Libro Matematicas Mareaverde 3º ESO

3B deESO

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NmerosRacionales

Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.3BESO.Captulo1:NmerosRacionales Autor:PacoMoyaLibrosMareaVerde.tk Revisora:MaraMolerowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:PacoMoyayBancodeImgenesdeINTEF

4 NmerosRacionales.3BdeESOndice

0.TECONVIENERECORDAR0.1.PRIORIDADDELASOPERACIONES0.2.USODEPARNTESIS0.3.OPERACIONESCONENTEROS

1.NMEROSRACIONALES1.1.DEFINICIN1.2.FRACCIONESEQUIVALENTES1.3.ORDENACINDEFRACCIONES1.4.REPRESENTACINENLARECTANUMRICA1.5.OPERACIONESCONFRACCIONES

2.APROXIMACIONESYERRORES 2.1.REDONDEO 2.2.CIFRASSIGNIFICATIVAS 2.3.ERRORABSOLUTOYERRORRELATIVO3.FRACCIONESYDECIMALES

3.1.EXPRESINDECIMALDEUNAFRACCIN3.2.FORMADEFRACCINDEUNAEXPRESINDECIMAL.FRACCINGENERATRIZ

4.RESOLUCINDEPROBLEMASMEDIANTEFRACCIONESResumenEnestecaptulovamosa recordarmuchasde lascosasqueya sabesdecursosanteriores,como lasoperacionesconnmerosnaturalesyenteros,lasoperacionesconfraccionesyexpresionesdecimales.Estudiaremoslosnmerosracionales


5 NmerosRacionales.3BdeESO0.TECONVIENERECORDAR0.1.PrioridaddelasoperacionesCuandonohayparntesisquenosindiquenquoperacinhacerprimerooenoperacionesdentrodeunparntesissellegaunacuerdoparasabercomoactuar.Asaber:

1Seresuelvenlosparntesisinteriores.Sinohayparntesisodentrodeunparntesisharemos:

2Laspotenciasylasraces3Lasmultiplicacionesydivisiones.4Lassumasyrestas.

Sedebenevitar:Expresionesdeltipo1100 :5 5,dondenoestclaroquhacer(lamultiplicacinydivisintienenigual prioridad). Se deben poner parntesis para indicar cual hacer primero. La expresin de arribapuedeser:

1(100:5)5=99obien1100:(55)=3.Detodasformas,sitelaencuentras,hars:

5Sihayvariasoperacionesconigualprioridadseharndeizquierdaaderecha.Ejemplos:

(57)108 Nopodemoshacer108(buenospuedes,peronodebes) Primeroelparntesis2108 Despuselproducto208Porltimolaresta28

10232=1029=1018=8.Aquestprohibidohacer102yhacer23. 3(2+4)28522=322854=12820=16 102vale100yaqueprimerosehacelapotenciayademselsignomenosnoestelevadoa2.Sinembargo(10)2squevale+100.

102=1010=100 (10)2=(10)(10)=+100 925=325=75.Primerosehacelaraz. 109xnoes1xpuestoquenopuedehacerselarestabajoningnconcepto.

Tenencuentaqueestaprioridadesvlidasiempre,paraoperacionescontodotipodenmerosuotrosobjetos(porejemplo:polinomios).Merecelapenasabrsela,no?


6 NmerosRacionales.3BdeESO0.2.UsodeparntesisLosparntesisnos indican lasoperacionesquesetienenquehacerprimero.Dehecho loprimeroqueharemossernlosparntesisinterioresyseguiremosdedentrohaciafuera.Escomovestirse:primerotepones lacamiseta, luegoel jerseyydespus lacazadora.Escomplicadohacerloal revs.Porello,antesdeponerteacalcularaloloco,miratodalaexpresinparaverqusehaceprimero. Debe haber tantos parntesis abiertos como cerrados, en caso contrario se dice que los

parntesisnoestnbienbalanceados. Sialgomultiplicaaunparntesisnoesnecesarioponerelsmbolo.

Ejemplos: 2(22(222))=2(22(24))=2(22(2))=2(2+4)=26=12 2(32)=21 (23)(64)=12=2 Siqueremosdividirentre2elresultadodehacer7590nopondremosesto7590:2,aquel2slodividea90.Escribiremos(7590):2

Losparntesisseutilizanparameterargumentosdefunciones.Porejemplo:

Sienunprogramaoenlacalculadoraqueremoshacerlarazde10034,escribiremosraz(100*34).0.3.Operacionesconenteros Recordamoslomsimportante:Regladelossignosparalasuma:

Lasumade2nmerospositivosespositiva.Ejemplo:+5+7=+12 Lasumade2nmerosnegativosesnegativa.Ejemplo:1017=27

Seponeelsigno,ysesumansusvaloresabsolutos.Ejemplo:

Sipierdo10ydespuspierdootros17,heperdido27Lasumadeunnmeropositivoconotronegativotendrelsignodelmayorenvalorabsoluto.Ejemplo:

7+15=+8; +8+(20)=820=12Seponeelsignodelmsgrande(envalorabsoluto)yserestan.Ejemplo:

Sipierdo7ydespusgano15,heganado8(sonmayoreslasgananciasquelasprdidas).Ejemplo:

Sigano8perodespuspierdo20,heperdido12(sonmayoreslasprdidas).Regladelossignosparalamultiplicacin(yladivisin):

PositivoxPositivo=Positivo

Suma + + + > >

x + + + +


7 NmerosRacionales.3BdeESO PositivoxNegativo=NegativoxPositivo=Negativo NegativoxNegativo=Positivo.

Ejemplos: +2(7)=14.Sirecibodeherencia2deudasde7,tengounadeudade14. 2(7)=+14.Simequitan2deudasde7,heganado14!

Ahoraalgodematemticasserias,queyaestamosen3!Demostracinrigurosadeque0x=0paratodoxydeque(1)(1)=+1Paraellovamosautilizar4propiedadesdelosnmerosqueconoces:1)a+0=aparatodonmeroa(0eselelementoneutrodelasuma)2)Lapropiedaddistributiva:a(b+c)=ab+ac3)1a=aparatodonmeroa(1eselelementoneutrodelproducto)4)aeselopuestode+a,esdecira+a=a+(a)=0Demostramos0x=0paratodonmerox:Comoaa=0,porlapropiedaddistributiva:x(aa)=x0=xaxa=0Demostramosque(1)(1)=+1:(1)(1+1)=(1)0=0;peroporlapropiedaddistributiva(1)(1+1)=(1)(1)+(1)1=(1)(1)+(1).Luego(1)(1)+(1)=0.Sisumamos1enambosmiembros:(1)(1)+(1)+1=+1(1)(1)+0=+1(1)(1)=+1Actividadesresueltas Calculapasoapaso:

(((155(206)):(1542))+542)(10)Calculamosenprimerlugar20 6=26;42=16y42=8ynosqueda:(((155(26)):(15 16))+5 8)(10)=(((15+130):(1)) 3)(10)=((115:(1))3)(10)=(1153)(10)=118(10)=+1180

Actividadespropuestas1. Calcula: a)20+15 b)2(20+15) c)20:(102(20+15)) d)(8020:(102(20+15)))(3232)2. Calcula: a)10+20:(5) b)(10+20):(5) c)100:((20):(5)) d)(100:(20)):(5) e) 3643. Calcula: a) 2 33 (4 3 2 5) (3 5) b) 22 )97()5(235 c) 22 )2(8)3(2)53(27 d) 2 32 (2 3 3 4) (2 4)


8 NmerosRacionales.3BdeESO1.NMEROSRACIONALES1.1.DefinicinLosnmerosracionalessontodosaquellosnmerosquepuedenexpresarsemedianteunafraccindenmerosenteros.Esdecir,elnmeroresracionalsi ar

b ,cona,bnmerosenterosyb0.

Una fraccin es una divisin indicada, as 7 7 : 3

3 , pero la divisin no se realiza hasta que lo

necesitemos.Haymuchasocasionesenlasqueesmejordejarlasoperacionesindicadas.Conunejemplobastar:

Pruebaahacer ladivisin1,142857142857 :8,difcil,no?, sinembargo, 8 1:87 7

esalgomssencillayademsexacta.

Elnombreracionalvienederazn,queenmatemticassignificadivisinocociente.ElconjuntodelosnmerosracionalesserepresentaporQ.Unnmeroracionaltieneinfinitasrepresentacionesenformadefraccin.As: 1 3 6 ...

3 9 18 son infinitas fracciones que representan almismo nmero racional, se les llama

equivalentespuestoquetienen igualvalornumrico.Sihacemos lasdivisionesenelejemplotodasvalen0,333queessuexpresindecimal.Los nmeros enteros son racionales puesto que se pueden expresarmediante una fraccin, porejemplo 82

4

Todo nmero racional tiene un representante que es su fraccin irreducible, aquella que tiene losnmerosmspequeosposiblesenelnumeradoryeldenominador.Aestafraccinsellegaapartirdecualquierotradividiendoelnumeradorydenominadorporelmismonmero.Sisequierehacerenunsolopaso sedividirentreelMximoComnDivisor (M.C.D.)delnumeradoryeldenominador.Porejemplo: 60 6 3

80 8 4 dondehemosdivididoprimeroentre10ydespusentre2,peropodamoshaber

divididoentre20directamenteyaque20eselMCD(60,80).Portanto 34eslafraccinirreducibleypor

ellolaquerepresentaalnmeroracionalquetieneotrasmuchasformasdefraccincomo60/80=6/8=30/40=12/16=9/12=15/20,=18/24=21/28=24/32=27/36yporexpresindecimal0,75


9 NmerosRacionales.3BdeESO1.2.FraccionesequivalentesDosfraccionessonequivalentessiseverificanlassiguientescondiciones(todasequivalentes): Alhacerladivisinobtenemoslamismaexpresindecimal.staesladefinicin.

Ejemplo:

4:5=8:10=0,8luego 4 85 10y sonequivalentesypuedeescribirse 4 8

5 10 .

Losproductoscruzadossoniguales: a c a d b cb d

Esfcildedemostrar,multiplicamosaambosladosdeligualporbypord a cb d b d

b d ,comob:b=1yd:d=1nosquedaad=cb.

Porejemplo:

12 68 4 puestoque124=86=48

Alsimplificarlasfraccionessellegaalamismafraccinirreducible.SiA=ByC=BalafuerzaA=CEjemplo:

80 4 12 4 80 12;60 3 9 3 60 9

luego Se puede pasar de una fraccin a otra multiplicando (o dividiendo) el numerador y el

denominadorporunmismonmero.Ejemplo:6 244 16 pues bastamultiplicar el numerador y el denominador de la primera por 4 para obtener la

segunda..Engeneral

a a nb b n

ReduccinacomndenominadorCon objeto de comparar 2 oms fracciones (ver cul esmayor) y tambin para poder sumarlas orestarlasesimportanteobtenerfraccionesequivalentesquetenganelmismodenominador.Primerounejemploydespuslateora:

Quierosabersi 56esmayorque 6

7sinhacerladivisin.Buscamosunmltiplocomnde6yde7(si

es elmnimo comnmltiplomejor,peronoes imprescindible), 42esmltiplode 6 yde 7. Loescribimoscomonuevodenominadorparalas2fracciones: 5 6;

6 42 7 42


10 NmerosRacionales.3BdeESOAhoracalculamoslosnuevosnumeradores:comoel6lohemultiplicadopor7parallegara42puesel5lomultiplicamostambinpor7paraobtenerunafraccinequivalente 5 57 35

6 67 42 ycomoel

7 lohemultiplicadopor6,el6tambin lomultiplicopor6obteniendo 6 66 367 76 42 ,ahoraest

claroculdelas2esmayorno?Paraobtenerfraccionesequivalentesa conelmismodenominadorbuscamosunmltiplocomndebyd(sieselmnimocomnmltiplomejor)quellamamosmyhacemos 1.3.OrdenacindefraccionesParaordenarunaseriedefraccionesexistenvariosprocedimientos:

i) Hacerlasdivisionesycompararlasexpresionesdecimales.Esteprocedimientoeselmsfcilperonoelmsrpido(salvoquetengascalculadora).Porejemplo:

