Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
iza sistema Automatsko
UVOD
Eksperiment Osnovne karakteristike sistema u frekventnom domenu
0
0
AY
U
, (( )) y u
Frekventne karakteristike sistema
A()
()
LINEARNI SISTEM
iza sistema Automatsko
FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
4.3.1. DEFINIFIJA FURIJEOVE TRANSFORMACIJE
Direktna FT: ( ) ( ) j tX j x t e dt
Furijeov lik
Inverzna FT: 1
( ) ( )2
j tx t X j e d
original
4.3.2. SPEKTAR APERIODIČNIH SIGNALA
arg ( )
( ) ( )j X j
X j X j e
( ) ( )A X j - spektralna gustina amplituda signala x(t)
( ) arg ( )X j - spektralna gustina fazna signala x(t)
2( ) ( )S X j - spektralna gustina energije signala x(t)
iza sistema Automatsko
Primer 4.8. Odrediti Fourier-ovu transforma-ciju za pravougaoni signal x(t) prikazan na slici
Rešenje.
/2/2 /2 /2
/2 /2
( ) ( )
sin / 2sin / 2( ) ,
/ 2 / 2
PP P P
PP
TT j T j Tj tj t j t
T T
PP
P P
P P
e e eX j x t e dt e dt
j j
TTT X j T
T T
iza sistema Automatsko
Spektralna gustina amplituda ( )X j
sin / 2sin / 2( ) ( ) ,
/ 2 / 2
PP
P P
P P
TTX j T X j T
T T
iza sistema Automatsko
Primer 4.9. Furijeova transformacija Dirakovog signala iznosi
( ) ( ) 1j tj t e dt
Primer 4.10. Furijeova transformacija konstantnog signala ( )x t A .
( ) ( ) 2 ( )X j x t A A F
(t)
t
1
(j)
1 x(t)
t
X(j)
2 ()
iza sistema Automatsko
Primer 4.11. Furijeova transformacija kauzalnog realnog eksponencijalnog signala ( ) ( )atx t e h t iznosi
0 0
1( ) ( ) , 0
a j
j t at j t eX j x t e e e a
a j a j
Spektralna gustina amplituda i faza iznose
2 22 2
1 1( ) , arg ( ) ,X j X j arctg S
a aa
iza sistema Automatsko
ODNOS LAPLASOVE I FURIJEOVE TRANSFORMACIJE
( ) ( ) j tX j x t e dt
s j ( ) ( ) stX s x t e dt
Imaginarna osa s j leži u oblasti konvergencije Laplasove transformacije.
Jednostrana Laplasova transformacija služi za opisivanje sistema kako u ustaljenom režimu rada tako i u prelaznom režimu. Furijeova transformacija opisuje karakteristike sistema samo u ustaljenom režimu.
iza sistema Automatsko
OSOBINE FURIJEOVE TRANSFORMACIJE
R. broj Naziv osobine Vremenski domen Frekventni domen
1. Linearnost i homogenost
1
( )N
k k
k
x t
1
( )N
k k
k
X j
2. Pomeranje po vremenu 0( )x t t 0( )j t
X j e
5. Diferenciranje ( )k
k
dx t
dt ( ) ( )kj X j
6. Konvolucija ( ) ( )x t y t ( ) ( )X j Y j
7. Parsevalova relacija 2
( )E x t dt
21
( )2
E X j d
iza sistema Automatsko
FREKVENTNA FUNKCIJA PRENOSA
Odziv sistema na proizvoljni signal dobija se konvolucijom signala pobude i jediničnog impulsnog odziva
( ) ( ) ( )y t g t u t
U skladu sa osobinom konvolucije Furijeove transformacije sledi
( ) ( ) ( )Y j G j U j
I definicija. Furijeova transformacija impulsnog odziva linearnog stacionarnog kontinualnog sistema
( ) g( )G j t F
naziva se frekvencijski odziv ili frekventna funkcija prenosa.
