19/04/23 1

LIMIT

Sering kali kita melihat pesawat terbang yang melintas. Pesawat terbang memiliki kecepatan cukup tinggi untuk terbang. Tentunya kecepatan pesawat terbang tidak konstan, kadang-kadang melaju dengan kecepatan tinggi dan pada waktu tertentu melaju dengan kecepatan rendah.

Kecepatan yang demikian disebut dengan kecepatan rata-rata dapat diperoleh dengan rumus :

t

xmiLV

t

0

A. Limit Fungsi Aljabar

1. Pengertian Limit

19/04/23 2

Mendekati titik kritis, hampir, dan ambang, dalam bahasa matematika cukup disebut limit ( mendekati ). Limit sangat penting dipelajari karena limit menjadikan sesuatu yang tidak terdefinisi menjadi sesuatu yang ada nilainya.

Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari pengertian limit fungsi aljabar dengan menentukan limit kiri dan limit kanan. Jika nilai limit kiri sama

dengan limit kanan ( misal L, dengan L ε R ), maka nilai limit fungsi aljabar f(x) ada dan sama dengan L.

Misalkan Lxfmilax

)( ( nilai f(x) untuk x = a didekati dari kiri dan) Lxfmilax

)(

(nilai f(x) untuk x = a didekati dari kanan ), maka Lxfmilax

)( Artinya, nilai

f(x) akan mendekati L bila x mendekati a.

19/04/23 3

-1 1 2 3

1

4

9

Y

x

Perhatikan gambar di samping yang menunjukkan grafik dari fungsi f(x) = x 2 , x ε R.

x

f(x)

19/04/23 4

a. Limit Kiri

1 1,3 1,71,9

x mendekati 2

1

1,69

2,89

4

3,996

Y

X

Dari gambar di samping tampak bahwa jika nilai x

mendekati 2 dari kiri ( x→2- ), maka f(x) akan mendekati 4.

Untuk lebih jelasnya tabel berikut.

Dari sini dapat dikatakan bahwa 4 merupakan nilai f(x) untuk x mendekati 2 dari kiri dan ditulis

42

2

xmil

x

1

1

x mendekati 2 dari kiri ditulis x→2-

1,3 1,7 1,9 1,95 1,999 … 2

4…3,9963,80253,612,891,69

19/04/23 5

b. Limit Kanan

Perhatikan gambar di bawah. Jika nilai x mendekati 2 dari arah kanan ( x → 2 +), maka nilai f(x) juga akan mendekati 4.

x mendekati 2

x

4

9

2 3

y Perhatikan tabel berikut

Dari sini dapat dikatakan bahwa 4 merupakan nilai f(x) untuk x mendekati 2 dari kanan ditulis :

42

2

xmil

x

Dari limit kiri dan limit kanan diproleh :42

2

2

2

xmilxmil

xx

(keduanya ada dan sama nilainya). Sehingga ditulis :

42

2

xmil

x Jika kedua limit (limit kiri dan limit kanan) nilainya tidak sama, maka f(x) tidak mempunyai limit.

x mendekati 2 dari kanan ditulis x → 2 +

X

f(x)

2

4

…

…

2,001

2,0040

2,05

4,2025

2,1

4,412,5

6,25

2,8

7,84

3

9

19/04/23 6

2. Sifat – sifat limit

l i m k = kx → a

a. , dengan k = konstanta

b. l i m x = ax → a

c. Jika l i m f(x) = Lx → a

dan l i m g(x) = Mx → a

, maka :

1) l i m kf(x) = x → a

k l i m f(x) = kLx → a

2) l i m [ f(x) ± g(x) ] =x → a

l i m f(x) x → a

± l i m g(x)x → a

= L ± M

3) l i m [ f(x) . g(x) ] =x → a

l i m f(x) x → a

. l i m g(x)x → a

= L . M

4)f(x)

g(x)l i m [ x → a

] =

l i m f(x)x → a

l i m g(x)x → a

=L

M, M ≠ 0

19/04/23 7

3. Limit Fungsi di x = a

Untuk menghitung limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati a, dapat ditempuh dengan langkah-langkah seperti berikut.

a. Substitusi Langsung

Limit fungsi polinomial atau suku banyak dapat diperoleh dengan substitusi langsung.

