Limit Esl Arson

5/8/2018 Limit Esl Arson

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a) Estimar la longitud de la curva hallando la distanciaentre sus extremos, como muestra la primera figura.

b) Estimar la longitud de la curva hallando las longi-tudes de los cuatro segmentos de la segunda figura.

C O N T E N I D O I n tr o du cc i 6 n a l o s l im i t e s

L im i t e s q ue n o e x is t e n D e f i n ic i6 n f o rm a l d e l i m i t e

limj(x)=3,-I .3)

y

-2 -1

F I G U R A 1 . 5E I l f m i t e d e f ( x ) c u a n d o x t i e n d e a I e s 3 .

c) Describir c6mo podrfa continuarse este procesopara obtener una estimaci6n mas precisa de la lon-gitud de Ia curva.

1 . 2C a l c u l o d e l i m i te s g r a f i c a y n u m e r i c a m e n t e

I n t r o d u c c i 6 n a l o s l i m i t e sSupongamos que se nos pide dibujar la grafica de la funci6n f dada por

x3 - If(x) = - - , x # 1x-I

Para todos los valores distintos de x = I, es posible emplear las tecnicas usualesde representaci6n de curvas. Sin embargo, en x = I, no esta claro que esperar.Para obtener una idea del comportamiento de Ia grafica de f cerca de x = I, sepueden usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime a I por laizquierda y otro que 10 haga por la derecha, como ilustra la tabla.

x 0,75 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25I(x) 2,313 2,710 2,970 2,997 ? 3,003 3,030 3,310 3,813

Al representar la funci6n, parece que la grafica de f es una parabola con unhueco en el punto (l,3), como muestra la Figura 1.5. A pesar de que x no puedeser igual a I,podemos acercarnos arbitrariamente a I y, como resultado,f(x) seacerca arbitrariamente a 3. En notaci6n de lfrnites, se escribe

lim f(x) = 3x~l Esto se lee el limite de f(x) cuando x tiende a I es 3

Esta discusi6n conduce a una descripci6n informal de limite. Sif(x) se acercaarbitrariamente a un mimero L cuando x tiende a c por cualquiera de los doslados, entonces ellimite de f(x), cuando x tiende a c, es 1. Esto se escribe

lim f(x) = Lx~c


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56 C a p i t u l o I

v

--IIim-x-=2,-"vi+! 1

F IG U R A 1 . 6E l l f m i te d e f (x ) c u a n d o x t i e n d e a 0 e s 2 .

L i m i t e s y s u s p r o p ie d a d e s

E JE M P L O 1 E s t i m a ci 6 n n u m e r i c a d e u n l i m i t e

Evaluar la funci6nf(x) = x/(~ - I) en varios puntos cerca de x = 0 y usarel resultado para estimar el limite

Ifm xx~o~ -1

S o l u c i 6 n : La siguiente tabla recoge los valores def(x) para diversos valores de xcerca de O.

x -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01f(x) 1,9950 1,9995 1,9999 ? 2,0001 2,0005 2,0050

A partir de los datos de la tabla, se puede estimar que ellfmite es 2, resulta-do que se ve confirmado por la grafica de f (vease Figura l.6). D

Hasta ahora, en esta seccion, hemos estimado limites numeric a y grafica-mente. Cada uno de estos procedimientos produce un valor aproximado dellfmite. En la Secci6n 1.3, se estudiaran tecnicas analfticas para evaluar lfmites.A 10 largo del curso, intente desarrollar el habito de aplicar el siguiente enfo-que de tres puntos a la resoluci6n de problemas.


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S e cc i6 n 1 .2

y

--+-_-----if---xIlimf(x) =I,-2

2

F IG U R A 1 . 7E l l i m i te d e f ( x ) c u a n d o x t i e n d e a 2 e s I.

F IG U R A 1 . 8li m f (x ) n o e x is te .X ~O

C a J c ul o d e l f m i t e s g r 8 f i c a y n u m e r i c a m e n t e 57

1. Procedimiento numerico2. Procedimiento grafico3. Procedimiento analftico

Construya una tabla de valores.Dibuje una grafica, a mana 0 con una calculadora.Utilice el Algebra 0 el Calculo,

I N o t a . Observemos que la funci6n del Ejemplo I no e s t a definida en x = 0 y, a pesar deello, la funci6n parece tender a un limite cuando x tiende a O . Esto ocurre a menudo, y esimportante darse cuenta de que el que exista 0 no I (x) en x = c no guarda relaci6n con laexistencia del limite de I(x) cuando x tiende a c.

E J E M P L O 2 C d lc u lo d e u n l f m i t eJ-Iallar ellfmite de f(x) cuando x tiende a 2, donde f se define como

{I,f(x) = 0,x i= 2x=2

S o l u c i o n : Dado que f (x) = 1 para todos los x distintos de x = 2, se puede concluirque el limite es 1, como se muestra en la Figura 1.7. Por tanto, podemosescribir

lim f(x) = 1x~2

El hecho de que f (2) = no influye en la existencia ni en el valor del limitecuando x tiende a 2. Por ejemplo, si se hubiera definido la funcion como{I,f(x) = 2,

x i= 2x=2

el limite seria el mismo. oL im ite s q ue n o ex is tenEn los proximos tres ejemplos se examinaran algunos lfmites que no existen.

E J E M P L O 3 C o m p o r t a m i e n t o d i f e r e n t e p o r l a d e r e ch a y p o r l a i z q u ie r d aDemostrar que el siguiente lfmite no existe.

I' [z ]Imx-o XS o i u c i m : Consideremos la grafica de la funcion j(x) = Ixllx. En la Figura 1.8,puede verse que para los valores de x positivos

1 . : : 1 = 1, x> x


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58 C a p it u lo I

v

F IG U R A 1 . 9li m f ( x ) n o e x is te .X - - ' O

F IG U R A 1 .1 0li m f ( x ) n o e x is te .,~O

L f m i t e s y s u s p r o p ie d a d e s

mientras que para los negativos~=-1, x c Ox

Esto significa que, independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirantanto valores de x positivos como negativos que daran f(x) = 1 y f(x) = -1.Concretamente, si ~ es un mimero positivo, para los x que satisfacen la desi-gualdad 0 < [x] < ~, los valores de Ixl/x se pueden clasificar como sigue.

