Liczby zespolone - wmii.uwm.edu.plwmii.uwm.edu.pl/~zyjek/download/METRO_6_7/liczby_zesp_Metro_5_6.pdf · Liczby zespolone jako wielomiany Ze zbioru liczb zespolonych mo»na wyodr¦bni¢

dr Krzysztof �yjewski Mechatronika; S-I0.in». 6 pa¹dziernika 2016

Liczby zespolone

Oznaczenia

B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:

• N = {1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb naturalnych,

• Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb caªkowitych,

• Q = {ab: a, b ∈ Z, b 6= 0}- zbiór liczb wymiernych,

• R- zbiór liczb rzeczywistych,

• R+- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,

• x ∈ X- oznacza, »e element x nale»y do zbioru X,

• ∀-kwanty�kator ogólny (du»y),

• ∀x∈Xφ(x) czyt.: dla ka»dego x nale»¡cego do zb. X zachodzi φ(x),

• ∃-kwanty�kator szczegóªowy (maªy),

• ∃x∈Xφ(x)czyt.: istnieje x nale»¡cy do zb. X taki, »e zachodzi φ(x)

Iloczyn kartezja«ski

B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:

• A ⊂ X-zb. A jest podzbiorem zb. X[∀x(x ∈ A⇒ x ∈ X)

],

• ∅- zbiór pusty.

Iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B to, z de�nicji, zbiór zªo»ony z uporz¡dkowanych par elementówzbiorów A i B :

A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} .

Przykªad:

Niech A = {1, 2, 3}, B = {p, q}. Wówczas iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B:

A×B ={(1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q)

}.

Liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych

De�nicja. Liczbami zespolonymi nazywamy uporz¡dkowane pary liczb rzeczywistych np. (a, b).Liczb¦ zespolon¡ oznaczamy najcz¦±ciej przez z, (z1, z2, z3, . . .), a zbiór wszystkich liczb zespolo-nych oznaczamy symbolem C (ªac. complexus - zespolony). Zatem:

C = R× R ={z = (a, b) : a, b ∈ R

}.

Niech z1 = (a1, b1), z2 = (a2, b2) b¦d¡ dwiema dowolnymi liczbami zespolonymi. W zbiorze Cwprowadzamy dziaªania dodawania i mno»enia liczb zespolonych:

1


• z1 + z2 = (a1 + a2, b1 + b2)-dodawanie liczb zespolonych

• z1 · z2 = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1)-mno»enie liczb zespolonych.

Przykªady:

1. (3, 5) + (−2, 1) = (3− 2, 5 + 1) = (1, 6)2. (3, 5) · (−2, 1) = (3 · (−2)− 5 · 1, 3 · 1 + (−2) · 5) = (−11,−7).

Geometryczne liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) interpretujemy na pªaszczy¹nie jako punkt o wspóª-rz¦dnych (a, b), albo jako wektor o pocz¡tku w punkcie (0, 0) i ko«cu w punkcie (a, b). Zbór wszyst-kich liczb zespolonych nazywamy pªaszczyzn¡ zespolon¡.

O± poziom¡ (Re z) nazywamy osi¡ rzeczywist¡, a o± pionow¡ (Im z) osi¡ urojon¡.

Liczby zespolone jako wielomiany

Ze zbioru liczb zespolonych mo»na wyodr¦bni¢ podzbiory o elementach (a, 0), które wzgl¦demdodawania i mno»enia jego elementów ma analogiczne wªa±ciwo±ci jak zbiór liczb R :

(a1, 0) + (a2, 0) = (a1 + a2, 0),

(a1, 0) · (a2, 0) = (a1 · a2, 0).

Wobec tego zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych: R ⊂ C. Zamiast(a, 0) b¦dziemy pisa¢ a.

Natomiast liczby postaci (0,b), ró»nej od zera, nie mo»na w analogiczny sposób uto»sami¢ z»adn¡ liczb¡ rzeczywist¡.

St¡d mamy nast¦puj¡c¡ de�nicj¦:

De�nicja: Liczb¦ (0, 1) b¦dziemy nazywa¢ jednostk¡ urojon¡ (jedynk¡ urojon¡) oraz oznacza¢

symbolem i(i = (0, 1)

).

Jedynk¡ urojon¡ dlatego, »e i2 = −1 :

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.

2


Liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) mo»emy zapisa¢:

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a+ bi.

Posta¢ z = a+ bi nazywamy postaci¡ algebraiczn¡ liczby zespolonej (postaci¡ kanoniczn¡ Gaussa).Zatem, mamy

C ={a+ bi : a, b ∈ R, i2 = −1

}.

