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Introducción Funciones Exponencial y Logaritmo.
Límites
IntroducciónPara verificar que limx→x0 f (x) = ` se deben abordar dos aspectos.
Determinar el o los límites laterales en x0 que Dom (f ) permite estudiar.Si Dom (f ) no permite estudiar ninguno entonces el límite no existe.Verificar que los límites que Dom (f ) permite estudiar existan y valgan `.Si uno de los límites que Dom (f ) permite estudiar no existe entonces el límite no existe.Si todos los límites que Dom (f ) permite estudiar existen pero tienen valores distintos entonces el límiteno existe.
Ejemploslimx→x0 x = x0.El dominio de la función x es R. Éste permite estudiar ambos límites laterales en cualquier x0.Claramente limx→x+
0x = limu→+∞
(x0 + 1
u
)= x0 y limx→x−0
x = limu→+∞(x0 − 1
u
)= x0 con lo que los límites
laterales existen y valen x0.limx→1 1− 1
x = 0.El dominio de la función 1− 1
x permite estudiar ambos límites laterales en 1 pues(
12 , +∞
)es parte de su
dominio.Claramente limx→1+ 1− 1
x = limz→+∞ 1− 11+ 1
z= 0 y limx→1− 1− 1
x = limz→+∞ 1− 11− 1
z= 0.
limx→01
ln(x)= 0.
El dominio de la función 1ln(x)
permite estudiar sólo el límite por la derecha en 0.El siguiente cálculo demuestra la afirmación: limx→0+
1ln(x)
= limu→+∞1
ln( 1u )
= limu→+∞− 1ln(u)
= 0.
Límites x → x0
Introducción Funciones Exponencial y Logaritmo.
Ejemplos
Ejemploslimx→0
1|x | = +∞.
El dominio de la función 1|x | es R \ {0} y permite estudiar ambos límites laterales en 0.
Como limx→0+1|x | = limz→+∞ |z| = +∞ y lo mismo ocurre con el límite por la izquierda se concluye que el
límite no existe pero sí existe en {−∞, +∞} y vale +∞.
limx→0 e1x no existe.
El dominio de la función e1x es R \ {0}. Éste permite estudiar ambos límites laterales en 0.
Como limx→0+ e1x = limu→+∞ eu = +∞ entonces el límite no existe. Veamos que éste ni siquiera existe en
{−∞, +∞}. En efecto, limx→0− e1x = limu→+∞ e−u = 0. Como es distinto del límite por la derecha el límite
tampoco existe en {−∞, +∞}.limx→0 ln (x) +
√−x no existe.
El dominio de la función ln (x) +√−x es {0}. Éste no permite estudiar ningún límite lateral en 0.
En esta situación el límite no existe.
Límites x → x0
Introducción Funciones Exponencial y Logaritmo.
Propiedad básica
Propiedad (Homogeneidad)Si limx→x+
0g (x) existe y α ∈ R entonces,
limx→x+
0
αg (x) = α limx→x+
0
g (x) .
DemostraciónLa demostración es directa de lo que sabemos para límites infinitos.
limx→x+
0
αg (x) = limu→+∞
αg(
x0 +1u
)= α lim
u→+∞g
(x0 +
1u
)= α lim
x→x+0
g (x) .
EjemplosPartiendo con algunos límites conocidos podemos aplicar la homogeneidad para calcular otros.
limx→x+0
x = x0 entonces limx→x+0
x0x = x20 .
limx→0+1
ln(x)= 0 entonces limx→0+
1ln(x10)
= limx→0+1
10 ln(x)= 1
10 · 0 = 0.
limx→0+1
ln(x)= 0 entonces limx→0+
1log10(x)
= limx→0+ln(10)ln(x)
= ln (10) · 0 = 0.
Límites x → x0
Introducción Funciones Exponencial y Logaritmo.
Propiedad básica
Extensiones (I)La propiedad también vale para límites por la izquierda y para límites.
Si limx→x−0g (x) existe y α ∈ R entonces, limx→x−0
αg (x) = α limx→x−0g (x) .
