Na tym wykładzie chciałbym przekonać Państwa, że Mathematica może być pomocna w studiowaniu analizy matematycznej.

Liczby i działania na liczbach(* liczby całkowite *)

należy do

Element[-1,zbiór liczb całkowitych

Integers]

True

(* inaczej, używając pomocy Writing Assistant *)

-1 ∈

zbiór liczb całkowitych

Integers

True

(* Dlaczego to jest ważne ? *)

uprość

Simplify[sinus

Sin[n *

pi

Pi]]

Sin[n π]

uprość

Simplify[sinus

Sin[n *

pi

Pi],należy do

Element[n,zbiór liczb całkowitych

Integers]]

0

(* liczby pierwsze *)

należy do

Element[5,zbiór liczb pierwszych

Primes]

True

należy do

Element[15,zbiór liczb pierwszych

Primes]

False

należy do

Element3 5,zbiór liczb całkowitych

Integers

False

(* dzielniki liczby calkowitej *)

dzielniki

Divisors[17]

{1, 17}

dzielniki

Divisors[36]

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

(* najwiekszy wspolny podzielnik greatest common divisor *)

największy wspólny dzielnik

GCD[30, 15, 100]

5

(* najmniejsza wspólna wielokrotność least common multiple *)

najmniejsza wspólna wielokrotność

LCM[12, 50, 8]

600

(* liczby wymierne *)

należy do

Element3 5,liczby wymierne

Rationals

True

(* inaczej *)

3 5 ∈

liczby wymierne

Rationals

True

należy do

Element[l⋯

E,liczby wymierne

Rationals]

False

(* liczby rzeczywiste *)

należy do

Element[l⋯

E,liczby rzeczywiste

Reals]

True

należy do

Element[pi

Pi,liczby rzeczywiste

Reals]

True

j⋯

I *

jedność urojona

I

-1

należy do

Element[⋯

I,liczby rzeczywiste

Reals]

False

(* liczby zespolone *)

należy do

Element[⋯

I,liczby zespolone

Complexes]

True

2 NOF_2.nb

(* inaczej *)

ⅈ ∈

liczby zespolone

Complexes

True

rozwiąż równanie

Solve[z^2 + 1 ⩵ 0, z]

{{z → -ⅈ}, {z → ⅈ}}

należy do

Element[3 - 4 *

⋯

I,liczby zespolone

Complexes]

True

(* Upraszczanie wyrażeń *)

2 5 2 + 1 2 * 4 + 1 5 - 1 + 3 40 + 135 100 27 10

1

(* Definiujemy dwie liczby z pierwiastkami, x i y,

a następnie upraszczamy ich różnicę, iloczyn i iloraz *)

x = 2 -

pierwiastek kwadratowy

Sqrt[2]; y = 1 + 2 *pierwiastek kwadratowy

Sqrt[2];

uprość

Simplify[x - y]

1 - 3 2

uprość

Simplify[x * y]

-2 + 3 2

uprość

Simplify[y / x]

3 +5

2

3 + 5 *

pierwiastek kwadratowy

Sqrt[2] 2 ⩵ y / x

True

wyczyść wszystko

ClearAll[x, y];

(* Uproscic wyrazenie *)

uprość

Simplify[wartość⋯

Abs[x] +

wartość bez⋯

Abs[x + 1] +

pierwiastek kwadratowy

Sqrt[x^2 + 4 * x + 4],należy do

Element[x,liczby rzeczywiste

Reals]]

Abs[x] + Abs[1 + x] + Abs[2 + x]

(* Uproscic wyrazenia z logarytmami *)

NOF_2.nb 3

? Log

Log[z] gives the natural logarithm of z (logarithm to base e).

Log[b, z] gives the logarithm to base b.

lo⋯

Log[liczba Eulera

E]

1

lo⋯

Log[pier⋯

Sqrt[liczba Eulera

E]]

1

2

(* bo ... *)

liczba Eulera

E^1 2 ⩵

pier⋯

Sqrt[liczba Eulera

E]

True

logarytm dziesiętny

Log10[1000]

3

(* bo ... *)

10^3 ⩵ 1000

True

logarytm

Log64, 1 4

-1

3

(* bo ... *)

64^-1 3 ⩵ 1 4

True

logarytm

Log32, 1 2

-1

5

logarytm

Log4,pierwiastek kwadratowy

Sqrt[2] 2

-Log[2]

2 Log[4]

4 NOF_2.nb

uprość

Simplify-Log[2]

2 Log[4]

-Log[2]

Log[16]

uprość pełniej

FullSimplify-Log[2]

Log[16]

-1

4

logarytm

Log5, 2 10

-1

uprość

Simplify[36^logarytm

Log[6, 5]]

36Log5

Log6

uprość pełniej

FullSimplify[36^logarytm

Log[6, 5]]

25

uprość

Simplifya a - b - b b - a - a * 1 - a b^2 - a^2

a + 2 a b + b2

a2 - b2

rozłóż na ułamki proste

Aparta + 2 a b + b2

a2 - b2

-1 +-1 - 3 a

2 -a + b+

1 - a

2 a + b

(* Rozłożyć na czynniki *)

rozłóż na czynniki

Factor[x^6 + 6 * x^5 - x^4 - 6 * x^3]

-1 + x x3 1 + x (6 + x)

(* Dla jakiej wartosci k wielomian W(x)=

x^5+3*x^4+2*x^3-5*x^2+3*x+k jest podzielny przez x-2 ? *)

rozwi⋯

Solve[reszta z dzielenia wielomianów

PolynomialRemainder[x^5 + 3 * x^4 + 2 * x^3 - 5 * x^2 + 3 * x + k, x - 2, x] ⩵ 0, k]

