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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TACHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Material Instruccional Diseñado para Estudiantes de la Carrera de Educación Básica Integral de la Universidad de los Andes- Táchira
Prof. Álvaro Oscar Moreno Sánchez
San Cristóbal, Marzo del 2001
7
INTRODUCCION En la Primera y Segunda etapa de la Educación Básica se dan los primeros cimientos, los
cuales constituyen los elementos conceptuales básicos en la construcción de la edificación
pedagógica del conocimiento matemático. Se inicia el trabajo hacia el desarrollo del
pensamiento lógico matemático, intelectual y deductivo a través de las operaciones básicas
como la adición, sustracción, multiplicación y división.
Estas operaciones básicas serán realizadas en el campo de los números reales, y por ser éste
ordenado, también se desarrollará el principio de orden en el niño, siendo de valorable
importancia en la vida de cualquier persona, particularmente de quienes inician
prontamente su etapa de aprendizaje de la matemática, accesible para resolver sus
problemas cotidianos.
Las tendencias actuales orientan su quehacer instruccional hacia una enseñanza de la
matemática cuya finalidad está dirigida hacia lo instrumental, formativo, cultural, lúdico y
estético, sin perder el orden y la secuencia de su presentación pedagógica. Esto se observa
cuando se trabaja en grupos, cuando se resuelve una operación aritmética donde deben
respetarse una serie de leyes y teoremas que por sí forman parte del conocimiento
matemático.
En otro sentido, ubicándose del lado del futuro Licenciado en Educación, Básica Integral,
se debe alertar sobre este importante acontecimiento:
El elemento más perjudicial que puede tener este profesional desde su preparación, es el
uso indiscriminado de la calculadora, por cuanto los hace dependientes de ella, además
debilita ciertos conocimientos y hasta hace olvidar la esencia de cómo se desarrollan los
procesos para resolver problemas con las operaciones básicas, situación muy peligrosa
porque esta será una de las funciones principales en la formación de los futuros alumnos
así como otras mencionadas al comienzo de esta introducción.
Para poder subsanar este hecho innegable, se recomienda la sincera y honesta participación
de los alumnos del curso, en el trabajo que deberán realizar al estudiar el presente material
instruccional.
8
INDICE
Capítulo 1: Números reales Pág.
• Definición de conjunto. 7
• Formas de expresar conjuntos. Forma de especificación y forma de la regla. 8
• Operaciones básicas con conjuntos,cardinal de un conjunto y conjuntos especiales. 9
• Relaciones entre conjuntos: subconjunto, conjuntos iguales y subconjunto propio. 14
• Ejercicios 1.1 17
• Los números naturales y los números enteros. 19
• Los números racionales. 20
• Los números irracionales. 21
• Los números reales. 25
• Axiomas de los números reales. 25
• Leyes de los signos en la multiplicación y la división. 32
• Estrategia para enseñar las leyes de los signos. 29
• Fracciones y operaciones básicas. 35
• Estrategia para la enseñanza de la tabla de multiplicar. 37
• Criterio de simplificación. 40
• Criterios de divisibilidad de un número entero. 42
• El mínimo común múltiplo ( m.c.m.) 43
• El máximo común divisor ( M.C.D. ) 45
• Ejercicios 1.2 48
• Números decimales. Operaciones básicas. 49
• Sistema de numeración romano. 56
9
Pág.
• Ejercicios 1.3 59
• Fracción generatriz. 61
• Números mixtos. 64
• Desigualdades y valor absoluto. Propiedades. 66
• Ejercicios 1.4 74
• Raíz cuadrada de un número real positivo. 77
• Exponentes enteros. Leyes o reglas. 79
• Notación científica. 81
• Ejercicios 1.5 83
• Técnicas de redondeo. 85
Capítulo 2: Expresiones algebraicas. Polinomios.
• Definición de expresión algebraica. 89
• Definición, clasificación y grado de un polinomio. 89
• Adición y sustracción de polinomios. 92
• Ejercicios 2.1 97
• Multiplicación de polinomios. 99
• División de polinomios. 102
• Ejercicios 2.2 106
• Definición de factorización. 108
• Técnica del máximo factor común. 109
• Técnica de agrupación. 111
10
Pág.
• Técnica de diferencia de cuadrados. 111
• Técnica del trinomio de la forma . 114 0y 0 , Zy con , 2 ≠≠∈++ cbcbcbxx
• Técnica del trinomio de la forma 117 . 0y ,1 , Zy ,con , 2 ≠≠∈++ cbacbacbxax
• Técnica fórmula de la ecuación cuadrática. 120
• Técnica de la suma o diferencia de cubos. 121
• Ejercicios 2.3 123
• Definición de expresión fraccionaria y expresión racional. 125
• Adición y sustracción de expresiones racionales. 125
• Multiplicación y división de expresiones racionales. 130
• Ejercicios 2.4 133
• Operaciones combinadas y fracciones complejas. 135
• Ejercicios 2.5 139
• Triángulo de Pascal. 140
• Hoja de respuestas. 144
• Bibliografía. 155
11
Capítulo 1
Números Reales Operaciones Básicas
12
CONJUNTOS
Cotidianamente encontramos y mencionamos este concepto para referirnos a diferentes
ámbitos de nuestra vida diaria, ejemplo:
• Haz escuchado al conjunto de música de rock Metallica,
• Haz visto la camisa de este conjunto,
• Jueguen en conjunto,
Pues bien en Matemática es básico este concepto, ya que él nos permite generar el
conjunto de números reales, el cual va a ser la materia prima de nuestro trabajo.
Son sinónimos de la palabra conjunto un grupo, una colección, un agregado, una
agrupación de objetos o símbolos.
Comúnmente se estila denotar a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos con
letras minúsculas, ejemplo:
« Escriba el conjunto formado por los días de la semana:
Solución :
Denotemos al conjunto con la letra A, así
A={ } sábadoviernes,jueves,miércoles,martes,lunes,domingo,
« Escriba el conjunto formado por los días de la semana laborables en la Universidad de
los Andes-Táchira.
Solución :
Denotemos al conjunto con la letra B, así
B={ } viernesjueves,miércoles,martes,lunes,
13
Ahora observemos un hecho importante que ocurre con los elementos de los conjuntos:
1. Domingo pertenece al conjunto A, se denota Domingo ∈ A.♣
2. Lunes pertenece al conjunto A, se denota Lunes ∈ A.
3. Lunes pertenece al conjunto B, se denota Lunes ∈ B.
4. Sábado no pertenece al conjunto B, se denota Sábado ∉ B.
5. Domingo no pertenece al conjunto B, se denota Domingo ∉ B.
« Como ejercicio terminar el resto de relaciones.
Ahora, podemos señalar que existen dos maneras o formas para expresar los conjuntos, uno
donde listamos o señalamos uno a uno sus elementos del listado o por extensión y
otro donde asignamos una regla o una propiedad común que cumplan dichos elementos de la regla o por comprensión; en ambos casos utilizaremos llaves “{ ” para su
representación. Ejemplo:
}
« Sea A={ } sábadoviernes,jueves,miércoles,martes,lunes,Domingo,
Este conjunto esta dado por el listado o extensión ya que se especifica uno a uno sus
elementos.
« Sea T={ } semana la de díaun es / xx
Este conjunto esta dado por la regla o comprensión ya que estamos utilizando una
propiedad para señalar los elementos.
Ejercicios 1. Escriba cuatro conjuntos por comprensión.
2. Escriba cuatro conjuntos por extensión.
Según la cantidad de elementos que contengan los conjuntos pueden ser:
14
*conjuntos finitos, aquellos conjuntos cuyo cardinal es un elemento del conjunto de los
números enteros positivos.α
*conjuntos infinitos, aquellos conjuntos cuyo cardinal es infinito.
El cardinal de un conjunto es aquel número entero positivo que representa la cantidad
de elementos que posee dicho conjunto, ejemplo:
« Sea A={ }, decir si es finito o
infinito y además señalar su cardinal.
sábadoviernesjuevesmiércolesmarteslunesDomingo ,,,,,,
Solución :
Su cardinal viene representado por el número de elementos que posee, , por lo
tanto es un conjunto finito.
( ) 7 =ACard
Con los conjuntos podemos realizar ciertas operaciones, entre ellas señalaremos a la unión
e intersección con conjuntos.
La unión de dos conjuntos A y B, se denota , es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, además también pertenecen los
elementos que estén en A y en B. Ejemplo:
BA ∪
En lenguaje matemático:
{ }B A /BA ∈∈=∪ ∨ xxx ♣
pertenece. no lee se " "y pertenece lee se " ∉∈♣ "
α El conjunto de los enteros positivos = { } 9,8,7,6,5,4,3,2,1 0, … . ♣ ". ó" significa ∨
15
Gráficamente con los diagramas de Venn-Euler:♣
Caso 1 Caso 2 Caso 3
U
Caso 1: En la unión están los elementos de A, los de B y los comunes de A y B.
Caso 2: En la unión están los elementos de A o de B, ya que no hay elementos comunes
.............entre ellos.
Caso 3: En la unión están los elementos de A y de B, ya que todo elemento de B es
............elemento de A.
La intersección de dos conjuntos A y B, se denota A ∩ B, es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.
En lenguaje matemático:
{ }B A /BA ∈∧∈=∩ xxx ♠
Gráficamente con los diagramas de Venn-Euler:
Caso 1: La intersección es la parte común entre A y B es decir el área entrelazada.
♣ Lleva este nombre en honor a sus descubridores J.Venn y Leonard Euler.
Caso 1 Caso 2 Caso 3 U U U A A B B A A B: Zona rayada A
∩ ∩ B = ø A B=B ∩
B
U A A B B A A B: Zona rayada A B = Zona rayada A B=A
U
B
∪ ∪ ∪
16
Caso 2: No hay parte común entre A y B por tanto su intersección es vacía.
Caso 3: Todo elemento de B es elemento de A por tanto la intersección es B.
Ejercicio: Sean los conjuntos A y B, halle su unión e intersección.
= A
= B
Solución: La unión estará conformada por las caritas comunes y no comunes, así
Mientras que la intersección estará conformada exclusivamente por las caritas comunes:
= A∩ B
= A B∪
∧♠ significa “ y ”
17
De estos conjuntos de caritas podemos plantearnos una serie de nuevas operaciones:
1. La intersección de las caritas con cabello.
2. La unión de las caritas con lentes.
3. La intersección de las caritas con bigotes.
4. La unión de las caritas con bigotes y lentes.
5. La intersección de las caritas que no tengan bigotes, lentes ni barba.
Solución: Pregunta 1.
= C
Esto es el único elemento común entre estos conjuntos que poseen esa descripción.
Pregunta 3.
= D
La carita con lentes y bigotes no pertenece a este conjunto ya que solamente se encuentra
en el conjunto B.
Pregunta 4.
= E =
Quedan como ejercicio las preguntas 2 y 5.
18
CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto vacío, es aquel conjunto que no posee ningún elemento. Se denota como ∅
ó { y su cardinal es cero ; Card (∅ )=0 . }
Ejemplo.
« Exprese el conjunto por
extensión.
{ } Saturno planeta elen vivaque anoun venezol es / xxA =
Solución: Necesitamos escribir uno a uno sus elementos, ¿pero existe algún venezolano que viva en Saturno?
Por supuesto que no, así este conjunto A no posee elementos entonces denotado por extensión nos queda
A=∅ ó A={ . }
Conjunto unitario, es aquel conjunto que posee un solo elemento , su cardinal es uno.
Importante ... No hay que confundir los siguientes conjuntos:
A= es diferente al conjunto A={ } 0 { } ó A=∅ , ya que el primero
posee un elemento que es el cero , mientras que el segundo no posee
ninguno.
Tampoco hay que confundir a A= { } con A= { } ∅ ya que el primero
no posee ningún elemento mientras que el segundo si posee un elemento,
es el vacío.
19
Relaciones entre Conjuntos
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, (A está incluido en B), si y sólo si todo
elemento de A es elemento de B. Se denota A ⊆ B.
( En lenguaje matemático)
( ) : BxAxxB⊆A ∈→∈∀↔ ♣
Ejemplo:
« Sea y sea { } febrero de mes elen clases a asisto que díaun es / xxA =
{ } febrero de mes del díaun es / xxB =
Solución:
Como existen días en el mes de febrero donde no hay clase, ejemplo los sábados y
omingos, entonces es lógico responder que A está incluido en B.
s si y sólo si tienen los mismos elementos. Cuando
os A=B.
( En lenguaje matemático) ♦
.BA ⊆ d
Importante: I) Todo conjunto es subconjunto de si mismo
II) Para afirmar que , es suficiente mostrar que todo elemento de A es
elemento de B.
III) Para afirmar que
AA ⊆ .
BA ⊆
BA ⊄ (A no es subconjunto de B) es suficiente mostrar
que al menos un elemento de A no es elemento de B.
Dos conjuntos A y B son igualeA y B son iguales, escribim
( )ABBABA ⊆∧⊆↔=
⇒→⇔↔
♦
♣ " entonces. significa " ó " sí. soloy si significa " ó y. significa " "∧
20
Ejemplo:
os conjuntos A y B son iguales ya que poseen los mismos elementos. Obsérvese que, para
igualdad de conjuntos no importa el orden en que se escriben los elementos, ni el modo
mentos. Así A=B.
n conjunto A es un subconjunto propio de B si y sólo si:
emento de B y
ii) A y B no son iguales.
≠∧⊆
« Sea y sea
{ } viernes, jueves , sábado , miércoles , martes , domingo , lunes =B .
{ } semana la de díaun es / xxA =
L
la
en que se definen los conjuntos, sino que posean los mismos ele
U
i) Todo elemento de A es el
( En lenguaje matemático)
( )BABABA ↔⊂
Esta relación se escribe BA ⊂ , que se lee “ A es un subconjunto propio de B ”
Ejemplo:
{ } { } 14 13, 12, 11, ,10, 9 , 8 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 11 , 9 , 7 , 5 , 3 , 1 == ByA« Sea
u B, y además AComo todo elemento de A está incluido en el conj nto ≠ B entonces A B.
⊂
Ejercicio.
« Sean los siguientes conjuntos { } 21132 /N xxxA −=+∈= y
{ }1245 /N +=+∈= xxxB .Verifique cuál de las siguientes relaciones es verdadera
Solución :
. , , ABBABA ⊂=⊂
Debemos copiar estos conjuntos que están por comprensión a extensión, para así poder
Desarrollamos la expresión que define al conjunto A,
analizar la verdadera relación.
21
N 2 , 2 48 84 31122 21132 ∈=⇒=⇒=⇒−=+⇒−=+ xxxxxxx
Luego, los elementos del conjunto A son:
onjunto B,
{ }2=A
Desarrollamos la expresión que define al c
N 2 , 2 48 84 4125 1245 ∈=⇒=⇒=⇒−=−⇒+=+ xxxxxxx
uego, los elementos del conjunto B son:
tos de los conjuntos A y B puede concluir que A=B.
L
{ }2=B
Analizando los elemen
Importante... Para que el conjunto A sea un subconjunto propio del conjunto B, basta que B tenga al m
diferente que A. Ejemplo:
enos un elemento
{ } { } abecedario del letra una es /By vocaluna es / A xxxx == ,el conjunto B
tiene muchos elementos diferentes a los del conjunto A, ejemplo los elementos b,c,d,f,g
entre otros por lo tanto el conjunto A es subconjunto propio del conjunto B.
Para que el conjunto A sea subconjunto del conjunto B, basta que todo elemento de A este
en B. Aquí existe la posibilidad que los conjuntos sean iguales. Ejemplo:
}como todo elemento de A es elem to de B, entonces A es su conjunto de B.
tos finitos se cumple lo siguiente:
{ } { 10 quemenor impar natural númeroun es /By 9 , 7 , 5 3, , , 1 A xx==
en b
Para conjun
Si A B, entonces el cardinal del conjunto A es menor que el cardinal del conjunto B.
A B
⊂
⊂ ( ) ( )B Card A Card <→
22
EJERCICIOS 1.1
En los problemas 1 al 7 sea { } { , , , , , , , , , , , , uoieaBhgf }dbaA =ec=
}= . Halle el conjunto solución y su cardinal.
.
{ } { , . , , , y , , , , , , rñmlkDzuqpoihC =
1 BA ∪
2 BA ∩ .
3. ( ) DCA ∪∩
4. )
5.
( ) ( BCDA ∪∩∪
( ) ADA ∪∩
DCBA ∩∩∩ 6.
7. DCBA ∪∪∪
En s prlo oblemas 8 al 11 encuentre la expresión más sencilla para los conjuntos dados.
}
ø
0.
8. { } { impar enteroun es / par enteroun es / xxxx ∪
9. { }∪ , , , dcba
1 { } { }carreras otras las de estudianteun es / I. B. de estudianteun es / xxxx ∪ •
11. { } { }I. B. de semestre 1 del estudianteun es / I. B. de estudianteun es / erxxxx ∩
Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, ¿es A B= B A? ¿ Por qué?
s siguientes relaciones es verdadera:
Escriba la relación correcta.
12. ∪ ∪
En los problemas 13 al 18 una de la
. , , ABBABA ⊂=⊂
13. ( ) ( ){ } { } . 2 /Zy 03 2 Z/ =∈==−−∈= xxBxxxA
49
( ){ } { } . 04 /Zy 04 /Z =+∈==+∈= xxBxxxA 14.
{ } { } . par enteroun es /y 18 /Z xxBxxA ==∈= 15.
{ } { }NxxBA ∈== /y 7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 … 16.