Nospidenqueordenemosdemenoramayorlassiguientesfracciones:20 21 20 21 29 28; ; ; ; ;19 20 19 20 30 29

Hacemos las divisiones que dan respectivamente: 1,0526; 1,05; 1,0526; 1,05; 0,9666 y0,9655Mirandolosnmerosdecimalessabemosque:

20 21 28 29 21 2019 20 29 30 20 19

RecuerdaqueLosnmerosnegativossonsiempremenoresquelospositivosyademsentrenmerosnegativosesmenorelquetienemayorvalorabsoluto(4


11 NmerosRacionales.3BdeESOYalrevs: 8 10 8911 10911 811 1099 11 9 11 ;hemosmultiplicadopor911ysimplificado.Noesnecesarioqueuses lademostracin, laponemossloparaqueveasqueenmatemticascasitodotienesuexplicacin.Ylodeusarlalgicaques?Empezamosporlomsfcil,Ejemplo:

Comparar20 2819 29

y 20 119

puestoque20>19.Pero 28 129

yaque281/4porejemplo.Msdifciltodava:

Comparamos 19 1820 19

y .Ahora19/20=11/20y18/19=11/19.Como1/19>1/20ahoralafraccinmayores19/20puestoquelefaltamenosparallegara1.Connmerosmssencillosseentiendemejor:2/3


12 NmerosRacionales.3BdeESOiii)Reduciracomndenominadorycompararlosnumeradores:

Nos piden que ordenemos de mayor a menor las siguientesfracciones:

5 7 9 7 2; ; ; ;6 8 4 3 1

Primerobuscamosunnmeroqueseamltiplode6,de8,de4yde3(sieselmnimocomnmltiplomejorquemejor).Encontramosel24que es mltiplo de todos ellos. Lo ponemos como nuevodenominador de todas las fracciones y calculamos los nuevosnumeradores para que las fracciones sean equivalentes: 24:6 = 4luego el 6 hay quemultiplicarlo por 4 para llegar a 24, lomismohacemosconel5,54=20eselnuevonumerador.Asconlasdems.Despuscomparamoslosnumeradoresyobtenemosque:

7 5 9 728 6 4 3

yaque21>20>48>54>561.4.Representacinenlarectanumrica

staeslarectanumrica,enellatodonmerorealtieneunlugarexacto.Recordamoscosasqueyasabes: Paradibujarlaslosepuedentomardosdecisiones:dondecolocamosel0ydondecolocamosel

1,esdecir,dndeestelorigenyculeseltamaodelaunidad. Lasunidadeshandesersiempredelmismotamao. Losnmerospositivosvanaladerechadel0ylosnegativosalaizquierda. El0noesnipositivoninegativo. La rectanumricano tieneniprincipioni fin.Nosotros slopodemosdibujaruna pequea

parte. Dados2nmerosa,bsecumple:a


13 NmerosRacionales.3BdeESOFraccinpropia,fraccinimpropiayformamixtaFraccin propia: Se dice de la fraccin a/b donde a 6, para escribirla en formamixta hacemos ladivisinentera77 :6,esdecir,sindecimales,nos interesaelcocienteyelresto.

Elcocienteeslaparteentera,elrestoeselnumeradordelafraccinyeldivisoreseldenominador.Esimportantequelointenteshacerdecabeza(cuandosearazonable),esfcil,porejemplo:

47/6,buscamoselmltiplode6mscercanoa47porabajo,stees76=42,portanto:47/6=7+5/6

puestoquede 42 a 47 van 5.Pinsalo, sinos comemos 47/6depizza,noshemos comido 7pizzasenterasyadems5/6depizza.


14 NmerosRacionales.3BdeESONota:Tambinesfcilhallarelcocienteyelrestoconlacalculadora,porsitienesprisa.Para437/6,hazladivisin437:6,obtienes72,83333,laparteenteraes72,slonosquedacalcularelresto.Tenemos2caminos:1)Haces437726=5ylisto.2)Multiplicalapartedecimalporeldivisor:0,83336=5,queeselresto.Siesnecesarioredondea(0,83336=4,9998queredondeamosa5).Slotepermitimoshacerestosisabesporqufunciona,sinolosabes,olvdalo.Silafraccinesnegativaprocedemosdelasiguienteforma:

19 4 43 35 5 5 ,yaqueladivisinda3decocientey4deresto.

Representacindefracciones

a) Silafraccinespropia:Porejemplo

Representa la fraccin5/6:Elvalorestentre0y1,por tantodividimos laprimeraunidaden6partesigualesytomamos5.

En la figura se indica cmo hacerlo de forma exactausandoelTeoremadeTales.Trazamosunarectaoblicuacualquiera que pase por 0,marcamos con el comps 6puntosa igualdistanciaentre s (laque sea,pero igual).Unimoselltimopunto conel1 y trazamosparalelas aese segmentoquepasenpor los lospuntos intermediosde la rectaoblicua (las lneasdiscontinuas). Estas rectasparalelasdividenelintervalo[0,1]en6partesiguales.Fjate que para dividir en 6 partes iguales slo hay quemarcar 5 puntos intermedios a igual distancia, siempreunomenos.Paradividiren8partes igualesmarcamos7puntosintermedios.Silafraccinesnegativasehaceigualperoenelintervalo[1,0].En lafigurahemosrepresentado5/8,hemosdivididoel intervalo[1,0]en8partes igualesyhemoscontado5empezandoenel0.Asegratedeentenderloysinoeselcasopregunta.Porcierto,laflechaapuntaalpuntoynoalespacioquehayentreellos.Siqueremosrepresentarlafraccinpropiaa/bsedividelaprimeraunidadenbpartesigualesysecuentanadivisiones.Encasodesernegativasehaceigualperocontandodesde0hacialaizquierda.


15 NmerosRacionales.3BdeESOb) Silafraccinesimpropia:

Actividadesresueltas Representamos 13/6. Lo primero es escribirla en su forma mixta, 13 12

6 6 , ahora es fcil

representarla,nosvamosal2,launidadquevadel2al3ladividimosen6partesigualesytomamos1(verimagen).

Igualpara 11 318 8 ,nosvamosal1ylaunidadquevadel1al2ladividimosen8partesigualesy

tomamos3.Silafraccinesnegativaprocedemosas:

Representamos 12 5 51 17 7 7 ,nosvamosal1,launidadquevadel1al2ladividimos

en7partesigualesycontamos5hacialaizquierdaempezandoen1.

Representamos 11 3 32 24 4 4 ,nosvamosal2,dividimosen4partesigualesytomamos

3,contandohacialaizquierdayempezandoen2(verimagen).

Actividadespropuestas4. Pasaaformamixtalassiguientesfracciones: 50 25 101; ;

7 11 6

5. Pasaaformamixtalasfracciones 30 50 100; ;7 13 21

6. Representaenlarectanumricalasfracciones: 1 3 5 3; ; ;5 7 8 4

7. Pasaaformamixtayrepresentalasfracciones: 23 23 180 26; ; ;8 8 50 6

8. HallalasfraccionesquesecorrespondenconlospuntosA,B,C,DyE,expresandoenformamixtay

comofraccinimpropialasrepresentadasporlospuntosA,ByE.


16 NmerosRacionales.3BdeESO1.5.OperacionesconfraccionesVamosarepasarlasoperacionesconfracciones,enconcreto,lasuma,laresta,elproductoyladivisin.SumayrestadefraccionesLasumaylarestasonlasoperacionesmsexigentespuestoqueslopuedensumarseorestarsecosasiguales. No podemos sumarmetros con segundos, ni con litros. De lamisma forma no puedensumarseterciosconquintosnicuartosconmedios.Esdecir,nosepuedehacer lasuma 5 3

6 4 astal

cual,yaquelossextosyloscuartossondedistintotamao.Pero,habralgunamaneradesumarlas?,si.Loprimeroeshallar2fraccionesequivalentesquetenganelmismodenominador,yentoncesyassepodrnsumar.Veamoselejemplo:

Unmltiplode6y4es12.Escribimos12comonuevodenominadoryhallamos losnumeradoresparaquelasfraccionesseanequivalentes:5 3 52 33 10 9 10 9 196 4 12 12 12 12 12 12

, losdoceavosya s sepueden sumar,yel resultado sondoceavos.

Otroejemplo:

13 51 8 1310 516 85 130 306 40 136 346 10 12 60 60 60 60 60 15

Hemoshalladounmltiplode6,de10yde12(sieselmnimocomnmltiplomejorquemejor),seescribecomodenominadorcomnyhacemos60:6=10,luegoel13lomultiplicamospor10,60:10=6luegoel51lomultiplicamospor6,etc.Cuandotodaslasfraccionestienenigualdenominador,sesumanorestanlosnumeradores,dejandoelmismodenominador.Siesposiblesesimplificalafraccinresultante.

Enloscasosenquenoseafcilhallarelmnimocomnmltiplosehacelosiguiente: b

a c a d c ad cbb d b d b d bd

Asporejemplo:

15 19 15155 19387 9678 3226387 155 387155 59985 19995


17 NmerosRacionales.3BdeESOProductoydivisindefracciones:Sorprendequeelproductoyladivisindefraccionesseanmssencillosquelasumaylaresta.Producto:

a c a cb d b d

,semultiplicanlosnumeradoresentresparaobtenerelnumeradordelafraccinproductoylosdenominadoresentresparadeterminareldenominadordedichafraccin,fcilno?As:

3 5 35 1511 7 117 77

Porqulasfraccionessemultiplicanas?Novamosademostrarelcasogeneral,conunejemplonosbastar.

2 35 4

significadividiren4partesigualesycoger3(las3franjasinferioresde la figura). Ahora debemos hacer 2/5 de lo que nos haquedado,esas3 franjas lasdividimosen5partes iguales ytomamos2.Comopuedeversenosquedan6partes igualesdelas20totales.

Avecesconvienehacerlamultiplicacinconinteligencia:

Antesdemultiplicarnosfijamosenqueel17sepuedesimplificar(paraquvamosamultiplicarpor17yluegodividirpor17?)ydespusel5puestoque15=35.

Otroejemplo: 1 2 3 4 5

2 3 4 5 6hazla,esperamosquelleguesalresultadocorrectoyasimplificadoquees1/6

Tenemosalgoimportantequedecirte,noqueremosverestonunca,nunca:esabsolutamentefalso(10/12=5/6eslocorrecto).Slopuedensimplificarsesielnmeroestmultiplicandoenelnumeradoryeneldenominador(siesfactor

comn).Estotampocoestnadabien.


18 NmerosRacionales.3BdeESOFraccininversa:Lafraccininversade a

bes b

apuessecumpleque 1a b ab

b a ab queesladefinicindeinverso.

Ejemplos: Lainversade3/4es4/3ylainversade2es1/2.

Divisin:

: a c a d adb d b c bc

Luegoparadividirsemultiplicaporlainversadelafraccinquedivide. 6 9 6 15 2335 3: 10 15 10 12 25223 4

Tambinpuedesmultiplicaryluegosimplificar: 90 3120 4

Preguntarsquesipuedesmultiplicarenx,puesdependerdetuprofesor.Casoscuriosos: Dividirentreunadcimaesmultiplicarpor10yaque 1 10a : 10

10 1 1a a

Comocasogeneral:dividirentre1/aesmultiplicarpora. Dividirentreunnmeroescomomultiplicarporsuinverso:a:2= 1

2 2aa

Torres de fracciones: No te asustes si ves esto610415

, es muy fcil, es lo mismo que

6 4 3 15 335 9: 10 15 5 4 54 4

,noolvidesque__eslomismoque:Ahoratodojunto.Operacionescombinadas.Aplicaremostodoloquesabemossobreprioridadyusodeparntesis.Actividadesresueltas Calculapasoapasoysimplifica:

32

143

21:

64

21

43

Primerohacemoselparntesisdemsadentroy lamultiplicacindel segundoparntesisque tieneprioridadsobrelaresta.