(-~, 0) (0, ~)

Esto implica que el limite no existe. oE J E M P L O 4 C o m p o r ta m i e n t o n o a c o ta d oDiscutir la existencia del limite

1lim 2"x ...... xS o l u c u m : Seaf(x) = l/x2. En la Figura 1.9, puede verse que cuando x tiende a 0tanto por la derecha como por la izquierda, f(x) crece sin cota. Esto quieredecir que, eligiendo x suficientemente proximo a 0, se puede lograr que f seatan grande como se quiera. Por ejemplo,f(x) sera mayor que 100 si elegimosvalores de x que esten a menos de 1/10 de O. Esto es,

1 I0< [x ] < - = fex) = 2" > 10010 xAnalogamente, se puede obligar a f a ser mayor que 1.000.000 como sigue:

1 10< [ x ] < ~- = f(x) = 2" > 1.000.0001.000 xComof(x) no se aproxima a ningun mimero real cuando x tiende a 0, podemosconcluir que el Iimite no existe. 0E J E M P L O 5 C o m p o r ta m i e n to o s c i l a n te

1Discutir la existencia del limite lim sen -.x-+O X

S o l u c i a n : Seaf(x) = = 'sen (lIx). En Ia Figura 1.10, puede verse que, cuando x tiendea O,f(x) oscila entre -1 y 1. Por consiguiente, ellimite no existe puesto que, porpequefio que se elija ~, siempre es posible escoger Xl y Xz que disten menos de ~unidades de 0 tales que sen (l/xl) = IYsen (l/xz ) = I,omo indica la tabla.


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S e c c i o n 1 . 2 C ii 1 c u 10 d e l im it e s g ni J i c a y n u m e r i c a m e n t e 5

2 2 2 2 2 2x - - - - - - x--->Ott 3n Sn 7n 9n IIn1sen - I -1 1 -1 I -I EI lirnite no existex D

Existen muchas otras funciones interesantes que presentan comportamientosno usuales en 10que se refiere a los limites. Una que se cita con frecuencia es lfuncion de Dirichlet

{ a ,f(x) = I, si x es racionalsi x es irracionalEsta funcion carece de limite en cualquier ruimero real c.

D e fin ic io n fo rm a l d e lim i teExaminemos nuevamente la descripci6n informal de limite. Si f (x) se acercarbitrariamente a un mimero L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dolados, decimos que el limite de f(x) cuando x tiende aces L, y escribimos

limf(x) = Lx r+c

A primera vista, esta descripcion parece muy tecnica. No obstante, la llamamosinformal porque aiin tenemos que dotar de un significado preciso a las frase

f(x) se acerca arbitrariamente a Ly

x tiende a c.


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60 C a p i t u l o 1

L +EL

L- E

F IG U R A 1 .1 2L a d e f in i c i o n - b d e l l i m i t e d e f ( x )

c u a n d o x t i e n d e a c .


La primera persona en asignar un significado matematico riguroso a estasdos frases fue Augustin-Louis Cauchy. Su definicion -1) de limite es la que seusa hoy de forma estandar,

En la Figura 1.12, sea 8 un mimero positivo (pequefio). Entonces, la frase


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S e cc i6 n 1 .2

v= 1,01y~ 1r= 0,99x ~ 2,995y x~3x= 3,005

-I

-2

F I G U R A 1 . 1 3E l l f m i t e d e f ( x ) c u a n d o x t i e n d e a 3 e s I.

C a l cu 1 a d e l im i te s g n if i ca y n u m e r i c a m e n t e 61

E J E M P L O 6 D e te rm i n a c i o n d e J p a r a u n " d a d oDado el limite

lim (2x - 5) = 1x~3hallar 6 tal que I (2x - 5) - 11 < 0,oI siempre que 0 < [x - 31 < 6.S o / u c i o n : En este problema se trabaja con un valor dado de 8, 8 = 0,01. Paraencontrar un 6 apropiado, observemos que

1(2x - 5 ) - 11 = 12x - 61 = 21x - 31

Como la desigualdad 1(2x - 5 ) - 11 < 0,01 es equivalente a 21x - 31 < 0 ,Q1podemos escoger 6 = 1 /2 (0 ,0 1) = 0,005, Esta eleccion funciona porqueo < Ix - 31 < 0,005

implica queI (2x - 5) - 11 = 21x - 31 < 2(0,005) = 0,01

como muestra la Figura 1.13. oI N o t a . Observese que, en el Ejemplo 6 , 0,005 es el mayor valor de b que garantiza queI(2x - 5) - 11< 0,01 siempre que 0 < I x - 31 < b. Cualquier valor positivo menor para bes igualmente valido.

En el Ejemplo 6, se ha hallado un valor de 6 para un B dado. Esto nodemuestra la existencia dellfmite. Para hacerlo, debemos probar que es posibleencontrar un 6 para cualquier B, como enseiia el proximo ejemplo.

