto che l’impedenza della linea, oltre adessere funzione dell’impedenza caratteristica della linea, e’ funzione del valoredell’impedenza del carico su cui e’ chiusa e varia al variare della distanza zdal carico stesso. Fa eccezione il caso in cui la linea e’ chiusa sulla propriaimpedenza caratteristica (cioe’ Zu = Z0) per cui Z(z) = Z0 lungo tutta lalinea. In tal caso si puo’ notare che non e’ presente l’onda riflessa, infatti:

V− =1

2Vu − Z0Iu =

1

2Iu Zu − Z0|Zu=Z0

= 0 . (1.63)

Nel caso generale sara’ comunque presente un’onda riflessa e l’impedenzadella linea oscillera’, in modulo, tra un minimo ed un massimo.

Al fine di caratterizzare quanta parte di onda viene riflessa, e’ utile intro-durre una quantita’ chiamata coefficiente di riflessione di tensione, definitacome il rapporto tra l’onda riflessa e l’onda diretta di tensione:

Γ(z) =V− exp(−jkz)

V+ exp(jkz)=V−V+

exp(−j2kz) . (1.64)

Si noti come sul carico tale coefficiente di riflessione risulti

Γ(0) =V−V+

, (1.65)

per cui il coefficiente di riflessione di tensione lungo la linea puo’ essereriscritto nella forma

Γ(z) = Γ(0) exp(−j2kz) . (1.66)

Analogamente, si definisce anche un coefficiente di riflessione di correntecome il rapporto tra l’onda riflessa e l’onda diretta di corrente:

ΓI(z) =I− exp(−jkz)

I+ exp(jkz)=−V− exp(−jkz)

V+ exp(jkz)= −Γ(z) . (1.67)

1.3. POTENZA IN UNA LINEA DI TRASMISSIONE 19

Tramite il coefficiente di riflessione di tensione (o analogamente di corrente)e’ possibile rappresentare convenientemente tensione, corrente ed impedenzalungo la linea:

V (z) = V+ exp(jkz)

1 +

V− exp(−jkz)

V+ exp(jkz)

= V+ exp(jkz)

1 + Γ(z)

,

(1.68)

I(z) =V+

Z0

exp(jkz)

1− V− exp(−jkz)

V+ exp(jkz)

=V+

Z0

exp(jkz)

1− Γ(z),

(1.69)

Z(z) =V (z)

I(z)=V+ exp(jkz)

1 + Γ(z)

V+

Z0exp(jkz)

1− Γ(z)

= Z01 + Γ(z)

1− Γ(z). (1.70)

Dalla relazione (1.70) e’ evidente come l’impedenza lungo la linea puo’ essereposta in funzione della sola impedenza caratteristica e del coefficiente diriflessione di tensione. Inolte, essendo tale relazione invertibile, si ottiene:

Γ(z) =Z(z)− Z0

Z(z) + Z0

. (1.71)

In particolare per z = 0

Γ(0) =Zu − Z0

Zu + Z0

, (1.72)

per cui

Γ(z) = Γ(0) exp(−j2kz) =

Zu − Z0

Zu + Z0

exp(−j2kz) . (1.73)

Cio’ esprime il fatto che, assegnate le costanti secondarie della linea e notal’impedenza del carico, e’ possibile determinare il valore del coefficiente diriflessione di tensione lungo tutta la linea. Tale conoscenza permette altresi’di valutare, tramite l’espressione (1.70), il valore di impedenza che la lineapresenta a una generica ascissa z.

1.3 Potenza in una linea di trasmissione

La potenza complessa fluente attraverso una generica sezione trasversa,

P (z) =1

2V (z)I∗(z) , (1.74)


puo’ essere espressa, tramite le equazioni (1.68) e (1.69), in funzione delcoefficiente di riflessione di tensione:

P (z) =1

2

(V+ exp(jkz)

1 + Γ(z)

)(V+

Z0

exp(jkz)

1− Γ(z))∗

=

=1

2

|V+|2 exp(−2Imkz)

Z∗0

[1− |Γ(z)|2]+ [Γ(z)− Γ∗(z)]

. (1.75)

Si noti come il primo termine tra parentesi quadre risulta reale mentre ilsecondo puramente immaginario. Pertanto, nel caso in cui la linea sia privadi perdite (R = G = 0⇒ Z0 = R0 ∈ R), il termine

1

2

|V+|2R0

[1− |Γ(z)|2] (1.76)

rappresenta la potenza attiva che fluisce attraverso una generica sezionetrasversa, mentre il termine

1

2

|V+|2R0

[Γ(z)− Γ∗(z)] (1.77)

la potenza reattiva.Si noti che in assenza di perdite la costante di propagazione e’ puramente

reale (k = β ∈ R+) per cui il modulo del coefficiente di riflessione risultacostante lungo tutta la linea cosi’ come la potenza attiva che transita at-traverso una generica sezione. Ne consegue che, in questo caso, la potenzaattiva fluente attraverso una qualsiasi sezione trasversa della linea e’ anchela potenza che si dissipa sul carico su cui la linea e’ chiusa.

Supponiamo adesso di aver chiuso la linea sulla propria impedenza ca-ratteristica: in tal caso, non essendo presente onda riflessa, il coefficiente diriflessione e’ nullo e la potenza attiva fluente risultera’

Pinc =1

2

|V+|2R0

[1] . (1.78)

Tale potenza e’ legata alla sola onda diretta e rappresenta la potenza attivaincidente su una generica sezione trasversa.

Consideriamo ora il caso in cui la linea venga chiusa su un generico caricoZu per cui |Γ(z)| 6= 0: la potenza attiva fluente attraverso una genericasezione trasversa sara’

Pa =1

2

|V+|2R0

[1]− 1

2

|V+|2R0

|Γ(z)|2 = Pinc − Prif . (1.79)

1.4. COMPORTAMENTO DI UNA LINEA PER PARTICOLARI VALORI DEL CARICO 21

z 0

R0

Z = Ru 0

Figura 1.8: Schematizzazione di una linea chiusa sulla propria impedenzacaratteristica.

Quindi il secondo termine a secondo membro rappresenta la potenza attivariflessa dal carico. Il segno meno sta ad indicare che essa fluisce nel versocontrario a quello in cui fluisce la potenza incidente.

A meno che non esistano generatori a destra della sezione trasversa con-siderata, in una linea senza perdite la potenza attiva riflessa dovra’ risultaresempre minore o al piu’ uguale a quella incidente sulla sezione stessa. Dovra’essere quindi sempre verificata la condizione:

|Γ(z)|2 ≤ 1 . (1.80)

1.4 Comportamento di una linea per particolari valoridel carico

In seguito si supporra’, se non altrimenti esplicitamente espresso, che le lineeprese in esame siano prive di perdite (R = G = 0) per cui

k = β ∈ R+ , Z0 = R0 ∈ R+ . (1.81)

1.4.1 Linea chiusa sulla propria impedenza caratteristica

La linea e’ ritenuta chiusa sulla propria impedenza caratteristica, cioe’ su uncarico Zu = R0 (Fig. 1.8). Da cio’ consegue che

V+ =1

2

(Vu +R0Iu

)=

1

2Vu

(1 +R0/Zu

)∣∣∣∣Zu=R0

= Vu , (1.82)

V− =1

2

(Vu −R0Iu

)=

1

2Vu

(1−R0/Zu

)∣∣∣∣Zu=R0

= 0 , (1.83)


z 0

|V(z)|

|I(z)||V |/Ru 0

|V |u

Figura 1.9: Andamento del modulo della tensione e della corrente lungo unalinea chiusa sulla propria impedenza caratteristica.

Γ(0) =V−V+

= 0 ⇒ Γ(z) = Γ(0) exp(−j2βz) = 0 , (1.84)

V (z) = Vu exp(jβz) = |Vu| exp(jφu) exp(jβz) , (1.85)

I(z) =VuR0

exp(jβz) =|Vu|R0

exp(jφu) exp(jβz) , (1.86)

Z(z) = R0 . (1.87)

Dalle precedenti espressioni e’ evidente che per tale configurazione

• manca l’onda riflessa sia di tensione che di corrente;

• il modulo di V (z), cosi’ come quello di I(z), e’ costante lungo la linea(Fig. 1.9);

• tensione e corrente in ogni punto della linea sono in fase;

• la fase Φ(z) = φu + βz della tensione V (z) cosi’ come quella dellacorrente I(z), cresce linearmente all’aumentare della distanza del puntodi osservazione dal carico (Fig. 1.10);

• l’impedenza della linea Z(z) e’ pari all’impedenza caratteristica R0

della linea in ogni punto della linea (Fig. 1.11).

Si vuole ora analizzare il comportamento reale delle quantita’ elettricheal variare del tempo t. Supponendo il segnale isofrequenziale

v(z, t) = Re V (z) exp(jωt) = |Vu| cos(ωt+ βz + φu) , (1.88)

i(z, t) = Re I(z) exp(jωt) =|Vu|R0

cos(ωt+ βz + φu) . (1.89)


z 0

Φ(z)

φ+

Figura 1.10: Andamento della fase della tensione e della corrente lungo unalinea chiusa sulla propria impedenza caratteristica.

z 0

0R

Z(z)

Figura 1.11: Andamento dell’impedenza lungo una linea chiusa sulla propriaimpedenza caratteristica.

Quindi, allo specifico istante di tempo t0, la distribuzione lungo la linea dellatensione e/o della corrente risulta cosinusoidale con ampiezza indipendentedall’istante considerato, cosi’ come mostrato in Fig. 1.12 (linea continua). Sesi considera l’andamento della distribuzione ad un istante di tempo t1 = t0 +∆t (linea tratteggiata) questa risulta traslata verso il carico di una lunghezza∆z = vf∆t dove con vf = ω/β si e’ indicata la velocita’ di fase dell’onda. Intal caso si parla di onda progressiva di tensione e/o di corrente.

Si noti che la velocita’ con la quale si sposta l’energia e’ in realta’ parialla velocita di gruppo vg che, nello specifico caso considerato di linee privedi perdite e non dispersive (induttanza e capacita’ per unita’ di lunghezzadella linea indipendenti dalla frequenza), coincide con la velocita’ di fase.


z 0

v(t,z)

v(t ,z)0

-|V |u

-|V |u

v(t +Jt,z)0

v Jtf

Figura 1.12: Andamento della tensione lungo la linea al generico istante t0 et0 + ∆t.

Ad uno specifico istante di tempo t = t0 l’andamento della tensione alvariare della coordinata z,

v(z, t0) = |Vu| cos(ωt0 + φu + βz) , (1.90)

si evidenzia che la funzione coseno e’ una funzione periodica di periodo 2π,per cui, la linea presentera’ uno stesso valore di tensione ad ogni ascissa

z = n2π

β+ z0 , n = 0,±1,±2 . . . ∀z0 . (1.91)

Comportamento analogo si avra’ anche per le altre quantita’ elettriche.Definendo lunghezza d’onda della linea il periodo

λ =2π

β, (1.92)

deriva che la velocita’ di fase si esprime anche:

vf =ω

β=ωλ

2π=

2πfλ

2π= fλ . (1.93)

1.4.2 Linea chiusa in corto circuito

Si definisce corto circuito un carico ai capi del quale la tensione risulta nulla(Vu = 0) (Fig. 1.13). Da cio’ consegue che

V+ =1

2

(Vu +R0Iu

)∣∣∣∣Vu=0

= +1

2IuR0 , (1.94)

V− =1

2

(Vu −R0 Iu

)∣∣∣∣Vu=0

= −1

2IuR0 , (1.95)


z 0

R0

Figura 1.13: Schematizzazione di una linea in corto circuito.

⇒ V+ = −V− , (1.96)

Γ(0) =V−V+

= −1 ⇒ Γ(z) = Γ(0) exp(−j2βz) = − exp(−j2βz) , (1.97)

V (z) = V+

(exp(jβz)− exp(−jβz)

)= 2jV+ sin(βz) = jIuR0 sin(βz) ,

(1.98)

I(z) =V+

R0

(exp(jβz) + exp(−jβz)

)= 2

V+

R0

cos(βz) = Iu cos(βz) , (1.99)

Z(z) =V (z)

I(z)=jIuR0 sin(βz)

Iu cos(βz)= jR0 tan(βz) = jX(z) . (1.100)

Per quanto riguarda l’impedenza del carico risulta

Zu = limz→0+

Z(z) = limz→0+

jR0 tan(βz) = 0 . (1.101)

Dalle precedenti espressioni e’ evidente che per tale configurazione

• l’onda riflessa di tensione ha la stessa ampiezza di quella diretta a menodel segno;

• il modulo della tensione V (z) ha un andamento proporzionale al modulodi un seno, si annulla per z = nλ/2 (n = 0, 1, 2, . . . ) ed e’ massimoper z = λ(1 + 2n)/4 (Fig. 1.14);


z 0

|I(z)||I |u

|I | Ru 0|V(z)|

-/4-/23-/4-

Figura 1.14: Andamento del modulo della tensione e della corrente lungo unalinea chiusa in corto circuito.

-/43-/4z

X(z)

0-/2-

Figura 1.15: Andamento della reattanza in una linea chiusa in corto circuito.

• il modulo della corrente I(z) ha un andamento proporzionale al modulodi un coseno, si annulla per z = λ(1+2n)/4 ed e’ massimo per z = nλ/2(Fig. 1.14);

• tensione e corrente in ogni punto della linea risultano sfasate di ±π/2per cui in una linea chiusa in corto circuito non si potra’ misurarealcuna potenza attiva ma solo potenza reattiva;

• l’impedenza della linea Z(z), per linee prive di perdite, e’ puramentereattiva; tale impedenza risulta induttiva per z ∈ (nλ/2, λ/4+nλ/2),capacitiva per z ∈ (λ/4+nλ/2, λ/2 + nλ/2) e puo’ assumere tutti ivalori compresi tra −j∞ e +j∞ (Fig. 1.15).

Il fatto che un tal tipo di linea, al variare della sua lunghezza, possarealizzare un qualsiasi valore reattivo fa si’ che essa possa essere impiegataper realizzare in modo distribuito una qualsiasi reattanza. Si noti tuttavia


z

v(t,z)

v(t ,z)0 R |I |u0

v(t +2Jt,z)0

v(t +Jt,z)0

-R |I |u0

- 03-/4 -/2 -/4

Figura 1.16: Andamento della tensione al variare del tempo in una lineachiusa in corto circuito.

che, anche se cio’ e’ teoricamente possibile, nella realizzazione pratica leinevitabili tolleranze di costruzione non permettono di realizzare valori direattanza in modulo elevati. Infatti cio’ equivalrebbe a lavorare nell’intornodi z = λ/4+nλ/2 (n = 0, 1, 2, . . . ) in cui l’andamento della funzione tangenterisulta molto ripido e quindi un piccolo errore nella lunghezza della lineacomporta un grande errore nella realizzazione dell’induttanza desiderata.

Si vuole analizzare, anche per questa configurazione, il comportamen-to delle quantita’ elettriche al variare del tempo t, supponendo il segnaleisofrequenziale e Iu = |Iu| exp(jφu)

v(z, t) = Re V (z) exp(jωt) = −R0 |Iu| sin(βz) sin(ωt+ φu) , (1.102)

i(z, t) = Re I(z) exp(jωt) = |Iu| cos(βz) cos(ωt+ φu) , (1.103)

Quindi, ad ogni specifico istante di tempo, la distribuzione lungo la linea dellatensione e/o della corrente risulta il prodotto di due funzioni cosinusoidali,una funzione dello spazio e l’altra del tempo. Entrambe le distribuzioni nontraslano al variare del tempo ma pulsano mantenendo i valori massimi e quellinulli sempre negli stessi punti della linea (Fig. 1.16). In tal caso si parla diconfigurazione stazionaria della tensione e/o della corrente.

Esercizio 1.1 Si confronti l’andamento della tensione in una linea in aria,lunga 20 cm e chiusa in corto circuito, nel caso in cui si lavori ad una fre-quenza f1 = 50Hz oppure ad una frequenza f2 = 300MHz.

Ove la frequenza di lavoro sia f1 = 50Hz, poiche’ i due conduttori sono sup-posti circondati solo da aria che con buona approssimazione presenta le stesse


costanti dielettriche e magnetiche del vuoto, la lunghezza d’onda risultera’

λ1 =vff1

=c

f1

=300 106

50= 6000Km.

Ne deriva che spostandosi 20 cm dal corto circuito si misurera’ una tensionenormalizzata pari a

∣∣∣∣V (0.2)

V+

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2 sin(2π

λ1

z)

∣∣∣∣z=0.2

= 4.188 10−7 ' 0 .

Per una frequenza di lavoro di f2 = 300MHz la lunghezza d’onda risultera’

λ2 =c

f2

=300 106

300 106= 1m,

e quindi a 20 cm dal corto circuito si misurera’ una tensione normalizzatapari a

∣∣∣∣V (0.2)

V+

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2 sin(2π

λ2

z)

∣∣∣∣z=0.2

= 1.9 .

Dall’esempio si puo’ facimente comprendere come mai nella pratica in bassafrequenza un tratto di linea in corto circuito realizzi comunque un buon cortocircuito anche se ha una lunghezza finita. Si noti infatti che per la frequenzadi lavoro di 50Hz una linea in aria chiusa in corto circuito dovrebbe esserelunga 1200Km al fine di presentare la stessa tensione normalizzata di unaanaloga linea lunga solo 20 cm ma alimentata con un segnale a frequenza300MHz.

1.4.3 Linea aperta

Si definisce circuito aperto un carico su cui scorre una corrente nulla (Iu = 0)(Fig. 1.17). Da cio’ ne consegue che

V+ =1

2

(Vu +R0Iu

)∣∣∣∣Iu=0

=1

2Vu , (1.104)

V− =1

2

(Vu −R0Iu

)∣∣∣∣Iu=0

=1

2Vu , (1.105)

⇒ V+ = V− , (1.106)


z 0

R0

Figura 1.17: Schematizzazione di una linea in circuito aperto.

Γ(0) =V−V+

= 1 ⇒ Γ(z) = Γ(0) exp(−j2βz) = exp(−j2βz) , (1.107)

V (z) = V+

(exp(jβz) + exp(−jβz)

)= 2V+ cos(βz) = Vu cos(βz) , (1.108)

I(z) =V+

R0

(exp(jβz)− exp(−jβz)

)= 2j

V+

R0

sin(βz) = jVuR0

sin(βz) ,

(1.109)

Z(z) =V (z)

I(z)=VuR0 cos(βz)

jVu sin(βz)= −jR0 cot(βz) = jX(z) . (1.110)

Per quanto riguarda l’impedenza del carico essa risulta

Zu = limz→0+

Z(z) = limz→0+

−jR0 cot(βz) = −j∞ . (1.111)

Dalle precedenti espressioni e’ evidente che per tale configurazione:

• l’onda riflessa di tensione ha stessa ampiezza di quella diretta;

• il modulo della tensione V (z) ha un andamento proporzionale al modulodi un coseno, si annulla per z = λ(1+2n)/4 ed e’ massimo per z = nλ/2;

• il modulo della corrente I(z) ha un andamento proporzionale al modulodi un seno, si annulla per z = nλ/2 (n = 0, 1, 2, . . . ) ed e’ massimo perz = λ(1 + 2n)/4;

• l’impedenza della linea Z(z), per linee prive di perdite, e’ puramentereattiva; tale impedenza risulta inoltre capacitiva per z ∈ (nλ/2, λ/4 +nλ/2), induttiva per z ∈ (λ/4 +nλ/2, λ/2 +nλ/2) e puo’ teoricamenteassumere tutti i valori compresi tra −j∞ e +j∞;


• tensione e corrente in ogni punto della linea risultano sfasate di ±π/2per cui in una linea aperta non si potra’ misurare alcuna potenza attivama solo potenza reattiva.

E’ inoltre da notare che dopo aver percorso una distanza di z = λ/4 dalcarico, l’andamento dell’impedenza di una linea aperta, cosi’ come delle altrequantita’ elettriche, risulta lo stesso di quello di una linea chiusa in corto cir-cuito. Quindi anche per una linea aperta possono essere fatte considerazionianaloghe a quelle gia’ espresse per una linea in corto circuito.

Esercizio 1.2 Si calcoli la lunghezza ` che deve avere un cavo coassialedi impedenza caratteristica R0 = 50 Ω, riempito di dielettrico caratterizzatoda una costante dielettrica relativa εr = 4, per rappresentare, alla frequenzaf0 = 600MHz, un condensatore di 1 pF .

Alla frequenza di lavoro f0 il condensatore da 1 pF presenta una reattanzapari a:

jX =1

jωC=

1

j2πf0C= −j 1

2π

1

600 106

1

10−12' −j265 Ω ,

mentre per il cavo coassiale in esame, in cui e’ supposto propagarsi il modoTEM, la costante di fase risultera’:

β = ω√ε0µ0

√εr =

ω

c

√εr =

2π600 106

300 106

√4 = 8π rad/m .

Qualora si voglia realizzare la suddetta reattanza con una configurazione alinea aperta e’ possibile ricavare la lunghezza à desiderata tramite l’espres-sione dell’impedenza di una linea chiusa su un circuito aperto:

jX(à) = −jR0 cot(βà) = jX = −j265 Ω ,

⇒ à =arctan(−R0/X)

β+nπ

β' 0.0548 +

n

8m n = 0, 1, 2, . . . .

Nel caso si avesse voluto metallizzare una estremita’ del cavo coassiale, cioe’usare una linea chiusa su un corto circuito, sarebbe stato sufficiente aggiunge-re alla misura calcolata per la configurazione in circuito aperto una lunghezzapari ad un quarto della lunghezza d’onda nel cavo, cioe’:

`c = à +λ

4= à +

2π

β

1

4= (0.0548 + n/8) +

1

16' 0.1173 +

n

8m.


D

D'

R1

A

A'

B

B'

C

C'

R0

Vg Z2

3j j j

R2Z1

121

R1

Figura 1.18: Geometria del problema relativa all’esercizio 1.3.