{{k → -82}}

(* sprawdzenie *)

uprość

Simplifyx^5 + 3 * x^4 + 2 * x^3 - 5 * x^2 + 3 * x - 82 x - 2

41 + 19 x + 12 x2 + 5 x3 + x4

NOF_2.nb 5

Równania i nierównościzredukuj

Reducex x^2 - 2 x^2 - 3 > 0, x,liczby rzeczywiste

Reals

- 3 < x < - 2 || 0 < x < 2 || x > 3

zredukuj

Reduce[2^x >

liczba E⋯

E^x, x,liczby rzeczywiste

Reals]

x < 0

(* Dopuszczalna jest nierownosc jednoczesna *)

uprość

Simplifyzredukuj

Reduce2 <

wa⋯

Absliczba Eulera

E^2 * x - 3 < 3, x,liczby rzeczywiste

Reals

x < 0 ||Log[5]

2< x <

Log[6]

2

(* Inny zapis z logicznym "and" *)

uprość

Simplifyzredukuj

Reduce2 <

wa⋯

Absliczba Eulera

E^2 * x - 3 &&wa⋯

Absliczba Eulera

E^2 * x - 3 < 3, x,liczby rzeczywiste

Reals

x < 0 ||Log[5]

2< x <

Log[6]

2

(* Uwaga: || to logiczne "lub" *)

⋯

Nuprość

Simplifyzredukuj

Reduce2 <

wa⋯

Absliczba Eulera

E^2 * x - 3 &&wa⋯

Absliczba Eulera

E^2 * x - 3 < 3, x,liczby rzeczywiste

Reals

x < 0. || 0.804719 < x < 0.89588

(* Dobrze jest wynik sprawdzic na rysunku *)

wykres

Plot2, 3,wa⋯

Absliczba Eulera

E^2 * x - 3, {x, -1, 1},zakres wykresu

PlotRange → {1.8, 3.1}

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

(* Przykład nierówności wymiernej *)

6 NOF_2.nb

uprość

Simplifyzredukuj

Reducex + 1^2 - x^2 x * 2 * x + 1 < -1, x,liczby rzeczywiste

Reals

-1 < x < 0

(* Podaj dziedzine funkcji f(x)=pierwiastek k⋯

Sqrt[4-x^2]+logarytm

Log[1-x],

czyli nierówność z logarytmem i pierwistkiem kwadratowym *)

uprość

Simplify[zredukuj

Reduce[4 - x^2 ≥ 0 && 1 - x > 0, x,liczby rzeczywiste

Reals]]

-2 ≤ x < 1

(* ... albo jeszcze prościej tak *)

In[1]:=

dziedzina funkcji

FunctionDomain[pierwiastek kwadr⋯

Sqrt[4 - x^2] +

logarytm

Log[1 - x], x]

Out[1]= -2 ≤ x < 1

(* Przykład nierówności trygonometrycznej *)

uprość

Simplify[zredukuj

Reduce[sinus

Sin[x] +

cosinus

Cos[x] >

pierwiaste⋯

Sqrt[2] *

cosinus

Cos[2 * x], x,liczby rzeczywiste

Reals]]

C[1] ∈ Integers && 2 ArcTan1 - 2 + π C[1] < x < 2 ArcTan1 + 2 + π C[1]

(*

stała

C[1] jest dowolną liczbą całkowitą, a literastała

C jest zastrzeżona dla stałych *)

uprość pełniej

FullSimplify[zredukuj

Reduce[sinus

Sin[x] +

cosinus

Cos[x] >

pierwiaste⋯

Sqrt[2] *

cosinus

Cos[2 * x], x,liczby rzeczywiste

Reals]]

C[1] ∈ Integers && π + 4 x > 8 π C[1] && 4 x < π 3 + 8 C[1]

(* Zmiana: teraz szukamy rozwiązań w postaci par liczb całkowitych *)

uprość

Simplify[zredukuj

Reduce[x^2 + y^2 - 2 * x ⩵ 7, {x, y},zbiór liczb całkowitych

Integers]]

x ⩵ -1 || x ⩵ 3 && y ⩵ -2 || y ⩵ 2

(* Rysowanie funkcji danej w postaci uwikłanej *)

NOF_2.nb 7

wykres kontu⋯

ContourPlotcosinus

Cos[x] +

cosinus

Cos[y] ⩵ 1 2, {x, 0, 4pi

Pi}, {y, 0, 4pi

Pi}

0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

12

(* Możemy podać więcej równań *)

wykres konturowy

ContourPlotx^2 + y^2 ⩵ 2, x^2 - y^2 ⩵ 1 4,

{x, -2, 2}, {y, -2, 2},osie

Axes →

pra⋯

True,oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "y"}

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y

(* Zadanie 6 z zestawu nr 2:

Jaką figurę geometryczną wyznacza na płaszczyźnie xy układ nierówności:

2*x+y ≤ 4, (x+4)2 ≥ y , y ≥ -1 ? *)

8 NOF_2.nb

wykres regionu na płaszczyźnie

RegionPlot2 * x + y ≤ 4 && (x + 4) 2 ≥ y && y ≥ -1, {x, -7, 3}, y, -3 2, 3

-6 -4 -2 0 2

-1

0

1

2

3

(* Zadanie 4 z zestawu nr 4: Dana jest funkcja f(x)=

2*x-3. Narysować wykresy funkcji f(x), f(x)-1, fx+1,

f(-x),-f(x), -f(-x), f(x) , f2*x, f1x, f^-1(x),1f(x) *)

wyczyść

Clear[f, x];

f[x_] := 2 * x - 3

sol =

rozwiąż równanie

Solve[f[x] ⩵ y, x]

x →3 + y

2

wyczyść wszystko

ClearAll[g, y];

g[y_] := x /. sol[[1]]

g[y]