Niech z = a+ bi, gdzie a, b ∈ R, b¦dzie liczb¡ zespolon¡. Wówczas:

• liczb¦ a nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ (ªac. realis) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Rez = a;

• liczb¦ b nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ (ªac. imaginarius) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Imz = b.

Dodawanie, odejmowanie i mno»enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy jakodpowiednie dziaªania na wielomianach zmiennej i zachowuj¡c warunek i2 = −1 oraz odpowiednio

i3 = i2 · i = −i,i4 = i2 · i2 = 1,

i5 = i3 · i2 = i, itd.

Przykªady:

1) (3 + 5i) + (−2 + i) = (3− 2) + (5 + 1)i = 1 + 6i2) (3+5i) ·(−2+ i) = 3 ·(−2)+3 · i+5i ·(−2)+5i · i = −6+3i−10i+5i2 =−6− 7i+ 5 · (−1) = −11− 7i.

Sprz¦»enie liczby zespolonej

De�nicja. Liczb¦ sprz¦»on¡ do liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy poprzez z i okre±lamywzorem:

z = a− bi.

3


Przykªady:

1) 3 + 5i = 3− 5i;2) −2− 4i = −2 + 4i.Wªasno±ci sprz¦»enia: Niech z, z1, z2 b¦d¡ liczbami zespolonymi. Wówczas:

1. z1 ± z2 = z1 ± z2,

2. z1 · z2 = z1 · z2,

3.(z1z2

)= z1

z2, dla z2 6= 0 = (0, 0),

4. (z) = z.

Dzielenie liczb zespolonych

Aby podzieli¢ liczb¦ zespolon¡ z1 = a1 + ib1, przez liczb¦ zespolon¡ z2 = a2 + ib2 nale»y dzieln¡ idzielnik pomno»y¢ przez liczb¦ sprz¦»on¡ do dzielnika (z2):

z1z2

=a1 + ib1a2 + ib2

=a1 + ib1a2 + ib2

· a2 − ib2a2 − ib2

=(a1a2 + b1b2)− i(a1b2 − b1a2)

a22 + b22

Przykªad:

1 + 2i

3− 4i=

1 + 2i

3− 4i· 3 + 4i

3 + 4i=

3 + 4i+ 6i− 8

32 + 42=−5 + 10i

25= −1

5+

2

5i

Funkcje trygonometryczne - wtr¡cenie

Zde�niujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sinα =y

r, cosα =

x

r,

tgα =y

x, ctgα =

x

y,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r =√x2 + y2.

4


Rysunek 1: wykres funkcji sinus

Rysunek 2: wykres funkcji kosinus

Rysunek 3: wykres funkcji tanges

Rysunek 4: wykres funkcji kotanges

5


Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sinϕ + + − −cosϕ + − − +

tgϕ + − + −ctgϕ + − + −

Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy,w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Wzory redukcyjne

ϕ π2− α π

2+ α π − α π + α 3π

2− α 3π

2+ α 2π − α

sinϕ cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinαcosϕ sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cosαtgϕ ctgα − ctgα − tgα tgα ctgα − ctgα − tgαctgϕ tgα − tgα − ctgα ctgα tgα − tgα − ctgα

Pewne wªasno±ci funkcji trygonometrycznych:

• funkcje sinus, tangens, kotangens s¡ funkcjami nieparzystymi tzn.

sin(−x) = − sinx, tg(−x) = − tg x, ctg(−x) = − ctg x;

• funkcja kosinus jest parzysta tzn.cos(−x) = cos x;

• funkcje sinus i kosinus s¡ okresowe o okresie podstawowym 2π tzn.

∀k∈Z, sin(x+ 2π · k) = sin x, cos(x+ 2π · k) = cos x;

• funkcje tangens i kotangens s¡ okresowe o okresie podstawowym π tzn.

∀k∈Z, tg(x+ π · k) = tg x, ctg(x+ π · k) = ctg x.

Przykªad. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznychmamy:a) sin 5

4π = sin(π + π

4) = − sin π

4= −

√22;

b) cos(−2313π) = cos 231

3π = cos 11

3π = cos(π + π

3) = − cos π

3= −1

2;

c) tg 334π = tg 3

4π = tg(π

2+ π

4) = − ctg π

4= −1;

d) ctg(−253π) = − ctg 81

3π = − ctg 1

3= −

√33.