Qualora cercassimo di verificare questo risultato tramite una misura note-remmo che, mentre per un cavo chiuso in corto circuito di lunghezza `c l’im-pedenza e’ quella richiesta, per un cavo in circuito aperto di lunghezza àl’impedenza misurata risulta di poco discosta da quella desiderata. Cio’ e’dovuto al fatto che non metallizzando l’estremita’ del cavo non si riesce arealizzare un circuito aperto ideale, cioe’ caratterizzato da un’impedenza in-finita, in quanto la configurazione del modo TEM e’ perturbata ed il cavoirradia nello spazio circostante. L’estremita’ del cavo infatti si comportacome una antenna ad apertura avente una bassa efficienza, caratterizzabileda un’impedenza avente una piccola parte reale ed una parte immaginariagrande ma comunque non infinita. Tale problema e’ comune a tutte le lineedi trasmissione, anche se in modo maggiore o minore a seconda del tipo dilinea. Questo spiega perche’, laddove e’ possibile, per realizzare reattanze di-stribuite e’ preferibile utilizzare una configurazione a circuito chiuso rispettoad una a circuito aperto.

Esercizio 1.3 Nel circuito di figura 1.18 la linea di impedenza R1 e’ co-stituita da un cavo coassiale riempito da un dielettrico caratterizzato daεr1 = 16, mentre quella di impedenza R2 da un cavo coassiale riempito daun dielettrico avente εr2 = 4. Si determini il modulo della tensione alla se-zione BB′ per una frequenza di lavoro f0 = 300MHz. (`1 = `2 = 0.125m,Z1 = 100 + j100 Ω, Z2 = 200 Ω, R0 = R1 = 50 Ω, R2 = 100 Ω)

Alla frequenza f0 = 300MHz il cavo coassiale di impedenza R1, in cui e’supposto propagarsi il modo TEM, presenta una lunghezza d’onda λ1 pari a:

λ1 =vff0

=c√εr1

1

f0

=300 106

√16

1

300 106= 0.25m,


A

A'

B

B'

R0

Vg

3j

Z1

1

R1

Figura 1.19: Circuito equivalente (Es. 1.3).

mentre per il tratto di cavo di impedenza R2 la lunghezza d’onda λ2 risulta:

λ2 =vff0

=c√εr2

1

f0

=300 106

√4

1

300 106= 0.50m,

Quindi, in termini di lunghezza d’onda, il tratto di linea compreso tra lesezioni CC ′–DD′ risulta pari a:

`1 =`1

λ1

λ1 =0.125

0.25λ1 =

λ1

2,

mentre quello compreso tra le sezioni BB′–CC ′:

`2 =`2

λ2

λ2 =0.125

0.50λ2 =

λ2

4.

E’ subito evidente che il corto circuito alla sezione DD′ dopo un tratto dilinea `1 = λ1/2 si presenta come un corto circuito in parallelo al carico Z2.Percio’, qualsiasi sia il valore del carico Z2, alla sezione CC ′ si avra’ un ca-rico equivalente costituito ancora da un corto circuito. Spostandosi dallasezione CC ′ alla sezione BB′ di `2 = λ2/4 tale corto circuito equivalente sitrasformera’ in un circuito aperto posto in parallelo all’impedenza Z1. Cisi riduce quindi al semplice circuito equivalente di Fig. 1.19, dove il trattodi linea AA′–BB′ di impedenza R1 risulta pari a 3`1 = 3λ1/2. Poiche’ sial’impedenza che il modulo della tensione lungo una linea risultano quantita’periodiche con periodo pari a λ1/2, invece di calcolare il modulo della ten-sione alla sezione BB′ si puo’ equivalentemente valutare tale modulo ai capidell’impedenza Z1 riportata alla sezione AA′, cioe’:

|VBB′| = |VAA′ | = |Vg||R0 + Z1| |Z1| ' 0.785 |Vg| .


1.4.4 Linea chiusa su un carico reattivo

Si e’ visto come e’ sempre possibile sostituire un carico puramente reattivocon un opportuno tratto di linea in corto circuito (circuito aperto). Nelcaso in cui la linea sia chiusa su un carico reattivo si puo’ quindi pensaredi sostituire il carico reattivo con un tratto di lunghezza ` della stessa lineachiusa in corto circuito (circuito aperto). Ne deriva che gli andamenti dellatensione, della corrente e dell’impedenza lungo la linea equivalente in cortocircuito (circuito aperto) coincideranno, a partire dall’ascissa z = `, conquelli della linea chiusa sul carico reattivo.

1.4.5 Linea chiusa su un generico carico Zu

Nel caso di una linea priva di perdite chiusa su un carico Zu generico, espri-mendo le ampiezze dell’onda diretta e riflessa di tensione in termini di moduloe fase, cioe’

V+ = |V+| exp(jφ+) , V− = |V−| exp(jφ−) , (1.112)

il coefficiente di riflessione di tensione assume la forma:

Γ(z) =|V−| exp(jφ−) exp(−jβz)

|V+| exp(jφ+) exp(+jβz)=

=|V−||V+| exp [j(φ− − φ+ − 2βz)] = |Γ(0)| exp [j(φ− − φ+ − 2βz)] . (1.113)

All’aumentare dell’ascissa z, cioe’ spostandosi dal carico verso il generatore,l’angolo (φ− − φ+) verra’ decrementato della quantita’ 2βz. Quindi, spo-standosi dal carico verso il generatore, il vettore rappresentante nel piano deifasori il coefficiente di riflessione di tensione ruotera’ in senso orario, descri-vendo una circonferenza di raggio |Γ(0)| ≤ 1 (Fig. 1.20). Si noti che nel casosi percorra lungo la linea di trasmissione una distanza pari a z = λ/2, corri-spondente ad un angolo 2βz = 2π, tale vettore compie un giro completo dellacirconferenza, mettendo cosi’ in evidenza che il coefficiente di riflessione e’una quantita’ periodica di periodo λ/2. Viceversa spostandosi dal generatoreverso il carico, tale vettore ruotera’ in senso antiorario.

Nel paragrafo 1.2 si e’ visto come e’ possibile esprimere l’andamento dellatensione e della corrente in funzione del coefficiente di riflessione, cioe’:

V (z) = V+ exp(jkz)

1 + Γ(z), (1.114)

I(z) =V+

R0

exp(jkz)

1− Γ(z). (1.115)


I(0)

9 9

"z

ImI(z)

ReI(z)

I(z)

Figura 1.20: Rappresentazione nel piano dei fasori del coefficiente diriflessione.

Per valutare l’andamento del modulo sia della tensione che della correntelungo la linea di trasmissione, operando il modulo delle precedenti espressioni,risulta:

|V (z)| = |V+| |1 + Γ(z)| , (1.116)

|I(z)| = |V+|R0

|1− Γ(z)| . (1.117)

Si rappresenti adesso nel piano dei fasori la quantita’ 1 + Γ(z), al cuimodulo e’ proporzionale il modulo della tensione lungo la linea. Spostandosilungo la linea, il vettore

−→AP , espressione del coefficiente di riflessione, ruotera’

attorno al punto A (Fig. 1.21). Ne segue che il modulo del vettore |−→OP | ≡|1 + Γ(z)| al variare del valore della coordinata z descrivera’ una cicloide(Fig. 1.22). In particolare tale cicloide, avente periodicita’ λ/2, presentera’un massimo 1+|Γ(z)| in corrispondenza del punto M , ed un minimo 1−|Γ(z)|in corrispondenza del punto N .

Il modulo della corrente lungo la linea risulta invece proporzionale almodulo della quantita’ 1 − Γ(z) che e’ rappresentata nel piano dei fasoridal vettore

−→OQ (Fig. 1.21). Il punto Q risulta sempre simmetrico al punto

P rispetto al punto A, per cui il modulo della corrente avra’ un andamentoanalogo a quello del modulo della tensione ma presentera’ un minimo quandoil modulo della tensione e’ massimo ed un massimo quando questo e’ minimo.

Per quanto riguarda l’impedenza della linea al variare della coordinata z,


I(z)1+I(z)9−9−2"z − +

Re1„I(z)1 2

A

P

Q

0F(z)

MN

Im1„I(z)

Figura 1.21: Rappresentazione della quantita’ 1 + Γ(z) nel piano dei fasori.

1+|I(0)|

1−|I(0)|

z 0

|V(z)|/|V | +

R |I(z)|/|V | 0 +

-/2

Figura 1.22: Andamento della tensione e della corrente normalizzata lungouna linea chiusa su un generico carico.

si avra’:

Z(z) = R01 + Γ(z)

1− Γ(z)= R0

|1 + Γ(z)||1− Γ(z)| exp [jΦ(z)] , (1.118)

dove Φ(z) risulta essere l’angolo compreso tra i vettori−→OP e

−→OQ. Si puo’

osservare che nei punti M e N , corrispondenti rispettivamente al massimoed al minimo di tensione lungo la linea, l’impedenza risulta puramente reale


(Φ(z) = 0) e pari a:

p.to M⇒ |Z(z)|max = R01 + |Γ(z)|1− |Γ(z)| , (1.119)

p.to N⇒ |Z(z)|min = R01− |Γ(z)|1 + |Γ(z)| . (1.120)

1.5 Rapporto d’onda stazionaria

Per una linea priva di perdite e’ utile introdurre il rapporto d’onda stazio-naria (ROS)3 definito come il rapporto tra il valore massimo e minimo dellatensione misurato lungo la linea:

ROS =|V (z)|max|V (z)|min

=1 + |Γ(z)|1− |Γ(z)| . (1.121)

Nel caso di segnale monocromatico |V (z)| e’ pari all’inviluppo dell’andamentotemporale della tensione. Quindi al fine di misurare il ROS sara’ sufficientemisurare il valore massimo e minimo che tale inviluppo presenta lungo lalinea e poi operarne il rapporto.

La relazione (1.121) e’ invertibile, per cui

|Γ(z)| = |Γ(0)| = ROS − 1

ROS + 1. (1.122)

Si noti che per una linea chiusa su un carico passivo 0 ≤ |Γ(z)| ≤ 1, per cuiil rapporto d’onda stazionaria risultera’

1 ≤ ROS ≤ +∞ , (1.123)

dove il valore unitario sara’ assunto quando nella linea sara’ presente soloonda progressiva (assenza cioe’ di onda riflessa), mentre il valore +∞ sara’assunto quando nella linea e’ presente solo onda stazionaria (l’onda direttae’ riflessa completamente dal carico).

Si noti inoltre come un valore del rapporto d’onda stazionaria pari aROS = 1.22 equivale ad un modulo del coefficiente di riflessione |Γ(z)| ' 0.1.Quindi quasi il 10% dell’onda diretta viene riflesso verso il generatore. Intermini di potenza cio’ corrisponde solo all’1%, infatti |Γ(0)|2 ' 0.01, percui generalmente si parla di buon adattamento qualora il ROS ≤ 1.2. InFig. (1.23) si riporta la percentuale di potenza riflessa per un valore delrapporto d’onda stazionaria compreso tra 1 e 3.

3Tale quantita’ e’ generalmente anche indicata VSWR dall’inglese Voltage StandingWave Ratio.

1.5. RAPPORTO D’ONDA STAZIONARIA 37

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0

5

10

15

20

25

ROS

Pote

nza r

ifle

ssa %

Figura 1.23: Percentuale di potenza riflessa verso il generatore in funzionedel rapporto d’onda stazionaria.

Nel paragrafo precedente si era notato come la massima e la minimaimpedenza misurabile sulla linea fossero funzione del modulo del coefficientedi riflessione, ora tali quantita’ possono essere messe in funzione anche delrapporto d’onda stazionaria secondo le relazioni:

|Z(z)|max = R01 + |Γ(0)|1− |Γ(0)| = R0ROS , (1.124)

|Z(z)|min = R01− |Γ(0)|1 + |Γ(0)| =

R0

ROS. (1.125)

Esercizio 1.4 Per la linea priva di perdite descritta in Fig. 1.24 si deter-mini il coefficiente di riflessione sul carico, il rapporto d’onda stazionariamisurato nel tratto BB′ − CC ′, quello nel tratto AA′ − BB′, e l’impedenzaalla sezione AA′ (R0 = 50 Ω, Zu = 50 + j100 Ω, Z1 = 57 + j182 Ω). Sidetermini inoltre la potenza dissipata su ciascun carico.

Il coefficiente di riflessione sul carico risulta:

Γ(0) =Zu −R0

Zu +R0

=(50 + j100)− 50

(50 + j100) + 50=

1 + j

2=

√2

2exp(jπ/4) .

Il rapporto d’onda stazionara non varia nel tratto di linea compreso tra lesezioni BB′ e CC ′ in quanto la linea e’ supposta priva di perdite e quindi ilmodulo del coefficiente di riflessione risulta costante rispetto alla coordinata



z, per cui

ROSBB′–CC′ =1 + |Γ(0)|1− |Γ(0)| =

1 +√

2/2

1−√2/2' 5.83 .

Il coefficiente di riflessione subito a destra della sezione BB′ risulta

Γ(λ/16) = Γ(0) exp(−j2βz)|z=λ/16 = Γ(0) exp(−j2 2π

λ

λ

16) =

√2

2,

da cui deriva che il tratto di linea BB′–CC ′ chiuso sul carico Zu si presentaequivalentemente alla sezione BB′ come una impedenza (Fig. 1.25):

ZBB′ = R01 + Γ(λ/16)

1− Γ(λ/16)= R0

1 +√

2/2

1−√2/2= R0ROS ' 291.4 Ω .

Quindi alla sezione BB′ si potra’ considerare il parallelo dell’impedenzaconcentrata Z1 = 57 + j182 Ω e dell’impedenza ZBB′ = 291.4 Ω (Fig. 1.26),cioe’

Zp =Z1ZBB′

Z1 + ZBB′' 100 + j100 Ω .

Per calcolare l’impedenza che la linea presenta alla sezione AA′ si puo’ pro-cedere in modo analogo a quello gia’ fatto per calcolare l’impedenza ZBB′ .Tuttavia risulta piu’ conveniente ricordare che il valore che l’impedenza assu-me lungo la linea risulta essere una quantita’ periodica con periodo d = λ/2.Poiche’ la distanza tra le sezioni AA′ e BB′ e’ appunto un multiplo di λ/2,alla sezione AA′ si misurera’ una impedenza pari a:

ZAA′ = Zp = 100 + j100 Ω .


ZuR0

B

B'

C

C'

-/16

ZBB'

Figura 1.25: Impedenza equivalente per il circuito a destra della sezione BB′.

Figura 1.26: Circuito equivalente a sinistra della sezione BB′.

Per il calcolo del rapporto d’onda stazionaria nel tratto di linea AA′–BB′

necessita il modulo del coefficiente di riflessione in tale tratto

|Γ(z′)| =∣∣∣∣Zp −R0

Zp +R0

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣(100 + j100)− 50

(100 + j100) + 50

∣∣∣∣ ' 0.62 ,

da cui

ROSAA′–BB′ =1 + |Γ(0)|1− |Γ(0)| =

1 + 0.62

1− 0.62' 4.26 .

La potenza Pd dissipata complessivamente sui due carichi Z1 e Zu sara’ parialla potenza attiva che fluira’ attraverso la sezione AA′, in quanto, essendola linea supposta priva di perdite, non esiste altra fonte di dissipazione. Talepotenza Pd dovra’ quindi essere anche pari alla potenza dissipata dall’im-pedenza Zp, che rappresenta equivalentemente la linea ed i carichi a destra


della sezione BB′. Dalla conoscenza del modulo del coefficiente di riflessionenel tratto AA′–BB′ essa risultera’:

Pd = Re

1

2

|V+|2R0

[(1− |Γ(z′)|2

)+(

Γ(z′)− Γ∗(z′))]

=

=1

2

|V+|2R0

[1− |Γ(z′)|2

]=

1

2

|V+|250

[1− |0.62|2] ' 6.15 |V+|2 mW .

E’ ora possibile esprimere tale potenza dissipata in funzione delle ammettenzeY1 e YBB′ dei carichi e della tensione presente ai loro capi

Pd =1

2Re Y1 + YBB′ |VBB′|2 ,

da cui

|VBB′|2 =2Pd

Re Y1 + YBB′ .

La potenza dissipata su ciascun carico risultera’:

Pd1 =1

2Re Y1 |VBB′|2 = Pd

Re Y1Re Y1 + YBB′ ,

PdBB′ =1

2Re YBB′ |VBB′|2 = Pd

Re YBB′ Re Y1 + YBB′ .

In particolare la potenza dissipata sul carico Z1 risultera’:

Pd1 = PdRe 1/Z1Re 1/Zp ' Pd 0.313 ,

mentre quella dissipata nel tratto di linea a destra della sezione BB′ sara’pari a

PdBB′ = PdRe 1/ZBB′ Re 1/Zp ' Pd 0.687 .

Poiche’ la linea e’ supposta priva di perdite tale potenza sara’ anche quelladissipata sul carico Zu.

Esercizio 1.5 Per la linea di trasmissione priva di perdite mostrata inFig. 1.27 si determini il valore del rapporto d’onda stazionario e del coeffi-ciente di riflessione di tensione alle sezioni AA′ e BB′. Si dimensioni inoltrela resistenza concentrata R e la lunghezza d dello stub in corto circuito posto


A

A'

RB

B'

C

C'

Ro

Zu

d

j


in parallelo alla sezione CC ′ in modo da non avere onda riflessa a sinistra del-la sezione CC ′. (R0 = 50 Ω, vf = 0.8 c, f0 = 300MHz, Zu = 62.5 + j62.5 Ω,` = 20 cm).

Il coefficiente di riflessione di tensione sul carico risulta

ΓAA′ =Zu −R0

Zu +R0

' 0.495 exp(j0.276π) ,

mentre il rapporto di onda stazionaria nel tratto di linea compreso tra lesezioni AA′ e BB′ e’ costante e pari a:

(ROS)AA′−BB′ =1 + |ΓAA′|1− |ΓAA′| ' 2.96 .

Dalla conoscenza della frequenza di lavoro e della velocita’ di fase nella lineae’ possibile calcolare il valore della lunghezza d’onda in guida:

λ =vff0

= 0.8m.

La distanza del carico Zu dalla resistenza R puo’ essere espressa in terminidi tale lunghezza d’onda come:

` =

(`

λ

)λ =

20 cm

80 cmλ = λ/4 .

Ne segue che il coefficiente di riflessione di tensione alla sezione BB′, cioe’ adistanza λ/4 dal carico, risulta

ΓBB′ = ΓAA′ e−2jβ` = ΓAA′ e

−2j 2πλλ4

= ΓAA′ e−jπ = −ΓAA′ ' 0.495 exp(−j0.724π) .


Per quanto riguarda l’impedenza equivalente che la linea chiusa sul carico Zupresenta alla sezione BB′, si ha:

ZBB′ = R01 + ΓBB′

1− ΓBB′= R0

Zu +R0 tan(βz)

R0 + Zu tan(βz)

∣∣∣∣z=λ/4

=R2

0

Zu= 20− j20 Ω .

Per non avere onda riflessa a sinistra della sezione CC ′ l’ammettenza Ys de-rivante dalla serie tra la resistenza R e l’impedenza equivalente ZBB′ dovra’avere parte reale pari alla conduttanza G0 = 1/R0 caratteristica della linea.Cosi’ facendo e’ possibile dimensionare opportunamente lo stub in corto cir-cuito in modo tale che il parallelo tra l’ammettenza Ys e lo stub risulti pariall’impedenza caratteristica R0 della linea, e quindi non sia presente ondariflessa a sinistra della sezione CC ′. Si ricorda che inserire lo stub, cioe’ iltratto di linea in corto circuito, equivale a porre in parallelo alla linea unasuscettanza Bs. Quindi

G0 =1

R0

= Re Ys = Re

1

ZBB′ +R

⇒ 1

50= Re

1

20− j20 +R

⇒ R2 − 10R− 200 = 0 .

Le soluzioni dell’equazione di secondo grado cosi’ ottenuta risultano essereR = −10 e R = 20. Tuttavia la prima delle due soluzioni (cioe’ R = −10)dovra’ essere scartata in quanto non realizzabile fisicamente (si supponeinfatti la resistenza R passiva). Per R = 20 la parte immaginaria jBdell’ammettenza Ys assumera’ il valore

jB = jIm

1

ZBB′ +R

= j/100 .

Quindi, per non avere onda riflessa, lo stub dovra’ realizzare una suscettanzaBs = −B = −0.01.

Qualora si voglia costruire tale stub con uno spezzone di cavo della stessalinea chiuso in corto circuito esso dovra’ risultare lungo:

jR0 tan(βd) =1

jBs

,

d =arctan

[−1BsR0

]

β=λ arctan(2)

2π' 0.176λ = 14.1 cm .

Capitolo 2

Linee con perdite

In una linea di trasmissione reale la non perfetta conducibilita’ dei condut-tori e le perdite di volume (cioe’ le perdite dovute alla isteresi dielettricae alla conducibilita’ del dielettrico in cui i conduttori sono immersi) fannosi’ che una parte dell’energia elettromagnetica che si propaga nella linea siadissipata sotto forma di calore. Per i materiali comunemente impiegati nellacostruzione, e per frequenze non troppo elevate, tali perdite risultano mol-to piccole cosi’ che il loro effetto puo’ essere generalmente trascurato se lalinea di trasmissione non risulta troppo lunga oppure non e’ impiegata perrealizzare un risuonatore. In caso contrario e’ necessario considerare un va-lore piccolo ma non nullo sia della resistenza R che della conduttanza G perunita’ di lunghezza introdotte nel precedente capitolo.