3 + y

2

NOF_2.nb 9

wykres

Plotf[x], f[x] - 1, f[x + 1], f[-x], -f[x], -f[-x],wartość bezwzględna

Abs[f[x]], f[2 * x], f1 x, g[x],

{x, -2, 2},legenda dla grafik

PlotLegends → "f(x)", "f(x)-1", "f(x+1)", "f(-x)",

"-f(x)", "-f(-x)", "|f(x)|", "f(2x)", "f(1/x)", "f-1(x)"

-2 -1 1 2

-15

-10

-5

5

10

15 f(x)

f(x)-1

f(x+1)

f(-x)

-f(x)

-f(-x)

|f(x)|

f(2x)

f(1/x)

f-1(x)

Granice ciągów i funkcji(* Przykład "zwykłej" definicji ciągu *)

a[n_] := n! n^2 + 1

tabela

Table[a[n], {n, 1, 12}]

1

2,2

5,3

5,24

17,60

13,720

37,504

5,8064

13,181 440

41,3 628 800

101,19 958 400

61,95 800 320

29

wyczyść wszystko

ClearAll[a]

(* Rekurencyjna definicja ciągu Fibonacciego *)

a[1] = a[2] = 1; a[n_] := a[n - 2] + a[n - 1];

a[3]

2

tabela

Table[a[n], {n, 1, 15}]

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610}

wyczyść wszystko

ClearAll[a]

(* Mathematica potrafi rozpoznać, z jakim ciągiem mamy do czynienia *)

rozwiąż równania rekurencyjne

RSolve[{a[1] == 1, a[2] == 1, a[n] == a[n - 2] + a[n - 1]}, a[n], n]

{{a[n] → Fibonacci[n]}}

10 NOF_2.nb

Granice ciągów (przy n→∞)

(* Dzięki programowi Mathematica mamy szansę lepiej zrozumieć definicje *)

(* Mozemy sprawdzic z definicji, ze granica ponizszych ciagow wynosi zero *)

(* Poniżej obrazek z serwisu

http://www.analizamatematyczna.enhost.pl *)

g = 0;uprość

Simplifyzredukuj

Reducewartość bezwzględna

Abs1 n - g < epsilon, n,liczby rzeczywiste

Reals, n > 0 && epsilon > 0

epsilon n > 1

(* czyli n > 1epsilon *)

g = 0;

wn =

uprość

Simplifyzredukuj

Reducewartość bezwzględna

Abs1 n^2 + n - g < epsilon, n,liczby rzeczywiste

Reals,

n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < 1

1 + 2 n >4 + epsilon

epsilon

(* czyli n >4+epsilon

epsilon-1 2 *)

g = 0;

uprość

Simplify[zredukuj

Reduce[wartość bezwzględna

Abs[2^(-n) - g] < epsilon, n,liczby rzeczywiste

Reals], n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < 1]

n Log[2] + Log[epsilon] > 0

(* czyli n > -

logarytm

Log[epsilon]logarytm

Log[2] *)

g = 3;

uprość

Simplifyzredukuj

Reducewartość bezwzględna

Abs3 * n^2 + n - 1 n^2 + 5 n + 2 - g < epsilon, n,liczby rzeczywiste

Reals,

n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < 1

epsilon 5 + 2 n > 14 + 196 - 112 epsilon + 17 epsilon2

NOF_2.nb 11

epsilon = 1 1000;

soln0 =

⋯

Nrozwiąż równanie

Solveepsilon 5 + 2 n == 14 +√

196 - 112 epsilon + 17 epsilon2, n;

n0 =

sufit

Ceiling[n /. soln0[[1]]];

wykres

Plot3 * n^2 + n - 1 n^2 + 5 n + 2, 3, 3 + epsilon, 3 - epsilon,

{n, n0 - 1000, n0 + 10 000},zakres wykresu

PlotRange → 3 - epsilon * 11 10, 3 + epsilon * 11 10

14 000 16 000 18 000 20 000 22 000 24 000

2.9990

2.9995

3.0000

3.0005

3.0010

(* Pewne BARDZO znane granice *)

granica

Limit1 + 1 n^n, n →

nieskończoność

Infinity

ⅇ

(* To nie jest "zwykłe" e, ale liczba Eulera,

w Mathematice oznaczane przezliczba Eulera

E albo specjalne, pogrubione e *)

granica

Limit1 - 1 n^n, n →

nieskończoność

Infinity

1

ⅇ

(* Wzór Stirlinga *)

granica

Limitn! *

liczba Eulera

E^n n^n *pierwias⋯

Sqrt[2 *pi

Pi * n] , n →

nieskończoność

Infinity

1

granica

Limit6 * n^2 - 2 * n + 2 3 * n^2 + 5 * n - 2, n →

nieskończoność

Infinity

2

granica

Limit2^n + 3 3^n + 2, n →

nieskończoność

Infinity

0

12 NOF_2.nb

granica

Limitsinus

Sin[n!] n + 2, n →

nieskończoność

Infinity

0

granica

Limitsumowanie

Sum[2 * i - 1, {i, 1, n}] n + 2, n →

nieskończoność

Infinity

∞

granica

Limitsumowanie

Sum[i, {i, 1, n}] n^2, n →

nieskończoność

Infinity

1

2

granica

Limitn^2 + n + 3 3 * n^2 - 5 * n - 2, n →

nieskończoność

Infinity

1

3

Granice funkcji

(* Na początek ostrzeżenie *)

wyk⋯

Plotfunkcja eksponencjalna

Exp-1 x, {x, -2, 2},zakres wykresu

PlotRange → {-2, 10},oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "f(x)"}

-2 -1 1 2x

-2

2

4

6

8

10f(x)

granica

Limitfunkcja eksponencjalna

Exp-1 x, x → 0

0

(* To nie jest poprawna odpowiedź, bo 0 jest granicą prawostronną,

a granica jako taka nie istnieje ! *)

(* W przypadkach wątpliwych warto narysować

funkcję i sprawdzić jawnie granicę prawostronną ... *)

granica

Limitfunkcja eksponencjalna

Exp-1 x, x → 0,kierunek

Direction → -1

0

(* oraz lewostronną: *)

