Limite de siruri

5/13/2018 Limite de siruri - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/limite-de-siruri-55a74ee00348d 1/41

Elemente de Analiza Matematica -1- clasa a XI-a

Cap. Siruri. Limite de siruri - Notiunea de subsir al unui sir

- fie k: ~ -+ ~ 0 functie strict crescatoare,unde functia k este un sir screscator de numere naturale

- atunci kn ~ n , (V) nE ~ .

- se numeste 6u&Vt , al simlui x: ~ -+ I f f i .

orice compunere x 0 k ,a lui x cu un sir crescator k:

- avem (x 0 k) (n) = x(k(n) ) = x(k n ) = xknL_ _ ; _ _ . : . : : : . : : : . : . = : . . . . : . : . . . . . . . : . : . . - . ~ ~ : : - . . . . : <

(X k ) care este sirul cu elementele :n nEN"

./ ... till ,1 4 0 ,;,1 4 ,; : 1

(1) - fie functia k strict crescatoare, k: ~ -+ ~ , ,atunci :

(2) - fie functia k , n E ~ ,atunci:

strict crescatoare, k: ~ -+ ~ , kn =n+ I , n E ~ ,atunci:

= ( xn+ /)nEN" :

x /, X /+ l ,X /+ 2 , ... , x/+ n , ...

se mai noteaza (xn )n l!:/ ;

se obtine din sirul (Xn )nEN" din care am eliminat termenii xo , X l, ... , X /-l

se mai numeste 6Vt , ea:I I t .a6 din simI (X n)nEN " .

(1)

(2) - simI (Xn )nEN" este un subsir a1 sau , caz in care: kn =n , (V) n~ 0 .

Notiunea de subsir al unui sir



Elemente de Analiza Matematica

Cap. Siruri. Limite de siruri - Siruri convergente la zeroclasa a XI-a5-

P,op,i.tat.a tI

Observatie :

daea sirul xn - - + X ' * 0 ,a tunci Ixn I - - + IX I

- rezultatul reciproe este fa ls .

Bxtl,eitii P'OpItStl si 'tlzol"attl :

(1) lim n~oo ( - : 3 ) =?

- e on sid eram sirul: xn = -...; si IXnl = 1 - " ' ; 1 =...;eu proprieta tea IXnl - - + 0n n n

lim IXnl = lim 1 - 231 = lim 23 = 0 : : : : : : >

n~oo n~oo n n~oo n

(2) lim n~oo ( 31

2 ) =?-n -2n•

( 1 )im = 0n~oo -n3 - 2n2

Siruri convergente la zero




Consideram sirurile de num ere rea le ( X n ) n E N si (Y n)n EN

- se num este " u m , a f ! _ l U J d u 6 t d catul a do . ua "Vtwd ( X n ) n E N (Y n)nE N urm atoa rele siruri :0(1) (x n + Y n)nE N : X l + Yl ,X 2 + Y 2 , ... ,x n + Y n , .. .

s,.".a , p,od,.s,., , eat,., a do,.a sl,,.,1

(3) ( x n ) : Xl ,X2 ,... , x n , . . .Yn nEN Yl Y2 Yn

cu conditia de existenta Y n * 0C ) )

•

./I. , ; 1 1 ; 1 ; 1 1 I;r,.,

- prin (lxnDnEN

In c ont in u a re aratam-ea efe~ tuand opera tii cu "Vtwd ~ s e o btin tot "Vtwd ~ .y

Are loc urm a toa rea Teo}em a :

~~

.7 1 1 0 ' 1 1 1 1 1 4 I/

- fie siru ;tl\n)nEN si (Yn)nEN , convergente xn -+ X si Y n -+ Y pentru n -+ 00 , constanta

it E l m : , a tunci a u loc u rm atoa rele opera tii :

(1) ( IX n + Y n)n EN este convergent si: lim n,,-+ooxn + J'n) = lim -,,+00n + lim -,,+ oo )ln= X + X

( lim ita sum ei este ega la cu sum a lim itelor )

(2) (it· X n ) n E N este convergent si: lim n-,,+oo(it .xn ) = it . l imn, , -+ooxn = it .X

(0 consta n ta iese in fa ta lim itei )

(3) (x n ' Y n)n EN este convergent si: lim n,,-+ooxn . ) In ) = l imn, , -+ooxn . l imn, , -+oo)ln = X . X

( lim ita produsulu i este ega la cu produsu llim itelo r )

Operatii cu siruri convergente




n la

Cap. Siruri. Limite de siruri - Operatii cu siruriconvergente

(4) ( x n ) este convergent si: limn-HlO ( x n ) = l~mn--+coXn=~ , unde Yn ' * 0 si Y ' * 0Yn nEN Yn hmn--+coYn Y

( limita catului este egala cu catullimitelor )

( limita modulului este egala cu modulullimitei )

Bxtl,eitii P'OpItStl si 'tlzol"attl :

~

•observatie: vom rezolva limita acestui sir fortand factor comun la numitor si n:umar~tor pe

puterea cea mai mare si yom tine cont de cele invatate la capitolul siruri convergerlte lcyiero .

(1) 1· n+3?Imn-HlO 21'1.2;:1:1=.

1 · n+3 li n(1+-n3) li 11m -- = 1m = 1m -

n-+oo 2n2+1 n-+oo 2n2(1+-1_) n-+oo 2n2n2

S 1· li n+3 0o utie : im -2- =n-+oo 2n +1

(2)

2 sn2(1+~)1· Sn +7n li 5n2 li 11m = 1m = 1m -n-+oo 10n2+2 n-+oo 10n2(1+-2_) n-+oo 2

10n2

Solutie: lim Sn2+7n 1

n-+oo 10n2+2 2

1+ 3 + 1 lim (1 + 3 + 1 )Sri 5n3 _ lim ~. n-+co Sri 5n3 = 0 . 1+0+0 = 0

1+2..+_1_ - n-+oo 3n lim (1+2..+_1_) 1+0+03n 3n3 n-+co 3n 3n3

Solutie:

1· [ 6 n 1 + li [ 1 7n 1 li 2 1 li +im (n )'Sin(n-1) im ri"' ( 1) = im 2. ( 1)' im sin(n-1)n-+oo 3n3 1+- n-+oo 5 2n2 1+-2 n-+oo n lim 1+- n-+oo

3n3 2n n-seo 3n2

+ lim 2_. lim .!_ . 1 = 0 . _1_. lim sin(n-1) + 0 . 0 . _0_ = 0 + 0 = 0n-+oo Sn n-+oo 2n lim (1+_1_) 1+0 n-+oo 1+0

n-+co 2n2

Observatie: in cazul rezolvarii acestei limite ne-am folosit de faptul ca sirul sin(n - 1) este un sir

marginit: sin(n - 1) E [-1; 1]




Elemente de Analiza Matematica clasa a XI-a3-


Observatie : pentru a rezolva aceasta limita vom aduce sirurile date sub 0 forma mai simpla , vom

calcula sumele, apoi fortam factorul comun si tinem cont de operatiile cu siruri convergente .