2.1 Valutazione della conduttanza e della resistenzaper unita’ di lunghezza di una linea

Dal teorema di Poynting la potenza dissipata per isteresi dielettrica in unvolume V di materiale, corrispondente ad un tratto di linea di lunghezza ∆z,risulta

Pε =ω

2

∫

V

ε2

∣∣∣ ~E∣∣∣2

dV , (2.1)

dove con ε2 si e’ indicata la parte immaginaria della costante dielettricaε = ε1 − jε2 del materiale. La potenza dissipata nello stesso volume a causadi una conducibilita’ σ risulta invece

Pσ =1

2

∫

V

σ∣∣∣ ~E∣∣∣2

dV . (2.2)

43

44 CAPITOLO 2. LINEE CON PERDITE – A.FRENI

Definendo l’angolo di perdita γ come

tan(γ) =ε2 + σ/ω

ε1

, (2.3)

la potenza dissipata per unita’ di lunghezza nel materiale che separa i con-duttori della linea risulta:

Pv = lim∆z→0

Pε + Pσ∆z

=

=ωε1 tan(γ)

2∆z

∫

S

∫ ∆z

0

∣∣∣ ~E∣∣∣2

dS dz =ωε1 tan(γ)

2

∫

S

∣∣∣ ~E∣∣∣2

dS , (2.4)

dove S e’ la superficie trasversa della linea.Dalla teoria dei circuiti elettrici Pv = G |V |2 /2, quindi la conduttanza

per unita’ di lunghezza della linea puo’ essere espressa come:

G =ωε1 tan(γ)

|V |2∫

S

∣∣∣ ~E∣∣∣2

dS . (2.5)

Per quanto riguarda il calcolo della potenza dissipata nei conduttori dellalinea e’ da notare che per la non perfetta conducibilita’ di quest’ultimi e’presente un campo elettromagnetico non nullo anche all’interno di essi. Perrisolvere il problema della propagazione nella struttura e’ quindi necessariorisolvere le equazioni di Maxwell sia nel mezzo dielettrico che nei conduttoried imporre la continuita’ dei campi tangenziali all’interfaccia. Tuttavia imateriali comunemente utilizzati nella realizzazione delle strutture guidanti,come rame, ottone e alluminio, possono essere considerati buoni conduttorianche alle frequenze delle microonde cosi’ che e’ possibile tener conto dellapropagazione del campo al loro interno attraverso una condizione al contornoapprossimata, comunemente detta condizione di impedenza o condizione diLentovich, che lega tra loro il campo elettrico a quello magnetico presentiall’interfaccia mezzo dielettrico/conduttore:

~E × n = Zs n× ~H × n , (2.6)

dove n e’ la normale esterna alla superficie dei conduttori. Tale condizionepermette di limitare l’osservazione del campo alla sola regione esterna aiconduttori. In tali ipotesi, poiche’ la componente di campo elettrico tangenteal conduttore non e’ piu’ identicamente nulla, si avra’ un flusso di potenzareale attraverso le pareti della struttura guidante che si trasformera’ in caloreper effetto Joule. In tali ipotesi la potenza media attiva dissipata per unita’di lunghezza nelle pareti della linea a causa della conducibilita’ finita risulta

Pc =1

2Rs

∮

C1+C2

∣∣∣n× ~H∣∣∣2

d` , (2.7)

2.1. VALUTAZIONE DELLA CONDUTTANZA E DELLA RESISTENZA . . . 45

Figura 2.1: Sezione trasversa di una generica linea di trasmissione.

dove Rs = 1/σδ e’ la resistenza superficiale dei conduttori della linea, δ =√2/(µωσ) la profondita’ di penetrazione, mentre C1 + C2 rappresenta il

contorno dei conduttori nella sezione trasversa.Dalla teoria dei circuiti elettrici Pc = R |I|2 /2, la resistenza per unita’ di

lunghezza della linea puo’ essere scritta come:

R =Rs

|I|2∮

C1+C2

∣∣∣n× ~H∣∣∣2

d` . (2.8)

A rigore sarebbe necessario considerare il campo magnetico soluzione del pro-blema della propagazione in una guida d’onda reale soggetta alla condizionedi Leontovich; tuttavia poiche’ nelle situazioni applicative i conduttori risul-tano sempre dei buoni conduttori e’ lecito approssimare il campo magneticoall’interfaccia con quello che si misurerebbe in una linea ideale costituita daconduttori elettrici perfetti.

Esercizio 2.1 Si determinino le espressioni delle costanti primarie di uncavo coassiale.

L’andamento del campo elettromagnetico all’interno di un cavo coassiale conpareti perfettamente conduttrici e’ descritto dalle relazioni

~E =V

ρ ln(b/a)ρ ,

~H =I

2πρφ ,


dove a < ρ < b.L’energia magnetica Wm immagazzinata nella linea per unita’ di lun-

ghezza e’ legata all’induttanza L per unita’ di lunghezza dalla relazioneWm = L |I|2 /4 per cui

L =4Wm

|I|2 =µ

|I|2∫

S

∣∣∣ ~H∣∣∣2

dS =µ

4π2

∫ 2π

0

∫ b

a

1

ρdφdρ =

µ

2πln(b/a) .

L’energia elettrica We immagazzinata nella linea per unita’ di lunghezzae’ invece legata alla capacita’ C per unita’ di lunghezza dalla relazione We =C |V |2 /4, da cui segue

C =4We

|V |2 =ε1

|V |2∫

S

∣∣∣ ~E∣∣∣2

dS =ε1

ln2(b/a)

∫ 2π

0

∫ b

a

1

ρdφdρ =

2πε1

ln(b/a).

Per valutare la conduttanza G per unita’ di lunghezza e’ possibile utiliz-zare la relazione (2.5) e sfruttare l’espressione precedentemente ricavata peril calcolo della capacita’ C per unita’ di lunghezza

G =ωε1 tan(γ)

|V |2∫

S

∣∣∣ ~E∣∣∣2

dS = 2πf tan(γ)C =4π2fε1 tan(γ)

ln(b/a).

Per valutare la resistenza R per unita’ di lunghezza della linea e’ invecesufficiente applicare la relazione (2.8)

R =Rs

|I|2∫

C1+C2

∣∣∣n× ~H∣∣∣2

d` =

=Rs

|I|2[∫ 2π

0

∣∣∣∣ρ× φI

2πa

∣∣∣∣2

adφ+

∫ 2π

0

∣∣∣∣−ρ× φI

2πb

∣∣∣∣2

bdφ

]=

=Rs

2π

[1

a+

1

b

]=a+ b

2ab

√µf

πσ.

2.2 Linee con piccole perdite

Come gia’ visto nel primo capitolo, l’espressione della costante di propaga-zione k in funzione dei parametri primari della linea risulta

k = ω√LeqCeq = ω

√(L− jR/ω)(C − jG/ω) . (2.9)

2.2. LINEE CON PICCOLE PERDITE 47

Supponiamo che siano verificate simultaneamente le condizioni:

R¿ ωL , G¿ ωC , (2.10)

cioe’ sia verificata l’ipotesi di piccole perdite. In tal caso e’ possibile scriverel’eq. (2.9) nella forma

k = ω√LC

√1− jR/ωL

√1− jG/ωC , (2.11)

sviluppare le due radici in cui compare la pulsazione ω in serie di Taylor edarrestare lo sviluppo al primo ordine. Entrambe le radici sono della forma√

1 + u con u ¿ 1, per cui ricordando che lo sviluppo di tale espressionerisulta

√1 + u = 1 + u/2− u2/8 + . . . (2.12)

e trascurando i termini del secondo ordine e superiori, si ottiene

k ' ω√LC

1− j

[R

2ωL+

G

2ωC

]= β − jα . (2.13)

Si puo’ subito notare che nel caso di piccole perdite la costante di fase

β ' ω√LC (2.14)

coincide con quella che si misurerebbe in assenza di perdite e, poiche’ la di-pendenza dalla frequenza risulta lineare, la linea e’ non dispersiva. Per quantoriguarda invece la costante di attenuazione α, essa risulta ben approssimatadall’espressione

α ' 1

2

√LC

[R

L+G

C

]=

1

2

[R

R0

+R0G

], (2.15)

dove con R0 =√L/C si e’ indicata l’impedenza caratteristica che la linea

presenterebbe in assenza di perdite. Anche se nelle ipotesi fatte la costantedi attenuazione α non dipende esplicitamente dalla frequenza, e’ da tenere inconto che le costanti primarie R e G sono quantita’ proporzionali rispettiva-mente alla radice della frequenza e alla frequenza per cui le varie componentidi frequenza di un segnale informativo saranno attenuate in modo diversodurante la loro propagazione nella linea e si assistera’ a una distorsione delsegnale informativo che risultera’ sempre piu’ rilevante quanto piu’ la lineae’ lunga.


Per quanto riguarda l’impedenza caratteristica, sempre nell’ipotesi dipiccole perdite, si avra’

Z0 =

√LeqCeq

=

√L− jR/ωC − jG/ω =

√L

C

[√1− jR/ωL√1− jG/ωC

]=

'√L

C

1 + j 1

2ω

(GC− R

L

)+ RG

4ω2LC

1 + G2

4ω2C2

=

'√L

C

[1 + j

1

2

( G

ωC− R

ωL

)]= R0 + jX0 . (2.16)

Il termine immaginario nelle parentesi quadre e’ differenza di due quantita’per ipotesi molto piccole, per cui la parte immaginaria X0 dell’impedenzacaratteristica e’ generalmente trascurabile rispetto a quella reale. Di conse-guenza l’impedenza caratteristica della linea puo’ essere assunta reale e paria quella che la stessa linea presenterebbe in assenza di perdite.

Nel caso in cui le perdite siano maggiori la costante di fase β non e’ piu’in generale una funzione lineare della frequenza, la velocita’ di fase vf sara’funzione della frequenza e la linea risultera’ dispersiva. Per evidenziare cio’e’ sufficiente tenere in conto anche il termini quadratici nello sviluppo diTaylor:

β ' ω√LC

[1 +

1

2

( G

2ωC− R

2ωL

)2], (2.17)

α ' 1

2

√LC

[R

L+G

C

]=

1

2

[R

R0

+R0G

], (2.18)

Z0 '√L

C

[1 +

R2

8ω2L2− 3G2

8ω2C2+

RG

4ω2LC+ j

1

2

( G

ωC− R

ωL

)]' R′0 .

(2.19)

Le relazioni (2.15) e (2.18) possono essere convenientemente impiegateper calcolare il valore della costante di attenuazione per unita’ di lunghezzadella linea, tuttavia tale valore raramente coincide con quello misurato, spe-cialmente alle frequenza piu’ elevate. Cio’ in quanto le relazioni prescindonodalla inevitabile rugosita’ della superficie dei conduttori della linea. L’effettodella rugosita’ puo’ essere considerato tramite la seguente relazione empirica:

α = αs

[1 +

2

πarctan

(1.4 ∆2/δ2

)], (2.20)

2.2. LINEE CON PICCOLE PERDITE 49

dove αs e’ la costante di attenuazione valutata nel caso di conduttori per-fettamente lisci, ∆ e’ la rugosita’ superficiale media e δ la profondita’ dipenetrazione del conduttore.

Nel primo capitolo si era visto che l’impedenza caratteristica di una linearisulta reale anche in presenza di perdite nel caso sia verificata la condizionedi Heaviside:

R

ωL=

G

ωC. (2.21)

In tale ipotesi la costante di propagazione lungo la linea assume la forma

k = ω√LeqCeq = ω

√(L− jR/ω)(C − jG/ω) =

= ω√LC

√(1− j R

ωL

)(1− j G

ωC

)= ω√LC(

1− j RωL

)=

= ω√LC − jR

√C

L= ω√LC − j R

R0

= β + jα , (2.22)

dalla quale e’ evidente che la costante di fase β = ω√LC e’ una funzione

lineare della frequenza e la linea risulta non dispersiva anche se non e’ sod-disfatta la condizione di piccole perdite. Per tale motivo la condizione diHeaviside e’ anche detta condizione di non distorsione (distortionless condi-tion). Riguardo alla costante di attenuazione α = R

√C/L = R/R0 anche se

questa esplicitamente non risulta dipendente dalla frequenza, lo e’ attraversoil valore che la resistenza R per unita’ di lunghezza assume al variare dellafrequenza. Tale variazione risulta comunque minore rispetto a quella che siha nel caso di piccole perdite. Si noti che la resistenza R e la conduttanzaG per unita’ di lunghezza hanno una differente dipendenza dalla frequenza,per cui la condizione di Heaviside risulta rigorosamente soddisfatta alla solafrequenza di progetto, anche se in pratica puo’ essere considerata con buonaapprossimazione soddisfatta per una banda relativamente ampia nell’intor-no di tale frequenza. Per allargare tale banda di frequenza possono essereinserite periodicamente in serie alla linea delle opportune induttanze (pupi-nizzazione). Alternativamente e’ possibile caricare periodicamente la lineacon delle capacita’ in parallelo alla linea (krarupizzazione).

Nel caso si operi a bassa frequenza l’ipotesi (2.10) di piccole perdite nonsara’ piu’ verificata ma risulteranno valide le condizioni

RÀ ωL , GÀ ωC . (2.23)


In tal caso la costante di propagazione puo’ essere approssimata dalla rela-zione

k = −j√RG

√1 + jωL/R

√1 + jωC/G =

' −j√RG

[1 + j

1

2

(ωL

R+ωC

G

)], (2.24)

da cui

β '√RG

2

[ωL

R+ωC

G

], (2.25)

α '√RG . (2.26)

Anche in questo caso la costante di fase β risulta direttamente proporzionalealla frequenza anche se, a causa del termine in parentesi quadra, avra’ unvalore molto piccolo. Per quanto riguarda l’impedenza caratteristica si ha

Z0 =

√R

G

√1 + jωL/R√1 + jωC/G

'√R

G

[1 + j

1

2

(ωC

G− ωL

R

)](2.27)

e, analogamente a quanto visto nel caso di alta frequenza, la parte immagi-naria puo’ essere trascurata rispetto a quella reale.

2.3 Linea con piccole perdite chiusa su un genericocarico

Si consideri adesso il caso in cui una linea con piccole perdite sia chiusa su ungenerico carico Zu. Anche se la costante di propagazione k = β − jα risultacomplessa, nel precedente paragrafo si era visto come, a causa delle ridotteperdite, l’impedenza caratteristica della linea puo’ essere ancora consideratauna quantita’ reale Z0 = R0 ∈ R+. In tale ipotesi le espressioni relative allacorrente ed alla tensione lungo la linea risultano

V (z) = V+ exp(jβz) [1 + Γ(z)] exp(αz) , (2.28)

I(z) =V+

R0

exp(jβz) [1− Γ(z)] exp(αz) , (2.29)

dove

Γ(z) = Γ(0) exp(−j2βz) exp(−2αz) . (2.30)

2.3. LINEA CON PICCOLE PERDITE CHIUSA SU UN GENERICO CARICO 51

Si noti che V+ rappresenta l’ampiezza dell’onda diretta di tensione in z = 0,per cui il termine exp(αz) nelle equazioni (2.28) e (2.29) tiene conto delfatto che l’onda diretta si attenua man mano che si propaga nella linea. Ilcoefficiente di riflessione contiene invece il fattore exp(−2αz) che tiene contodel fatto che sia l’onda diretta che quella riflessa dal carico cedono energiaalla linea mentre si propagano in essa. Segue che il modulo del coefficientedi riflessione diminuisce allontanandosi dal carico mentre l’impedenza dellalinea,

Z(z) = R0Zu +R0 tan [(β − jα)z]

R0 + Zu tan [(β − jα)z]=

= R01 + Γ(0) exp(−j2βz) exp(−2αz)

1− Γ(0) exp(−j2βz) exp(−2αz), (2.31)

non risulta essere piu’ una quantita’ periodica ed il suo valore tendera’ aquello dell’impedenza caratteristica della linea per una linea infinitamentelunga (z → ∞). Cio’ implica che qualora si volesse rappresentare l’anda-mento del coefficiente di riflessione nel piano dei fasori, cosi’ come visto nelparagrafo 1.4.5, nel muoversi lungo la linea non si percorrera’ piu’ una circon-ferenza ma ci si spostera’ su una spirale centrata nell’origine della carta. Setuttavia la linea non e’ troppo lunga il tratto di spirale percorso puo’ esseregeneralmente assimilato ad una circonferenza.

Sempre nella ipotesi che l’impedenza della linea possa essere consideratacome una quantita’ puramente reale, la potenza attiva in ingresso alla linea,supposta di lunghezza ` e chiusa sul carico Zu, e’ pari a

P (`) =1

2Re [V (`) I∗(`)] = Pinc(`)

[1− |Γ(0)|2 exp(−4α`)

], (2.32)

dove il termine

Pinc(`) =1

2

|V+|2R0

exp(2α`) (2.33)

rappresenta la potenza incidente su una sezione della linea posta a distanza` dal carico. La potenza dissipata sul carico risulta invece

P (0) =1

2Re [V (0) I∗(0)] =

1

2

|V+|2R0

[1− |Γ(0)|2] , (2.34)

da cui segue che la potenza dissipata nella linea e’ esprimibile come:

P` = P (`)− P (0) =1

2

|V+|2R0

[(exp(2α`)− 1

)+ |Γ(0)|2

(1− exp(−2α`)

)].

(2.35)


In quest’ultima relazione il primo termine nella parentesi quadra tiene contodella potenza persa dall’onda diretta mentre il secondo termine tiene contodella potenza persa dall’onda riflessa. Si noti che entrambi i termini aumen-tano all’aumentare delle perdite e quindi della costante di attenuazione α.Esplicitando invece la potenza incidente all’ingresso della linea, la relazione(2.35) assume la forma:

P` = P (`)− P (0) = Pinc(`) [1− exp(−2α`)][1 + |Γ(0)|2 exp(−2α`)

].

(2.36)

Esercizio 2.2 Si consideri un cavo coassiale in aria avente impedenzaR0 = 100 Ω la cui parte finale risulta riempita, per il tratto ` = 1 cm, daun materiale speciale avente impedenza caratteristica ζ1, pari ad un quartodi quella del vuoto, e costante di propagazione k1 = (1 − j)ω√ε0µ0. Il cavoe’ inoltre metallizzato al suo estremo tramite un conduttore elettrico perfet-to. Si determini il rapporto tra il modulo dell’ampiezza dell’onda riflessa equello dell’onda incidente presenti nel tratto di cavo in aria nel caso in cui lafrequenza di lavoro sia pari a 3 GHz. Si calcoli quindi la potenza dissipata nelprimo tratto (a partire dall’interfaccia aria/materiale speciale) di lunghezzad = 2 mm della struttura guidante riempita di materiale speciale.

Dai dati del problema si puo’ ricavare la lunghezza d’onda nel tratto in aria

λ0 =2π

k0

=2π

ω√ε0µ0

=c

f= 10 cm ,

da cui segue

` = λ0/10 .

Poiche’ si suppone propagarsi in tutto il cavo un modo TEM, la costante dipropagazione del tratto di linea riempita con il materiale speciale coincide conquella del materiale stesso k1 = β1−jα1 = k0−jk0. Tale ipotesi, insieme conil fatto che la metallizzazione al termine del cavo coassiale costituisce un cortocircuito, fa si che il coefficiente di riflessione subito a destra dell’interfacciaaria/materiale speciale risulti:

Γ(`) = Γ(0) exp(−j2k1`) = (−1) exp(−j2β1`) exp(−2α1`)

= − exp(−j2k0`) exp(−2k0`) = −0.285 exp(−j0.4π) .

Quindi lo spezzone di cavo riempito di materiale speciale chiuso in cortocircuito si presenta all’interfaccia AA′ come una impedenza equivalente pari

2.3. LINEA CON PICCOLE PERDITE CHIUSA SU UN GENERICO CARICO 53

a

ZAA′ = Z(`) = Z11 + Γ(`)

1− Γ(`),

dove con Z1 si e’ indicata l’impedenza caratteristica del tratto di cavo riem-pito con il materiale speciale. Poiche’ la struttura guidante e’ omogenea e,rispetto al tratto in aria, variano soltanto le caratteristiche elettriche e ma-gnetiche ma non quelle geometriche, l’impedenza caratteristica Z1 e’ legataa quella del tratto in aria, R0, dalla relazione

Z1 = R0ζ1

ζ0

= R0ζ0/4

ζ0

= R0/4 ∈ R+ ,

da cui segue che il rapporto tra il modulo dell’ampiezza dell’onda riflessa equello dell’onda incidente e’ pari a

|V−||V+| = |ΓAA′| =

∣∣∣∣ZAA′ −R0

ZAA′ +R0

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣R0

41+Γ(`)1−Γ(`)

−R0

R0

41+Γ(`)1−Γ(`)

+R0

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−3 + 5 Γ(`)

5− 3 Γ(`)

∣∣∣∣ = 0.7 .

La potenza dissipata nella linea riempita di materiale speciale risultera’ parialla potenza fluente nel tratto di guida in aria, e quindi:

Pd =1

2

|V+|2R0

[1− |ΓAA′|2

]= 2.55|V+|2 mW .

Tale potenza e’ anche esprimibile in funzione dell’ampiezza dell’onda direttaV ′+ sul carico Zu come

Pd = P (`) =1

2

|V ′+|2Z1

[exp(2α1`) + |Γ(0)|2 exp(−2α1`)

].

da cui si deduce che, essendo exp(2α1`)À exp(−2α1`),

|V ′+|2 =|V+|2R0

[1− |ΓAA′|2

] Z1

[exp(2α1`) + |Γ(0)|2 exp(−2α1`)]=

' |V+|2R0

[1− |ΓAA′|2

]Z1 exp(−2α1`) .

La precedente relazione permette di calcolare la potenza dissipata nel tratto


terminale della linea di lunghezza (`− d)

P (`− d) =1

2

|V ′+|2Z1

[exp [2α1(`− d)] + |Γ(0)|2 exp [−2α1(`− d)]

]=

' 1

2

|V+|2R0

[1− |ΓAA′|2

] [exp(

2α1(`− d))

exp(−2α1`

)]=

=1

2

|V+|2R0

[1− |ΓAA′|2

]exp(−2α1d) ' 1.98|V+|2 mW ,

da cui si ricava che la potenza dissipata nel tratto d risulta

P`−d = P (`)− P (`− d) ' 0.566|V+|2 mW .

Capitolo 3

La carta di Smith

La carta di Smith1 (C.d.S.) non solo risulta un valido aiuto grafico per la de-terminazione delle grandezze elettriche della linea ma e’ soprattutto un meto-do per visualizzare l’andamento di tali grandezze lungo la linea e i fenomeniloro legati. Cio’ ha fatto si’ che anche con l’avvento dei moderni calcolatoriessa non abbia perso di significato e anzi costituisca una delle rappresenta-zioni grafiche piu’ usate nei programmi di CAD (Computer Aided Design) amicroonde.