NOF_2.nb 13

granica

Limitfunkcja eksponencjalna

Exp-1 x, x → 0,kierunek

Direction → 1

∞

(* Granice z funkcji wymiernych *)

granica

Limit[-5 * x^2 - 3 * x + 1, x → -

nieskończoność

Infinity]

-∞

granica

Limit[-3 * x^2 *pierwiastek kwadratowy

Sqrt[5 * x^2 + 7], x →

nieskończoność

Infinity]

-∞

granica

Limit-5 * x^5 + 3 * x x^2 - 2, x → -

nieskończoność

Infinity

∞

granica

Limitx^4 - 1 x - 1, x → 1

4

granica

Limitx^2 - 4 * x + 3 x - 3, x → 3

2

granica

Limitx^3 + 1^1 4 + x^4 + 1^1 3, x →

nieskończoność

Infinity

∞

granica

Limitsinus

Sin[x] x, x → 0

1

granica

Limitcosinus

Cos[x] x *

sinus

Sin[x], x → 0

∞

granica

Limitpierwiastek kwadratowy

Sqrt[x] - 1 x - 1, x → 1

1

2

granica

Limit5 * x^4 - 2 * x^2 - 17 8 - 12 * x^3 - x^4, x →

nieskończoność

Infinity

-5

granica

Limit2 x - 2 - (x + 6) x^2 - 4, x → 2

1

4

14 NOF_2.nb

Ostrożność jest wymagana w przypadku funkcji wielu zmiennych

Przykład: g(x,y)= x y2

x2+y2

limit1 =

granica

Limitgranica

Limitx * y^2 x^2 + y^2, y →

nieskończoność

Infinity, x →

nieskończoność

Infinity

∞

limit2 =

granica

Limitgranica

Limitx * y^2 x^2 + y^2, x →

nieskończoność

Infinity, y →

nieskończoność

Infinity

0

Granica nie powinna zależeć od drogi, po której zmierzamy do punktu (x0,y0) w płaszczyźnie XY !

Szeregi liczboweZbieżność szeregu liczbowego: czy granica sumy ∑i=1

n ai istnieje przy n → ∞ ?

(* Szereg harmoniczny jest rozbieżny *)

zbieżność sumy

SumConvergence1 n, n

False

(* ale taki naprzemienny szereg jest już zbieżny *)

zbieżność sumy

SumConvergence-1^n n, n

True

(* i Mathematica zna sumę tego szeregu: *)

sumowanie

Sum-1^n n, {n, 1,nieskończoność

Infinity}

-Log[2]

zbieżność sumy

SumConvergence1 n^2, n

True

sumowanie

Sum1 n^2, {n, 1,nieskończoność

Infinity}

π2

6

(* Bardziej ogólny wynik dla szeregu 1n^alpha: dostaniemy warunek,

kiedy szereg jest zbieżny *)

NOF_2.nb 15

zbieżność sumy

SumConvergence1 n^alpha, n

Re[alpha] > 1

uprość

Simplifysumowanie

Sum1 n^alpha, {n, 1,nieskończoność

Infinity},część rzeczywista

Re[alpha] > 1

Zeta[alpha]

? Zeta

Zeta[s] gives the Riemann zeta function ζ(s).

Zeta[s, a] gives the generalized Riemann zeta function ζ(s, a).

(* Znany wynik dla szeregu geometrycznego *)

zbieżność sumy

SumConvergence[q^n, n]

Abs[q] < 1

uprość

Simplify[sumowanie

Sum[q^n, {n, 1,nieskończoność

Infinity}],wartość bezwzględna

Abs[q] < 1]

-q

-1 + q

PochodnePochodna funkcji f(x) w punkcie x0

(https://pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna)

16 NOF_2.nb

(* Używając w programie Mathematica komendyoblicz pochodną

D,musimy zawsze wskazać,

po czym różniczkujemy, nawet jeśli nam wydaje się to zupełnie oczywiste ! *)

h = a * x^6

a x6

oblicz pochodną

D[h, x]

6 a x5

oblicz pochodną

D[h, a]

x6

(* pochodne wyższych rzędów *)

oblicz pochodną

D[h, {x, 4}]

360 a x2

w[x_] := x^3 x^2 + 1

w'[x]

-2 x4

1 + x22+

3 x2

1 + x2

w''[x]

8 x5

1 + x23-

14 x3

1 + x22+

6 x

1 + x2

uprość

Simplify[w''[x]]

-2 x -3 + x2

1 + x23

(* i tak dalej ... *)

uprość

Simplify[w''''''[x]]

-720 x -7 + 35 x2 - 21 x4 + x6

1 + x27

uprość

Simplify[oblicz pochodną

D[w[x], {x, 6}]]

-720 x -7 + 35 x2 - 21 x4 + x6

1 + x27

NOF_2.nb 17

⋯

D[pierwiastek kwadratowy

Sqrt[2 * x], x]

1

2 x

⋯

D[sinus

Sin[x] *

cosinus

Cos[x], x]

Cos[x]2 - Sin[x]2

ob⋯

Dsinus

Sin[2 * x]^5, x

10 Cos[2 x] Sin[2 x]4

⋯

D[funkcja eksponencjalna

Exp[7 * x + 3], x]

7 ⅇ3+7 x

⋯

D[tangens

Tan[x], x]

Sec[x]2

In[4]:= (*

secans

Sec[x] to 1cosinus

Cos[x] *)

In[3]:=

secans

Sec[x] === 1 cosinus

Cos[x]

Out[3]= True

In[5]:=

⋯

D[tangens

Tan[x], x] === 1

cosinus

Cos[x]^2

Out[5]= True

oblicz pochodną

D[x^x, x]

xx 1 + Log[x]