E J E M P L O 7 A p li c a c io n d e / a d e fi n ic i o n " .J d e l i m i teUsar la definicion B - 6 de limite para demostrar que

lim (3x - 2) = 4x~2S o / u c i o n : Debemos probar que para todo 8 > 0 dado, existe un 6 > 0 tal quef{3x - 2) - 41 < B siempre que 0 < Ix - 21 < 6. Puesto que la eleccion de bdepende de B, es necesario establecer una relacion entre los valores absolutos1(3x - 2 ) - 41 Y Ix - 21

1 (3x - 2 ) - 41 = 13x - 61 = 31x - 21


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62 C a p i t u l o I

4

~2+"~2

x~ 2 "

F IG U R A 1 .1 4E l l i m i t e d e f i x ) c u a n d o x t i e n d e a 2 e s 4 ,

(2 + 0 ) 2

4(2 el)24 -E

F IG U R A l i SE l l i m i t e d e I ( x ) c u a n d o x t i e n d e a 2 e s 4 ,

E je rc ic io s d e la S ecci6 n 1.2


As f pues, para cada 8> 0 dado, podemos tomar 6 = 813. Esta elecci6n funcionaporque

implica que

80< [ x - 2 1 < 6 =-3

1 ( 3 x - 2 ) - 4 1 = 3 1 x - 2 1 < 3 G ) = I:como muestra la Figura 1.14. oE J E M P L O 8 A p l i c a c i 6 n d e l a d e fi n ic io n f : - 6 d e l f m i t eUsar la definici6n B-() de Ifmite para demostrar que

lfrn x2 = 4x--t2S o l u c i 6 n : Debemos probar que para todo 8 > 0, existe un 6 > 0 tal que

I x 2 - 4 1 < 8 cuando 0 < [x - 2 1 < (jPara encontrar un b apropiado, comencemos por escribir I x 2 - 4 1 = [x - 2 1 1 x + 2 i .Para todo x del intervalo (1,3), sabemos que [x + 2 1 < 5. Por tanto, tomando (iguaJ al mfnimo entre c:!5y 1, resulta que, si 0 < [x - 2 1 < 6, se tiene que

I x 2 - 4 1 = [ x - 2 1 1 x + 2 1 < G } 5 ) = 8como se muestra en la Figura 1.15. o

A 10 largo de este capitulo, utilizara la definici6n 8-6 de limite fund amen-talmente para demostrar teoremas sobre limites y para establecer la existenciao no existencia de tipos particulares de limites. Para calcular lfrnites, veremostccnicas mas scncillas dc mancjar que la definici6n 8-6.

1. Un modelo matematico EI coste de una llamada tele-f6nica entre dos ciudades es de $ 0,75 par el primerminuto y $ 0,50 par cada minuto adicional. Una f6rmu-la para el coste es

e(t) = 0,75 - 0,50[-(t - I)]donde t es el tiempo en minutos.(Nota: [x] = mayor entero n tal que n ,,; x. Por ejem-plo, [3,2] = 3 y [-1.6] = -2.)

a) Usando una calculadora grafica, representar lfunci6n de coste para 0 < t ,,; 5.

b) Utilizar la grafica para completar la siguiente tablay observar el comportamiento de la funci6n cuan-do t tiende a 3,5. Hallar lim C(t).

1~3.5

! c ! 3 ! 3 , 3 ! 3 . 4 ! 3 ; ' ! 3 , 6 ! 3 , ' ! 4


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E je r ci c io s d e 1 a S e c ci 6n 1 .2

c) Utilizar la grafica para completar la siguiente tablay observar el comportamiento de la funci6n cuan-do t tiende a 3.

(,Existe el limite cuando t tiende a 3? Explicar larespuesta.

2. Redaccion Describir brevemente, por escrito, el sig-nificado de la notaci6n

lim f(x) = 25x~8

En los Ejercicios 3-10, completar la tabla y usar el resultadopara estimar el limite. Puede representarse la funcion en lacalculadora para confirmar la respuesta.

x-23. lim -2c----x~2 x - X - 2

x , 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f(x)

x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f(x)

5. ylx+3-j3Ifm -'------'---x - - - + O x

x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 1,0f(x)

6. ~-2x+3IfmX - - . - j o -3

x -3,1 -3,01 -3,001 -2,999 -2,99 -2,9f(x)

63

7. [I/(x + I)J - (1/4)limx~3 X - 3

x 2,9 2,99 2,999 3,001 s . o : 3,1f(x)

8. [x /ex + I)J - (4/5)limx~4 X - 4x 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1f(x)

9. lim sen xx - - -> O X

x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f(x)

10. lim cos x - Ix - - -+ O X

x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1f(x)

En los Ejercicios 11-20, usar la grafica para hallar el Ifmite(si existe).11. lim (4-x)

x---t312. lim (x2 + 2)

x~1 WIi . I.. t ~~i~~ ,,-. * '" XI-21 I 2

13. lim f(x) 14. lim f(x)x~l_.. 2

{4 - x, x#.2f(x) = o x = 2 {

X2 + 2, x #.lex) =. 1 x =."


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64

IS. ' Ix - 51hm ---x-5 x-5

y

it21 0--- X67 8 9-2-3-4

17. lim tg xx-n/2

19. lim cos-x-a x

C a p i t u l o I L i m i t e s y s u s p r o p ie d a d e s16. lim

x-3 X - 3y

18. lim sec xx-ay\j)

xIt ~2 2

20. lim sen ttxx-l

y

x

En los Ejercicios 21-24, calcular ellfmite L.Despues, hallarun 1 5 > 0 tal que I f ( x ) - L I < 0,01 siempre que 0 < Ix - c] < b .21. lim (3x + 2) 22. lim (4 - ::)

x---+2 x-+4 223. lim (x2 - 3) 24. Ifm (x2 + 4)

x-2 x-5

En los Ejercicios 25-36, ca1cular ellfmite L.Despues, usar ladefinici6n , S - b para demostrar que el Ifmite es L.25. lim (x + 3) 26. lim (2x + 5)

x-2 x-+ - 3

27. lim (1/2 x-I) 28. lim (2/3 x + 9)x-+ -4 x-l

29. lim 3 30. lim (-I)x-6 x-2

31. lim$ 32. lfrn J xx-o x-4

33. lim Ix - 21 34. Ifm Ix - 31x-+ - 2 x-3

35. lim (x2 + 1) 36. lim (x2 + 3x)x-l x-+ - 3

Redacci6n En los Ejercicios 37-40, represente la funci6ncon una calculadora y estime ellimite (si existe). i,Cmil es eldominic de la funci6n? i,Puede detectar un posible peligro enla determinaci6n del dominio mediante un mero analisis dela grafica que genera la ca1culadora? Escriba unas lineasacerca de la importancia de examinar una funci6n analitica-mente adernas de hacerlo graficamente.