Misal f(x) = k0 xn + k1 xn-1 + … kn , maka :

l i m f(x) = x → a

l i m [ k0 xn + k1 xn-1 + … kn ]x → a

= l i m k0 xn x → a

+ l i m k1 xn-1 x → a

+ … + l i m knx → a

= k0 an + k1 an-1 + … kn = f(a)

19/04/23 8

Contoh 1

Hitunglah nilai dari :

1) l i m ( x 2 + 5x – 1 )x → - 3

x2 - 6- x32) l i m

x → 1

3) l i mx → 2 x - 2

1

x → 34)

Penyelesaian

1) l i m ( x 2 + 5x – 1 )x → - 3

= (- 3)2 + 5 (- 3) - 1 = - 7

2) l i mx → 1

x2 - 6- x3

=12 - 6- 13

= √ 5

3) l i mx → 2 x - 2

1=

2 - 21 1

=0 = ∞ ( tidak ada )

x → 34) l i mx

x - 3 =3

3 - 330

0= =

l i m x - 3x

19/04/23 9

b. Faktorisasi

Jika dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar f(x) untuk x → a dengan subtitusi langsung diperoleh hasil bentuk

0

0 maka fungsi

f(x) harus diuraikan atau difaktorkan lebih dahulu.Cara menentukan fungsi f(x) semacam ini biasa disebut dengan faktorisasi.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2

Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut.

1) l i m x2 + 5x - 6

x - 1x → 1

2) l i m 3x2 - 4x

xx → 0

Penyelesaian

1) l i m x2 + 5x - 6

x - 1x → 1dengan menggunakan substitusi langsung diperoleh

0

0maka f(x) kita faktorkan lebih dahulu.

19/04/23 10

l i m x2 + 5x - 6

x - 1x → 1= l i m ( x – 1 )( x + 6 )

( x – 1 )x → 1

= l i m ( x + 6 )x → 1

= 7

2) l i m 3x2 - 4x

xx → 0

= l i m x ( 3x – 4)

xx → 0

= l i m ( 3x – 4)x → 0

= - 4

19/04/23 11

c. Mengalikan dengan Faktor Sekawan

Jikag(x)h(x)

f(x) =l i mx → a

g(a)h(a)=

00= dengan g(x) dan h(x) bentuk akar, maka

( untuk memperoleh nilai limit f(x) ) kita harus menyederhanakan pecahan

g(x)h(x)

dengan mengalikan faktor sekawan dari g(x) atau h(x). Selanjutnya

perhitungan limit dilakukan dengan substitusi langsung.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 3

Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut.

1)x2 – 4

x - 2

l i mx → 2

x2 + 9 5

l i mx → 4

2)-

16 – x2

19/04/23 12

Penyelesaian

1)x2 – 4

l i mx → 2

=x2 – 4

l i mx → 2

x2 – 4

x2 – 4 x

= l i mx → 2

x - 2 x - 2

(x – 2) x2 – 4

x2 – 4

=

x → 2

(x-2)(x+2)

x2 – 4 l i mx → 2

(x – 2)

x2 – 4 l i mx → 2 x + 2

22 – 4

2 + 2 4

00

=

= = =

19/04/23 13

x2 +9 l i mx → 4

2)-

16 – x2

5 x2 +9 l i mx → 4

-

16 – x2

5 x2 +9 5 +

x2 +9 5 +

l i mx → 4

(16 – x2)

25 – ( x2 + 9 )

x2 +9 ( 5 + )

l i mx → 4

(16 – x2)

( 16 – x2 )

x2 +9 )( 5 +

)x2 +9

l i mx → 4

( 5 +

1

)42 +9 ( 5 +

1 1

10

=

=

=

=

= =

x

19/04/23 14

LATIHAN

Tentukan nilai limit di bawah ini dengan menggunakan cara substitusi langsung, faktorisasi, mengalikan bilangan sekawan !

37152

xmiLx

1.

1523 23

3

zzzmiLz

22

34

xmiLx

2

52

2

x

xmiL

x

3

122

3

x

xxmiL

x

xx

xxmiL

x 22

122

2

1

3

1)2( 2

3

x

xmiL

x

1

1

1

x

xmiL

x

31

4

4

x

xmiL

x

x

xxmiL

x 2

55

0

22

2

2

xx

xmiL

x

xx

xxxmiL

x

2

0

842

4323

23

2

xxx

xxmiL

x

8

43

2

2

x

xmiL

x

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

19/04/23 15

673730

37)2(1537x15miL2x

1.

2.

3.