Limiti di una funzione - Matematica in Rete · Appunti di Matematica 5 -Limiti di una funzione- 28 b) Consideriamo adesso Sappiamo che c’è un asintoto orizzontale (asse ). Quando

Appunti di Matematica 5 -Limiti di una funzione-

27

Limiti di una funzione

Definizioni I)

Cominciamo a studiare il “comportamento” di una funzione quando la diventa sempre più grande. Scriveremo che leggeremo: “limite per che tende a di ”.

Osservazione: naturalmente per poter studiare questo limite è necessario che il dominio della funzione lo consenta. Se, per esempio, il dominio della funzione fosse è chiaro che non posso studiare .

Possono presentarsi tre casi diversi

a) Consideriamo per esempio la funzione .

Al crescere di anche cresce sempre di più. Allora scriveremo

Formalmente possiamo dire che +∞=+∞→

)(lim xfx

se

Per esempio se y se fisso ,per esempio , avrò e cioè .

Analogamente se considerassi avrei cioè


28

b) Consideriamo adesso Sappiamo che c’è un asintoto orizzontale (asse ).

Quando si avvicina a .

Scriveremo

Osserviamo che scegliendo una striscia di ampiezza piccola a piacere il grafico da un certo in poi entrerà nella striscia.

In generale quindi scriveremo che lxf

x=

+∞→)(lim se

Quindi la retta sarà asintoto orizzontale per

NOTA: non dobbiamo pensare che l’asintoto non possa essere intersecato dal grafico. Possiamo anche avere grafici come il seguente:

La cosa essenziale è che le oscillazioni si “smorzino” cioè che la distanza fra il grafico e la retta

tenda a .


29

b) Consideriamo infine

Qual è il suo limite quando ? I valori di senx non si avvicinano ad un unico valore e neppure crescono sempre più o decrescono sempre più.

Avremo in questo caso che in quanto la funzione oscilla e non ha un

“comportamento definitivo”. Quindi anche y=cosx e y=tgx e in generale le funzioni periodiche non hanno limite quando

. II)

In modo analogo possiamo studiare

a) Se per esempio riprendiamo avremo se

Osserviamo che questa volta consideriamo perché .

Analogamente avrà cioè


30

b) Riprendendo avremo che anche il limite per tendente a è :

cioè

e in generale lxf

x=

−∞→)(lim se

è asintoto orizzontale quando

c) Riprendendo anche non esiste.

Quindi quando la per non cresce sempre di più o non decresce

sempre di più e neppure si avvicina ad un valore .


31

III)

Studiamo adesso dove ma è un punto a cui posso “avvicinarmi” quanto

voglio.

a) Per esempio consideriamo Poiché studio .

Avvicinandosi a da destra (scriveremo ) i valori della funzione aumentano

sempre di più e quindi abbiamo:

Formalmente: (intorno destro di ) : Avvicinandosi a da sinistra (scriveremo ) i valori della funzione diminuiscono

sempre di più e quindi abbiamo

Formalmente: (intorno sinistro di ) : (vedi figura)

Quindi la retta è asintoto verticale per la funzione con “comportamento” diverso a destra e a sinistra.

Se per esempio avessimo considerato

avremmo avuto

:

In questo caso basta scrivere:


32

In generale quindi possiamo dire che +∞=

+→)(lim xf

oxx

se 0>∀M ∃ ++ ∈∀oo xx IxI : Mxf >)(

(o analogamente ...)

e che −∞=

−→)(lim xf

oxx se 0>∀M ∃ −− ∈∀

oo xx IxI : Mxf −<)(

(o analogamente ...)

Se la funzione è definita solo a destra o a sinistra di è chiaro che avrà senso calcolare solo il limite destro o il limite sinistro. In ogni caso avremo che la retta di equazione è asintoto verticale per il grafico della funzione. Esempi 1) Consideriamo Sappiamo che il suo dominio è

Quindi abbiamo infiniti asintoti verticali

2) Consideriamo : il suo dominio è

. Abbiamo:

e è asintoto verticale (non ha senso cercare poiché per la funzione

non è definita).