Si limx→x0 g (x) existe y α ∈ R entonces, limx→x0 αg (x) = α limx→x0 g (x) .
Estos tres casos, asociados a las convergencias x → x+0 , x → x−0 y x → x0, junto a los dos casos de las
convergencias x → +∞ y x → −∞, pueden resumirse en el esquema
Si limx→B g (x) existe y α ∈ R entonces, limx→B αg (x) = α limx→B g (x) , donde B ∈{+∞,−∞, x0, x+
0 , x−0}
.
En lo que sigue, este tipo de esquemas se usará para resumir las propiedades que son válidas para todo tipode convergencia.
Extensiones (II)También es posible extender la propiedad para limx→B g (x) = +∞, donde B ∈
{+∞,−∞, x0, x+
0 , x−0}
.
Si limx→B g (x) = +∞ y α > 0 entonces, limx→B αg (x) = +∞.
Si limx→B g (x) = +∞ y α < 0 entonces, limx→B αg (x) = −∞.
Finalmente, si α = 0 entonces limx→B αg (x) = 0, si el dominio de g permite estudiar el límite en B.
Límites x → x0
Introducción Funciones Exponencial y Logaritmo.
Unicidad del límite
ProposiciónSea B ∈
{−∞, +∞, x+
0 , x−0 , x0}
y f tal que limx→B f (x) = `1 y limx→B f (x) = `2. Entonces `1 = `2.
DemostraciónEs directa si notamos que es cierta cuando B = +∞ y que en los casos restantes los límites están definidosen términos de los límites en +∞.
ObservaciónPara todos los tipos de convergencia, la propiedad se conoce como la unicidad del límite.
Límites x → x0
Teorema del Sandwich Funciones Exponencial y Logaritmo.
Teorema del Sandwich
Teorema del SandwichSean f , g y h funciones y sea A = Dom (g).Si lim
x→x+0
f (x) = limx→x+
0
h(x) = ` y ∃δ > 0 ∀x ∈ A, (0 < x − x0 ≤ δ ⇒ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)) entonces, limx→x+
0
g(x) = `.
DemostraciónPara las funciones F (u) = f
(x0 + 1
u
), G (u) = g
(x0 + 1
u
)y H (u) = h
(x0 + 1
u
)la condición
limx→x+0
f (x) = limx→x+0
h (x) = ` equivale a limu→+∞ F (u) = limu→+∞ H (u) = `.
La condición ∃δ > 0 ∀x ∈ A, (0 < x − x0 ≤ δ ⇒ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)) equivale a ∀u ∈ Dom (G) ∩(
1δ, +∞
),
f(x0 + 1
u
)≤ g
(x0 + 1
u
)≤ h
(x0 + 1
u
), es decir, ∀u ∈ Dom (G) ∩
(1δ, +∞
), F (u) ≤ G (u) ≤ H (u) .
Al aplicar el Teorema del Sandwich para u → +∞ se concluye que` = limu→+∞ G(u) = limu→+∞ g
(x0 + 1
u
)= limx→x+
0g (x) .
Observaciones(1) La siguiente versión para x → x−0 se prueba aplicando lo anterior a las funciones f (−x), g (−x) y h (−x).
Si lim f (x) = limx→x−0
h(x) = ` y ∃δ > 0 ∀x ∈ A, (0 < x0 − x ≤ δ ⇒ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)) entonces, limx→x−0
g(x) = `.
(2) Usando las versiones para límites laterales se demuestra la siguiente versión para límites.
Si limx→x0
f (x) = limx→x0
h(x) = ` y ∃δ > 0 ∀x ∈ A, (0 < |x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)) entonces, limx→x0
g(x) = `.
(3) La propiedad también es válida cuando ` ∈ {−∞, +∞}.Límites x → x0
Teorema del Sandwich Funciones Exponencial y Logaritmo.
Aplicaciones del Teorema del Sandwich
Ejemplos1 limx→0 ex = 1.2 limx→1 ln (x) = 0.3 limx→0 sen (x) = 0.