(* Mathematica zna też ogólniejsze twierdzenia o pochodnych,

na przykład o pochodnej iloczynu ... *)

oblicz pochodną

D[f1[x] * f2[x], x]

f2[x] f1′[x] + f1[x] f2′[x]

(* lub ilorazu *)

rozłóż ⋯

Factoroblicz pochodną

Df1[x] f2[x], x

f2[x] f1′[x] - f1[x] f2′[x]

f2[x]2

18 NOF_2.nb

(* Równaniami różniczkowymi będziemy się zajmować

bardziej szczegółowo na jednym z kolejnych wykładów;

teraz sprawdźmy, że funkcja x[t]= A*co⋯

Cospierwiastek kwadratowy

Sqrtkm*t+

B*si⋯

Sinpierwiastek kwadratowy

Sqrtkm*t jest rozwiązaniem równania m*x''[t]+k*x[t]=0 *)

wyczyść

Clear[x, A, B, k, m]

x[t_] := A *co⋯

Cospierwiastek kwadratowy

Sqrtk m * t + B *si⋯

Sinpierwiastek kwadratowy

Sqrtk m * t

uprość

Simplify[m * x''[t] + k * x[t] == 0]

True

(* Weźmy funkcję wielu zmiennych *)

v =

sinus

Sin[x + y] *

cosinus

Cos[x - 2 * z]

Cos[x - 2 z] Sin[x + y]

oblicz pochodną

D[v, x]

Cos[x + y] Cos[x - 2 z] - Sin[x + y] Sin[x - 2 z]

oblicz pochodną

D[v, y]

Cos[x + y] Cos[x - 2 z]

oblicz pochodną

D[v, z]

2 Sin[x + y] Sin[x - 2 z]

(* pochodna po x i y *)

oblicz pochodną

D[v, x, y]

-Cos[x - 2 z] Sin[x + y] - Cos[x + y] Sin[x - 2 z]

(* rozwinięcie w szereg *)

szereg

Series[sinus

Sin[x], {x, 0, 5}]

x -x3

6+

x5

120+ O[x]6

szereg

Series[cosinus

Cos[x], {x, 0, 7}]

1 -x2

2+x4

24-

x6

720+ O[x]8

NOF_2.nb 19

wykres

Plotcosinus

Cos[x], 1 - x^2 2 + x^4 24 - x^6 720, {x, 0, 3}

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Jedno z wielu zastosowań pochodnych: równania stycznych do wykresu funkcji

(* Styczna do paraboli y=x^2 o równaniu y = a*x + b *)

wyczyść

Clear[f, x];

f[x_] = x^2

x2

df =

oblicz pochodną

D[f[x], x]

2 x

x0 = 3;

(* Współczynnik kierunkowy prostej jest równy pochodnej w punkce x0 *)

a = df /. x → x0

6

(* Współczynnik b dostajemy z warunku,

ze prosta musi przechodzić przez punkt x0,fx0 *)

solb =

rozwiąż równanie

Solve[a * x0 + b ⩵ f[x0], b]

{{b → -9}}

b = b /. solb[[1]]

-9

20 NOF_2.nb

wykres

Plot[{f[x], a * x + b, f[x0]}, {x, x0 - 3, x0 + 3},zakres wykresu

PlotRange →

ws⋯

All,oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "x^2"}]

1 2 3 4 5 6x

-10

10

20

30

x^2

wyczyść

Clear[a, b, x0];

(* Styczna do elipsy *)

A = 2;

B = 1;

wykres konturowy

ContourPlotx^2 A^2 + y^2 B^2 ⩵ 1, {x, -A, A},

{y, -B, B},osie

Axes →

pra⋯

True,oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "y"},format obrazu

AspectRatio → 1 2

-2 -1 0 1 2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

wyczyść

Clear[A, B];

elipsa = x^2 A^2 + y^2 B^2 ⩵ 1

x2

A2+y2

B2⩵ 1

(* Dla ustalonego x szukamy y *)

soly =

rozwiąż równanie

Solve[elipsa, y]

y → -B A2 - x2

A, y →

B A2 - x2

A

NOF_2.nb 21

(* Rózniczkuje rownanie elipsy. Dzieki opcjinie stałe

NonConstants→

y moge wyliczyc pochodna dydx ! *)

delipsa =

oblicz pochodną

D[elipsa, x,nie stałe

NonConstants → y]

2 x

A2+2 y D[y, x, NonConstants → {y}]

B2⩵ 0

rozwiąż równanie

Solve[delipsa,oblicz ⋯

D[y, x,nie stałe

NonConstants → {y}]]

D[y, x, NonConstants → {y}] → -B2 x

A2 y

(* Równanie prostej,

która przechodzi przez punkt x0,y0 i ma współczynnik kierunkowy a,

ma postac: y-y0 = a*x - x0 *)

h1 =

zgrupuj

Togethery - y0 +B2 x0

A2 y0x - x0 ⩵ 0

B2 x x0 - B2 x02 + A2 y y0 - A2 y02

A2 y0⩵ 0

h2 =

uprość

Simplify[h1, A > 0 && y0 ≠ 0]

y +B2 x - x0 x0

A2 y0⩵ y0

(* Musimy jeszcze uwzglednic fakt,

ze punkt x0,y0 nalezy do elipsy, czyli spelnia rownanie elipsy *)

h3 =

rozszerz

Expand[h2]

y +B2 x x0

A2 y0-B2 x02

A2 y0⩵ y0

styczna[x0_, y0_] = h3 /. B^2 * x0^2 + A^2 * y0^2 → A^2 * B^2

y +B2 x x0

A2 y0-B2 x02

A2 y0⩵ y0

(* Czesciej uzywana forma *)

styczna2[x0_, y0_] = x0 * x A^2 + y0 * y B^2 ⩵ 1

x x0

A2+y y0

B2⩵ 1

(* Przykład *)

A = 2; B = 1;

x0 = 1;