Jx+5 - 337. f(x) = -'------x-4 x-338. f(x) = -;0---- 4x + 3lim f(x)x-3

x-9 x-339. f (x) = - :; ;; -- - 40. f(x)=~x-3 x -limf(x) lim f(x)x-9 x-3

41. Andlisis grdfico La afirmaci6nx2 - 4lfrn-=4

x-2 x - 2significa que a cada S > 0 le corresponde un 1 5 > 0 talque si 0 < Ix - 21 < 1 5 , entonces

Ix2 4 I--4


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S e c c i 6 n 1 .3 C a J c u lo a n a lf ti co d e l fm i t es 6546. Si limf(x) = L, entoncesf(c) = Lx-ec 49. Demostrar que si existe el lfmite de f(x) cuando x - - - > c,ese lfrnite debe ser iinico. [Ayuda: Tomar47. Programacion En una calculadora programable, es-

criba un programa que estime limf(x) = L, Y limf(x) = L2x= c x-v clim f(x)x -ec y probar que L; = L2]50. Consideremos la recta f(x) = mx + b, donde m #- O .

Aplicando la definicion e-b de limite, demostrar queSuponga que el programa solo se aplicara a funcionescuyo limite cuando x tiende a c existe. [Ayuda: Haga.Y 1 = f(x) y genere dos listas cuyas entradas formen lospares ordenados

lim f(x) = me + bx~c

51. Demostrar que(c [0,1]", [tc [0,1]" lim f(x) = Lx~c

para n = 0, 1,2,3 Y 4.]48. Utilizando el programa creado en el Ejercicio 47, esti-mar el limite

es equivalente alim [f(x) - L] = 0

lim ----x2 - X - 1252. Consideremos la funcion j'(r) = (1 + X)l/x. Estimar el

limite lfrn (1 + X)l/x evaluando f en valores de x proxi-x~ox~4 X - 4 mos a O. Esbozar la grafica de f

1.3C O N T E N I D O

P ro p i e d a d es d e l o s l f m i t e s E s t r a te gi a p ar a e l c a l c u l o d e ! f m i te s

I ec n ic a s d e c a nc e la c i6 n y d e r a c i o n a li z ac i6 n T e o re m a d el e n ca j e

C alc ulo an alftic o d e lim i te s

P ro pie dade s d e lo s lim itesEn la Secci6n 1.2, vimos que ellimite def(x) cuando x tiende a c no dependedel valor defen x = c. Puede ocurrir, no obstante, que este limite seaf(c). Enestos casos, se puede evaluar el limite por sustitucion directa. Esto es,

limf(x) = f(c)x-e c

Sustituir x por c

Las funciones con este buen comportamiento se dicen continuas en c. En laSecci6n 1.4, se examinara con mas detalle este concepto.


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66 C a p i t u l o 1 U m i t e s y s u s p r o p ie d a d es

E JE M P L O 1 E v a lu a c i 6 n d e l f m i t e s b li s i c o s

a) Ifm 3 = 3x~2

c) lfrn x2 = 22 = 4x~2

D) lim x = -4x--+ -4

I N o t a . Cuando encuentre nuevas notaciones 0 sfmbolos en Maternaticas, asegiirese deque sabe como se leen. Par ejemplo, ellimite del Ejemplo Ie) se lee el limite de x2cuando x tiende a 2 es 4.

E J E M P L O 2 E ll f m i t e d e u n p o l i n o m io

lim (4x2 + 3) = lim 4x2 + lim 3x r+Z x r+Z x-2 Propiedad 2= 4(Ifm X 2 ) + lirn 3x-2 x--+2 Propiedad 1

Ejemplo 1Simplificar D

Observemos que, en el Ejemplo 2, el limite (cuando x -> 2) de la funci6npolin6mica p(x) = 4x2 + 3 es simplemente el valor de p en x = 2.

lim p(x) = p(2) = 4(22) + 3 = 19x~2

Esta propiedad de sustitucion directa cs valida para todas las funciones polino-micas y todas las racionales cuyos denominadores no se anulen en el puntoconsiderado.


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-S e c c i 6 n J. 3 O il c uJ o a na lf t i c o d e J [m i te s 67

E J E M P L O 3 L im i t e d e u n a J u n c i a n r a c i o n a lx2 + x + 2Hallar el limite lim ----

.x r+ 1 X + 1S o l u c i a n : Puesto que el denominador no es 0 cuando x =, se puede aplicar elTeorema 1.3 para obtener

x2 + X + 2lim----x~ 1 X + J

]2+1+2 4----=-=21 + 1 2 DLas funciones polinomicas y racionales constituyen dos de los tres tipos

basicos de funciones aJgebraicas. EI proximo teorema concierne al limite deltercer tipo de funcion algebraica, aquella en la que interviene una rafz.

EI siguiente teorema extendera notablemente su capacidad de evaluar limi-tes, ya que muestra como tratar el limite de una funcion compuesta.


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68 C a p i t u l o I L i m i t e s y s u s p r o p ie d a d e sE J E M P L O 4 L im i t e d e u n a f u n c i 6 n c o m p u e s t a

a) De

Ifm (x2 + 4) = 02 + 4 = 4 Y Ifm J x = 2x~o x-4se sigue que

Ifm y?+4 = J4 = 2x~ob) De

Ifm (2x2 - 10) = 2(32) - 10 = 8 y lim i f x = 2x-3 x-8

se sigue que

Ifm .y2x2 - 10 = 18 = 2x~3 oSe ha visto que los Ifmites de much as funciones algebraicas se pueden

calcular por sustituci6n directa. Cada una de las seis funciones trigonometric asbasicas tambien posee esta deseable propiedad, como establece el siguienteteorema (presentado sin demostraci6n).

