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Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Beispiel 1Beispiel 1Ein Angestellter kostet 7.500 Euro Lohn/MonatWie hoch sind die Lohnkosten für 5 Angestellte? ==> 5 · 7.500 Euro = 37.500 Euro
Lineare Zusammenhänge sind in der Wirtschaft sehr häufig anzutreffen.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Beispiel 2Beispiel 2Für die Produktion eines Bauteiles muß eine Maschine 36 Sekunden laufen.Wie lange ist die Laufzeit bei der Produktion von 1000 Bauteilen?==> 1.000 · 36 Sekunden = 36.000 Sekunden = 10 StundenOder - etwas komplizierter:Wieviel Bauteile können auf 10 Maschinen in 8 Arbeitsstunden produziert werden? 10 (Maschinen)·8 (Stunden/Maschine)· 3600 (Sekunden/Stunde)
36 (Sekunden/Bauteil)
= 8000 (Bauteile)
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenMatrizen: Einführendes Beispiel
Gegeben sei der folgende Sachverhalt:
Ein Betrieb produziert 3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2. Produkt P1 muss 1 h auf Maschine M1 und 2 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P2 muss 3 h auf Maschine M1 und 1 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P3 muss 1,5 h auf Maschine M1 und nicht auf Maschine M2 laufen.
Aufgabe: Schreiben Sie diesen Sachverhalt übersichtlich auf!
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenMatrizen: Einführendes Beispiel
Ein Betrieb produziert3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2.
Die Laufzeiten (in Stunden) entnehme man folgender Tabelle:
Maschine 1 Maschine 2Produkt 1 1 2Produkt 2 3 1Produkt 3 1,5 0
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenMatrizen: Einführendes Beispiel
Die Maschinenlaufzeiten sind also in einer Tabelle zusam-mengefasst. Entfernt man die Beschriftung, so sieht die Tabelle wie folgt aus:
1 23 1
1,5 0Ein solches, rechteckiges Zahlenschema nennen wir in der Mathematik eine Matrix. Es wird dabei etwas anders hingeschrieben.
05,1
13
21
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenMatrizen: Einführendes Beispiel
Wenn wir mit Matrizen in der Anwendung hantieren, dürfen wir die Herkunft (die “Beschriftung”) nicht vergessen, da sie uns angibt, was die Zahlen in der Matrix zu bedeuten haben.
05,1
13
21
Eine Matrix ohne Interpretation ist nichtssagend!
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenMatrizen: Einführendes Beispiel
05,1
13
21
Jeder Spalte stehtfür eine Maschine!(Es gibt 2 Maschinen)
Jeder Zeile stehtfür ein Produkt!(Es gibt 3 Produkte)
Die Einträge geben dieMaschinenlaufzeitender Produkte an!
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenWichtige Eigenschaften einer Matrix
05,1
13
21
Spaltenanzahl (hier 2)
Zeilenanzahl(hier 3)
Wertebereich der Einträge(auch Koeffizienten genannt)(hier: nicht-negative Zahlen)
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenDefinition einer Matrix
Das rechteckige Zahlenschema
heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten, oder m × n Matrix (Mehrzahl: Matrizen)Die Zahlen in dem Schema heißen Einträge, Elemente oder Koeffizienten der Matrix.
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenBeispiele für Matrizen
12307
02002
33041ist eine 3 ×5 Matrix mit nicht-negativen, ganzen Zahlen
6538 ist eine 1 × 4 Matrixmit positiven, ganzen Zahlen
42 ist eine 1 × 1 Matrix
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenSpezielle Matrizen: Vektoren
Definition: Eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte wird auch Vektor genannt.
ist ein Zeilenvektor mit 5 Komponenten
3
2
0
1
ist ein Spaltenvektor mit 4 Komponenten
(0,5 3 2 1,1 -2)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Beispiele
Beispiel 1Beispiel 1Die folgende Matrix gebe für 2 Abteilungen einer Firma an, wieviel Arbeiter, Angestellte und Manager dort beschäftigt sind:
Abteilung 1
Abteilung 2
31435
21220
Arbeiter Angestellte Manager
Die Einträge der Matrix müssen positive, ganze Zahlen sein! Es gibt weder halbe, noch negative Arbeiter!
Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden!
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Beispiele
Beispiel 2Beispiel 2Die folgende Matrix gebe für 2 Produkte einer Firma an, wie diese prozentual aus 3 Rohstoffen zusammengesetzt sind
5%85%10%
20%30%50%Produkt 1
Produkt 2
Rohstoff 1 Rohstoff 2 Rohstoff 3
Die Einträge der Matrix müssen Prozentwerte zwischen 0% und 100% sein! Ein Produkt kann nicht aus 150% eines Rohstoffs bestehen.
Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden!
Lineare Algebra – Rechnen mit MatrizenBeispiele
Beispiel 3Beispiel 3Die folgende Matrix gebe für 2 Firmen, wieviel Gewinn oder Verlust sie in drei Geschäftsjahren gemacht haben (in Mio. DM):
Firma 1
Firma 2
18,622,920,8
1,248,811,5
1994 1995 1996
Die Einträge der Matrix sind beliebige reelle Zahlen, positiv oder negativ! Verluste/Gewinne können beliebige Werte annehmen!
Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden!
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Definition 3Definition 3Eine quadratische Matrix, in der alle Einträge auf der Hauptdiagonale Eins sind und alle anderen Einträge Null, heißt Einheitsmatrix
1000
0100
0010
0001
Die Einheitsmatrix
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Definition 4Definition 4Eine Matrix, in der alle Einträge außer der Hauptdiagonale Null sind, heißt Diagonalmatrix
Die Diagonalmatrix
0000
8000
0700
0060
0004
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Definition 5Definition 5Eine Matrix, in der alle Einträge Null sind, heißt Nullmatrix.
Die Nullmatrix
0000
0000
0000
0000
0000
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Drei Automobilfirmen werden von 6 Zulieferern mit Bauteilen beliefert. Die folgende Matrix gibt an, wieviel die Autofirmen an die Zulieferer pro Quartal zahlen:
12003004468652310031005
75224010235702315002350
352120598881238001234Autofirma 1
Autofirma 2
Autofirma 3
Zulieferer1
Zulieferer2
Zulieferer3
Zulieferer4
Zulieferer5
Zulieferer6
Frage: Wie sieht die Matrix aus, die beschreibt, wieviel die Zulieferfirmen von den Autofirmen erhalten?
“Autofirma 1 zahlt pro Quartal 120 TDM an Zulieferer 5”“Zulieferer 5 erhält pro Quartal 120 TDM von Autofirma 1”
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Die Matrix aus Sicht der Autofirmen(“Wieviel zahlen wir an die Zulieferer?”)