19 NmerosRacionales.3BdeESO3 3 4 1 1 3 1 7 2: :4 6 6 2 7 4 6 14 143 1 5 9 2 5 11 14 154 77: : 4 6 14 12 12 14 12 5 60 30

Lafraccincomooperadora)Fraccindeunnmero:

Nospidenhallarlas3cuartaspartesde120.Traducimos:hallar 3

4de120.Estedesetraduceenmatemticasporunpor,luego:

3 3 3120120 120 330 904 4 4de

Engeneral a a acde c cb b b

b)Fraccindeunafraccin:Ejemplos:

10 4 10 4 40 46 15 6 15 90 9

de Hallalasdosquintaspartesdelasdiezdoceavaspartesde360.

2 10 210360 20360 360 206 1205 12 512 60

c)Problemainverso:

Me dicen que las tres cuartas partes de un nmerovalen66.Qunmeroes?Estclaroqueuncuartoser66:3=22ylos4cuartosson224=88Resumiendo 466

3=88

Elcasogenerales: a bx c x cb a

,semultiplicaelnmeroporlafraccininversa.

Actividadespropuestas9. Hallalascuatroquintaspartesdelastrescuartaspartesde12.10. Lascincosextaspartesdeunnmeroson100,qunmeroes?


20 NmerosRacionales.3BdeESO2.APROXIMACIONESYERRORESEn la vida cotidiana y tambin en las Ciencias Aplicadas es necesario trabajar con nmerosaproximados.Unosejemplos:

Queremos comprar un tercio de metro de tela, tenemos que decirle al dependiente cuantoqueremosynovamosasertanidiotascomoparadecirlequenosd0,333metroso33,333cmqueesloexacto.Lonormalespedir33cmo333mmsisomosmuyfinos.

MedimosunfolioA4conlareglaynosda29,7cm,lareglallegaalosmm.Queremosdividirloen8partes iguales,cuntomedircadaparte?,sihacemos29,7:8nosda3,7125cm,pero lareglanollegaatanto,sermejoraproximara3,7cm.

Hacemosunexamencon9preguntasquevalentodasigual.Tenemos5bienylasdemsenblanco.Qu nota tenemos?, 105/9 = 5,555555556 segn la calculadora, las ponemos todas?, si lohacemosestamossuponiendoquesomoscapacesdedistinguir1partedeentre10000millonesdepartesigualesdelexamen.Lorazonablees5,6o5,56sisomosmuyperoquemuyprecisos.

Resultacuriosoydeberaserdelitoqueenlasgasolinerasseanuncie:Preciodelgasoil1,399/litro.Sialguienvaypideun litroexacto,o2o15nose lopuedencobrarexactamentepuestoquenoexistenlasmilsimasde!,deberanescribir1,40/litro.Esciertoquedeesamanerateahorras5cntimos siechas50 litrosperoaellos lescompensael temapsicolgico, lagentepococultaennmerosve1,3enlugarde1,4.

Exactamente lomismopasaen lossupermercados:merluza5,99/Kg.Sontrucosbaratosqueunamenteentrenadasabedetectaryactuarenconsecuencia.Ladiferenciaentre6/Kgy5,99/Kgesqueteahorras1cntimo!sicompras1Kg,sicomprasmedio,cuntoteahorras?,nada!,5,99:2=2,995queredondeadoes3,queesloquecobran.Aunquebienmiradalaofertanoesttanmal,sincompras5Kg.demerluzaahorrasparacomprarteuncaramelo,esos,tienesquecomprarmsdemedioKgporvez.

Utilizar demasiadas cifras decimales sin estar seguro de ellas no es sinnimo de precisin sino detorpeza.2.1.Redondeo.Terecordamoscomoseredondeancorrectamentelosnmeros.

Redondear a lasdiezmilsimas: =3,1415926535, lacifrade lasdiezmilsimases5,como lacifrasiguientees9quees 5,lesumamos1al5ypondremos 3,1416 .Fjateque estmscercade3,1416quede3,1415

Redondear 2 a las centsimas: 2 =1,41421356, ahora la cifra siguiente es 4


21 NmerosRacionales.3BdeESOMsejemplos:Redondea

1,995 a las centsimas 2,00 y los ceros hay que escribirlos para indicar dnde hemosredondeado.

1555555enlosmiles1556000dondehayquecompletarconcerosdespusdelosmiles. 6,94999enlasdcimas6,9slohayquemirarel4

Notaimportante:Sielresultadodeunproblemasonseredondearsiempreenloscntimos.Otra nota importante: Si queremos dar un resultado con 2 decimales en los pasos intermediostrabajaremosconmsdecimales,almenos3o4,delocontrarioelresultadonotendrlaprecisinquepretendemos,unejemplo:

A=9,65;B=6,98yC=4,99.Queremoshacer(A B) C2,sihacemosA Byredondeamosen lascentsimasnosqueda67,36ysiahoramultiplicamospor4,992=24,90nossale1677,26.Elresultadocorrectoes1677,20dondeslohemosredondeadoalfinal.

2.2.Cifrassignificativas.Eselnmerodecifrasconvalorqueseutilizanparaexpresarunnmeroaproximado.Unoscuantosejemplosyloentiendes:

2,25tiene3cifrassignificativas; 28,049tiene5cifrassignificativas. 5,00tiene3; 4000,01tiene6; 10000nosabemos lascifrassignificativasque tiene,puedeser1o2o3o4o5,nos tienenquedecirenqucifrasehaaproximado.Paraesteltimocasopuederecurrirsealanotacincientficaparadecirconprecisinelnmerodecifrassignificativas,as:1104tieneunacifrasignificativa,1,0104tiene2yashasta1,0000104quetiene5.

Consideraciones: Lascifrasdistintasde0siempresonsignificativas. Loscerosalaizquierdanuncasoncifrassignificativas:0,0002tieneunacifrasignificativa. Loscerosenmediodeotrascifrasdistintasde0siempresonsignificativos2004tiene4cifras

significativas.Msqueelnmerodedecimales laprecisindeunaaproximacinsemideporelnmerodecifrassignificativas.Nodebenutilizarsemscifrasdelasquerequieralasituacin.Actividadespropuestas12. Copiaestatablaentucuadernoyredondeaconelnmerodecifrasindicado

CifrassignificativasNmero 1 2 3 4

10


22 NmerosRacionales.3BdeESO1/7

95549 100000 30000 3104 1,9995 2,00020,55 2.3.ErrorabsolutoyerrorrelativoI.ErrorabsolutoSedefineelerrorabsoluto(EA)comoEA= valor real valor aproximado .Lasbarrasverticalesseleenvalorabsolutoysignificanqueelresultadosedarsiemprepositivo.Ejemplo:

Aproximamos1/3delitropor0,33litros.

EA= 1 0,33 0,00333... 0,00333 litros

Otroejemplo: Aproximamos16/6Kg.con2cifrassignificativas(2,7Kg.)

EA= 16 2,7 0,0333... 0,0336 Kg.

Nodebenponersedemasiadascifrassignificativasenelerrorabsoluto,2o3essuficiente. Elerrorabsolutotienelasmismasunidadesquelamagnitudqueseaproxima.

Estoserroressongrandesopequeos?,larespuestaes,comparadosconqu?Paraellosedefineelerrorrelativoquesnosdaunamedidade lograndeopequeoqueeselerrorabsoluto.II.ErrorrelativoParacompararerroresdedistintasmagnitudesonmerossedefineelErrorRelativo(ER)como:

ER= EAValor real

quesuelemultiplicarsepor100parahablarde%deerrorrelativo.Si no se conoce el valor real se sustituye por el valor aproximado (la diferencia normalmente espequea).Calculamoselerrorrelativoparalosejemplosdearriba:

1) 0,0033 0,0099 0,99%1/ 3

ER deER


23 NmerosRacionales.3BdeESO2) 0,033 0,0124 1,2%

8 / 3ER deER

Ahoraspodemosdecirquela1aproximacintienemenoserrorquela2,puestoqueelerrorrelativoesmenor.Elerrorrelativo(ER)notieneunidadesyporellosepuedencompararerroresdedistintasmagnitudesocondistintasunidades.Quhacersinoseconoceelvalorexacto?Enestecasonosepuedecalcularelerrorabsoluto,sinembargotodos losaparatosdemedidatienenunerrorabsolutomximo.

Balanzasdebaoquemidende100gen100gsuerrorabsolutomximoesde50g. Cronmetrosquemidencentsimasdesegundo,suerrorabsolutomximoserde0,005s,mediacentsima.

Reglasnormalesquemidenmm,suerrorabsolutomximoserde0,5mm=0,05cm=0,0005mAestoseledenominacotadeerrorabsoluto.Actividadesresueltas

Tepesasenunabsculadebaoytemarca65,3Kg,elerrorabsolutomximoesde0,05Kg(50g)Ahorapesamosuncocheenunabsculaespecialypesa1250Kgconerrorabsolutomximode10Kg.Qumedidaesmsprecisa?T 0, 05 0, 00077 0, 077%

65,3ER ER

Coche 10 0,008 0,8%1250

ER ER Esmuchomsprecisalabsculadebaoenestecaso.Sinembargo,sienlamismabsculapesamosaunbebymarca3,1Kg,elerrorrelativosalemenoroigualque1,6%(prubalo)yahoralamedidadelabsculadebaoesmuchomenosprecisa.Asqueelerrordependedelaprecisindelamquinaydelamedidaquehagamosconella.Actividadespropuestas13. Pruebaque123,45conEA=0,005y0,12345conEA=0,000005tienenelmismoER.14. ContestaVerdaderooFalsoyjustificaturespuesta:a)Paraunamismamquinademedirelerrorcometidoesmenorcuantomspequeasealamedida.b)Nosepuedencompararerroresrelativosdedistintasmagnitudes.c)Ponerprecioscomo1,99/Kgesunintentodeengao.d)Comprara1,99/Kgfrentea2/Kgsuponeunahorro.e)Ponermuchascifrasenunresultadosignificaqueunoesungranmatemtico.f)Laprecisinsemideporelnmerodecifrasdecimales.


24 NmerosRacionales.3BdeESO3.FRACCIONESYDECIMALESVamosavercmosepasadefraccinadecimalydedecimalafraccin.3.1.ExpresindecimaldeunafraccinToda fraccin tiene una expresin decimal que se obtiene dividiendo el numerador entre eldenominador:

a/b=a:bEjemplos:

3 68 91 1770,12; 0,686868...; 1,1375; 1,9666...25 99 80 90

Comopuedesobservarunasveces laexpresindecimalesexacta(puestoqueelrestosale0)yotrasvecessaleperidica, infinitosdecimalesentre losqueserepiteunbloquedecifrasquesedenominaperiodo.Siempresaleas,exactooperidico?,ttecontestascuandoleaslosiguiente.

Hacemos1/17=1:17=0,05882352941,quesonlascifrasquemuestralacalculadora,noparecetenerperiodo,peroserposiblequeslotengaperoquenoloveamosporsermuylargo?

Empezamosahacerladivisin:Losrestosobtenidosson10;15;14;4;6;Comosabeslosrestossoninferioresaldivisoryenestecasopuedenser1;2;3;4;;15o16,el0nopuedesalir,loexplicamosdespus.Hacemosahora2preguntas:Quocurresivuelveasalirelmismoresto2veces?,tienea lafuerzaquerepetirsealgunavezunresto?Larespuestaalaprimerapreguntaesquesiserepiteunrestoserepetirlacifradelcocienteyapartirdeahserepetirntodasenformadeperiodo.La respuestaa la segundapreguntaes: S,a la fuerza, seguroque s!, si tengo16posibles restos ysuponemosquehansalidolos16posiblesya,quocurrealsacarelsiguiente?Loentiendesmejorconcaramelos,tengomuchoscaramelospararepartirentre16personas,ya lehedado1carameloacadauno,esdecir,todostienenya1caramelo,medispongoarepartirelsiguiente,letocaraaalguienqueyatiene?Aesto se ledenominaenmatemticas PrincipiodelPalomar yesunaherramientamuypotente.Buscaalgosobrel.

Meto5pelotasen4cajas,habralgunacajaconmsde1pelota?

Esperamosquelohayasentendido,enelpeordeloscasoselrestonmero17tienequecoincidircon


25 NmerosRacionales.3BdeESOalguno de los anteriores, se repetirn las cifras del cociente y por tanto la expresin decimal esperidica.