E J E M P L O 5 L i m i t e s d e f u n ci o n e s t r ig o n o m i t r ic a sa) lfrn tg x = tg (0) = 0

X~O

b) lim (x cos x) = (Ifm x)(lim cos x) = tt cos (n) = -nx--+1t X1 X-7

c) lfrn sen? x = Ifrn (sen X )2 = 02 = 0x-a x-a o


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S ec c i6 n 1 .3 C i il c u l o a n aJ it i co d e J im i te s 69

E strate gia p ara e l calcu lo d e lim ite sEn las tres paginas previas, se han estudiado diversos tipos de funciones cuyosIfrnites pueden calcularse por sustituci6n directa. EI conocimiento de estas fun-ciones, junto con el siguiente teorema, permiten de sarro lIar una estrategia paracalcular lfmites.

y

--+------ --- -...+_._- x-2 -1 1

y

-2 -1F I G U R A 1 . 1 6f Y g c o i n c i d en s a lv o e n u n p u n ta .

E J E M P L O 6 C a l c u l o d e l l i m i te d e u n a fu n c ia n

x3 - IHallar el limite lfrnx>1 x-I

S o l u c i a n : Sea/ex) = (x3 - 1)!(x - 1). Factorizando y cancelando factores, sepuede escribir / como

~(X2 +x+ 1)lex) = = x2 + X + 1 = g(x), x #- 1~As! pues, para todos los valores de x distintos de x = 1, las funciones / y gcoinciden, como ilustra la Figura 1.16. Como lim g(x) existe, se puede aplicar

x~lel Teorema 1.7 Y conc1uir que / y g tienen el mismo limite en x = l., x3 - 1 ,. (x - 1)(x2 + X + 1)lim --- = hm -------

x r+ 1 x-I x~ 1 x-I Factorizar, ~(X2 +x+ 1)= hm ~-~---~

x~l ~

= lim (x2 + x + 1)x~lCancelar factores identicos

Aplicar el Teorema 1.7

Usar sustitucion directa=3 oimplificar


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70 C a p i t u lo 1

ADVERTENCIA Cuandoaplique esta estrategia al calculo delirnites, recuerde que algunasfunciones no tienen lfrnite (cuandox tiende a c). Por ejernplo, elsiguiente lfrnite no existe

x3 + 1lfm-.x r+1 x-I

F IG U R A 1 . 1 7f n o e st a d e f i n id a p a r a x = - 3 .

L f m i t e s y s u s p r o p ie d a d e s

T e cn ic as d e c an ce la ci6 n y de rac iona li zaci6nEn los Ejemplos 7 y 8 se exhiben dos tecnicas para calcular limites analftica-mente. La primera supone la cancelaci6n de factores comunes, y la segunda laracionalizaci6n del numerador de una fracci6n.E J E M P L O 7 T e cn ic a d e c a n ce la c u m

x2 + X - 6Hallar el limite limx~ - 3 X + 3

S o l u c i a n : Aunque se trata dellfmite de una funci6n racional, no se puede apli-car el Teorema 1.3 porque el Iimite del denominador es O .2 lim (x2 + X - 6) = 0x + x - 6 < X ~ - 3lim La sustitucion directa fall a

x - - 3 X + 3 lfrn (x + 3) = 0x--3

Dado que el limite del numerador tambien es 0, numerador y denominadortienen el factor cormin (x + 3). Por tanto, para todo x # -3, podemos cancelareste factor para obtener

x2 + X - 6 ~(x - 2)- - - - = = x - 2, x # -3x+3 ~Del Teorema 1.7, se sigue que

x2 + X - 6lim = lim (x - 2)x~-3 x + 3 x~-3 Aplicar el Teorema 1.7

= -5 Usar sustituci6n directaEste resultado se muestra graficamente en la Figura 1.17. Observemos que lagrafica de la funci6njcoincide con la de la funci6n g(x) = x - 2, salvo que lagrafica de jtiene un hueco en el punto (-3,-5). 0


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S ec ci 6 n 1 .3 O i Jc u lo a n a lf ti co d e l f m i t es 71

En el Ejernplo 7, la sustitucion directa produce la forma 010 , que carece designificado. Tal expresion se denomina forma indeterminada porque no es po-sible (a partir s610 de esa forma) determinar el lfrnite. Si al intentar evaluar unlimite se llega a esta forma, debe escribirse la fracci6n de modo que el nuevodenominador no tenga Iimite O . Una manera de conseguirlo consiste en cance-lar Jactores identicos, como se muestra en el Ejemplo 7. Otra manera es racio-nalizar el numerador, como ilustra el Ejemplo 8.

I N o t a . En la soluci6n del Ejemplo 7 , aseguresc de que capta la utili dad del Teorema deFactorizaci6n del Algebra. Este teorema establece que si c es un cero de una funci6npolin6mica, entonces (x - c) es un factor del polinomio. Por tanto, si aplica sustituci6ndirecta a una funci6n racional y obtiene

pee) 0r(e) =- =-q(c) 0

puede concluir que (x - c) es un factor com tin de p(x) y q(x).

E J E M P L O 8 T e c n i c a d e r a c i o n a l i za c io n

J x + l - 1Calcular el lfmite lfrnx-o xSo lu cum: Por sustituci6n directa, se obtiene la forma indeterminada 010 .

Ifmx~ or-:1 lfrn ( J x + l - I) = 0vATI- I/x~o-"--x--~lim x = 0

X~ OLa sustitucion directa falla


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72 C a p it u lo 1

y

--+-- --+----+-- ...-I

F IG U R A 1 .1 9E l l i m i t e d e I ( x ) c u a n d o x t i e n de a 0 e s 1 /2 .


En este caso, podemos escribir la fracci6n racionalizando el denominador.