- reamintim sumele :

1). 1+ 2 + 3 + ...+ n= L~=1 k = n(~+1)

2). 1 2 + 22 + 32 + ...+ n2 = L~=1 k2 = n(n+1~(2n+1)

3 3 3 + 3 = '\'n k3 = [n(n+1)]23). 1 + 2 + 3 + ... n £.ok=1 2

4). L~=l.it = .i t . L~=11 = . i t .n ,unde .it E JR ' - 0constanta, un parametru . L0In cazul nostru avem : - ~

1). 1 2 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n+1)(2n+1) .~.

2). 12 + 32 + ...+ (2n - 1)2 = L~:,(2k - 1)2 =L~=1(4k2 - 4k + 1) =~.",

= 4 ,\,n_ k2 - 4 ,\,n_ k + ,\,n_ 1 = 4· n(n+l)(2n+l) - 4 . n(n+1) +n= 0.ok-1 £.k-1 £.k-1 6 2

2n(n+1)(2n+1) 2 (1) d 1 lasi . . d 1 f: •• 1= - n n + + n = -a ucem a ace a si numitor Sl a ucem a 0 rorma mal SImp a :3 •

2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n 4n3+6n2+2n-6n2-6n+3n= = =

3 3

Revenim la limita data :

Solutie:

(6)

. 3n+1Solutie: hm -- = 3

n-HX> 3n+2

. 3n+1Solutie: hm -- = 3

n-HX> 3n+2




Elemente de Analiza Matematica clasa a XI-a4 -


Observatie : am tinut cont de faptul ca sirul 2n < 3n pentru n -+ 00

2 ( )n sn2'(1+C -1)n,n+__±_) lim (1+C -1)n +__±_) ( )

lim Sn + -1 'n+4 = lim 5n2 5n2 =~.n....co 5n 5n2 =~. 1+0+0 =~.~=~.1=~n-HX 3n2+Z n-HX 3n2(1+_2_) 3 lim (1+_2_) 3 (1+0) 3 1 3 3

3n2 n....co 3n2

S 1 ti I' (Zn2 4n-Z) 2o U Ie: 1m ----- =-n-HX n2+3n n+3





Cap. Siruri. Limite de siruri - Trecerea la limita in inegalitati

7tlO'tlllt4 I

(\1') n EN, sau (\1') n ~ no unde no E N dat, atunci avem :

lim xn ~ lim Y nn-HX n-HX

- daca simI ( X n 2 n E N " este convergent si daca xn > 0 atunci:

lim xn > 0n-HX

- daca simI ( Xn) nEN " este convergent si daca a < xn > f l _ atunci:

a < lim xn < f 3n~oo

Trcerea la limita in inegalitati




Cap. Siruri. Limite de siruri - Criteriul clestelui-1- clasa a XI-a

7,,0'' 'IIta I

- fie sirurile (Xn)n_E_~ ( U n ) n _ E N , (Vn)nE_~ ce satisfac conditiiIe :

(1) U n : : :; xn :::;vn , ('9') nE ~

(2) li m n - H lO un = li m n - H lO Vn = a

atunci sirul (Xn)nEN este convergent Ia aceeasi limita a < r0

~.o

- schematic scriem :

BXI l,ei ti i P 'OpItSIl si 'Ilzol"atll :

+ "n~+n ,a carui limita se cere a fi

Observatie : vom rezolva limita incercand sa gasim dona

sirul dat sa fie cuprins intre ele .

- fie sirul dat (Xn)nEN'

calculata ,

- consideram sirurile :

lie ; 1). ( U n ) n E N " , U n = " 2 + " 2 if ..." * " 2 : : : ; Xn ,

n +n n I!l n +n

d1 lin. .Z · .

un e: Un = " 2 +" 2 + + " 2 = " 2 Sl a carui imita este :n +n n +n n +n n +n -_

1 · li n li n li 1 1 1 1Hfl Un=Hfl -- =1m =1m- =-- =-=n - H lO n - e oe "n

2+n n~oo nJ1+:Z n~oo J1+~ ,,1+0 1

'~""'---"l '~'li m U n - : un-o-+oo ,(

_.( \ .= >

+1>.~-Xn ,vn~+l

1 1

2). (Vn)n~N{' V = "n2+1 + "n2+1 +

d1 lin . .Z · .

un e: Vn = "n2+1 + "n2+1 + + "n2+1 = "n2+1 Sl a carui imita _es_t_e

1 · li n li n li 1 1 1 1ImVn= Im-= im =Im-=--=-=n~oo n~oo "n2+1 n~oo nJ1+ 1 n~oo J1+1 "1+0 1

n2 n2

= = > l i ~ m " " " " " " v " " " n - _ - C 1 ! ~ ln~oo

Conc1uzie : din reiatiiIe 1). si 2). observam ca :

1. un :::;Xn :::;Vn ,('9') n E ~*

2. lim U n = lim vn = 1n~oo n~oo

= = > conform criteriului c1estelui ca sirul (Xn)nEN' este convergent: xn -+ 1si limita sa :

Criteriul clestelui



limita este : ~ •

I, I' n(n+1) I' n2(1+!'\ I' (1+!'\ a'to 1Hfl Vn = 1m = 1m w = Hfl ~ w =-:-'- =-

n-+oo n-+oo 2(n2+1) n-+oo 2n2(1+...!....) n-+oo 2(1+.c!_) 2~1+0) 2

n

2

'~


Cap, Siruri : Limite de siruri - Criteriul clestelui

-2- clasa a XI-a

(2) Sa se calculeze limita: limn-+oo ( - 2 1 + - 2 2 + - 2 3 + .., + -2n ) =?1....- n ct:1 n +_2 n +_3 n ;tn

Observatie : vom rezolva limita incercand sa gasim doua siruri care tind spre aceeasi limita iar

sirul dat sa fie cuprins intre ele ,

123- fie sirul dat (xn)nel\!* , xn = n2+1 + n2+2 + n2+3 + +_n_ , a carui limita se cere a fi

n2+n

calculata ,

- consideram sirurile :

1 2 n

1). (U n)neN* , U n = n2+n + n2+n + .., + n2+n :::;xn ,

1 2

unde: Un = -2- + -2- +n +n n +n

si a carui limita este :

si a carui2

unde: vn = -2- + -2- +n +1 n +1

= = >

I, 1

= = > 1m Vn=-n-e oe 2

Conc1uzie : din reiatiiIe (1) si (2) observam ca :

1X -+ - si limita sa :n 2

Criteriul clestelui




Cap. Siruri. Limite de siruri - Teorema lui Cantor-1- clasa a XI-a

Prezentam in cele ce urmeaza 0Wvtema utila in demonstrarea ~ unui 6 V t . :

. / I Z ! J ! ! I ! I 'It; Oaliiol : 1

- fie sirurile de numere reale (Xn)neN , (~)neN , (V n)neN care au proprietatile :