Puedescomprobarqueefectivamentelosrestosson10,15,14,4,6,9,5,16,7,2,3,13,11,8,12,1,10,,elpeordeloscasosposibles,serepiteelquehaceelnmero17.Lonormalesqueserepitaantes.Porciertoqueladivisinsale

1:17=0,05882352941176470588235294117647unperiododeslo16cifras!Aunquehemosvistouncasoparticular,staesunareglageneral:Laexpresindecimaldeunafraccinesexactaoperidica.Elnmerodecifrasdelperiodode1/nesmenoroigualquen1.

Cundosaleexactaycundoperidica? Puesesfcil,nosdanunafraccincomoporejemplo 27

150,primerolasimplificamoshastaobtenerla

irreducible: 27 9150 50

, nos fijamos slo en el denominador y lo descomponemos en factoresprimos,50=510=525=252,comolosfactoresprimossonslo2y5laexpresindecimalesexacta.

Veamoslarazn: 252esdivisorde2252=100unapotenciade10.Secumple 2 2

2 2

2 5 1 22 0, 0225 25 100

,slo

faltamultiplicarpor9 29 0,029 0,1825 .Fjatequeelnmerodedecimaleses2,elmayordelosexponentesde2y5.

Porejemplo 4 31 0,00052 5 tiene4cifrasdecimalespueselmayorexponentees4.

Engeneral 12 5n m

tieneexpresindecimalexactayelnmerodecifrasdecimaleseselmximoentrenym.

Elotro caso: 20 1042 21

,descomponemosel21en factoresprimos,21=3 7, comohay factoresdistintosde2y5laexpresinserperidica.Veamos: si la expresin fuese exacta podramos escribir 10 1010

37 10 37

n

n

a a , con a unnmeroentero.Pero estonopuedeser!,10slotiene los factores2y5y los factores3y7nopuedensimplificarse.Comonopuedeserexactaserperidica.

Si en el denominador de una fraccin irreducible aparecen factoresprimos distintos de 2 y de 5 laexpresindecimalserperidica.


26 NmerosRacionales.3BdeESOActividadespropuestas15. Sinhacerladivisinindicasilassiguientesfraccionestienenexpresindecimalexactaoperidica:

a) 21750

b) 7521

c) 1199

d) 3556

3.2.FormadefraccindeunaexpresindecimalLosnmerosdecimalesexactosoperidicospuedenexpresarsecomounafraccin.Aestafraccinseladenominafraccingeneratriz.Dedecimalexactoafraccin:Esmuyfcil,miralosejemplosdeladerecha.Haspilladoeltruco?

Para obtener la fraccin generatriz se pone en el numerador elnmerosinlacomayeneldenominadorlaunidadseguidadetantosceroscomocifrasdecimalestiene.Sesimplificalafraccin.

Laspersonas inteligentescomprueban loquehanhecho,divide47entre40,siteda1,175 estbien!,ynohacefaltaquenadietelodiga

Dedecimalperidicoafraccin:Antesdeverelmtodorigurosovamosajugarunrato.

Coge la calculadora y haz las siguientes divisiones y apunta los resultados decimales en tucuaderno:

1:9;2:9;3:9;8:9; 1:99;13:99;37:99;98:99; 1:999;123:999;567:999;998:999.Nota:Alhacer6/9lacalculadorada0,6666666667,realmentees6peridico,lacalculadoralohacebienyredondeaenlaltimacifra.

Sihasobservadobienyasabesescribirunmontndeexpresionesdecimalesperidicosasuformadefraccin,esdecir,sabescalcularsufraccingeneratriz.Porejemplo:

0,444=4/9; 0,333=3/9=1/3. 0,171717=17/99; 0,454545=45/99=5/11; 0,878787=87/99=29/33 0,337337337=337/999; 0,549549=549/999=61/111 Cmoser0,1234512345?,pues12345/99999=4115/33333

1175 471,1751000 402068 51720,68100 2531416 39273,141610000 1250


27 NmerosRacionales.3BdeESOAsqueyalosabes,paratenerunperiododencifraseldenominadortienennueves.

Peroeltrucoanteriornovalepara5,888Loadaptamos:5,888=5+0,888=5+ 8 45 8 53

9 9 9 9

Siguesinvalerpara0,7333Hacemos0,7333=0,7+0,0333= 7 3 7 3 21 1 22 11:10

10 9 10 90 30 30 30 15

Combinando los 3 trucos anteriores salen todos, pero no seguimos, te dejamos que investigues t.Nosotrosvamosaexplicarelmtodoserio.Otroejemplo:

Nos piden expresar el nmero 7,3252525... a su forma de fraccin. Lo primero ser ponerle unnombre,por ejemploN = 7,3252525, lo segundo es conseguir 2nmeros con lamismapartedecimal.El anteperiodo tiene 1 cifra y el periodo 2. Paraconseguir la misma parte decimal multiplicamospor1000ylacomasevahastadespusdelprimerperiodo, si multiplicamos por 10 la coma se vahastadelantedelprimerperiodo.Ya tenemos2nmeros con lamismapartedecimal, si los restamosstadesaparece ypodemosdespejarN.Fjatequelarestasehaceenlos2miembrosalavez.

Mtodoformal:Paraobtenerlafraccingeneratrizdeunaexpresindecimalmultiplicamoselnmeroporlapotenciade10necesariaparallevarnoslacomaalfinaldelprimerperiodo,luegolomultiplicamosotravezparaquelacomaquedealprincipiodelprimerperiodo.Otroejemployloentiendes:

N=15,25636363Cmoconseguir2nmerosconlapartedecimal,636363?Pueslomsfciles10000N=152563,6363y100N=1525,6363Restamos:9900N=151038N=151038 8391

9900 550

Estosson loscasosmsdifciles(peridicosmixtos),cuandonohayaanteperiodo(peridicopuro)slohabrquemultiplicarunavezpuestoqueyatenemoselperiodojustodespusdelacoma:

N=4,545454100N=454,5454


28 NmerosRacionales.3BdeESO1N=4,5454__________________99N=450N= 450 50

99 11

Ejemplos:N 10N 1N= 9N 1,333 13,333 1,333= 12 N=12/9N 100N 10N= 90N 5,6777 567,77 56,77= 511 N=511/90N 1000N 100N= 900N 8,65888 8658,88 865,88...= 7793 N=7793/900

Porltimo,sitedicenquehayuntrucoparahacerestoensegundosysincalentarselacabeza,puesescierto,lohay,loconocemos.Esunareglaqueseolvidayportantonovaleparanada,noesrazonada.Actividadespropuestas16. Pasaafraccinysimplifica:

a) 1,4142b) 0,125c) 6,66

17. Pasaafraccinysimplifica:a. 1,41424142b. 0,125125c. 6,666

18. Pasaafraccinysimplifica:1) 1,0414241422) 0,71251253) 6,7666

19. Determinalafraccingeneratrizde:A. 0,333+0,666B. 0,8882,5C. 0,65:0,656565


29 NmerosRacionales.3BdeESO4.RESOLUCINDEPROBLEMASMEDIANTEFRACCIONES.Vemosunoscuantosejemplos:

i) Cuntoslitroshayen90botellasde3cuartosdelitrocadauna?Loprimeroquedebeshaceresponerteunejemploconnmerosmsfciles.Tengo10botellascadaunade2litros.Estclaroquetenemos20litros,quoperacinhemoshecho?,multiplicar?,pueslomismohacemosconlosnmerosdelproblema:

3 38080 604 4litros botellas litrosbotella

(Observaquebotellassevanconbotellasylasunidadesfinalessonlitros).ii) Cuntasbotellasde3octavosdelitronecesitoparaenvasar900litros?

Nuevamentecambiamoslosnmerosporotrosmssencillos:quieroenvasar10litrosenbotellasde2litros.Estclaroquenecesito5botellas(10:2).Hacemoslomismoconnuestrosnmeros:

900litros: 38litros/botella= 3 8900 : 900 3008 2400

8 3 botellas

Fjate que litros se va con litros y que las botellas que dividen en el denominador al final pasanmultiplicandoenelnumerador,porloqueunidaddelresultadoesbotellas.

:1

litros litros litros botella botellabotella litros

iii) Lluviaganaciertodineroalmes,sisegastael40%delenpagarlaletradelpiso,el75%deloquelequedaenfacturasylesobran90paracomer.Cuntoganaycuntogastaenelpisoyenfacturas?

Loprimero:40%= 40 2100 5

y75%= 75 3100 4

Lohacemosde2manerasyeligeslaquemsteguste:a)Mtodogrfico:Hacemos un rectngulo de 5 x 4 cuadrados que son losdenominadores.De las5franjasverticales igualesquitamos2quees loquesegastaenlaletradelpiso.Loquequedaestdivididoen4partesigualesyquitamos3queesloquesegastaenfacturas.Nosquedan3cuadraditosquesonlos90delacomida.Luegouncuadraditoes90:3=30.


30 NmerosRacionales.3BdeESOLoqueganaes3020=600.Enlaletrasegasta308=240yenfacturas309=270.b)Confracciones:Siaunacantidadlequitamossus2/5nosquedan3/5deella(12/5=5/52/5)Enfacturasnosgastamos 3 3 9

4 5 20

Sitenamos3/5ynosgastamos9/20nosquedan 3 9 12 9 35 20 20 20

delacantidadinicial.Esos3/20nosdicenqueson90.Porlotanto1/20sern90:3=30.Lacantidadtotalsonlos20/20luego3020=600.Enlaletradelpisomegasto2/5de600=1200:5=240yenfacturas3/4de(600240)=3/4de360=270.Encualquiercasolosproblemassecomprueban.40%de600=0,4600=240segastaenlaletra.600240=360mequedan.75%de360=0,75360=270segastaenfacturas.360270=90quelequedanparacomer.Funciona!

iv) Unapelotapierdeencadabote1quintodelaalturadesdelaquecae.a) Cuntosbotesdebedarparaquelaalturaalcanzadaseainferiora1dcimodelainicial?b) Sidespusdelcuartobotesualturaesde12,8cm,culeralaalturainicial?

Loprimeroesdarsecuentadequesipierdeunquintodelaalturasequedaconlos4quintosdesta.Portantoencadabotelaalturasemultiplicapor4/5.

a) Tenemosqueverparaqunsecumple 4 15 10

n =0,1

Yesto lohacemosprobandocon lacalculadora:104 0,107 0,1

5 pero

114 0,0859 0,15

, luegohacenfalta11botes.

b)44 256

5 625 queeslafraccinporlaquesehamultiplicadolaalturainicial.

256 12,8625

h h= 62512,8 31,25256

cm

Tengo Quito Mequeda1 2/5 3/53/5 3/4de3/5=9/20 3/59/20=3/20


31 NmerosRacionales.3BdeESOv) AMarianaledescuentanlaquintapartedesusueldobrutoenconceptodeIRPFylasextapartedel

mismoparalaSeguridadSocial.Sicobra600netos,culessusueldobruto?Sumamoslasdosfraccionespuestoqueserefierenalamismacantidad:

1 1 6 5 115 6 30 30

que es la parte que descuentan del sueldo bruto para tener el neto. Le quedan 11 19130 30

de lacantidadinicial.Esos19/30nosdicenqueson600.Paracalcularelsueldobrutohacemos:

30600 947,3719

.

Comprobacin:1/5de947,37=189,47pagadeIRPF1/6de947,37=157,90pagaalaS.S.947,37189,47157,90=600queeselsueldoneto.Bien!Podrahaberhabidounpequeodesfasedealgncntimodebidoalasaproximaciones


32 NmerosRacionales.3BdeESOCURIOSIDADES.REVISTA

Sumadeinfinitasfracciones.El sentido comn tediceque si sumamos infinitosnmerospositivos la suma tieneque ser infinita.Pues,nonecesariamente!Teproponemosunreto,vamosasumar 1 1 1 1 1 ...