17. }
8. }
{ } { 7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 0, y / …=∈= BNxxA
1 { } { / y / ZxxBNxxA ∈=∈=
B.I. significa Básica Integral. •
50
LOS NUMEROS NATURALES
e forman los demás conjuntos. Se denota con la letra N y está
tegrado por los siguientes elementos:
N = mentos, por tanto su cardinal
s infinito.
serve lo que sucede al aplicar las operaciones básicas con los elementos de este
conjunto, con la adición:
2+3 = 5, 5 N; 10+20 = 30,
Es el conjunto esencial para construir los números reales, él nos permite el proceso del
conteo, a partir de este s
in
{ } ... , 11 , 10 , 9 , 8 7, , 6 , 5 4, 3, , 2 ,1 , tiene infinitos ele
e
Ob
• ∈ ∈ 30 N. Cualquiera sean los números naturales que se
operen con la suma, siempre nos dará un número natural.
on la sustracción:
N;
C
• 2 ,257 ∈=− ∈=− 17 ,17825 N; pero ∉−−=− 6y ,62519 N.
esultan por la unión de los naturales, sus recíprocos♣ y el cero. Se denotan con la letra Z,
Z = , es un conjunto que tiene elementos
positivos y negativos, es infinito y de cardinal infinito.
Observe que no siempre que se restan dos números
ocurre con la adición. Para subsanar este escollo fué creado
naturales da como resultado otro número natural, como sí
el conjunto de los números enteros.
LOS NUMEROS ENTEROS
R
nombre extraído de la palabra alemana Zhalen que significa entero, sus elementos son:
{ } ,... 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ,1,2,3,4,5..., −−−−−
51
mos qué sucede al aplicar las operaciones básicas con los eleVea mentos de este conjunto:
2+3 = 5, 5 Z; 10-20 = -10, -10
• ∈ ∈ Z. Es decir, cualquiera sea los números enteros que
se operen con la adición o sustracción s á un número entero.
= 6, 6 Z; = -35, -35
, siempre no dar
• 32 × ∈ 75 ×− ∈ Z. Es decir, siempre que se multipliquen dos
números enteros nos da como resultado otro número entero.
• 24 = 2, 2 Z; ∈ 5 ,5
210
∈−−=− Z pero ∉= 5,4
29 Z.
LOS NUMEROS RACIONALES e definen como aquellos números que se pueden expresar como el cociente (o razón) de
guiente manera:
S
dos números enteros. Este conjunto se denota con la letra Q y se describen por comprensión
de la si
Q⎭⎩ q
⎬⎫
⎨⎧
≠∈== 0y , con / qZqppxx
♣ El recíproco de un número es el mismo número pero de signo contrario.
Observe que no siempre al dividir dos números enteros da
como resultado otro número entero, como sí ocurre con la
adición, sustracción y multiplicación. Para subsanar este
escollo fué creado el conjunto de los números racionales.
52
También se puede definir a los números racionales como un número decimal periódico o
nito.
demás, existen otros números que no se pueden expresar como cociente de dos números
nteros. Problema que surgió al tratar de encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo
ctángulo cuyos catetos tenían longitud igual a uno (1).
fi
A
e
re
2 1
2 2 1
2 no se puede copiar como razón de dos números enteros.
Al aplicar el teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados de las longitudes de los dos
lados menores de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la longitud del lado
mayor”.
2 11 222 222 =⇒+=⇒+= ccbac ,
La irracionalidad consistía en no poder expresar tal número como una fracción o como
razón de dos números enteros. Es decir: Q 2 ∉ .
estos números los llamaremos números irracionales, su conjunto será denotado con
l término matemático irracional proviene de la palabra latina irratio, la cual tiene su
número no expresable como cociente de dos
números enteros, cuyo significado contrasta con el lenguaje ordinario donde irracional
significa algo ilógico o incomprensible.
Una de las características de esos Números Irracionales
A
la letra I.
E
origen en la palabra griega alogos, por ser un
es que su representación en forma
decimal es infinita y no es periódica.
53
Entre algunos de sus elementos encontramos:
...4142136,1 2 ±=± ♦
45... 2,71828182 ±=± e
...3,14159263 ±=± π
Por lo anterior expuesto, se deduce que los números racionales no “agotan” la existencia de
los números posibles, por cuanto el problema planteado por la escuela Pitagórica (y otros
problemas surgidos posteriormente), no admiten solución en el Conjunto de los Números
Racionales. De allí que nuevamente es obligante “ampliar” el campo numérico y dar paso
eros Irracionales.
os a menudo
no periódica se puede “cortar” en alguna cifra, obteniéndose una aproximación
al Conjunto de los Núm
Es necesario destacar que al operar con los números irracionales, usam
números racionales como valores aproximados. De allí que cualquier expresión decimal
infinita
racional de la misma.
m
Eje plos:
« ...4142136,1 2 = se puede aproximar por : 1,4 ó 1,41 ó 1,414 etc...
Mientras más cifras decimales se consideren, más cercano se estará del número irracional
dado.
« ...3,14159263 =π se puede aproximar a la fracción 722 ya que es igual a
3,142857142857...
a diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advierte en su
representación decimal. Cua a por medio de decimales,
L
ndo un número irracional se present
los decimales continúan indefinidamente, sin presentar un patrón repetitivo
♦ La raíz cuadrada de un número primo siempre es un número irracional. Número primo es aquel que es divisible solamente por el mismo y por la unidad.
54
( ...3,14159263 =π ). En cambio, los números racionales expresados en forma decimal son
presentan un patrón llamado período ( 60,1 ...166666,061finitos o ≅= ).
Este conjunto result ros racionales con el conjunto de los
números irracionales. Se
El siguiente cuadro nos iento de los conjuntos de números antes
descritos:
De este cuadro podem
tero.
ional.
• Todo número racional es un número real.
• Todo número irracional es un número real.
LOS NUMEROS REALESa al unir al conjunto de los núme
denota con la letra R.
hace una excelente referencia del comportam
Q= Números Racionales
R
Z = Números Enteros
N= Números Naturales =
I = Números Irracionales
os señalar lo siguiente:
• Todo número natural es un número en
• Todo número entero es un número rac
• Todo número entero es un número real.
55
• No todo número entero es un número natural.
• Un número real es irracional o es racional.
.
Para reforzar este ás concreto.
adros anteriores podemos concluir que todo número natural es
bconjunto propio de los números enteros (N Z ), todo número entero es subconjunto
ropio de los números racionales (Z Q ) y todo número racional es subconjunto propio
e los números reales (Q R ).
• No todo racional es entero.
• Todo número irracional no es entero.
• Ningún número natural es irracional.
• Ningún número irracional es racional a la vez
aprendizaje, haremos un símil del cuadro con otro ejemplo m
• Como ejercicio, establezca todas las posibles relaciones entre estos conjuntos.
Analizando los cu
Los alumnos de Educación por régimen de semestre y de anualidades
= ULA- Táchira
Los alumnos de la Carrera Educación Básica Integral
Los alumnos del Primer Semestre de Educación Básica Integral
Los alumnos de Comunicación Social, Administración y Medicina.
su ⊂
p ⊂
d ⊂
56
Además, los números racionales unidos con los números irracionales dan los números
reales (Q ∪ I = R) y la intersección del conjunto de los números racionales con el
conjunto de los números irracionales es igual al conjunto vacío (Q ∩ I = ∅ ), esto quiere
ecir que un número real o es un número racional o irracional, pero nunca puede ser las d
dos cosas a la vez.
AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES El sistema de los números reales es un conjunto no vacío (R) dotado de las operaciones
llamadas adición y multiplicación denotados por ( + ) y ( . ), que satisface los siguientes
axiom :
esquiera que pertenecen a los números reales: a, b, c R
Par
as que a continuación se especifican
∈Sean tres números cual
a la adición
1. Propiedad conmutativa
, ejemplo 2+1= 1+2 3=3.
+(2+3) 3+3 = 1+5 6 = 6.
3. Elemento neutro♣ xiste un único 0, para cada a,
n nguaje matemático)
odo
+ abba += ⇒
2. Propiedad asociativa
( ) ( )cbacba ++=++ , ejemplo (1+2)+3 = 1 ⇒ ⇒
E
( E le
( ) m de , R , R único 0 ∈∀∈∃ a : que
aaa =+=+ 00
Ejemplo, 4+ 0 = 0+ 4 = 4
♣ Para utilizar el lenguaje matemático debemos señalar que los símbolos ∃∀ , son cuantificadores, el primero significa “ para todo elemento” y el segundo “existe un elemento “
57
4. ento inver
Para cada a, existe un único (-a),
tico)
opues R, −∃∈ a
=+ a
Para la multiplicación
Elem so o inverso aditivo
( En lenguaje matemá
( ) :que modo de , R to ∈∀a
)( −=−+ aaa 0
Ejemplo, 4+(-4) = - 4+ 4 = 0
5. iedad conmutativa
emplo 2.1= 1.2 2=2.
(1.2).3 = 1.(2.3) 2.3 = 1.6 6 = 6.
7. Elemento neutro
st o 1, para ada a,
( En lenguaje matemático)
odoR ∈a
Ejemplo, 4.1 = 1.4 = 4
8. ento inverso o inverso multiplicativo
da a, existe un único
Prop
abba ⋅=⋅ , ej ⇒
6. Propiedad asociativa
( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅ , ejemplo ⇒ ⇒
Exi e un únic c
( ) m de , R , único 1 ∀∈∃ : que
aaa =⋅=⋅ 11
Elem
Para ca ( ) 1−a ,
( En lenguaje matemático)
( ) :que modo de , R inverso cero, el excepto R, 1 ∈∃∈∀ −aa
1= , con a
a 11 =− . . 11 = −− aaaa
Ejemplo, 4.( ) = . 4 = 14− 1- 4 1441
=⋅
58
Única propiedad que relaciona la adición con la multiplicación,
9. Propiedad di tiva, stribu
jemplo:
( ) cabacba ... +=+
E
( ) ( ) 1616 106 8 2 523253 2 =⇒+=⇒×+×=+
e orden:
0. Para cada a R, entonces puede ocurrir solamente uno de los siguientes casos:
Axiomas d
∈ 1
0 >a ; 0<a ; .0 =a ( Princip otio de tric omía)
1. Para cada y b en R, con y , entonces
a 0>a 0>b 0>+ ba y
jemplo,
ea
.0. >ba 1
E
. S 010y 1052 además ,07y 752 entonces , 05y 02 >=×>=+>>
12. Para cada a y b en R, con ba > , si y solo si .0>− ba
Ejemplo,
Si .
03y 325 entonces , 25 >=−>
59
Axioma de completitud
13. Si A R⊂ y A está acotado superiormente, entonces A tiene supremo.
Ejemplo: El intervalo A = ( ) 3 , 1 está acotado superiormente por el tres, tiene supremo y es
l número tres.
ación, los axiomas son la constitución
s básicas, es decir para resolver problemas
estos cuando los necesitemos.
conjunto de los números reales, solamente los cumple él ya
ales e irracionales solamente cumplen parte de ellos.
as siguientes:
e
Este es uno de los axiomas más importante en el
cálculo moderno, este axioma del supremo le da un
les; es
la materia prima en el análisis matemático, es la
esencia en la demostración de muchos otros teoremas
más com
carácter analítico al cuerpo de los números rea
plejos.
Haciendo una comparación con respecto a una n
nacional que regirá al país de las operacione
aritméticos podremos basarnos en
Esos 13 axiomas que cumple el
que los naturales, enteros, racion
Analizando el conjunto de los números naturales, cumple los axiom
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2. La asociatividad,
Para la multiplicación:
3. La conmutatividad,
4. La asociatividad,
5. Elemento neutro,
6. Distributividad,
7. Axiomas de orden 11 y 12.
60
El conjunto de los números enteros, cumple los axiomas:
. La conmutatividad,
. La asociatividad
o,
:
,
. Elemento neutro,
, 11 y 12.
racionales, cumple los axiomas:
. La asociatividad,
. Elemento neutro,
ra la multiplicación:
5. La conmutatividad,
. La asociatividad.
. Elemento neutro,
. Inverso multiplicativo,
. Distributividad,
Para la adición:
1
2
3. Elemento neutro,
4. Inverso aditiv
Para la multiplicación
5. La conmutatividad
6. La asociatividad.
7
8. Distributividad,
9. Axiomas de orden 10
El conjunto de los números
Para la adición:
1. La conmutatividad,
2
3
4. Inverso aditivo,
Pa
6
7
8
9
10. Axiomas de orden 10, 11 y 12.
61
No cumple el axioma de completitud ya que si tomamos una parte de números de los reales,
ejemplo el conjunto { } 2 0Q/ ≤≤∈= xxA
0 2
Ocurre que 2 2 no pertenece al conjunto, por tanto no tiene supremo ya que es un
hecho existen infinitos números irracionales que se encuentran en el
números racionales es cerrado con las operaciones básicas ya que
“ La suma de dos números racionales es otro número racional”
número irracional. De
conjunto A.
El conjunto de los
siempre que se operan dos números racionales da otro número racional. Veamos esa
demostración:
•
Demostración:
dc
ba y , Sean dos números racionales cualesquiera con a,b,c y d números enteros y
a es
0, ≠db ,entonces su sum
bd
bcaddc
ba +
=+
Como el producto de dos números enteros da otro entero y la suma de dos números enteros
da otro entero tenemos:
,con ,y con , Zfefbdebcadfe
bdbcad
dc
ba
∈==+=+
=+
En consecuencia hemos demostrado que la suma de números racionales da como resultado
muéstrelo para el producto.
otro número racional.
De
62
El conjunto de los números irracionales, cumple los axiomas: Para la adición:
1. La conmutatividad,
ducto:
4. La asociatividad.
Distributividad,
pletitud.
no siempre la operación aritmética de dos
eros irracionales da como resultado otro irracional.
Ejemplo:
•
2. La asociatividad,
Para el pro
3. La conmutatividad,
5.
6. Axiomas de orden 10, 11 y 12.
No posee elemento neutro en la suma ya que el número cero no es irracional. Al igual que
los números racionales no cumplen el axioma de com
Un hecho de destacar muy significante es,
núm
2 El producto de por el mismo es:
( ) I. 2 pero ,2 2 2 2 2==× ∉
ruébelo para la suma.
ue umple el conjunto de los números reales es la densidad, es
siempre existe otro entre ellos. Los números racionales y
los irracionales también son densos mientras que los naturales y los enteros no lo son, ya
s nunca existirá otro elemento de ese conjunto
s, por lo tanto la densidad no la cumplen.
P
Otra propiedad importante q c
decir dados dos números reales
que si tomamos dos elementos consecutivo
entre ello
63
LEYES DE LOS SIGNOS xisten una serie de leyes a respetar cuando se estén realizando las operaciones básicas
on los números reales, ellas son:
ción
E
c
Para la multiplica :
plo • +=×+ , por ejem+ ( ) ( )3 62 += +×+
( ) ( ) 63• , por ejemplo 2 +=−×− +=×−−
Signos iguales resultado positivo.
( ) ( ) 63• , por ejemplo 2 −=−×+ −=×−+
• −=×+− , por ejemplo ( ) ( ) 632 −=+× −
Signos diferentes resultado negativo.
Para la división:
• , por ejemplo +=÷++ ( ) ( ) 224 +=+÷+ ; 224
+=++
• , por ejemplo +=÷−− ( ) ( ) 224 +=−÷− ; 224
+=−−
Signos iguales resultado positivo.
• , por ejemplo −=÷−+ ( ) ( ) 224 −=−÷+ ; 224
−=−+
• , por ejemplo −=÷+− ( ) ( ) 224 −=+÷− ; 224
−=+−
Signos diferentes resultado negativo.
Es bueno destacar que se puede representar un número negativo de tres maneras posibles,
ellas son:
64
21
− Primera forma
21− Segunda forma y
21 Tercera forma.
−
Cada una de ellas representa la misma cantidad, y por ello es bueno tener presente este
hecho a la hora de resolver los problemas que más adelante se presentarán.
Estrategia para la Enseñanza de las Leyes de los Signos
as leyes de los signos fueron definidas tácitamente por el francés Nicolás Chuquet en el siglo XV de nuestra
ara que funcionen las operaciones con los números positivos y los negativos, es decir se
verdad verdadera los siguientes casos para así evitar posibles contradicciones, ellas son:
la primera y hasta en la segunda etapa de
Educación Básica le vean sentido y por ende sea significativo, es por ello que en estos
L
era, se definió así p
debe cumplir como
Más por más es más,
Menos por menos es más,
Más por menos es menos y
Menos por más es menos.
Esto es muy abstracto para que los estudiantes en
la
casos las estrategias didácticas apropiadas son de gran utilidad para el logro de los
aprendizajes duraderos en los alumnos.
65
Estrategia... xiste una isla por las costas del Atlántico llamada Pacifica, en ella existen ciudadanos
se les asocia el signo más “+” y ciudadanos malos a los cuales se
les asocia el signo menos “-“; los ciudadanos buenos eran aquellas personas las
que los
iudadanos malos eran los asesinos, os, vagos y ó en
el consejo supremo de la isla que salir
buenos a los cuales E cuales trabajaban, estudiaban, deportistas, artistas, niños y ancianos, mientras
c ladrones, malandr políticos. Se acord
de la isla era equivalente al signo menos “-“,
mientras que entrar equivale al signo más “+”.
Los barcos que llegaban a la isla traían y se llevaban a personas, entonces el Rey
interesado por saber lo beneficioso o perjudicial de este hecho hizo el siguiente análisis:
☺ Si un ciudadano bueno ”+” entra a Pacifica “+”, esto es positivo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) , +=++
☺ Si un ciudadano malo “-“ sale de Pacifica “-“ , esto es positivo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) , +=−−
Si un ciudadano malo ”-” entra a Pacifica “+”, esto es negativo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) y −=+−
Si un ciudadano bueno ”+” sale de Pacifica “-”, esto es negativo para la isla.
Donde se obtiene que ( ) ( ) . −=−+
( + )
Luego el Rey resumiendo este análisis en una tabla obtuvo el siguiente resultado:
Entra a Pacifica Sale de Pacifica
( ) −
Ciudadano bueno
( + ) + _
Ciudadano malo
_
+ ( ) −
66
Entonces el Rey concluye que el producto de signos iguales es positivo, mientras que el
roducto de signos diferentes es negativo y “colorín colorado esta estrategia ha
FRACCIONES
ón es una expresión de la forma
p
terminado”.
yxUna fracci donde x e y pertenecen a los números
enteros, además “y” debe ser diferente de cero. ¿Por qué?.
la variable “x” se le conoce como numerador o dividendo y a la variable “y”
inador o divisor.