12003004468652310031005
75224010235702315002350
352120598881238001234Autofirma 1
Autofirma 2
Autofirma 3
Zulieferer1
Zulieferer2
Zulieferer3
Zulieferer4
Zulieferer5
Zulieferer6
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Die Matrix aus Sicht der Zulieferer(“Wieviel bekommen wir von den Autofirmen?”)
Zulieferer 1
Zulieferer 2
Zulieferer 3
Zulieferer 4
Zulieferer 5
Zulieferer 6
Autofirma1
Autofirma2
Autofirma3
1200752352
300240120
4468102355988
652370238123
10031500800
100523501234
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
12003004468652310031005
75224010235702315002350
352120598881238001234Autofirma 1
Autofirma 2
Autofirma 3
Zulieferer1
Zulieferer2
Zulieferer3
Zulieferer4
Zulieferer5
Zulieferer6
Die Matrix wird durch “Kippen” zu folgender Matrix:
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Zulieferer 1
Zulieferer 2
Zulieferer 3
Zulieferer 4
Zulieferer 5
Zulieferer 6
Autofirma1
Autofirma2
Autofirma3
1200752352
300240120
4468102355988
652370238123
10031500800
100523501234
“Aus Zeilen werden Spalten, aus Spalten werden Zeilen.”
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen
Definition Definition Die Matrix, die entsteht, wenn wir in einer gegebenen Matrix A die Zeilen als Spalten (bzw. die Spalten als Zeilen) schreiben, heißt die transponierte Matrix AT.
Die transponierte Matrix
Beispiel Beispiel Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus?
87
65
43
21
A
8642
7531A T
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen Die transponierte Matrix
87
65
43
21
A
8642
7531A
T
Frage: Was erhält man, wenn man AT transponiert?
(A ) T T
87
65
43
21
AFeststellung Feststellung Für alle Matrizen A gilt:(AT)T = A
(Zweifaches Transponieren liefert die Ausgangsmatrix)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Besondere Matrizen Die transponierte Matrix
Frage: Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus?
873
720
301
A
873
720
301
TA
Man sieht: Es gilt A = AT
Definition Definition Ist eine Matrix A gleich ihrer transponierten Matrix AT , so heißt A eine symmetrische Matrix
Feststellung Feststellung Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Erste Zusammenfassung
Um Zusammenhänge zwischen Komponenten übersichtlich aufzuschreiben, eignen sich Tabellen besonders gut.Beispiele dafür sind:- Laufzeiten von Produkten auf Maschinen- Lieferkosten von Anbietern zu Abnehmern- Entfernungen zwischen Produktionsstätten- Zusammensetzung von Produkten aus Rohstoffen- Kosten für verschiedene Posten in Abteilungen- usw.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Erste Zusammenfassung
Produkte setzen sich auf Rohstoffen zusammen:Eine Firma stellt 3 Produkte her: Gummibärchen, Schokolade und Hustenbonbons. In der folgenden Tabelle ist angegeben, wie sich die Produkte prozentual aus den Rohstoffen Zucker, Fett, Gelatine und Zusatzstoffen zusammensetzen:
Zucker Fett Gelatine ZusätzeGummibären 40% 5% 50% 5%Schokolade 40% 50% 0% 10%Hustenbonbons 90% 0% 5% 5%
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Erste Zusammenfassung
•Die mathematische “Modellierung” einer Tabelle ist die Matrix (Plural: Matrizen)•Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, die Zahlen in der Matrix heißen Einträge•Matrizen werden beschrieben durch: - Anzahl Zeilen - Anzahl Spalten - Art der Einträge (reelle Zahlen, ganze Zahlen, positive Zahlen, etc.)
•Matrizen mit nur einer Zeile bzw. Spalte heißen auch Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Erste Zusammenfassung
•Die Einträge werden durch ihre Zeilen- und Spaltennummer identifiziert (auch Zeilen- und Spaltenindex genannt)•Die Einträge mit gleichen Zeilen- und Spaltenindex bilden die Hauptdiagonale einer Matrix•Spezielle Matrizenformen sind: - Quadratische Matrizen - Diagonalmatrizen - Einheitsmatrix - Nullmatrizen
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen
3 Betriebe beliefern 4 Abnehmer mit jeweils dem gleichen Produkt. Die Lieferungen im ersten Halbjahr (in t) seien in der folgenden Matrix L1 gegeben:
100100700800
900650650500
4002001000
1L
Die Lieferungen im zweiten Halbjahr seien in der Matrix L2 gegeben:
200200700800
300250250400
300300200100
2L
Addieren und Subtrahieren
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr?
Addieren und Subtrahieren
100100700800
900650650500
4002001000
L1
200200700800
300250250400
300003200100
L 2
Lieferungen im 1. Halbjahr Lieferungen im 2. Halbjahr
+
L
? ? 500 ?
? ? ? ?
? ? ? ?G
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr?
Addieren und Subtrahieren
100100700800
900650650500
4002001000
L1
200200700800
300250250400
300300200100
L2
Lieferungen im 1. Halbjahr Lieferungen im 2. Halbjahr
30030014001600
1200900900900
700500300100
LG
Lieferungen im ganzen Jahr!
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr?
Addieren und Subtrahieren
30030014001600
1200900900900
700500300100
LG
Lieferungen im ganzen Jahr!
Die Matrix LG, die die Lieferungen für das ganze Jahr beschreibt, ist genauso groß, wie die Matrizen L1 und L2, die die Halbjahres-lieferungen beschreiben (alles 3 x 4 Matrizen).Die Einträge von LG ergeben sich als Summen der entsprechenden Einträge in L1 und L2.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren
2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben:
180025002000
100015001000MA
Der Lagerbestand am Ende des Monats sei durch ME gegeben:
500110200
1500120ME
Frage: Wieviel wurde im Laufe des Monats von den Lagerstätten ausgeliefert?
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren
180025002000
100015001000MA
500110200
1500120M
E
???
850??ML
Bestand am Monatsanfang Bestand am Monatsende
Im Monat ausgelieferter Bestand?
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren
180025002000
100015001000MA
500110200
1500120M
E
Bestand am MonatsanfangBestand am Monatsende
130023901800
8501500880ML
Die Matrix ML ist genauso groß, wie die Matrizen MA und ME (alles 2 x 3 Matrizen). Die Einträge von ML ergeben sich als Differenzen der entsprechenden Einträge in MA und ME.