2 4 8 16 32 dondecadafraccines lamitadde la

anterior.Lospuntossuspensivosindicanqueestonoacabanunca,enteoradeberamossumarysumary seguir sumando de forma indefinida. En la prctica no puede hacerse, pero para eso estn lasmatemticas.Cogelacalculadorayempieza:1:2+1:4+1:8+1:16+1:32+1:64Teda0,984375ositienessuerte63/64,slofalta1/64parallegara1!Sumaahoraalresultadoanterior1/128,obtenemos0,9921875oloqueeslomismo127/128,slofalta1/128parallegara1.Debesseguir,lossiguientesnmerosasumarson1/256,1/512,1/1024,Si tehas fijadonosacercamoscadavezmsa1.Vale,novamosa llegarnunca,perosiquisiramosdarleunvaloralasumainfinitadearriba,tculledaras?

Losmatemticosledanelvalor1.Observa.Tienesunahojadepapelcuadradaderea1.Lacortasporlamitad,ydejaseltrozocortadoencimadelamesayelsincortarentumando.Vuelvesa cortarpor lamitadel trozoque tienesen tumano,yvuelvesadejarencimadelamesaeltrozocortado.Ysigues,ysiguesSumaslostrozosdepapelquetienesenlamesa.Podraalgunavez sumarmsde1?No,evidentemente, son trozosdeunpapel de rea 1. Alguna vez tendras todo el papel encima de lamesa?Cadaveztienesmenospapelen lamano,ymsen lamesa,peroalcortarpor lamita,nunca lotendrastodo.Sinembargo, losmatemticosdicenqueenelinfinitoesasumavale1.

Ahoratenemosunapizzaynosvamosacomer lapizzadeterciosentercios,esdecir,primero1/3,despus1/3de1/3,luego1/3de1/3de1/3,yassucesivamente

1 1 1 1 ...3 9 27 81

Cuntocreesquevaleestasuma?


33 NmerosRacionales.3BdeESORESUMEN

Prioridad de lasoperaciones

1 Parntesis interiores, 2 Potencias y races, 3 Productos ydivisiones,4Sumasyrestas.

105(43 22) = 50

Signodelasuma (+)+(+)=(+)sesuman,()+()=()sesumam.(+)+()=?tieneelsignodelmayorenvalorabsoluto.

7/38/3=15/3= 512/5+8/5=4/5

Signodelproductoyladivisin

Sitienenigualsignodapositivo.(+)(+)=()()=(+)Sitienensignocontrariodanegativo.(+)()=()(+)=()

4(10)=+40+2(15)=30

NmeroRacional Unnmeroresracionalsipuedeescribirsecomor=a/bcona,benterosyb 0.

2;3/8;7/2sonracionales.Tambin0,125y2,6777...2 y noloson.

Fraccinirreducible

Seobtienedividiendoelnumeradoryeldenominadorporelmismonmero.Numeradorydenominadorsonprimosentres.

360/840=3/7,laltimaesirreducible.

Fraccionesequivalentes

Son equivalentes las fracciones que tienen igual expresindecimal.Dos fracciones equivalentes representan almismonmeroracional.Susproductoscruzadosvalenlomismo.

3 6 154 8 20 =0,75son

equivalentes.320=415Ordenacindefracciones

Sepasanacomndenominadorosehallasuvalordecimaloseusa la lgicayeltrucoa/b


34 NmerosRacionales.3BdeESOErrores Errorabsoluto:EA= valor real valor aproximado

Errorrelativo:ER= EAValor real

semultiplicapor100paraobtenerel%deER.

2 0,7 0,0333

0,033 0,050 5%2 / 3

EA

ER

Fraccionesydecimales

Laexpresindecimaldeunafraccinsiempreesexactaoperdica.Exactasieldenominadorslotienecomofactoresprimosel2oel5.Peridicaencasocontrario.

3/40=0,075exacta5/12=0,41666...peridica

Pasodedecimalafraccin

Expresindecimalexacta:sedivideelnmerosinlacomaentrelaunidadseguidadetantosceroscomocifrasdecimales.Expresindecimalperidica:SemultiplicaNporpotenciasde10hastaconseguir2nmerosconlamismapartedecimal,serestanysedespejaN.

3,175=3175/1000=127/40N=2,0333...100N10N=18390N=183N=183/90=61/30.


35 NmerosRacionales.3BdeESOEJERCICIOSYPROBLEMAS.

1. Hallapasoapaso(5+4(2)+7):(7(34)(1))

2. Ordenademenoramayor:8 8 4 38 77 9; ; ; ; ;9 9 5 45 90 8

3. Indicarazonadamentequfraccinesmayor:

102 98 98 97 102 103) ) )101 99 99 98 101 102

a y b y c y

4. Demuestraque4,999=5Generaliza:Cuntovalen,999?

5. Pasaaformamixta:423

517

6152

916

;;;

6. Representadeformaexactaenlarectanumrica:760 46; 3,125;240 14

;2,16667. Simplifica:

1052432

210610

10211572

)c)b)a 8. Hallalafraccinquecaejustoenmediode3/2y9/4enlarectanumrica.

Pista:Lamediaaritmtica2

a b Representalas3fraccionesenlarectanumrica.

9. LamediaarmnicasedefinecomoH(a,b)= 11 1

2a b

,elinversodelamediaaritmticadelos

inversos.a)DemuestraqueH(a,b)= 2ab

a b

b)Halla 3 11,2 3

H

10. Hallalafraccininversade 4 63 :5 10

11. Operaysimplifica:

27

1210

146

54


36 NmerosRacionales.3BdeESO12. Resuelvepasoapaso:

3 2 4:5 5 63 1: 25 6

13. Calculalasdosterceraspartedelasextapartedel80%de900.

14. Hallaelnmerotalquesuscuatroterciosvalen520.

15. Cuntosbotesdetresoctavosdelitropuedollenarcon12litros?

16. Calculalafraccinporlaquehayquemultiplicar450paraobtener720.

17. Si100pulgadasson254cm:a)Hallaellargoencentmetrosdeunatelevisinsilaalturason19,2pulgadasylargo/alto=4/3b)Igualperoahoralargo/alto=16/9

18. Sienunaclaseel77,777%delosalumnosapruebanyhaymsde30alumnosperomenosde40,

cuntosalumnossonycuntosaprueban?19. Tresperegrinosdecideniniciarunviajede8das.Elprimerodelosperegrinosaporta5panespara

elcamino,elsegundoperegrino,3panes,yelterceronoaportaninguno,peroprometepagarlesasuscompaerosalfinaldelviajeporelpanquehayacomido.Cadaunodelosdasquedurelviaje,a lahorade comer sacabanunpande labolsa, lodividanen trespedazos y cadaperegrino secomaunpedazo.Cuando llegaronasudestino,elcaminantequenohabaaportadoningnpansac8monedasylasentregasuscompaeros:5monedasparaelquehabapuesto5panesy3monedas para el que haba contribuido con 3 panes. Podras explicar por qu este reparto demonedasnoesjusto?Culseraelrepartojusto?(ProblemadelaOlimpiadadeAlbacete.!Sedebetenerencuentanolospanesqueunohapuestosinoloquerealmentehaaportado(lopuestomenoslocomido).

20. Aproximalosnmeros32567y1,395con2cifrassignificativasydienculsecometemenorerrorrelativo.

21. nopuederepresentarsemedianteunafraccindeenterospero,puedeshallarunafraccinqueloaproximecon5cifrassignificativas?

22. Aproximamos por:

a)Simplificahastaunafraccinimpropiairreducible.b)Hallaelerrorabsolutoyelerrorrelativo.

131716


37 NmerosRacionales.3BdeESO23. Cuntasbotellasde3/4delitronecesitoparatenerlamismacantidadqueen60botellasde3/5de

litro?

24. Hallaunnmeroenterode tal formaque: sumitad, su terceraparte, su cuartaparte, suquintaparte,susextaparteysusptimaparteseannmerosenteros.

25. A launidad lequitosus2quintaspartes.Porqu fraccinhayquemultiplicarel resultadopara

llegarotravezalaunidad?

26. Hallalafraccinresultante:a)Quito1terciodeloquetengoyluegoaado1terciodeloquequeda.b)Aado1terciodeloquetengoydespusquito1terciodelresultado.

27. Estsaburridoydecidesjugaralosiguiente:Avanzasunmetroenlnearecta,retrocedeslamitad,

avanzas lamitadde loquehas retrocedidoenelltimopaso, retrocedes lamitadde loquehasavanzadoenelltimopaso,Silohacesmuchas,peroquemuchasveces,cuntoavanzasentotal?

1 1 1 1 11 ...2 4 8 16 32

28. Darodapasosde 3/5demetro, superroRayodapasosdedemetro. Si ambos van a igualvelocidadyRayoda360pasosporminuto,cuntospasosporminutodarDaro?

29. LafiguradealladoesunTamgran.a)Hallalafraccinquesecorrespondeconcadaunadelas7piezas.b)Sielladodelcuadradoesde20cm,hallaelreadecadapieza.30. Sielladodelcuadradoesde4cmhallalafraccinyelreadelazonacoloreada:31. Calcula:

a)22

212

31:

23

32

b)

23

232

43:

23

43

c)

2 38 3 1 1: 1

3 4 2 2


38 NmerosRacionales.3BdeESOAUTOEVALUACIN

1. Sabesoperarconnmerosenteros,conoceslaprioridaddelasoperacionesyelusodeparntesis.Resuelvepasoapaso:

(87(4+6):(2+(3))+5422)(2)2. Sabesobtenerfraccionesequivalentes.Ordenademayoramenor:

5 7 7 5 5; ; ; ;6 8 8 6 4

3. Sabesrepresentarfraccionesdeformaexactaenlarectanumrica.Representa:

3 17 11; ; ; 0,1254 6 7

4. Sabesoperarconfracciones.Resuelvepasoapasoysimplifica:

2 5 11: 23 6 3

26

5. Sabeshallarlafraccindeunnmeroylafraccindeunafraccin. a)Hallalascuatroquintaspartesdeloscincooctavosde360. b)Unabotellatienellenassussieteoctavaspartes,sicontiene840cm3,cuntolecabellena?6. Sabesredondearycalcularelerrorrelativocometido.Aproximalosnmeros9859y9,945con2

cifrassignificativasycalculaloserroresrelativoscometidos(en%),culesmenor?7. Sabesdistinguircundounafraccintieneunaexpresindecimalexacta. a)Diculesdelassiguientesfraccionestienenexpresindecimalexactayculesperidica:

6 5 42; ;120 180 210

b)Cuntosdecimalestiene 10 612 5 ? c)Cuntascifrascomomximopuedetenerelperiodode1/97?8. Sabespasardedecimalafraccin.Pasaafraccinysimplifica:

a)2,225 b)2,2252525... c) 0,1250,125125125...

9. Sabesresolverproblemasmediantefracciones. Unamedusacrececadasemanaunterciodesuvolumen. a)Cuntassemanasdebenpasarparaquesuvolumensemultipliquepormsde3? b)Sisuvolumenactualesde1200cm3,culerasuvolumenhace3semanas?


39 NmerosRacionales.3BdeESO10. Auntrabajador lebajanelsueldo lasextaparte,de loque lequedael25%sevadestinadoa

impuestosyporltimodel restoque lequeda lasdosquintaspartes se lasgastaenpagar lahipotecadelpiso.Siauntienedisponibles450,cuntocobrabaantesdelabajadadesueldo?,cuntopagadeimpuestosydehipoteca?

Soluciones:1)10.2) 7 5 5 7 5

8 6 6 8 4 .

3)

4) 72.

5)a)180;b)960cm3.

6)9859:9900EA=41ER=0,42%. 9,945:9,9EA=0,045ER=0,45%,esunpocomenorelprimero.

7)a)Primerosesimplifican,sonexactas6/120y42/150.5/180tieneexpresindecimalperidica.b)10cifrasdecimales.c)96cifras(dehecholastiene).

8)a) 8940

b) 2203990

c) 999 0,9991000

9)a)4semanas.

b)506,25cm3.10)Cobraba1200.Ahoracobra1000,paga250deimpuestosy300dehipoteca.

LibrosMareaVerde.tk

www.apuntesmareaverde.org.es

Autora:NievesZuastiRevisor:SergioHernndez

Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.