Jx+l - 1 = (Jx+l - 1)(Jx+l + 1)x x Jx+l+l

(x + 1) - 1= x(Jx+l + 1)f=------:==--f(Jx+l + 1)1= , x # 0

Jx+l + 1

Ahora, usando el Teorema 1.7, se puede evaluar el lirnite como sigue.

lim Jx+l - 1 = lim -----:==1=-_x~ o x x~o Jx+l + 1= 1 + 1

1= -2Una tabla 0 una grafica pueden servir para reforzar la conclusi6n de que ellimite es 1/2. (Vease la Figura 1.19.)

x -0,25 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,Ql 0,1 0,25f(x) 0,5359 0,5132 0,5013 0,5001 ? 0,4999 0,4988 0,4881 0,4721

I N o t a . La tecnica de racionaIizaci6n para cl calculo de lfmites se basa en multiplicarpor una forma conveniente de I. En el Ejemplo 8, la forma apropiada es


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S ee e i 6 n 1 .3

h(x) s j(x) "" g(x)

F IG U R A 1 . 2 0E I t e o r em a d e l e n c a j e .

C i le u Jo a n a Ji l ie o d e l fm i le s 73

T eo re m a d el e ncajeEl siguiente teorema concierne al limite de una funci6n que esta encajadaentre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo limite en un valor de xdado, como ilustra la Figura 1.20. (En el apendice se da la demostraci6n de esteteorema.)

En la demostracion del Teorema 1.9 se aprecia la utilidad del teorema delencaje.

F IG U R A 1 .2 1P a r a d em o st r a r e l T eo re m a 1 .9 , s e u sau n s e c to r c ir cu l a r.

D e m o s t r a c i 6 n : Con el fin de evitar la confusion entre dos usos distintos de x ,presentamos la demostracion utilizando la variable e , donde e denota un angu-10agudo medido en radianes. La Figura 1.21 muestra un sector circular encaja-do entre dos triangulos.

Area del triangulo~2Area del triangulorea del sector

! i . . _2

sen IJ2

Multiplicando cada expresi6n por 2/sen e resultae;:::--;::: 1cos e sen e

y tomando inversos se obtienesen ecos e ~ ~ 1e


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74 C a p i t u lo 1

PARA MAs INFORMACIONSobre la funci6n f(x) = sen x/x,puede consultarse el articulo TheFunction (sin xl/x~ de William B.Gearhart y Harris S. Shultz en TheCollege Mathematics Journal,marzo 1990.

-1,57

-2F IG U R A 1 .2 2

E l l i m i te d e f (r ) c u a n d o x t i e n d e a 0 e s 1 .

-1,57

-2

F IG U R A 1 .2 3E l l i m i te d e g ( x ) c u a n d o x t i e n d e a 0 e s 4 .


Como cos 0 = cos (-8) y (sen ()/8 = [sen (-8)]/(-8), concluimos que estadesigualdad es valida para todo (I no nulo del intervalo abierto (-n/2, n/2)Finalmente, dado que lim cos (I = 1Y lim 1 = I, podemos aplicar el teorema de

O ~O 8~Oencaje para concluir que lim (sen 8) /0 = I. La demostraci6n del valor de8~Osegundo limite se deja como ejercicio (vease el Ejercicio 103). oE J E M P L O 9 U n l i m i t e e n e l q u e i n te r v ie n e u n a f u n c i a n t r i g o n o m e t r i c a

Hallar el limite lfrn tg xX~ O x

1,57S o l u c i a n : La sustituci6n directa conduce a la forma indeterminada 0/0. Pararesolver este problema, podemos escribir tg x como (sen x)/(cos x) y obtener

, tg x , (sen x ) ( I)lim -=hm -- --X~ O X X~ O X cos x

Ahora, comosen x Ilim _ - = I Y lim _ - = I

X~ O X x~O cos xpuede obtener

Hmx~ o tgxx =(!~e: x)(!~ co~ x)

= (1)(1)= I

(Vease Figura 1.22.) oE JE M PL O 1 0 U n I f m i t e e n e l q u e i n t e r v i e ne u na f u nc i a n t i i g o n o m a r i c a

sen 4xCalcular el lfrnite lim ~~x-a x

1,57 S o l u c i a n : La sustituci6n directa conduce a la forma indeterminada 0/0. Pararesolver este problema, podemos escribir el limite como, sen 4x (' sen 4 X )im ~~=4 hm~~x~ o x x r+D 4x

Haciendo ahora y = 4x y observando que x -+ 0 si y s610 si y -+ 0, podemosescribir

HmX~ O

se: 4x = 4 ( ! ~se~x4x)= 4(Hm sen y )

y~ O Y= 4(1)=4

(Vease Figura 1.23.) o


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E je r ci ci o s d e 1 a S e cc io n 1 .3 75

E je rc icio s d e la S ecci6 n 1.3P P En los Ejercicios 1-4, representar la funci6n en la calculado- ttxra y estimar visualmente los limites. 21. lim cos nx 22. lfrn sen-x~1 x~l 2

12(Jx - 3) 23. lim sec 2 x 24. lim cos 3x1. hex) = x2 - 5x 2. x~o x~ng(x) = x-9 25. Ifm 26. limen x cos xa) lim hex) a) lim g(x) x-+ 51[/6 x-+ 5n/3x~5 x~4b ) lim hex) b ) lim g(x) 27. Ifm tg (nx) 28. lim sec (nx)x - - 1 x~o x~3 4 x~7 6

3. f(x) = x cos x 4. f(t) = tit - 41 En los Ejercicios 29-32, utilizar la informaci6n dada paraa) limf(x) a) Ifm f(t) ca1cular los Ifrnites,X~ O t~4

29. limf(x) = 2 30. ' 3b ) lim f(x) b ) lim f(t) hmf(x) =-x-rtf3 t-+ -1 x-e c x r+c 2