Desarrollo1 Se obtiene al aplicar el Teorema del Sandwich en la desigualdad fundamental, cuando x → 0.
1 + x ≤ ex ≤ 11− x
.
2 Se obtiene al aplicar el Teorema del Sandwich en la desigualdad fundamental, cuando x → 1.
1− 1x≤ ln (x) ≤ x − 1.
3 Primero aplicamos el Teorema del Sandwich, cuando x → 0+ en la desigualdad 0 ≤ sen (x) ≤ x , que sóloes válida para 0 < x < π
2 . Se obtiene que
limx→0+
sen (x) = 0.
Además, como sen es una función impar, se obtiene quelimx→0− sen (x) = limx→0+ sen (−x) = − limx→0+ sen (x) = 0. De este modo, limx→0 sen (x) = 0.
Límites x → x0
Límite de una Composición Funciones Exponencial y Logaritmo.
Límite de una composición
Diremos que limx→x0 f (x) = ` propiamente, si
∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que ∀x ∈ Dom (f ), (0 < |x − x0| ≤ δ ⇒ 0 < |f (x)− `| ≤ ε).
Esta condición pide más que limx→x0 f (x) = ` pues, adicionalmente, requiere que f (x) 6= ` para x cercano a x0.
ProposiciónSi limx→x0 f (x) = u0 propiamente y limu→u0 g (u) = ` entonces limx→x0 g (f (x)) = `.
DemostraciónVamos a usar la siguiente caracterización.
limx→x0
g (f (x)) = ` ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ Dom(f ), (0 < |x − x0| ≤ δ y f (x) ∈ Dom(g)) ⇒ |g (f (x))− `| ≤ ε.
Como limu→u0 g (u) = ` se cumple que
∀ε > 0, ∃δ′ > 0, ,∀u ∈ Dom(g), 0 < |u − u0| ≤ δ′ ⇒ |g (u)− `| ≤ ε. (1)
Además, como limx→x0 f (x) = u0 propiamente, dado ε′ = δ′ > 0,
∃δ > 0, ,∀x ∈ Dom (f ) 0 < |x − x0| ≤ δ ⇒ 0 < |f (x)− u0| ≤ ε′.
Entonces ∀x ∈ Dom (f ), si 0 < |x − x0| ≤ δ se cumple que 0 < |f (x)− u0| ≤ δ′. Si además f (x) ∈ Dom (g),entonces al reemplazar u = f (x) en la ecuación 1 tendremos que |g (f (x))− `| ≤ ε.
Límites x → x0
Límite de una Composición Funciones Exponencial y Logaritmo.
Uso del límite de una composición
Ejemploslimx→x0 ex−x0.
limx→x0 ln(
xx0
).
limx→0 sen(
x2
).
DesarrolloPara f (x) = x − x0 se tiene que limx→x0 f (x) = 0 propiamente. Como limu→0 eu = 1 tenemos quelimx→x0 ex−x0 = limu→0 eu = 1.
Para f (x) = xx0
se satisface que limx→x0 f (x) = 1 propiamente. Dado que limu→1 ln (u) = 0 se obtiene que
limx→x0 ln(
xx0
)= limu→1 ln (u) = 0.
Finalmente, si f (x) = x2 entonces limx→0 f (x) = 0 propiamente. Como limu→0 sen (u) = 0 se concluye que
limx→0 sen(
x2
)= limu→0 sen (u) = 0.
ObservaciónLa condición limx→x0 f (x) = u0 propiamente, no puede ser reemplazada por limx→x0 f (x) = u0. En efecto, seag (u) = eu para u 6= 0 y g (0) = 0. Entonces, limu→0 g (u) = 1. Sin embargo si tomamos la función f (x) = 0para todo x ∈ R entonces, limx→2 f (x) = 0 pero limx→2 g (f (x)) = 0 6= 1.
Límites x → x0
Límite de una Composición Funciones Exponencial y Logaritmo.
Variantes del límite de una composición
Es posible extender lo hecho para el límite de una composición a cualquiera de las siguientes combinaciones.