(1) (Xn)neN este crescator ;

(2) (Yn)neN este descrescator

(3) xn :::; Y n' (\7') nEN;

(4) l imn-HlO(Yn - xn ) = 0

*). ~ = = = = = . _ _ " : = = ~ : : : , : , : : , : : , : : : : : : " " , : , : , , , , _ , _ _ , . : .: . A - = E : . .: ; :~ ~ ;

**). xn:::; A :::; l'n ;

***) . A ~ unicul numar real ce verifica * * ) .

•

7tlOltlllt4

(1)

(2)

(3)

( V n ) n e _ ~ de numere rationale astfel incat :

este descrescator

Teorema lui Cantor




Cap. Siruri. Limite de siruri - Definitia numarului real irational e

. / 1 " " 1 ; 1 1 1 1 ; " I""IIIa,,., i,atio"a' tJ : 1

- se considera sirul ( xn ) n eN" definit prin xn = (1 + ~)n ,unde n;;:::

- acest sir este crescator si marginit superior, majorat de 3 ;

cum el este margin it superior deducem ca el este convergent

limita acestui sir joaca un rol important in analiza matematica si aceasta limita se~noteaza cu e

numarul real e este un numar irational ~ valoarea ap.roximativa: e = = 2,71828 ...

. ( l )nhmn-HlO 1 + ;; = e

- avem inegalitatea :

( 1 + ~ )n < e < ( 1 + ~ )n + l , (\1') n E N ;~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

- numarul e este 0 constanta fundamentala in analiza matematica el fiind folosit si ca notatie in

cazullogaritmilor naturali :

1 1 1 1- sirul (Yn)neN"definit prin Yn = 1 + - + - + - + ...+ - este de asemenea convergent catre e

r-----------------------l1 213J nJ,_-_-_- ......

7110'111114 I

=e

(1) daca (xn )n eN " ~ un sir de numere reale nenule cu limn~oolxnl = 00 ,atunci:

•. ( 1x nhmn--+oo 1 + Xn = e

a.;;;.;;=--,,=~~_o.s;~ ~ un sir de numere reale nenule cu limn~oo xn = 0 ,atunci:1

limn--+oo(l+ x n ) x n = e

Definitia numarului irational e




Cap. Siruri. Limite de siruri - Notiunea de subsir al unui sir

7tlO'tllltll I

- orice 6u&bt al unui 6bt ~ este de asemenea ~ ~ aceeeasi timitn, .

- daca sirul (Xn )nEN este convergent, xn -+ I , lEi. , limn-HJO xn = I

atunci orice subsir (X k ) al sau este de asemenea convergent si are aceeasi limita In nEN

(1) - daca un sir contine doua subsiruri cu limite diferite , atunci sirul nu are limita .

- astfel daca sirul (Xn )nEN contine doua subsiruri convergente (Xkn ) nEN si (xPtJ>

lim Xk ' * lim Xkn-HJO n n"-+oo n •

atunci sirul (Xn )nEN este divergent, nu are limita , limita sa nu exista si asta pen1irtlca reamintim

unicitatea limitei unui sir : daca un sir are limita aceasta este unica !!!

Exemplu :

- fie sirul (X n )nEN , xn = 2· (-1)n si subsirurile sale:

1. (X 2n )nEN , (X 2n )n~0 : xo , X 2 , X 4 , ... ,x2n ' ... ~ •

sau altfel sc~s (X2n )n~0: 2· (-1)0,2· (_1)2,2· (_1)4, O · {_1)2n , ...

sau altfel scns (X2n )n~0: 2· 1 , 2 . 1 , 2 . 1 , ... ,2 . 1 , ..0 ~

sau altfel scris (X2n )n~0: 2, 2 ,2 , ... ,2 , ... ~ ~

sau altfel scris (X2n+1)n~0:



lim ~liI'q) 2 . (_1)2n =2 iarn~oo n~oo

. ( = = > lim x2n ' * lim x2 n+1

..__ \ n -e oe n~oo

lim x2 n+1 = lim 2 . ( _1 )2n+1 = -2n~oo n~oo

= = > lim xn nu exista !! !n~oo

;;:.(2~~-~=..;;;; ....;;; .;;;;; ..;;;; ..;=.;;;;;; ..;=..;;;; .;;;; ..;;=;;.....,.;(x:; .;_nln_ENu are limita , atunci sirul (xn ln_EN ~ limita :

; a lim xnn~oo

daca un sir contine doua sau mai multe subsiruri care au aceeasi limita si oricare termen a 1

sirului este termen in eel putin unul din subsiruruile resRective , atunci sirul are limita si limita acestuia

.este egala cu limita comuna a subsiruruilor .

- W tI; tI ,s ',as s

se poate extrage un subsir (Xkn )nEN convergent.

Notiunea de subsir al unui sir



Elemente de Analiza Matematica - 1 -

Cap. Siruri. Limite de siruri - Alte operatii cu siruri convergente :1imita unei puteri

clasa a XI-a

- J!imita unei puleld se distribuie si bazei si exponentului .

< r 0•

(Cln)nEN" C l n > 0 , C l n -+ a , a > 0

- (X n )n E N " X n -+ X

convergente , atunci :

Fie sirurile :

Sa se calculeze limitele de siruri :

Observatii :

- am calculat limita folosindu-ne de faptul ca limita un~~port este limita termenilor de grad maxim iar daca numitorul

este mai mare decat numaratorullimita tinde spre zero pt n~ 00 .

- limita unei constante este egala cu acea consfaiita ;

2). I . ( ~ ) ~ : ~ : ~ ( I ' ~ ~ _ Y m n - . c o G : ~ : ~ ) ( ~ ) l i m G : ~ ) _ ( ~ ) l i m ( ~ ) _ ( ~ ) ~ _ ~ _ _ 1__

Imn~oo • -~"Vp'1 - • - • - • -.~ - ",..-1

= 23, f i

_ ( I ' ~ ) l i m G ) _ ( ~ ) ~ _ ~1- Imn~oo --

333

4n u ( 4n ) u ( 4 n )5) I· (n + 1 )2 n+ 3 - (I' n + 1 ) Im

n-.c o

2 n + 3 _ (I' ~)rm 2n - 12 - 1• Imn~oo - Imn~oo - Imn~oo --

n n n

Alte operatii cu siruri convergente :1Limita unei puteri




Cap. Siruri. Limite de siruri - Alte operatii cu siruri convergente : 2 Limita radicalului

clasa a XI-a

atunci :

~ -+ 'V i adiea

< r 0•

Daea: - (Xn)nEN" , Xn > 0 , Xn -+ X

- kE N , k? :.2

- £imita 1 Ul .d kab . , f .u ; este egala eu 1 U l.d ka lu llim iU i, .