Man schreibt: ML = MA - ME
Im Monat ausge-lieferter Bestand
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren
2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben:
180025002000
100015001000MA
Der Lagerbestand für die Produkte 1 und 2 am Ende des Monats sei durch ME gegeben:
110200
0120ME
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren
Frage: Können wir berechnen, wieviel von den Lagerstätten im Laufe des Monats ausgeliefert wurde?
Genauer: Können wir berechnen, wieviel Lagerstätte 1 von Produkt 3 ausgeliefert hat?
==> Nein!Frage: Warum nicht?
Antwort: In Matrix ME fehlen die Angaben für das Produkt 3 !
Allgemeiner: Die Matrizen MA und ME sind nicht gleich groß!
MA ist eine 2 x 3 Matrix, ME ist eine 2 x 2 Matrix!
Feststellung Feststellung Matrizen unterschiedlicher Größe können nicht addiert oder subtrahiert werden!
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren
Definition 1Definition 1 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten:
nm,m,2m,1
n2,2,22,1
n1,1,21,1
aaa
aaa
aaa
A
nm,m,2m,1
n2,2,22,1
n1,1,21,1
bab
bbb
bbb
B
nm,nm,m,2m,2m,1m,1
n2,n2,2,22,22,12,1
n1,n1,1,21,21,11,1
bababa
bababa
bababa
:BA
Dann definiert sich die Summe A+B von A und B als
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Addieren und Subtrahieren
Definition 2Definition 2 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten:
nm,m,2m,1
n2,2,22,1
n1,1,21,1
aaa
aaa
aaa
A
nm,m,2m,1
n2,2,22,1
n1,1,21,1
bab
bbb
bbb
B
Dann definiert sich die Differenz A-B von A und B als
nm,nm,m,2m,2m,1m,1
n2,n2,2,22,22,12,1
n1,n1,1,21,21,11,1
bababa
bababa
bababa
:BA
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Zusammenfassung Rechnen mit Matrizen
• Matrizen gleicher Größe (mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl) können addiert werden.• Man addiert Matrizen, indem man die Einträge komponentenweise addiert.• Für die Matrizenaddition gilt das Kommutativgesetz: A + B = B + A (Summanden dürfen vertauscht werden)• Für die Matrizenaddition gilt das Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C) (Klammerung darf vertauscht werden)•Addition der Nullmatrix N verändert eine Matrix nicht: A + N = N + A = A (Die Nullmatrix ist „neutral“.)• Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Multipliaktion einer Matrix mit einer Zahl
Die folgende Matrix M gebe die monatlichen Budgets zweier Tochter-firmen für die Posten Personal, Sachmittel und Verbrauch (in TDM) an:
0,250,842,58
0,10,520,12M
Aufgabe: Wie hoch sind die Budgets pro Quartal?
Lösung: Das Quartal hat 3 Monate, also sind die Quartalsbudgets dreimal so hoch, wie die monatlichen Budgets. (Klar!)
0,2530,8342,583
0,130,5320,123MQuart
0,752,4127,74
0,31,560,36
= 3 ·M = 3 M
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Sei A eine beliebige mxn Matrix und sei x eine beliebige Zahl.
n]A[m,A[m,2]A[m,1]
n]A[2,A[2,2]A[2,1]
n]A[1,A[1,2]A[1,1]
A
Werden alle Einträge von A mit x multipliziert, so sprechen wir von der Multiplikation der Matrix A mit dem Skalar x.Wir schreiben dafür xA:
n]A[m,xA[m,2]xA[m,1]x
n]A[2,xA[2,2]xA[2,1]x
n]A[1,xA[1,2]xA[1,1]x
Ax
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Rechnen mit Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Feststellung 1Feststellung 1Jede Matrix kann - unabhängig von ihrer Größe - mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert werden.
Feststellung 2Feststellung 2Bei der Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl) ist es egal, ob von links oder von rechts multipliziert wird. Für eine Matrix A und eine Zahl x gilt stets:
x A = A x (Kommutativgesetz)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Zusammenfassung Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalar)
• Eine Matrix A beliebiger Größe kann stets mit einer Zahl x (einem Skalar) multipliziert werden. Man schreibt x A• Man multipliziert Matrizen mit einem Skalar, indem man die Einträge komponentenweise mit dem Skalar multipliziert.• Es gilt das Kommutativgesetz: x A = A x (Matrix und Skalar dürfen vertauscht werden)• Es gilt das Assoziativgesetz: (x y) A = x (y A) (Klammerung darf vertauscht werden)• Es gilt das Distributivgesetz: x (A+B) = xA+ xB (Man darf ausmultiplizieren/ ausklammern)• Multiplikation mit 0 ergibt die Nullmatrix• Multiplikation mit 1 ergibt die Ausgangsmatrix: 1 A = A• Multiplikation mit -1 negiert die Einträge: (-1 A) = -A (Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Multiplikation von Matrizen
Regalsystem
001
633
210
111
A
Modell
Korpus
Türen
Einlegeböden
Schubladensätze
2A 4A 6A
Modellmatrix
Ein Auftrag zur Lieferung der verschiedenen Schrankmodelle ist zu bearbeiten
Modell 2A 20 Stück
Modell 4A 40 Stück
Modell 6A 70 StückAufgabe: Berechnen Sie, wie viele Schrankelemente jeweils hergestellt werden müssen
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Multiplikation von Matrizen
RegalsystemModell 2A 20 Stück
Modell 4A 40 Stück
Modell 6A 70 StückKorpus 1*20+1*40+1*70 = 130Türen 0*20+1*40+2*70 = 180Einlegeböden 3*20+3*40+6*70 = 600Schubladensätze 1*20+0*40+0*60 = 20
20
600
180
130
70
40
20
001
633
210
111
bA
Beachte: Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Koordinaten von übereinstimmt
b
b
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Multiplikation von Matrizen
Regalsystem
001
633
210
111
A
Unter Verwendung der Modellmatrix A sollen folgende Kundenaufträge bearbeitet werden.
Kunde X Kunde Y
Modell 2A 10 40
Modell 4A 40 20
Modell 6A 50 10
Modellmatrix
1050
2040
4010
B
Auftragsmatrix
10*020*040*150*040*010*1
10*620*340*350*640*310*3
10*220*140*020*240*110*0
10*120*140*150*140*110*1
C
4010
240450
4080
70100
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Multiplikation von Matrizen
Definition: Ist A = (aij) eine l x m – Matrix und B = (bjk) eine m x n – Matrix, so ist das Produkt A B = C = (cik) eine l x n – Matrix.
Jedes Element cik der Produktmatrix C = (cik) berechnet man als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektor der Matrix B.