22 NOF_2.nb

soly

y → -1

24 - x2 , y →

4 - x2

2

solyx0 = soly /. x → x0

y → -3

2, y →

3

2

y0 = {y /. solyx0[[1]], y /. solyx0[[2]]}

-3

2,

3

2

styczna2[x0, y0[[1]]]

x

4-

3 y

2⩵ 1

styczna2[x0, y0[[2]]]

x

4+

3 y

2⩵ 1

A = 2;

B = 1;

wykres konturowy

ContourPlotx^2 A^2 + y^2 B^2 ⩵ 1,x

4+

3 y

2⩵ 1,

x

4-

3 y

2⩵ 1, {x, -2 * A, 2 * A},

{y, -2 * B, 2 * B},osie

Axes →

pra⋯

True,oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "y"},format obrazu

AspectRatio → 1 2

-4 -2 0 2 4-2

-1

0

1

2

x

y

Badanie przebiegu zmienności funkcji(* Zadanie domowe nr 3 z zestawu nr 5:

zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)=x^2+2x+1 *)

wyczyść wszystko

ClearAll[f, x, y];

NOF_2.nb 23

f[x_] = x^2 + 2 x + 1

2 + x2

1 + x

(* Dziedzina funkcji *)

Df =

dziedzina funkcji

FunctionDomain[f[x], x,liczby rzeczywiste

Reals]

x < -1 || x > -1

(* Dziedzina funkcji jest w danym przypadku oczywista *)

uprość

Simplify[zredukuj

Reduce[1 + x ≠ 0, x,liczby rzeczywiste

Reals]]

1 + x ≠ 0

(* Przeciwdziedzina zbiór wartości funkcji: uwaga na składnię ! *)

Rf =

zakres funkcji

FunctionRange[f[x], x, y]

y ≤ 2 -1 - 3 || y ≥ 2 -1 + 3

(* To już nie było takie oczywiste ! *)

(* Granice w minus i plus nieskończoności *)

g1 =

granica

Limit[f[x], x -> -

nieskończoność

Infinity]

-∞

g2 =

granica

Limit[f[x], x ->

nieskończoność

Infinity]

∞

(* Funkcja nie ma więc asymptot poziomych *)

(* Granica lewostronna i prawostronna przy x→ -1 *)

g3 =

granica

Limit[f[x], x → -1,kierunek

Direction → 1]

-∞

g4 =

granica

Limit[f[x], x → -1,kierunek

Direction → -1]

∞

(* Czy funkcja jest parzysta ? *)

uprość pełniej

FullSimplify[kwantyfikator ogólny

ForAll[x, Df, f[x] ⩵ f[-x]]]

False

(* Czy funkcja jest nieparzysta ? *)

24 NOF_2.nb

uprość pełniej

FullSimplify[kwantyfikator ogólny

ForAll[x, Df, f[-x] ⩵ -f[x]]]

False

(* pierwsza pochodna *)

df1 =

uprość

Simplify[oblicz pochodną

D[f[x], x]]

-2 + 2 x + x2

1 + x2

(* Dla jakich x pochodna jest ujemna ? *)

uprość pełniej

FullSimplify[zredukuj

Reduce[df1 < 0, x,liczby rzeczywiste

Reals]]

1 + 3 + x > 0 && 1 + x < 0 || -1 < x < -1 + 3

(* Funkcja jest malejąca dla -1- 3 < x < -1 oraz

gdy -1 < x < -1+ 3 *)

(* Dla jakich x pochodna jest dodatnia ? *)

uprość pełniej

FullSimplify[zredukuj

Reduce[df1 > 0, x,liczby rzeczywiste

Reals]]

1 + 3 + x < 0 || 1 + x > 3

(* Funkcja jest rosnąca dla x < -1- 3 oraz dla x > 3 -1 *)

(* Dla jakich x pochodna przyjmuje wartosc zero ? *)

sdf1zero =

rozwiąż równanie

Solve[df1 ⩵ 0, x]

x → -1 - 3 , x → -1 + 3

(* Lista punktów x, dla których pierwsza pochodna przyjmuje wartość zero *)

zera1poch = x /. sdf1zero

-1 - 3 , -1 + 3

przybliżenie numeryczne

N[zera1poch = x /. sdf1zero]

{-2.73205, 0.732051}

(* Po uproszczeniu wartości funkcji w tych punktach *)

uprość pełniej

FullSimplify[f[zera1poch]]

-2 1 + 3 , 2 -1 + 3

⋯

N[uprość pełniej

FullSimplify[f[zera1poch]]]

{-5.4641, 1.4641}

NOF_2.nb 25

df2 =

uprość

Simplify[oblicz pochodną

D[df1, x]]

6

1 + x3

(* Dla jakich x druga pochodna jest ujemna ? *)

uprość pełniej

FullSimplify[zredukuj

Reduce[df2 < 0, x,liczby rzeczywiste

Reals]]

x < -1

(* Funkcja jest wklęsła dla x < -1 *)

(* Dla jakich x druga pochodna jest dodatnia ? *)

uprość pełniej

FullSimplify[zredukuj

Reduce[df2 > 0, x,liczby rzeczywiste

Reals]]

x > -1

(* Funkcja jest wypukła dla x > -1 *)

(* Dla jakich x druga pochodna przyjmuje wartosc zero ? *)

sdf2zero =

rozwiąż równanie

Solve[df2 ⩵ 0, x]

{}

(* Funkcja nie ma punktów przegięcia *)

(* Wartości drugiej pochodnej dla miejsc zerowych pierwszej pochodnej *)

zera1poch

-1 - 3 , -1 + 3

wartosci2poch = df2 /. sdf1zero

-2

3,

2

3

(* Dlatego f(x) ma w punkcie -1- 3 ,- 2

3 maksimum lokalne,

a w punkcie -1+ 3 , 2

3 minimum lokalne *)