ProposiciónPara A, B ∈
{+∞,−∞, x+
0 , x−0 , x0}
y ` ∈ R ó ` = ±∞
si limx→A
f (x) = B y limu→B
g (u) = ` entonces limx→A
g (f (x)) = `,
salvo cuando B = x0. En este último caso debe pedirse que limx→A f (x) = x0 propiamente.
ObservaciónAlgunos de los casos cubiertos por el esquema anterior son los siguientes.
limx→x0 f (x) = 0+ y limu→0+ g (u) = ` entonces limx→x0 g (f (x)) = `.limx→x0 f (x) = 0− y limu→0− g (u) = ` entonces limx→x0 g (f (x)) = `.limx→+∞ f (x) = 0 propiamente y limu→0 g (u) = ` entonces limx→+∞ g (f (x)) = `.limx→+∞ f (x) = 0+ y limu→0+ g (u) = ` entonces limx→+∞ g (f (x)) = `.limx→+∞ f (x) = 0− y limu→0− g (u) = ` entonces limx→+∞ g (f (x)) = `.
Donde ` ∈ R o ` = ±∞.
Límites x → x0
Límite de una Composición Funciones Exponencial y Logaritmo.
Ejemplos
Ejemplos
limx→0 x3 = 0 y limu→0 sen (u) = 0 entonces limx→0 sen(x3
)= 0.
limx→π π − x = 0 y limu→0 sen (u) = 0 entonces limx→π sen (π − x) = 0.limx→+∞
1x = 0+ y limu→0+ sen (u) = 0 entonces limx→+∞ sen
(1x
)= 0.
limx→−∞−x = +∞ y limu→+∞ueu = 0 entonces limx→+∞
−xe−x = − limx→+∞ xex = 0.
limx→+∞ ln (x) = +∞ y limu→+∞ueu = 0 y entonces limx→+∞
ln(x)
eln(x) = limx→+∞ln(x)
x = 0.
limx→0+1x = +∞ y limu→+∞
ln(u)u = 0 entonces limx→0+ x ln (x) = − limx→0+
ln( 1x )
1x
= 0.
limx→0 x ln (a) = 0 y limu→0 eu = 1 entonces limx→0 ex ln(a) = limx→0 ax = 1.
limx→+∞ln(x)
x = 0+ y limu→0 eu = 1 entonces limx→+∞ x1x = 1.
limx→+∞1x = 0+ y limu→0 eu = 1 entonces limx→+∞ e
1x = 1.
limx→0 x ln (x) = 0 y limu→0 eu = 1 entonces limx→0 xx = limx→0 ex ln(x) = 1.
Límites que no existen
limu→+∞ sen (u) no existe. Supongamos que existe y que vale `. Sean f (n) = πn y h (n) = 2nπ + π2
funciones definidas en N. Sabemos que limn→+∞ πn = limn→+∞ 2nπ + π2 = +∞ por lo que
limn→+∞ sen (πn) = limn→+∞ sen(2nπ + π
2
)= `. Pero entonces ` = 0 y ` = 1 lo que establece la
contradicción.
Límites x → x0
Álgebra de Límites Funciones Exponencial y Logaritmo.
Teorema de Álgebra de límites
Álgebra de LímitesSean f y g dos funciones y B ∈
{+∞,−∞, x+
0 , x−0 , x0}
tales que limx→B
f (x) = `1 y limx→B
g(x) = `2. Entonces
limx→B
(f + g)(x) = `1 + `2.
limx→B
(fg)(x) = `1`2.
Si `2 6= 0 entonces, limx→B(f/g)(x) = `1/`2.
DemostraciónLos casos B = +∞ y B = −∞ ya fueron discutidos y serán usados en la demostración. Sólo veremos el casoB = x+
0 . Transformando x → x+0 a u → +∞ y aplicando Algebra de Límites para u → +∞se obtiene:
limx→x+
0
(f + g) (x) = limu→+∞
(f + g)
(x0 +
1u
)= lim
u→+∞f(
x0 +1u
)+ lim
u→+∞g
(x0 +
1u
)= `1 + `2,
limx→x+
0
(fg) (x) = limu→+∞
(fg)
(x0 +
1u
)=
(lim
u→+∞f(
x0 +1u
))·(
limu→+∞
g(
x0 +1u
))= `1 · `2
y
limx→x+
0
(f/g) (x) = limu→+∞
(f/g)
(x0 +
1u
)=
(lim
u→+∞f(
x0 +1u
))/
(lim
u→+∞g
(x0 +
1u
))= `1/`2
Límites x → x0
Álgebra de Límites Funciones Exponencial y Logaritmo.