33

b) Consideriamo la seguente funzione Scomponendo il numeratore e semplificando otteniamo, per , la retta e quindi il grafico della funzione sarà:

Come risulta ?

Avvicinandosi a i valori della funzione si avvicinano a 2 e quindi cioè:

In generale quindi diremo che lxf

oxx=

→)(lim se


34

c) Può accadere che non esista il limite quando con ? Consideriamo

Il suo dominio è . Proviamo a calcolare : se consideriamo come una

funzione composta abbiamo che

Quando abbiamo che ma sappiamo che non esiste.

Analogamente se avremo che e non esiste.

Quindi possiamo concludere che

IV)

Studiamo infine quando (e non sia un punto “isolato” cioè sia possibile

avvicinarmi a quanto voglio).

a) Consideriamo per esempio e .

È chiaro che avremo cioè

In generale avremo che )()(lim o

xxxfxf

o

=→

quando

In questo caso la funzione si dirà continua in .


35

b) Vediamo questa funzione

Si tratta di una funzione definita “a tratti” cioè la funzione ha una definizione per e un’altra definizione per . Il suo grafico risulta “spezzato”:

Quanto risulta ?

In questo caso abbiamo un limite destro diverso dal limite sinistro poiché: e

In generale se e ( ) diciamo che in la funzione ha

una discontinuità di 1° specie o “salto”.

c) Consideriamo questa funzione

Quanto vale ?


36

Quando ci avviciniamo a i valori della funzione si avvicinano a 2 (il fatto che non ha importanza perché dobbiamo vedere il comportamento della funzione quando ) e quindi

In questo caso quindi

e diciamo che in la funzione ha una discontinuità di 3° specie o “eliminabile” poiché potremo “ridefinire” in associando il valore del limite per cioè

In questo modo è continua in .

d) Possiamo avere una funzione per cui non esiste con ?

Se consideriamo

abbiamo che è nel dominio (per definizione ) ma, poiché il valore del limite non dipende dal valore della funzione in , abbiamo che non esiste perché, come avevamo

già visto, non esiste .


37

Esercizi sui limiti

I) Per verificare la comprensione del concetto di limite proviamo a “leggere” i limiti di un grafico assegnato. Consideriamo per esempio il seguente grafico:

a)

Vediamo che e abbiamo:

è asintoto orizzontale quando

è asintoto verticale

b)

Abbiamo

( asintoto verticale)

( asintoto orizzontale)


38

c)

d)

........)(lim =+∞→

xfx

…………………….

………………………

……………………….

……………………….


39

II) Proviamo adesso a fare l’esercizio “inverso” cioè a disegnare un grafico che abbia dei limiti

assegnati.

a)

Un grafico potrebbe essere:

b)

Possiamo pensare ad un grafico così:

Naturalmente questo è solo un esempio, ci possono essere grafici diversi, ma con gli stessi limiti.


40

c)

Come potrebbe essere un grafico che presenta questi limiti?

d)

Come potrebbe essere un grafico che presenta questi limiti?


41

III) Tracciamo dei grafici conosciuti e indichiamone i limiti:

a)

asintoto verticale

b)

asintoto orizzontale per

c)


asintoto verticale


d)


42

IV) Possiamo “verificare” i limiti utilizzando la definizione formale.

a) Consideriamo e verifichiamo che .

Per verificarlo dobbiamo far vedere che:

Consideriamo l’ultima disequazione e risolviamola:

Quindi cioè avrò : se, per esempio, avrei che per .

b) Consideriamo sempre e verifichiamo che .


43

Dobbiamo verificare che

Risolvendo l’ultima disequazione abbiamo (essendo sempre positivo è maggiore di ):

Quindi e abbiamo verificato il limite. (Se, per esempio, )

c) Consideriamo

• Verifichiamo che cioè che


44

Risolviamo allora

Poiché ci stiamo interessando al limite sinistro, possiamo porre e quindi : allora perché sia verificata dovremo avere

(posso dividere per senza cambiare il verso della disuguaglianza perché è positivo).

Quindi l’intorno sinistro di è : se per esempio quando

si ha .


Risolviamo

Poiché studiamo il limite destro, possiamo porre e quindi : allora la disequazione

sarà verificata se

(inverto la diseguaglianza perché è negativo).