iza sistema Automatsko
0 0
( ) ( )k kn m
k kk kk k
d da y t b u t
dt dt
F F
0 0
( ) ( )n m
k k
k k
k k
Y j a j U j b j
0
0
( ) ( )( ) ,
( ) ( )
mk
k
k
nk
k
k
b jy t Y j
G j n mu t U j
a j
F
F
II definicija. Količnik Furijeove transformacije izlaza i ulaza linearnog stacionarnog kontinualnog sistema naziva se frekvencijski odziv ili frekventna funkcija prenosa
ODNOS IZMEĐU FUNKCIJE PRENOSA I FREKVENTNE FUNKCIJE PRENOSA
( ) ( )s j
G j G s
iza sistema Automatsko
FREKVENTNE KARAKTERISTIKE SISTEMA
Kompleksna pobuda: uj t
uA e
Kompleksan odziv: yj t
yA e
( )
arg ( )
( arg( ( )))
( )
( ) ( )
( ) (
)
)
)
(
(
)(
u
u u
y
u
u
y
y
j t
y
A
j tj
u
G j
j t j tj G j
u u
j t G j
u
j t
u
u t
A e
g d
g d A e g d e
A G j e A G j e e
A G j e
y t
A e
gde je arg ( )
( ) ( )j G j
G j G j e
LINEARNI SISTEM
iza sistema Automatsko
( )y uA A G j ( )y
u
AG j
A
arg ( )y u G j arg ( ) y uG j
( ) Re ( ) Im ( ) ,
Re( ) Re ( ) , Im( ) Im ( )
G j G j j G j
G j G j
arg ( )
2 2
( ) ( )
( ) ( ) Re ( ) Im ( )
Im( )( ) arg ( )
Re( )
j G jG j G j e
A G j
G j arctg
iza sistema Automatsko
OSOBINE FREKVENTNE FUNKCIJE PRENOSA
( ) ( ) 0, ( ) ( )A A
Re( ) Re( ), Im( ) Im( )
Za rednu spregu sistema
1 2( ) ( ) ( )G j G j G j
1 2( ) ( )( )
1 2( ) ( ) ( ) ( )jjG j A e A A e
1 2( ) ( ) ( )A A A
1 2( ) ( ) ( )
iza sistema Automatsko
VRSTE FREKVENTNIH KARAKTERISTIKE SISTEMA
NAJKVISTOVA KRIVA
Zavisnost frekventne funkcije G(jω) pri promeni učestanosti ω od -∞ do ∞ može naziva se frekventna karakteristika sistema, odnosno Najkvistova kriva.
Primer 4.13. Nacrtati Najkvistovu krivu sistema opisanog funkcijom prenosa
2
1( )
1G s
s s
Rešenje.
2
2 2 2
2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
1 1 1( )
( ) 1 1 1
1 1
1 1 1
Re ( ) Im ( )
jG j
j j j j
jj
G j j G j
iza sistema Automatsko
2 2
2 2
1 1( ) ( )
11
A G jj
2
2
2
1( ) arg ( ) arg arg 1
1
1
G j jj
arctg
(i) 0 Re 1, Im 0, ( ) 1, ( ) 0A
(ii) Re 0, Im 0, ( ) 0, ( )A
(iii) Preseci sa Re-osom
1Im ( ) 0 0 Re ( 0) 1G j G j
(iv) Preseci sa Im-osom
iza sistema Automatsko
2
2
1Re ( ) 0 1 0 1 Im ( 1) 1
1G j G j
Deo frekventne karakteristike za promenu učestanosti 0, prikazan je
na slici. Imajući u vidu osobine frekventne karakteristike, druga grana
hodografa za ,0 može se naneti simetrično u odnosu na realu osu.
1
-1
0
iza sistema Automatsko
AMPLOTUDNA I FAZNA FREKVENTNA KARAKTERISTIKA
Amplitudna frekventna karakteristika (AFK):
( ) ( )A G j
i fazna frekventna karakteristika (FFK):
( ) arg ( )G j
iza sistema Automatsko
BODEOVI DIJAGRAMI
Logaritamska amplitudno-frekventna karakteristika
10( ) 20log ( ) , u log-razmeriL A db
Fazno-frekventna karakteristika sistema
( ) arg ( ) , u log-razmeriG j
iza sistema Automatsko
BODEOVI DIJAGRAMI TIPIČNIH FUNKCIJA PRENOSA
Četiri različita faktora:
1. Konstantno pojačanje 1( )G s K
2. Faktor 2 ( ) , 1, 2,rG s s r (nula ili pol u koordinatnom
početku)
3. Faktor 3( ) 1 , 1, 2,
q
p
sG s q
(nula ili pol na realnoj
osi)
4. Faktor 4 2
1( )
1 2n n
G ss s
(par konjug. komp. polova)
iza sistema Automatsko
Frekventna funkcija prenosa:
1. Konstantno pojačanje 1( )G j K
2. Faktor 2 ( ) ( ) , 1, 2,rG j j r
3. Faktor 3( ) 1 , 1, 2,
q
p
G j j q
4. Faktor 4 2
1( )
1 2n n
G jj j
iza sistema Automatsko
Faktor 1( )G s K :
1
1 1
1
( )