./ dll II".lta , . " , . 1 radical 'lIzol"atll: ~ •

Sa se ealeuleze limitele de siruri : • U4n-2 ~nSr.;limn-HJO -- = lim- =~~,lim:2=v22n 2n

. J4n-21). hmn-HJO -- =2n

Observatii :

- am calculat limita folosindu-ne de faptul ca limita un~~port este limita termenilor de grad maxim iar daca numitorul

este mai mare decat numaratorullimita tinde spre zero pt n~ 00 •

- limita unei constante este egala cu acea consfaiita ;

2). lim 3n3

= ~lim~= 3~ = _2_ = Vi12n3 4 . . . j ' 4 V 4 2

3). limn-HJO. 2'Sn+3'6n

hmn-HJO S'3n+6n+1

,3n+n2 Hn2l i m-2- ( 1 ) I I m -24n +5 4n= -

2

3n+n2 I'- ( ) l mn2+5 = ~

5= 5'-5

= 3v32

= 3V2~ = 32

Alte operatii cu siruri convergente : 2 Limita radicalului




Cap. Siruri. Limite de siruri - Alte operatii cu siruri convergente : 3 Limita logaritmului

clasa a XI-a

< r 0•

Daea: - (Xn)nEI\! , xn > 0 , xn -+ X , X > 0

atunci :

adiea:

- J!imita ~ este egala eu f ug m t i l n ud tim ite i .

,/ d. 1;".;14 ",11",; 10 41;1". ,.%011/41. : ~.

Sa se ea1culeze limitele de siruri : • U1). lim n-HJO (log2 2n+l) = log2 (limn-HJO 2n+l) = lo g2 (I,imn-HJO2n) = log2 ( limn -HJO~) = = >

4n+2 4n+2 k 4n 2

Observatii :

- am calculat limita folosindu-ne de faptul ea limita unui raport este limita termenilor de grad maxim iar daca numitorul

este mai mare decat numaratorullimita tinde spiie zero pt n ~ 00

- limita unei constante este egala,cu ac~a>eonstanta ;

.A (ffn+ffn) ( . ffn+ffn) ( u ../3'.fii+'0/2'.fii)It n-+oo 10gs..;an. .J9ri = lo gs hmn-+oo ..;a n..J9 ri = log, hm..J8.fii.J9.fii = = = >

8n+ 9n 8n+ 9n 8· n+ 9· n

= '10 _ [ lim .f iio ( . ./ 3+ .. ;2 )] = 10 (lim ../3+'0/2)= 10 ../3+'0/2ss .fiio(2'0/2+3) g3 2'0/2+3 g32'0/2+3

. . (ffn+ffn) ../3+~= > Solutie : hmn-+oo logs ..;a n ., §i i = log, --;;;-

8n+ 9n 2v~+3

. (2n+ll

n+2

) (. 2n+ll

n+2

) (. lln'11

2) (. 112) 112

4). hmn-+oo Inn+2 n

= In hmn+2 n

= In hm--n-

= In hm - = In -2 == = >

S +4·11 n-+ooS +4·11 n-+oo 4·11 n-+oo 4 2

(11)2 11

= In " '2 = 2 . In " '2

. . (2n+ll

n+2

) 11= > Solutie : hmn-+oo In n+2 n = 2 In -

s +4'11 2

Alte operatii cu siruri convergente : 3 Limita logaritmului



o


Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata

-1- clasa a XI-a

- sirurile care nu sunt convergente Ie-am numit "btwd c l iu . e I t.g . e n te ;

- intre aceste siruri exista 0 categorie care au proprietati asemanatoare sirurilor convergente", siruri

crescatoare sau descrescatoare si nemarginite , care tind spre ±oo si a caror l imita exista .•

- din aceasta cauza introducem doua noi simboluri +00 si -0 0

- notam cu:

si numim aceasta multi me cbt.eapta « e a i a . iI u :I re ia ta .

- eIementui +00 se noteaza de obicei prin 00 si se Bumes.te i n f i n i t sau p e w in f in i t .

- eIementui -0 0 se numeste minus i n f in i t .

- m ultim ea numerelor reale

- t te hd ia d e tvtdine. de pe mul t im_e"F l] : J t inere ior reale, ~ se extinde Ia ~ astfeI:

(1) x < +00 , ( \ 1 : - x E } l R l .

- pentru orice a E ~ vom considera mu ltim ile :

(1) [-00, a) = {x E ~ I -00 :::;;x < a }

(2) (a, +00] = {x E ~ I a < x :::;;00 }

numite tot in te w .a f.e , .

Dreapta reala incheiata




Am definit dseapta IUUda itu:Iuiata ca multimea :

~ = ~ U { -o o , + o o }

-

O ptlla tl l la ra StiltS l i t lR { :

- nu se acorda nici un. 6eIM urmatoarelor o pe lU dii :

(1)

(2) O·(±oo)

(3)

(4) ~ ,in particularo

(5)

(6)

3. Aritmetica in dreapta reala incheiata - Operatii care nu au sens




Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata :1ritmetica in dreapta reala incheiata

(14) XOO

~ 00 ('9') X > 0 si x-oo ~ 0 , ('9') 0 < X < 1

(15) ooX ~ 00 , ('9') X> 0 si ooX ~ 0 , ('9') X < 0

(16) 0000 ~ 00 si 00-00 ~ 0

(17) si

(18) ; L ( + 00) ~ + 00 si 2 n + v c = 0 0 2 ~ - 00

logx 0 ~ +00 , ('9') 0 < X < 1 si logx 0 ~ -00 , ('9') X > 119) •(20) logx(+oo)~-oo, ('9')O<x<l si logx(+oo)~+oo ,

2. Aritmetica in dreapta reala incheiata - Operatii care au sens




Am definit dseapta IUUda itu:Iuiata ca multimea :

~ = ~ U { -o o , + o o }

-

O ptlla tl l la ra StiltS l i t lR { :

- nu se acorda nici un. 6eIM urmatoarelor o pe lU dii :

(1)

(2) O·(±oo)

(3)

(4) ~ ,in particularo

(5)

(6)

3. Aritmetica in dreapta reala incheiata - Operatii care nu au sens




,Am definit dseapta IUUda itu:Iuiata ca multimea :

~ = ~ U {-oo , +oo}

. / 1 " " 1 ; 1 1 1 1 ; " ID elli/datil a 1 4 1 1 1 4 1 pl4l1d : 1

- se numeste uecina t .a .U aQunctului a E ~ orice multime

astfel incat :

•~:

- multimea V a < P _ ,astfel incat :

+00 orice multime V ~ ~ astfel incat sa existe a E ~ cu

(c, + 00] ~ V

-00 orice multime W C ~ astfel incat sa existe P _ E ~ cu

[-oo,P) ~ W

- notam t I1 l. lh im e a ~ lui +00 prin: V-co .