3BdeESOCaptulo2:

Potenciasyraces

Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas3BESO.Captulo2:Potenciasyraces Autora:NievesZuastiLibrosMareaVerde.tk Revisor:SergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

41 Potenciasyraces.3BdeESOndice

1.OPERACIONESCONPOTENCIAS 1.1.PRODUCTODEPOTENCIAS 1.2.COCIENTEDEPOTENCIAS 1.3.POTENCIADEUNPRODUCTO 1.4.POTENCIADEUNCOCIENTE 1.5.POTENCIADEOTRAPOTENCIA2.POTENCIASDENMEROSRACIONALES 2.1.POTENCIASDEBASERACIONALYEXPONENTENEGATIVO

2.2.PRODUCTODEPOTENCIASDEBASERACIONAL2.3.COCIENTEDEPOTENCIASDEBASERACIONAL2.4.OPERACIONESCOMBINADASCONPOTENCIAS

3.NOTACINCIENTFICA 3.1.NMEROSGRANDESYNMEROSPEQUEOS3.2.OPERACIONESCONNOTACINCIENTFICA

4.RACES 4.1.RADICALESDENDICECUALQUIERA 4.2.POTENCIASDEEXPONENTEFRACCIONARIO 4.3.EXTRACCINDEFACTORESDEUNRADICAL 4.4.OPERACIONESCONRADICALES

4.5.OPERACIONESCOMBINADAS4.6.RACESCUADRADAS

ResumenEn este captuloutilizamos los grandesnmeros, laspotencias,quenospermitendescribirdemaneramsfcillainmensidaddelUniverso, expresar sus distancias, la masa de los cuerposcelestes,elnmerodegalaxias,estrellasyplanetas.Tambin nos fijaremos en los pequeos nmeros, el mundomicroscpico expresado en forma de potencia de exponentenegativo.Utilizaremos la notacin cientfica para grandes y pequeosnmeros.

Repasaremoslasoperacionesconpotenciasdeexponenteunnmeronatural,introduciendolaspotenciasconexponentesnegativos y racionales.Ya conocemos laspotenciasdebaseunnmeronatural,ahorausaremos lasmismas ideasutilizandobasesdenmerosnegativosyracionales.Yaconoces losradicales,ahora veremos que un radical es una potencia de exponente un nmero fraccionario y que podemosutilizarlaspropiedadesdelaspotenciasconellos.


42 Potenciasyraces.3BdeESO1.OPERACIONESCONPOTENCIASRecuerdaquelapotenciaandebaseunnmeronaturalayexponentenaturalnesunproductodenfactoresigualesalabase:

an=aaa....nfactores......a(n>0)El factor que se repite es la base y el nmero de veces que se repite es elexponente.Alresultadoselellamapotencia.Ya conoces las propiedades de las operaciones con potencias, que vamos arepasar. En este captulo veremos que si el exponente o si la base es unnmeronegativoofraccionario,esaspropiedadessemantienen.

1.1.Productodepotencias

ConlamismabaseElproductodepotenciasdelamismabaseesotrapotenciaconlamismabaseydeexponente,lasumadelosexponentes.

bmbnbp=bm+n+pEjemplo:

(5)4(5)3(5)2(5)6=(5)4+(3)+2+(6)=(5)3=1/(5)3=1/125

ConelmismoexponenteElproductodepotenciasconelmismoexponenteesotrapotenciacuyabasesecalculamultiplicandolasbases,elevadaalmismoexponente.

ambmcm=(abc)mEjemplo:(3)2(5)2(1)2(4)2=[(3)(5)(1)(4)]2=(+60)2=36001.2.Cocientedepotencias

ConlamismabaseElcocienteentredospotenciade lamismabaseesotrapotenciacon lamismabaseysuexponentesecalcularestandolosexponentes.

cm:cn=cmnEjemplo:

(12)7:(12)2=(12)72=(12)5

Recuerda:a0=11m=1

(1)m=1mpar(1)n=1nimpar

0n=0a=a1

exponente

54 = 625 base

potencia


43 Potenciasyraces.3BdeESO Conelmismoexponente

Para dividir potencias con elmismo exponente, se dividen las bases y el resultado se eleva almismoexponente.

n

n

n

ba

ba

Ejemplo:184:34=(18/3)4=64

Ejemplo:(5)3:(14)3=(5/14)3 Potenciasdeexponenteenteronegativo

Unapotencia debase reala0, yexponentenaturaln


44 Potenciasyraces.3BdeESOActividadesresueltas

Se cuenta que el inventor del ajedrez se lo mostr al reyShirham de la India, que se entusiasm tanto que le ofreciregalarle lo que quisiera. El inventor pidi un grano de trigoparalaprimeracasilla,dosparalasegunda,4paralatercera,yasduplicando lacantidadencadacasilla.Cuntosgranosdetrigohabraqueponerenlaltimacasilla,enla64?

Observamosqueelnmerodegranosdetrigodelacasillanes2n1porloquedebemoscalcular263.Calculamos22=4.Luego:(22)2=24=16((22)2)2=28=1616=256(((22)2)2)2=(28)2=216=256256=65536((((22)2)2)2)2=(216)2=232=6553665536=4294967296(((((22)2)2)2)2)2=(232)2=264=42949672964294967296=18446744073709551616Yahora,paracalcular263podemosdividirpotenciasdelamismabase:263=264/2=9223372036854775808granosdetrigo,unnmeroenormeydifcildemanejar.Paracalcularelnmerototaldegranosdetrigoobservamosquelasumadegranoshastalacasillanes2nporloqueentoncesdebemoscalcular264,queestimando1200granosporkgdanpocomsde15billonesdeTmyesocorrespondea laproduccinmundialde21685aos. Imposiblequeelreytuvieratantotrigo!

Actividadespropuestas1. Determinaelsignodelaspotencias:

(1)9 (5)12 (12)5 (8)42. Expresaenformadeunanicapotencia:

(7)3(7)5(7)2(7)6(3)2(3)7(3)(3)4(3)3

3. Expresaenformadepotencia: (6)4(4)4(1)4(5)4

4. Expresaenformadepotencia: (8)9:(8)3 (3)2:(3)7

5. Expresaenformadepotencia: (+75)4:(3)4(5)8:(8)8

6. Expresaenformadepotencia: ((2)5)6 ((7)3)5

Algamarina(fotografamicroscpica)


45 Potenciasyraces.3BdeESO2.POTENCIASDENMEROSRACIONALESLa potencia de un nmero racional es otro nmero racional cuyo numerador y denominador quedanelevadosadichapotencia.

n

nn

ba

ba

Ejemplo:

62516

52

52

52

52

52

52

4

44

2.1.PotenciasdebaseracionalyexponentenegativoElresultadodeelevarunnmeroracionalaunapotencianegativaesotrapotenciacuyabaseeselnmeroracionalinverso,elevadoalmismoexponente,positivo.

nn

ab

ba

Ejemplo:(4/9)5=(9/4)5

2.2.ProductodepotenciasdebaseracionalSemantienenlaspropiedadesdelaspotenciasdebaseunnmeronatural.

ConlamismabaseElresultadodemultiplicarpotenciasconlamismabaseesotrapotenciaconlamismabaseyexponentelasumadelosexponentes.

(a/b)m(a/b)n(a/b)p=(a/b)m+n+pEjemplo:

(2/5)3(2/5)(2/5)4(2/5)5=(2/5)3+1+(4)+5=(2/5)5 Conelmismoexponente

Elresultadodemultiplicarpotenciasconelmismoexponenteesotrapotenciacuyabaseeselproductodelasbases,elevadaalmismoexponente.

(a/b)m(c/d)m(e/f)m=[(a/b)(c/d)(e/f)]mEjemplo:

(2/3)4(1/4)4(3/5)4=[(2/3)(1/4)(3/5)]4=(6/60)4=(1/10)4Actividadespropuestas

7. Calcula:a)(5/3)3 b)(2/7)4 c)(1/6)4 d)(5/2)28. Expresacomonicapotencia:a)(3/4)3(3/4)2((3/4)8 b)(1/8)5(1/8)4(1/8)2


46 Potenciasyraces.3BdeESO9. Expresacomonicapotencia:a) (5/4)6(2/3)6(1/7)6 b)(3/5)4(3/8)4(1/4)4

2.3.Cocientedepotenciasdebaseracional Conlamismabase

Elresultadodedividirpotenciasconlamismabaseesotrapotenciaconlamismabaseyelexponenteladiferenciadelosexponentes.

(a/b)m:(a/b)n=(a/b)mnEjemplo:

(1/3)3:(1/3)4=(1/3)34=(1/3)1 Conelmismoexponente

Elresultadodedividirpotenciasconelmismoexponenteesotrapotenciacuyabaseeselcocientedelasbases,elevadaalmismoexponente.

(a/b)m:(c/d)m=[(a/b):(c/d)]mEjemplo:

(3/4)5:(7/8)5=[(3/4):(7/8)]5=(24/28)5=(6/7)5=(7/6)52.4.OperacionescombinadasconpotenciasEjemplo:

271

)3(1)3()3(

)3()3(

)3()3(

)3()3()3()3(3

3321

2

1

68

153

68

53

Ejemplo:

12343434

322

34

32222

34

322

3444

)5(5630

23

30)2()3(

3)2(5)49(3)2(5

=244140625.

Actividadespropuestas10. Calcula:

a)(2/5)4:(2/5)7 b)(5/8)3:(5/8)211. Calcula:

a)(1/5)3:(2/9)3 b)(6)5:(2/9)512. Calcula:

a) 55

52

4)4(523

b) 64

22

83

83

61

32


47 Potenciasyraces.3BdeESO3.NOTACINCIENTFICA3.1.NmerosgrandesynmerospequeosUnnmeroexpresadoennotacincientficaestformadoporun nmero decimal cuya parte entera est entre 1 y 9,multiplicado por10n, siendo n un nmero entero positivo onegativo.

a10nsiendo1a9SielexponentenespositivoseutilizaparaexpresarnmerosgrandesysielexponentenesnegativoparaexpresarnmerospequeosEjemplo:

3420000000000=3,4210120,000000000057=5,71011Actividadesresueltas

En la leyendadelajedrezutilizamosnmerosmuygrandes.Sino nos interesa tanta aproximacin sino hacernos una ideanicamentede losgrandesqueson,podemosusar lanotacincientfica.

Unaaproximacinparaelnmerodegranosde trigode lacasilla64es91018,conloquenoshacemosunaideamejordeloenormeque es que con el nmero:92233720368547758089223372036854775808quedaunpocodemareo.

Escribeennotacincientfica:216,232y264216=655366,5104 232=4294967296=4109 264=18446744073709551616=1,810193.2.Operacionesconnotacincientfica

SumaodiferenciaPararealizarsumasyrestas,conexpresionesennotacincientfica,setransformacadaexpresindecimaldemaneraqueseigualenlosexponentesde10encadaunodelostrminosEjemplo:Paracalcular4108+2,31066,5105expresamostodoslossumandosconlamismapotenciade10,eligiendolamenor,enestecaso105:4000105+231056,5105Sacamosfactorcomn:105(4000+236,5)=4016,5105=4,0165108

ProductoElproductodeexpresionesennotacincientficaeselresultadodemultiplicar losnmerosdecimalesysumarlosexponentesdebase10.


48 Potenciasyraces.3BdeESOEjemplo: 2,51051,36106=(2,51,36)105+6=3,41011

CocienteElcocientededosexpresionesennotacincientficaeselresultadodedividirlosnmerosdecimalesyrestarlosexponentesdebase10.Ejemplo:

5,4109:4107=(5,4:4)1097=1,35102Actividadesresueltas

Parahacerelcocienteparacalcular263dividiendo264entre2ennotacincientfica:263=264/2=1,81019/2=0,91019=91018.

UsalacalculadoraLas calculadoras utilizan la notacin cientfica. Muchas calculadorasparaescribir91018escriben9e+18.

13. Utilizatucalculadoraparaobtener216,232y264yobservacmodaelresultado.14. Utilizalacalculadoraparaobtenertuedadensegundosennotacincientfica.