(* Na koniec sprawdzimy jeszcze, czy istnieją asympoty ukośne *)

a1 =

granica

Limitf[x] x, x → -

nieskończoność

Infinity

1

1

1

1

26 NOF_2.nb

b1 =

granica

Limit[f[x] - a1 * x, x → -

nieskończoność

Infinity]

-1

-1

-1

-1

a2 =

granica

Limitf[x] x, x →

nieskończoność

Infinity

1

b2 =

granica

Limit[f[x] - a2 * x, x →

nieskończoność

Infinity]

-1

(* Prosta o równaniu y=x-1 jest asymptotą ukośną zarówno dla x→ -∞,

jak i dla x→ ∞ *)

(* Wykres funkcji wraz z asymptotami *)

wykres

Plot[{f[x], a1 * x + b1}, {x, -4, 3},oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "f(x)"}]

-4 -3 -2 -1 1 2 3x

-15

-10

-5

5

10

f(x)

Całka nieoznaczonacałka

Integrate[x^a, x]

x1+a

1 + a

całka

Integrate1 x, x

Log[x]

NOF_2.nb 27

całka

Integratepierwiastek kwadratowy

Sqrt(x + 7) x + 2, x

1

7 + x

7 + x

2 + x2 + x 7 + x + 5 2 + x ArcSinh

2 + x

5

uprość

Simplifyoblicz pochodną

D1

7 + x

7 + x

2 + x2 + x 7 + x + 5 2 + x

arcus sinus hiperboliczny

ArcSinh2 + x

5 , x

7 + x

2 + x

całka

Integrate[cosinus

Cos[x], x]

Sin[x]

całka

Integrate[sinus

Sin[x], x]

-Cos[x]

całka

Integrate[tangens

Tan[x], x]

-Log[Cos[x]]

całka

Integrate[cotangens

Cot[x], x]

Log[Sin[x]]

całka

Integratesinus

Sin[x] *

cosinus

Cos[x]

sinus

Sin[x]^4 +

cosinus

Cos[x]^2, x

-1

3ArcTan

1 - 2 Tan[x]

3 + ArcTan

1 + 2 Tan[x]

3

całka

Integrate[funkcja eksponencjalna

Exp[x], x]

ⅇx

całka

Integratex^3 x^2 + 1, x

x2

2-1

2Log1 + x2

całka

Integrate[pierwiastek kwadratowy

Sqrt[1 + x^2], x]

1

2x 1 + x2 + ArcSinh[x]

całka

Integrate[pierwiastek kwadratowy

Sqrt[1 - x^2], x]

1

2x 1 - x2 + ArcSin[x]

28 NOF_2.nb

całka

Integrate[pierwiastek kwadratowy

Sqrt[x^2 - 1], x]

1

2x -1 + x2 -

1

2Logx + -1 + x2

całka

Integrate1

pierwiastek kwadratowy

Sqrt[1 + x^2], x

ArcSinh[x]

arcus sinus hiperboliczny

ArcSinh[x] ⅆx

- 1 + x2 + x ArcSinh[x]

całka

Integrate1 pierwiastek kwadratowy

Sqrt[1 - x^2], x

ArcSin[x]

całka

Integrate1 pierwiastek kwadratowy

Sqrt[x^2 - 1], x

Logx + -1 + x2

logarytm

Logx + -1 + x2 ⅆx

- -1 + x2 + x Logx + -1 + x2

- -1 + x2 + xlogarytm

Logx + -1 + x2 ⅆx

-3

4x -1 + x2 +

1

4Logx + -1 + x2 +

1

2x2 Logx + -1 + x2

-3

4x -1 + x2 +

1

4 logarytm

Logx + -1 + x2 +1

2x2

logarytm

Logx + -1 + x2 ⅆx

1

4-13

9-2 x2

9-1 + x2 - -1 + x2

3/2+1

3x 3 + 2 x2 Logx + -1 + x2

(* Czasem trzeba zachować ostrożność,

bo Mathematica lubi używać zespolonego rachunku,

a my oczekujemy funkcji rzeczywistej *)

całka

Integratecosinus

Cos[x] 1 +

sinus

Sin[x]^2 +

cosinus

Cos[x]^3, x

1

251 + 7 ⅈ 1 - 2 ⅈ ArcTan 1 - 2 ⅈ Tan

x

2 +

1 - 7 ⅈ 1 + 2 ⅈ ArcTan 1 + 2 ⅈ Tanx

2 - 5 Tan

x

2

(* Oczywiście nie powinniśmy żądać rzeczy

niemożliwych: niektóre całki nie wyrażają się przez funkcje elementarne *)

NOF_2.nb 29

całka

Integrate[funkcja eksponencjalna

Exp[-x^2], x]

1

2π Erf[x]

ⅇ-x2

ⅆx

1

2π Erf[x]

∂x1

2π

funkcja błędu

Erf[x]

ⅇ-x2

Cos[x]

xⅆx

CosIntegral[x]

Sin[x]

xⅆx

SinIntegral[x]

Całka oznaczonaCałka oznaczona w przypadku funkcji jednej zmiennej ∫a

bf (x)ⅆx

(rysunek ze strony

http://blog.etrapez.pl/calki-oznaczone/calki-oznaczone-definicja/)

30 NOF_2.nb

Jeśli F’(x) = f(x), to ∫abf (x)ⅆx = F(b) - F(a)

wykres

Plot[x, {x, 1, 3},oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "x"},wypełnienie

Filling →

oś

Axis]

1.5 2.0 2.5 3.0x

1.5

2.0

2.5

3.0

x

PoleTrapezu = 1 2 * 3 + 1 * 3 - 1

4

całka

Integrate[x, x]

x2

2

NOF_2.nb 31

CalkaOznaczona =x2

2/. x → 3 -

x2

2/. x → 1

4

wyk⋯

Plot[sinus

Sin[x], {x, 0,pi

Pi},oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "sin(x)"},wypełnienie

Filling →

oś

Axis]

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sin(x)

całka

Integrate[sinus

Sin[x], {x, 0,pi

Pi}]

2

WAŻNA UWAGA PRAKTYCZNA:

W wielu przypadkach opłaca się policzyć najpierw całkę nieoznaczoną, a następnie przy jej pomocy

całkę oznaczoną !