4. Vecinatati pentru ± o o in ~




Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 5. Siruri divergente cu limita +00 in 'i

sirolui , excep.tand , eventual, un numar finit dintre ei :

(V) V E V00

existaaE

I f f i .astfel incat (ec, 00 ]

!;

V atunci 3na

E ~ cu n :> .~a ,

(V) n E ~ ,xn =n> a ,ceea ce arata ca in afara vecinatatii V se afla eel mult un numar fihit de termeni ai

sirului (Xn)nEN ,si xn E V . U '

(Xn)U_E_&Iare limita +00 daca orice vecinatate a lui +00

- scriem sirol care are limita +00 astfel: •lim xn = +00 sau lim xn = +00n~oo

7tlO,tllltlt I

= = > Xn > E

lim Yn = +00 = = > lim Xn = +00

n~oo n~oo

7tlO,tllltlt I

- orice sir crescator si nemarginit are limita +00 .

(1)

3( 2n 3) 2( 2 3 )

1. n3+2n-3 li n 1+n3-n3 li n 1+n2-n3 (+00)2(1+0-0) +00·1 +1m = 1m = 1m = = - - = 00

n+1 n( 1+~) (1+hl (1+0) 1(2)

5. Siruri divergente cu limita +00 in ~




Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 6. Siruri divergente cu limita -00in 'i

sirului , excep..tand, eventual, un numar finit dintre ei :

(V) V EVoo

exista f3 E ~ astfel incat[-00,

3 ) ~ V atunci 3 np E N cu n ~ npxn = -n < f3 ,ceea ce arata ca in afara vecinatatii V se afla eel mult un numar finit de termeni ai

sirului ( X n ) n EN " ,si X n E V . C J

( X n )U _E _& I are limita -00daca orice vecinatate a lui -00

- scriem sirul care are limita -00 astfel:

lim xn =-00 sau lim x n =-00n-+oo

7 , , 0 ' ' ' I I t ' ' I

= = > xn < -E

( X n h _E _& ! si ( y n h _ E _ N " ~dt::0=u=a=s=iru=n=·::; ---.

(V) n EN, sau n ;;:::no , no fixat, si :

lim Yn = -00 = = > lim x n = -00n-+oo n-+oo

7 , , 0 ' ' ' I I t ' ' I- orice sir descrescator si nemarginit are limita -00.

(1)

(2)3 2 3 . n3 ( 1+

2 n3-2. . . .3 ) . n 2 (1 + 2 .. ..2 -2 .. ..3 ) (+00)2(1+0-0) +00'1r _n_+_n_-_l=m n n = hm n n = = _- = -00

1m -3n+ 1 -3n (1 + -1-) (_3)(1+_1_) (-3)(1+0) -3-3 n -3n

6. Siruri divergente cu limita -00in ~




Cap. Siruri. Limite de siruri - Limita unui sir. Siruri convergente

- / 1 " " 1 ; 1 1 1 1 ; " II".lta Ie"lelsir : 1

- fie sirul ( C ln ) n O ! : o , nE N si it E ~ ,un sir de numere reale ;

-se spune ea sirul ( a n ) n E N " are timitn, it daea in oriee vecinatate a punctului it se afla toti termenii

sirului ineepand de la un anumit rang, sau altfel spus , eehivalent : in afara oriearei vecinatati a lui it

se afla eel mult un numar fin it de termeni ai sirului .

- se serie atunci :

limn-HlO C l n = it sau C l n -+ it pentru n-+ 00

- daea un sir de numere reale ~ timitn, atunci aeeasta este unica

•

- daea it E ~ si limn-HlO ~ = it atunci spunem ea sirul ( a n ) n E N " ~ ~ eatre it

- / I ! J ! ! I ! I t il l e O " " l 1 r, II ,, /a . ~7

Teorema ee urmeaza ne da un rezult~echivalent eu eel dat in definitia limitei unui sir eu ajutorul

vecinatatilor :

- sp'unem ea sirul ( a n ) n E N " este ~ la it ,unde it E ~ ,daea si numai daea orieare ar fi

= = ; ; . . ; ; ; ; . ; ; . . :;...;;;..;;;~;......;;;......;;.;se;;.._p'oateasi un rang ne, care depinde de E ,astfel ineat :

pentru oriee n~n e : : : : : : > I X n - x] < E

•

+00 sau -00 se numese "Vtwd ~ .

Limita unui sir . Siruri convergente




~o•

(Xn + Yn) are limita si : lim (Xn + Yn) = lim Xn + Jt~ i tn~oo n~oo.~

- limita sumei este egala cu suma limitelor , U- tinand cont de aritmetica din I f f i . putem rezuma prin tabelul de mai jos limita sumei a doua sirori :

~\

- ~

Ilim Xn I I lim Y n I I ~~ hm(xn +Yn)n~oo n~oon~oo -A-I

If

I~~l(/+00)=+00

I~f ~ . . I ~ f Y O O I

(/-00)=-00

I +oo~+oo I(+00 + (0) = +00

I " ' ~ I -00 I(-00 - (0) =-00. . ~.

~.+00 - 00

I ~ ·+00 -00ou are sens !!!

(2n+3 ) ( 2n+3) 2n(1+2....) (1+2....)

(1) lim -- - n3 = lim -- - (lim n3) = lim 2n - lim n3 = lim _____l!L - lim n3 =2n+1 2n+1 2n( 1 + 2 ~ ) ( 1 + 2 ~ )

1+0

= - - 00 = 1- 00 = -001+0

(2) lim(2n+2 + sn) = (lim 2n+2) + (lim S") = lim(2n , 22) + lim sn = (00 ' 4) + 00 = +00

3 3 4n(1-2....) 3 2 ( 1 - 2 . . . . )I, (4n-3 n) (I' 4n-3) (I' n) I' 4n I' n I' 4n1m ---- - Im-- - Im- - 1m - Im--- 1m -

2n+S n+7 - 2n+S n+7 - 2n( 1 + 2 ~ ) n( 1 + ~ ) - ( 1 + 2 ~ )3)

6, Operatii cu ± o o in ~ :ADUNAREA




Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 6. Operatii cu to o in 'i:DUNAREA

. n2 2(1-0) 00 2 00

-hm-- = ----- = --- = 2 - 00 =-00(1+~) (1+0) (1+0) 1 1

(4) lim [G)n + 3n-1] = [lim G)n] + (lim 3n-1) = lim G)n + lim(3n. 3-1) = 0 + lim (3n. D

= .!.·lim3n =.!.. 300

=.!.. (+00) = +00333

(5) lim [ ( i ) n - sn+2] = [lim ( D n] - (lim sn+2) = lim ( D n - lim(sn . 52) = 0 - lim(sn . 25)

= -25 -Iim S" = -25.500 = -25· (+00) = -00 0i E (0; 1) => (if _,0 pentru n_,00 , adica: liI11n~oo(if = (i~o

•Observatie :

(6) lim (...!!:.._ 2n) = (lim...!!:.._)- (lim 2n) = lim -( n 3 ) -lim 2n = li~{ ;) - (+00) = _(1 )-n+3 n+3 n 1+- IT-- 1+0n n

-00 = 1- 00 = -00

1

(7) lim (~+ G)n) = (limnn:2) + [lim G)n] = lim n(::~:l-CD ~ ) n = lim (1

n: f J+ lim G)n

(+00)' + (+00) = +00 + 00 = +00 + 00 = +00 ~ I \ . r : : , )(1+0) 1 ~~~

~ > 1 ~ G)n ~ +00 ,adica: limn~oo c r = G)OO= +00bservatie:

6. Operatii cu to o in ~ :ADUNAREA




- limita produsului este egala cu produsullimitelor .