A
denom
Variable algebraicamente se define a toda aquella letra que le podemos asignar
ente cualquier valor numérico.
ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES uando sume o reste fracciones se encontrará con dos casos posibles, cada uno de ellos
tiene su forma parti
les, se escribe el mismo
nominador y se suman o restan los numeradores.
arbitrariam
C
cular de solución:
Caso 1: Si los denominadores de las fracciones son igua
de
ecba
ec
eb
eaentonceseconecbasean ±±
=±±≠∈ ,0 R, ,
Ejemplo:
,,
5 4
51271
512
57
5−
=−+
=−+
1
67
Caso 2: Si los denominadores de las fracciones son diferentes, se procede siguiendo la
siguiente regla.
bdbcad
dc
baentoncesdbcondcbasean ±
=±≠∈ ,0, R, ,,,
Ejemplo:
( ) ( )( ) 30
2730
151265
356263
52
=+
=+
=+
multiplica numerador con numerador y denominador con
enominador es decir, la multiplicación de fracciones es lineal.
MULTIPLICACION DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones se
d
bdac
dc
baentoncesdbcondcbasean =⋅≠∈ ,0, R, ,,,
Ejemplo:
( )( ) 8
454242959
==×
DIVISION DE FRACCIONES ara dividir fracciones se multiplica en cruz, numerador de la primera fracción por
5
P
denominador de la segunda fracción y denominador de la primera por numerador de la
segunda es decir, la división de fracciones es cruzada.
bcad
dc
baentoncesdcbcondcbasean =÷≠∈ ,0,, R, ,,,
jemplo: E
( )( ) 279373
35759==÷
xiste una forma de transformar las divisiones en multiplicaciones, esta consiste en invertir
l orden de la segunda fracción, es decir el numerador pasa a ser denominador y el
denominador a ser num
5
E
e
erador.
68
bcad
cd
ba
dc
baentoncesdc,bcondcbasean =⋅=≠∈ ,, R, ,,,
jemplo:
÷ 0
E
( )( ) 27
359375
97
35
795
3==×=÷
ntes de comenzar con el trabajo operacional es bueno señalar que es indispensable el
ominio adecuado de las tablas de multiplicar, existe la siguiente estrategia
A
d para el
dominio de dicho prereq s
1. Construya una tabla de 10x10 como a
*
ui ito:
l siguiente:
69
2. Colóquese en la primera fila y prim c m l
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9
era olu na os números del 1 al 9:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3. Ahora, en la segunda fila coloquen los núm de 1 en 1; en la segunda fila de 2 en
dos; en la fila 3 de tres en tres y así e te con el resto de filas.
8 9
eros
suc sivamen
* 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 1 16 83 3 6 9 12 15 18 24 27214 5 5 10 15 20 25 30 35 40 456 7 7 14 21 28 35 42 49 56 638 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
4. a las tablas de multiplicar. Para conseguir el resultado de una
ultiplicación determinada procedemos de la siguiente manera:
¿Cu to es 9x7?. Ubicamos primero la fila 9, luego la columna 7, el sitio donde se intercepte esta fila con la
columna es el resultado deseado.
Ya tenemos construid
m
án
70
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 183 3 6 9 12 15 18 21 24 274 4 8 12 16 20 24 28 32 365 5 10 15 20 25 30 35 40 456 6 12 18 24 30 36 42 48 547 7 14 21 28 35 42 49 56 638 8 16 24 32 40 48 56 64 729 9 18 27 36 45 54 63 72 81
Ejercicios resueltos:
Efectúe lo siguiente:
1)
Columna 7
La casilla de intersección nos indica 63, por lo tanto su resultado es 63. Este proceso se
aplica de manera análoga para resolver cualquier multiplicación que necesitemos.
1414727217107527151
=+
=×+×
=+ ×
Como es una suma de fracciones de diferentes denominadores, se aplicó la regla
respectiva.
100
2) 82412412 ×⎤⎡⎤⎡
520520
5356
201012
157516
452543 7
56
42
53
=×
=⎥⎦⎢⎣×⎥⎦⎢⎣
=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
×⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
××+×
×⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
××−×
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +×⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
Fila 9
71
8015212032
121084124344134
=+
=
=×+×
=+=⎥⎤
⎢⎡ ×
+⎥⎤
⎢⎡ ×
=⎥⎤
⎢⎡ ×
3)
80
8108101852845
21
×⎦⎣ ×⎦⎣ ×⎦⎣+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ÷
e undo matemático debemos casi siempre pensar en lo siguiente. “ Será que esto lo
CRITERIO DE SIMPLIFICACION
En l m
puedo hacer de manera más sencilla”. Observemos que una fracción generalmente se puede
copiar como otra equivalente pero más pequeña. Esto se puede realizar gracias al teorema
de la simplificación.
.0,,con , entonces , R ,,,,Sean ≠=∈ edcababcedcba decde
se e que en esencia lo que se hizo fue eliminar la variable “ c ”, esto se puede hacer
pre y cuando todos los elementos del numerador estén multiplicando entre si y todos
los elementos del denominador también lo hagan y además exista un elemento que esté
rriba y abajo a la vez.
Aquí se presenta un error muy común a la hora de aplicar este criterio maravilloso,
Ob rv
siem
a
.deade
≠ Aquí no se puebcbc+ de eliminar la variable “ a ” ya que ella en el numerador está
sumando, por lo tanto no cumple las condiciones del Criterio de Simplificación, luego no
se puede eliminar.
)
a
2651513
2615
513
2610
2625
51
512
=××
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −×⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ + 4
72
Obsérvese que el 15 y el 26 se pueden descomponer en producto de otros números
llamados números primos ♣ o factores primos de un número dado, luego aplicamos el
criterio de simplificación si es posible.
23
21353513
=××××
5) =+−+−+187
6222
1223
47
31
Con lo que conocemos hasta ahora debemos agrupar en pares y luego ir resolviendo así,
• 1225
12214
47
31
=+
=+
121
1224232
1223
=+−
=+− •
( )1859
54177
5421198
1832118 11
187
311
187
622
−=−
=+−
=×
+−=+−=+− •
Así tenemos que,
1859
121
1225
187
6222
1223
471
3−+=+−+−+
esolviendo el lado derecho,
R
=−
==×
×−×=−=−=−+
108120
108354-234
1865961813
1859
613
1859
1226
1859
12125
12
implificando, S
910
2730
5460
108120
−=−=−=
os,
−
Así tenem
910-
187
6222
1223
471
3=+−+−+
Un número se llama primo si solamente es divisible por el mismo y por la unidad. ♣
73
Existen algunos criterios que nos permiten saber si un número entero es
divisible entre, dos, tres y cinco.
número divisible entre tres. Por ejemplo:
1263 es divisible entre tres ya que 1+2+6+3=12 y 12 es divisible entre
Un número es divisible entre dos, si termina en cero o es par.
Un número es divisible entre tres, si la suma de sus dígitos es un
tres.
4213
1263=
Un número es div o o cin o.
OTROS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
isible entre cinco, si termina en cer c
Un número es divisible entre cuatro, si el número formado con las
936 es divisible entre 4, ya que 36 es múltiplo de 4 ( 9
dos últimas cifras es múltiplo de cuatro. Por ejemplo:
4 36=× )
úmero es divisible entre seis, si el número es divisible por dos
y tres de manera simultánea.
us cifras es
múltiplo de nueve. Por ejemplo:
26991 es divisible entre 9, ya que 2+6+9+9+1=27 y 27 es múltiplo de 9.
Un n
Un número es divisible entre nueve, si la suma de s
Un número es divisible entre diez, si termina en cero.
74
Observe que el problema anterior fue un poco largo, ya que solamente podíamos trabajar
n pares de fracciones, pero no hay que preocuparse por ello, porque existe un
más sencillo que nos permitirá transformar las fracciones que aparezcan
restando en una sola. Para ello utilizará el mínimo común múltiplo
)
números a
co
procedimiento
sumando o
( m
... mc
Se denomina m.c.m. de dos y b l menor número no nulo que es múltiplo de a a
simultáneamente de by .
o o cua ador de una fracción
ra hallar el ... mcm Procedimiento pa
El de un conjunto de números, es otro número conformado por los factores primos ... mcm
comunes y no comunes con su mayor exponente de ese conjunto de números.
Ejemplo:
« Halle el mínimo común múltiplo de 25, 50, 45. Solución:
P os rimero descomponemos cada uno de esos números en sus factores prim
53345 55250 5525 ××=•××=•×=•
Luego, aplicando la definición
... mc (25 , 50 , 45 ) = 33255m 450=××××
Este tiene una propiedad funda enor número divisible♦ entre cada ... mcm mental, de ser el m
uno de los núme ple esta propiedad. ros en cuestión. Veamos si 450 cum
1045
450 950
=•450 18
25450 =•=•
♦ Un número es divisible entre otro cuando su cociente es un enter ndo el numeres un múltiplo del denominador de dicha fracción.
75
6 a . Resuelv =−++−61
334
18108
3611
97
Solución:
inador ya que hallaremos el
entre el conjunto de denominadores.
El ... mc también se conoce como el mínimo común denomm
... mcm
326 33 33218 332236 339 ×=•=•××=•×××=•×=•
Así , el ... mcm (9, 36 ,18 , 3, 6 )= 363322 =×××
Ahora este lo dividiremos entre cada uno de los denominadores y su resultado lo
ltiplicaremos por su respectivo numerador.
... mcm
mu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
36635
3617652
3664082161128
36 1 6 34 12 108 2 11 1 7 4
61
334
181087
36911
=−
=−++−
=
=
−++−=−++−
Otro procedimiento llamado el de las columnas para hallar el
en distintas columnas y proceda a hallarles sus factores de manera
multánea como la siguiente representación:
rimos
25 50 45 5 10 9 2
3 3
a de los factores primos es el , entonces
=×××× Donde
... mcm Dispónganse la serie de números
si
Factores p
5
1 5 3 3
1
1 5
El producto de la column ... mcm
( ) 450 45 50, 25, ... =mcm 5 450. 5332
76
últiplos de cada uno de los números problema, luego revíselos y seleccione el
n jemplo:
ltiplos de los números 25, 50 y 45 son:
M 0,325,350 250,275,30 225, ,175,200, 00,125,150 25,50,75,1 25 =
bserve que el múltiplo más pequeño y común a los tres números es 450 por ende el
de números es 450.
Si s ¿cuál de esos procedimientos utilizar?, pues no se preocupe , ya que usted
pue importa la vía que tome, el
resultado debe ser el mismo.
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el máximo número
que
Se denomina M.C.D. de dos números a
Otro procedimiento basado en la definición del ... mcm
Halle los m
me or común a esa serie de números problemas. E
Los mú
( ) { } ... 5,450,375,400,42,
M ( ) { , 150 00, 1 50, 50 = } ... 600 550, 500, 450, 400, 350, 0, ,30 250 200,
M ( ) { } ... 585 540, 495, 450, 405, 360, 315, 270, , 225 180, , 135 90, 45, 45 =
O
... mcm de esa serie
e pregunta
de utilizar el procedimiento que más domine, porque no
divide a todos los demás.
y b al mayor número no nulo que es divisor de a
y simultáneamente de b.
77
Procedimiento para hallar el M.C.D. El M.C.D. mado por los factores primos de un conjunto de números, es otro número confor
comunes con su menor exponente de ese conjunto de números.
Ejemplo:
« Halle el máximo común divisor de 25, 50, 45.
Solución:
Primero descomponemos cada uno de esos números en sus factores primos
55250 555 53345 2 ××=•××=•×=•
Luego, aplicando la definición
M.C.D. (25 , 50 , 45 ) =5
Este M.C.D. tiene una propiedad fundamental, de ser el mayor número divisor entre
cada uno de los números en cuestión. Veamos si 5 cumple esta propiedad.
9545 10
550 525 =•=•=•
5
Ejercicio resuelto:
l entre 25, 125 y 100.
Solución:
« Halle e ... DCM
Descomponemos los números en sus factores primos, así
máximo es , ya que está en cada uno de los números estudiados , así que el
es 25.
Se denota como
55 25 ×=
555 125 ××=
5522 100 ×××=
Observe que 5 es un factor común en la serie de números, pero observe también que el
55 ×
... DCM
... DCM ( ) 25 100 ,125 ,25 =
78
« Halle el ntre 1 ... DCM e 35, 45 y 630.
Solución:
Descomponemos los números en sus factores primos, así 3 ×=×××=
2 ×=××=
ese que el factor común es el 3 y el 5, ¿por qué el 2 y el 7 no lo son?, luego se toma
que tenga menor exponente, así el
5135 35333
53533 45
753275332 630 2 ×××=××××=
Nót
el ... DCM ( )135 4553 630 ,45 , 2 =×= .
Otro procedimiento basado en la definición de D l os divisores de cada uno de los números problema, luego revíselos y seleccione el
r común a esa serie de números problemas. Ejemplo:
Los divisores de los números 250, 500 y 450 son:
}125, 250, 50 =
D }125 250, 500, 500 =
}75 90, 50, 225, , 450 =
Observe que el divisor común y mayor a los tres números es 50 por ende el de
e de núme s es
l .CM ..
Ha le l
mayo
D (2 ) { 5 , 10 25, 50,
( ) { 5 10, 25, 50, ,
D ( 1 450) { 3 5, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, ,
... DCM esa seri ro ( ) 50 450 500, ,250... =DCM .
Este concepto será de gran utilidad en el capítulo 2 referido a las técnicas de factorización.
79
EJERCICIOS 1.2
Resuelva y simplifique las siguientes operaciones:
1. ( ) =−−++−− 45134354365
2.
3.
4.
( ) =−+−− 6846 634 15. ( )[ ] =−−+ 161333 22 5
( )[ ] =−−−−+ 2 ) 1234(78 532 3
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+52
5321
3 3
2
=−
−
1811
127
83
94
=+7
1873 5. 16.
=−+−
82
86
812 6.
7. ( )=
−−
−745
73 17. =
+−
−
165
812
331
=−+85
211
43 8.
=−
−
321
21
43
18. =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−+− 7
35
48
1133 9.
10. =−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ×+
−−
51
714
712
545
19. =−
+
2435
125
73
215
( )
=×⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
÷43
143
79 11.
=−
−
65
1819
32
43
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
−−
4133 2
313
117 7
52
2112. 20.
13.
14.
=
−−
−
213
12
11 ( ) =××××= 222222 5 21.
=×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
73
73
73 2
Estas fracciones se llaman fracciones complejas.
43
22. = 23.
+−312
+−+− 13
14
=
+211
+11
+11
50
LOS NUMEROS DECIMALES
ecimal es aquel número que posee una parte entera y una decimal. Se
n pidamente porque po tre alguno de sus g jemplo:
1,6588
0,78326428
• -3,000
La aquella que se encuentra antes de la coma y la parte decimal la que se
a. En un número decimal cada una de las posiciones de los dígitos
onuncia la cantidad de una manera
n el siguiente número decimal, veamos el nombre de algunas de las posiciones de los
ígitos.
3 8 7
ntos noven
mil ciento treinta
Un número d
ide tifica rá see una coma en dí itos. E
• 23,546 •
•
parte entera es
encuentra después de ell
tiene un nombre específico y dependiendo de ello se pr
determinada.
E
d
Este número se lee
quinie
Mill
ardo
s C
ente
na d
e m
illón
D
ecen
a de
mill
ón
Uni
dad
de m
illón
C
ente
na d
e m
il
D
ecen
a de
mil
Uni
dad
de m
Cen
tena
de
cena
U
nida
d D
écim
as
Cen
tési
mas
M
ilési
mas
D
iezm
ilés
Cie
nmilé
sim
as
il ima
9 5 9 7 0 7 5 , 8 4 1 3 2
ta y siete mil setenta y cinco unidades con ochenta y cuatro
y dos cienmilésimas “
como “ Tres millardos, ochocientos setenta y nueve millones,
50
Ejercicios:
Escriba los siguientes números en forma verbal:
0,4553 « 540000004
« 45346,0024
« 4,657
iguientes números en for a numérica:
« Ochocientos millones cuatro unidades con noventa milésimas.
« Cuarenta y cinco m ilésimas ventiuna cien
millonésima.
Cuatro mil una unidad con treinta y tres milésimas.
Ciento treinta y ocho millones cuatro unidades con tres décimas.
meros decimales también podemos realizar las operaciones básicas, para efectuar
ntera así como la decimal. Ejemplo:
¿Cuál
« 434,7575 « 1200000000
«
Escriba los s m
il novecientos sesenta y tres con ocho m
« Una cienmilésimas.
«
« Treinta y seis mil millardos con tres unidades.
«
Con los nú
la adición o sustracción debemos tener presente que coincida las posiciones de la parte
e
« es el valor de =+−− 6456,23 7,34246,06456, ?
Solución:
e por separado las cantidades positivas y las negativas disponiendo una debajo de
dable ver las cantidades negativas como deuda y las positivas como
débitos y la operación final sería realizar un balance de pago. Veamos,
+
os,
Sum
otra. Es recomen
46 , 0 ,7 342 6456,6 456, 23
+
En las posiciones después de la coma donde hagan falta números completamos con cer
luego:
51
4600 , 0 00342,7 6456,6 456, 23
+ +
El 6 le presta una milésima al 0 para poder
6 en 5 y el
0 en 10.
El b cir las deudas eran pocas.
será negativo. Ejemplo:
« su resultado es:
Solución:
366,156 (Débitos) 7, 1056 (Deudas)
Haciendo ahora el balance con los débitos y las deudas tenemos,
1056 efectuar la resta, quedando el
, 71560 , 366
−
0504 , 359
alance es positivo porque me queda dinero, es de
Si las deudas son mayores que los débitos el balance
45,67456,789 +−
Realizamos la resta de manera natural y le colocamos el signo de la cantidad mayor,
450,67 456,789−
006,722−
Así, su resultado es:
006,72245,67456,789 −=+−
52
MULTIPLICACION DE NUMEROS DECIMALES El requisito básico que necesitamos es saber medianamente las tablas de multiplicar y el
proceso consiste en lo siguiente:
« Resuelva
Primero colocamos las cantidades una debajo de la otra como en el caso de multiplicación
con números enteros,
Realizamos la operación como si no tuviese decimales,
comenzando de derecha a izquierda.