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
bbbb
bbbb
bbbb
lml3l2l1
2m232221
1m131211
aaaa
aaaa
aaaa
lnl3l2l1
2n232221
1n131211
cccc
cccc
cccc
B m x n-Matrix
A l x m -Matrix
c23 = a21b13+a22b23+..+a2mbm3
Die Produktmatrix C = A B Ist eine l x n Matrix
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Multiplikation von Matrizen
Achtung:
Man kann zu zwei Matrizen A und B nur das Produkt A B bilden, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors A mit der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors B übereinstimmt.
Zur Durchführung der Multiplikation lese man die Matrix A zeilenweise und die Matrix B spaltenweise. Die Elemente des Produkts erhält man als Skalarprodukt der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Matrizen in Mathematica
Matrizen werden in Mathematica als Listen dargestellt:
Matrix1={{1,3,4},{4,5,7},{3,4,5}}Matrix2={{4,2,3},{1,2,0},{1,9,4}}Dieses stellt jeweils eine 3x3 – Matrix dar.Um zwei Matrizen zu addieren, gibt man folgenden Befehl ein:Matrix1+Matrix2Man erhält als Darstellung wieder die Listendarstellung.Möchte man das Ergebnis in der gewohnten Matrixschreibweise erhalten, so genügt folgender Zusatz:Matrix1+Matrix2//MatrixForm
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Matrizen in Mathematica
Um zwei Matrizen zu multiziplizieren, gibt man folgenden Befehl ein:Matrix1.Matrix2 (Dieses ist der einfache Punkt)Man erhält als Darstellung wieder die Listendarstellung.Möchte man das Ergebnis in der gewohnten Matrixschreibweise erhalten, so genügt folgender Zusatz:Matrix1.Matrix2//MatrixForm
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Matrizen in Mathematica
Um die inverse Matriz zu bestimmen, gibt es den Befehl:
Inverse[Matrix1]//MatrixForm
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Die Basis eines Vektorraumes
Wir betrachten den zweidimensionalen Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen.
Jeder Vektor kann als Linearkombination zweier sog. Basisvektoren dargestellt werden.Die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein. Die Anzahl der Basisvektoren hängt von der Dimension ab. Im zweidimensionalen Vektorraum benötigt man 2 Vektoren, im dreidimensionalen sind es dagegen 3.
Die Menge der Basisvektoren nennt man Basis
Besonders einfache Basisvektoren sind im R2 die folgenden:
,1
0,
0
1bb 21
Diese Basis nennt man auch die kanonische Basis.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Die Basis eines Vektorraumes
Wie sieht nun die Basisdarstellung eines bestimmten Vektors bzgl. der kanonischen Basis aus?
Folgender Vektor liegt vor:
Die Linearkombination bzgl. der kanonischen Basis sieht dann wie folgt aus:
5
7x
1
05
0
17x
y
xx
1
0y
0
1xx
Wie man jetzt leicht nachvollziehen kann, sieht die Darstellung eines beliebigen Vektors bzgl. der kanonischen Basis wie folgt aus
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Definition: f sei eine Abbildung von Vektoren, dann
heißt diese Abbildung linear, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1.
2.
)yf()xf()yxf(
)xf(λ)xf(λ
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Spiegelung an der x-Achse
P(4/3) P‘(4/-3)
oder allgemein
P(x/y) P‘(x/-y)
10
01Mx
Die Matrix dazu lautet:
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Spiegelung an der x-Achse
P(4/3) P‘(4/-3)
oder allgemein
P(x/y) P‘(x/-y)
10
01Mx
Die Matrix dazu lautet:
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Spiegelung an der y-Achse
P(4/3) P‘(-4/3)
oder allgemein
P(x/y) P‘(-x/y)
Die Matrix dazu lautet:
10
01-My
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Spiegelung an der y-Achse
P(4/3) P‘(-4/3)
oder allgemein
P(x/y) P‘(-x/y)
Die Matrix dazu lautet:
10
01-My
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden
P(4/2) P‘(2/4)
oder allgemein
P(x/y) P‘(y/x)
Die Matrix dazu lautet:
01
10M1.Wh
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Drehung um 90o
P(3/2) P‘(-2/3)
oder allgemein
P(x/y) P‘(-y/x)
Die Matrix dazu lautet:
01
1-0M90
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Drehung um 180o
P(3/2) P‘(-3/-2)
oder allgemein
P(x/y) P‘(-x/-y)
Die Matrix dazu lautet:
1-0
01-M180
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Drehung um einen beliebigen Winkel
P(x/y) P‘(x‘/y‘)
Um die Rechnung zu vereinfachen, bezeichnet man den Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor zum Punkt P mit , sei der Winkel zwischen dem Vektor p und p‘. Weiterhin bezeichnen wir die Abstände der Punkte P und P‘ vom Ursprung mit r.
Man erhält dann für die Koor-dinaten x und y des Punktes P:
x = r cos und y = r sin
Für die Koordinaten x‘ und y‘ des Punktes P‘:x‘ = r cos ( + ) undy‘ = r sin ( + )
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
x = r cos und y = r sin x‘ = r cos ( + ) undy‘ = r sin ( + )
Mit Hilfe der Additionstheoreme für sin und cos kann man die Beziehungen für x‘ und y‘ vereinfachen. Dieses sind:
1.cos (+) = cos cos - sin sin
2.sin (+) = cos sin + sin cos
x‘ = r cos( + ) = r cos cos - r sin sin = x cos - y sin
y‘ = r sin( + ) = r cos sin + r sin cos = x sin + y cos
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Drehung um einen beliebigen Winkel alpha
P(x/y) P‘(x‘/y‘)
Damit ergibt sich die folgende Rotationsmatrix (Drehung um den Ursprung mit einem beliebigen Winkel)
CosSin
Sin- CosM
x‘ = r cos( + ) = r cos cos - r sin sin = x cos - y sin
y‘ = r sin( + ) = r cos sin + r sin cos = x sin + y cos
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Drehung um einen beliebigen Winkel alpha
P(x/y) P‘(x‘/y‘)
CosSin
Sin- CosM
Wie man jetzt leicht nachvollziehen kann, sieht die Darstellung eines beliebigen Vektors bzgl. der kanonischen Basis wie folgt aus
y
xx
1
0y
0
1xx
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Drehung um einen beliebigen Winkel alpha
P(x/y) P‘(x‘/y‘)
Die Matrix dazu lautet:
CosSin
Sin- CosM
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung
Unter einer Scherung versteht man eine Abbildung, bei der der Flächeninhalt erhalten bleibt. Bei einer Scherung bleibt eine Gerade der Ebene fix (unverändert), das heißt, jeder Punkt dieser Geraden wird auf sich abgebildet. Alle anderen Punkte der Ebene werden parallel zur Achse verschoben
Bei einer Scherung bleibt also der Abstand jedes Punktes zur Achse unverändert. Damit werden Rechtecke und Dreiecke, bei denen eine Seite parallel zur Achse ist, auf Parallelogramme bzw. Dreiecke abgebildet, die (auf diese Seite) eine gleich lange Höhe haben
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung
Bei einer Scherung muss berücksichtigt werden, dass die Scherachse festgelegt werden muss. In der rechten Abbildung ist es die x-Achse. Man sieht, dass die Achse des Dreiecks, die mit der x-Achse zusammenfällt, nicht verändert wird.