3.1 Costruzione della carta di Smith

Si consideri una linea uniforme, priva di perdite, con impedenza caratteri-stica Z0 = R0 ∈ R+, chiusa su un generico carico passivo Zu = Ru + jXu

(Re Zu = Ru ≥ 0). Si definisce impedenza normalizzata il rapporto adi-mensionale tra l’impedenza Z(z) lungo la linea e l’impedenza caratteristicaR0 della linea:

Zn(z) =Z(z)

R0

. (3.1)

Il coefficiente di riflessione di tensione Γ(z) puo’ essere espresso in funzionedell’impedenza normalizzata come

Γ(z) =Zn(z)− 1

Zn(z) + 1(3.2)

e considerato una funzione complessa della variabile complessa Zn. La re-lazione (3.2) trasforma quindi il dominio semplicemente connesso del semi-piano Re Zn ≥ 0, del piano della variabile Zn, nel dominio semplicementeconnesso |Γ(z)| ≤ 1 del piano della variabile Γ (Fig. 3.1).

1Ideata da P. Smith del Bell Telephone Laboratories nel 1939.

55

56 CAPITOLO 3. LA CARTA DI SMITH – A.FRENI

(z)Z (z) 1

n

Z (z)+1n

Z (z)1 (z)

n

(z)

0 1

1

1

1

Re(Z )n Re( )

Im( )Im(Z )n

Figura 3.1: Trasformazione conforme dal piano complesso Zn al piano Γ.

La trasformazione definisce una trasformazione conforme2 di Zn in Γ ede’ invertibile; infatti:

Zn =1 + Γ(z)

1− Γ(z). (3.3)

Ponendo Γ(z) = γr+jγx e Zn = r+jx l’espressione (3.3) puo’ essere riscrittanella forma:

r + jx =1 + γr + jγx1− γr − jγx

=

(1 + γr + jγx

)(1− γr + jγx

)

(1− γr)2 + γ2x

=1− γ2

r − γ2x + j2γx

(1− γr)2 + γ2x

. (3.4)

Eguagliando le parti reali dell’eq. (3.4) e’ verificata la seguente relazione:

r =1− γ2

r − γ2x

(1− γr)2 + γ2x

, (3.5)

o equivalentemente:

r (1− γr)2 + r γ2x = 1− γ2

r − γ2x , (3.6)

2Siano ω1, ω2 due curve nel piano complesso (r,x) che si intersecano nel punto P(r0,x0)e Ω1, Ω2 le curve trasformate nel piano complesso (γr,γx) che si intersecano nel puntoQ(γr0 ,γx0). Se l’angolo formato dall’intersezione di ω1 ed ω2 e’ uguale in ampiezza e versoa quello formato dall’intersezione delle curve Ω1 e Ω2 si dice che la trasformazione e’ unatrasformazione conforme.

3.1. COSTRUZIONE DELLA CARTA DI SMITH 57

0 1

1

1

1

r

xx

r0.5 1 3

0.5

1

3

r 0

Figura 3.2: Trasformazione nel piano complesso del coefficiente di riflessionedella parte reale dell’impedenza normalizzata.

r + r γ2r − 2 r γr + r γ2

x = 1− γ2r − γ2

x , (3.7)

γ2r (1 + r) + γ2

x (1 + r)− 2 r γr = 1− r , (3.8)

γ2r + γ2

x − 2r

1 + rγr =

1− r1 + r

. (3.9)

Sommando ad entrambi i membri la quantita’ (r/[1+r])2, l’ultima espressionerisulta:

(γr − r

1 + r

)2

+ γ2x =

( 1

1 + r

)2

, (3.10)

che, nel piano (γr,γx), rappresenta l’equazione di una famiglia di circonferen-ze con centro nel punto (r/[1 + r] , 0) e raggio 1/[1 + r]. Cio’ comporta cheogni retta parallela all’asse immaginario del piano complesso (r,x), corrispon-dente ad uno specifico valore della parte reale dell’impedenza normalizzata,e’ trasformata nel piano complesso (γr,γx) in una circonferenza passante peril punto (1,0) con centro appartenente all’asse reale (Fig. 3.2). Se invecesi eguagliano le parti immaginarie dell’eq (3.4) dovra’ essere verificata larelazione:

x =2γx

(1− γr)2 + γ2x

, (3.11)


1

1

1

1

r

xx

r

0.5

1

2

0.5

0.5

12

0.5

x 0

Figura 3.3: Trasformazione nel piano complesso del coefficiente di riflessionedella parte immaginaria dell’impedenza normalizzata.

o equivalentemente:

x (1− γr)2 + x γ2x = 2 γx , (3.12)

x+ x γ2r − 2x γr + x γ2

x = 2 γx , (3.13)

γ2r + γ2

x − 2 γr − 2

xγx + 1 = 0 . (3.14)

Sommando ad entrambi i membri la quantita’ (1/x2) l’ultima espressionerisulta:

(γr − 1

)2

+(γx − 1

x

)2

=1

x2(3.15)

che, nel piano (γr,γx), rappresenta l’equazione di una famiglia di circonferen-ze con centro nel punto (1 , 1/x) e raggio 1/x. Percio’ ogni retta parallelaall’asse reale del piano complesso (r,x), corrispondente ad uno specifico va-lore della parte immaginaria dell’impedenza normalizzata, e’ trasformato nelpiano complesso (γr,γx) in una circonferenza, passante per il punto (1,0),con centro appartenente ad una retta passante per il punto (1,0) e parallelaall’asse immaginario (Fig. 3.3). La condizione di carico passivo impone inol-tre che il modulo del coefficiente di riflessione risulti minore o al piu’ ugualeall’unita’, per cui le circonferenze a x =cost saranno limitate dalla circon-ferenza di raggio unitario centrata nell’origine. Combinando insieme le due


0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.8

0.8

0.8

0.9

0.9

0.9

1.0

1.0

1.0

1.2

1.2

1.2

1.4

1.4

1.4

1.6

1.6

1.6

1.8

1.8

1.8

2.0

2.0

2.0

3.0

3.0

3.0

4.0

4.0

4.0

5.0

5.0

5.0

10

10

10

20

20

20

50

50

50

0.2

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.6

0.6

0.8

0.8

0.8

0.8

1.0

1.0

1.0

1.0

20

-20

30-30

40-40

50

-50

60

-60

70

-70

80

-80

90

-90

100

-100

110

-110

120

-120

130

-130

140

-140

150

-150

160

-160

170

-170

180

90

-90

85

-85

80

-80

75

-75

70

-70

65

-65

60-60

55-55

50-50

45

-45

40

-40

35

-35

30

-30

25

-25

20

-20

15

-15

10

-10

0.04

0.04

0.05

0.05

0.06

0.06

0.07

0.07

0.08

0.08

0.09

0.09

0.1

0.1

0.11

0.11

0.12

0.12

0.13

0.13

0.14

0.14

0.15

0.15

0.16

0.16

0.17

0.17

0.18

0.18

0.19

0.19

0.2

0.2

0.21

0.210.22

0.22

0.23

0.23

0.24

0.24

0.25

0.25

0.26

0.26

0.27

0.27

0.28

0.28

0.29

0.29

0.3

0.3

0.31

0.31

0.32

0.32

0.33

0.33

0.34

0.34

0.35

0.35

0.36

0.36

0.37

0.37

0.38

0.38

0.39

0.39

0.4

0.4

0.41

0.41

0.42

0.42

0.43

0.43

0.44

0.44

0.45

0.45

0.46

0.46

0.47

0.47

0.48

0.48

0.49

0.49

0.0

0.0

FASE DEL COEFFICIENTE DI T

RASMISSIONE IN

GRADI

FASE DEL COEFFICIENTE DI R

IFLESSIONE IN

GRADI

—> LUNGH. D’ONDA VERSO IL GENERATORE —>

<— LUNGH. D

’ONDA VERSO IL CARICO <—

PARTE INDUTTIVA DELLA REATTANZA (+jX/Zo), O

CAPACITIVA

DELLA

SUSCETTA

N ZA (+

jB/Yo)

PARTE C

APACIT

IVA DE

LLA REATTANZA (-jX/Z

o), O INDUTTIVA DELLA SUSCETTANZA (-jB/Yo)

PARTE RESISTIVA (R/Zo), O CONDUTTIVA (G/Yo)

Figura 3.4: La carta di Smith.

famiglie di circonferenze si ottiene la carta di Smith (C.d.S.) che fornisce unacorrispondenza biunivoca tra i valori dell’impedenza normalizzata e i valoridel coefficiente di riflessione di tensione (Fig. 3.4). Per come e’ stata costruitala C.d.S. e’ evidente che l’asse γr corrisponde al cerchio x = 0, per cui tutti ipunti appartenenti a tale asse rappresentano un carico puramente resistivo.Nel semispazio superiore giacciono tutte le circonferenze con x > 0 e in talesemispazio sono localizzati tutti i carichi che presentano una parte induttiva.Nel semispazio inferiore giacciono invece tutte le circonferenze con x < 0,caratteristiche di carichi che presentano una parte capacitiva.

Per quanto riguarda le circonferenze a r =cost si puo’ notare che tutti icarichi che presentano una parte resistiva maggiore dell’impedenza caratte-ristica della linea R0 sono localizzati all’interno del cerchio r = 1 che risultapassante per l’origine del piano complesso del coefficiente di riflessione. Il


1

x

r

r 0

x 0

r 1

c.c. c.a.adattato

x 0

x 0

capacitivo

induttivo

Figura 3.5: Punti caratteristici sulla carta di Smith.

ZuR0 R0

A

A'

B

B'

j /4


cerchio r = 0, centrato nell’origine, rappresenta invece il luogo dei punti deicarichi puramente reattivi. Sulla C.d.S. si possono anche individuare i punticaratteristici di un corto circuito (r = 0, x = 0), di un circuito aperto (r = 0,x = −∞) e di un carico adattato (r = 1, x = 0), in cui cioe’ la linea risultachiusa sulla propria impedenza caratteristica, cosi’ come mostrato in Fig. 3.5.

Esercizio 3.1 Per la linea descritta in Fig. 3.6, si valuti sia il coefficientedi riflessione di tensione sul carico che il valore dell’impedenza alla sezioneAA′ facendo uso della C.d.S.. (R0 = 50 Ω, Zu = 150− j100 Ω).

Come primo passo sara’ necessario determinare l’impedenza normalizzata


1

1

A

1

x

r

x= 2

P

r 3

O

r 0

(a)

1

1

1

x

r

P

O

r 0

A

AA'

Q

r 0.22

x 0.16

)

(b)

Figura 3.7: Carta di Smith relativa all’esercizio 3.1.

della linea in corrispondenza del carico

Zn(0) =ZuR0

=150− j100

50= 3− j2 ,

per poi individuare sulla C.d.S. il punto P , intersezione delle due circonfe-renze a r = 3 e a x = −2 (Fig. 3.7a). Tale punto P rappresenta anche ilcoefficiente di riflessione di tensione nel piano complesso (γr,γx) e quindi ilsegmento

−→OP rappresenta il modulo del coefficiente di riflessione di tensio-

ne. Tuttavia, al fine di valorizzare tale modulo, la lunghezza del segmento−→OP dovra’ essere rapportata a quella del segmento

−→OA che rappresenta il

coefficiente di riflessione di tensione unitario. In particolare, per i dati delproblema si ottiene

| Γ(0) |=−→OP−→OA' 0.63 ,

arg Γ(0) = θ ' −0.1π .

Nel primo capitolo si e’ dimostrato che qualora ci si muove lungo la lineadi una distanza ` nella direzione del generatore il vettore rappresentante ilcoefficiente di riflessione ruota, in senso orario, di un angolo θ = −2β`. Nelproblema in analisi, la sezione AA′ e’ posta ad una distanza ` = 0.25λ dalcarico quindi spostarsi dal carico alla sezione AA′ equivale a ruotare il vettore−→OP di un angolo

θAA′ = −2β` = −22π

λ· 0.25λ = −π .


Ruotando tale vettore in senso orario di un angolo θAA′ si individua un puntoQ simmetrico al punto P rispetto all’origine O rappresentativo del coefficientedi riflessione alla sezione AA′ (Fig. 3.7b). Tale punto Q risulta l’intersezionedella circonferenza a resistenza normalizzata costante r = 0.22 con quella areattanza normalizzata costante x = 0.16. Ne deriva che nella sezione AA′

l’impedenza normalizzata della linea risulta

Zn(`) = 0.22 + j0.16 Ω

e quindi, denormalizzando, l’impedenza della linea a tale sezione e’

Z(`) = Zn(`)R0 = 11 + j8 Ω .

Dall’esercizio precedente appare evidente che spostarsi lungo una lineasupposta priva di perdite per un tratto ` in direzione del generatore equivalea ruotare il fasore del coefficiente di riflessione in senso orario di un angolo2β` = 4π`/λ. In senso antiorario qualora ci si sposti verso il carico. Al fine difacilitare la rotazione la C.d.S. presenta quindi una scala calibrata in terminidi lunghezza d’onda intorno al perimetro circolare esterno. Poiche’ spostarsilungo la linea di un tratto ` = 0.5λ equivale a compiere un giro completodella C.d.S., comportamento che esprime la periodicita’ del coefficiente diriflessione e dell’impedenza normalizzata lungo la linea, la scala copre solol’intervallo (0, 0.5)λ.

Sulla carta di Smith e’ possibile leggere anche il rapporto d’onda stazio-naria (ROS); infatti si era gia’ dimostrato come |Z(z)|max = R0(ROS) dacui ne deriva che

(ROS) =|Z(z)|max

R0

= rmax , (3.16)

cioe’ che il valore del rapporto d’onda stazionario coincide con il massimovalore della resistenza normalizzata della linea che si incontra muovendosisu di essa. Ora, nel caso di linea senza perdite, muoversi lungo la lineaequivale a ruotare su una circonferenza centrata nell’origine avente raggiopari al modulo del coefficiente di riflessione. Il valore del (ROS) potra’ esserequindi calcolato leggendo il valore della piu’ piccola circonferenza a resistenzacostante intersecante la circonferenza a modulo del coefficiente di riflessionecostante. La circonferenza cercata risulta tangente a quest’ultima e quindifacilmente individuabile sulla C.d.S.. Si noti come nella figura 3.8 il puntoM di tangenza appartenga all’asse reale del piano complesso del coefficiente


1

x

rMO

rmax

N

(z)

rmin

Figura 3.8: Massimo e minimo di tensione sulla carta di Smith.

di riflessione e corrisponda ad un massimo di tensione (minimo di corrente).In posizione simmetrica ad esso rispetto all’origine e’ inoltre individuabileil punto N che rappresenta un minimo di tensione (massimo di corrente) ecorrisponde al minimo modulo dell’impedenza normalizzata lungo la linea:

rmin =R0

|Z(z)|min =1

(ROS). (3.17)

Esercizio 3.2 Si valuti il modulo del coefficiente di riflessione ed il rapportod’onda stazionaria per una linea priva di perdite di impedenza caratteristicaR0 = 50 Ω chiusa su un carico avente impedenza Zu=100 + j75 Ω.

Si calcoli in primo luogo l’impedenza normalizzata del carico

Zn(0) =ZuR0

= 2 + j1.5 .

Cio’ permette di individuare il punto P sulla C.d.S., intersezione dei cerchi ar = 2 e x = 1.5 (Fig. 3.9). La misura del segmento

−→OP rapportata a quella

del segmento−→OA fornira’ il valore del modulo del coefficiente di riflessione:

|Γ(0)| =−→OP−→OA' 0.53 .

Per valutare il ROS sara’ sufficiente muoversi sulla circonferenza a modulodel coefficiente di riflessione costante fino ad intersecare l’asse reale positivo(γr > 0), individuando cosi’ il punto M , per poi leggere il valore del cerchio aresistenza normalizzata costante passante per il punto M (r = 3.3). Il valoredel rapporto d’onda stazionaria coincidera’ con il valore di tale resistenzanormalizzata, quindi: ROS = 3.3.


M A

γx

γr

O

P

r=2

x=1.5

r =3.3max

r=0


Esercizio 3.3 Si consideri una linea priva di perdite di impedenza caratte-ristica R0 = 50 Ω chiusa su un carico passivo avente impedenza Zu incognita.Tramite una serie di misure si perviene alla conoscenza che ROS = 2 ed ilprimo minimo di tensione e’ localizzato ad una distanza ` = λ/10 dal carico.Si determini il valore del carico Zu incognito.

La conoscenza del ROS permette di individuare sulla C.d.S. il punto M , in-tersezione tra il cerchio a r = 2 e l’asse reale γr, e quindi disegnare il cerchioa modulo del coefficiente di riflessione costante come quel cerchio con centronell’origine O passante per il punto M (Fig. 3.10).

Il punto N sulla C.d.S. caratteristico della sezione in cui e’ misurato ilminimo di tensione dovra’ quindi appartenere a tale circonferenza e risultareanche simmetrico del punto M rispetto all’origine. Tale punto N individuera’altresi’ l’impedenza normalizzata che la linea presenta ad una sezione postaa ` = λ/10 dal carico. Per valutare l’impedenza Zu del carico sara’ quindinecessario spostarsi da tale sezione sul carico, cioe’ ruotare, a partire dalpunto N , in senso antiorario sulla circonferenza a modulo del coefficientecostante per

2β` = 2 · 2π

λ· λ

10= 2π/5 rad .

Si viene cosi’ ad individuare un punto P nel quale si intersecano le circon-ferenze r = 0.68 e x = −0.48. L’impedenza del carico risultera’ quindi paria:

Zu = Zn(0) R0 = (0.68− j0.48) · 50 ' 34− j24 Ω

3.2. CARTA DI SMITH LETTA IN TERMINI DI AMMETTENZA 65x=-0 .4 8

MN A

γx

γrO

P

r=0 .6 8r =2m a x

r=0/1 0


3.2 Carta di Smith letta in termini di ammettenza

Spesso nelle applicazioni pratiche si deve studiare una linea di trasmissionecui e’ posta in parallelo una altra linea di trasmissione o una impedenzaconcentrata. In tal caso e’ sicuramente piu’ conveniente lavorare in terminidi ammettenza in quanto l’ammettenza equivalente dovuta al parallelo didue ammettenze e’ data dalla semplice somma algebrica dei valori di taliammettenze.

Analogamente all’impedenza normalizzata si puo’ ora definire una am-mettenza normalizzata

Yn(z) =1

Zn(z)=

R0

Z(z)= g + jb (3.18)

che puo’ essere espressa in funzione del coefficiente di riflessione di tensionetramite la relazione:

Yn(z) =1

Zn(z)=

1− Γ(z)

1 + Γ(z). (3.19)

Introducendo il coefficiente di riflessione di corrente ΓI(z) = γg + jγb,legato a quello di tensione dalla relazione ΓI(z) = −Γ(z), l’espressione (3.19)puo’ essere scritta nella forma

Yn(z) =1 + ΓI(z)

1− ΓI(z), (3.20)

forma che risulta uguale a quella della relazione (3.3) a meno di scambiaretra loro i simboli Zn ↔ Yn e Γ ↔ ΓI . Quindi, analogamente a quanto fatto


1

1

1

1

g cost

b cost

IIm

b

Re g I

Figura 3.11: Carta di Smith letta in termini di ammettenza

per l’impedenza normalizzata ed il coefficiente di riflessione di tensione, e’possibile costruire una carta di Smith che lega l’ammettenza normalizzata alcoefficiente di riflessione di corrente (Fig. 3.11). In particolare si otterran-no le stesse famiglie di circonferenze: queste, invece di essere associate allaresistenza normalizzata r e alla reattanza normalizzata x, rappresentano, ri-spettivamente, la conduttanza normalizzata g e la suscettanza normalizzatab. Nello stesso tempo gli assi di riferimento rappresentano la parte reale edimmaginaria del coefficiente di riflessione di corrente ΓI(z) = γg + jγb.

Esercizio 3.4 Su una linea di trasmissione priva di perdite avente impe-denza caratteristica R0 = 50 Ω si misura, a distanza ` = 0.2λ dal carico, uncoefficiente di riflessione di tensione pari a 0.5. Si determini l’ammettenzadel carico su cui e’ chiusa la linea (Fig. 3.12).

Il coefficiente di riflessione di corrente alla sezione BB′, distante 0.2λ dalcarico, risulta

ΓI(`) = −Γ(`) = −0.5 = 0.5 exp(jπ) .

E’ quindi possibile individuare sulla C.d.S. letta in termini di ammettenzaun punto B, rappresentativo del coefficiente di riflessione ΓI(`) ed apparte-nente all’asse reale, in cui si intersecano le circonferenze g = 0.34 e b = 0(Fig. 3.12). Spostandosi lungo la linea dalla sezione BB′ al carico, il pun-to B ruotera’ sulla C.d.S. in senso antiorario fino a raggiungere il punto A.Tale punto individuera’ le circonferenze g = 1.7 e b = −1.3 rappresentativedell’ammettenza normalizzata del carico. Ne segue che, denormalizzando ri-spetto all’ammettenza caratteristica della linea G0 = 1/R0, l’impedenza del

3.2. CARTA DI SMITH LETTA IN TERMINI DI AMMETTENZA 67

ZuR0

A

A'

B

B'

1

A

OB

b

g

g 0.34

g 1.7

b 1.3

j

Figura 3.12: Geometria del problema e carta di Smith relative all’esercizio3.4.

carico risulta:

Yu = (g + jb)G0 =g + jb

R0

=1.7− j1.3

50= 0.034− j0.026 Ω−1 .

Sara’ ora nostro obiettivo calcolare in modo grafico il valore dell’ammet-tenza normalizzata Yn a partire dalla conoscenza dell’impedenza normalizza-ta Zn. A tal fine si supponga di aver individuato sulla C.d.S, letta in terminidi impedenza, un punto P caratteristico dell’impedenza normalizzata Zn.Tale punto P individua un particolare valore del coefficiente di riflessione ditensione Γ(P ) a cui il corrispondente coefficiente di riflessione di corrente e’legato dalla relazione

ΓI(P) = −Γ(P) = Γ(P) exp(jπ) . (3.21)

Quindi se si volesse rappresentare tale punto P nel piano complesso del coef-ficiente di riflessione di corrente questo risulterebbe ruotato di un angolo πrispetto a quello individuato nel piano complesso del coefficiente di rifles-sione di tensione. Cio’ corrisponde ad individuare un punto P ′ simmetricodel punto P rispetto all’origine del piano dei fasori. Quindi ad un punto P ,rappresentativo di una impedenza Zn sulla C.d.S. letta in termini di impe-denza, corrisponde, sulla C.d.S. letta in termini di ammettenza, un puntoP ′, simmetrico al punto P rispetto al centro della carta, rappresentativodell’ammettenza normalizzata Yn = 1/Zn.