Quindi l’intorno destro è : se per es. quando si ha .



45

Risolviamo

Poiché stiamo studiando il limite per possiamo porre e quindi il sistema di disequazioni si semplifica così:

e quindi (se per esempio )


Risolviamo

Quindi

(se per esempio ).


46

Esercizi: verifica i seguenti limiti

1)

2)

3)

4)

5) Verifica i limiti di

•

•

•

•

6) Verifica i limiti di

•

•

•

•


47

Esercizi di ricapitolazione 1. Disegna il grafico delle seguenti funzioni ed indica dominio, caratteristiche e limiti

significativi: a.

b.

c.

2. Disegna il grafico di una funzione che abbia i seguenti limiti:

a) 1)(lim −=−∞→

xfx

b)

c)

3. Disegna il grafico di , scrivi i limiti significativi ed eseguine la verifica.

4. Disegna il grafico di , scrivi i limiti significativi ed eseguine la verifica.


48

Teoremi sui limiti

Teorema dell’unicità del limite

Se esiste allora è unico.

Dimostrazione Supponiamo per assurdo che si abbia

e

con , per esempio Fissiamo : per la definizione di limite avremo che

Allora se consideriamo dovremmo avere

e

Ma, poiché le due strisce non si intersecano, questo non è possibile per la definizione stessa di funzione e quindi siamo caduti in contraddizione.


49

Teorema del confronto (o dei “due carabinieri”)

Se per si ha e se

allora si ha anche

Dimostrazione Per definizione sappiamo che fissato

in cui

in cui

e quindi considerando x appartenente all’intersezione dei due intorni e ricordando che per ipotesi avremo

e quindi

Teorema della permanenza del segno a) Se in cui (eccettuato al più ha lo stesso segno di .

Dimostrazione

Consideriamo : per definizione in cui

Quindi se

se

b) Se in cui (oppure e se esiste (oppure

). Dimostrazione Supponiamo per esempio che in cui . Se per assurdo (per il punto a) appena dimostrato) in cui ma ciò è in contraddizione con l’ipotesi.


50

Calcolo dei limiti

Limite della somma di due funzioni Supponiamo di dover calcolare

e di conoscere e . Possiamo dire che il limite della somma delle due funzioni sarà la somma dei limiti?

Occorre considerare vari casi e consideriamo per esempio a) Se e dimostriamo che

Fissato , considero : per definizione

in cui e

in cui

Se considero varranno entrambe le relazioni e sommando membro a membro avremo:

cioè

e quindi

b) Se e (oppure )

si dimostra facilmente che

(oppure

(lo stesso se e .


51

c) Se e è chiaro (la dimostrazione è semplice) che

e che, analogamente, se e anche

d) Ma se e (o viceversa)?

Vediamo qualche esempio: •

Poiché ho

•

Poiché ho

•

Poiché ho

•

Poiché ho

Quindi è chiaro che in questo caso non c’è una regola generale: si dice che si ha una “forma indeterminata” nel senso che

quando e

non può essere determinato a priori e il limite dovrà essere calcolato caso per caso con particolari accorgimenti.


52

Riassumiamo quindi i vari casi in questa tabella:

forma indeterminata

Limite del prodotto di due funzioni In questo caso abbiamo la seguente situazione:

(regola dei segni del prodotto)

forma indeterminata

Quando scriviamo “regola dei segni del prodotto” significa che se e allora se e allora e così via.


53

Ma perché risulta una forma indeterminata? Vediamo qualche esempio: •

ma poiché ho

•

ma poiché ho

•

ma poiché ho

Quindi è chiaro che non c’è una regola generale per questo limite: dovremo calcolarlo caso per caso con opportuni passaggi.