La cantidad de decimales que posee el problema son dos, así el
resultado final también debe tener dos decimales, entonces
=× 5,34,23
5,34,23
×
7021170
90,81
81,90 5,34,23 =×
DIVISION DE NUMEROS DECIMALES Primero recordemos como era el proceso para números enteros:
248
= Donde el 8 es el dividendo, el
sultado de esa operación?
4 el divisor y el 2 el cociente. ¿Cómo
sabemos que 2 es el re
Muy fácil, dispongamos la fracción de esta manera:
8 4 ? Un número que multiplicado por 4 de
8. Pues bien es 2. Así, 8 4 Esta división es exacta ya que su -8 2 residuo es cero. 0ÕResiduo.
Dividendo divisor Distribución equivalente a la igualdad residuo cociente rd.cD +=
53
« esuelva la siguiente división .59 R
Solución:
Por lo tan os que: to tenem 8, 1 59
= .
« Resuelva la siguiente división .41
Solución:
-5 1,8 Como no existían más cifras en el dividendo para bajar 40 le agregamos un cero a la derecha del residuo y una
-40 coma en el cociente, así:
9 5 -5 1 Observe que el residuo no es cero, por lo tanto el resultado 4 o cociente es un número decimal.
9 5
0
1 4 Como uno no es divisible entre
os nte.
-20
10 0,25 cuatro, entonces le agregamos -8 un cero al dividendo y copiam
20 cero y una coma en el cocie
0
54
Ahora, ya conoces el proceso para efectuar la división de un número entero entre otro
entero, pero ¿cómo es el proceso para efectuar la división de decimales entre decimales
o d
Ejemplo:
« El resultado de
ecimales entre enteros?
2, 03, 2 es:
Solución:
Como ya sabes dividir números enteros entre enteros, deberíamos preguntarnos:
¿Puedo copiar este número 2, 03, 2 en otro número donde sea número entero entre otro
entero?
Observe que si multiplica la fracción por 1 ella no varia, ya que el “ 1 ” es elemento
neutro en la multiplicación.
13, 23, 2×=
2, 02, 0
Pero uno (1) se puede copiar de infinitas formas, por ejemplo:
1001002, 0102, 022, 02, 02, 02, 0 a
La forma que nos interesa
3, 23, 23, 23, 23, 23, 2 1 ×=×=×=×=a
es la antepenúltima ya que,
2 10=×
223
1010
2,03,2
=× , así
23 2 -2 11,5
-2 03
10 -10 0
5,11 2 03 2
2, 03, 2
== Luego,
55
En resumen en este tipo de proceso trataremos de transformar el divisor en un número
entero, utilizando para ello múltiplos de 10 según sea el caso.
Otro ejemplo,
« Evalúe a
Solución:
=÷ 12,0345,3
Multiplicaremos y dividiremos entre 100 para lograr el divisor entero,
125,334
100100
12,0345,3
=× , luego
Entonces, =÷ 12,0345,3 27,8
Se d ce que estos núm les están escritos en un sistema numérico específico, el
sistema numéri ya que cualquier número aparece como combinación de
elem
i
co decimal, eros decima
entos del siguiente conjunto:
{ } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , ,1 0 decimal sistema del lementosE =
llama decimSe al porque posee sólo diez elementos el conjunto numérico. Pero este no es el
único s baja enormemente, por ejemplo el
sistema u
istema numérico que existe y con el cual se tra
n mérico binario ( { } ,1 0 bin sistema del Elementos ario = ) es utilizado como
lenguaje en el ámbito de la computación, el sistema numérico sexagésimal utilizado este
el r os a continuación.
33 4,5 12 Agrupamos a dos cifras ya que -24 27,8 33 es divisible entre 12. 94 -84 Cuando bajamos el 5,debemos
105 colocar una coma en el cociente -96 ya que el 5 es parte decimal. 9
como lenguaje en los relojes, y otros sistemas muchos más antiguos no posicionales como
omano que verem
56
ANO
Los rom os poseían un sistema de numeración muy útil y práctico ya que hasta ahora todavía es utilizado
para ma ítulos en los libros, identificar las promociones en los liceos y universidades, e incluso como
Los ro y valores al sistema decimal
n los siguientes:
len la siguiente relación:
Para escribir cualquier n mero romano debemos hacerlo co binación de los signos
i .
en aparecer como máximo tres veces a la
derecha de uno mayor o igual. Ejemplo:
SISTEMA DE NUMERACION ROM
an
rcar cap
números en algunos relojes analógicos.
manos sólo tenían siete signos numéricos, cuyo signo
so
I V X L C D M
0 50 100 500 1000
1 5 1
Observe que los elementos cump
I ⎯⎯⎯ →⎯×10
X ⎯⎯⎯ →⎯×10
C ⎯⎯⎯ →⎯×10
M
V L ⎯⎯⎯ →⎯×10
⎯⎯⎯ →⎯×10
D
ú mo com
anteriores, los cuales son llamados símbolos básicos, y además deben ser escritos de
izquierda a derecha y respetando los siguientes principios:
Pr ncipio de Repetición
a) En un número los símbolos I,X,C y M pued
se debe escribir XXXX, sino XL. Cuarenta no
no se debe escribir CXXXX, sino CXL. Ciento cuarenta
57
b) E un número los símbolos Vn , L y D nunca se repiten de manera consecutiva.
Ejemplo:
Cien no se debe escribir como LL, sino C.
o DD, sino M.
c) En un núm ás de un símbolo menor a la izquierda de uno
mayor. Ejemplo:
Ocho no se debe escribir como IIX, sino VIII.
Ochenta no se debe escribir como XXC, sino LXXX.
Ningún símbolo puede repetirse más de tres veces. Ejemplo:
Cuatro no se debe escribir como IIII, sino IV.
Catorce no se debe escribir como XIIII, sino XIV.
Mil no se debe escribir com
ero no se puede escribir m
d)
Principio de Adición.
ero romano los símbolos básicos aparecen en su orden natural
M, D, C, L, X, I, el número representado es la suma de los números indicados
bolos. Ejemplo:
CLX = C+L+X
= 100 + 50 + 10 = 160.
Cuando en un núm
decreciente:
por los sím
= 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 1 = 1661.
Principio de Sustracción.
a o un símbolo m nor se escribe a la izquierda de otro mayor, el símbolo menor se
tr del mayor. El I sólo puede estar antes d ó de X (no puede aparecer antes del
MDCLXI = M + D + C + L + X + I
Cu nd e
sus ae el V
58
L,C ; ,D ó M ) el X sólo antes de L ó de C ( no puede aparecer antes del D ó M ) ; el C
tes de D ó de M ( I,V,X ó L no puede aparecer antes del D ó M ). Ejemplo:
XIX = X + ( X - I )
= 10 + ( 10 – 1 ) = 10 + 9 = 19.
IX = X - I
sólo an
= 10 – 1 = 9.
licacdo obre un sí o o de un número, el símbolo o parte del número se
ultiplica por 1.000 . Dos rayas multiplican por un 1. 000. 000. Tres rayas multiplican por 1. 000. 000.
0. Ejemplo:
Principio de Multip ión. Cuan se coloca una raya s mbol una parte
m
00
I XX = ( ) ( ) 20001 1 20000 1 20 1000 =+=+×
( ) ( ) 000.000.6 6 000.000.1 VI =×=
59
EJERCIC
implifique las siguientes operaciones:
)
IOS 1.3Resuelva y s
1. =+−+ 456795,129,455345,0
2. ( ) ( =−−−− 56 3,834,56 2
3. ( ) =×+× 5,4453,096, 23
4. ( ) =− 765,4 47945
. 5 =+− 956,843
6. =9,67
6,5
7. ( ) =+− 4,23 4555,34 3,0
8.
9.
( ) ( ) ( ) == 6,7 7,67,6 2
=−+1991994
1095
997
10. =÷−× )82,6(1186,9
11. =−−− 45
3,156
( ) =− 3 21,0 12.
( ) ( ) ( ) =− 04,22 1,8 76,5 13.
14. =0 23
15. =0
1723
16. ++++++ 654321 …=
++++++++++++++ 100999897
100999897654321 …
17. ( )[ ] =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ×−−−+ 9,35686,723
43 33
18. Escriba los siguientes números en forma verbal:
vii) 345698667,489 i) 12003001,003
) 1200301,03
iv) 55678786,76563
v) 0,00456 viii) 3500000000
os en forma numérica:
) Treintitrés millardos y medio.
iv)
ii
iii) 300000000000 vi) 10,0456
19. Escriba los siguientes númer
i) Quinientos millones trescientos cincuenta mil con treintiocho diezmilésimas.
ii
iii) Doscientos ochenta mil novecientos cincuenta y tres con una cienmilésima.
Sesenta y cinco mil treintiocho con dos mil quinientas cienmilésimas.
60
20. Escriba los números del 1 al 100 en números romanos.
e los siguientes números romanos: Identifiqu
21. II CLI 26.22. XXIV
23. CC
24. MXVI
25. MMM
LV
27. CXIX
28.
30.
:
31. 111 37. 2345
40. 100
peracion s:
MLVIII
29. LXXXIII
IIMDCCCLXXXV
Escriba en números romanos las siguientes cantidades
32. 1500000
33. Veinte millones
34. 776
38. Novecientos noventa y nueve mil
novecientos noventa y nueve.
39. 42425667
35. 645442
36. 4570
Realice las siguientes o e
41. =++ LXXXVICCCXLVMMM
42. =+− DCLXXVVIICMLXXICCCIV
3.4 =−−− CCXXXIVLXXXLXXVIII
44. ( ) ( ) =
45.
× L XXXIX
( ) ( ) ( ) =×× VII II XIX
( ) ( ) ( ) =×× XI XI XI 46.
=×× M C X 47.
48. =×× D L V
49. ¿ Cuál es el mayor número que se puede copiar utilizando C, L, I, una vez solamente?.
es el mayor número que se puede copiar utilizando M, X, L, una vez
anos.
¿ Y el menor número?
50. ¿ Cuál
solamente?.¿ Y el menor número?
51. Diga dos inconvenientes que se tienen al trabajar con los números rom
61
FRACCION GENERATRIZ Recuerde que se consiguió un camino para transformar una fracción a un número decimal
zar las operaciones básicas con los números
lado para otro y el proceso para transformar algunas
expresiones decimales a fracciones se conoce como fracción generatriz.
La fracción generatriz se le puede conseguir solamente a los números racionales y
cabe preguntarnos, ¿cómo identifico si un número decimal es o no un número racional?.
Existen dos criterios, ellos son:
y que además a veces es más fácil reali
decimales que con las fracciones. En la matemática siempre existe la forma o el proceso
para cruzar ese puente de un
ecimal tiene decimales finitos entonces es un número racional.
Si el número decimal tiene decimales infinitos y además existe uno o más números
ue se repiten indefinidamente es decir, tiene período, entonces es un número
Si el número d
decimales q
racional.
Ejemplo
« Halle la fracción generatriz del número 456,3 .
Solución:
Este número tiene fracción generatriz ya que sus decimales son finitos es decir, se puede
ema a una letra (var
contar sus decimales, tiene tres.
Iguale el número probl iable) cualquiera, así:
456,3=y
Ahora trate de colocar la coma en el último decimal, utilizando para ello multiplicaciones
por múltiplos de 10.
1000456,31000 ×=× y
ya que tiene tres decimales y además se multiplicó a ambos lados de
igualdad ya que esta es como una balanza, es decir si coloca algo en un lado debe
colocarlo también en el otro para no desbalancear la expresión. la
multiplicación:
Multiplique por 1000
la
Resolviendo
62
34561000 =y
Pase el número que multiplica la variable a dividir a la expresión del lado derecho,
10003456
=y
Finalmente, simplifique la fracción,
125432
250864
5001728
10003456
====y así, 125432
=y es la fracción generatriz.
Para comprobar este resultado se realiza la división indicada.
Halle la fracción generatriz del número « …4444,1
Solución:
Este número tiene fracción generatriz ya que sus decimales son infinitos y el número 4 se
repite indefinidamente por lo tanto es un número decimal periódico puro.
os a una variable,
Nuestro objetivo es lograr eliminar los decimales de la expresión (I), observe que ocurre
Igualam
… (I)4444,1=z
cuando se multiplica la expresión ( I ) por 10. ( ) …… 4444,1410 10 4444,1 10 =→×= zz (II) Analizando un poco lo realizado, tenemo
ya que el 4 es el período.
s que se multiplicó ambos lados de la igualdad por múltiplos de 10
Restando (I) de (II),
( ) 1,4444 4444,1410 ……
=−=
z
z= 13
z
9
913
=z
63
Así, la fracción generatriz del número ♣ …4444,1 es .13 En otras palabras 9
9
134444,1 =… .
« Halle la fracción generatriz del número …11353535,6
Solución:
Este número tiene fracción generatriz ya que sus decimales son infinitos y el número 35 se
ecimal periódico. A diferencia del
nterior no es periódico puro ya que existen algunos números después de la coma que no
able,
(I)
les, pero cuando la
cantidad problema tiene anteperíodo, conseguirá dos expresiones que dependan de la
a con la coma antes del período y otra con la coma después del período.
…
repite indefinidamente por lo tanto es un número d
a
pertenecen al período, es decir tienen anteperíodo.
Primero, iguale a una vari
… 11353535 , 6=n
Al igual que el ejemplo anterior, nuestro objetivo es eliminar los decima
primera; un
Veamos:
( ) 353535 , 11 6100 100 11353535 , 6 100 … =→×= nn (II)
( ) 3535 , 35 11 6 10000 10000 11353535 , 6 10000 …… =→×= nn (III)
Así, se ha conseguido dos expresiones dependientes de la primera que tienen los mismos
decimales. Ahora reste (II) de (III):
♣ 1,444... es equivalente a que se lee uno generatriz cuatro. 4 ,1
(100 353535 , 61135 10000
)611 … 353535 , …
=n
9900 n = 60524
−=n
990060524
=n
Simp fi ando asta su mínima exli c h presión.
64
247515131
495030262
990060524
===n2475
15131=n Así,
de la mayor nos da
l mismo resultado, es decir, restar (III) de (II). ¡Queda como ejercicio ¡ ¿Qué concluye?
NUMEROS MIXTOS Recordando un poco vemos que podemos encontrar los números reales de dos formas, ya
sea como fracciones (no todos) ¿por qué? o como decimales. En este sentido, veremos
ue existe otra forma más, mediante la cual pueden aparecer los números racionales, esta
s en la forma de número mixto.
Para establecer l :
enominador. Ejemplo:
Importante... Sería interesante saber si la resta de la cantidad menor
e
q
e
a definición de número mixto debemos conocer lo siguiente
Fracción propia, es toda aquella fracción cuyo numerador es menor que el
d100-
1- ,119- ,
32 .
Fracción impropia, es toda aquella fracción cuyo numerador es mayor que el
denominador. Ejemplo:
10-11311-1922 ,- , .
úmero mixto, es aquel que consta de un número entero diferente de cero más una
acción propia. Es muy importante señalar que solamente las fracciones impropias se
Nfr
pueden transformar en números mixtos.
Ejemplo :
« 213 es un número mixto y se lee : tres y un medio.
65
Una puede transformar en un número mixto y para ello utilizamos el
guiente procedimiento:
fracción impropia se
si
« Transforme la siguiente fracción impropia 27 en un número mixto.
olución S :
roceda a realizar la división, donde el cociente entero será el número entero del número
mixto y el residuo sobre el divisor será la fracción propia.
Así,
P
21
27 3= esto quiere decir que tres un medio es el número mixto de la fracción
propia siete medios.
o
im
« Transforme el siguiente número mixt 5311 en una fracción impropia.
Solución:
n la definición de número mixto tenemos lo siguiente,
2
7 -6 3
1
Segú
( )5555
11 5
=5835535 11 3311 +
==+=
Así que,
+
558
5311 =
5311
Regla nemotecnica
a Se multiplica
Luego Se sum
Fracción
66
«5311− Transforme el siguiente número mixto en una fracción impropia.
Solución:
Obsérvese que es el mismo valor del problema anterior pero con signo contrario, entonces
( )558
555555 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝
5835535 11 31133 1111 −=⎟⎞
⎜⎛−
D
a desigualdad es una relación entre dos números, ecuaciones o expresiones algebraicas, ellas nos
con algunos de los
• , se lee menor que
• , se lee mayor que
• , se lee menor o igual que y
• , se lee mayor o igual que.
as desigualdades cumplen las siguientes propiedades:
. Si
=⎟⎞
⎜⎛ +
−=⎟⎞
⎜⎛ +
−=⎟⎞
⎜⎛ +−=⎟
⎞⎜⎛−=−
ESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
Lpermiten establecer un orden, una jerarquía en los números reales, se denotan
siguientes símbolos:
<
>
≤
≥
L
Sean ∈cba ,, R, entonces:
1 ) dadTransitivi ( . entonces , y cacbba <<<
2. ) Suma ( . entonces , cbcaba +<+< Si
3. Si .. entonces , 0y cbcacba <><
S , i entonces 0y cbcba ><< licación) .. ca (Multip
67
La propiedad 1 establece que Pedro es más pequeño que María y María es más pequeña
que José entonces, por transitividad Pedro es más pequeño que José.