- tinand cont de aritmetica din ~ p'utem rezuma p'rin tabelul de mai jos limita produsului a doua!,..

-00

+00

+00 +00

-00 -00

-00 +0000

± o o Nu are sens !!!

- nu se acorda nici un sens op'eratiilor :

O' (+00) si O' (-00)

- in acest caz al operatiilor fara sens care determina ~ d e ~ intalnite in calc, , ! , , / ;

fimiletwt, d e "Vtwd p'rodusul (xn .Yn) poate fi convergent sau divergent cu limita ±oo sau sa nu

admita limita .

6. Operatii cu ± o o in ~ : PRODUSUL




Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 6. Operatii cu to o in 'i:RODUSUL

(2n+3 ) ( 2n+3) 2n(1+~) (1+~)

(1) lim -_. n3 = lim -- . (lim n3) = lim 2n • lim n3 = lim ____l.!!:.... • lim n3 =2n+1 2n+1 2n( 1+2 ~ ) (1+ 2 ~ )

1+0= - . 00 = 1.00 = +001+0

(2)

( 3 ) 0n-3 4n-3 4n 1--(3) lim [_. (-3n2)] = (lim-). [lim(-3n2)] = lim 4n • [lim(-3n2)] =

2n+S 2n+S 2n(1+2~) ~3

2 1-- 2(1-0) 2= lim ( 4 n ) . [lime-3n2 )] = -_. ( - 0 0 ) = _. ( - 0 0 ) = 2· ( - 0 0 ) = -00

(1+2 ~ ) (1+0) 1 •

(4) limevn2 + 1 . 3n-1) = (lim Vn2 + 1) . (lim 3n-1) = lim Jn2 (1 + : 2 1 . lim(3n . 3-1) =

= lim [n . J (1 + :2) j . lim ( 3n. D = limn . lim J (1 + :2) . ~ lim-S"= (+ 00 ) . 1 .~ ( + 0 0 ) = +00

6. Operatii cu to o in ~ : PRODUSUL




(X n ) are limita si : lim ( Xn ) =!l~~n 0Yn n-H lO Yn im YC )-HlO

~ ~ - - - - - - - - - - ~ ~ - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ ~ ~- limita catului este egala cu catullimitelor . •

- tinand cont de aritmetica din

1'~'r e n )im xn

limy:~lim -

n-+oo n-+oo - n-+oo YnA._

I £*0 W I0-

I+00 .......~·>O

I+00

I ~"1 £<0I

-00

~

9 £>0I

-00

. . .

•

I

00 £<0 +00

± o o I I ± o o I I I Nu are sens !!! I0

I I0

I INu are sens !!! I

- in ~ operatiei ~ avem urmatoarele ~ :

(1) daca xn > 0 si limn-+oo xn = 0 ,atunci avem :

1lim xn = + 0 0 , adica : -- = + 0 0n-+oo " , ; . ; ; ; 0 . . .

6. Operatii cu ± o o in ~ : CATUL




Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 8. Operatii cu to o in 'i:ATUL

(2) daca Xn < 0 si limn-HJO Xn = 0 ,atunci avem :

1lim xn =-00 , adica : -- = -00n~oo _0

lim ( 2 n 1 )n 1+-

_~~n!:!._

lim2n(1)

(2)lim ~ = lim~ = lim n2(H~) = limn'H = limH = "HO=~___ ~n---, lim4n lim4n lim4n lim4 4 4

(3)

(5)

(6)

1

1 1. l+~n== --n =- = 0 si asta deoarecehmn(1+0) lim: +00

2n >n

6. Operatii cu to o in ~ : CATUL




dll O,d ;,. pa, : 1

~o•

- radicalul de ordin par exista daca si numai daca expresia de sub radical ~ 0 :.-

2 k _ J H(x) exista < = > H(x) ~ 0 , ('9') x E ~ si kEN" , k ~ 1~ - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~- astfel daca : ~ •

xn -+ + 0 0 atunci 2 " , j X ; ,_ -+ + 0 0 si lim 2 " , j X ; ,_ = + 0 0

·0-2 ' V + 0 0 = + o o ~

- in conc1uzie :

- daca:

,~

xn -+ - 0 0 atunci 2 " , j X ; ,_ = 2 V - 0 0 nu exista si lim 2 " , j X ; ,_ nu exista '"n-+oo

- radicalul de ordin impar exista indiferent de valorile pe care Ie ia expresia de sub radical :~ y

2 k + V H(x) exista ('9') H(x) E ~ , ('9') x E ~ si kEN" , k ~ 1

_ astfel daca: '\ • T

atunci 2 k + V X ; ; _ -+ + 0 0 si lim 2 k + V X ; ; _ = + 0 0n-+oo

atunci 2 k + V X ; ; _ -+ - 0 0 si lim 2 k + V X ; ; _ = - 0 0n-+oo

2 k + V + 0 0 si 2 k + V _ 0 0 = - 0 0

./ 1,;".;la Iad;eael4el4; : 1

- timita'tadkab.,lui este egala cu 'tadkaltd t.im iU i , adica :

lim ~ = mJlim xnn-+oo n-+oo

cu respectarea cazurilor de mai sus .

9. Operatii cu ± o o in ~ :RADICALI




Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 9. Operatii cu to o in 'i:AD/CALI

lim n2 ( 1 + 3n +.2:...)=n2 n2

1) lim V n2 + 3n + 1 = .Jlim ( n2 + 3n + 1) =n~oo

(2) lim V-n4 + 2n2 + 6n~oo

n ( 1 + ~ )lim ~ =

3n(1-3 n )·W , + 2m --

n~oo 3n-1I. n + 2Im--=3n-1

(3)

I. ~nm --=

n~oo n2

+7

I. SnIm--=

n2+7

(4)

l im( n l ) = v lim n = v+oo = +00

1+n2. . . . . . .-+0

9. Operatii cu to o in ~ :RAD/CALI



ElementedeAnalizaMatematica -1- clasa a XI-a

Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 10. Operatii cu ± o o in 'i:imita PUTERII

daca xnYn are sens (\1') nE N iar sirurile x n si ) In au limite ,finite sau infinite, si daca :

( )

lim Ynlim x n n ... .co

n-HJO

are sens , atunci sirul ( xnYn ) are limita si mai mult

- limita unei puteri se distribuie in baza si exponent .

