Upload
rolina
View
22
Download
6
Tags:
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Aljabar Linear
Citation preview
Textbooks
[1] Howard Anton,Elementary Linear Algebra 9th
Edition, Wiley, 2005.
[2] Gilbert Strang,Introduction to Linear Algebra 3rd
Edition, Wellesley Cambridge Press, 2003
Pokok Bahasan
Persamaan Linier (PL) & Sistem Linear (SL)
Aljabar Matrix untuk penyelesaian SL
Ruang Vektor (Euclid dan Umum)
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Transformasi Linier
Beberapa aplikasi
Apa aljabar linier?
Definisi Cabang matematika yang bermanfaat untuk
mendapatkan solusi simultan bagi Sistem Linear (SL) melalui aljabar matrik
Tujuan utama aljabar linier Untuk menemukan metode-metode sistematis
dalam penyelesaian SL
Persamaan Linier (PL)
Persamaan dan
adalah linier.
Ciri persamaan linier
(1) tidak mengandung perkalian antar variabel atau akar
suatu variabel.
(2) Semua variabel berpangkat satu dan tidak mengandung
argumen fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau
fungsi exponensial.
Persamaan
bersifat tidak linier.
13 7, 3 1
2x y y x z 732 4321 xxxx
3 5, 3 2 4 dan sinx y x y z xz y x
Solusi Persamaan Linier (PL)
Suatu solusi dari persamaan linier adalah n barisan
bilangan sedemikian hingga persamaan
tersebut memenuhi syarat atau benar secara matematis
Himpunan seluruh solusi yang mungkin bagi suatu
persamaan disebut himpunan penyelesaian atau solusi
umum dari persamaan tersebut.
nsss ,...,, 21
Menemukan sebuah himpunan solusi bagi persamaan linier (1/2)
Tentukan penyelesaian bagi
Solusi (a)
kita dapat memberi nilai berapa saja untuk x lalu menghitung nilai y, atau pilih sebarang nilai untuk y lalu menghitung nilai x
Sebarang bilangan disebut parameter
Contoh
x dan y disebut variabel
124 )a( yx
1 1 2 2
1 1 1 2 atau
2 2 4x t y t y t x t
1 2,t t
1 2
11Jika 3 3,
2t x y t
Temukan solusi bagi
Solusi (b)
Kita dapat memberi sebarang nilai bagi dua variabel dan menghitung nilai variabel yg ketiga
contoh
Dimana s, t sebarang nilai yg disebut parameter
1 2 3 (b) 4 7 5.x x x
2 3 1Jika dan maka 5 4 7x s x t x s t
1 2 3 , dan disebut variabelx x x
Menemukan sebuah himpunan solusi bagi persamaan linier (2/2)
Bentuk umum persamaan linier
Bentuk umum persamaan linier dua variabel:
Bentuk umum persamaan linier tiga variabel
Bentuk umum persamaan linier n variabel
dimana dan b adalah konstanta.
Variabel dalam suatu persamaan linier kadang-kadang disebut juga unknown.
byaxa 21
bxaxaxa nn ...2211
1 2, ,...,
na a a
1 1 2 2 3 3a x a x a x b
1.1 Sistem Linier (SL)
1. Apa yang dimaksud dengan Sistem Linier (SL)? 2. Bagaimana menyelesaikan Sistem Linier (SL)?
Sistim Linier
Banyak permasalahan kehidupan nyata yang solusinya mengarah kepada penyelesaian beberapa persamaan linier secara simultan.
Sistim persamaan linier atau sering disingkat
sistim linier (SL) : beberapa persamaan linier yang membentuk suatu sistem sehingga penyelesaianya harus dilakukan secara simultan
SL dari dua variabel (1/5) Ada 27 butir apel dan jeruk dalam suatu keranjang. Diketahui bahwa jeruk dua kali lebih banyak dibanding apel. Berapa banyaknya apel dan banyaknya jeruk dalam keranjang tersebut? Misalkan, x : bayaknya apel dan y : banyaknya jeruk
Secara matematik, kita punya
27 PL
2 PL
x y
y x
SL yg mengarah ke solusi simultan
Contoh 1
Sehingga permasalahan menjadi bagaimana menemukan nilai x dan nilai y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.
SL dari dua variabel (2/5)
Contoh 1
Solusi intuitif matematika: Subtitusi (2) ke (1) didapat dari persamaan (2) kita dapat Sehingga didapat 9 apel dan 18 jeruk.
27 ...... (1)
2 ....... (2)
x y
y x
2 27 3 27 9x x x x
2 2 9 18y x
Metode subtitusi
SL dari dua variabel (3/5)
Contoh 1
Persamaan (2) Jadi ada 9 apel da 18 jeruk.