1

x

r

r 0

x 0

r 1

c.c. c.a.adattato 1

g 0

g 1

c.a. c.c.adattato

b

g

b 0

Carta di Smith

letta in termini

di impedenza

Carta di Smith

letta in termini

di ammettenza

Figura 3.13: Posizione dei punti caratteristici nella carta di Smith letta intermini di impedenza (a sinistra) e in termini di ammettenza (a destra).

Si noti come sulla C.d.S. letta in termini di ammettenza il punto caratte-ristico di un corto circuito risulti ora coincidente con il punto (1,0) del pianodel coefficiente di riflessione di corrente, mentre il punto caratteristico di uncircuito aperto e’ localizzato nel punto (−1,0). Tali punti risultano cioe’ sim-metrici rispetto all’origine degli analoghi punti gia’ individuati sulla C.d.S.letta in termini di impedenza (Fig. 3.13). Nello stesso modo l’asse γg > 0individua il luogo dei punti in cui si misura un minimo di tensione (massimodi corrente) lungo la linea, mentre l’asse γg < 0 il luogo dei punti in cui siha un massimo di tensione (minimo di corrente).

Esercizio 3.5 Si valuti l’impedenza del carico nel caso dell’esercizio prece-dente.

Per valutare l’impedenza del carico e’ necessario individuare sulla C.d.S. ilpunto P simmetrico rispetto all’origine O del punto A gia’ localizzato nell’e-sercizio precedente. Se si legge la C.d.S. in termini di impedenza il punto P e’rappresentativo dell’impedenza normalizzata del carico, per cui per ottenereil valore dell’impedenza del carico e’ sufficiente individuare le due circonferen-ze r = 0.37 e x = 0.29 che si intersecano nel punto P e quindi denormalizzarerispetto all’impedenza caratteristica R0 della linea:

Zu = (r + jx)R0 = (0.37 + j0.29)50 = 18.5 + j14.5 Ω .


1

Zu

A

A'

C

C'

B

B '

2

R0 jB

j

j


Esercizio 3.6 Nel circuito schematizzato in Fig. 3.14, in cui la linea ditrasmissione e’ costituita da un cavo coassiale privo di perdite, non e’ pre-sente alcuna onda riflessa a sinistra della sezione AA′ per una frequenza dilavoro pari a f = 100MHz. Spostandosi dalla sezione AA′ verso il carico simisura un minimo di tensione alla sezione BB ′. In tali ipotesi si determinisia il valore della costante dielettrica relativa εr del cavo che il valore delcarico incognito. (`1 = 55 cm, `2 = 16.2 cm, B = −0.01 Ω−1, R0 = 100 Ω).

Poiche’ a sinistra della sezione AA′ non e’ presente alcuna onda riflessa, atale sezione il circuito presenta una ammettenza equivalente uguale all’am-mettenza caratteristica della linea, cioe’ YAA′ = G0 = 1/R0. L’ammettenzaYAA′ e’ data dal parallelo tra la suscettanza B e l’ammettenza equivalen-te Ys, relativa allo spezzone di linea di lunghezza `1 chiuso sul carico Zu.Considerando le relative ammettenze normalizzate dovra’ quindi risultare

YAA′n =YAA′

G0

= 1 = jBn + Ysn ,

dove Bn = B/G0 = −0.01 · 100 = −1 e Ysn = Ys/G0. Dalla precedenterelazione segue che

Ysn = 1− jBn = 1 + j ,

per cui il tratto di linea di lunghezza `1, chiuso sul carico Zu incognito, e’rappresentato sulla C.d.S letta in termini di ammettenza dal punto A in-tersezione delle curve g = 1, b = 1 (Fig. 3.15a). Spostarsi lungo la lineadalla sezione AA′ alla sezione BB′, in cui si incontra un minimo di tensio-ne, equivale a percorrere in senso antiorario la circonferenza a modulo del


1

b=1

A

O

b

gB

g=1

(a)

1O B

C

0.487 -

g=2.5

b=-0.4

#g

b#

(b)


coefficiente di riflessione costante passante per il punto A fino ad intersecarel’asse reale positivo γg > 0 del coefficiente di riflessione di corrente; i punti ditale asse infatti sono rappresentativi dei minimi di tensione lungo la linea. Siindividua cosi’ sulla C.d.S. il punto B. Nello spostarsi dal punto A al puntoB si percorre la C.d.S. per una distanza `2 = 0.412λ da cui

λ =`2

0.412=

0.162

0.412' 0.393 m.

Supponendo che nel cavo coassiale si propaghi un modo TEM e che ilmateriale che separa i conduttori sia un materiale dielettrico, la velocita’ difase risulta vf = c/

√εr, per cui

εr =c2

v2f

=c2

λ2f 2'[

300 106

0.393 · 100 106

]2

' 58.3 .

Per determinare l’impedenza del carico Zu e’ sufficiente ruotare sulla C.d.S.in senso antiorario di ([`1 − `2]/λ)λ = ([0.55 − 0.162]/0.393)λ ' 0.987λ, apartire dal punto B. Cio’ equivale a percorrere un giro completo della C.d.S.(pari a 0.5λ) piu’ un tratto pari a 0.487λ ed individuare il punto C in cuisi intersecano le circonferenze g = 2.5, b = −0.4 (Fig. 3.15b). Poiche’ pero’siamo interessati a calcolare l’impedenza del carico e’ conveniente individuareil punto C ′ simmetrico del punto C rispetto all’origine e leggere la C.d.S. intermini di impedenza (Fig. 3.16). Nel punto C ′ si intersecano le circonferenzea r = 0.39 e x = 0.06 per cui:

Zu = (r + jx)R0 = (0.39 + j0.06) · 100 = 39 + j6 Ω .


1O

C

r

x

r 0.39

C'x 0.06



Capitolo 4

Il problema dell’adattamento

Il problema consiste nel collegare un carico di impedenza Zu ad un generatoredi impedenza interna Zg tramite una linea di tasmissione supposta priva diperdite, di impedenza caratteristica R0, ottenendo il massimo trasferimentodi potenza (Fig. 4.1). Se Zin e’ l’impedenza che la linea chiusa sul caricoZu presenta all’ingresso del generatore (Sez. AA′), la potenza fornita dalgeneratore al carico risulta massima qualora si verifichi la condizione1:

Zin = Z∗g . (4.1)

1La potenza attiva fornita dal generatore all’impedenza Zin = Rin + jXin risulta

Pa =12|Vg|2 Rin/ |Zg + Zin|2 =

12|Vg|2 Rin/

[(Rg +Rin)2 + (Xg +Xin)2

].

E’ evidente che al variare di Xin essa risultera’ massima per Xin = −Xg e sara’ pari a

Pa|Xin=−Xg =12|Vg|2 Rin

/(Rg +Rin)2 .

Zg

ZuVg

A

A'

B

B'

R0Zin

Figura 4.1: Schema del collegamento di un generatore reale ad un caricotramite una linea di trasmissione.

73

74 CAPITOLO 4. IL PROBLEMA DELL’ADATTAMENTO – A.FRENI

Zg

Vg Zu

B

B'

R0

A

A'R

ete

di

adatt

am

ento

Z*g

j

Zeq

C

C'

Figura 4.2: Possibile posizionamneto della rete di adattamento.

In tal caso si ha il massimo trasferimento di potenza e si dice che e’ realizzatala condizione di adattamento.

In generale tuttavia una linea chiusa su un generico carico Zu presenta,alla sezione AA′, una impedenza Zin 6= Z∗g per cui si rende necessario inse-rire lungo la linea degli opportuni dispositivi, comunemente chiamati reti diadattamento, capaci di assicurare il richiesto valore di impedenza all’ingressodel generatore.

Si vuole ora discutere il posizionamento lungo la linea di una o piu’ retidi adattamento in relazione ai vantaggi e svantaggi che cio’ comporta, ri-mandando la descrizione del funzionamento di tali dispositivi ai paragrafisuccessivi.

In particolare una possibile configurazione e’ quella in cui la rete di adat-tamento e’ interposta tra il generatore e la linea di trasmissione ed agiscein modo tale che l’impedenza Zeq che la linea presenta alla sezione CC ′ siatrasformata in una impedenza Zin = Z∗g alla sezione AA′ (Fig. 4.2). Taleconfigurazione ha il pregio di impiegare una sola rete di adattamento mae’ sconsigliabile nel caso in cui la linea si possa ritenere lunga in teminidi lunghezza d’onda. Cio’ e’ dovuto principalmente al fatto che la rete diadattamento, per funzionare correttamente, deve essere posizionata ad unaspecifica distanza dal carico, distanza misurata in termini di lunghezza d’on-da. Ora una piccola variazione nella frequenza operativa, dovuta ad esempio

Al variare di Rin si ottiene invece un massimo per

dPadRin

∣∣∣∣Xin=−Xg

=|Vg|2

2(Rin +Rg)2 − 2Rin(Rg +Rin)

(Rg +Rin)4= 0 .

Poiche’ Rin ∈ R+ e Rg ∈ R+ l’ultima condizione sara’ verificata per Rin = Rg.

75

al fatto che il segnale informativo presenta comunque una certa banda di fre-quenza, provoca una piccola variazione nella lunghezza d’onda λ e quindi nelvalore della costante di propagazione β = 2π/λ. Se la rete di adattamentoe’ posta ad una distanza `À λ la conseguente variazione della quantita’ β`puo’ risultare una apprezzabile frazione di radiante e quindi modificare sen-sibilmente l’impedenza vista dal generatore attraverso la rete. Si suppongainfatti che la rete di adattamento debba essere posizionata ad una ben de-terminata frazione δ della lunghezza d’onda dal carico. Poiche’ alla genericafrequenza di lavoro f0 le quantita’ in gioco sono periodiche di periodo λ0, laprecedente ipotesi individuera’ in realta’ infinite sezioni poste a distanza d0

dal carico, dove:

d0 = δλ0 + nλ0 , n = 0, 1, 2, . . . . (4.2)

Consideriamo ora una piccola variazione di frequenza ∆f ¿ f0 a cui corri-spondera’ una piccola variazione della lunghezza d’onda ∆λ¿ λ0. Alla nuo-va frequenza f1 = f0 + ∆f , per un corretto funzionamento, sara’ necessarioposizionare la rete ad una distanza d1 dal carico pari a:

d1 = δλ1 + nλ1 = (δλ0 + nλ0) + δ∆λ+ n∆λ = d0 + δ∆λ+ n∆λ . (4.3)

La differenza tra le sezioni individuate alle due frequenze in gioco risultera’quindi:

d1 − d0 = δ∆λ+ n∆λ . (4.4)

E’ evidente come tale differenza risulta sempre piu’ grande all’aumentare delvalore intero n e come puo’ diventare apprezzabile anche per ∆λ ¿ 1 conn À 1. Cio’ comporta che la rete di adattamento, anche nel caso in cui levariazioni di frequenza intorno a quella di lavoro siano molto piccole, nonopera correttamente se posizionata a molte lunghezze d’onda (n À 1) dalcarico.

Esercizio 4.1 Per una linea in aria, priva di perdite, di impedenza carat-teristica R0 = 50 Ω, chiusa su un carico Zu = 100 Ω e lunga ` = 10 m, sidetermini sia la variazione della sua lunghezza in termini di lunghezza d’ondaper le frequenze di lavoro di f1 = 900 MHz e di f2 = 910 MHz, sia l’impedenzache la linea presenta al suo ingresso relativamente alle due frequenze.

Si valuti la lunghezza d’onda della linea alle due frequenze:

λ1 = c/f1 = 300 106/900 106 = 0.33333 ,


λ2 = c/f2 = 300 106/910 106 = 0.32967 .

La variazione della lunghezza d’onda risulta

∆λ = λ2 − λ1 = −3.6 10−3 ¿ 1

mentre

δ1 = `/λ1 = 10/0.33333 = 30.0 ,

δ2 = `/λ2 = 10/0.32967 = 30.3 ,

da cui

∆δ = δ2 − δ1 = 0.3333 = 1/3 .

Pertanto una variazione della frequenza di lavoro di soli 10 MHz comportauna variazione della lunghezza della linea pari ad un terzo della lunghezzad’onda λ1, rispetto alla quale si sarebbe dimensionato un eventuale dispositi-vo di adattamento. Inoltre l’impedenza che la linea presenta al suo ingressoalle due diverse frequenze di lavoro risulta:

Z1 = R0Zu + jR0 tan(β1`)

R0 + jZu tan(β1`)= R0

Zu + jR0 tan(2πδ1)

R0 + jZu tan(2πδ1)= 100 Ω ,

Z2 = R0Zu + jR0 tan(β2`)

R0 + jZu tan(β2`)= R0

Zu + jR0 tan(2πδ2)

R0 + jZu tan(2πδ2)= 30.77 + j19.98 Ω .

Un ulteriore svantaggio della configurazione analizzata e’ dato dal fattoche, non risultando il carico adattato alla linea, nella linea e’ presente unacerta stazionarieta’. Anche se la potenza attiva che fluisce attraverso lalinea e’ tutta quella che il generatore puo’ fornire, a causa della presenzadi un’onda diretta ed una riflessa in alcune sezioni della linea si misurera’un valore della tensione e della corrente maggiore rispetto al caso in cui e’presente la sola onda diretta. Tale situazione riduce la massima potenzatrasferibile dal generatore al carico in quanto ad un piu’ elevato valore ditensione e’ associata una maggiore ampiezza del campo elettrico e quindi unamaggiore probabilita’ di superare la rigidita’ dielettrica del mezzo interpostotra i conduttori (cioe’ di superare l’ampiezza massima del campo elettrico

4.1. ADATTAMENTO TRAMITE TRASFORMATORE IN QUARTO D’ONDA 77

Zg

Vg Zu

B

B'

R0

A

A'

Rete

di

adatt

am

ento

Z*g

Rete

di

adatt

am

ento

R0

Figura 4.3: Posizionamneto alternativo della rete di adattamento.

oltre la quale si ha una elevata probabilita’ di scarica elettrica nel mezzo).Inoltre, poiche’ le perdite per conducibilita’ nei conduttori della linea sonoproporzionali al quadrato della corrente, sulla linea saranno presenti delleperdite maggiori rispetto al caso in cui nella linea sia presente la sola ondadiretta.

Per superare tali limitazioni e’ possibile utilizzare una diversa configura-zione di adattamento che coinvolge due reti di adattamento (Fig. 4.3). Inparticolare, una delle due reti e’ posizionata in prossimita’ del carico e hail compito di adattare il carico alla linea mentre l’altra, con la funzione diadattare la linea al generatore, e’ posizionata in prossimita’ di quest’ulti-mo. Operando in tal modo non e’ presente onda riflessa lungo il tratto dilinea compreso tra i due dispositivi di adattamento e sono percio’ minimiz-zate le perdite nei conduttori e massimizzato il valore limite della potenzatrasportabile dalla linea di trasmissione. Inoltre, in qualsiasi sezione la lineapresentera’ una impedenza equivalente pari alla propria impedenza caratteri-stica R0. Cio’ assicura che all’ingresso del secondo dispositivo di adattamentosi misurera’ sempre la stessa impedenza R0 qualunque sia la lunghezza dellalinea, lunghezza che quindi risulta ora del tutto arbitraria.

4.1 Adattamento tramite trasformatore in quartod’onda

Il dispositivo permette di adattare un carico resistivo ad una linea priva diperdite tramite l’inserimento di uno spezzone di altra linea avente opportunalunghezza ed impedenza caratteristica. Per non avere dissipazione di potenzatale spezzone di linea e’ costituito da un tratto di linea priva di perdite ed e’quindi caratterizzato da una impedenza caratteristica R1 reale (R1 ∈ R+).


Si consideri ora il caso dell’adattamento di un carico Zu ad una linea privadi perdite di impedenza caratteristica R0, che in seguito chiameremo lineaprincipale. Nei paragrafi precedenti si era visto che una linea di impedenzacaratteristica R1 chiusa su un carico Zu presenta, ad una distanza ` dal carico,una impedenza:

Z(`) = R1Zu + jR1 tan(β1`)

R1 + jZu tan(β1`), (4.5)

dove β1 ∈ R+ e’ la costante di fase della linea di impedenza R1. Si puo’quindi pensare di dimensionare opportunamente la linea di impedenza R1 inmodo che questa presenti al suo ingresso una impedenza Z(`) = R0, pari cioe’all’impedenza caratteristica della linea principale. Poiche’ la linea principalee’ supposta priva di perdite (R0 ∈ R+) il secondo membro dell’eq. (4.5) deverisultare reale. Cio’ si verifica se:

• tan(β`) = 0

cioe’ ` = nλ1/2 con n = 0, 1, . . . , dove λ1 = 2π/β1 e’ la lunghezzad’onda nel tratto di linea di impedenza R1. Da cio’ deriva che peravere adattamento dovra’ essere verificata la condizione Zu = R0. Talesoluzione non e’ tuttavia utile ai fini dell’adattamento in quanto richiedeche il carico sia gia’ adattato alla linea. Essa esprime comunque unaimportante proprieta’: l’inserimento di un tratto di linea, di impedenzaR1 arbitraria ma di lunghezza pari ad un multiplo della meta’ dellalunghezza d’onda misurata in essa, non altera il comportamento dellalinea principale qualsiasi sia il punto in cui essa e’ inserita. Alcuniesempi di applicazione pratica di tale proprieta’ saranno riportati piu’avanti.

• tan(β`) =∞cioe’ ` = λ1/4+nλ1/2 con n = 0, 1, . . . , dove λ1 = 2π/β1 e’ la lunghezzad’onda nel tratto di linea di impedenza R1. Da tale ipotesi deriva cheper avere adattamento dovra’ essere verificata la condizione

R21

Zu= R0 . (4.6)

Si trattera’ percio’ di interporre tra il carico e la linea principale un trattodi una linea di trasmissione avente lunghezza λ1/4 ed impedenza caratte-ristica R1 =

√R0 Zu ∈ R+. Si noti tuttavia che non e’ possibile adattare

direttamente un carico che presenta una impedenza complessa (Zu ∈ C)ma solo carichi di impedenza reale. Qualora l’impedenza del carico risulti

4.1. ADATTAMENTO TRAMITE TRASFORMATORE IN QUARTO D’ONDA 79

A

A'

Zu

R0 λ/2

A

r=1.5

γx

γr

x=1

MN

r=2.4

0.058λ

(a) (b)


complessa e’ necessario spostarsi opportunamente lungo la linea per indivi-duare una sezione in cui l’impedenza risulta puramente reale e ivi applicareil trasformatore in quarto d’onda.

Esercizio 4.2 Si adatti tramite un trasformatore in quarto d’onda un’an-tenna filare avente impedenza d’ingresso Zin = 75 + j50 Ω ad una linea privadi perdite di impedenza caratteristica R0 = 50 Ω (Fig 4.4a).

Risultando il carico Zu complesso e’ necessario individuare sulla linea unasezione in cui si misura una impedenza puramente reale ove applicare il tra-sformatore in quarto d’onda. A tal fine si puo’ convenientemente utilizzarela C.d.S. letta in termini di impedenza (Fig 4.4b). Su tale carta l’impedenzanormalizzata del carico,

Zun =ZuR0

=75 + j50

50= 1.5 + j ,

individua un punto A intersezione delle circonferenze r = 1.5, x = 1. Per va-lutare la sezione in cui la linea presenta una impedenza puramente resistiva sidovra’ ruotare in senso orario sulla circonferenza a modulo del coefficiente diriflessione costante passante per il punto A fino ad incontrare la circonferenzaa x = 0. Cio’ avverra’ nel punto M che individua sulla linea una sezione BB′

posta a 0.058λ dal carico (Fig. 4.5). Per il punto M passa la circonferenzar = rmax = 2.4 che coincide con il valore del ROS. Denormalizzando siottiene il valore del carico resistivo che la linea presenta alla sezione BB′

R′u = ROS R0 = 2.4 · 50 = 120 Ω .


R0

B

B'

R'u

0.058λ

Figura 4.5: Circuito equivalente alla sez. BB′.

A

A'

R0 λ/2

B

B'

0.058λ

C

C'

λ' /4t

R't R0

Figura 4.6: Possibile configurazione di adattamento tramite trasformatore inquarto d’onda.

E’ quindi possibile inserire un tratto di linea di lunghezza λ′t/4 (con λ′t lun-ghezza d’onda nel tratto di linea con cui e’ costruito il trasformatore) edimpedenza caratteristica

R′t =√R′uR0 =

√(R0ROS)R0 = R0

√ROS ' 77.5 Ω ,

come schematizzato in Fig. 4.6.

Oltre al punto M sarebbe possibile individuare sulla C.d.S. anche unpunto N , caratteristico di una sezione DD′ posta ad una distanza λ/4 dallasezione BB′, in cui si misura una impedenza equivalente puramente rea-le. Tale punto corrisponde ad un minimo di tensione per cui l’impedenza

4.2. CONSIDERAZIONI SULL’USO DI UN TRASFORMATORE IN QUARTO D’ONDA 81

equivalente risulta

R′′u =R0

ROS=

50

2.4' 20.8 Ω .

Per adattare il carico alla linea e’ quindi possibile inserire, alla sezione DD′,un tratto di linea di lunghezza λ′′t /4 (con λ′′t lunghezza d’onda nel trat-to di linea con cui e’ costruito il nuovo trasformatore) avente impedenzacaratteristica

R′′t =√R′′uR0 =

√(R0/ROS)R0 =

R0√ROS

' 32.3 Ω .

Si noti come l’impedenza del trasformatore da porre nella sezione BB′, as-sociata al punto M , risulti maggiore dell’impedenza caratteristica della lineaprincipale mentre quella relativa al trasformatore da inserire nella sezioneDD′, associata al punto N , risulti minore. Tale proprieta’ e’ generale e lascelta tra le due sezioni e’ dettata da vantaggi costruttivi nella realizzazionedel trasformatore.