( ) 20 ( ) 20log
0 0( ) arg ( )
180 0o
G j K
L G j K
KG j
K
iza sistema Automatsko
10-1
100
101
102
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Am
plit
uda (
dB
)Bodeov dijagram
Frekvencija (rad/sec)
K=10
K=1
K=0.1
K=-10
1
1 1
( )
( ) 20 ( ) 20log
G j K
L G j K
/rad s
L
()
[dB
]
iza sistema Automatsko
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Faza (
deg)
Bodeov dijagram
Frekvencija (rad/sec)
K=-10
K=1 K=0.1 K=10
()
[o]
/rad s
iza sistema Automatsko
Faktor 2( ) rG s s (nula ili pol u koordinatnom početku)
2
2
2
( ) ( ) , 1, 2,
( ) 20 log
( ) 90
r
o
G j j r
L r
r
iza sistema Automatsko
Faktor 2( ) rG s s (nula ili pol u koordinatnom početku)
2
2
2
( ) ( ) , 1, 2,
( ) 20 log
( ) 90
r
o
G j j r
L r
r
10
-110
010
1-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Magnitude (
dB
)Bodeov dijagram
Frequency (rad/sec)
L
()
[dB
]
iza sistema Automatsko
Bodeov dijagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
180P
hase (
deg)
()
[o]
iza sistema Automatsko
Faktor 3( ) 1 , 1, 2,
q
p
G j j q
3
2
3
3
3
( ) 1 , 1, 2,
( ) 20 log 1 je prelomna učestanost
( ) 0, , tan
( ) 20 log , , Asimptota za visoke učest
/
/ a
1
1
q
p
p
p
p
p
G j j q
L q
L Asimptota za niske učes osti
L q
3
3
3
nosti
( )
( ) 0, , Asimptota za niske učestanosti
( ) 90 , , Asimptota za visoke učestanost
/ 1
/ 1 i
p
p
p
o
q arctg
q
iza sistema Automatsko
10-1
100
101
102
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40L (
dB
)Bodeov dijagram
Frekfvencija (rad/sec)
L
()
[dB
]
iza sistema Automatsko
10-1
100
101
102
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10L (
dB
)Bodeov dijagram
Frekvencija (rad/sec)
-3 dB
-6 dB
-20 dB/dec
-40 dB/dec
L
()
[dB
]
iza sistema Automatsko
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
135
180F
aza (
deg)
Bodeov dijagram
Frekfvencija (rad/sec)
()
[o]
1q
iza sistema Automatsko
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0F
aza (
deg)
Bodeov dijagram
Frekvencija (rad/sec)
()
[o]
iza sistema Automatsko
4 2
22 2
2
4 n
4
4 2
1( )
1 2
( ) 2
Faktor (par konjug. kom. polo
0log 1 4 je prelo
va)
mna učestanost
( ) 0, ,
1(
2
1
)
1
n n
n n
n n
n
G jj j
L
L Asimp
G ss s
tota za niske uč
4
4
tan
( ) 20 log
40 log , , Asimptota za visoke 1 učestanostin n
n
es osti
L
iza sistema Automatsko
4 2
3
3
2
( )
1
( ) 0, , Asimptota za niske učestanosti
( )
1
1180 , , Asimptota za visoke učestanosti
n
n
o
n
n
arctg
iza sistema Automatsko
10-1
100
101
-40
-30
-20
-10
0
10
20M
agnitude (
dB
)Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
L
()
[dB
]
Bodeov dijagram amplitude
iza sistema Automatsko
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
()
[o]
Bodeov dijagram faze
iza sistema Automatsko
BODEOVI DIJAGRAMI PROIZVOLJNE FUNKCIJE
1. Izvrši se normalizacija funkcije prenosa ( )G s .
2. Iz funkcije prenosa ( )G s odrede se analitički izrazi za ( )L i ( ) i iz njih
pročitaju prelomne učestanosti i odrede dodatne prelomne učestanosti.
3. Obeleže se vrednosti na ( )L i -osi i označe se prelomne učestanosti na -
osi.
4. Nacrtaju se asimptote pojedinačnih krivih za ( )L .
5. Izvrši se sabiranje asimptota za ( )L počevši od manjih ka većim .
6. Obeleže se vrednosti na ( ) i -osi i označe se dodatne prelomne
učestanosti na -osi.