La propiedad 2 establece que si suma s o restamos el mismo número a ambos lados de la
esig ella se c jemplo:
mo
d ualdad, onserva. E
sumando , 53 75 2523 tenemos2 lados ambos a < <→+<+
31 2523 tenemos2) (- lados ambos a restando , 53 <→−<−<
La propiedad 3 señala que si multiplica una desigualdad por un número positivo ella se
conserva, caso contrario si se multiplica por uno negativo cambia. Veamos:
( ) ( ) ( ) 40205.85.4 , tenemos5por lados ambos ndomultiplica , 84 <→<<
( ) ( ) [ ] ( ) 40 205-.8 ? 5-.4 , tenemos5-por lados ambos ndomultiplica , 84 −>−→<
Cambia la relación de orden.
Pedro María José
68
Importante...En la rec ar que una cantidad es mayor que otra si:
La primera está más lejos
ta real se puede observ
del origen por la derecha que la segunda.
Ejemplo. , ya que 4 está más lejos24 > del origen por la derecha que 2.
La primera está más cerca del origen por la izquierda que la segunda.
Ejem o. , ya que -3 está más cercapl 8 3 −>− del origen por la izquierda que -8.
Y un
La sa cantidad es menor que otra si:
primera está más lejo del origen por la izquierda que la segunda.
Ejemplo. , ya que -8 está más lejos38 −<− del origen por la izquierda que -3.
La primera está más cerca del origen por la derecha que la segunda.
Ejemplo. , ya que 2 está más cerca42 < del origen por la derecha que 4.
un
12
<→<<<
« Ubique con el símbolo de orden más apropiado.
1.
2. 2
3.
4.
5.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Alg as relaciones posibles son:
1.- que alejado más está 10- que Ya -1.-10-1-2-610-
3. queorigen del alejado más está 12 que Observe .31231011 >→>>>
[ ]10 10− 6.
[ ] 19- 1−
[ ]10 0 1
[ ]111,0001 111
[ ]0,33 5640−
[ ] 1.000.000- 945
7. [ ] 98655423- 003,0−
8. [ ]2 39
[ ]21
236
− 9.
[ ]97
31 44 10.
[ ]1223-
5611-
-11 -10 -9 -8 –7
R
11.
69
Con s nstruir lo intervalos. Un intervalo es una expresión
matemá ite expresar en la recta real conjuntos de números específicos,
ejemplo:
« Represente en la recta real el conjunto de números comprendido entre 2 y 4.
Solución
la desigualdades podemos co s
tica que nos perm
:
ue los puntos 2 y 4.
ma de desigualdad,
fo
os intervalos se clasifican en:
valo abierto, es aquel que no toma como valores posibles los extremos del
intervalo, ejemplo:
Trace la recta real y ubiq
En for .4 2 ≥≥ x
En rma de intervalo, [ ]4,2 .
L
• Inter
en forma de desigualdad ( ) . bxaba, <<
ualdad ( )∞+ ,a en forma de desig ax >
En forma gráfica
En forma gráfica a b
En forma gráfica
-1 0 1 2 3 4 5
70
en fo e esigualdad ( ) rma d da , ∞− ax <
En forma gráfica
desigualdad
( )∞+∞− , =R en forma de +∞<<∞− x
En forma gráfica
Intervalo cerrado, o valores posibles hasta los extremos del
intervalo, ejemplo:
• es aquel que toma com
en forma de desigualdad [ ]ba, bxa ≤≤
forma gráfica
En
• Intervalo semi-cerrado o semi-abierto, es aquel que toma como valor alguno de sus
extremos. Este intervalo no es ni abierto ni cerrado, ejemplo:
en forma de desigualdad [ )ba, bxa <≤
- ∞ a
∞− ∞+
a b
En forma gráfica a b
71
en forma de desigualdad ( ]ba, bxa ≤<
En forma gráfica
jercicios de práctica.
Diga si los siguientes intervalos son abiertos, cerrados o semi-abierto y además
expréselo en forma de desigualdad y represéntelo en forma gráfica.
.
3.5 , 23.0
4.
5.
E
«
1. ( )7,3−
2 ( )12,5
3. ]5 [[ )99 , 0
⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ 3 9,
2
6. ( )0,∞+
Las desigualdades son de suma importancia para la representación de distancias en la recta real, sin importar
si es positivo o negativo el número en cuestión y teniendo como origen de esa distancia el cero, veamos un
ejemplo:
o el valor absoluto ero y representa la
bsoluto se denota
anterior tenemos:
Esta distancia es conocida com de un núm
distancia comprendida desde un número cualquiera al origen. El valor a
entre barras, ejemplo:
Según la gráfica
• 4 4- y 4 4 = =
a b
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
unidades 4 unidades
72
Definición
Para cualquier núm a, el valor absoluto de a denotado por aero real es
Esta definición señala que si un número es positivo o cero, su valor absoluto es él
mismo. Pero si el número es negativo, entonces su valor absoluto es su inverso
ros:
aditivo. Ejemplo:
« Halle el valor absoluto de los siguientes núme
• 5 5 = , por ser 5 mayor que cero.
• 211 = , por ser
2 21 mayor que cero.
• 0 0 3- 3 == , por ser cero.
• ( ) 7 7- 7- =−= , como (-7) es menor que cero entonces su inverso aditivo es 7.
Nota importante: El valor absoluto de un número siempre es positivo.
0 , ≥asia = a 0 , <− asia
73
Propiedades del valor absoluto:
Exprese la desigualdad en forma de intervalo y gráfica:
x
1. 0 ≥a
EJERCICIOS RESUELTOS
1. 5− 4 ≤<
2. 25
21
<< x
Solución:
1. Observe que el intervalo debe ser abierto por la izquierda y cerrado por la derecha,
entonces = y en forma gráfica
5 4 ≤<− x ( ] 5 , 4 −
-5 -4 –3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2. 25
21
<< x , en forma de intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
25 ,
21 y en forma gráfica
5,021
= 5,225
=
. . baba = 2.
ba
ba
= 3.
4. rla
triangudDesigualda
baba +≤+
5.
aa =− 22 aa = 6.
74
EJERCICIOS 1.4
Halle la fracción generatriz de los siguientes números. Si no es posible hallarla diga por
qué.
1. 23, 254 2. 6,6666. . . 3. -5,212121
4. 0, 01001000100001. . . – 3, 888. . .
. 56, 1112222. . .
7. 4,
5.
6
8
8. 0, 0021212121. . .
9. – 0, 999
ransforme las siguientes fracciones impropias a números mixtos.
T
10. 2
11
11. 45−
12. 33
932−
13. 8
865
67978− 14.
62115.
Transforme los siguientes números mixtos a fracciones impropias.
16. 215
17. 9712−
18. 1218 20.
19. 21699−
531
215−21.
22. Dada la desigualdad , determine la que se obtiene si:
a) Se suma 10 a ambos lados de la desigualdad.
b) Se resta
59 −<−
21 a ambos lados de la desigualdad.
c) Ambos miembros se multiplican por 91 .
d) Ambos miembros se multiplican por 91
− .
75
3. Sea , determine la desigualdad que se obtiene si:
) Se suma 12 a ambos lados de la desigualdad.
mbros se dividen entre - 2.
Ordénese los siguientes números de menor a mayor.
2 28 −>
a
b) Se resta – 8 a ambos lados de la desigualdad.
c) Ambos miembros se dividen entre 2.
d) Ambos mie
24.
.9-3 ,
73- , 0.20 - , 0.230 , 0.2301 ,
43- ,
21 , 3 , 3−
Exprese las siguientes desigualdades en forma de intervalo y además bosqueje su gráfica.
6.
27.
28.25. 8−<x
2 0<x
21,0 −≤x
( )3−−≥x
97 ≤≤− x 29.
512 −≤<− x30.
33 <≤− x 31.
32.
33.
106 <≤ x
47
93
<<− x
251
≤<− x 34.
35. 1,0 1,0 −≥≥ x
Exprese el intervalo en forma de desigualdad.
36. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
73,
21
37.
38.
39.
40.
[ )12 ,0
[ ] 7.7 , 0.23
( ] 6 , ∞−
( ] ( )∞∪∞− ,00,
41. ( ) [ ] 6 , 2 8 , 6 ∩−
Escríbase una desigualdad para cada intervalo.
42.
77
-6 -4 -2 0 2 4 6
43.
-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
44.
0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5
78
NUMERO REAL POSITIVO
r la raíz cuadrada de un número real positivo obtenemos otro número real y
positivo también, pero que tien
RAIZ CUADRADA DE UN Al calcula
e la siguiente particularidad
reales. números y con , bababa =→±=
Ese número b multipli
2
cado por si mismo da el radicando a.
Para calcular esa raíz cuadrada de manera manual debemos seguir una serie de pasos, es
decir u lgoritmo, veamos estos pasos con el siguiente ejemplo:
Solución:
n a
« Halle la raíz cuadrada de 443556.
4 4 3 5 5 6 - 36 x 756 Piso 2
8 35 132 7956 Piso 3 - 756 7956 - 7956 - 0 -
so 1: Agrupo en pares antes y después de la coma y completamos con ceros en quede par.
Buscamos un número que multiplicado por si mismo nos de menor o igual l p imer par, este número lo colocamos en el piso 1.
Paso 3: El cuadrado del piso 1 se lo restamos al primer par. Paso 4:Bajamos el siguiente par y por lo tanto trabajamos con el segundo piso, en él olocamos la cantidad qu está en el piso1 multiplicada por dos y luego buscamos un úmero del 0 al 9 de manera tal que al ubicarla en el círculo nos de menor o igual al
nuevo número ( 835 ). Este número que nos sirva lo ubicamos en el primer piso. Paso 5: Repetimos el paso 4 con las nuevas cantidades según sea necesario.
a 6: La cantidad que quede en el primer piso es la raíz cuadrada.
6 6 6 Piso 1 12 6 6 =
6 x 6 =
Paaquel que noPaso 2: a r
c en
P so
79
« 356,11 Calcule
Solución:
Así que,
356,11 = 3,36
Importante... Si quisiéramos hallarle otro de pero como no tenemos más,
bajamos un par de ceros y aplic
« Halle la raíz cuadrada de 0,021 Solución:
cimal bajaríamos otro par
amos el paso 4 nuevamente.
Por tanto 0,144 0,021 = .
2 35 6 3 x 3 = 189 Paso 4 -189
4660 66
Paso 1
11 , 35 60 3 , 3 6 Paso 2 Paso 3 - 9
6 x 6 = 3996 Paso 4 -3996
664
0, 144
- 0 0 02 0 = 1
-1 1 10 2 x = 96
-96 14 00 28 = 1136
-1136 264
00, 02 10
1 x 1
4 4
4 x 4
80
Importante... Ob iso se multiplica serve que lo del primer p por dos sin tomar en cuenta la coma del
EXPONENTES ENTEROS Cuando tenemos una suma repetida como 2+2+2+2+2 la resolvemos fácilmente
o 5 x 2. De igual ma ribir un producto repetido 2. 2 .2 2. 2 como
s decir tenemos que:
y
aaa
n general, para cualquier número real a y para cualquier entero positivo n, el símbolo
, que se lee como “ a a la enésima potencia ” y representa el producto de n factores
de a . Así,
aaaaa
decimal.
com nera podemos esc 52 .
E
aaaaaa 5=++++
5. aaa = . . . .
E
na
vecesnn .....=
=
Ejemplos:
6255.5.5.5 =54
.161
41
41
41 2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎛=
⎞⎜⎝
⎛
Exponente
Base
n
⎜⎝
⎟⎠
Donde : a
81
( ) ( )( )( )( ) 1622222 4 =−−−−=−
−=
ótese que cuando un signo negativo se encuentre dentro de un paréntesis y este a su vez
LEYES O REGLAS DE LOS EXPONENTES números reales y m y n enteros positivos, entonces:
. Regla del producto.
2.
( )4 −=−=−
( ) 1616 2 . 2. 2. 2 2
N
esté afectado por un exponente, el mismo será afectado por él, mientras tanto no lo afecta,
ejemplo el caso anterior.
Sean a , b, c y d
nmnm aaa +=.1.
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
−
−
nma
nma
aa
mn
nm
n
m
si 1 si
Regla del cociente.
3. Regla del exponente nulo.
4. Regla de la potencia.
5.
0 , 10 ≠= aa
( ) nmnm aa .=
ndnbbd ⎥⎦⎢⎣
nc , .0 , 0nanac
=⎤⎡ ≠≠ db Regla de la potencia extendida.
6. 0con , 1≠=−a n ana
, Regla del exponente negativo.
82
Ejercicios resueltos
nes:
. Por la regla 1.
« Evalúe♣ las siguientes expresio
128222 .2 74343 === +
. Por la regla 4. ( ) 1622 2 42 .222 ===
3333 ==== . Por la regla 5. ( ) ( ) ( ) 8000 1000 . 8 10 . 2 10 . 2 20
254
52
52 2
22==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ . Por la regla 5.
4 2 2232 235 === − . Por la regla 2.
5
41
2 1
21
252
235 === − . Por la regla 2.
3
( ) 1. 2 - 3 0= Por la regla 3.
81 1 2 3
3 ==− . Por la regla 6 2
NOTACION CI NTIFICA on frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños en otra
a mucho más práctica.
Todo número real escrito de la forma
R y n es un entero , es notación científica.
Ejemplo:
ELos exponentes enteros c
form
na 10×
donde ∈<≤ aa , 10 1 tá escrito en
♣ Cuando hablamos de evaluar es conseguir el valor numérico final de la expresión.
83
3101× 1.000 =
10.000.000 = 7101×
bserve que lo primero que se hizo fue colocar la coma en la posición donde el número que
aña al 10 sea , luego cuente la cantidad de ceros recorrido para ello. Si
recorremos hacia la izquierda el exponente es positivo
-5 105,6 000056,0 ×=
-3 109,86 00986,0 ×=
O
acomp 10 1 ≺a≤
y si recorremos hacia la derecha
nces el exponente es neg tivoento a .
La notación científica tiene gran aplicabilidad en el campo de la ciencia como para
representar la velocidad de la luz
segundosmetros 103 8× , la distancia promedio de la Tierra al
Sol , entre otros.
EJERCICIOS RESUELTOS:
Halle el valor de:
1.
os 105,1 8 Kilometr×
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1046432 34323 1027 101027 10 103 10 103 10000 300 ×=××=××=×=
2.
00.000 270.000.0 1027 10 =×
( ) ( )( )
( ) ( )( ) =
×
×××=
×
××= 306
12284
65
2642
6
24
10 1 10 5 102
101 105 102
100000 5000000 200
=×=××
=×
×=
×
×× +10 -
30-20
30
20
30
128 10 400
1 10 10 400
10 1 10 400
10 1 10 2516
0,00000004 10400 10 - =×
84
EJERCICIOS 1.5
Halle la raíz cuadrada de las siguientes cantidades. Para las raíces que no sean exactas
halle dos decimales.
1. 121 4. 0,0034
2. 1234,321
3. 144 5.
215
6. 7
31
73,0 7.
8. 12345654321
9. 123454321
10. 1234321
11. 12321
Encuentre los números indicados.
12.
13.
4 - ; 4 - ; 4 2 2 2
3 -33
21 ;
21 ;
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
14.
15.
Evalúe las siguientes expresiones.
16.
( ) ( ) 000 7 - ; 7 - ; 7
( ) ( ) ( ) 1 -1 -1 - 1 - ; 1 ; 1 −−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 21 -
21 - 2
=+ 1 -1 -
1 -1 -
3 2 3 - 2 17.
1 ( )( )
=−
−2 -
65
2 2 1 - 8.
1 ( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ − 0 45 - 345
31 7 32
2 - 9.
84
Escriba los números dados en notación científica.
1. – 34500000
0000
,00000000
24. 0,00106345
0
26. 0,000000000002
27. 89000000000000000
Escriba los números dados en forma decimal.
28.
9.
30.
9 ×
32.
20. 0,0000243 25. 43556000
2
22. 100000
23. 1001
410456,3 ×
2 2106,5 −×−
5106 ×
31. 999,3 510
10105168,1 −×
81006,9 × 33.
34. 11100006,4 −×−
410456,3 −×35. io
Evalúe las siguientes expresiones. Exprese su respuesta en notación científica y en forma
decimal.
36.
( ) ( ) ( ) =− 524 1000000 0,000002 300
37. ( ) ( )[ ] =− 0,000001 0,0000023 1 -21
3 ( ) ( )( )( )
=× 27
4 -3
0,002 - 102,1 0,0003 70000 8.
39. ( ) ( )( ) ( )
=22
43
0,04 - 0 0,002
40.
0,11 3 -
( ) ( )( )
=×
22
4 -33 -
6 0,6 - 0,06 106
89
TECNICAS DE REDONDEO Cuando operamos con números decimales que poseen muchos decimales o cuando al
escribir un número decimal a notación científica queda con muchos decimales, podemos
hacer una aproximación de ella para facilitarnos un poco el manejo de esas cantidades.
Quien nos permitirá realizar esas aproximaciones son las siguientes reglas, que se conocen
o técnicas de redondeo.
com
Si la cifra siguiente a la última cifra significativa es:
Caso 1: Mayor que 5, se le suma la unidad a la última cifra significativa y
se eliminan las cifras no significativas.
Caso 3: Igual que 5, puede ocurrir que:
• Si la última cifra significativa es par, se copia el número igual
descartando las cifras no significativas.
última cifra significa n las cifras no significativas.
Caso 2: Menor que 5, no altera la última cifra y se eliminan las cifras no
significativas.
• Si la última cifra significativa es impar, se le suma la unidad a la
tiva y se elimina
90
Algunos ejemplos:
edondee las siguientes cantidades a cuatro cifras significativas.
34,6766
olución:
« 2,001567
Solución
R
«
S
:
Redondee las siguientes cantidades a tres cifras significativas.
« 200,54
Solución:
34,68 Cifra siguiente a la última cifra significativa. Cuarta cifra significativa. Según el caso 1 , le sumamos la unidad a la última cifra significativa.
3 4, 6 7 6 6 =
2, 0 0 1 5 6 7 = 2,002
Cifra siguiente a la úSegún el caso 3, le sumamos la unid a significativa para que se
convierta en par.
ltima a. cifra significativ
ad a la última cifr
2 0 0, 5 4 =
200 Cifra siguiente a la última cifra significativa. Según el caso 3, la copiamos igual y descarta os la no significativas ya la
última cifra es par.
m
91
♠ 0,0023
Solución:
« Solución
1,23467 510×
:
ciones básicas en los números
emás recuerde que puede utilizar calculadora para comprobar los resultados
Pensamiento...