4.2 Considerazioni sull’uso di un trasformatorein quarto d’onda

L’adattamento tramite trasformatore in quarto d’onda ha certamente lo svan-taggio di richiedere la costruzione di linee di trasmissione di opportuna im-pedenza caratteristica. Tuttavia il problema maggiore risiede nel fatto cheesso e’ un dispositivo risonante, cioe’ per funzionare correttamente la sualunghezza deve essere pari a ` = λ/4 (cioe’ β` = π/2) e cio’ si verifica alla so-la frequenza di progetto. Si consideri ad esempio il caso dell’adattamento diun carico Ru = 100 Ω ad una linea R0 = 50 Ω che impone una impedenza deltrasformatore in quarto d’onda pari a R1 =

√RuR0 ' 70.7 Ω. In Fig. 4.7, in

cui si riporta per il caso in esame l’andamento del modulo del coefficiente diriflessione al variare della frequenza, e’ evidente come una piccola variazionedalla frequenza f0 di progetto provochi un significativo incremento nell’am-piezza del coefficiente di riflessione. In generale si fissa un massimo valore ρmche puo’ essere accettato relativamente allo specifico progetto e si definisce labanda di adattamento come la banda di frequenza entro la quale il modulodel coefficiente di riflessione e’ minore di tale valore limite ρm.

Per allargare tale banda e’ comunque possibile porre due o piu’ trasfor-matori in quarto d’onda in cascata.

Si consideri ad esempio il caso di due trasformatori in quarto d’onda cosi’come schematizzato in Fig. 4.8. In questo caso l’impedenza alla sezione BB′


0.0

0.1

0.2

0.3

m

j

|>|

f

1 trasformatore

2 trasformatori

f Jf ' f +Jf '

f Jf '' f +Jf ''

00

0 0f

0

Figura 4.7: Modulo del coefficiente di riflessione al variare della frequenza.

dovra’ risultare reale ma il suo valore e’ del tutto arbitrario. Infatti con ilprimo dispositivo e’ possibile trasformare il valore dell’impedenza del caricoin una generica impedenza RBB′ per poi riportarla al valore dell’impedenzacaratteristica R0 della linea principale con il secondo trasformatore. Unapossibile scelta e’ quella per cui RBB′ =

√RuR0 = 70.7 Ω. In tal caso:

R1 =√RuRBB′ ' 84.1 Ω , (4.7)

R2 =√RBB′R0 ' 59.4 Ω . (4.8)

Con riferimento alla Fig. 4.7), si puo’ notare come nel caso dell’esempio, conl’impiego di due trasformatori in quarto d’onda, la banda di frequenza perun prefissato ρm risulti praticamente raddoppiata.

4.3 Analisi di un trasformatore in quarto d’onda tra-mite riflessioni multiple

Si vuole ora studiare un trasformatore in quarto d’onda partendo da undiverso punto di vista. In particolare si analizzera’, nel dominio del tempo,il comportamento di un’onda che si propaga lungo la linea principale, diimpedenza caratteristica R0, ed incide sul trasformatore di impedenza Z1.Quando l’onda incontra per la prima volta la giunzione che la linea principale

4.3 ANALISI DI UN TRASFORMATORE IN QUARTO D’ONDA TRAMITE . . . 83

R0

B

B'

C

C'

A

A'

λ /41

ZuR2

R1

λ /42

Figura 4.8: .

forma con il trasformatore essa verra’ in parte riflessa verso il generatore ed inparte trasmessa nel tratto di linea che costituisce il trasformatore (Fig. 4.9).Poiche’ nel momento in cui tale onda incontra la giunzione non si e’ ancorapropagata fino al carico Zu, essa non potra’ risentire del suo effetto e quindisara’ influenzata solo dalla linea di impedenza Z1. Cio’ fa si’ che il coefficientedi riflessione Γ1 con cui l’onda e’ riflessa verso il generatore sia pari a

Γ1 =Z1 −R0

Z1 +R0

, (4.9)

mentre il coefficiente di trasmissione τ1 con cui l’onda e’ trasmessa nel trattodi linea di impedenza Z1 risultera’:

τ1 = 1 + Γ1 =2Z1

Z1 +R0

. (4.10)

La parte dell’onda trasmessa nella linea costituente il trasformatore, dopoessersi propagata per un tratto pari a λ1/4, viene riflessa dal carico secondoil coefficiente

Γu =Zu − Z1

Zu + Z1

, (4.11)

e quindi, percorrendo nuovamente un tratto di linea pari a λ1/4, perviene allagiunzione linea principale/trasformatore. Ora, parte di quest’onda e’ riflessanuovamente verso il carico, con coefficiente di riflessione

Γ2 =R0 − Z1

R0 + Z1

= −Γ1 , (4.12)


λ/41

Γ1

Γ2

τ 1

Γu

Γu

Γu

τ 2

τ 2

Γ2

−τ τ Γ2 1 u

τ τ Γ Γ2 1 2 u2

.

.

... .

R0

Z1

Zu

Figura 4.9: Riflessioni multiple in un trasformatore in quarto d’onda.

mentre parte e’ trasmessa nella linea principale, con coefficiente di trasmis-sione

τ2 = 1− Γ1 =2R0

Z1 +R0

. (4.13)

La parte di onda nuovamente riflessa verso il carico fa si’ che il processo conti-nui indefinitamente e si abbia un numero infinito di riflessioni tra la giunzionelinea principale/trasformatore ed il carico. Il coefficiente di riflessione totaleΓ, misurato alla giunzione linea principale–trasformatore, sara’ quindi datodal contributo di tutte le suddette infinite riflessioni. Poiche’ l’onda nel pro-pagarsi dalla giunzione al carico e dal carico alla giunzione percorre due volteun tratto di linea pari a λ1/4 e subisce uno sfasamento pari a π, il coefficientedi riflessione totale puo’ essere espresso come:

Γ = Γ1 − τ2τ1Γu + τ2τ1ΓuΓ2Γu − τ2τ1Γu (Γ2Γu)2 + τ2τ1Γu (Γ2Γu)

3 − · · ·

= Γ1 − τ2τ1Γu

∞∑n=0

(−Γ2Γu)n = Γ1 − (1− Γ2

1) Γu

∞∑n=0

(Γ1Γu)n . (4.14)

4.4. ADATTAMENTO TRAMITE STUB PARALLELO 85

La serie che appare nell’eq. (4.14) e’ una serie geometrica,

∞∑n=0

sn =1

1− s , per |s| < 1 , (4.15)

per cui essendo |Γ1Γu| < 1 si ottiene:

Γ = Γ1 − (1− Γ21) Γu

1− Γ1Γu=

Γ1 − Γu1− Γ1Γu

. (4.16)

E’ evidente che qualora il coefficiente di riflessione alla giunzione linea prin-cipale/trasformatore sia uguale a quello misurato sul carico il coefficiente diriflessione totale si annulla e si ha l’adattamento del carico alla linea princi-pale. Esprimendo ora i coefficienti di riflessione in funzione delle impedenzecaratteristiche delle linee e l’impedenza del carico si ha:

Γ =(Z1 −R0)(Zu + Z1)− (Z1 +R0)(Zu − Z1)

(Z1 +R0)(Zu + Z1)− (Z1 −R0)(Zu − Z1)=Z2

1 −R0ZuZ2

1 +R0Zu= 0 (4.17)

e cio’ equivale a richiedere che Z1 =√R0Zu.

L’effetto del trasformatore in quarto d’onda e’ dunque quello di introdur-re alla giunzione linea principale/trasformatore una onda riflessa uguale inampiezza ma opposta in fase a quella dovuta al contributo di tutte le rifles-sioni multiple tra il carico e la linea principale. A regime, tutte le onde, chesi propagano con la stessa velocita’ di fase, si combinano in una singola ondaviaggiante e quindi, nel tratto di linea costituente il trasformatore in quartod’onda cosi’ come nella linea principale, saranno presenti sia un’onda diret-ta che una riflessa, ma nella linea principale, per la particolare condizioneimposta, quest’ultima avra’ ampiezza nulla.

4.4 Adattamento tramite stub parallelo

Si vuole ora adattare il carico alla linea ponendo in parallelo alla linea unostub, cioe’ uno spezzone di cavo di opportuna lunghezza generalmente chiusoin corto circuito.

Si consideri il caso dell’adattamento di un carico Zu ad una linea privadi perdite di impedenza caratteristica R0. Spostandosi dal carico verso ilgeneratore l’ammettenza Y (z) della linea variera’ tra

G0/(ROS) ≤ |Y (z)| ≤ G0(ROS) , (4.18)

dove con G0 = 1/R0 si e’ indicata la conduttanza caratteristica della linea.


A

A'

ZuR0 - jB

AA'

ds

RsY =G +jBAA' AA'0

js

(a) (b)

Figura 4.10: Adattamento tramire stub parallelo.

In particolare esistera’ almeno una sezione AA′ (Fig. 4.10a) in cui la partereale dell’ammettenza e’ pari alla conduttanza caratteristica della linea, cioe’:

YAA′ = G0 + jBAA′ . (4.19)

Quindi per avere adattamento sara’ sufficiente inserire in parallelo alla lineaalla sezione AA′ un elemento reattivo che compensi la suscettanza BAA′ . Taleelemento reattivo puo’ essere realizzato con un tratto di linea, avente anchecaratteristiche diverse rispetto alla linea principale, chiuso in corto circuitoo in circuito aperto2 (Fig 4.10b).

Al fine di valutare sia la posizione che le dimensioni dello stub si consideridapprima il caso particolare in cui la linea principale risulta chiusa su uncarico resistivo di ammettenza Gu ∈ R+. Per individuare la sezione AA′ incui inserire lo stub e’ necessario risolvere l’equazione

YBB′ = G0 + jBAA′ = G0Gu + jG0 tan(βds)

G0 + jGu tan(βds). (4.20)

Introducendo le quantita’ normalizzate

g = Gu/G0 , b = BAA′/G0 , (4.21)

la precedente espressione puo’ essere posta nella forma

(1− bg tan(βds)) + j (b+ g tan(βds)) = g + j tan(βds) , (4.22)

2Anche se si era evidenziato nei precedenti paragrafi come un circuito aperto reale sidiscosti da quello ideale, alcune condizioni realizzative ne consigliano comunque l’impiego.


da cui, eguagliando separatamente la parte reale e quella immaginaria, siottiene:

1− bg tan(βds) = g , (4.23)

j (b+ g tan(βds)) = j tan(βds) . (4.24)

Risolvendo l’eq. (4.24) in termini della suscettanza normalizzata b e facendouso della eq. (4.23), si ottiene

tan2(βds) = 1/g , (4.25)

da cui, essendo β = 2π/λ,

ds =λ

2πarctan

√1/g =

λ

2πarctan

√G0/Gu . (4.26)

Si noti che sono possibili due valori principali per la lunghezza ds a secondodel segno della radice scelto. Quindi se d′s e’ una soluzione dell’eq. (4.26)anche d′′s = λ/2 − d′s sara’ una soluzione principale e la soluzione generalerisultera’ ds = ±d′s ± nλ/2 con n = 0, 1, 2, . . . .

Sostituendo poi il risultato espresso dall’eq. (4.25) nella eq. (4.24) si puo’porre la suscettanza normalizzata b in funzione della sola conduttanza gtramite la relazione

b = (1− g) tan(βds) =1− g√

g(4.27)

Alla sez. AA′, posta a distanza ds dal carico, sara’ quindi necessario posizio-nare uno stub che presenti una suscettanza

jBs = −j (G0 −Gu)√G0/Gu (4.28)

che, nel caso si voglia realizzare lo stub con un tratto di linea di ammettenzacaratteristica Gs chiusa in corto circuito, equivale a richiedere una lunghezzadella linea pari a

`s =λ

2πarctan

(Gs

G0b

)=

λ

2πarctan

(Gs

G0 −Gu

√Gu/G0

). (4.29)

Nel caso in cui il carico presenti una ammettenza Yu complessa e’ semprepossibile individuare, analogamente a quanto gia’ visto per un trasforma-tore in quarto d’onda, una sezione della linea in cui l’ammettenza risultapuramente reale e quindi procedere come descritto sopra riferendo l’originedell’asse z a tale sezione.


In particolare una tale sezione potra’ essere certamente localizzata incorrispondenza di un minimo di tensione in cui l’ammettenza normalizzatarisulta

g =1 + |Γ(z)|1− |Γ(z)| = ROS . (4.30)

Sostituendo tale risultato nelle relazioni (4.26) e (4.29) si ottiene che peradattare il carico alla linea sara’ sufficiente posizionare, a distanza

d′s =λ

4πarccos

√ROS − 1

ROS + 1(4.31)

dalla sezione in cui si e’ misurato il minimo di tensione, uno stub chiuso incorto circuito avente lunghezza

`′s =λ

2πarctan

(Gs

G0

√ROS

ROS − 1

). (4.32)

Nel caso si voglia invece far uso della C.d.S., letta in termini di ammetten-za, sara’ necessario muoversi in senso orario sulla circonferenza a modulo delcoefficiente di riflessione costante, individuata dall’ammettenza normalizzatadel carico, fino ad intersecare la circonferenza g = 1. Tale punto individuasia la sezione AA′ a cui porre lo stub sia il valore di suscettanza normaliz-zata (rispetto alla linea principale) che questo dovra’ presentare, cosi’ comedescritto nel seguente esercizio.

Esercizio 4.3 Si adatti un carico di impedenza Zu = 150 + j50 Ω ad unalinea priva di perdite di impedenza R0 = 100 Ω tramite uno stub parallelorealizzato con un tratto di linea di impedenza caratteristica Rs = 3R0 Ω.

Poiche’ si vuole utilizzare la C.d.S. letta in termini di ammettenza, comeprimo passo si valuta l’ammettenza normalizzata del carico,

Yun =R0

Zu=

100

150 + j50= 0.6− j0.2 ,

e si individua su di essa il punto P , intersezione dei cerchi a g = 0.6 eb = −0.2 (Fig. 4.11a). Tale punto P individua una circonferenza a modulo delcoefficiente di riflessione costante che interseca nel punto A la circonferenza ag = 1. Dalla C.d.S. e’ evidente che ad una distanza ds = 0.194λ dal carico sipuo’ individuare una sezione AA′ in cui l’ammettenza della linea principalechiusa sul carico Zu risulta:

YAA′ =YAA′nR0

=1 + j0.58

R0

= G0 + j0.58/R0 Ω .


c.c.

O

g=0

Q

A

1

b=−0.2

γb

γg

g=1

0.194

λ

γg

γb

0.083λ

b=−1.74P

b=0.58 g=0.6

(a) (b)


Sara’ quindi sufficiente porre a tale sezione un elemento reattivo che realizziuna suscettanza Bs = −j0.58/R0. In particolare si sceglie di realizzare taleelemento reattivo con un tratto di linea chiusa in corto circuito che, per idati del problema, presenta una impedenza caratteristica Rs = 3R0 Ω. Vo-lendo ancora utilizzare la C.d.S., e’ necessario normalizzare la suscettanzaBs rispetto alla conduttanza caratteristica Gs del tratto di linea con cui sicostruisce lo stub, cioe’

bs =Bs

Gs

=−0.58/R0

1/(3R0)= −1.74 ,

ed individuare la circonferenza a suscettanza costante bs = b = −1.74(Fig. 4.11b). Muovendosi ora in senso orario sulla circonferenza a |ΓI | = 1 dalpunto di corto circuito al punto Q (intesezione delle circonferenze b = −1.74e g = 0) si percorre una distanza `s = 0.083λs che corrisponde alla lunghezzache lo stub in corto circuito deve avere al fine di presentare al suo ingressola richiesta suscettanza Bs.

Esercizio 4.4 Per il circuito descritto in Fig. 4.12 si determini la distanzad1 dal carico alla quale posizionare uno stub in corto circuito, costituito da untratto di linea di impedenza caratteristica Rs = 2R0, e la sua lunghezza `1 talida adattare il carico alla linea; la lunghezza `2 di un analogo stub posizionatoalla sezione BB′ e l’impedenza R1 del trasformatore in quarto d’onda inter-posto tra il generatore e la linea tali da attuare il massimo trasferimento dipotenza tra il generatore e la linea. Si determini inoltre la potenza dissipatasul carico Zu in funzione della massima potenza trasferibile nel caso in cui


Zg

Vg ZuR0

A

A'

B

R1

Rs

j1

Rs

j2

B'

C

C'


la lunghezza ` del trasformatore in quarto d’onda posto alla sezione BB′ siadimezzata. (Zu = 50 + j50 Ω, R0 = 50 Ω, Zg = 100 + j100 Ω)

Si adatti in primo luogo il carico Zu alla linea. L’impedenza normalizzatadel carico,

Zun =ZuR0

=50 + j50

50= 1 + j ,

individua sulla C.d.S. un punto P intersezione delle circonferenze a r = 1 ex = 1. Si individui ora il punto Q, simmetrico del punto P rispetto all’origine,e si legga la C.d.S. in temini di ammettenza. In tale punto Q, caratteristicodell’ammettenza normalizzata del carico, si intersecano le circonferenze g =0.5, b = −0.5. E’ ora necessario muoversi sulla circonferenza a modulo delcoefficiente di riflessione costante individuata dal punto Q in senso orario finoad incontrare la circonferenza a g = 1 nel punto C, coincidente con il puntoP . Cio’ equivale a spostarsi alla sezione CC ′ posta ad una distanza d1 = λ/4dal carico. Poiche’ a tale sezione CC ′ si misura una ammettenza

YCC′ = YCC′nG0 =1 + j

R0

=1

R0

+ j1

R0

,

per realizzare l’adattamento sara’ necessario inserire in parallelo alla lineaprincipale uno stub in corto circuito che al suo ingresso presenti una suscet-tanza

B′s = −Im [YCC′ ] = − 1

R0

= −0.02 Ω−1 .

Volendo realizzare lo stub con un tratto di linea in corto circuito aventeimpedenza caratteristica Rs = 2R0, il valore di suscettanza normalizzata che


Zg

Vg

A

A'

B

R1

B'

R0

j2

ZBB' Z

BB'ZAA'

λ /411

Rs

Figura 4.13: Circuito equivalente.

lo stub deve realizzare al suo ingresso sara’

b′s =Bs

1/Rs

=−1/R0

1/(2R0)= −2 .

Dalla C.d.S. e’ evidente che per realizzare tale valore di suscettanza norma-lizzata lo stub deve risultare lungo `1 = 0.074λs, dove con λs si e’ indicatala lunghezza d’onda della linea con cui e’ costruito lo stub. Il carico cosi’adattato si presentera’ alla sezione BB′ come una impedenza pari all’impe-denza caratteristica della linea principale R0. Il problema si riduce quindiad agire sul trasformatore in quarto d’onda e sul secondo stub in modo taleche l’impedenza R0 si presenti equivalentemente alla sezione AA′ come uncarico ZAA′ di impedenza pari al coniugato dell’impedenza interna Zg delgeneratore (Fig. 4.13).

Supponendo che all’ingresso del trasformatore in quarto d’onda sia pre-sente una impedenza ZBB′ questa sara’ trasformata alla sezione AA′ in unaimpedenza

ZAA′ =R2

1

ZBB′= R2

1 YBB′ .

Se si indica con

YBB′ =1

R0

+ jB′′s

l’ammettenza costituita dal parallelo tra lo stub di lunghezza `2 e l’impedenzaR0, per avere il massimo trasferimento di potenza sara’ sufficiente imporre


che

Z∗g = R21

[1

R0

+ jB′′s

].

Eguagliando la parte reale e quella immaginaria cio’ equivale a richiedere:

Re Z∗g

=R2

1

R0

,

Im Z∗g

= R21 B′′s .

Inserendo i dati del problema si ricava: R1 = 50√

2 Ω, B′′s = −0.02 Ω−1. Sinoti che il valore della suscettanza che il secondo stub deve presentare e’identico a quello precedentemente richiesto per il primo stub, per cui se nededuce che anche in questo caso la lunghezza dello stub sara’ pari a `2 =0.074λs.

Si consideri ora il caso in cui per i valori la lunghezza del trasformatorein quarto d’onda risulti dimezzata (` = λ1/8). Avendo indicato con YBB′l’ammettenza al suo ingresso e tenendo in conto che

β1` =2π

λ1

λ1

8= π/4 ,

alla sezione AA′ si misurera’ una impedenza

ZAA′ = Z(λ1/8) = R1ZBB′ + jR1

R1 + jZBB′= R1

1 + jR1YBB′

R1YBB′ + j= R0(0.510− j0.542) .

Poiche’ tutte le linee sono supposte prive di perdite la potenza attiva Pa chefluisce attraverso la sezione AA′ e’ la stessa che si dissipa sul carico Zu, quindi

Pa =1

2

|Vg|2|Zg + ZAA′|2

Re [ZAA′ ] =1

2

|Vg|2R0

0.0605 .

Risultando poi la massima potenza trasferibile Pmax al carico

Pmax =1

8

|Vg|2Re [Zg]

,

si ha

Pa = 0.484Pmax .


D

D'

A

A'

Ro

Zu

Z1

Z2

Z1

Z2

B

B'

C

C'

Z1

Z2

z 0


Esercizio 4.5 Su una linea sono poste, a distanza λ/4 tra loro, una seriedi resistenze cosi’ come schematizzato in Fig. 4.14. I tratti di linea che lecollegano hanno tutti impedenza caratteristica pari a R0 = 200 Ω. Si deter-mini il valore del rapporto d’onda stazionaria nelle sezioni AA′, BB′, CC ′ ela distanza `, misurata in termini di lunghezze d’onda a partire dalla sezioneDD′, a cui porre uno stub parallelo che permetta di adattare l’insieme deicarichi alla linea (Z1 = 1/50 Ω, Z2 = 50 Ω, Zu = Z2).

Si consideri il carico Zu a destra della sezione AA′. Su di esso si misurera’un coefficiente di riflessione di tensione pari a

Γ(0) =Z1 −R0

Z1 +R0

=50− 200

50 + 200= −3

5,

per cui, supponendo la linea priva di perdite e quindi il modulo del coefficien-te di riflessione costante lungo di essa, il rapporto d’onda stazionario nellasezione AA′ risultera’

(ROS)AA′ =1 + |Γ(0)|1− |Γ(0)| = 4 .