6


Moduª liczby zespolonej

De�nicja.Moduªem liczby zespolonej z = a+ ib nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ |z| okre±lon¡ nast¦-puj¡co:

|z| =√a2 + b2.

Ma on nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. |z| = |z|,

2. |z1 · z2| = |z1| · |z2|,

3. |zn| = |z|n,

4.∣∣∣ z1z2 ∣∣∣ = |z1|

|z2| ,

5. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.

Przykªad.

|3− 4i| =√

32 + (−4)2 =√25 = 5.

Argument liczby zespolonej

De�nicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy ka»d¡liczb¦ ϕ ∈ R speªniaj¡c¡ warunki:

cosϕ =a

|z|oraz sinϕ =

b

|z|.

Argument liczby z = 0 jest nieokre±lony. Argumentem gªównym niezerowej liczby z (ozn. Arg z )nazywamy ten argument ϕ liczby z, nale»y do przedziaªu [0, 2π).Interpretacja geometryczna moduªu i argumentu liczby zespolonej:

7


Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej

Dokonujemy przeksztaªcenia dla liczby zespolonej z 6= 0 :

z = a+ bi =√a2 + b2 ·

{a√

a2 + b2+ i

b√a2 + b2

}= |z|(cosϕ+ i sinϕ).

Otrzyman¡ posta¢ z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) nazywamy postaci¡ trygonometryczn¡ liczby zespolonej.Przykªad: Napisa¢ w postaci trygonometrycznej liczb¦ z =

√3 + i.

Liczymy moduª: |z| =√√

32+ 12 = 2.

Liczymy argument: {cosϕ =

√32

sinϕ = 12

⇒ ϕ =π

6+ 2kπ, k ∈ N.

St¡d liczba z =√3 + i ma nast¦puj¡c¡ posta¢ trygonometryczn¡

z = 2(cos

π

6+ i sin

π

6

).

Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej

Korzystaj¡c ze wzorów Eulera:

cosϕ =eiϕ + e−iϕ

2, sinϕ =

eiϕ − e−iϕ

2i

mamy:eiϕ = cosϕ+ i sinϕ.

Wobec tego Mo»emy zapisa¢z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z|eiϕ.

Posta¢ z = |z|eiϕ nazywamy postaci¡ wykªadnicz¡ liczby zespolonej.Przykªad: Liczba zespolona z =

√3 + i korzystaj¡c z wylicze« poprzedniego przykªadu ma na-

st¦puj¡c¡ posta¢ wykªadnicz¡z = 2e

π6i.

Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

De�nicja. Dwie liczby zespolonych s¡ równe:

• |z1| = 0⇒ z1 = z2 ⇔ |z2| = 0,

• |z1| 6= 0 ∧ |z2| 6= 0⇒ z1 = z2 ⇔ (|z1| = |z2| ∧ Arg z1 = Arg z2).

Twierdzenie. Niech z1, z2 ∈ C i z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2), gdzie r1 =|z1|, r2 = |z2|. Wówczas:

• z1 · z2 = [r1(cosϕ1 + i sinϕ1)] · [r2(cosϕ2 + i sinϕ2)] = r1r2[(cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2) +i(cosϕ1 sinϕ2 + sinϕ1 cosϕ2)] = r1 · r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)]

• z1z2

= r1r2[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)].

8


Wniosek. Niech z1, z2 ∈ C. Wówczas:

• arg (z1 · z2) = arg z1 + arg z2,

• arg(z1z2

)= arg z1 − arg z2,

• Arg (z1 · z2) = Arg z1 + Arg z2 ± 2kπ dla pewnego k ∈ N,

• Arg(z1z2

)= Arg z1 − Arg z2 ± 2kπ dla pewnego k ∈ N.

Przykªad. Niech z1 =√2(cos 3

5π + i sin 3

5π) oraz z2 =

√2[cos 2

5π + i sin 2

5π]. Wówczas:

z1 · z2 = 2(cosπ + i sin π)

orazz1z2

= (cos1

5π + i sin

1

5π).

Pot¦gowanie liczb zespolonych

Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a)Niech z = r(cosϕ+ i sinϕ) b¦dzie dowoln¡ liczb¡ zespolon¡ oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór

zn = rn(cosnϕ+ i sinnϕ).

Uwaga. Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych.Przykªad. Obliczy¢ (1− i)8.Obliczaj¡c mamy |z| =

√2 oraz Arg φ = 7

4π. Wobec tego

(1− i)8 =[√

2

(cos

7

4π + i sin

7

4π

)]8=√28[cos

(7π

4· 8)+ i sin

(7π

4· 8)]

= 16[cos 14π + i sin 14π] = 16[1 + i · 0] = 16.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

De�nicja. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ wspeªniaj¡c¡ warunek: wn = z.

Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ+ i sinϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczbzespolonych z0, z1, . . . , zn−1 takich, »e (zk)

n = z. Pierwiastki te wyra»aj¡ si¦ wzorem:

zk =n√r

(cos

ϕ+ 2kπ

n+ i sin

ϕ+ 2kπ

n

)dla k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z pokrywa si¦ ze zbio-rem wierzchoªków n-k¡ta foremnego wpisanego w okr¡g o promieniu n

√r i o ±rodku w pocz¡tku

ukªadu wspóªrz¦dnych. Wierzchoªki wyznaczone s¡ w punktach z0, z1, ..., zn−1, a k¡t pomi¦dzy ichs¡siednimi promieniami wodz¡cymi wynosi 2π

n.

9


Zadania

1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.(a) (−4 + 3i) + (8− 7i) (b) (4i− 3)− (1− 10i) (c) (1 +

√2i)− (

√3− 6i)

(d) (√2 + i)(3−

√3i) (e) (

√7 +√3i)(√7 +√3i) (f) (3− 2i)(1 + i) + |3 + 4i|

(g) i(2−3i)5+4i

(h) (2−3i)21−i −

3−7i2−3i (i) (1−i)3−1

(1+i)3+1

3. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡» podane równania.(a) z2 − 4z + 13 = 0 (b) z + i− z + i = 0 (c) (i− 3)z = 5 + i− z(d) z2 + (2 + 2i)z + 3− 2i = 0 (e) 3+i

z−2i+1= i−1

2−iz (f) Re z−iz−2i(i+1)Im z−i = 1− 3i

(g) z2 + (1 + 3i)z + i− 2 = 0 (h) z2 − 6z + 10 = 0

4. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb speªniaj¡ce podane warunki.(a) Re z = 3 (b) Im z = −2 (c) |z − 2i| < 3(d) π

3< arg z < 4

3π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f) |z2| ≥ |Im (4z)|+ 5

5. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast¦puj¡ce liczby zespolone.(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i (e) 1− i (f)

√3− i (g)

√2−√6i

6. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:(a) sin 135o (b) cos 2

3π (c) tg 5

6π (d) cos 180o (e) ctg 5

4π (f) sin 210o

(g) sin 32π (h) ctg 315o (i) cos 330o (j) sin 7

3π (k) cos 11

3π (l) tg 510o

(m) ctg 323π (n) sin 372

3π (o) cos 584

3π (p) tg 10017

4π

7. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.

(a) (√3− i)32 (b) (2

√3− 2i)30 (c)

(1−i√3+i

)6(d) (cos 330 + i sin 330)10 (e) (1 + i)−6 (f) (1+i)22

(1−√3i)6

(g)(

1+i√7

2

)4+(

1+i√7

2

)4(h) (1 + i)8 · (1− i

√3)6 (i) (1 + i)8 + (1− i)8

(j) (1+i)42

(√3−i)17 (k) (1−i

√3)6

i9(1+i)3(l)

(−√3+i

1−i

)208. Oblicz i narysuj na pªaszczy¹nie zespolonej.(a) 3

√1 (b) 6

√64 (c) 4

√116i (d) 5

√1 + i (e)

√1−√3i

(f) 5√−1− i (g)

8√√

3− i (h) 4√1 + i (i)

√3− 4i (j)

√−3− 4i

Literatura:

1. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. De�nicje, twierdzenia, wzory,wyd. O�cyna Wydawnicza GiS, 2008r.

2. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Przykªady i zadania, wyd. O�-cyna Wydawnicza GiS, 2008r.

3. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. De�nicje, twierdzenia, wzory., wyd.O�cyna Wydawnicza GiS, 2001r.

4. Krysicki W., Wªodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach., wyd. PWN, t.I, 2001r.

5. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania., wyd. O�cynaWydawnicza GiS, 2001r.

10


6. Siewierski L., �wiczenia z anzlizy matematycznej., wyd. PWN, 1982r.

7. Borsuk M., Dawidowicz A., Wykªady z analizy matematycznej., wyd. WSIiE TWP, 1998r.

11

Documents

Liczby zespolone - wmii.uwm.edu.plwmii.uwm.edu.pl/~zyjek/download/METRO_6_7/liczby_zesp_Metro_5_6.pdf · Liczby zespolone jako wielomiany Ze zbioru liczb zespolonych mo»na wyodr¦bni¢