“ Todo lo que tú hagas en la vida, hazlo sumando o multiplicando nada restando
ni dividiendo”
Anónimo.
cifra significativa, agregamos ceros para completar las cifras significativas
respectivas.
NOTA MUY IMPORTANTE: Recuerde que el objetivo de esta unidad es desarrollar
habilidades y destrezas en el cálculo aritmético con las opera
reales, ad
obtenidos, así que primero trate de resolver todos los ejercicios sin ayuda de la misma.
0, 0 0 2 3 0 = 0,00230 era1
1, 2 3 6 7 = 1,23 Cifra siguiente a la última cifra significativa.
an las cifras no significativas.
510× 510× 4
Según el caso 2, no altera la última cifra y se elimin
92
Expresiones Algebraicas
Capítulo 2
Polinomios
93
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ión algebraica es toda aquella expresión matemática producto de la
binación de números, variables (o símbolos) con operaciones como la adición,
cción, multiplicación, división, potencia y radicación. Ejemplo:
Una expres
com
sustra
153 71
2 +−−
xx
xzxxy 1364 4 +−
5 4fs
wty
129421 235 −−+ xxx
En lo s exponentes de las variables no existe ninguna limitación, ya que pueden ser
úmeros positivos, negativos, fracciones y cero.
continuación estudiaremos expresiones algebraicas muy particulares, como la del cuarto
jemplo, que son conocidas como expresiones polinómicas.
x utilizando sol
:
n
A
e
Un polinomio real en variable x, es una expresión que puede obtenerse a partir de
los números reales y la variable amente las operaciones de suma, resta y
multiplicación. Ejemplo
129421 235 −−+ xxx
• xxxxxx ....21
21 5 =
• xxxx ...2.24 3 =
• xxx ..3.39 2 =
• 12 = 2.2.3
94
Cada una de esas expresiones por separado se conocen como términos del polinomio y
a término se conoce como factor.
tra definición más general de polinomio.
n polinomio de grado n en la variable x, es cualquier expresión algebraica de
forma 121−nn
cada uno de los productos de cad
O
Ula
0 , 0121 ≠+++ ++− naxaxaaxaxa xnn
donde el exponente n es un entero no negativo y R
0
∈i
a .
Los polinomios se clasifican según la cantidad de términos que posean, ellos son:
• , 1032
, 755 yx Monomio, cuando posee un solo término.Ejemplo: 3x , 21.
• Binomio
Trinomio, cuando posee tres términos. Ejemplo:
, cuando posee dos términos.Ejemplo: 492 63 , 12 xxx −+
•
16 2 +− xx , 492 63 , 12 xxx −+ .
Polinomio, cuando posee más de tres términos. Ejemplo: •
163 2 4912 +−+ xxx ,
grado de un polinomio está determinado por el mayor exponente que contenga la
or ejemplo, la expresión
2456 21178 yyyy −−+ .
El
variable. P 163 2 4912 +−+ xxx es un polinomio de grado
doce.
95
Importante...
Existen algunos criterios que nos permite conocer si una expresión algebraica no es
un polinomio, veamos:
Ejercicios.
« Señale si la expresión es un polinomio, si lo es, diga el grado y el tipo. Si no es, ¿diga
4.
por qué?
1. 93743 xxx −+
2. 5242 xx ++− −
3. 2456 21178 yyyy −−+
492 3 8 15 2 xxx −++
5. 1463 4 21
+−+ ttt
6. 2221 ++11 7x
x
7. 3 16 15 3 93 xxx −−
8
9.
10.
. 25 0x
1
16135 46 −−−− xxxx
45 −
ariable es fraccionario o negativo.
Si alguna variable aparece en el denominador.
Si algún exponente de la v
s polinómica. Si aparece la variable dentro de una raíz.
Cuando ocurre alguno de estos criterios, la expresión no e
92
Analizando el problema número 8 y asumiendo como cierta que toda base elevada al
≠x )¤, tenemos que todo número real es un
monomio de grado cero.
o polinomio es una expresión algebraica ya que el primero está incluido en el
onomio de grado cero es un número real.
peraciones básicas que realizamos con el conjunto de los de números reales de
mios.
E POLINOMIOS El proceso de adición y sustracción de polinomios se fundamenta en la utilización de la
er lugar agrupar los términos que sean de la misma
ego aplicamos la propiedad distributiva. Ejemplo:
exponente cero es igual a uno ( ,10 =x 0con
Reflexionando un poco podemos concluir lo siguiente:
Tod
segundo; todo m
Ahora las o
adición, sustracción, multiplicación y división las podemos realizar con los polino
ADICION Y SUSTRACCION D
propiedad distributiva que cumplen los números reales.
El proceso de adición consiste, en prim
clase, tipo o especie y lu
¤ Sea 1=aa
, y además 01111. aaaaaa
=== −− , igualando tenemos 10 =a .
Monomios de Grado cero
Los números reales 3 , -2 , 5.76 , 66
Expresiones Polinómicas
Expresiones Algebraicas
93
« Realice la suma entre los elementos de los siguientes cuadros:
Solución:
Observe que en el primer recuadro existen tres elementos, animales, objetos y/o cosas de
diferente tipo o clase, al igual que en el segundo recuadro. Ahora lo que buscamos es la
tidad total de eleme ase o tipo existen entre los dos recuadros.
ora bien, ¿puedes s icicletas con gatos?, o ¿sumar
erros con bicicletas?. Es evidente que NO.
ro si puedes sum s gatos y perros hay en total, simplemente
que hacemos es agruparlos, así:
4 4 3 to la respuesta a nuestro problema es “ existen 4 bicicletas, 4 gatos y 3 perros ”.
« Sume más
olución:
can ntos que de la misma cl
Ah umar perros y gatos? , o ¿sumar b
p
Pe ar cuántas bicicletas, cuánto
lo
Por lo tan
xxx ++ 23 32 xxx 323 ++ .
S
Aquí no puedes pensar en sumar las ni mucho menos con las x ya que ellas
n del mismo tipo.
c mo se hace?
i asocia este problema con el anterior y lo basa en un principio matemático llamado
cambio de variable tenemos:
23 lascon xx
entre si no so
Entonces, ¿ ó
S
sustitución o
94
Si ; y =3x =2x =x , tenemos que
= sumado a
= por lo tanto su solución es
= 3 4 4 =
« Sume
xxx ++ 23 32
xxx 323 ++
xxx 443 23 ++
xxx 3213 24 ++− con xxx ++ 24
236 .
Solución:
Primero agrupe por términos del mismo tipo y luego aplique la propiedad distributiva.
= [ ] [ ]xxxxxx ++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++− 32
232
2163 44 Agrupando
La propiedad distributiva establece que ( ) acabcba +=+. , nosotros la aplicaremos en el
sentido de la flecha. Así,
= ( ) ( ) xxx 13 23
21 63 24 ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− , Por la propiedad distributiva.
= ( ) ( ) xxx 4 24 3 24 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++ , Operando aritméticamente
=
xxx 4 2 3 24 ++ .
95
Existe otra forma para resolver estos problem ado el método por columnas:
. Ordene los polinomios en for a descendente y luego coloque uno debajo de otro, con
Realice la suma de los términos de cada colum .
as llam
1 m
los términos de la misma clase uno debajo de otro.
2. na
xxx 3 21 3 24 ++−
xxx ++ 3 6 24 2
restar polinomios se procede de la siguiente forma. Reemplace el polinomio restado
or su inverso aditivo y luego proceda a sumarlos. Ejemplo:
Al polinomio restar a .
olución:
xxx 4 2 3 24 ++
Para
p
« 435 4 8 11 xxx +− 345 13 8 6 xxx −+−
S
4 8 xx Operación a realizar.
Aplicando las leyes de los signos.
xxx −+ Agrupando y sumando.
= 511x −+− 43 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+− 345 13 8 6 xxx
= ++− 435 4 8 11 xxx 345 13 8 6 xxx +−
= 17 435 4 5
96
« ( ) ( )2233233 4,0103,5 de 54,0 2,3 yxyxyyxyyx ++−+ Reste
Solución:
or el método de las columnas se tiene:
P
( ) ( ) 54,0 2,3 - 3,54,010 2332233 yxyyxyyxyx −++++ Se ordenó
( ) ( ) 54,0 2,3- 3,54,010 3yx 233223 yxyyxyyx +−++++ Por las leyes de los signos
3,0 0,4 4,0 3,12 22233 +++
yyxyx 3,5 4,0 10 +++ 2233
yxyyx 5 4,0 3,2 233 −++
x yxyyxy
97
EJERCICIOS 2.1
dique cuales expresiones son polinomios. Justifique su respuesta. Si es, indique su ombre (monomio, binomio etc...) y grado.
y
2.
Inn
51. 6y +− 91514 15 −−+ ppp 5.
6 y+5 24 3 81 −+d .3957 4 xxxx +−+ 3. 219 2 uu +7. 253 7,0
214 xxx +− 4.
8.
Ordene cada polinomio en forma decreciente.
xxxx 1233 21 8,7 1153 +++−
9. 5
3 34 8
59 xxx −+
10. 7265432 333,23138 y −+ yyyyyy −−++−
11. 12.
3.
5643222 333,4 xyxyyxyxyx −+−+
765243342567 8765432 yxyyxyxyxyxyxx +−+−+−+ Efectúe las operaciones indicadas.
( ) ( )xyxwwxyx −−+++ 22 31175 1
(14. ) ( )pqqpp −−− 322 043,36,2
qpq ++ 3 23
15. ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−++−+ xyxxyxyxyyx211 22 3
312195
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++− 3434 07,0
211
27 -
492,3
41 u uuuuu 16.
98
17. 111
54
−+α β 12,3+ δ + ( 6α
21
− β +207 δ )
18. ( ) ( ) ( )242846 2223 ++−+++++ xyxyxyyxxxy
19.
42 22 − xyyx
( )puupupuppupuupuppu 3222323 24,028746
238 ++−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
( )20. ⎥⎦
⎤
⎠
1.
⎢⎣
⎡+++⎟
⎞⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−− 24,03,66
475,4
29 2223 kkkkkkk
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−−++−− 24
4128
5654642 2332 xxxxxxxxx 2
22. De un ejemplo de un polinomio de sexto grado con tres términos. Explique por qué
lo es.
3. Haga un problema de suma de polinomios donde la suma de dos trinomios sea 5x + 1.
24. b ema de suma de polinomios donde la suma de dos trinomios sea
2
Haga un pro l
564
2 +x1+x .
25. Haga un problema de resta de polinomios donde la resta de dos trinomios sea
xx9134 5 − .
6. Complete la siguiente operación para que tenga sentido el resultado 2
713,2
326 ?
7221266,43
51 23 −++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎛⎝
−−+ yyyyyy
99
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Para efectuar operaciones de multiplicación de polinomios fundamentalmente utilizaremos
para ello algunas reglas de los exponentes (pág. 80), así como la propiedad distributiva de
los números reales.
Analizaremos el caso de la multiplicación de un monomio por otro monomio. Para
multiplicar dos monomios, primero se multiplican sus coeficientes numéricos y luego se
aplica la regla 1 de los exponentes (regla del producto), así determinarás el exponente de
las variables. Ejemplo:
« Multiplique ( ) ( ) 6 7 34 xx
Solución:
( ) ( ) 7343434 42 42 67 6 7 xxxxxx ==⋅= +⋅⋅
« Multiplique ( ) ( ) 5- 11 22 xx
Solución:
( ) ( ) ( ) 4222222 55 55- 5 11 5- 11 x xxxxx −==⋅−= +⋅⋅
e ⎞⎜⎛ 9- 4- 385 bacba
« Multipliqu ⎟⎠⎝
Solución:
( ) ( ) 82881135835385 36 36 9 ⋅=⎟⎞ 4 9- 4- cbacbacbbaabacba ==⋅⋅⋅⋅⋅−−⎜⎝⎛ ++
⎠
828 36 cba=
Cuando una variable no tiene exponente se supone que este es igual a 1.
100
Para l cae so de la multiplicación de un monomio por un polinomio, además de la regla 1 de
s exponentes, utilizaremos la propiedad ( ) acabcba +=+ lo . Esta propiedad distributiva
puede extender a:
azcba
se
( ) aeadacabzed +++++=+++ ++
« Multiplique ( ) 7 3- 4 356 yyy +
Solución:
( ) ( ) 9113656356 281274 3 4 7 3- yyyyyyyyy +−=⋅⋅+−=+ 4
Por propiedad distributiva.
« Multiplique ( ) 2235 4 -2 5 wzzwzwwz +
Solución:
( )335337
222322252235
4820
4 42 45 4 -2 5
wzwzwz
wwzzwwzzwwzzwzzwzwwz
−+=
⋅−⋅⋅+⋅=+
ara multiplicar polinomios por polinomios utilice también la propiedad distributiva pero
on mayor amplitud. Observe que:
P
c
( ) ( ) ( ) ( ) bdbcadacdcbdcadcba +++=+++=++
Aplicando la propiedad distributiva varias veces
101
« Multiplique ( ) ( ) 3 8 3 242 xxxx −+
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ). 24- 8 9- 3
vadistributi propiedadpor 3 8 3 3 3 8 3 3546
24242242
xxxx
xxxxxxxxxx
+=
−+−=−+
Multiplique
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
47
32 3
21 332233 pyyppyypyp «
Solución:
2233445566 7 21 5 3 1 ypypypypyp −+−−=
223344445566
2244336
332233
64242
sumandoy ordenando, 1214
421
32
87 3
21
vidaddistributipor , 1214
32
421 3
8
21
vidaddistributipor , 4
47
32 3
21
ypypypypypyp
ypypypypypyp
pyyppy
pyyppyypyp
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+−
−++−−=
⎟⎠
⎜⎝
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
Existe otro método para realizar las multiplicaciones de polinomios llamado el de las filas
en efectuar las multiplicaciones como se realizaba con cantidades numéricas.
3333223333 732
47 3
47
21 pyypyppyypyp ⎞⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
55446 7
=
y consiste
102
Ejemplo:
« Multiplique )olución:
( ) ( 75 32 +− xx
S
debajo del otro y luego multiplique cada termino por
parado,
+
Disponga los polinomios uno
se
3 - 2x + 7 + 5x
21 - 4 1 Sumando, x
x x 15 -2
−
10 10 - 2 21 xx
sí, 75 32 +− xx =
A ( ) ( ) 21 10 - 2 −xx
DIVISION DE POLINOMIOS En este proceso trataremos de encontrar otra expr
Importante... El orden por donde se comience la multiplicación no tiene influencia en el resultado, se puede hacer de derecha a izquierda o viceversa.
esión algebraica cuyo grado sea menor o
arás dos
igual que el grado del polinomio numerador. En la división de polinomios encontr
casos:
Caso 1: División de un polinomio entre un monomio
Basándonos en la regla para sumar fracciones que poseen igual denominador tenemos que
0co , ±=±
caca n ≠c . Esto quiere decir que dos fracciones que posean el mismo
enom ar en una sola fracción. Pero la igualdad nos permite
ruzar ese puente en ambos sentidos, es decir si tengo una fracción puedo transformarla en
tras fr ciones más s o resta den el mismo resultado.
jemplo:
bbb
d inador se pueden transform
c
o ac encillas, cuya suma
E
103
, 4
164115
411
4=
+=+ pero obsérvese que 5
411
45
4115
416
+=+
=
Así, para dividir un polinomio entre un monomio, dividiremos cada término del polinomio
entre el monomio.
Ejemplo:
« Divida 2x
2188 x −
Solución:
222
942
188 xx=−
22188 xxxx
−=−
io entonces aparecieron dos nuevas fracciones, pero si
un trinom
« Divida
Como el numerador era un binom
hubiese sido io entonces hubiesen aparecido tres fracciones.
yyyy
31132718
34 −−+−
Solución:
yyy
yyy
yy
yy
yyyy
311196
311
33
327
318
31132718 23
3434−−+−=−−+
−=
−−+−
Observe que no necesariamente la división de polinomios da otro polinomio, ya que el
resultado anterior no lo es. ¿Por qué?
Caso 2: División de un polinomio entre un polinomio
Basándonos en la división numérica estableceremos unas reglas para poder ejecutar esta
operación. Recordando la división numérica se tiene:
104
=4
108 ♣
Siguiendo una serie de reglas llegamos a la concl
108 4 -08 2
-0-
usión de 27108= .
4
ec mos las reglas utilizadas anteriormente para resolver el siguiente problema.
D
Ad ue
« ivida 32
+y
986 2 −+ yy
ución:Sol
m o ordene los polinomios tanto del num inador de forma
nte y exp selo como una división numérica, así
Pri er erador como del denom
decrecie ré
32
968 2 + yy luego,
+−
y
−+ y
9 6 8 2y 32 +y
y
- yy 12 - 8 42
-6y
♣ =
4108
Al numerador se le conoce como dividendo y al enominador como divisor. d
7 28 -28
105
El 4y aparece porque hay que conseguir un o que al multiplicarlo por
término del divisor ( 2y ) de igual al primer término del dividendo
términ el primer
( ) 8 2y , al conseguirlo
ultiplica por todos los términos restantes del divisor. Se debe tener presente que a todos
inos colocados debajo del dividendo se le deben cambiar su signo, según
dir cantidades numéricas.
Ahora, bajamos un nuevo término y procedemos de manera similar a la regla .
−y
se m
los nuevos térm
lo que se aplica al divi
8 2 +y 9 6 32 +y
- 4y - 3
6y + 9
Residuo
Como el residuo vale cero, quiere decir que la división es exacta, así el resultado es:
«
yy 12 - 8 2
- 6y - 9
- 0 -
Divida 43
289 3 −− pp
−pSolución:
está ordenado de forma descendente, pero hace falta el término 2p , Ya se añadirá como
inos semejantes que puedan aparecer.