Limite della funzione reciproca Abbiamo i seguenti casi (la dimostrazione è semplice):

(cioè

(cioè


54

Limite del quoziente di due funzioni

Osservando che otteniamo:

(regola dei segni)

(regola dei segni)

forma indeterminata

forma indeterminata

Abbiamo due forme indeterminate perché

(forma indeterminata del prodotto)

(forma indeterminata del prodotto)

In conclusione, nel calcolo dei limiti, si presentano 4 forme “indeterminate”:

• (per la somma)

• (per il prodotto)

• (per il quoziente)


55

Esempi Daremo per scontata la continuità e la conoscenza dei limiti significativi delle funzioni elementari. Per esempio:

−∞=+∞=+−

→→

tgxtgxxx

22

lim,limππ


56

Esempi di calcolo di limiti

a) Limiti di somme di funzioni

•

•

•

•

•

•

•

ma non esiste

Osserviamo però che e poiché

•

Si tratta della forma indeterminata : nel caso di funzioni polinomiali possiamo mettere in evidenza e uscire dalla forma di indecisione:

•

•


57

0 0

n° pos.

•

Si tratta di una forma indeterminata: possiamo fare una specie di “razionalizzazione”:

•

Si tratta ancora di una forma indeterminata, ma non conviene fare come prima perché non si

semplificherebbe e avremmo un’altra forma indeterminata (

Possiamo mettere in evidenza e portare fuori dalla radice: ricordiamo che , ma se il limite è allora è positivo e .

• (

Anche in questo caso non conviene “razionalizzare” ma occorre mettere in evidenza:

0 0


58

b) Limiti di prodotti di funzioni

•

•

•

•

•

•

•

c) Limiti di quozienti di funzioni

•

•

•

•

•


59

•

• : si tratta di una forma indeterminata : possiamo raccogliere

• : anche in questo caso è una forma e raccogliendo:

•

Osserviamo che con e polinomi risulterà:

se grado grado

se grado grado

se grado grado

•

Risulta una forma indeterminata , ma non conviene mettere in evidenza come prima perché

e non e quindi non otterremmo termini che tendono a zero: in questo caso scomponendo e semplificando abbiamo


60

Esercizi

Calcola i seguenti limiti:

1.

2. [

3.

4.

5. [3]

6. [3]

7. [

8.

9.

10.

11.

12. [1/3]

13.

14. [0]

15. [1/3]


61

16. 52

12lim

2

3

−−++

+∞→ xx

xx

x [ ∞+ ]

17. 12

2lim

3

3

++−

−∞→ xx

x

x [

2

1 ]

18. 12

35lim

3

2

+−

+∞→ x

x

x [ 0 ]

19. 52lim 22 +−++∞→+

xxx

[0 ]

20. 113lim 22 +−−+∞→

xxx

[ ∞+ ]

21. 42lim 22 +−−−∞→

xxx

[ 0 ]

22. 123lim 22 +−−−∞→

xxx

[ ∞− ]

23. 531lim 22 +−+−∞→

xxx

[ ∞− ]

24. 13

5lim

2

2

−+

+∞→ x

x

x [

3

1 ]

25. 3212lim 22 −+−−−∞→

xxxx

[ 4

2 ]

26. x

x

x −−

+∞→ 3

9lim

2

[ 6 ]

27. 134lim 22 +−++∞→

xxx

[ ∞− ]

28. 5

54lim

2

5 −−−

→ x

xx

x [ 6 ]

29. 1

1lim

3

1 −−

→ x

x

x [ 3 ]

30. 24

1lim

4

4

+++

+∞→ xx

x

x [

4

1 ]


62

Limite di una funzione composta

Supponiamo di dover determinare ( )( )xfgoxx→

lim oppure ( )( )xfgx ∞→lim

Si può dimostrare che:

se ( può essere anche oppure si può trattare di un limite per ∞→x ) allora

Esempi

•

•

Nota importante Per calcolare il limite di si scrive

e si calcola come limite di una funzione composta.

Esempio


63

Esercizi

(limite di funzione composta)

1.

2.

3.

4. [0]

5.

6.

7.

8.

9.

10.


64

11. 2

1 2

lim +−

∞+x

x

xe [ 0 ]

12.

−+

+∞→ 13

3lim

3

4

x

xarctg

x [

2

π ]

13.

++

−∞→ 2

1lim

2

3

x

xarctg

x [

2

π− ]

14. 52

12

3

lim −+

+∞→x

x

xe [ ∞+ ]

15.

−++

+∞→ 7

1lnlim

3

2

x

xx

x [ ∞− ]

16.