7. Nacrtaju se asimptote pojedinačnih krivih za ( ) .
8. Izvrši se sabiranje asimptota za ( ) počevši od manjih ka većim .
iza sistema Automatsko
Primer 4.14. Nacrtati Bodeove dijagrame sistema čija je funkcija prenosa
10( 1)( )
( 10)
sG s
s s
Rešenje. Najpre izvršimo normalizaciju funkcije prenosa:
10( 1) 10(1 ) 1( )
( 10)10(1 ) (1 )
10 10
s s sG s
s ss ss s
Frekventna funkcija prenosa iznosi
1( )
(1 )10
jG j
j j
iza sistema Automatsko
Amplitudna logaritamska karakteristika iznosi:
2 2
1 2 3
1( ) 20log ( ) 20log
(1 )10
20log 1 20log1
20log 1
( ) ( ) ( )
10
jL G j
j j
L L L
Prelomne učestanosti su:
1 1 /p rad s , 2 10 /p rad s
Dodatne prelomne učestanosti su:
1 / 1 /1
0.10
d rad s rad s , 2 10 / 10 /1d rad s rad s
3
10/ 1 /
10d rad s rad s , 4 10 / 10010 /d rad s rad s
iza sistema Automatsko
Fazna karakteristika iznosi
1 2 3
1( ) arg ( ) arg
(1 )10
arg 1 arg arg 110
901 10
( ) ( ) ( )
o
jG j
j j
j j j
arctg arctg
iza sistema Automatsko
10-2
10-1
100
101
102
103
-60
-40
-20
0
20
40
60M
agnitude (
dB
)Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Bodeov dijagram amplitude L
()
[dB
]
iza sistema Automatsko
10-2
10-1
100
101
102
103
-90
-45
0
45
90P
hase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
()
[o]
Bodeov dijagram faze
iza sistema Automatsko
POKAZATELJI KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA U FREKVENTNOM DOMENU
Vremenski domen: pokazatelji kvaliteta ponašanja sistema su definisani pomoću odskočnog odziva sistema.
Frekventni domen: pokazatelji ponašanja sistema definisani su pomoću frekventnog odziva sistema (frekventnih karakteristika).
Većina pokazatelja izvedena je iz amplitudne frekventne karakteristike ( )A .
Manji broj pokazatelja izveden je iz fazne frekventne karakteristike ( ) , odnosno
frekventne karakteristike ( )G j .
iza sistema Automatsko
PROPUSNI OPSEG SISTEMA
Opseg učestanosti ulaznog signala u kome je njegova reprodukcija pri prolazu kroz sistem zadovoljavajuća.
Širina propusnog opsega određena je graničnom učestanošću po koja se
definiše na sledeći način
2( ) (0)
2po
A A
Propusni opseg je u direktnoj vezi sa brzinom reagovanja sistema.
iza sistema Automatsko
Propusni opseg izražava filterske osobine sistema
( )U j - spektar ulaznog
signala
( ) ( )A G j - amplitudska
karakteristika sistema
(j ) ( ) ( )Y A U j - spektar
izlaznog signala
veći propusni opseg veća brzina reagovanja sistema
iza sistema Automatsko
SELEKTIVNOST
Selektivnost predstavlja nagib ( )L karakteristike u okolini učestanosti po :
20 /S n dB dec
Predstavlja sposobnost sistema da eliminiše uticaj šuma ili poremećaja čiji
frekventni spektar pada u opseg učestanosti neposredno iza PO .
(log)
(log)
šum
(log)
šum šum
iza sistema Automatsko
FAZNO KAŠNJENJE
Fazno kašnjenje - nagib fazne frekventne karakteristike ( ) :
( )K
dT
d
, ( ) arg ( )G j ,
kT tg
Za kvalitetnu reprodukciju ulaznog
signala sistema zahteva sa da
( ) bude linearna funkcija
učestanostii u opsegu učestanosti
spektra ulaznog signala.
iza sistema Automatsko
REZONANTNA UČESTANOST
Učestanost pri kojoj se javlja maksimum na amplitudskoj karakteristici.
Maksimalna vrednost amplitudno frekventne karakteristike
max ( )RA A
Rezonantni vrh služi za ocenu preteka stabilnosti sistema o kome će biti govora kasnije.
iza sistema Automatsko
Za sistem drugog reda R se računa
prema sledećoj formuli
21 2 , 0.707R n
koja je u grafičkom obliku prikazana na slici. Za 0.707 ne pojavljuje se rezonantna
učestanost.
iza sistema Automatsko
REZONANTNI VRH
Rezonantni vrh sračunava se po formuli
2
1, 0.707
2 1RA
a na slici je data odgovarajuća grafička interpretacija.