2 - 2 0y x x y
Metode Eliminasi
27 ...... (1)
-2 0 ...... (2)
x y
x y
-
3 0 27
9
18
x
x
y
SL dari dua variabel (4/5)
Contoh 1
Jika kedua persamaan digambar pada bidang-XY
Y (jeruk)
Solusinya adalah koordinat titik potong antara garis 1 dan garis 2
X (apel) 27
9
18
27
Kemungkinan solusi lain (5/5)
Kemungkinan solusi untuk sistem linier:
(i) terdapat tepat satu solusi
(ii) terdapat solusi yang banyak tak berhingga
(iii) tidak memiliki solusi.
Bentuk umum SL dua variabel :
Kedua garis paralel tidak ada solusi
Kedua garis beririsan di satu titik satu solusi (unique)
Kedua garis berimpit solusi banyak tak berhingga
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
( , tidak nol keduanya)
( , tidak nol keduanya)
a x b y c a b
a x b y c a b
Tidak ada solusi
Tepat satu solusi
Solusi banyak tak berhingga
1 2dan l l
Contoh (2): Tak konsisten
Selesaikan sistem Grafik kedua garis tersebut sejajar Jadi sistem tidak konsisten (tidak ada solusi)
Contoh (3): Konsisten dependen
Selesaikan sistem
Perhatikan bahwa kedua persamaan pada dasarnya sama (gambar berimpit), jadi solusinya menggunakan parameter sbb:
36misalkan
9
ty t x
SL tiga variabel (1/2)
Pada sebuah restoran pizza tersedia: Paket I dengan 3 potong pizza, 4 stik, and 2 soft drinks harganya $13.35. Paket II dengan 5 potong pizza, 2 stik , and 3 soft drinks harganya $19.50. Jika 4 buah stik dan sekaleng soda harganya $0.30 lebih mahal dari sepotong pizza Berapakah harga masing-masing item? Misalkan, Maka secara matematika dapat kita ekspresikan sebagai berikut
Contoh 2
1
2
3
: harga sepotong pizza
: harga sepotong stik
: harga soft drink
x
x
x
LS of three variables (2/2)
Contoh 2
atau
Masalahnya adalah bagaimana menemukan nilai yang memenuhi ketiga persamaan linier di atas
1 2 3, dan x x x
Sistem Linier Secara Umum Suatu himpunan berhingga dari
persamaan linear dengan variabel
disebut sistem persamaan linier atau sistem linier.
Barisan bilangan solusi untuk
disebut solusi dari sitem. Sistem yang tidak memiliki solusi
disebut inconsistent ; Jika paling sedikit ada satu solusi, maka sistem tersebut dikatakan consistent.
nxxx ,...,, 21
nsss ,...,, 21
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
Sebuah sistem linier dengan m persamaan linier dalam n variabel
nxxx ,...,, 21
Tipe Sistim Linier (SL)
LS
Konsisten (Ada solusi)
Tak Konsisten (Tidak punya solusi)
Solusi tunggal (sistem independent)
Solusi banyak tak berhingga (Sistem dependent)
Metode Eliminasi
Metode dasar dalam menyelesaiakan suatu sistem linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem baru yang memiliki solusi sama tetapi lebih mudah untuk diselesaikan.
Sistem baru tersebut biasanya didapat dengan menerapkan serangkaian tiga tipe operasi dasar berikut untuk mengeliminir variabel secara sistematis:
1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta bukan nol.
2. Menukar dua persamaan.
3. Tambahkan hasil kali suatu persamaan ke persamaan lainnya.
Metode ini disebut metode eliminasi
Metode eliminasi: contoh 1 (1/2)
0 563
7 172
9 2
zyx
zy
zyxtambahkan -2 kali persamaan pertamake pers ke dua
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
0 113
9 2
217
27
zy
zy
zyx
kalikan pers 1
kedua dg 227113
177 2
9 2
zy
zy
zyx tambahkan -3 kali pers kedua ke pers ketiga
tambahkan -3 kali persamaan pertamake pers ke tiga
Metode eliminasi: contoh 1 (2/2)
3
9 2
217
27
z
zy
zyx
kalikan persketiga dg -2
23
21
217
27
9 2
z
zy
zyx
Tambahkan -1 kali pers kedua ke pers pertama
3
2
1
z
y
x11Tambahkan - kali2
pers ketiga ke pers pertama 7dan kali pers ketiga 2
ke pers kedua
3
217
27
235
211
z
zy
zx
Solusi x=1,y=2,z=3