Si noti ora che il tratto di linea che separa il carico Zu dalla prima impedenzaZ1 a sinistra di AA′ e’ pari a λ/4. Cio’ fa si che tale tratto agisca come untrasformatore in quarto d’onda, quindi

Z(λ/4− η) =R2

0

Zu= 800 Ω ,

con η ¿ 1. L’insieme impedenza Z1, linea, carico Zu si presentera’ percio’equivalentemente come l’impedenza risultante dal parallelo dell’impedenzaZ1 con l’impedenza Z(λ/4− η), cioe’

Z(λ/4 + η) =

[1

Z1

+1

Z(λ/4− η)

]−1

=1

50 + 800−1' 1

50,


mentre il coefficiente di riflessione risultera’

Γ(λ/4 + η) =Z(λ/4 + η)−R0

Z(λ/4 + η) +R0

=50−1 − 200

50−1 + 200' 1 .

Poiche’ il modulo del coefficiente di riflessione e’ pressoche’ unitaro, allasezione BB′ si misurera’ un rapporto d’onda stazionario

(ROS)BB′ → ∞ .

Considerando che anche il tratto di linea tra BB′ e CC ′ agisce come untrasformatore in quarto d’onda, si avra’

Z(λ/2− η) =R2

0

Z(λ/4 + η)' 2MΩ .

Poiche’ quest’ultima impedenza e’ molto maggiore dell’impedenza Z2 po-sta a sinistra della sezione BB′, il loro parallelo presentera’ un valore pariall’impedenza Z2 stessa

Z(λ/2 + η) =

[1

Z2

+1

Z(λ/2− η)

]−1

=

[1

50+

1

2 106

]−1

' 50 .

Quindi il coefficiente di riflessione, cosi’ come il rapporto d’onda stazionario,alla sezione CC ′ risultera’ uguale a quello misurato alla sezione AA′.

Con ragionamenti del tutto analoghi e’ possibile dimostrare che nellasezione DD′ si misurera’ una impedenza

ZDD′ = Z(3λ/2 + η) ' 50 .

Per adattare un carico puramente resistivo ad una linea caratterizzata daun’impedenza caratteristica R0 = 200 Ω tramite uno stub parallelo si dovra’porre lo stub parallelo ad una distanza ` a sinistra della sezione DD′ tale chel’insieme carico−linea presenti per tale distanza una conduttanza G0 = 1/R0.Si dovra’ quindi verificare la condizione

ReYDD′

= Re

G0

YDD′ + j G0 tan(β`)

G0 + j YDD′ tan(β`)

= G0 ,

cioe’

ReYDD′ + j G0 tan(β`)

G0 + j YDD′ tan(β`)

= 1 .

Cio’ e’ assicurato per

tan(β`) =G0

YDD′, ⇒ ` =

arctan(G0/YDD′)

2πλ ' 0.039λ .

4.5. ADATTAMENTO TRAMITE DOPPIO STUB 95

d

R0

B

j1j2

B'

A

A'

R0 Zu

R1 R

1

Figura 4.15: Adattamento tramire doppio stub.

4.5 Adattamento tramite doppio stub

Sara’ ora nostro obiettivo quello di esaminare un dispositivo che sia in gra-do di adattare carichi di impedenza diversa variando in modo meccanico laposizione di alcune parti componenti.

Nel caso di un singolo stub sarebbe necessario variare con continuita’ siala lunghezza dello stub che la posizione dello stesso lungo la linea. Mentre permodificare la lunghezza dello stub si puo’ impiegare un cortocircuito la cuiposizione puo’ essere variata agendo su una vite micrometrica, modificare laposizione dello stub lungo la linea non risulta sempre semplice. Per ovviare atale inconveniente si preferisce impiegare un dispositivo denominato doppiostub costituito da due stub posti ad una prefissata distanza d l’uno dall’altro(tipicamente d = λ/8, d = 3λ/8, d = 5λ/8).

Per comprendere il funzionamento del dipositivo si consideri la configu-razione descritta in figura in cui i due stub sono posti a distanza d = 3λ/8.Ciascuno dei due tratti di linea chiusa in corto circuito con cui sono realiz-zati gli stub costituiscono una reattanza in parallelo alla linea il cui valoree’ determinato dalla lunghezza del tratto. Quindi agire sulla lunghezza deglistub equivale ad agire sulla parte immaginaria della ammettenza che la lineapresenta alle sezioni AA′ e BB′.

Si utilizzi ancora una volta la C.d.S. letta in termini di ammettenza e sianalizzi la situazione alla sezione AA′. Il parallelo carico–stub individuera’sulla C.d.S. un generico punto A1. Spostandosi dalla sezione AA′ alla BB′ sipercorrera’ sulla linea una distanza pari a d = 3λ/8 il che equivale a ruotareil punto A1 sulla C.d.S. di 270 in senso orario individuando cosi’ il puntoB1. Si supponga ora di essere per caso pervenuti sulla circonferenza g = 1.


Se si realizza tale ipotesi si puo’ operare anagolamente a quanto fatto nelcaso di adattamento tramite singolo stub e dimensionare opportunamente lostub afferente alla sezione BB′ in modo da non avere onda riflessa verso ilgeneratore. Si disegni ora sulla C.d.S. una circonferenza avente raggio ugualea quello dello circonferenza a g = 1 ma centro ruotato di 270 in senso anti-orario. Tale circonferenza rappresentera’ tutti i valori di impedenza norma-lizzata che nello spostarsi dalla sezione AA′ alla sezione BB′ apparterrannoalla circonferenza g = 1 e potranno quindi essere adattati dimensionandoopportunamente lo stub alla sezione BB′. Il compito dello stub alla sezioneAA′ sara’ quindi quello di modificare la suscettanza normalizzata del caricoin modo da pervenire sulla circonferenza ruotata di 270.

Esercizio 4.6 Si adatti un carico Zu = 100 + j100 Ω ad una linea aventeimpedenza caratteristica R0 = 50 Ω tramite due stub in corto circuito di im-pedenza caratteristica R1 = 100 Ω distanziati tra loro di 3λ/8.

L’ammettenza normalizzata del carico risulta

Yun =R0

Zu=

50

100 + j100=

1− j4

(4.33)

che, sulla C.d.S. letta in termini di ammettenza, individua il punto A0 inter-sezione delle circonferenze a g = 0.25 e b = −0.25. Modificando la lunghezzadello stub posto alla sezione AA′ si varia la parte immaginaria dell’ammet-tenza normalizzata del carico muovendo cosi’ il punto A0 sulla circonferenzaa g = 0.25. E’ possibile percio’ spostarsi sulla circonferenza a g = 0.25 finoad intersecare nel punto A1 (YAA′n = 0.25 − j0.34) la circonferenza a g = 1ruotata in senso antiorario di 270. Cio’ equivale ad inserire in parallelo alcarico una suscettanza normalizzata pari a bsa = (−0.34) − (−0.25)=−0.09e quindi una suscettanza

Bsa =bsaR0

=−0.09

50= −1.8 10−3 Ω−1 .

Volendo realizzare tale suscettanza con un tratto di linea di impedenza carat-teristica R1 = 100 Ω e’ necessario prima normalizzare il valore di suscettanzarispetto a tale impedenza

bsa = Bsa R1 = −0.18 .

quindi spostarsi sulla C.d.S dal punto di corto circuito fino ad intersecarela circonferenza b = −0.18 che equivale ad una lunghezza dello stub pari a`sa = 0.22λ1. Ora spostandosi dalla sezione AA′ alla sezione BB′, il punto

4.5. ADATTAMENTO TRAMITE DOPPIO STUB 97

Β1

1

γb

γg

g=1

b=−1.65

g=0.25

A1

A0b=−0.25

b=−0.34

(a)

c.c. γg

γb

b=−0.18

b=3.3

g=0

0.22 λ

0.454 λ

(b)


A1 percorrera’ tre quarti della C.d.S. sul cerchio a modulo del coefficien-te di riflessione costante fino ad individuare, nel punto B1, una impedenzanormalizzata

YBB′n = 1− j1.65 .

Per ottenere l’adattamento sara’ sufficiente fare in modo che lo stub postoalla sezione BB′ compensi la parte immaginaria di tale impedenza. A talfine lo stub dovra’ presentare al suo ingresso una suscettanza

Bsb =1.65

R0

=1.65

50= 0.033 Ω−1 .

Per determinare la lunghezza di tale stub, analogamente a quanto operatoper lo stub alla sezione AA′, sara’ necessario normalizzare il valore dellasuscettanza Bsb rispetto all’impedenza caratteristica R1 = 100 Ω della lineain corto circuito con cui si realizza lo stub,

bsb = Bsb R1 = 3.3 ,

e spostarsi sulla C.d.S dal punto di corto circuito fino ad intersecare lacirconferenza b = 3.3. Cio’ equivale a realizzare uno stub di lunghezza`sb = 0.454λ1.

Si noti che non tutti i valori di ammettenza del carico possono essere adat-tati tramite un doppio stub. In particolare cio’ non sara’ possibile per tuttiquei valori dell’ammettanza normalizzata del carico che individuano sulla


C.d.S. un punto interno alla circonferenza a conduttanza costante tangentealla circonferenza g = 1 ruotata della distanza d che intercorre tra gli stub(ad esempio per d = 3λ/8 tale circonferenza risulta essere g = 2). Infatti talipunti individuano circonferenze a conduttanza costante che non intersecanola circonferenza g = 1. La zona di non adattabilita’ cosi’ individuata potreb-be essere ridotta aumentando la distanza che intercorre tra gli stub fino arenderla prossima ad una lunghezza d’onda; tuttavia cosi’ facendo si andreb-be a lavorare in zone caratterizzate da una elevata sensibilita’ alle tolleranzecostruttive ed una piccola variazione delle lunghezze calcolate compromet-terebbe significativamente l’adattamento. Si preferisce percio’ interporre trail carico ed il dispositivo un tratto della stessa linea avente lunghezza λ/4.Alternativamente si puo’ costruire un triplo stub ponendo sulla linea tre stuba distanza d l’uno dall’altro.

Capitolo 5

Applicazioni della teoria dellelinee di trasmissione

5.1 Analogia onda piana/linea di trasmissione

Cosi’ come mostrato nel primo capitolo, l’andamento della tensione e dellacorrente lungo una linea di trasmissione e’ descritto dal sistema di equazionidifferenziali

∂2

∂z2V (z, ω) + k2 V (z, ω) = 0 , (5.1)

∂2

∂z2I(z, ω) + k2 I(z, ω) = 0 , (5.2)

dove k = ω√LeqCeq, la cui soluzione generale risulta


I(z) =V+

Z0

exp(jkz)− V−Z0

exp(−jkz) , (5.4)

con Z0 =√Leq/Ceq. Si consideri ora un’onda piana che si propaga, paral-

lelamente all’asse z con campo elettrico polarizzato linearmente lungo l’assex, cioe’ ~E = Exx, in un mezzo lineare, omogeneo ed isotropo, caratterizzatoda una permittivita’ ε ed una permeabilita’ µ. Per tale onda il sistema diequazioni differenziali che ne regolano la propagazione risulta:

∂2

∂z2Ex(z, ω) + k2Ex(z, ω) = 0 , (5.5)

∂2

∂z2Hy(z, ω) + k2Hy(z, ω) = 0 , (5.6)

99

100CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

dove k = ω√εµ. Soluzione generale di tale sistema risulta essere

Ex(z) = E+ exp(jkz) + E− exp(−jkz) , (5.7)

Hy(z) =E+

ζexp(jkz)− E−

ζexp(−jkz) , (5.8)

dove ζ =√µ/ε e E+ indica, per avere accordo con il sistema di riferi-

mento convenzionalmente assunto per una linea di trasmissione, l’ampiezzadell’onda progressiva supposta propagarsi nel verso delle z negative.

Confrontando le soluzioni (5.7)–(5.8) con le (5.3)–(5.4) e’ subito evidenteche operando le sostituzioni

Ex ↔ V , Hy ↔ I , µ ↔ Leq , ε ↔ Ceq , (5.9)

e’ possibile studiare in modo equivalente il problema della propagazione diun’onda piana in un mezzo indefinito utilizzando la teoria delle linee ditrasmissione.

5.2 Analogia onda piana/linea di trasmissione: inci-denza ortogonale

Si consideri ora il caso in cui un’onda piana, con campo elettrico polarizzatolinearmente lungo x ed ampiezza E+, incida ortogonalmente sul semispazioz < 0 (mezzo 2) avente caratteristiche elettriche e magnetiche diverse daquello di provenienza dell’onda (mezzo 1). In entrambi i semispazi e’ pos-sibile descrivere la propagazione dell’onda tramite l’analogia delle linee ditrasmissione precedentemente introdotta. In z = 0 e’ poi necessario imporrela continuita’ delle componenti tangenziali dei campi, cioe’

Ex1(z)|z=0 = Ex2(z)|z=0 , (5.10)

Hy1(z)|z=0 = Hy2(z)|z=0 , (5.11)

che si traduce nel richiedere

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.12)

I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 . (5.13)

Cio’ equivale a connettere in z = 0 le due linee che rappresentano la propa-gazione dell’onda piana in ciascun semispazio (Fig. 5.1).

Nel caso in cui il mezzo 2 su cui incide l’onda piana sia costituito da un

conduttore elettrico perfetto la condizione al contorno n× ~E1(z)∣∣∣z=0

= 0 si

5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE 101

zz

mezzo 1 mezzo 2

Figura 5.1: Equivalenza onda piana/linea di trasmissione.

traduce nell’imporre V1(z)|z=0 = 0; cio’ equivale a considerare la presenza diun corto circuito in corrispondenza del piano conduttore elettrico. Analoga-mente, nel caso in cui il mezzo 2 sia costituito da un conduttore magnetico

perfetto la condizione al contorno n× ~H1(z)∣∣∣z=0

= 0 si traduce nell’imporre

I1(z)|z=0 = 0 e quindi considerare un circuito aperto in corrispondenza delpiano magnetico.

Esercizio 5.1 Un’onda piana monocromatica avente frequenza f = 2 GHze ampiezza E+ = 1V/m, proveniente dallo spazio vuoto, incide ortogonal-mente su una lastra dielettrica (εr = 4) di spessore d = 1.875mm che ricopreun piano perfettamente conduttore (Fig. 5.2). Si determini il modulo delladensita’ di corrente sostenuta dal campo sul conduttore.

Si consideri un sistema di coordinate cartesiano, avente origine sul pianoconduttore, il cui asse z risulta ortogonale ad esso e rivolto nella direzio-ne di provenienza dell’onda. L’esercizio richiede di valutare il modulo delladensita’ di corrente elettrica superficiale ~Js che scorre sul conduttore; tut-tavia in corrispondenza dell’interfaccia lastra dielettrica/conduttore (z = 0)dovranno essere verificate le condizioni

n× ~E∣∣∣z=0

= 0 ,

n× ~H∣∣∣z=0

= ~Js ,

per cui sara’ sufficiente valutare il campo magnetico tangenziale al pianoconduttore elettrico perfetto a cui la corrente e’ direttamente legata.

Per la geometria del problema il campo elettrico e magnetico risultanosempre appartenenti ad un piano parallelo alla superficie di separazione tra


z

p.e.c.

d

E+

Figura 5.2: Onda piana incidente su una lastra dielettrica (εr = 4) di spessored = 1.875mm che ricopre un piano perfettamente conduttore.

i due mezzi ( ~E = Ett, ~H = Htt× z, t · z = 0) per cui, operando l’analogia

Et ↔ V , k = ω√εµ ↔ k = ω

√CeqLeq ,

Ht ↔ I , ζ =

√µ

ε↔ Z =

√LeqCeq

,

e’ possibile studiare equivalentemente il circuito mostrato in Fig. 5.3. E’evidente che l’ampiezza del campo magnetico tangente al conduttore, e quindianche quella della densita’ di corrente superficiale, coincidono con l’ampiezzadella corrente che scorre sul corto circuito. In particolare per una linea incorto circuito e’ possibile scrivere I(z) = Iu cos(kz) per cui

I(d) = Iu cos(β1d) ⇒ Iu =I(d)

cos(β1d),

dove nel tratto AA′–BB′

k = β1 =2πf

c

√εr ' 83.78 .

Sara’ quindi nostro obiettivo valutare la corrente I(d) in funzione dell’am-piezza dell’onda incidente V0+ ≡ E+. A tal fine e’ conveniente valutarel’impedenza che la linea chiusa in corto circuito presenta in corrispondenzadell’interfaccia vuoto/lastra dielettrica (sez. AA′),

ZAA′ = jζ1 tan(β1d) = jζ0

2tan(β1d) = j0.079ζ0 ,

5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE 103

zd

A

A'

B

B'

V+0

Iu

z'

Figura 5.3: Circuito equivalente per la configurazione di Fig. 5.2

e considerare un nuovo sitema di riferimento z′ parallelo al precedente eavente origine in corrispondenza di tale interfaccia. In tali ipotesi:

I(d) = I ′(z′)|z′=0 =V0+

ζ0

exp(jk0z′) [1− Γ′(z′)]

∣∣∣∣z′=0

=V0+

ζ0

[1− Γ′(0)] ,

dove

Γ′(0) =ZAA′ − ζ0

ZAA′ + ζ0

= exp(j2.99) .

Quindi

|Iu| = |I(d)||cos(β1d)| =

|V0+|ζ0 |cos(β1d)| |1− Γ′(0)| = 5.31 10−3 A ,

da cui

|Js| = 5.31mA/m .

Esercizio 5.2 Con riferimento alla configurazione dell’esercizio precedentesi diano indicazioni sullo spessore e sulle caratteristiche elettriche e magne-tiche del materiale con cui deve essere costruita la lastra che ricopre il pianoperfettamente conduttore al fine di non avere onda riflessa nello spazio vuoto.


E’ conveniente operare l’analogia onda piana/linea di trasmissione gia’ intro-dotta nell’esercizio precedente.

Si puo’ subito notare che non e’ possibile dissipare potenza sul caricoessendo questo costituito da un corto circuito. Per dissipare quindi la po-tenza associata all’onda incidente sara’ necessario supporre che la lastra siacostituita da un materiale con perdite caratterizzato da una permeabilita’µ = µ1 − jµ2 ed una permittivita’ ε = ε1 − jε2 complesse. A causa del-la presenza delle perdite anche la costante di propagazione risultera’ com-plessa k = β − jα ed il modulo del coefficiente di riflessione, allontanan-dosi dal corto circuito, diminuira’ esponenzialmente secondo l’espressione|Γ(z)| = exp(−2αz). Per annullare l’effetto dell’onda riflessa dal piano con-duttore sara’ quindi sufficiente dimensionare lo spessore d della lastra in modoche il coefficiente di riflessione all’interfaccia lastra/vuoto risulti cosi’ piccoloche la potenza associata all’onda riflessa sia inferiore, o al piu’ confrontabile,con quella dovuta al rumore.

Anche se le perdite introdotte permettono di mascherare la riflessioneintrodotta dal piano conduttore, si avra’ sempre una riflessione all’interfaccialastra/vuoto dovuta alla discontinuita’ nell’impedenza caratteristica dei duemezzi. Per ovviare sara’ necessario scegliere il materiale con cui realizzarela lastra in modo che questa presenti una impedenza caratteristica ζ1 paria quella del vuoto, cioe’ ζ1 = ζ0 = 120π. Poiche’ tale impedenza risultapuramente reale sara’ necessario verificare la condizione di Heaviside

ε2/ε1 = µ2/µ1 ,

da cui

ζ1 =

√ε1µ1 + ε2µ2

ε21 + ε2

2

= 120π .

Agendo opportunamente sulla permittivita’ e la permeabilita’ della lastra e’quindi possibile rimuovere anche l’effetto di discontinuita’ materiale all’inter-faccia lastra/vuoto.

5.3 Analogia onda piana/linea di trasmissione: inci-denza obliqua

Si consideri il problema di un’onda piana, proveniente da un semispazio ca-ratterizzato da una costante di propagazione k1 ed una impedenza caratteri-stica ζ1 (mezzo 1), incidente su un semispazio con costante di propagazionek2 ed impedenza caratteristica ζ2 (mezzo 2). Indicando con z la normale al

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 105

y

z

k1^

k'1^

k2^

k'2^

E_(1)

E_(1)

E_(2)

E_(2)

1

2

Figura 5.4: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:polarizzazione perpendicolare (caso TEz).

piano di separazione tra i due mezzi e con k1 la direzione di propagazionedell’onda piana incidente e’ possibile individuare un piano di incidenza dinormale x = z× k1. Per una qualsiasi polarizzazione dell’onda piana e’ sem-pre possibile rappresentare il campo elettromagnetico associato come sommadel campo di due onde piane, una avente campo elettrico perpendicolare alpiano di incidenza (polarizzazione perpendicolare), l’altra caratterizzata daun campo elettrico parallelo a tale piano (polarizzazione parallela). L’ondapolarizzata perpendicolarmente ha il campo elettrico sempre ortogonale al-la normale z per cui e’ anche denominata onda trasversa elettrica rispettoall’asse z (caso TEz). L’onda polarizzata parallelamente e’ invece caratte-rizzata da un campo magnetico ortogonale alla normale z per cui e’ anchedenominata onda trasversa magnetica rispetto all’asse z (caso TMz).

5.3.1 Polarizzazione perpendicolare (caso TEz)

Si consideri un’onda piana incidente con campo elettrico diretto parallela-mente all’asse x e direzione di propagazione

k1 = sin θ1y − cos θ1z , (5.14)

dove θ1 e’ l’angolo che tale direzione forma con la normale z (Fig. 5.4). In


tali ipotesi il campo associato all’onda risultera’

~Ei = E(1)+ x exp(−jk1k1 · r) = E

(1)+ x exp(−jky1y) exp(jkz1z) , (5.15)

~H i =1

ζ1

k1 × ~Ei = −E(1)+

ζ1

(cos θ1y + sin θ1z

)exp(−jky1y) exp(jkz1z) ,

(5.16)

con

ky1 = k1 sin θ1 , kz1 = k1 cos θ1 . (5.17)

La discontinuita’ piana tra i due mezzi in z = 0 origina un’onda piana riflessaavente direzione di propagazione

k′1 = sin θ1y + cos θ1z , (5.18)

e campo elettromagnetico

~Er = E(1)− x exp(−jk1k

′1 · r) = E

(1)− x exp(−jky1y) exp(−jkz1z) , (5.19)

~Hr =1

ζ1

k′1 × ~Er = −E(1)−ζ1

(− cos θ1y + sin θ1z

)exp(−jky1y) exp(−jkz1z) .