Aplicación del Álgebra de Límites
Ejemplos
limx→0ex−e−x
2 = 0.limx→0 cos (x) = 1limx→0 tan (x) = 0.
DesarrolloComo limx→0 ex = limx→0 e−x = 1 entonces,
limx→0
ex − e−x
2=
1− 12
= 0.
Como cos (x) = 1− 2 sen2(
x2
)y limx→0 sen
(x2
)= 0 el álgebra de límites nos permite decir que:
limx→0
(1− 2 sen2
(x2
))= lim
x→01− 2
(limx→0
sen(x
2
))2
= 1− 2 · 0 = 1.
Por lo tanto,limx→0
cos (x) = 1.
Un uso directo del álgebra de límites permite concluir que limx→0sen(x)cos(x)
= 01 = 0, o sea:
limx→0
tan (x) = 0
Límites x → x0
Álgebra de Límites Funciones Exponencial y Logaritmo.
Funciones con limx→x0 f (x) = f (x0)
EjemplosHaciendo uso del álgebra de límites, de las técnicas para calcular límites de una composición y de algunoslímites conocidos, se demuestra que las siguientes funciones satisfacen limx→x0 f (x) = f (x0) para todo x0 ensu dominio.
f (x) = x , f (x) = x2 y en general todo polinomio f (x) = a0 + a1x + · · ·+ akxk .
f (x) =p(x)q(x)
, donde p y q son polinomios.
exp (x).ln (x).ax , a > 0.loga (x), a > 0, a 6= 1.√
x , 3√
x , x−35 y en general xα, α ∈ R.
sen (x).cos (x).tan (x).
Límites x → x0
Álgebra de Límites Funciones Exponencial y Logaritmo.
Funciones con limx→x0 f (x) = f (x0)
Ejemplos (Continuación)Justificaremos algunas de las propiedades anunciadas.
limx→x0 ln (x) = ln (x0). En efecto,
limx→x0
ln (x) = limx→x0
ln(
xx0
x0
)= lim
x→x0
(ln
(xx0
)+ ln (x0)
)= 0 + ln (x0) = ln (x0)
limx→x0 ax = ax0.lim
x→x0ax = lim
x→x0ax0ax−x0 = ax0 lim
x→x0ax−x0 = ax0
limx→x0 sen (x) = sen (x0). Por una parte sen (x0 + h) = sen (x0) cos (h) + sen (h) cos (x0) y por otra elálgebra de límites implican que:
limx→x0
sen (x) = limh→0
sen (x0 + h) = limh→0
(sen (x0) cos (h) + sen (h) cos (x0)) = sen (x0) .
limx→x0 cos (x) = cos (x0). Primero la propiedad algebraicacos (x0 + h) = cos (x0) cos (h)− sen (h) sen (x0) y luego el álgebra de límites implican que:
limx→x0
cos (x) = limh→0
cos (x0 + h) = limh→0
(cos (x0) cos (h)− sen (h) sen (x0)) = cos (x0) .
limx→x0 tan (x) = tan (x0) . Es una aplicación directa del álgebra.
limx→x0
tan (x) = limx→x0
sen (x)
cos (x)=
sen (x0)
cos (x0)= tan (x0) .
Límites x → x0
Extensiones al Álgebra de Límites. Funciones Exponencial y Logaritmo.