1En los Ejercicios 5-28, hallar el limite. lim g(x) = 3 lim g(x) =-x~c x r+c 25. lim x2 6. lim (3x + 2) a) lim [5g(x)] a) lim [4f(x)]x -e- c x~cx~4 x--3

lim (_x2 + I) b ) lim [f(x) + g(x)] b ) l f rn [f(x) + g(x)]7. lim (2x - 1) 8. x r-c x=r cX~ O x~l c) lim [f(x)g(x)] c) lim [f(x)g(x)]9. lim (_x2 + x - 2) 10. lim (3x3 - 2X2 + 4) x r-c x -e cx~2 x~l l' f(x) r f(x)lim Jx+l lim .y;+4 d) Im- d) Im-1 1 . 12. x~c g(x) x-e c g(x)x~3 x~4(x + 3)2 31. Ifmf(x) = 4 32. Ifmf(x) = 2713. Ifm 14. lim (2 x - 1)3 x-e c x~cx-+-4 X~ O lim [f(X)]3 lim Y iW) a)I 2 x r+c x r+c15. lf rn - 16. Ifm

x _ _ _ ' 2 x x~-3x+2 lim J lW u f(x)b ) b ) Im-x2 + 1 Jx+l x-r c x~c 1817. lim -- 18. lim --- c) l f rn [3f(x)] c) l f rn [f(X)]2x-+-l X x~3 x-4

19. Ifm sen x 20. lim tg x d) lim [f(X)]3/2 d) lim [f(X)J2/3x-nl2 x~n x-r c x r-c


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76 C a p i t u l o I L i m i t e s y s u s p r o p ie d a d e sEn los Ejercicios 33-36, usar la grafica para deterrninar visual-mente ellimite (si existe). Cuando sea posible, hallar una fun-ci6n que coincida con la dada excepto en el punto en cuesti6n.

_2X2 + x33. g(x) = --- x2 - 3x34. h(x)=-- xy y

a) lim g(x)X~O

a) lim hex)x-t -2b) lim g(x)

x-+ - 1b) lim hex)

X~O

x3 - x35. g(x) =-~x - I x36. I(x) = ~2-x - Xy~iU ,

2 -I I 1

a) lim g(x)x - - ->1 a) Ifm I(x)x~lb) Ifm g(x)

x-+ - 1 b) Ifm I(x)X~OEn los Ejercicios 37-40, hallar ellfmite de la funci6n (si exis-tel. Encontrar una funci6n que coincida con la dada salvo enel punto y representaria en la calculadora.

x2 - I 2X2 - X - 337. Ifm 38. Ifmx - -+ -1 X + 1 x--t -1 X + 1

x3 + 8 x3 + I39. Ifm -- 40. lim --x~-2 x+2 x--1x + 1En los Ejercicios 41-52, hallar ellfmite (si existe).

, [1/(2 + x )J - 0/2)47. lim 48.x-e O x J x+ I - 2lim --'-----x~3 X - 3, 2(x + Ax ) - 2x49. ~~o Ax , (x + Ax)2 - x

2~~o Ax50.

, (x + Ax)2 - 2(x + Ax ) + 1 - (x2 - 2x + I)lim ----------,---------LIx~O Ax, (x + Ax)3 - x3

52. ~~o Ax

51.

Inoestigacion grdfica, numerica y analitica En los Ejerci-cios 53-56, representar la funci6n en la calculadora y estimarel Ifmite. Usar una tabla para reforzar la conclusi6n. Oes-pues, ca1cular el Ifmite por metodos analfticos.

53., J x +2- J211m--'------"--x-v O x

54. 4 - J xlim ---x~16X-1655. , [1/(2 + x )J - (1/2)11m-------x-a x56. x5 - 32Ifm---x~2 X - 2En los Ejercicios 57-68, determinar ellfmite (si existe) de lafunci6n trigonometrica,

sen x 3(1 - cos x)57. Ifm-- 58. IfmX~O 5x X~O x

sec e - 1 cos 0 tg {)59. lim 60. Ifm8~O e sec e 8~O (}

sen? x tg2 x61. Ifm-- 62. lim--X~O x X~O x

63. lim (1 - cos h)2 64. lim sec h~O h ~rr

cos x 1 - tg x65. lim 66. limx~rr/2 ctg x x~rr/4 sen x - cos xserr' tlim--

t~O t2

[ (sen t ) 2 ]Ayuda: Ca1cular el ~~~ -t- .67.

x-5 2-x41. lim --- 42. lim--x~5 x2 - 25 x~2 x2 - 4

x2 + X - 2 , ~ -J23. lim x2 - 1 44. 11m 68.-1 X~O x45. ' ~-J3 46. lim [1/(x + 4)J - (1/4)lIm

X~O x X~O X

sen 2xlim--X~O sen 3x[ (2 sen 2X)( 3x ) ]Ayuda: Calcular el lim --- .X~O 2 x 3 sen 3x


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E je r ci ci os d e 1 a S e c ci 6n 1 .3

Inuestigacion grdfica, numerica y analitica En los Ejerci-cios 69-72, representar la funci6n en una calculadora y esti-mar el Iimite. Usar una tabla para corroborar la conclusi6n.Despues, calcular el limite por metodos analfticos.

sen 3t69. lim-- 70. lim (1 + cos 2h)r - v O t h~ Osen x2 sen x71. Ifm-- 72. lim--X~ O x X~ O $

f(x + h) - f(x)En los Ejercicios 73-76, hallar lfrn .h~ O h

73. f(x) = 2 x + 3475. f(x) =-x

74. f(x) = J x76. f(x) = x2 - 4x

En los Ejercicios 77 y 78, usar el teorema del encaje parahallar l frn f(x).

x~c

77. c = 04 - x2 ~ f(x) ~ 4 + x2

78. c = ab - Ix - a l ~ f(x) ~ b + Ix - a l

En los Ejercicios 79-84, representar en una calculadora lafunci6n dada y las ecuaciones y = Ix l e y = - I x l en una mismaventana. Usando las graficas para visualizar el teorema delencaje, calcular lim f(x).