2 para que ayude a alinear los térm0 p
28 - 0 9 23 −− ppp 43 −p
- 23 12 9 pp + 543 2 ++ pp
28 - - 12 2 pp
16
p12 - 2 + p
106
20 1
28 - 15p
5 +− p
- Residuo
Nótese que siem
divi l resultado es:
8
pre se trata de eliminar ese primer término que aparece en el problema del
dendo. Luego e
43 −p8543
43289 2
3−++=
−−− pp
pp ♣
p
♣ Este resultado aparece de ese modo debido a la forma de expresar los números mixtos que
es Divisor
CocienteDivisor
+= iduoRDividendo es
107
EJERCICIOS 2.2 Rea
.
lice las siguientes multiplicaciones:
1 ⎟⎠⎝⎞
⎜⎛ −
95 3 xyx
2. ( ) 8 24
2 936 pty− 53 ty−
3. ( )0245 7325 whwh −−
4. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
9252,1 8
32 xxx
5. ( )( ) 89 65 52 − u 2534 −+− yuuyyuy
6.
( ) 32223521 2 whhwwhw +−
7. ( )( ) 4 2 23 ++ xx
8. ( ) ( ) 2 2 −− xx
( )9. ( ) ( ) - 3 1 4 2 uuu −−
( ) 310.
11.
3 +x
3 3
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
x
12. ( ) ( ) 3 1221 6 2 −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−− pppp
( ) 8 1 +x13.
14. ( ) 10 2 −y
15. ( ) ( ) baba ++
16. ( ) ( ) baba −−
17. ( ) ( ) baba −+
18. ( ) ( ) a 22 babab +−+
19. ( ) ( ) 22 bababa ++−
20. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛− 4422
1111xyxy
⎟⎜⎟⎜
El v iones son:
21. a) b)
alor numérico de las siguientes expres
33− 22− c) -2 ) 121 ( −
22. d) 1-
-1-2 4 2 + e) ⎟⎞
2 ⎠⎝
1⎜⎛
( )3
42 5 -2-1 ⋅
Realice las divisiones indicadas:
23. 2
126 +x 24. 3
279 −− y
107
25. 5
45 −x −
26. xxx 30612 3 −+−
2−
27. ( )zw
zwzw 32 12 9 +
28. 211p
234 222
11 pppp −−−
29.
23
32 +
37 −+124 23 +x
x
30.
xx
31. 1
326 23
−−+−−
yyyy
32. 1254 3
−−
jjj
33. 322
543223
2125abba
babbaba−
++−
34.
2
2
12523114
xxxx
−−
−+
3273 −x
x −
5. 3
32 −− xx 114
343
128
23
245 −−
++ xxx
36.
37 7 −x
1
212
4 9 5,0442
285
−+−
−+++−
ff
ffff
37. ( ) ( ) 23 278 33 xyyx +÷+
( ) ( ) 2 8 2266 papa −÷− 38.
39. ( ) ( )[ ] ( )[ ] 4- 2 7 8- 2 2 2 21 2 nmnm ÷+++ nm +
11636213
4 ? 2346 −+−+−= kkkkk
k . Encuentre el 40. Sea
polinomio que transforme el enunciado en verdadero. Nota: Existen varias respuestas.
41. Sea b
bbbbb 142 146-3 223
+−+−=−+ . Encuentre el polinom
33?io que
transforme el enunciado en verdadero.
108
A continuación veremos un proceso que nos facilitará un poco la división de
polinomios, esto lo haremos utilizando las reglas de factorización.
ebemos comenzar por comprender que factorizar una expresión
significa escribirla como producto de sus factores. Factorizar un polinomio consiste en
escribirlo como producto de polinomios más simples y factorizar un polinomio
factorizar más. Por ejem
Solución:
Indudablemente d
completamente es escribirlo como un producto de polinomios que ya no se pueden
plo, factorice completamente a xx 4 . 3 −
Utilizando la propiedad distributiva se puede copiar como
( ) 4 4 23 −=− xxxx pero aquí no se ha factorizado
completamente ya que ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 −+=− xxx , por lo tanto su factorización
completa es:
( ) ( ) ( ) 2 2 4 43 −x 2 −+=−= xxxxxx .
e facto zación necesitas aprender las siguientes reglas de
zación:
Para facilitar el proceso d ri
factori
Fórmulas de factorización.
1. ( )cbxxaa
acabxaxaacabxaxa ++=⎟⎟
⎜⎜ ++
=++ℜ∈ 22 entonces , Sea
Máxi
⎞⎛ 2
⎠⎝mo factor común ( ) o máximo factor común ( ).
. ) . Diferencia de cuadrados. babab ++= . Cuadrado de la suma.♦
. . Cuadrado de la diferencia. 5. 3 bab + . Cubo de la suma. 6.
.
... CFM ... DCM( ) ( 22 bababa −+=−2
3. ( a + ) 222 2
( ) 222 2 bababa +−=−4 ( ) 233 3 baaba ++=+ 32
( ) 32233 33 babbaaba −+−=− . Cubo de la diferencia. ( ) ( ) 2233 babababa +−+=+7 . Suma de cubos.
8. ( ) ( ) 233 ababa +−=− 2bab + . Diferencia de cubos.
deducir la ecuación de segundo grado. ♦ Esta igualdad se utilizará para
109
El máximo factor común (M.F.C) en una serie de monomios es aquel monomio
divisible en cada uno de los monomios problema. Ejemplo:
« Halle el n
que es
tre 6254 9 , 15 , 6 , 3 xxxx . ... CFM e
Solución:
Descomponga los monomios en sus factores, así
3 xxx ⋅=
2 x⋅
9 xxx ⋅⋅⋅=
Los factores comunes entre esa serie de monomios son los encerrados en rectángulos,
224 3 ⋅
25 3 6 xx ⋅⋅= 3
5 3 15 22 xx ⋅⋅= 426 3 3
luego el ... CFM ( 6254 9 , 15 , 6 , 3 xxxx ) = 23x . Comprobándolo,
22
3 xx= ;
4
3x3
2 26 x5
3xx
= ; 53
152
2=
xx ; 4
2
63
39 x
xx
=
Como el cociente da otro monomio entonces el ... CFM es el correcto.
« Halle el entre ... CFM ( ) ( ) ( ) 1 9 , 1 6 , 1 3 +++ xxx .
Solución:
1 3 +⋅=+ xx
+x
Los factores comunes entre esa serie de términos son los encerrados en rectángulos,
Descomponga los términos en sus factores:
( ) ( ) 1 3
( ) 2 3 1 6 ⋅⋅=+x ( ) 1( ) ( ) 1 3 3 1 9 +⋅⋅=+ xx
luego el ... CFM ( ( ) ( ) ( ) 1 9 , 1 6 , 1 3 +++ xxx ) = ( ) 1 3 +x . ¿Compruébalo?.
110
La técnica de factorización por el se fundamenta en lo que hemos hecho en los
ejercicios anter zar un polinomio
utilizando este método:
Escriba cada término como el producto del por otro factor.
Factorice el siguiente polinomio .
Solución
... CFM
iores. Generalicemos los siguientes pasos para factori
Halle el ... CFM entre todos los términos.
... CFM
Aplique la propiedad distributiva.
Ejemplo:
« xxx 4212 23 ++
:
Primero halle el de los tres términos, así
4 xx ⋅
es 2x, ahora aplicamos el siguiente paso,
... CFM
23 3 2 212 xxx ⋅⋅⋅⋅=
xxx 2 2 2 ⋅⋅=
2 2 ⋅=
El ... CFM
.2 2 . 2 .6 2 4212 223 xxxxxxxx ++=++
Aplicando la propiedad distributiva,
( ) 26 2 .2 2 .2 .6 2 4212 2223 ++=++=++ xxxxxxxxxxx
por tanto la factorización es,
( ) 26 2 4212 223 ++=++ xxxxxx
abbababa 1232 3 6 22243 Factorice el polinomio ++− . «
Solución:
Primero halle el de los cuatro términos, así
2 bbaa ⋅⋅⋅⋅⋅
... CFM
43 3 6 ba = 32
bbaaba 2 3 =23 22 ⋅⋅⋅⋅⋅
3 3 2 baaba ⋅⋅⋅=
aab 2 2 312 b⋅⋅⋅= ⋅
111
El es l siguiente paso ,
ab3 , ahora ap ique el ... CFM
4. 3 2 21232 3 6 3222243 abaabababbaabbababa ++−++− . 3 ab= 3 . 3
Aplicando la propiedad distributiva,
( ). 4 2 2 3 1232 3 6 ++−=++− aabbaababbababa 243 3222
Encontrará problemas como el siguiente:
« Factorice el polinomio bsasbtat +++ 53 15 .
Solución:
Observe que no todos los términos tienen factores comunes, pero entre algunos de ellos si
n o esto ocurre factorizaremos por agrupación, método este en el cual
olvemos a utilizar enormemente la propiedad distributiva. Así:
)5 bsasbtat +++ = Aplicándole a cada paréntesis el método del
los hay, cua d
v
( 1 ) ( 5 3 ... CFM
( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 5 3 15 basbatbsasbtat +++=+++ Nuevamente ... CFM
( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 5 5 stbabasbat ++=+++ , entonces la factorización es 3
( ) ( ) 3 53 basbtt 5 15 stabsa ++=+ . ¿Compruébelo?
Diferencia de cuadrados, consiste en evaluar si el polinomio es de la forma
al cuadrado y que uno sea
positivo y el otro negativo. Para el logro de ese objetivo utilizaremos ciertos arreglos o
reglas m ticas. Luego utilizamos la fórmula
22 b −+=−
++
22 ba − , es decir que posea dos términos, que estén elevados
atemá
( ) ( ) babaa
112
Ejemplo:
.
olución
« Factorice el polinomio p 42 −
S :
Se iferencia de cuadrados ya que posee dos términos uno
tro negativo, el primero está elevado al cuadrado pero el segundo no.
o sin cambiar su valor, el problema está
resuelto.
ingo...
sustituyendo entonces,
zación es
) .
« Factorice el polinomio
parece a la factorización por d
positivo y o
Si logra elevar al cuadrado el segundo términ casi
B
224 =
( )( ) 2 2 24 222 −+=−=− pppp , debido a la regla de diferencia de cuadrados.
La factori
( ) ( 2 2 42 −+=− ppp
22 94 yx − .
Solución:
Se parece a la forma , necesita hacer algunos arreglos, veamos
222 3 39 yxy ==
22 ba −
( ) 2222 2 2 xxx == , utilizando las reglas de los exponentes.
2 , utilizando las reglas de los exponentes.
Ahora,
4
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 32 32 3 2 94 2222 yxyxyxyx −+=−=−
En la fórmula de diferencia de cuadrados ybxa 3 y 2 == . Así,
).
La factorización es
( ) ( 32 32 94 22 yxyxyx −+=−
113
Existen problemas donde se pueden utilizar varias técnicas de factorización, ejemplo:
olinomio
S
« Factorice el p ( ) 16 4 2−xy .
olución:
Existe un entre los términos, el es = 4, aplicando la técnica respectiva
... CFM ... CFM
( ) ( )[ ] 4 416 4 22 −=− xyxy , analizando el factor que quedó dentro de los corchetes,
dos, así
observe que se puede factorizar por la técnica de diferencia de cuadra
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 2 2 4 2 4 4 4 222 −+=−=− xyxyxyxy
uego, la factorización es
por la diferencia de cuadrados.
a factorización de trinomios se puede dividir en dos casos:
+ con
L
( ) ( ) ( ) 2 2 416 4 2 −+=− xyxyxy
Importante... No todo polinomio es factorizable
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO
L
1. El trinomio de la forma x + b y c ,2 cbx ∈Z y 0 .0y ≠≠ c
. El trinomio de la forma con a , b y c
b
,2 cbxax ++ ∈Z y .0y ,1 ≠≠ cba 2
114
Caso 1:Trinomio de la forma ,2 cbxx ++ con b y c ∈Z y .0y 0 ≠≠ cb
Para explicar el procedimiento lo haremos a través de un ejemplo,
Sol
« Factorice el trinomio 2410 +− xx .
ución
2
:
Este proceso de factorización está fundamentado en el ensayo y el error, ya que debemos
Primero, dos factores que al multiplicarlos den el primer término.
ultiplicarlos den el tercer término.
Tercero, los dos factores anteriores su ados o restados den el coeficiente numérico♣
2 +xx Tercer término
Primer térm Coeficiente numérico del término central.
Candidatos a utilizar:
× 2 12
cuadrar o buscar candidatos que satisfagan:
Segundo, dos factores que al m
m
del término central.
10− 24
ino
⎪⎭
⎪⎩
⎪⎪ × 46 ⎪⎬
⎫⎪⎨
⎧= . 2 xxx ⎪
⎪⎬
⎪⎪⎨
×=+
124 24
⎫⎧ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
⎪⎭⎪⎩ × 38 ( ) ( ) ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪
⎧
−×−−×−
−×−
4 6 1 24 2 12
mer término
Tercer término
el tercer término satisface la tercera condición?
videntemente no pueden ser los positivos ya que al sumarlos nos daría positivo y el
término central es negativo, así los candidatos deben ser negativos.
⎪⎪⎨=+ 24
⎪⎩ −×− 3 8
Pri
¿Pero cuál de los candidatos d
E
c sive puede dar variables. ♣ In lu
115
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪
⎪⎭
i candidato que al sumarlos da como resultado –10, así,
) 2410 2 −=+− xxx o también
) 6 2410 2 −=+− xxx .
tros ejemplos,
« Factorice
Solución
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−×−−×−
−×−−×−
=+
3 8 4 6 1 24 2 12
24
Ese es el ún co
( ) ( 6−x 4
( ) ( 4−x
O
283 2 −+ yy .
:
tivo y otro negativo, entonces
)
Candidatos a utilizar,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧= . 2 yyy
Para que de –28 uno debe ser posi
(
( )( ) ( )( ) ( ) ⎪
⎭
⎪⎬
⎫⎪⎨
−××−−××−−××
=− 4 7 ó 4 7 2 14 ó 2 14
1 28 ó 1 828
Si 2 −yy , ¿cuál de todos ellos da como resultado +3 ?
ara comprobar si el resultado es cierto, debemos realizar la multiplicación de nuestra
factorización. ¿Compruébelo?
te .
Solución
⎧ − 2
⎪⎩
28 3 +
El que está encerrado en el rectángulo es el único que satisface esa condición, así
( ) ( ) 4 7 283 2 −+=−+ yyyy
P
36 13 24 +− yy« Factorice completamen
:
116
Se puede factorizar con este método ya que ( ) ( ) 36 13 36 13 22224 +−=+− yyyy y si
que emos ten, 2 xy = ( ) ( ) 361336 2 +−= xx . 13 222 +− yy
Can
⎬
⎫
⎪⎩
⎨
⎧
y
bos positivos o negativos, pero el término central es
n ra que sumados dos núme negativo es que ambos lo sean,
entonces
⎪⎪⎩
⎨
−×−−×−
−×−=+
2 18 3 12 4 9
36
l encerrado en el rectángulo es el único candidato que al adicionarlos da como resultado
didatos a utilizar,
⎪⎭
⎪⎪= . 224 yy
Para que de +36 pueden ser am
egativo y la única mane ros den
( ) ( ) ⎫
⎪⎪⎧ −×− 6 6
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪
⎪⎭
⎪⎪⎬
E
-13, luego
( ) ( ) 9 4 36 13 2224 −−=+− yyyy , Cuando se factoriza se hace hasta su mínima
factorización, y los factores ( ) ( ) 9 4 22 −− yy se pueden factoriza
s,
r utilizando la técnica
de la diferencia de cuadrado
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 9 y 2 2 4 22 +−=−+−=− yyyyyy
en consecuencia,
( )( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 y36 13 +−+−=+− yyyyy
Factorice completamente .
24
10 3 2 ++− aa«
Solución:
Trate de copiar el primer término con signo positivo, es decir extraigamos como el
número –1, así
... CFM
117
( ) ( ) 10 3 1 10 3 22 −−−=++− aaaa , ahora dos candidatos que den –10 ,
( ) ( ) ⎪
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎩ ×−
×−
1
5 2
Ese es el único candidato que al sumarlos da como resultado –3, así
( ) ( )⎧ ×− 2 5 (⎪
⎪=−
10
) ( )( ) ( ) ⎪⎪
⎨ ×− 1 10
⎭ 10
( ) ( ) 2 5 10 3 +−=−− aaaa , por lo tanto 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 1 10 3 1 10 3 2+− a 2 +−−=−−−=+ aaaaa .
« Factorice completamente .
22 14 9 yxyx +−
Solución:
Candidatos de 2 14y
)( ( )( ) ( ⎭
⎬⎫
)⎨⎧
−×−−×−×
= 2 14 ó
2 7 ó 2 714 2
yyyyyy
y
ál esos candidatos sumados o restados da como resultado a
14 9 2222 yxyxyx +=+−
14 9 22 xyxyx −=+−
aso 2:Trinomio de la forma con a , b y c
⎩ × 14 yy
Cu de
a.conmutativ propiedadpor , 14 9 xy−
El candidato encerrado es el único que satisface esa condición, luego
( ) ( ) 2 7 yxy − . ¿ Compruebe el resultado?
C ,2 cbxax ++ ∈Z y
ara explicar el procedimiento lo haremos a través de un ejemplo,
« Factorice el trinom
.0y ,1 ≠≠ cba
P
65 6 2 −− xx . io
Solución:
entado en el ensayo y el error, ya que debemos
uscar candidatos que satisfagan:
Este proceso de factorización está fundam
cuadrar o b
118
ltiplicarlos den el primer término.
o, dos factores que al multiplicarlos den el tercer término.
umar o restar el producto de los
extremos debe
cnica de si es posible.
Primer término Tercer término
⎪⎩
⎨=xx . 6
6
Primero, dos factores que al mu
Segund
Tercero, los candidatos escogidos anteriormente al s
n dar el término central.