Extensiones
ObservacionesEl álgebra de límites admite las siguientes extensiones para límites infinitos.Sean f y g dos funciones y B ∈
{+∞,−∞, x+
0 , x−0 , x0}
tales que limx→B
f (x) = +∞ y limx→B
g(x) = `.Para ` ∈ R se tiene que
limx→B
(f + g)(x) = +∞.
si ` > 0 entonces limx→B
(fg)(x) = +∞.
si ` < 0 entonces limx→B
(fg)(x) = −∞.
Para ` = +∞ se tiene quelimx→B
(f + g)(x) = +∞.
limx→B
(fg)(x) = +∞.
ObservaciónNo es posible predecir el valor de limx→B(fg)(x) cuando limx→B f (x) = +∞ y limx→B g(x) = 0.En efecto, sabemos que limx→0
1x2 = +∞ y que limx→0 x = limx→0 x2 = limx→0 x3 = 0. Sin embargo,
limx→01x2 · x3 = 0, limx→0
1x2 · x2 = 1 y, como limx→0+
1x2 · x = +∞ y limx→0−
1x2 · x = −∞, entonces limx→0
1x2 x no
existe, ni siquiera en {−∞, +∞}.Por lo tanto, el álgebra NO puede extenderse al caso ` = 0.
Límites x → x0
Extensiones al Álgebra de Límites. Funciones Exponencial y Logaritmo.
Cuocientes diferenciales
EjemplosLos casos no cubiertos por la extensión del álgebra de límites pueden llevarse al formato
limx→B
g (x)
h (x)
donde limx→B g (x) = 0 y limx→B h (x) = 0 propiamente. Un caso especial en el que nos concentraremos escuando g (x) = f (x)− f (x0), h (x) = x − x0 y B = x0. Como ejemplo calculemos
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0
para las funciones sen (x), ex y ln (1 + x), y para x0 = 0.Como sen (0) = 0, e0 = 1 y ln (1) = 0 los límites que estudiaremos son:
limh→0sen(h)
h .
limh→0eh−1
h .
limh→0ln(1+h)
h .
Límites x → x0
Extensiones al Álgebra de Límites. Funciones Exponencial y Logaritmo.
Límites limh→0sen(h)
h
Función SenoComo sen(−h)
−h = sen(h)h basta con demostrar que limx→0+
sen(h)h = 1.
Sabemos que las funciones sen, x y tan satisfacen para 0 < h < π2
sen (h) ≤ h ≤ sen (h)
cos (h)= tan (h) .
Invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sen (h) > 0 se obtiene
cos (h) ≤ sen (h)
h≤ 1.
Como limh→0 cos (h) = 1, por el Teorema del Sandwich tendremos que limh→0+
sen (h)
h= 1.
Límites x → x0
Extensiones al Álgebra de Límites. Funciones Exponencial y Logaritmo.
Límites limh→0eh−1
h
ExponencialSabemos que para h ∈ (−1, 1)se cumple el siguiente acotamiento
1 + h ≤ eh ≤ 11− h
.
Para 0 < h sabemos que
1 ≤ eh − 1h
≤ 1h
(1
1− h− 1
)=
11− h
.
Con esto limh→0+eh−1
h = 1.Para h < 0 se obtiene
1 ≥ eh − 1h
≥ 1h
(1
1− h− 1
)=
11− h
.
Con esto limh→0−eh−1
h = 1. Concluimos que
limh→0
eh − 1h
= 1.
Límites x → x0
Extensiones al Álgebra de Límites. Funciones Exponencial y Logaritmo.
Límites limh→0ln(1+h)
h
LogaritmosSabemos que para z > 0 se cumple el siguiente acotamiento
1− 1z≤ ln (z) ≤ z − 1.
Para z = 1 + h se obtieneh
1 + h= 1− 1
1 + h≤ ln (1 + h) ≤ 1 + h − 1 = h.
Para h > 0 se obtiene que1
1 + h≤ ln (1 + h)
h≤ 1.
Con esto limh→0+ln(1+h)
h = 1.Análogamente, para h < 0 se obtiene que
11 + h
≥ ln (1 + h)
h≥ 1.
Con esto limh→0−ln(1+h)
h = 1. Concluimos que
limh→0
ln (1 + h)
h= 1.
Límites x → x0