Matrix zur Scherung an der x-Achse
10
0,61Scherung Achse-x
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der x-Achse
Eine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Bei der Scherung bleibt diese Seite parallel zur ursprün-glichen Dreiecksseite, ist aber nach rechts verscho-ben.
Matrix zur Scherung an der x-Achse
10
0,61Scherung Achse-x
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
1
6,1
1
1
10
0,61
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der x-Achse
Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Man sieht, dass der Punkt auf der Scherachse bei der Abbildung erhalten bleibt. Die anderen Punkte haben weiterhin denselben Abstand von der Scherachse.
Matrix zur Scherung an der x-Achse
10
0,61Scherung Achse-x
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der x-Achse
Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse.
Matrix zur Scherung an der x-Achse
10
0,61Scherung Achse-x
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
0
6
0
6
10
0,61
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der x-Achse
Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse.
Matrix zur Scherung an der x-Achse
10
0,61Scherung Achse-x
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
2
2,2
2
1
10
0,61
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der y-Achse
Eine Dreiecksseite liegt auf der y-Achse. Ergebnisse entsprechend zur Scherung an der x-Achse
Matrix zur Scherung an der y-Achse
10,6
01Scherung Achse-y
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
8,5
3
4
3
10,6
01
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der y-Achse
Matrix zur Scherung an der y-Achse
10,6
01Scherung Achse-y
Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur y-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse. Die Eckpunkt haben denselben Abstand zur y-Achse.
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
8,2
3
1
3
10,6
01
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der x- u. y-Achse
Das Dreieck hat die Eckpunkte: A(1/5), B(3/1) und C(5/3)
Die beiden Scherungen sind:
10,9
01Scherung Achse-y
10
0,61Scherung Achse-x
Es ist ein Unterschied, ob erst die y-Scherung und dann die x-Scherung oder erst die x-Scherung und dann die y-Scherung durchgeführt wird.
Die Matrizenmultiplikation ist i. Allg. nicht kommutativ.
10,9
0,61,54
10
0,61
10,9
01
1,540,9
0,61
10,9
01
10
0,61
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Scherung an der x- u. y-Achse
Das Dreieck hat die Eckpunkte: A(1/5), B(3/1) und C(5/3)
Lila: Ausgangsdreieck
Rot: Erst die x- dann die y-Scherung
Grün. Erst die y- dann die x-Scherung
10,9
0,61,54
10
0,61
10,9
01
1,540,9
0,61
10,9
01
10
0,61
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Skalierung
Sy0
0SxSkalierung
Bei der Skalierung werden die Abmessungen des Objekts (geo-metrische Transformation) bzw. die Skaleneinteilung der Koordina-tenachsen (Koordinatentransformation) vergrößert (Skalierungsfak-toren größer als 1) bzw. verkleinert. Die Skalierung bezieht sich immer auf einen zu definierenden Punkt, der dann selbst seine Lage nicht, während alle anderen Punkte ihren Abstand vom Bezugspunkt vergrößern oder verkleinern. Bei der geometrischen Skalierung bezüglich des Nullpunktes mit den Skalierungsfaktoren Sx und Sy (jeweils in Richtung der Koordinatenachsen) berechnet sich die Lage des neuen Punktes mit Hilfe der Matrix
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Skalierung in x-Richtung
10
02.5xSkalierung
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
2
5,12
2
5
10
02.5
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Skalierung in y-Richtung
20
01ySkalierung
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
4
5
2
5
20
01
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Skalierung in x- und y-Richtung
20
02.5Skalierung
Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes
4
5,12
2
5
20
02.5
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen
Verschiebung in x- und y-Richtung
Berechnung der neuen Koor-dinaten des Bildpunktes A
9
4
4
3
5
1
Das Dreieck hat die Eckpunkte: A(1/5), B(3/1) und C(5/3)
Das Dreieck soll in x-Rich-tung um 3 Einheiten und in y-Richtung um 4 Einheiten verschoben werden
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Spiegelung an der xz-Ebene
Die Matrix dazu lautet:
100
010
001
M Ebenexz
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Spiegelung an der yz-Ebene
Die Matrix dazu lautet:
100
010
001-
M Ebeneyz
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Spiegelung an der xy-Ebene
Die Matrix dazu lautet:
1-00
010
001
M Ebenexy
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Spiegelungen an den Koordinaten-Ebenen
1-00
010
001
M Ebenexy
100
010
001-
M Ebeneyz
100
010
001
M Ebenexz
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Drehung um die x-Achse
Cos Sin0
Sin- Cos0
001
M Achsex
Die Matrix dazu lautet:
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Drehung um die y-Achse
Cos0 Sin-
010
Sin0 Cos
M Achsey
Die Matrix dazu lautet:
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Drehung um die z-Achse
100
0 Cos Sin
0Sin- Cos
M Achsez
Die Matrix dazu lautet:
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Drehungen um die Koordinaten-Achsen
100
0 Cos Sin
0Sin- Cos
M Achsez
Cos Sin0
Sin- Cos0
001
M Achsex
Cos0 Sin-
010
Sin0 Cos
M Achsey
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Skalierung
Die Matrix dazu lautet:
1.500
020
002.5
MSkalierung
In x-Richtung: Faktor 2.5In y-Richtung: Faktor 2In z-Richtung: Faktor 1.5
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Scherung in x-Richtung
Die Matrix dazu lautet:
100
010.5
001
MScherungxR
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Lineare Abbildungen im R3
Scherung in y-Richtung
Die Matrix dazu lautet:
100
010
00.51
MScherungyR
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Transformationen
Problem: Keine einheitliche Beschreibung der Transformationen
Wie sieht die Hintereinanderausführung der Transformationen aus?
Alle Operationen lassen sich durch 4x4-Matrizen (bzw. 3x3-Matrizen) darstellen.