- tinand cont de aritmetica din ~ putem rezuma prin tabelul de mai jos limita puterii astfel :

.. r,

lim x n r !; ~ ~ m (X n Yn )

= »-HJO n-HJO n-HJO

, - . . . . . _ _

F.I~~~I+00

0

Io<~~r:1+00I ~~ £>0

I+00

~ ·:00 £<0I

0

~

I+00 0

+00 +00I

+00

+00 -00I

0

0 0 I Nu are sens !!! I+00 0

INu are sens !!!

I1 +00 I Nu are sens !!! I

10. Operatii cu ± o o in ~ : Limita PUTER11



Elemente de Analiza Matematica - 2 - clasa a XI-a

Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata : 10. Operatii cu ± o o in 'i:imita PUTERII

lim n(H ~)

[ ( ) l

- ~ nlim (n+3) 2 ':;0 lim n

= ( lim 2 + n) n-+~ = lim n - + 1 = ( lim n) n-+~n~oo n~oo : ! ! ; , n~oo

~O

(1) lim (2 + n)n+3n~oo

2 + ~)~ = [ ! ~ I l J o( 2 + ~)] J!.~::3) = [ ! ~ I l J o( 2 + ~)] J!.~n(::~) =2)

= [ !~~2 + i ) l J ~ ~H i ) = ( 2 + O)(,~.)= 2 ' = 4

2n . ( 2 n ) r J2n

lim ( 5 - 2 : . ) n 2 + 3 = [ lim ( 5 _ 2 : . ) ] J~~n 2 + 3 = [ lim ( 5 _ 2 : . ) 1n; n - i ( 1+:2) =n~oo n n~oo n n~oo n~J

(3)

(4)

(5)

10. Operatii cu ± o o in ~ : Limita PUTER11




Cap. Siruri. Limite de siruri - Proprietatile limitei unui sir

- un sir convergent are 0 singura limita . ( unicitatea limitei )

P,opoziti. I

atunci

P,opoziti. I

daca

lim xn = Xi, atunci au loc : lim Xn-l = x , lim xn+l = x , lim Xn+k = x, (V ) k E N*,n-HJO no-+oo n--+oo n--+oo -

exista)

este nemarginit atunci el este divergent. (limita este egala cu ±oo sau nu

Proprietatile limitei unui sir



(1) lim (In ~n ) = In (lim ~n) = In [lim t n 3 )] = Inn~oo n +3 n~oo n +3 n~oo n2 1+2

n

lim ( 2 ) = In ( lim ~) =n~oo 3 n-e oe n

n 1+n2'--'....

Elemente deAnalizaMatematica -1- clasa a XI-a

Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata: 11.Operatii cu ± o o in 'i:imita LOGARITMULUI

O O l l " . I I t ; ; I

- in multimea dreap.ta reala incheiata ~ adoptam urmatoarele co . nomt i i

(1) log, 00 = +00 si log, 0 = -00 daca a > 1 ;

(2) log, 00 = -00 si log, 0 = +00 , daca a E (0; 1)

~o~.o

u aceste co . nomt i i adoptate avem urmatoarele caawd :

- daca xn > 0 si xn -+ 00 atunci log, Xn -+ {~------~---=~~==~~

•

- daca Xn > 0 si Xn -+ 0 atunci

= In (:) = In 0 = -00

(2) lim (IOg3~) = log , ( lim ~) = log , [lim ( 2 1 ) ] = log, lim

( n) 1 =

n~oo 3n+1 n~oo 3n+1 n~oo 3n 1+- n~oosn 3 1+..2:....

~....

= log , ( lim ~) = log , (~) = log , 00 = +00n~oo 3 3

11. Operatii cu ± o o in ~ : Limita LOGARITMULUI



Elemente de Analiza Matematica - 2 - clasa a XI-a

Cap. Siruri. Limite de siruri - Dreapta reala incheiata: 11.Operatii cu ± o o in 'i:imita LOGARITMULUI

. {4)!~~( 3 ) =

1+n2. . . . . . ,....

( 2 2 5 ) [ 2n2( 1 + - - ; ' ) ]= log2 lim n2+ = log2 lim 2n = log2n-HXl n +3 n~oo n2 (1+ :2)

(3) . ( 2n2+ 5 )hm log2-2-

n~oo n +3

[. 2(1+0)]= log2 hm -( -) = log2 2 = 1n~oo 1+0

( 4 )[

( 3 )]n+3 2n+3 2n 1+-

lim (log~ -2-) = log; ( lim -2-) = log; lim ( 2;-) = log;n~oo 2n +1 2 n~oo n +1 2 n~oo n2 1+2 2

n

= log; ( lim ~) = log; (~) = log; 0 = +002 n~oo n 2 00 2

(5)

= log 1[lim 2 . ] = log 12 . = 1 ,10 n~oo 10 10 10

11. Operatii cu ± o o in ~ : Limita LOGARITMULUI




Cap. Siruri. Limite de siruri - Proprietatile limitei unui sir

r ' - - , - - . . > . : . ( x - , - - , - n , ) n _ E N e st e conver gent , X n -+ x si X n ~ 0 , (V ) nE ~ ,a tunci si limita x este

lim X n = x > 0n~oo

- limita unui sir conv ergent cu termenii p 'o z it iv i e st e p 'o z it iv a

t - _ .. " ,( x . . .. _ . -' ) .._ n ,_ E Ns te conver gent , x n -+ x si x n < 0 , (V ) nE ~ ,a tunci si limita x este

lim x n = x < 0n~oo

- daca sirul ( X n )n E N ~ converg~e~n:.::.t-- '.,. : x ; : : Jn l l - - + . ; . . . . : : : x : : . . . . . . : ; s ~ i.::x.::....::;>.....:;:O~.::.:;,:~~~~~~;:.."'-oc....:.:::_u_....;=-:..::....:a

(V ) n ~ no avem x n > 0

< r 0•

- limita unui sir conv ergent cu termenii n ega tiv i este n ega tiv a

- daca sirul ( X n ) n E N e st e conver gent , x n -+ x si x < 0 ,a tunci exista un rang no E ~ astfel

inca t (V ) n ~ no avem x n < 0 . •

~~

~q}~e;

~q}

~.~

Proprietatile limitei unui sir




Cap. Siruri. Limite de siruri - Siruri convergente la zero-1- clasa a XI-a

7t lO't l l l ta I

- daca sirul (Xn)neN ~ convergent, xn - - + X ,atunci sirul (Xn)neN se poate reprezenta sub

'fprma:

Xn= + Yn unde Yn - - + 0

(Xn)neN ,are urmatoarea reprezentare :

Xn - - + X , lim xn =n-+oo

' ,op,i t l tat t la 1I •

n-+oo xn

(1) li 1?Imn-+oo 2n2+3 =.