Actividadespropuestas15. Efectalasoperacionesennotacincientfica:

a) 0,000257+1,4105 b)2000000003,5106+8,510516. Efectalasoperacionesennotacincientfica:

a) (1,3105)(6,1103) b)(4,7108)(3106)(2,5104)17. Efectalasoperacionesennotacincientfica:

(5108):(1,5103) b)(3,25105)(5102):(6,15107)18. Seestimaqueelvolumendelaguade losocanosesde1285600000km3yelvolumende

aguadulceesde35000000km3.Escribeesascantidadesennotacincientficaycalcula laproporcindeaguadulce.

19. Sesabequeenuntomodehidrgenoelncleoconstituyeel99%delamasa,yquelamasadeunelectrnesaproximadamentede9,1091031kg.Qumasatieneelncleodeuntomodehidrgeno?(Recuerda:Untomodehidrgenoestformadoporelncleo,conunprotn,yporunnicoelectrn)

20. AJuan lehanhechounanlisisdesangreytiene5millonesdeglbulosrojosencadamm3.EscribeennotacincientficaelnmeroaproximadodeglbulosrojosquetieneJuanestimandoquetiene5litrosdesangre.


49 Potenciasyraces.3BdeESO4.RACES5.1.RadicalesdendicecualquieraLarazensimadeunnmeroaesunnmeroxquealelevarloan,dacomoresultadoa.

xan xn=a.La raz cuadrada de un nmero real no negativo a es un nico nmero no negativo x que elevado alcuadradonosdea:

axxa 2 ,a0,x0.

Observaque 1 noexisteenelcamporeal.Ningnnmerorealalelevarloalcuadradodaunnmeronegativo.Slopodemoscalcularracesdeexponentepardenmerospositivos.Sinembargo 3 1 =1,pues(1)(1)(1)=1.Actividadesresueltas

Cuntomideelladodeunahabitacincuadradaembaldosadacon144baldosasdecuadradasde25cmdelado?

Cadaladotendr 144 =12baldosas,quemiden25cm,luegomedir1225=300cm=3mdelargo. Enundepsitocbicocaben1000cubosde1dm3,cuntomidesuarista?Ysicaben12167cubos?

Calculamos 3 1000=10. Laaristamide10dm.Calculamosahora 3 12167=23. Laaristamide23dmporque232323=12167.

Calcula 3 64 ; 3 8 ; 3 27 ; 3 1000 .Lasracesderadicandonegativoendiceimpar,siexisten: 3 64 =4; 3 8 =2; 3 27 =3; 3 1000 =10.

Recuerda:n=ndicedelaraz

a=radicandox= n a raz

ObservacinNoconfundasresolverunaecuacin,x2=9,quetienedosraces,3y3,concalcularunaraz,como9 queesnicamente3.

Imaginaquelotanhorribleseracalcular 9 + 1 + 4 sielresultadopudieraser:3+1+2=6,obien,312=0,obien3+12=4,obien31+2=4Larazensimadeunnmeroenelcamporealonoexisteoesnica.


50 Potenciasyraces.3BdeESO4.2.PotenciasdeexponentefraccionarioSedefine nx

1

como n x :nx1

= n x

Por tanto, lapotencia nm

x puedeexpresarseen formade radical,demaneraquen serel ndicede la raz ymelexponentedelradicando.

nm

x = n mx Ejemplo:

52/3= 3 25 Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario coinciden con las de las potencias deexponenteunnmeronatural.Actividadesresueltas

Simplificalosradicales 4 122 ,10 157 usandopotenciasdeexponentefraccionario.Escribimoselradicalcomopotenciadeexponentefraccionarioysimplificamoslasfracciones:

.8222 3412

4 12 777777 2 32

31015

10 15 Calcula 484y 3 27000factorizandopreviamentelosradicandos

22112112484 22 3053253227000 3 3333

Calcula250,5; 53

32 y 25

56

3

5252525 21

5,0

822232 353553553 27333 325

5625

56


51 Potenciasyraces.3BdeESO4.3.ExtraccindefactoresdeunradicalTenemos n

m

x = n mx conm>n,paraextraerfactoresdelarazrealizamoselcociente:mdivididoentrentienedecocientepyderestor:m=np+r.Elresultadoes n

rpn

rpnn rpnn m xxxx

= n rp xx .

Sim>n, nm

x = n mx = n rp xx .Ejemplo:

3 5x =x 3 2x

532 34 = 53322 222 =223 53 =12 15 Actividadespropuestas

21. Calculatodaslassoluciones:a) 121 b) 3 8 c) 4 10000 d) 5 1 e) 7 1

22. Expresaenformaderadicala)(3)4/5 b)81/3 c)52/3

23. Extraelosfactoresposiblesencadaradical:a) 4 56 ba b) 3 645 236 c) 33 954

4.4.OperacionesconradicalesComo los radicales se pueden escribir como potencias, tienen las propiedades que ya conoces de laspotencias.

RazdeunproductoLarazdeunproductoesigualalproductodelasracesdelosfactores

nnnn zyxzyx Ejemplo:

3 64278 = 333 64278 =234=24

RazdeuncocienteLarazdeuncocienteesigualalcocientedelarazdeldividendoylarazdeldivisor

n

n

nyx

yx


52 Potenciasyraces.3BdeESOEjemplo:

5

55

24332

24332 =

32

Razdeunaraz

Larazdeunarazesigualaotrarazconelmismoradicandoycuyondiceeselproductodelosndices.mnn m xx

Ejemplo:22646464 6 66233 2

4.5.OperacionescombinadasEjemplo:

x2/3y1/3= 3 233 2 yxyx Ejemplo:

3 2

4 3

3 2

4 3

3 5

4 7

35

47

xx

xxxx

xx

x

x

Actividadespropuestas

24. Expresaenformadeproductoodecociente:a) 3 ba b) 752 c) 2

67 d)

yx 3

25. Expresaenformadenicaraz:a) 3 18 b) 4 3 25

26. Expresaenformadepotencia:a) 54 3 22 b)

3

4 23

555

27. Simplificalaexpresin:

a)3

32

x

x b)3

5 113

xxx

RecuerdaHay operaciones con radicales queNOestnpermitidas.10= 100 = 3664 queesdistintode:64 + 36 = 8 + 6 = 14.


53 Potenciasyraces.3BdeESO4.6.RacescuadradasYasabesque:Larazcuadradaexactadeunnmeroaesotronmerobcuyocuadradoesigualalprimero:

abba 2 Ejemplo:

Alpoderconstruiruncuadradodelado2con4cuadradospequeossediceque2es la raz cuadradade4, yaque22=4, ypor tantodecimosque2eslarazcuadradade4,esdecir:

24 .Obtenerlarazcuadradaexactaeslaoperacinopuestadeelevaralcuadrado.

Podemosconstruiruncuadradode lado3con9cuadradospequeos,por tantocomo32=9entonces:

39 . Alescribir 864 seleequelarazcuadradade64es8.

Alsignoseledenominaradical,sellamaradicandoalnmerocolocadodebajo,enestecaso64ysedicequeelvalordelarazes8.Ejemplo:

Sabemosqueelreadeuncuadradoes121cm2,cuntovalesulado?Suladovaldrlarazcuadradade121.Como112=121,entonceslarazcuadradade121es11.Elladodelcuadradoes11.Ejemplo:

Sepuedeconstruiruncuadradocon7cuadradospequeos?Observa que se puede formar un cuadrado de lado 2, pero sobran 3cuadrados pequeos, y que para hacer un cuadrado de lado 3 faltan 2cuadradospequeos.El nmero 7 no es un cuadrado perfecto, no tiene raz cuadrada exactaporquecon7cuadradospequeosnosepuedeconstruiruncuadrado.Esms, aquellos nmeros naturales que no tienen raz cuadrada exacta, su expresin decimal es unnmeroirracional,coninfinitascifrasdecimalesnoperidicas.Peropodemosafirmarque2


54 Potenciasyraces.3BdeESO2,64


55 Potenciasyraces.3BdeESOCURIOSIDADES.REVISTA

LacruzdeEinstein

Albert Einstein haba anunciado, a partir de suteora de la relativiadad general, el llamadoespejismo csmico o "lente gravitacional". Esteefectopuedeexplicarlaformacindecuatroomsimgenesapartirdeunasolafuentemuydistante.La cruz de la imagen result ser un solo qusarsituadoaunos10.000millonesdeaosluzalquese llamCruzdeEinstein,cuya luzquedacurvadaensutrayectoriaporunagalaxialentesituadadiezvecesmscerca.

Clulassolaresdesiliciodetamaomicroscpico

El programa de Tecnologa Solar delDepartamentode Energade EstadosUnidos, en su objetivo de conseguirmayor eficiencia en laproduccindeenerga solar, ha creado clulasmicroscpicas de silicio. Estas clulasutilizan100vecesmenosmaterialdesiliciopolicristalinode20micrmetrosde grosor con un significativo costemenor de fabricacin. Estas clulasconviertencasiun15%delaluzsolarenenergaelctrica.

Sabasquea las operaciones en notacinexponencialtambinse las llamadecoma flotante" porque elexponenteequivalealaposicindeldecimal? En los ordenadores, lapotencia de clculo se mide enmflops, o miles de operaciones encoma flotante por segundo, eningles floating point operations persecound, abreviado "flops". Tuordenador igual puede hacer unmilln de estas operaciones porsegundo,un"gigaflops"!


56 Potenciasyraces.3BdeESO

Lapresenciadelasbacterias

Se estima que existen 100millones de bacterias, de 600 especies diferentes, porcadamilmetrocbicodesalivay40millonesdebacteriasenungramodetierra.Algunos cientficos calculan que en el interior de la Tierra podra haber hasta100.000billonesdetoneladasdebacterias,demaneraquesitodasestuvieransobrelasuperficie,cubrirannuestroplanetahastaunaalturade15metros.Haymuchamsvidaenelinteriorqueenelexterior.

EnelPapirodeAjmeed (1650a.C.)semuestracmolosegipciosextraanracescuadradas.Enla antigua India, en los manuscritos delBaudhayana Sulba Sutra Aryabhata (800500a.C.) se anota unmtodo para calcular racescuadradas.En Europa, no se han encontrado referenciasantesdeCataneo (1546).El smbolode la razcuadrada fue introducido en 1525 por elmatemticoChristophRudolff,yesuna formaestilizadadelarminscula.


57 Potenciasyraces.3BdeESORESUMEN

POTENCIASYRACES EjemplosProductoycocientedepotencias

Enelproductodepotenciasconlamismabasesesumanlosexponentes.EnelcocienteserestanlosexponentesConelmismoexponente:Enelproducto,semultiplicanlasbasesyseelevaelresultadoalmismoexponente.Enelcocientesedividenlasbasesyseelevaelresultadoalmismoexponente

(5)4(5)2=(5)632:37=352575=145(5)3:(4)3=(5/4)3

Potenciadeunproductoydeuncociente

Lapotenciadeunproducto es igual alproductodecadaunodelosfactoreselevadosadichapotencia

(abcd)n=anbncndnLa potencia de un cociente es igual al cociente deldividendoyeldivisorelevadosadichapotencia

cm:cn=cmn

(523)4=542434

(7/2)6=76/(2)6

Potenciadeotrapotencia

((d)m)n=dmxn ((4)3)5=(4)15

Potenciadebaseracional

(a/b)n=an/bn (6/5)2=62/52

Potenciadeexponentenegativo

an=1/an 83=1/83

Notacincientfica:operaciones

a10nsiendo1 a 9.+nparagrandesnmerosnparapequeosnmeros

320000000=3,21080,0000000009=91010

Radicales:racesdendicecualquiera ;749 6216

3 ; 4643 ; 3814 ; 2325

Potenciasdeexponenteracional

Una potencia con exponente racional puedeexpresarse en forma de raz cuyo ndice es eldenominador del exponente y el radicando quedaelevadoalnumeradordelexponente: n mn

m

xx

82/5= 5 28

Extraccindefactoresdeunradical

Sim=nc+rentonces n rcn m aaa 323 7 888

Operacionesconradicales nnnn zyxzyx ;

n

n

nyx

yx

4 235 = 444 235 =

31

271

271

3

33


58 Potenciasyraces.3BdeESOEJERCICIOSYPROBLEMAS.

Potencias1. Expresaenformadenicapotencia:a) 25(3)5(1)5b) (1)3(1)8(1)5c) 43(2)3(1)353d) (5)2(5)4(5)e) (9)293949f) (18)4:(3)4g) (6)5:(6)2h) (3)2:(3)42. Expresaenformadenicapotencia:a) 4243456(1)6

b) [(2)7:(3)7](4)3(4)4c) [24(3)464]3:[(4)8(4)4]9694:9d) (3)2(10)2:(5)275:733. Expresaenformadepotenciadeexponentepositivo:a) (4)3b)(9)3c)(2)5:(2)9d)(5)(5)2:(5)64. Expresaenformadenicapotencia:a) ((2)4)3b)((3)2)5c)((1)4)3d)((5)2)3/55. Expresaenformadenicapotencia:a) (3/5)4b)(2/9)4c)(1/5)3d)(2/3)46. Expresaenformadenicapotencia:a) (2/3)4(2/3)3(2/3)5b) (1/6)3(3/5)3(6/7)3c) (5/3)4:(2/3)4d) (4/9)3:(4/9)5e) ((4/3)3)5f) ((2/7)1)3