X~ O

79. f(x) = x cos x81. f(x) = Ix l sen xI83. f(x) = x sen- x

80. f(x) = Ix sen x]82. f(x) = [x] cos x

1hex) = x cos- x84.A I . 7 85 . Redaccion Representar en una calculadora

sen xf(x) = x, g(x) = sen x, y hex) = --xen una misma pantalla. Comparar f(x) y g(x) cuando xes pr6ximo a O.Utilizar esta comparaci6n para expli-car en unas lfneas por que

lim hex) = 1X~ O~ 86. Redaccion Usando una calculadora, representar

serr' xf(x) = x, g(x) = sen? x, y hex) = -- xen una misma ventana. Comparar f(x) y g(x) cuando xes proximo a O.Utilizar esta comparaci6n para expli-car en unas lfneas por que

lim hex) = 0X~ O

77

Objeto en caida libre En los Ejercicios 87 y 88, debe usar-se la funci6n posici6n set) = - 16 t2 + 1.000, que da la altura(en pies) de un objeto que lleva cayendo t segundos desdeuna altura de 1.000 pies. La velocidad en el instante t = asegundos viene dada por

, sea) - set)hm----t-ta a - t

87. Si a un obrero de la construcci6n se Ie cae una llaveinglesa desde una altura de 1.000 pies, i ,con que veloci-dad estara cayendo la llave tras 5 segundos?

88. Si a un obrero de la construcci6n se le cae una Haveinglesa desde una altura de 1.000 pies, i,cuando golpea-ra el suelo la Have? i,A que velocidad se producira elimpacto?

Objeto en caida libre En los Ejercicios 89 y 90, debe usar-se la funci6n posici6n set) = 4,9t2 + 150, que da la altura (enmetros) de un objeto que cae desde una altura de 150 m. Lavelocidad en el instante t = a segundos viene dada por

, sea) - set)hm----t - - . ? a a - t

89. Determinar la velocidad del objeto cuando t = 3.90. i,A que velocidad impactara el suelo el objeto?91. Un modelo matemdtico La velocidad de mecanogra-

fiado media de un alumno de mecanografia tras t sema-nas de clases se da en la tabla.

t 5 10 15 20 25 30S 28 56 79 90 93 94

a) Construir una curva con los datos.h) i,Parece existir una velocidad de mecanografiado

limite? Explicar la respuesta.92. Encontrar dos funciones f y g tales que lfrn f(x) y

X~ OIfm g(x) no existen pero existe lim [f(x) + g(x)].x-o x-o

93. Demostrar que si Ifmf(x) existe y lim [f(x) + g(x)] nox-e c x-e c

existe, entonces lfrn g(x) no existe.x r-c


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78 C a p i t u l o J L i m i t e s y s u s p r o p ie d a d e s

95. Demostrar la propiedad 3 del Teorema 1.1. (Puedeutilizarse la propiedad 3 del Teorema 1.2.)

{ a ,104. Sean {(x) =. 1 , si x es racionalsi x es irracional94. Demostrar la propiedad I del Teorema 1.1.

y

96. Demostrar la propiedad 1 del Teorema 1.2. {a , si x es racionalg(x) = . . .x, Sl x es irracional

97. r;Verdadero ofalso? Sif (x) < g(x) para todo x # a,i,es cierto que I fmf(x) < lim g(x)? Si es falso, explicar Calcular (si es posible) lfm f(x) y lim g(x).X~ O x-opor que 0dar un ejemplo que pruebe la falsedad.

x-+c

105. Razonamiento grdficosec x-If(x) = ----0--Xl

Consideremos la funci6n98. Probar que si lim f(x) = 0, entonces lim If(x) I = 0.

fijo M Y todo x # c, entonces lim f(x)g(x) = 0.x~ca) Determinar el dominio de [.b) Representar f en una calculadora. i,Es evidente el

dominio de f a partir de Ia grafica? Si no 10 es,explicar por que.

c) Utilizando la grafica de f, estimar lim f(x).X~ O

99. Probarque si Hmf(x) =O y Ig(x)1 ~ Mpara un numero

100. Pro bar que si lfrn If(x) I = 0, entonces lim f(x) = 0.(Nota: Este es el reciproco del Ejercicio 98.)

d) Confirmar la respuesta al apartado c) analitica-mente.

101. Probar que si l imf(x) = L , entonces lim If(x) I= ILl. 106. Aproximacionx r+c

[Ayuda:Usarladesigualdadllf(x)I-ILII ~ If(x)-LI.J a) Hallar lim ---,--x-+O x2

b) Usar el resultado del apartado a) para obtener laaproximaci6n cos x ~ 1 - 1/2 Xl para x cerca-nos a O .

c) ApLicando el resultado de b), estimar cos (0,1).d) Utili zando una calcuLadora, estimar cos (0, I) concuatro cifras decimales exactas. Comparar el re-

suLtado con eLdeL apartado c).

I-cos x102. Para pensar Hallar una funci6n f que muestre que

eLreciproco del Ejercicio 101 no es cierto. [Ayuda:Buscar una funci6n f tal que lim If(x) I = ILl pero

x-cI fmf(x) no existe.]

t03. Demostrar Lasegunda parte deLTeorema 1.9 proban-do que

L - cos xlim = -o X107. Redaccion Discutir que significa, en el contexto del

calculo de Ifrnites, que dos funciones coincidan salvoen un punto.

1 . 4Con t i nu idad y hm i te s la te ra le sO N T E N ID O

C o n ti n u i d a d e n u n p u n to y e n u n i n te rv a l o a b ie rt o L f m i te s l a te r a l es y c o n t i n u i d a d

e n u n i n te r v al o c e r r a d o P ro p i e d a d es d e l a c o n t i n u i d ad T eo re m a d el v a l o r i n te rr n e d io

C on tin uidad en u n p un to y e n u n in te rv alo ab ie rtoEn Maternaticas, el terrnino continuo tiene practicamente el mismo significadoque en su uso cotidiano. Decir que una funci6n es continua en x = c significaque no hay interrupci6n de la grafica dejen c. Esto es, la grafica no tiene en cagujeros, saltos ni aberturas. La Figura 1.24 exhibe tres valores de x en los quela grafica de j no es continua. En los demas puntos del intervalo (rz, b), lagrafica no sufre interrupciones y es continua.

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