(* Poniższa instrukcja byłaby wykonywana bardzo dłuuuugo: *)

(*

uprość

Simplify∫0L/v1 v12+alpha+ beta t v1

L2ⅆt,v1>0&&alpha>0&&beta>0&&L>0 *)

(* Dlatego zrobimy tak: *)

s0 =

uprość

Simplify v12 + alpha +beta t v1

L

2

ⅆt, v1 > 0 && alpha > 0 && beta > 0 && L > 0

1

2 beta v1L alpha +

beta t v1

Lv12 + alpha +

beta t v1

L

2

+

v12 Logalpha +beta t v1

L+ v12 + alpha +

beta t v1

L

2

(* A następnie: *)

32 NOF_2.nb

s1 =

uprość

Simplifys0 /. t → L v1 - s0 /. t → 0

1

2 beta v1L -alpha alpha2 + v12 + alpha + beta alpha + beta2 + v12 -

v12 Logalpha + alpha2 + v12 + v12 Logalpha + beta + alpha + beta2 + v12

(* Pole koła o promieniu r *)

r = 2;

wykres regionu na płaszczyźnie

RegionPlot[x^2 + y^2 ≤ r^2, {x, -r, r}, {y, -r, r},osie

Axes →

pra⋯

True,oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "y"}]

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y

(* To samo przy pomocy innej instrukcji i innych opcji *)

NOF_2.nb 33

r = 2;

wykres

Plot[{-pierwiastek kwadrat⋯

Sqrt[r^2 - x^2],pierwiastek kwadratowy

Sqrt[r^2 - x^2]}, {x, -r, r},

format obrazu

AspectRatio → 1,ramka

Frame →

pra⋯

True,wypełnienie

Filling → {1 → {2}},oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "y"}]

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y

r =.;uprość

Simplify[2 *całka

Integrate[pierwiastek kwadratowy

Sqrt[r^2 - x^2], {x, -r, r}], r > 0]

π r2

(* Kilka badzo ważnych całek niewłaściwych *)

wyk⋯

Plot[funkcja eksponencjalna

Exp[-x^2], {x, -4, 4},zakres wykresu

PlotRange →

ws⋯

All,wypełnienie

Filling →

oś

Axis]

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

całka

Integrate[funkcja eksponencja⋯

Exp[-x^2], {x, -

nieskończ⋯

Infinity,nieskończoność

Infinity}]

π

34 NOF_2.nb

a = 2;wyk⋯

Plot[funkcja eksponencjalna

Exp[-a * x], {x, 0, 4},zakres wykresu

PlotRange →

ws⋯

All,wypełnienie

Filling →

oś

Axis]

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a =.;uprość

Simplify[całka

Integrate[funkcja eksponencjalna

Exp[-a * x], {x, 0,nieskończoność

Infinity}], a > 0]

1

a

f1[x_] =

m⋯

Maxsinus

Sin[x] x, 0;

f2[x_] =

mi⋯

Minsinus

Sin[x] x, 0;

wykres

Plot[{f1[x], f2[x]}, {x, -15, 15},zakres wykresu

PlotRange →

wszystko

All,

wypełnienie

Filling →

oś

Axis,oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "sin(x)/x"}]

-15 -10 -5 5 10 15x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sin(x)/x

całka

Integratesinus

Sin[x] x, {x, -

nieskończ⋯

Infinity,nieskończoność

Infinity}

π

wyczyść

Clear[f1, f2];

f1[x_] =

m⋯

Max[sinus

Sin[x^2], 0];

NOF_2.nb 35

f2[x_] =

mi⋯

Min[sinus

Sin[x^2], 0];

wykres

Plot[{f1[x], f2[x]}, {x, -4, 4},zakres wykresu

PlotRange →

wszystko

All,

wypełnienie

Filling →

oś

Axis,oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "sin(x^2)"}]

-4 -2 2 4x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

sin(x^2)

całka

Integrate[sinus

Sin[x^2], {x, -

nieskończ⋯

Infinity,nieskończoność

Infinity}]

π

2

całka

Integrate[cosinus

Cos[x^2], {x, -

nieskończ⋯

Infinity,nieskończoność

Infinity}]

π

2

(* Objętość pod wykresem funkcji dwóch

zmiennych wymaga podwójnej całki oznaczonej *)

wykres trójwymiarowy

Plot3D[x^2 + 2 * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5},oznaczenia osi

AxesLabel → {"x", "y", "f(x,y)"}]

36 NOF_2.nb

całka

Integrate[x^2 + 2 * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}]

120

(* Policzmy teraz objętość kuli, czyli podwojoną objętość półkuli o promieniu r,

używając współrzednych kartezjańskich *)

wyczyść

Clear[r];

2 *

całka

Integrate [

pierwiastek kwadratowy

Sqrt[r^2 - x^2 - y^2], {x, -r, r}, {y, -

pierwiastek kwadrat⋯

Sqrt[r^2 - x^2],pierwiastek kwadratowy

Sqrt[r^2 - x^2]}]

4 π r3

3

(* Kula jest kostką we współrzędnych sferycznych i trójwymiarowa

całka oznaczona po rp, theta i phi ma bardzo proste granice *)

całka

Integrate[rp^2 *

sinus

Sin[theta], {rp, 0, r}, {theta, 0,pi

Pi}, {phi, 0, 2 *

pi

Pi}]

4 π r3

3

Inne zastosowania całek oznaczonych w fizyce i technice poznacie Państwo niebawem !

NOF_2.nb 37