Erweiterung des Vektorraumes. 3D 4D (bzw. 2D 3D)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Übersicht über die Transformationen
Verschiebung
Skalierung
Spiegelung
Rotation
Scherung
Vektoraddition
Skalare Multipliaktion
Matrixoperation
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Verschiebung
Alle Transformationen bis auf die Verschiebung können mit Hilfe einer 2x2-Matrix durchgeführt werden. Bei der Verschiebung erfüllt die Abbildung eine 2x1-Matrix (bzw. ein Spaltenvektor) und diese wird noch addiert.
Beispiel: Der Punkt P(2/3)soll um 3-Einheiten in x-Richtung verschoben werden. Dies erfüllt folgende Rechnung:
3
5
3
2
0
3 Der neue Punkt hat also die Koordinaten: P‘(5/3)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Verschiebung
Um alle Transformationen mit derselben Rechenoperation durchführen zu können, müsste die Methode, mit der man die Translation einbindet, geändert werden. Die Translation müsste also durch eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten wie die anderen Transformationsmatrizen dargestellt werden.
Ein Ausweg bzw. Lösung sind die sog. homogenen Koordinaten. In der Tat lassen sich nun die Translationen gleichwertig mit allen anderen affinen Abb. als Produkte "Matrix mal Vektor„ berechnen.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Einbettung des 2D in homogene Koordinaten
y
x
1
y
x
100
10
01
Vy
Vx
V
Mit Hilfe dieser Matrix kann ein Punkt sowohl in x-Richtung (Vx) als auch in y-Richtung(Vy) verschoben werden
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Einbettung des 2D in homogene Koordinaten
100
10
01
Vy
Vx
VBeispiel: Der Punkt P(2/3) soll um 3 Einheiten in x- und 4 Ein-heiten in y-Richtung verschoben werden. Die Verschiebungsmatrix ergibt sich zu:
100
410
301
V
Die Rechnung sieht dann wie folgt aus:
1
7
5
1
3
2
100
410
301
Der Punkt ist demnach: P‘(5/7)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Einbettung des 2D in homogene Koordinaten
100
10
01
Vy
Vx
V
Verschiebungsmatrix
100
00
00
y
x
S
S
S
Skalierungsmatrix
100
0cossin
0sincos
R
Rotationsmatrix
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Homogene Koordinaten
Einbettung des 3D in homogene Koordinaten
z
y
x
1
z
y
x
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Verschiebung
Verschiebung in x- und y-Richtung
1000
0100
1.5010
2001
M ngVerschiebu
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Verschiebungsmatrix
Ein Punkt kann durch Matrixmultiplikation verschoben werden
1000
zR100
yR010
xR001
M ngVerschiebu
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Verknüpfung von linearen Abbildungen
Verschiebung dann Rotation
Rot -> Blau -> Grün
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Verknüpfung von linearen Abbildungen
Rotation dann Verschiebung
Rot -> Blau -> Grün
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Verknüpfung von linearen Abbildungen
Da die Matrixmulti-plikation nicht kommutativ ist, ist die Reihenfolge der Transformationen wichtig
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Zusammenfassung – affine Transformationen
Geradlinigkeit,Parallelität,Teileverhältnis bleiben erhalten
Orientierung bleibt erhalten
Längentreu Winkeltreu
Translation Ja Ja Ja ja
Rotation Ja Ja Ja ja
Spiegelung Ja Nein Ja ja
Skalierung Ja Ja Nein ja
Scherung Ja Ja Nein nein
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Aufgabe
Dreieck mit A(1/1), B(3/2), C(2/4)
1.Drehung um 90o
2.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung
1.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung2.Drehung um 90o
Führen Sie die beiden Aufgaben in zwei verschiedenen Koordinaten-kreuzen hintereinander aus
Wie lautet jeweils die Transformationsmatrix für beide Abbildungen?
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Aufgabe
Dreieck mit A(1/1/-1), B(3/2/1), C(2/4/-2)
1.Drehung um 90o um die z-Achse2.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung und 3 EH in z-Richtung
1.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung und 3 EH in z-Richtung2.Drehung um 90o um die z-Achse
Führen Sie die beiden Aufgaben in zwei verschiedenen Koordinaten-kreuzen hintereinander aus
Wie lautet jeweils die Transformationsmatrix für beide Abbildungen?
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Aufgabe
Dreieck mit A(1/1/0), B(3/2/0), C(2/4/0)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an der Geraden y= a x
1. Betrachte die Gerade y = a x als x‘-Achse eines neuen rechtwinkligen Koordinatensystems (x‘,y‘), das gegenüber (x,y) um den Winkel gedreht ist.2. Spiegelung an der x‘-Achse des neuen Koordinatensystems.3. Darstellung des gespiegelten Punktes im alten Koordinatensystem (x,y).
Wir benötigen also drei Matrizen zur Darstellung der einzelnen linearen Abbildungen.
1.Drehung um T
2. Spiegelung Ts
3. Drehung zurück um - T -
Insgesamt also: T = T Ts T -
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an der Geraden y= a x
T =
=
αCosαSin
αSinαCosTα
αCosαSin-
αSinαCosT α-
1-0
01Ts
αCosαSin
αSinαCos
1-0
01
αCosαSin-
αSinαCos
α) Sin-α(Cos-α CosαSin2
α CosαSin2αSin-αCos22
22
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Hausaufgabe 1
Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = 1/2 x
0.6-0.8
0.80.6M
Mit Hilfe dieser Matrix ergeben sich folgende Bildpunkte
A(3;1) A‘(2.6 ; 1.8)
B(5/2) B‘(4.6 ; 2.8)
C(4/3) B‘(4.8 ; 1.4)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Hausaufgabe 1
Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = 1/2 x
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Hausaufgabe 2
Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = -2 x
5
3
5
45
4
5
3
M
Mit Hilfe dieser Matrix ergeben sich folgende Bildpunkte
A(3;1) A‘(-13/5 ; -9/5)
B(5/2) B‘(-23/5 ; -14/5)
C(4/3) B‘(-24/5 ; -7/5)
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Hausaufgabe 2
Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = -2 x
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an der Geraden y= m x
T =
=
αCosαSin
αSinαCosTα
αCosαSin-
αSinαCosT α-
1-0
01Ts
αCosαSin
αSinαCos
1-0
01
αCosαSin-
αSinαCos
α) Sin-α(Cos-α CosαSin2
α CosαSin2αSin-αCos22
22
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an der Geraden y= m x
Bezug zur Steigung m der Geraden y = m x (es gilt: tan = m )
22
222
22
22
1
2cossin2
1
1sincos
1tan1
tansin
1
1
tan1
1cos
m
mund
m
m
m
m
undm
Damit ergibt sich für die Matrix:
)1(2
21
1
12
2
2 mm
mm
mT
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an einer Geradendurch den Ursprung mit der Gleichung
v
ux
Die Matrix lautet:
22
22
22 2
21
uvvu
vuvu
vuS
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an einer Geradendurch den Ursprung mit der Gleichung
w
v
u
x
Die Matrix lautet:
222
222
222
222
22
22
221
wvuwvwu
wvwvuvu
wuvuwvu
wvuS
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an einer Geradendurch den Ursprung mit der Gleichung
3
2
1
m
m
m
x
Die Matrix lautet:
23
22
213231
3223
22
2121
312123
22
21
23
22
21 22
22
221
mmmmmmm
mmmmmmm
mmmmmmm
mmmS
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Spiegelung an einer Ebene durch den Ursprung mit der Gleichung
00
zcybxa
c
b
a
z
y
x
Die Matrix lautet:
222
222
222
222
22
22
221
cbacbca
cbcbaba
cabacba
cbaT
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Die Zentralprojektion
Der Effekt bei der Zentralprojektion ist dem des menschlichen Auges sehr ähnlich. Abgebildete Objekte werden proportional zu ihrer Entfernung von der Bildebene verkleinert, d.h. entfernt liegende Körper erscheinen kleiner als näherliegende.