59 Potenciasyraces.3BdeESO

7. Expresaenformadenicapotencia:a) (2/3)3(1/5)3(4/9)3(1/2)3(1/4)3(1/4)2(1/4)(1/4)4b) ((1/3)4)3/2(2/5)1/6

c) (2/5)1/2(2/5)3/4(2/5)1/6(7/8)3:(1/6)38. Expresaenformadenotacincientfica:

a)140000000 b)32800 c)71000000000000000 d)0,0000075e)18000000 f)0,00000000042 g)0,009 h)0,00000000007

9. Buscainformacinexpresadaennotacincientficasobre:a) LadistanciaentrelaTierraylaLunab) Unidaddemasaatmicac) Kmquecorrespondenaunaoluzd) Unggole) Lalongituddeondadelosrayoscsmicos10. Realizalasoperacionesyexpresaelresultadoennotacincientfica:a)4103+2,41061,71053103b)2,31053,45104+6103c)31044,5102d)1,8105:510811. LaestrellaSirioestaunos8,611aos luzdenuestroplaneta.Expresaen

metros,mediantenotacin cientfica ladistanciaque recorreraunanaveespacialquerealizarauntrayectodeidayvueltaaSirio.(Recuerda:Unaoluz, la longitudque recorre la luzenunao,esaproximadamente iguala9,461012km(9460730472580,8kmconmsaproximacin))

12. Lamasadeunelectrnenrepososeestimaen9,11 1031kg, ladeunprotnesde1,672 1027kg,y ladeunneutrn1,64x1027kg.Calcula lamasadeuntomodecarbono14(C14)


60 Potenciasyraces.3BdeESOformadoporseisprotones,seiselectronesy6+2=8neutrones.(ElC14esun istopoque tienedosneutronesmsqueelcarbononormalyqueseutilizaparadatar).

13. Calculayexpresaennotacincientfica:a)0,00829+4103+7,451056,32104b)51062,81073105c)51024102+1,4103d)3105(2,7)103+4,210614. Expresaelresultadodeestaoperacinennotacincientfica:

a) 443

103025,0105,1104,2

b) 6534

103,2104105103,1

15. Seestimaqueexisten40millonesdebacteriasenungramodetierra.Expresa en notacin cientfica de forma aproximada el nmero debacterias que existen en unos camiones que estn descargando 50toneladasmtricasdearenaenunaplaya.

16. Six=240000y=0,00058z=7,2106Calculayexpresaennotacincientficaa)xyb)2x+y107c)3x5y

17. Arqumedes, en su tratado El arenario cuenta unamaneraparaexpresarnmerosmuygrandes,comoelnmerodegranos de arena que hay en toda la Tierra. Vamos a estimarlosahoraporotroprocedimiento.Estimamoscuntosgranosdearenanecesitamos para tener un gramo de arena. Te parece que 50granosdearena.SeestimaquelamasadelaTierraesde:

MT=5980000000000000000000000000g=5981025gCalculadeformaaproximadaelnmerodegranosdearenaquehayentodalaTierra.

18. Vemos en Internet que lamasa deMarte es de 639E21 kg, que lamasa de Jpiter es de1,898E27kg,yque lamasade laTierraesde5,972E24kg.a)Calculacuntasvecescabra laTierraenelplanetaJpiter.b)CalculalarelacinentrelamasadelaTierrayladeMarte.

CultivodeEscherichiacoli

Grafito


61 Potenciasyraces.3BdeESORaces

19. Calcula:a) 12100 b) 3 008,0 c) 3 125 d) 5 1 e) 49,0 20. Calcula:a) 4 0736,2 b) 5 00001,0 c) 33640000 d) 3 6107,2 21. Expresaenformaderaz:a)(4)3/5 b)71/6 c)(21)1/3 d)(5)2/322. Expresaenformadepotencia:a) 5 36 b) 5)7( c) 53 d) 3 4)30( 23. Extraelosfactoresposiblesdeestosradicales:a) 2103 53 b) 3 59 26 c) 4 511 yx d) 3 64 53 24. Extraelosfactoresposiblesdeestosradicales:a) 3 637 cba b) 65 35 c) 4 85 6:10 d) xxx 83 25. Simplifica:

a)3

52

b) 35

54

54

c)

yxyx

8

43

d) 455

34:

41

26. Expresaenformadeproducto:a) 12503 b) 3 642 325 c) 938 4 d) 3 628 cba 27. Expresaenformadecociente:

a)

52 b) 5

3215 c) 3

97 d)

2415

28. Expresaenformadenicaraz:a) 48 b) 3 450 c) 4 3 9000 d) 2 5 1 29. Simplificalasoperaciones:a) 3 43 5 23 b) 323 527 c) 5 85 12 3:2 d) 32 52 2:103 30. Simplificalasoperaciones:a) 2 33 5 : xx b) 1210 c) 66 )3()2(5 d) 5 1075 12 3)6(:)6( 31. Simplificalasoperaciones:a) 3

22 3 5:64 b)

53

35

2:2

44 c) 777 3 24

13


62 Potenciasyraces.3BdeESOAUTOEVALUACIN

1. Elresultadodelasoperacionessiguienteses:(6)3(6)5(6)y(12)7:(12)5a) 6y122b)1/6y125c)1/6y122

2. Elresultadodelasoperacionessiguienteses:(5)4(1)4(6)4y(8)7:(5)7a) (30)4y(3)7b)304y(8/5)7c)304y(3)7

3. Elresultadodelasoperacionessiguienteses:((2)5)3;((1)5)7y((5)2/3)6a) (2)15;(1)y(5)8/3b)215;(1)y54c)(2)15;(1)y(5)4

4. Elresultadodelasoperacionessiguienteses:(8)3;(2)4y(105)2a) 1/512;1/16y1/1010b)1/83;1/24y1/1010

5. Elresultadodelasoperacionessiguienteses:(5/7)3;(1/3)2y(2/5)4a) 53/73;1/32y24/54b)53/73;32y24/54

6. Elresultadodelasoperacionessiguienteses:(2/3)3(2/3)2(2/3)5a) 1b)2/3c)2/3d)(2/3)(3/2)

7. Lasexpresiones3,1108y0,0000000095correspondena:a) 3100000000y9,51010b)310000000y9,51010c)310000000y9,5109

8. Elresultadodeestaoperacines:(0,00098+31064,2104)2,5105a) 124,5b)2407,5c)107,5d)140,75

9. Elresultadodelasoperacionessiguienteses: 3 1331 ; 256 y 5 1 a) 11,16,1b)11,16,1c)11,16,1

10. Lassiguientesexpresionescorrespondena:(4)3/5;(3)1/2y(5)4/3

a) 5 34 ; 3 y 3 45 b) 5 34 ; 3 y 3 45 c) 5 34 ; 3 y 3 45 11. Elresultadodeextraerfactoresdeestosradicaleses: 3 45 y 53 52

a) 3 5)5( y 5252 3 b) 3 5)5( y 1050 c) 3 5)5( y(5)3(5)12. Lasoperacionessiguientespuedenexpresarse: 3 12:5 y 3 3 18

a) 3

3

125y 9 18 b)

3

3

125

y 6 18 c)2

3

125 y 9 18

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www.apuntesmareaverde.org.esAutor:FernandaRamosRodrguezyMilagrosLatasaAsso

Revisor:JavierRodrigoyNievesZuastiIlustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.

3BdeESOCaptulo3:Sucesiones

Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas3BESO.Captulo3:Sucesiones Revisores:JavierRodrigoyNievesZuastiLibrosMareaVerde.tk Autoras:FernandaRamosRodrguezyMilagrosLatasaAssowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

64 Sucesiones.3BdeESOndice

1.SUCESIONESDENMEROSREALES1.1.DEFINICIONES1.2.FORMASDEDEFINIRUNASUCESIN

2.PROGRESIONESARITMTICAS2.1.TRMINOGENERALDEUNAPROGRESINARITMTICA2.2.SUMADELOSTRMINOSDEUNAPROGRESINARITMTICA

3.PROGRESIONESGEOMTRICAS3.1.TRMINOGENERALDEUNAPROGRESINGEOMTRICA3.2.PRODUCTODELOSTRMINOSDEUNAPROGRESINGEOMTRICA3.3.SUMADELOSTRMINOSDEUNAPROGRESINGEOMTRICA3.4.APLICACIONESDELASPROGRESIONESGEOMTRICAS

ResumenQutienenencomnconceptostandisparescomoelnmerodeconejoshijosengendradosporunaparejadeconejos, laestructurade un copo de nieve o el inters que obtenemos al depositardeterminadacantidaddedineroenunaentidadfinanciera?Detrsdeestoscasosnosencontramosconelconceptodesucesin.Las sucesiones numricas tienen gran importancia y utilidad enmuchsimos aspectos de la vida real, alguno de los cuales irsdescubriendoalolargodeestetema.

Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas3BESO.Captulo3:Sucesiones Revisores:JavierRodrigoyNievesZuastiLibrosMareaVerde.tk Autoras:FernandaRamosRodrguezyMilagrosLatasaAssowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

65 Sucesiones.3BdeESO1.SUCESIONESDENMEROSREALES1.1.DefinicionesUnasucesindenmerosrealesesunasecuenciaordenadadenmeros.Ejemplo:

Lassiguientessecuenciassonsucesiones:a) 1,2,3,4,5,6,b) 2,4,6,8,10,12,c) ,...

61,

51,

41,

31,

21,

11

Sellamatrminodeunasucesinacadaunodeloselementosqueconstituyenlasucesin.Para representar los diferentes trminos de una sucesin se usa una misma letra con distintossubndices.Estossubndicesindicanellugarqueocupaesetrminoenlasucesin.Ejemplo:

Enlasucesina)tendramosque:a5=5,yaqueeseltrminodelasucesinqueocupaelquintolugar.

Enlasucesinb),eltercertrmino,sedenotarab3ycorresponderaal6 Enlasucesinc),porejemploc2= 2

1 Lorealmenteimportantealahoradenombrarlostrminosdeunasucesineselsubndiceporquedenotaellugarqueocupanenlasucesin.Lasletrasconlasquesedesignalasucesinsondistintasparasucesionesdistintasysuelenserletrasminsculas.

Se llamatrminogeneraldeunasucesinal trminoqueocupael lugarnsimoyseescribecon laletraquedenotealasucesin(porejemploa)consubndicen:(an)Ejemplo:

Enloscasosqueestamosconsiderando,lostrminosgeneralesdelassucesionesseran:an,bnycn.

Sinos fijamos, losvaloresque toman los subndices sonnmerosnaturales,pero los trminosde lasucesinno tienenporquserlo,esdecir, losvaloresque toma lasucesinsonnmerosreales.Poreso,podemosdefinirsucesindenmerosrealesdeformamsrigurosacomo:Definicin:Sellamasucesindenmerosrealesaunaaplicacinquehacecorresponderacadanmeronaturalunnmeroreal.Actividadesresueltas

Enlassucesionesanteriores,observamosque:a1003=1003,b12=24yc37= 371

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Libro Matematicas Mareaverde 3º ESO