- observam ca sirul xn = 2n2 + 3 are proprietatile :

*). xn > 0 , ('9') nE ~ ,

**). (Xn)neN este strict crescator x « < Xk+l, 2k2 + 3 < 2(k + 1)2 + 3 , ('9') k E ~

= = >1 1-=-----+0Xn 2n2+3

1 1lim =-= 0n-+oo 2n2 + 3 +00

- observam ca sirul xn = 3n + 2 are proprietatile :

*). xn > 0 , ('9') nE ~ ,

**). (Xn)neN este strict crescator Xk < Xk+l, 3k + 2 < 3k+1 + 2 = 3k . 3 + 2 , ('9') k E ~

1 1

= = > sirul (Xn)neN este nemarginit = = > xn = 3n + 2 - - + +00 = = > - = -- ---+0Xn 3n+2

1 1lim =-= 0n-+oo 3 n + 2 +00





Cap. Siruri. Limite de siruri - Siruri convergente la zeroclasa a XI-a2-

P,op,i.tat.a 2I

- daca avem sirurile (xn)neN" , (Yn)neN",convergente la zero, X n -+ 0 , Yn -+ 0 si it E ~* , it

o constanta reala diferita de zero, atunci :

1). X n + Yn -+ 0 , limn-HlO (xn + Yn ) = 0 - suma a doua siruri convergente la zero este un Sili

convergent la zero .

Observatie :

- suma unui numar finit de siruri convergente la zero este un sir convergent la zero.

- limita sumei este egala cu suma limite lor = = >

lim (x n + Yn ) = lim x n + lim Yn = 0 + 0 = 0n~oo n~oo n~oo

2). it· x n -+ 0 , limn~oo(it . x n ) = 0 - Qrodusul dintre 0 constanta si un sir convergent la zero

.esteun sir convergent la zero.

Observatie :

- 0 constanta iese in fata limitei: limn~oo(it .x n ) = it . limn~oo x n

- in acest caz avem :

3). X n ' Yn -+ 0 , limn~oo (X n . Y n ) = 0

convergent la zero .

•lim (it .X n ) = it· lim X n = it .n~oo n~oo

•

Observatie :- un produs finit de siruri convergente la zero este un sir convergent la zero'

- limita p'rodusului este p'rodusullimitelor = = >

= lim x n . lim Yn = 0 . 0 = 0n~oo n~oo

e Xlllc ;t; ; P 'OP " 'S II S ; ,"zoI"atl :

- consideram sirurile: x n = 2n si Yn = 3n care au proprietatile :

*). x n > 0 , Yn > 0 , (\1') nEN,

**). (xn)neN" si (Yn)neN"sunt strict crescatoare si avem :

a). X k < X k+ l , 2 k < 2 (k + 1) , (\1') k E N , = = >

1 1lim-=-=O

n~oo2n +00

b). Yk < Yk+ l , 3 k < 3 (k + 1) , (\1') k E N , = = >

= = > sirul (Yn)neN"este nemarginit = = > Yn = 3n -+ +00





Cap. Siruri. Limite de siruri - Siruri convergente la zero-3- clasa a XI-a

1 1lim-=-=On-HlO 3n +00

Din cele expuse mai sus si din subpunctele a) si b) avem:

(1 1) 1 1

lim -2 + -3 = lim-2 + lim-3 = 0+ 0= 0n-HlO n n n-HlO n n-HlO n

(2) limn-HlO (n2~2n) =1

- consideram sirurile: xn =n2 si Yn = 2n care au proprietatile :

*). xn > 0 , Yn > 0 , (\7') nEN,

**). (Xn)neN si (Yn)neN sunt strict crescatoare si avem :

a). Xk < Xk+l , k2 < (k + 1)2 , (\7') kE N , ~

< r 0.cv

[(2 5 1) (3 7 1 )]lim -+-+_ . - -- -

n-HlO n n2 sn n3 + 1 (n + 1)2 2n -

= [lim (~+ ~ + 2 _ ) ] . [lim ( 3 - 7 - 2 _ ) ] = (0+ 0+ 0) . (0- 0- 0) = 0. 0= 0n~oo n n2 sn n~oo n3 + 1 (n + 1)2 2n

1 1lim-=-=On~oon2 +00

b) Y < Y 2k < 2k+l = 2k . 2k k+l , , (\7') kE N , ~

~ sirul (Yn)neN este nemarginit ~ Yn = 2n-- + +00

- folosindu-nefde cele invatate anterior observam ca~

2 5 1 3 7 1avem: - - - + 0 - - - + 0 - - - + 0 -- - - + 0 -- - - + 0 - - - + 0 ~

n ' n2 ' sn ' n3+1 ' (n+l)2 ' 2n





Cap. Siruri. Limite de siruri - Siruri convergente la zeroclasa a XI-a4 -

P,op,i.tat.a aI

- produsul dintre un sir marginit si un sir convergent la zero este un " l! t. ~ fa .uw. .

- astfel daca avem doua siruri (Xn)neN , (Yn)neN cu proprietatile :

(1) sirul (Xn)neN este marginit , adica exista numerele reale a, b E ~ astfel incat :

a :::;;n :: :; ;b , (\7') nE N

(2) sirul (Yn)neN convergent la zero, Yn -+ 0

Atunci :

(X n . Yn ) -+ 0, lim (x n . Yn ) = (lim X n ) · (lim Yn ) = (lim X n ) ·0= 0n-HXl n-+oo n-+oo n-+oo

< r0

•e Xlllc ;t; ; P 'OP " 'S II S ; ,"zoI"atl :

(1) limn-+oo [2~ . sin ( ~ 7 r ) ]=?

- consideram sirurile: x n = 2n si Y n = sin ( : n ) care au proprietatile, 01). x n > 0 , (\7') n EN, (Xn)neN sir strict crescator cu valori stFkt pozitive

X k < X k+ l , 2 k < 2 (k + 1) , (\7') k E N , ~ sirul (Xn )n~ t~ nemarginit ~

~ xn = 2n -+ + 0 0 ~ 2 : . . . = 2 : . . . ---+ 0 • r\Xn 2n ~\wI

2). sirul Yn = sin ( ~ 7 r ) [-1; 1] , deoarece stirn din c1asele

E [-1; 1] , (\7') a E ~

[1 ( n 1 r

lim -·sin -n-+oo 2n 3

r(2) limn-+oo [ : 3 . (~sin ~ 3 cos n ) ] =?

- considera~ Z,l1\ : x n = n3 si Yn = 2 sin n + 3 cos n care au proprietatile :

1). x n > 0 , (\7') n EN, (Xn)neN sir strict crescator cu valori strict pozitive

X k < X k+ l , k3 < (k + 1)3 , (\7') k E N , ~ sirul (Xn)neN este nemarginit ~

1 1lim-=-=On-+oon3 + 0 0

2). sirul Yn = 2 sin n + 3 cos n ,sir marginit , deoarece stirn din c1asele anterioare ca valorile

functiilor trigonometrice directe sin a ,cos a E [-1; 1] ,(\7') a E ~

Din cele expuse mai sus si din subpunctele 1) si 2) avem:

lim [ \ . (2 sin n + 3 cos n ) ] = (lim \). [lim (2 sin n + 3 cos n ) ] =~oon ~oon ~oo

o . [lim (2 sin n + 3 cos n ) ] = 0n-+oo


Documents

Limite de siruri