EigenschaftenParallele Geraden werden, falls sie nicht parallel zur Bildebene verlaufen, nicht auf parallele Geraden abgebildet, sondern laufen in einem Fluchtpunkt zusammen.Winkel zwischen zwei Geraden werden nur dann beibehalten, wenn die durch die Geraden definierte Ebene parallel zur Bildebene liegt.Entfernungen zwischen verschiedenen Punkten werden in der Abbildung unterschiedlich verzerrt.
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Die Zentralprojektion
Beispiel:Zentralprojektion eines achsenparallelen Würfels der Kantenlänge 2, zentriert um die z-Achse im Abstand 4 vom Ursprung auf eine Bildebene im Abstand d = 2.
A(-1/-1/-4)B(1/-1/-4)C(1/1/-4)D(-1/1/-4)
E(-1/-1/-6)F(1/-1/-6)G(1/1/-6)H(-1/1/-6)
000
0100
0010
0001
M
2
1-
ZentralPro
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Die Zentralprojektion
Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Die Zentralprojektion
Tabellen – Trigonometrische Funktionen
0o 30o 45o 60o 90o
Sin 0 1
Cos 1 0
Tan 0 1
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
33
Tabellen – Trigonometrische Funktionen
90o 120o 135o 150o 180o
Sin 1 0
Cos 0 -1
Tan -1 0
2
1
2
22
3
2
1
2
2
2
3
3
33
Tabellen – Trigonometrische Funktionen
180o 210o 225o 240o 270o
Sin 0 -1
Cos -1 0
Tan 0 1
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
3 3
Tabellen – Trigonometrische Funktionen
270o 300o 315o 330o 360o
Sin -1 0
Cos 0 1
Tan -1
2
1
2
22
3
2
1
2
2
2
3
3
33
AufgabenMatrizenmultiplikation
M
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m
1,1 1,2 1,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3,1 3,2 3,3 3,4
4,1 4,2 4,3 4,4
N
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
1,1 1,2 1,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3,1 3,2 3,3 3,4
4,1 4,2 4,3 4,4
Wir fragen uns, wieviel Arbeit das Multiplizieren von Matrizen macht. Betrachten Sie die beiden 4x4 Matrizen M und N.
a)Wieviel Multiplikationen und wieviel Additionen von Zahlen muss man durchführen, um einen Zeilenvektor von M mit einem Spaltenvektor von N zu multiplizieren?b)Wieviel Produkte aus Zeilen- und Spaltenvektor muss man durchführen, um das Matrixprodukt aus M und N zu berechnen?c)Schließen Sie aus (a) und (b), wieviel elementare Rechenoperationen (also Additionen und Multiplikationen von Zahlen) man benötigt, um das Matrixprodukt aus M und N zu berechnen!d)Überlegen Sie sich in der gleichen Weise, wieviel Rechenoperationen man benötigt, um das Produkt von zwei 5x5 Matrizen und zwei 100x100 Matrizen zu berechnen. e)Überschlagen Sie, wieviel Rechenoperationen man benötigt, um das Produkt von zwei nxn Matrizen zu berechnen.Jemand kündigt an, zwei 100x100 Matrizen von Hand miteinander multiplizieren zu wollen. Als flinker Kopfrechner benötigt er 2 Sekunden pro Rechenoperation. Wie lange braucht er in etwa für diese Aufgabe, wenn man annimmt, daß er täglich 10 Stunden arbeiten kann?
AufgabenMatrizenmultiplikation - Lösung
M
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m
1,1 1,2 1,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3,1 3,2 3,3 3,4
4,1 4,2 4,3 4,4
N
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
1,1 1,2 1,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3,1 3,2 3,3 3,4
4,1 4,2 4,3 4,4
a) Es sind jeweils 4 Additonen und 4 Multiplikationenb)c)16*4 = 64 Additionen und 16*4=64 Multiplikationend) 5x5-Matrix: 25*5=125 Additionen und 25*5=125 Multiplikationen100x100-Matrix: 100*100*100 = 1 000 000 Additionen und 1 000 000 Multipliaktionene) Es sind n3 Additionen bzw. Multiplikationen Die Zeit beträgt: 2*1 000 000 000/2 = 1 000 000 s 277 h.Die Person benötigt ungefähr 277 h, das ergibt ca. 28 Tage.
AufgabenMatrizenmultiplikation
Seien A und E die 4x4 Einheitsmatrix gegeben.a)Berechnen Sie die Matrixprodukte AE und EAb)Sei E24 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die zweite und vierte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE24 und E24A.c)Sei E23 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die zweite und dritte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE23 und E23A.d)Sei E14 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die erste und vierte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE14 und E14A.e)Fassen Sie Ihre Berechnungen aus (a)-(e) in einer Vermutung zusammen.