++

+∞→ 1

4lim

3

3

x

xarcsen

x [

2

π ]

17.

−+−

+∞→ 2

1lim

3

3

xx

xarctg

x [

4

π ]

18. ( )x

xx 12lim −

+∞→ [ ∞+ ]

19. 4

4 1

lim x

x

xe

+

+∞→ [ e ]

20. 151lim 22 −−++∞→

xxx

[ ∞− ]

21. 1

1

1

2

2lim +−

−→x

x

x [

4

1 ]

22. ( ) x

x

xx

32

1lim+

+∞→+ [ ∞+ ]

23.

+−

+∞→ 3

1lnlim

x

x

x [ 0 ]

24.

−−

−∞→ 2

2

23

1arccoslim

x

x

x [

3

π ]

25. x

x xx

x

+−+

+∞→ 1

52lim

3

3

[ ∞+ ]


65

Limiti notevoli

Studiamo due limiti “notevoli” (cioè degni di nota)

1. ( misura dell’angolo in radianti)

Se consideriamo vediamo che si tratta di una forma indeterminata.

Cominciamo con lo studiare .

Considerando la circonferenza goniometrica osserviamo che la misura dell’arco (radianti) e che (intuitivamente)

e quindi (ricordando la definizione di seno e tangente)

Dividendo per ( abbiamo:

e passando ai reciproci (e invertendo le disuguaglianze) avremo:

Passando al limite, poiché , per il teorema del confronto abbiamo che:

Ma anche poiché è una funzione pari : infatti

e quindi in conclusione

NOTA: se invece x è la misura in gradi si può dimostrare che 180

lim0

π=→ x

senx

x


66

ESEMPI

Vediamo qualche esempio di limite che può essere calcolato utilizzando il limite notevole

.

1)

Abbiamo quindi ritrovato il limite notevole e in conclusione

In generale avremo (con analoghi passaggi)

2)

3)

4)

moltiplico e divido per 2 pongo 1

1 1

1

dividiamo numeratore e denominatore per

1

2


67

2.

Se proviamo a calcolarlo ricordando che

otteniamo all’esponente una forma indeterminata ( .

Se, utilizzando la calcolatrice, proviamo a calcolare sostituendo a x numeri molto

grandi, notiamo che ci stabilizziamo su un numero che risulta circa

2,71…..

Si può dimostrare infatti che:

dove numero di Nepero (base dei logaritmi “naturali”) e con la scrittura si intende che il limite vale sia per che per NOTA Vediamo come il calcolo di alcuni limiti che si presentano in forma indeterminata si possa ricondurre a questo limite notevole:

1.

2.

In generale (con analoghi passaggi)

dividiamo e moltiplichiamo per 2 l’esponente

ponendo


68

3.

Cercando di calcolare il limite passando alla forma esponenziale troviamo all’esponente una forma indeterminata.

Proviamo quindi a ricondurci al limite notevole

• Scriviamo

• Sottraiamo e sommiamo 1 all’esponente

• Ricordiamo che

Quindi:

4.

Quindi, in generale,

5.

In particolare


69

Esercizi

(limiti notevoli)

1.

2.

3.

4. [

5.

6.

7.

8.

9.

10.


70

Esercizi di ricapitolazione 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.


71

Limiti e asintoti di una funzione

Abbiamo già visto che

• se e/o è asintoto verticale

• se è asintoto orizzontale per

è asintoto orizzontale per

Ma come possiamo determinare, con il calcolo dei limiti, un asintoto obliquo del grafico di f(x)? Ricordiamo che il grafico di una funzione può avere anche due asintoti obliqui diversi (vedi figura).

Consideriamo per esempio . Quali sono le condizioni che si devono verificare perché il grafico di abbia come asintoto

obliquo la retta per ?

1)

2)

Infatti se per allora

3) (con anche 0)


72

Esempi 1) Verifichiamo ha asintoto obliquo per (si tratta infatti di un

“pezzo” di iperbole equilatera).

2) Vediamo se ha asintoti obliqui. Cominciamo a studiare i limiti per .