(5.20)

Quindi nel semispazio superiore (mezzo 1) il campo totale, somma dell’ondaincidente e di quella riflessa, risulta:

Ex1(y, z) = + exp(−jky1y)[E

(1)+ exp(jkz1z) + E

(1)− exp(−jkz1z)

], (5.21)

Hy1(y, z) = − exp(−jky1y) ·

·[E

(1)+

cos θ1

ζ1

exp(jkz1z)− E(1)−

cos θ1

ζ1

exp(−jkz1z)

],

(5.22)

Hz1(y, z) = −sin θ1

ζ1

Ex1(y, z) . (5.23)

Nel semispazio inferiore (mezzo 2) e’ invece presente un’onda diretta ed unariflessa la cui direzione di propagazione risulta rispettivamente

k2 = sin θ2y − cos θ2z , (5.24)

k′2 = sin θ2y + cos θ2z . (5.25)


Analogamente al semispazio superiore, le componenti del campo totale nelsemispazio inferiore (mezzo 2) risultano:

Ex2(y, z) = + exp(−jky2y)[E

(2)+ exp(jkz2z) + E

(2)− exp(−jkz2z)

], (5.26)

Hy2(y, z) = − exp(−jky2y) ·

·[E

(2)+

cos θ2

ζ2

exp(jkz2z)− E(2)−

cos θ2

ζ2

exp(−jkz2z)

],

(5.27)

Hz2(y, z) = −sin θ2

ζ2

Ex2(y, z) , (5.28)

dove ky2 = k2 sin θ2 e kz2 = k2 cos θ2. All’interfaccia (z = 0) tra i duesemispazi i campi soddisfano le condizioni di continuita’ delle componentitangenziali

Ex1(y, z)|z=0 = Ex2(y, z)|z=0 , ∀x, y , (5.29)

Hy1(y, z)|z=0 = Hy2(y, z)|z=0 , ∀x, y . (5.30)

Perche’ cio’ si verifichi per ogni valore della coordinata y dovra’ essere sod-disfatta la condizione

ky1 = ky2 = ky , (5.31)

ovvero la legge di Snell

k1 sin θ1 = k2 sin θ2 . (5.32)

Inserendo la relazione (5.31) nelle (5.29), (5.30) e’ facile verificare che inz = 0 dovranno essere equivalentemente soddisfatte le relazioni

E(1)+ + E

(1)− = E

(2)+ + E

(2)− , (5.33)

E(1)+

cos θ1

ζ1

− E(1)−

cos θ1

ζ1

= E(2)+

cos θ2

ζ2

− E(2)−

cos θ2

ζ2

. (5.34)

Si considerino adesso due linee di trasmissione caratterizzate rispettivamentedai parametri:

Linea 1 Linea 2kz1 = k1 cos θ1 kz2 = k2 cos θ2

Z1 = ζ1/ cos θ1 = ωµ1/kz1 Z2 = ζ2/ cos θ2 = ωµ2/kz2V

(1)+ ≡ E

(1)+ V

(2)+ ≡ E

(2)+

V(1)− ≡ E

(1)− V

(2)− ≡ E

(2)−


E immediato verificare che la tensione e la corrente su tali linee rappresen-tano, a meno del fattore exp(−jkyny), le componenti del campo totale nelgenerico n–esimo semispazio:

Exn(y, z) = exp(−jkyny)Vn(z) , (5.35)

Hyn(y, z) = − exp(−jkyny) In(z) , (5.36)

Hzn(y, z) = − exp(−jkyny)sin θnζn

Vn(z) , (5.37)

dove

Vn(z) =[V

(n)+ exp(jkznz) + V

(n)− exp(−jkznz)

], (5.38)

In(z) =

[V

(n)+

Znexp(jkznz)− V

(n)−Zn

exp(−jkznz)

]. (5.39)

Inoltre, soddisfare le condizioni (5.33), (5.34) equivale a richiedere

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.40)

I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 , (5.41)

e cioe’ a connettere le due linee in z = 0. Se ne deduce che al fine di risolvereil problema di onda piana si possono equivalentemente studiare le due lineedi trasmissione precedentemente definite poste in cascata.

Esercizio 5.3 Un’onda piana proveniente dallo spazio vuoto, polarizzataperpendicolarmente ed avente ampiezza E+ = 1V/m, incide su un semi-spazio dielettrico caratterizzato da una costante dielettrica εr = 4 formandoun angolo θ1 = 30 rispetto alla normale all’interfaccia vuoto/dielettrico.Si determini l’ampiezza del campo elettrico nello spazio vuoto ad un’altezzah = λ0/4 dall’interfaccia.

Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.5 in cui:

kz1 = k1 cos θ1 , Z1 = ζ1/ cos θ1 ,

kz2 = k2 cos θ2 , Z2 = ζ2/ cos θ2

e V(1)

+ = 1V ≡ E(1)+ . Poiche’ il mezzo dielettrico e’ supposto indefinito per

z → −∞, nella linea di impedenza Z2 non sara’ presente alcuna onda riflessae la linea di impedenza Z1 puo’ essere considerata chiusa su un carico diimpedenza Zu = Z2. L’ampiezza dell’onda riflessa nella linea di impedenza


z 0

kz1

kz2

1Z

2Z

+V

(1)

h z h

z

0

y

z

k1^

E_(1)

k2^

E_(1)

E_(2)

Figura 5.5: Incidenza obliqua di una onda piana, polarizzata perpendico-larmente al piano di incidenza, su un semispazio dielettrico e suo circuitoequivalente.

Z1, ed equivalentemente l’ampiezza del campo elettrico riflesso nel semispaziovuoto, risulta

E(1)− ≡ V

(1)− = V

(1)+

Z2 − Z1

Z2 + Z1

=

= V(1)

+

ζ2/ cos θ2 − ζ1/ cos θ1

ζ2/ cos θ2 + ζ1/ cos θ1

= V(1)

+

ζ2 cos θ1 − ζ1 cos θ2

ζ2 cos θ1 + ζ1 cos θ2

.

Facendo uso della legge di Snell, k1 sin θ1 = k2 sin θ2, e’ possibile esprimere ilcos θ2 in funzione dell’angolo θ1 come:

cos θ2 =√

1− (sin θ2)2 =

√1−

[k1

k2

sin θ1

]2

,

da cui

kz2 = k2

√1−

[k1

k2

sin θ1

]2

= k2

√1− εr1

εr2(sin θ1)2 ,

Z2 = ζ2/

√1−

[k1

k2

sin θ1

]2

=ζ0/√εr2√

1− εr1εr2

(sin θ1)2.


Cio’ permette di scrivere l’ampiezza del campo elettrico riflesso nel semispaziosuperiore come

E(1)− ≡ V

(1)− = V

(1)+

cos θ1√εr2− 1√

εr1

√1− εr1

εr2(sin θ1)2

cos θ1√εr2

+ 1√εr1

√1− εr1

εr2(sin θ1)2

=

= V(1)

+

cos θ1 −√

εr2εr1− (sin θ1)2

cos θ1 +√

εr2εr1− (sin θ1)2

,

da cui, inserendo i dati del problema, E(1)− = E

(1)+

1−√51+√

5= −0.382.

L’ampiezza del campo elettrico nel semispazio di provenienza dell’ondapiana incidente ad un’altezza h = λ0/4 dall’interfaccia risulta percio’

|Ex1(y, z)||z=h =∣∣∣exp(−jky1y)

[E

(1)+ exp(jkz1h) + E

(1)− exp(−jkz1h)

]∣∣∣ =

=

∣∣∣∣exp(j

2π

λ0

cos θ1λ0

4

)− 0.382 exp

(−j 2π

λ0

cos θ1λ0

4

)∣∣∣∣ = 0.67V/m .

5.3.2 Polarizzazione parallela (caso TMz)

Si consideri ora un’onda piana incidente su un semispazio materiale aventecampo magnetico diretto parallelamente all’asse x e direzione di propagazione

k1 = sin θ1y − cos θ1z , (5.42)

dove θ1 e’ l’angolo che tale direzione forma con la normale z (Fig. 5.6).Dualmente al caso di polarizzazione perpendicolare il campo totale nel gene-rico n–esimo semispazio risulta:

Hxn(y, z) = exp(−jkyny)

[E

(n)+

ζnexp(jkznz)− E

(n)−ζn

exp(−jkznz)

], (5.43)

Eyn(y, z) = exp(−jkyny) ··[E

(n)+ cos θn exp(jkznz) + E

(n)− cos θn exp(−jkznz)

],

(5.44)

Ezn(y, z) = ζn sin θnHxn(y, z) (5.45)

dove

H(n)+ = E

(n)+ /ζn , H

(n)− = −E(n)

− /ζn , (5.46)

kyn = kn sin θn , kzn = kn cos θn . (5.47)


y

z

θ1 θ1k1^

k'1^

k2^

k'2^

θ2 θ2

H_(2)

1

2

H_(1) H_

(1)

H_(2)

E_(1)

E_(1)

Figura 5.6: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:polarizzazione parallela (caso TMz).

Ponendo l’equivalenza

V(n)

+ ≡ E(n)+ cos θn , (5.48)

V(n)− ≡ E

(n)− cos θn , (5.49)

kzn = kn cos θn , (5.50)

Zn = ζn cos θn =kznωεn

, (5.51)

le eqn. (5.43)–(5.44) assumono la forma

Hxn(y, z) = exp(−jkyny) In(z) , (5.52)

Eyn(y, z) = exp(−jkyny)Vn(z) , (5.53)

Ezn(y, z) = exp(−jkyny)ζn sin θn In(z) , (5.54)

dove

Vn(z) =[V

(n)+ exp(jkznz) + V

(n)− exp(−jkznz)

], (5.55)

In(z) =

[V

(n)+

Znexp(jkznz)− V

(n)−Zn

exp(−jkznz)

]. (5.56)

Analogamente al caso di polarizzazione perpendicolare, imporre la continui-ta’ delle componenti tangenziali del campo all’interfaccia z = 0 tra i due


kz1 1Z

+V(1)

0

y

z

=

H_

E_

1

2

3

kz2 2Z

kz3 3Z

Figura 5.7: Onda piana incidente su uno strato dielettrico e suo circuitoequivalente.

semispazi

Ey1(y, z)|z=0 = Ey2(y, z)|z=0 , ∀x, y , (5.57)

Hx1(y, z)|z=0 = Hx2(y, z)|z=0 , ∀x, y , (5.58)

equivale ad imporre

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.59)

I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 , (5.60)

e quindi a porre in cascata le due linee equivalenti.

Esercizio 5.4 Un’onda piana proveniente dallo spazio vuoto avente pola-rizzazione parallela incide con un angolo θ1 = 30 su uno strato dielettricodi spessore d caratterizzato da una costante dielettrica relativa εr = 4. Sidetermini lo spessore d per cui non si ha onda riflessa nel semispazio di pro-venienza dell’onda.

Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.7 in cui,facendo uso della legge di Snell:

kz1 = kz3 = k0 cos θ1 =2π

λ0

cos(π/6) ,

Z1 = Z3 = ζ0 cos θ1 = 120π cos(π/6) ,

5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA 113

kz2 = k2 cos θ2 = k0

√εr cos θ2 =

2π

λ0

√εr − (sin θ1)2 =

π√

15

λ0

,

Z2 = ζ2 cos θ2 =ζ0

εr

√εr − (sin θ1)2 = 15π

√15 .

Per non avere onda riflessa nel semispazio di provenienza dell’onda incidentesi dovra’ equivalentemente realizzare un trasformatore a mezz’onda e quindiimporre d = λz2/2 dove con λz2 si e’ indicata la lunghezza d’onda nel trattodi linea di impedenza Z2. Essendo

λz2 =2π

kz2= 2π

λ0

π√

15=

2λ0√15,

lo spessore dello strato dielettrico risulta d = λ0/√

15 .

5.4 Il problema di N linee in cascata

Si vuole ora studiare il problema di N linee poste in cascata, o equivalen-temente N strati piani su cui incide un’onda piana. A tal fine si prendain considerazione un generico tratto di linea di lunghezza `n caratterizzatoda una costante di propagazione kn ed una impedenza caratteristica Zn. Secon Vn+1, In+1 e Vn, In si indicano la tensione e la corrente rispettivamentealla sezione z = 0 e z = `n (Fig. 5.8), dalla teoria generale delle linee ditrasmissione e’ possibile scrivere:

Vn = Vn+ exp(jkn`n) + Vn− exp(−jkn`n) , (5.61)

In =Vn+

Znexp(jkn`n)− Vn−

Znexp(−jkn`n

), (5.62)

dove

Vn+ =1

2

(Vn+1 + In+1Zn) , (5.63)

Vn− =1

2

(Vn+1 − In+1Zn

). (5.64)

Sostituendo le eqn. (5.63)–(5.64) nelle (5.61)–(5.62), si ottiene:

Vn = Vn+1 cos(kn`n) + In+1 jZn sin(kn`n) , (5.65)

In = Vn+1j sin(kn`n)

Zn+ In+1 cos(kn`n) . (5.66)


0

z

Zn

Vn

In

Vn+1

In+1

n

jn

Figura 5.8: Generico tratto n della cascata di N linee.

Queste ultime relazioni possono essere convenientemente espresse in formamatriciale [

VnIn

]= T

n

[Vn+1

In+1

], (5.67)

definendo la matrice di trasmissione

Tn

=

[cos(kn`n) jZn sin(kn`n)j sin(kn`n)

Zncos(kn`n)

]. (5.68)

Tale forma risulta utile nel caso in cui si consideri la connessione di N trattidi linea aventi caratteristiche diverse. Infatti per ognuno di essi e’ possibile,dopo aver valutato la corrispondente matrice di trasmissione, scrivere unarelazione del tipo (5.67). Per i due generici tratti n–esimo e n+1–esimoadiacenti tra loro e’ possibile scrivere:

(tratto n–esimo)

[VnIn

]= T

n

[Vn+1

In+1

], (5.69)

(tratto n+ 1–esimo)

[Vn+1

In+1

]= T

n+1

[Vn+2

In+2

], (5.70)

da cui risulta evidente [VnIn

]= T

nTn+1

[Vn+2

In+2

]. (5.71)

Estendendo tale risultato al caso in cui si sia in presenza di N di tratti dilinea connessi in cascata e’ possibile scrivere[

VnIn

]= T

[Vn+N

In+N

], (5.72)

5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA 115

IN+1

V

I

Z

A

A'

Z Z Z VN+1

Zu

Figura 5.9: Cascata di N tratti di linea con caratteristiche diverse.

oppure[Vn+N

In+N

]= T−1

[VnIn

], (5.73)

dove con T si e’ indicata la matrice risultante dal prodotto delle matrici ditrasmissione caratterizzanti i singoli tratti di linea, cioe’

T =

[N−1∏i=0

Tn+i

]. (5.74)

Esercizio 5.5 Si valuti il coefficiente di riflessione all’ingresso di una ca-scata di N tratti di linea terminata da un generico carico Zu.

Il coefficiente di riflessione alla sezione AA′ e’ legato all’impedenza ZAA′ =V1/I1 che la cascata degli N tratti di linea presenta a tale sezione dallarelazione:

ΓAA′ =ZAA′ − Z0

ZAA′ + Z0

.

La tensione V1 e la corrente I1 alla sezione AA′ risulta legata alla tensioneVN+1 e alla corrente IN+1 sul carico dalla relazione

[V1

I1

]= T

[VN+1

IN+1

]=

[t11 t12

t21 t22

] [VN+1

IN+1

],

dove

T =

[t11 t12

t21 t22

]=

[N∏i=1

Ti

]


A

A'

B

B'

ZnZn-1

jn

ZBB'

z

Figura 5.10: Due tratti di linea in cascata terminati su un carico ZBB′ .

e la matrice Ti

e’ definita come nell’eq. (5.68). L’impedenza Zu del carico e’anche esprimibile come Zu = VN+1/IN+1 da cui

[V1

I1

]=

[t11 t12

t21 t22

] [Zu1

]IN+1

e

V1 =(t11Zu + t12

)IN+1 ,

I1 =(t21Zu + t22

)IN+1 .

Ne segue che l’impedenza alla sezione AA′ e’ valutabile attraverso la relazione

ZAA′ =V1

I1

=t11Zu + t12

t21Zu + t22

e da essa il coefficiente di riflessone richiesto.

5.5 Teoria delle piccole riflessioni

Si consideri dapprima la configurazione schematizzata in Fig. 5.10. Indicatocon

Γn =ZBB′ − ZnZBB′ + Zn

(5.75)

il coefficiente di riflessione di tensione alla sezione BB′, e’ possibile espri-mere il coefficiente di riflessione subito a destra della sezione AA′ tramite larelazione

Γ′n = Γn exp(−j2kn`n) , (5.76)

5.5. TEORIA DELLE PICCOLE RIFLESSIONI 117

dove kn rappresenta la costante di propagazione nella linea di impedenzaZn. Il carico ZBB′ si presenta equivalentemente alla sezione AA′ come unaimpedenza

ZAA′ = Zn1 + Γ′n1− Γ′n

, (5.77)

per cui il coefficiente di riflessione subito a sinistra della sezione AA′ puo’essere espresso come:

ΓAA′ =ZAA′ − Zn−1

ZAA′ + Zn−1

=Zn(1 + Γ′n)− Zn−1(1− Γ′n)

Zn(1 + Γ′n) + Zn−1(1− Γ′n)=

Zn−Zn−1

Zn+Zn−1+ Γ′n

1 + Zn−Zn−1

Zn+Zn−1Γ′n

.

(5.78)

Indicando con

Γn−1 =Zn − Zn−1

Zn + Zn−1

, (5.79)

il coefficiente di riflessione alla sezione AA′ risulta

ΓAA′ =Γn−1 + Γn exp(−j2kn`n)

1 + Γn−1Γn exp(−j2kn`n). (5.80)

Si supponga ora che la discontinuita’ tra le impedenze Zn−1 e Zn, cosi’ cometra le impedenze Zn e ZBB′ , sia piccola e quindi sia valida la diseguaglianza|Γn−1Γn| ¿ 1. In tali ipotesi al denominatore della eq. (5.80) e’ possibiletrascurare rispetto all’unita’ il termine in cui appare la funzione esponenzialee quindi approssimare il coefficiente di riflessione alla sezione AA′ tramitel’espressione

ΓAA′ ' Γn−1 + Γn exp(−j2kn`n) . (5.81)

Attraverso la relazione approssimata (5.81) la riflessione alla sezione AA′ puo’essere interpretata come la somma della riflessione diretta alla sezione AA′,dovuta alla discontinuita’ introdotta dalle differenti impedenze caratteristichedelle due linee di cui Γn−1 rappresenta il coefficiente di riflessione, e dellariflessione dovuta al carico con la relativa variazione di fase, ed eventualmentedi ampiezza, exp(−j2kn`n) introdotta dal tratto di linea di impedenza Zn.

Se ora si considera una cascata di N tratti di linea, cosi’ come schema-tizzato in Fig. 5.9, e si definisce

Γn =Zn+1 − ZnZn+1 + Zn

per n = 0, 1, . . . , N − 1 (5.82)

ΓN =Zu − ZNZu + ZN

(5.83)

θn = kn`n per n = 1, 2, . . . , N , (5.84)


nell’approssimazione di piccole riflessioni e’ possibile stimare il coefficiente diriflessione all’ingresso della cascata delle N linee come:

ΓAA′ = Γ0 + Γ1 exp(−j2θ1) + Γ2 exp(−j2θ1) exp(−j2θ2) + . . .+

+ . . .+ ΓN

N∏i=1

exp(−j2θi) . (5.85)

Si consideri ora il caso in cui le linee siano prive di perdite, Zn = Rn, e lalunghezza `n sia scelta in modo tale che la lunghezza elettrica di ogni linearisulti identica, cioe’ θn = βn`n = θ per n = 1, 2, . . . , N . In tali ipotesi

ΓAA′(θ) = Γ0 + Γ1 exp(−j2θ) + Γ2 exp(−j4θ) + . . .+ ΓN exp(−j2Nθ) .(5.86)

Si assuma inoltre che i coefficienti di riflessione risultino simmetrici1, cioe’Γ0 = ΓN , Γ1 = ΓN−1, Γ2 = ΓN−2, . . . ; cio’ permette di scrivere il coefficientedi riflessione alla sezione AA′ nella forma:

ΓAA′(θ) = exp(−jNθ) Γ0 [exp(jNθ) + exp(−jNθ)]+Γ1 [exp(j(N − 2)θ) + exp(−j(N − 2)θ)] + . . . , (5.87)

dove l’ultimo termine in parentesi graffa risultera’ ΓN2

per N pari mentre

ΓN−12

[exp(jθ) + exp(−jθ)] per N dispari. In particolare la relazione (5.87)

puo’ essere riscritta nella forma di serie finita di Fourier sia per N pari

ΓAA′(θ) = 2 exp(−jNθ) Γ0 cos [Nθ] + Γ1 cos [(N − 2)θ]

+ . . .+ Γn cos [(N − 2n)θ] + . . .+1

2ΓN

2

, (5.88)

che per N dispari

ΓAA′(θ) = 2 exp(−jNθ) Γ0 cos [Nθ] + Γ1 cos [(N − 2)θ]

+ . . .+ Γn cos [(N − 2n)θ] + . . .+ ΓN−12

cos θ. (5.89)

L’importanza del risultato risiede nel fatto che, scegliendo opportunamentei coefficienti di riflessione Γn, che coincidono con i coefficienti della serie diFourier, e un numero N sufficiente di sezioni, e’ possibile sintetizzare qualsiasiandamento del coefficiente di riflessione ΓAA′ in funzione della frequenza f acui la lunghezza elettrica θ e’ legata dalla relazione f = θvfn/2π`n, dove convfn si e’ indicata la velocita’ di fase misurata in una qualsiasi sezione n.

1Tale ipotesi non implica tuttavia un andamento simmetrico delle impedenze Rn.

Documents

Linee di trasmissione: teoria, esercizi e dintornisrtm.det.unifi.it/lab/Appunti/CAP0-TEX.pdf · 2 LINEE DI TRASMISSIONE: TEORIA, ESERCIZI E DINTORNI – A.FRENI La presente dispensa