A
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
AufgabenMatrizenmultiplikation
A
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
b)1 4 3 25 8 7 69 12 11 1013 16 15 14
1 2 3 413 14 15 169 10 11 125 6 7 8
c)1 3 2 45 7 6 89 11 10 1213 15 14 16
1 2 3 49 10 11 125 6 7 813 14 15 16
d)4 2 3 18 6 7 512 10 11 916 14 15 13
13 14 15 165 6 7 89 10 11 121 2 3 4
AufgabenMatrizenmultiplikation
Ein Landwirt düngt seine 3 Felder viermal im Jahr mit 4 verschiedenen Düngemitteln. Im ersten Quartal gibt er von Düngemittel A 10dz auf Feld 1, 20dz auf Feld 2 und 5dz auf Feld 3. Im zweiten Quartal gibt er von Düngemittel B 8dz auf Feld 1, 12dz auf Feld 2 und 2dz auf Feld 3. Im dritten Quartal gibt er von Düngemittel C 2dz auf Feld 1, 4dz auf Feld 2 und 0dz auf Feld 3. Im vierten Quartal gibt er von Düngemittel D 6dz auf Feld 1, 0dz auf Feld 2 und 1dz auf Feld 3. (Bemerkung: dz = 1 Doppelzentner = 100kg)
Die Düngemittel des Landwirts bestehen aus den Wirkstoffen Phosphor (P), Kalium (K) und Stickstoff (N). Die Düngemittel seien dabei wie folgt zusammengesetzt: Mittel A besteht aus 30% P, 20% K und 50% N, Mittel B besteht aus 10% P, 20% K und 70% N, Mittel C besteht aus 40% P, 10% K und 50% N und Mittel D besteht aus 30% P, 30% K und 40% N.
AufgabenMatrizenmultiplikation
a)Schreiben Sie den obigen Sachverhalt mit Hilfe von Matrizen übersichtlich auf. Vergessen Sie dabei nicht, anzugeben, wofür Zeilen, Spalten und Einträge der Matrizen stehenb)Aus Umweltschutzgründen darf der Landwirt pro Jahr nur eine bestimmte Menge an Stickstoff auf seine Felder geben. c)Überlegen Sie sich, wie man berechnen kann, wieviel Stickstoff im ganzen Jahr jeweils auf die 3 Felder gegeben wurde. Berechnen Sie für jedes Feld, wieviel dz jedes Wirkstoffs im ganzen Jahr auf das Feld gegeben wurden. Benutzen Sie dabei Ihr Wissen über Produktionsmatrizen!
AufgabenMatrizenmultiplikation
A B C D
Feld 1 10 8 2 6
Feld 2 20 12 4 0
Feld 3 5 2 0 1
P K N
A 30% 20% 50%
B 10% 20% 70%
C 40% 10% 50%
D 30% 30% 40%
AufgabenMatrizenmultiplikation
b) Man berechnet:
35*50%+22*70%+6*50%+7*40% = 46 dz
c) Die Zeilen stehen für die unterschiedlichen Felder, die Spalten für P, K und N.
Also: Auf Feld 1 wurden 6,4 dz Phosphor aufgebracht
6.4 5.6 14.8.8 6.8 20.42. 1.7 4.3
AufgabenAbbildungen durch Matrizen
1.Aufgabe: ( Seite 204 A.6) Gegeben ist die Ebene E mit 1*x – 2*y + 0*z = 0.a) Bestimmen Sie die Schnittgerade g der Ebene E mit der xy-Ebene.b) Bestimmen Sie die zur Spiegelung an E gehörende Abbildungsmatrix.c) Bestimmen Sie die 3x3-Matrix, die die Spiegelung an g in der xy-Ebene beschreibt.d) Bestimmen Sie die 2x2-Matrix, die die Spiegelung an g in der xy-Ebene beschreibt. Vergleichen Sie mit den Matrizen aus den Teilaufgaben b) und c).
a) Die Schnittgerade lautet:
0
1
2
x
b)
35
45
0
45
35
0
0 0 1
35
45
0
45
35
0
0 0 1
c)
AufgabenAbbildungen durch Matrizen
5.Aufgabe: Gegeben ist die Abbildungsmatrix
a) Bestimmen Sie die Bildpunkte der Punkte A(3/3/0), B(3/-6/3), C(3/3/-3).
a) A‘(-3/-3/0) B‘(5/-2/5) C‘(-5/-1/1)
b) Geben Sie zur Spiegelung an der Geraden g: gehörende
Abbildungsmatrix T2 an, und bestimmen Sie die zur Verkettung (zunächst die zu T1 gehörenden Abbildung und anschließend die Spiegelung an der Geraden g) gehörende Abbildungsmatrix V.
b)
122
212
221
3
11T
0
0
1
x
13
23
23
23
13
23
23
23
13
Übungen zur 1.Klausur2.Aufgabe: ( Seite 205 A.13) Gegeben sind die Punkte A(0/0/0), B(-1/-1/4) und C(-1/-4/1)a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.b) Zeigen Sie, dass mit D(-4/-1/1) die Figur ABCD ein regelmäßiges Tetraeder ist, d.h. eine Figur, die von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird.d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix T derjenigen Abbildung, die B auf C, C auf D, D auf B abbildet. Bestimmen Sie die Fixpunkte dieser Abbildung.
Lösung: a)Mit Hilfe der Abstandsbeziehung
erhält man: d =
c)Die Abbildungsmatrix lautet:
212
212
212 )()()( zzyyxxd
32b)Zusätzlich müssen noch die anderen Dreiecke auf Gleichseitigkeit überprüft werden, nämlich: ABD BCD und CAD0 1 0
0 0 11 0 0
Übungen zur 1.Klausur
8.Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A(-2/-5/-5), B(1/-2/7), C(1/7/-2).a) Geben Sie eine Parameterdarstellung und eine Normalenform der durch A, B und C festgelegten Ebene E an.b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist, und bestimmen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC.c)Bestimmen Sie alle Punkte D so, dass A, B, C, D die Eckpunkt eines regelmäßigen Tetraeders bilden.d)Zeigen Sie, dass die durch die Matrix
vermittelte Abbildung jeden Punkt der Geraden g:
auf sich abbildet. Wie bildet die zu T gehörige Abbildung das Dreieck ABC ab?
474
841
148
9
1T
1
1
5
x
Übungen zur 1.Klausur
Lösung:Die Gleichseitigkeit wird mit Hilfe der Abstandformel
berechnet. Es ergibt sich:
d)
212
212
212 )()()( zzyyxxd 92
In[6]:=
89
49
19
19
49
89
49
79
49
.5,1,1MatrixForm
Out[6]//MatrixForm=511Man sieht, dass man wieder den Vektor (-5,1,1) erhält.
Übungen zur 1.Klausur
Lösung:d) Für die Bilder der Punkte A, B und C erhält man:A(-2/-5/-5) A‘(1/-2/7)B(1/-2/7) B‘(1/7/-2)C(1/7/-2) C‘(-2/-5/-5)