Quindi è asintoto obliquo per . Per si ottiene lo stesso asintoto (verificalo). NOTA: osserviamo che una funzione razionale fratta f(x) in cui il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore avrà sempre un asintoto obliquo (lo stesso per ) (che si può ottenere anche facendo la divisione tra il polinomio “numeratore” e il polinomio “denominatore”).


73

3) Studiamo ( )

• Cominciamo con .

Quindi è asintoto orizzontale per .

• Vediamo cosa succede per

Quindi è asintoto obliquo per

4) Studiamo . Vediamo per esempio .

( è limitato tra -1 e 1)

non esiste

Quindi la funzione non ha asintoto obliquo per (analogamente per

Osserviamo quindi che se anche sono verificate le prime due condizioni non è detto che sia verificata la terza condizione e che quindi esista l’asintoto obliquo.


74

Esempio

Ora che abbiamo esaminato il metodo di ricerca di eventuali asintoti obliqui, possiamo, data una funzione, determinare tutti i suoi eventuali asintoti.

Facciamo un esempio: consideriamo

Per prima cosa determiniamo il dominio di :

Per determinare eventuali asintoti cominceremo proprio studiando i limiti quando o .

È importante in questo caso distinguere limite destro e limite sinistro:

Quindi è asintoto verticale.

NOTA: per stabilire il segno dello zero al denominatore basta ricordare che quando

Quindi se avrò

se avrò

ecc...

Analogamente:

Quindi è asintoto verticale.


75

Poiché il dominio della funzione me lo permette, passo al calcolo dei limiti quando e .

In questo caso mi rendo subito conto che si tratta di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore e quindi ci sarà un asintoto obliquo (lo stesso sia per che per ).

Lo determino studiando i limiti per

Quindi è asintoto obliquo per .

Infatti alla stessa conclusione si arriva facendo la divisione fra numeratore e denominatore della funzione:

e quindi poiché per si ha che

In conclusione la funzione ha

e come asintoti verticali

come asintoto obliquo per


76

Esercizi (ricerca di asintoti)

Determina gli asintoti delle seguenti funzioni:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)


77

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)


78

Problemi collegati al calcolo dei limiti

Esempio 1

Determina l’equazione dell’iperbole equilatera traslata (funzione omografica) tangente in alla retta e passante per . Disegna .Sia un punto di appartenente al

1° quadrante di ascissa . Determina dove è la distanza di da e è la

distanza di dall’asintoto orizzontale dell’iperbole.

Calcola e

L’equazione della funzione omografica

si determina imponendo il passaggio per

e la condizione di tangenza

con e si trova

.

con perché

quadrante


79

Esempio 2

Consideriamo un poligono regolare inscritto in una circonferenza di raggio e centro : sia l’angolo (in radianti) in figura.

Determinare l’area del poligono regolare e calcolare .

Per calcolare l’area del poligono possiamo determinare l’area del triangolo e poi moltiplicarla per il numero di lati del poligono.

Il numero dei lati del poligono è

Quindi

e

Infatti quando il numero dei lati del poligono tende all’infinito e l’area del poligono tende all’area del cerchio di raggio


80

ESERCITAZIONE 1

1) Calcola i seguenti limiti:

a.

b.

c.

d.

e.

f.


a.

b.

c.

d.

3) Determina dominio e asintoti delle seguenti funzioni:

a.

b.

4) Problema

Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse , tangente in alla retta

e passante per . Considera un punto di ascissa appartenente alla parabola e

determina dove distanza di da e distanza di dall’asse .

Calcola i limiti significativi di

-Limiti di una funzione-

81

ESERCITAZIONE 2


a.

b.

c.

d.

e.

f.


a.

b.

c.

d.

3) Determina dominio e asintoti delle seguenti funzioni:

a.

b.

4) Problema

Determina l’equazione dell’iperbole equilatera avente asintoti e e passante per il punto . Disegnala e determina la tangente in all’iperbole. Considera un punto di ascissa appartenente all’iperbole e al 1° quadrante e determina

Dove distanza di da e distanza di dall’asse . Calcola e

Documents

Limiti di una funzione - Matematica in Rete · Appunti di Matematica 5 -Limiti di una funzione- 28 b) Consideriamo adesso Sappiamo che c’è un asintoto orizzontale (asse ). Quando