Importante: Primero aplique la té l ... CFM
6 − xx 2 6 5 −
Candidatos a utilizar:
( )( )( )( ) ⎪
⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
×−×−×−×−
=−
3 2 2 3 6 1 1 6
6 ⎪⎫
⎪⎧ xx 2 . 3
2x⎪⎭
⎬
ino Tercer término
recer factores que lo posean, es
a
Primer térm
El trinomio no tiene ... CFM por lo tanto no pueden apa
decir la factorización no puede ser de la form ( ) ( ) 65 6 2 axx =−− , con R.
robando candidatos:
na ya que el factor
∈a
P
( ) ( ) 12 6 365 6 2 +−=−− xxxx
No funcio ( ) ( ) 2 3 63 −=− xx es decir existía
)No funciona ya que el factor
... CFM
( ) ( 62 1 365 6 2 +−=−− xxxx
( ) ( ) 3 2 62 +=+ xx es decir existía
)
... CFM
( ) ( 32 2 365 6 2 +−=−− xxxx
119
Esa combinación es la más adecuada ya que esos factores no tienen Multiplica los
extremos para comprobar si no aparece tendrá otra
portunidad para probar, esta es dejando los números en la misma posición y permutando
eros también?
... CFM
si aparece o no el término central,
o
sus signos. ¿Por qué no podemos permutar los núm
( ) ( ) 32 2 365 6 2 +−=−− xxxx
- 4x
9x
La suma del producto de los extremos esta dando como resultado 9 -4x = 5x, pero el término central debe dar -5x.Permutemos los signos para ver lo que pasa.
( ) ( ) 32 2 365 6 2 −+=−− xxxx
4x
- 9x
nto la factorización es:
)2 −+=−− xxx
mplos,
io
Solución
por lo ta
6 x( ) ( 32 2 365
Otros eje
« Factorice el trinom 1519 6 2 ++ xx .
:
xx . 62
×1 3
15
existe ningún por lo tanto no pueden aparecer factores que lo
. Se excluyen os candidatos negativos par a que al sumar números negativos
ner el resultado positivo y el término central es positivo.
) ++ xx , multiplicando los extremos
10
9x
Candidatos a utilizar:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ xx 2 . 3
=x6⎭⎬⎫
⎩⎨ ×
= 15
⎧ 5
En el trinomio no ... CFM
posean l a el 15 y
nunca va a obte
( 1519 6 2 =++ xx ) (
x
Ahora sí la sumextrem su
a del producto de los os da como re ltado el
ino central 4x-9x = -5x. térm
3 5 2 3
x
120
Compruebe que la suma del producto de los extremos da como resultado el término central.
Así la factorización es:
2 53 15196 +=++ xx
ice el trinomio 12 2 +x .
ión
2x ( ) ( ) 3+x
« Factor 4245− x
Soluc :
un = 3, luego Ese trinomio tiene ... CFM
( ) 14 15 4 3 245 2 +−=+ xxx
a s a utilizar:
2
4 12 2−x
Candid to
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=xx
xxx
. 4 2 . 2
4( ) ( )( ) ( ) ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
××
=+ 1- 14- 2- 7-
14
ir ya que con ellos jamás obtendrá el
rmino central. Así,
Los candidatos positivos para +14 los puede omit
té
( ) ( ) ( ) 2 74 1415 4 3 2 −−=+− xxxx .
o tante... do trinomio es factorizable en el conjunto de los números enteros por ejemplo:
222 ++−−−− xxxxxx No se pueden
s se pueden factorizar utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática, la cual es:
3
Imp rNo to
.256 , 643 , 1 , 12 −+ xx
factorizar en ese conjunto.
Ello
a
acbbx2
4 2 −±−= ♣
121
Un ejemplo de la utilización de esta fórmula.
« Factorice e 65 6 2 −− xx . l trinomio
oluciónS :
Los valores de a ,b y c son : 6 , 5 , 6 −=−== cba , ya que
6 4 3 2 −− xx , sustituyendo en la fórmula cuadrática
a b c
( ) ( ) ( ) ( )( ) 12
169 512
14425 5 6 2
6 6 4 5 5 2 ±=
+±=
−−−±−−=x , luego
1213 5 ±
=x de aquí obtend emr os dos valores
⎟⎠⎝ 2212⎞
⎜⎛ −=
+=
3 esfactor primer el así , 3 13 51 xx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−= fasegundo el así , 13 5
2x 32 esctor x
Luego, la factorización es
12
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−−
32
23 65 6 2 xxxx
uma o diferencia de cubos, consiste en evaluar si un polinomio es de la forma
, es decir que posea dos términos y que ellos estén elevados
al cubo. Para el logro de ese objetivo utilizaremos ciertos arreglos o reglas matemáticas.
S33 ó 33 baba −+
Luego utilizamos la fórmula
♣ Esta fórmula aparece del despeje de la variable x en la expresión . 0 2 =++ cxbxa
122
) ( ) ( 33 aba +=+ 22 babab +−
( ) ( ) 2233 babababa ++−=−
jemplo:
Factorice completamente a .
E
« 27 3+x
Solución:
Descomponiendo al 27 en sus factores primos tenemos,
de suma de cubos 333 3 27 +=+ xx , aplicando la fórmula
( ) ( ) 93 3 3 27 2333 +−+=+=+ xxxxx
Luego, la factorización es ( ) ( ) 93 3 27 23 +−+=+ xxxx
« Factorice completamente a 1 3−a .
Solución:
Sabemos que , luego
, aplicando la fórmula de diferencia de cubos
113 =
333 1 1 −=− aa
( ) ( ) 1 1 1 1 2333 ++−=−=− aaaaa
uego, la factorización es
L
( ) ( ) 1 1 1 23 ++−=− aaaa
« Factorice completamente a .
olución
99 yx −
S :
plicando la propiedad de los exponentes de potencia de una potencia tenemos,
A
( ) ( ) 333399 yxyx −=− , aplicando la fórmula de diferencia de cubos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 333399 xyxyx −=−=− 23332333 yyxxy ++
123
Resolviendo el segundo factor y aplicand ente al primer factor
tenemos,
o diferencia de cubos nuevam
( )( ) ( ) ( ) ( ) 633663363399 yyxxyyxxyxy ++++−=++−=−
uego, la factorización es
22 yxyxyxx
L
( ) ( ) ( ) 299 xxyxyxyx +−=− 63362 yyxy +++
124
EJERCICIOS 2.3
actorice por M.F.C. los siguientes polinomios:
25 b
F
1. 3 55 b − 4
2. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
212
21
212 2 xxx 5.
3. 243 18 24 cbcb −
22 9 18 puup + 4.
( ) 34 34 2 −+− xxx
6. 592744 18860 yxyxyx −+
actorice por agrupamiento los siguientes polinomios:
.
13.
14.
F
7. 49772 −+− xxx
8. 15352 −+− xxx
11. 22 4205 yxyxyx −+−
12. 22 6293 mpmpmp −+− 9 2233 +++ yxxy
10. 22 1015812 yxyxyx −+− baaba +−− 22 2
1−+− baab
Utilice las técnicas para factorizar polinomios cuadráticos en los siguientes casos, si es
posible:
5.
6.
0 +x
2.
23.
24.
25.
26.
29.
30.
31.
32.
1 652 +− xx
1 1072 ++ yy
17. 12 −x 24
18. 2110 24 ++ yy
19. 1242 −+ xx
20. 22 2yxyx −−
27. 15 29 12 2 +− rr
28. 2520 4 2 +− kk
21. 22 34 yxyx +−
2 122310 24 +− bb
22 1253 yxyx +−−
9124 2 ++ xx
22 184550 yxyx −+
21538 2 −− xx
22 838 45 yxyx ++
27108 yy ++−
235 2 ++− xx
1624 9 2 −−− uu
125
Utilice las fórmulas de factorización para factorizar el polinomio:
3.
−
3
39.
40.
41.
43.
44.
45.
46.
47.
49.
se cualquier método para factorizar la expresión:
50.
3 2536 2 −y
34. 22 4ba −
35. 4 22ba 1
36. 22 6449 yx − 42. 6325 8 16 yxyx +− 48.
7. 4 wu − 4
38. 66 yx +
g
16 −y
22 25 36 pt −
24 64 pg −
g 253 −
116 −t
93 343 hw +
63 64 hw −
27 64 3 +w 36 27my −
39 125 216 nn +
U
( ) ( ) 3232 1 1 −++ yx . Sugerencia: Sea ( ) ( ) byax =−=+ 1 seay 1 22
5 ( ) ( ) 3232 4 4 yx −−−1.
2. Sugerencia: Por cambio de base 5 ( ) ( )xyyyxx −+− . ( ) ( )( )xyyx −−=− 1
53. ( ) ( ) 3232 1 1 yx −−−
54. 5210 entonces Sea : abancia b.
Utilizando la ecuación cuadrática factorice los siguientes trinomios:
56. xx
8.
59.
60.
61.
87 36 −+ xx
55. −− 510 . 65 Sugereaa ==
652 +−
57. 352 −− xx
5 156 2 +−− xx
113 2 −+ xx
325 2 −+ xx
432
21 2 −− xx
62.
63.
15 29 12 2 +− rr
1072 ++ yy
125
EXPRESIONES FRACCIONARIAS
na expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas. Una expresión
racional es el cociente entre dos polinomios, la cual es un caso especial de las expresiones
accionarias.
Adición y sustracción de expresiones racionales ítulo anterior trabajamos la suma o resta de fracciones numéricas de dos maneras.
era cuando tenían el mismo denominador, la cual se resolvía copiando el mismo
U
fr
En el cap
La prim
denominador y operábamos los numeradores ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±
=±b
cabc
ba y la segunda cuando
. (mínimo tenían diferentes denominadores la cual se podía resolver utilizando el m.c.m
común múltiplo). A manera de ejemplo tenemos:
♠ Resuelva y simplifique a 33
+ 72
Solución:
33
33397272 +
333=
×===+
Igual denominador y al final se aplicó el criterio de simplificación.
a y simplifique a
♠ Resuelv183675
−
Solución:
H enominadores, alle el m.c.m. entre los d
222 3 .27
3 .25
187
365
−=− , donde el m.c.m. 6 , luego
= 33 . 2 22 =
( ) ( )41
369
36145
36 2 7 1 5
3 .27
3 .25
222−
=−
=−
=−
=−
os tenerlo presente en el trabajo que desarrollaremos a continuación:
=
Este proceso debem
126
EJERCICIOS RESUELTOS:
♠ Resuelva y simplifique a
156
143
++
+++
xx
xx
Solución:
Ellas tienen igual el denominador, entonces
( ) 991993
=1
1 1
5643156
14
++
=++
=+
+++=
++
+++
xxx
xx
xx
xx
xx
♠ Resuelva y simplifique a
782
734
−+
−−−
yy
yy
Solución:
ienen el mismo denominador, entonces T
( )7777
4 1127
8234 82 34823−−
=−
−−−=
+−−=
+−
−yy
yyyyyyy
icar más ya que no es posible aplicar el criterio de
mplificación.
−−− yyy
Esa expresión no se puede simplif
si
Si usted pensó en simplificar “ y ” en la expresión
7−112
7112 −
=−−
yy
pues tenga mucho cuidado ya que eso no se puede hacer,
debido a que no cumple las condiciones para aplicar el criterio de simplificación.
127
♠ Resuelva y simplifique a 32
332
422 −−
−+
−− kkk
kk
Solución:
Tienen el mismo denominador, entonces
3234
323
324
222 −−
−+=
−−
−+
−− kkk
kkk
kk , resolviendo y factorizando
( ) ( )( )
( )( ) 31
3 3 1 1
−==
−++
kkkk
kkk
Resuelva y simplifique a
1 1 1−+
+=
♠xx
x73
24
++
Solución:
inadores, entonces hallaremos el m.c.m.
ponga en sus factores a:
Tienen diferentes denom
Descom
xxxx
. 7 7 2 2
=⋅=
os factores comunes y no comunes con su mayor exponente es el m.c.m., entonces
.c.m. ( 2x , 7x ) =14x. Luego
L
m
( ) ( ) ( )14
34714
347 14
34714
628714
3 24 773
24 22 +
=+
=+
=++
=++
=++ x
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
Así,
14347
73
24 +
=++ x
xxx
♠ Resuelva y simplifique a 3463 56
84
kpkp+
−
Solución:
Tienen diferentes denominadores, entonces halle el m.c.m.
Descomponga en sus factores a:
128
33363 kkpkp =
. . . 5 3334 kppkp =
5
. . .2. .2 2 8
El m.c.m. ( ) 643463 40 5 , 8 kpkpkp = , luego
( ) ( )64
3
64
3
3463 40 kp4820
40 6 8 4 5
56
84 pkpk
kppkk
kpp
kpk +−
=+−
=+ ,aplicando
p− ... CFM
( )53
2
64
2
10124 kpk +
=5-
40 125-
kpkpk
=+ , así
53
2
3463 10125
56
84
kpk
kpkp+−
=+−
♠ Resuelva y simplifique a
99235254
22 +−−
−−
−
xxx
xxx
Solución:
Tien den diferentes enominadores, entonces debes hallar el m.c.m., pero para hallarlo
torizar los denominadores. Así
necesitas primero fac
( ) ( )( ) ( 3 32 992
3 12 3522
2
−−=+−
−+=−−
xxxx
xxxx
)
a or común es ( x - 3 ) y los no comunes son ( 2x + 1 ) y ( 2x - 3 ) , según la
el mínimo común múltiplo el m.c.m. = ( x - 3 ) ( 2x + 1 ) ( 2x - 3 ). Luego
El f ct
definición d
( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 32 24
12 54
992355
2 −−−
−+−
=+−
−−−
−xx
xxx
xxx
xx
xx
129
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 32 12 3 12 54 32
3 32 3 12 54
−+−+−−−
=−−
−−+
−xxx
xxxxxx
xxx
x
ado...
lver las operaciones básicas que se encuentran en el numerador y luego factorizar si
o ble ese nuevo numerador.
( )( )
Cuid
Un error muy común es simplificar en el paso anterior, eso no se puede realizar ya que no
cumple con las condiciones del criterio de simplificación. Lo que debemos realizar allí es
reso
es p si
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 32 12 3
15236 32 12 3
21512108 32 12 3
12 54 32 222
−+−+−
=−+−
−−+−−=
−+−+−−−
xxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxx
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 32 12
56 32 12 3
3 56 −+
−=
−+−−−
=xx
xxxx
xx , así
( )( ) 32 1256
99235254
2 2 −+−
=−xx
xx
+−−− xxxx−x
♠ Resuelva y simplifique a 2
42
3444
2 −+
+−
−
−xxx
x
Solución :
Factorizamos los denominadores y hallamos el m.c.m. entre ellos,
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 2 2 , 2 2 42 −=−+=+−+=− xxxxxxx , donde el
( ) ( ) 2 2 −+= xxmcm , luego
( ) ( )( ) (
( ) ( ))
2 2 2 4 2 344
24
23
2 2 44
224244 43
−+++−−−
=−
++
−−+
−=+
xxxxx
xxxxx
−+− xxx−
−x
130
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 2 5
2 2 2 105
2 2 846344
−=
2 2 5−+
+=
−++
==−+
+++−−=
xxxx
xxxxx , así
xxx
( ) 2 5
2242 −+− xxx434
−=+−
−x
x
Resuelva y simplifique a
4
♠62
7483
44656
13222 −−
−+−
−+
−+ hhhhh
hh
Solución :
Factorizamos los denominadores y hallamos el m.c.m. entre ellos,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3262
2 23483 , 32 236562
22
−+=−−
−−=+−+−=−+
hhhh
hhhhhhhh
El )( ) ( 32 23 ... ) ( 2 +−= hhmcm −h , luego
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) 2 32 23 237 32 442 13
2 32 7
2 234413 −
+=h
32 23 −+−
−−+−+−
−+−
−−+−=
hhhhhhh
hhhhhh
( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) 2 32 23 6322 4
2 32 23 24128
2 32 23 1421128128 2613 22
−+−
−−
−+−
−−
−+−
+−−−++−===
hhhhh
hhhhh
hhhhhhhh
( )( )( )( )
( )()(
)( )( ) ( ) 23
423
42 23
32 4 2 32 23
6322 4−−+−
+
−+−
−−===
hhhhhhh
hhhhh , así
2 3 2
−
−=
23 4
627
48344
65613
222 −=
−−−
+−
−+
−+ hhhhhh
hh
131
Multiplicación y división de expresiones racionales este tipo de problemas seguiremos las siguientes recomendaciones:
me la expresión en una sola fracción utilizando para ello a
Par resolver
1. Factorice completamente los numeradores y los denominadores si es posible.
2. Transfor
bdca
cb
da
dcba
cb
da
.
. ó .=÷=×
3. Simplifique utilizando el criterio de simplificación.
A
Resuelva y simplifique a
lgunos ejemplos:
♠ 3
3
3
2
1835
914
ay
ayx
÷
Solución :
Aquí no hay que factorizar ya que todos los términos son monomios, aplicando el paso dos
( )( )3333 359189 yaaa
=÷ , aplicando el paso tres 3232 18143514 ayxyyx
5 4
5 2 . 2
35 . 9 18 . 14
2
2
2
2
33
32
5 4
1835
914
2
2
3
3
3
2
yx
ay
ayx
=÷ yx
yx
ayayx
=== ,así
Resuelva y simplifique a ♠ 22
2
2
3
334
yxx
xyxx
−÷
−
Solución :
actorizando tenemos, F
132
( ) ( )( ) 34
334 23
22
2
2
3
yxyxx
yxxx
yxx
xyxx
−+÷
−=
−÷
− , resolviendo y simplificando
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )
3 4
4
..3 4
4
3
3
2
323 yxyxx
yxyxxyxxx
yxyxxyxyx
xx +=
−
−+=
−
−+=
−+÷=
3 yxx − 3
así,
( )33 222 yxxyx −−
Resuelva y simplifique a
44 23 yxxx +=÷
3
♠mmmm
mmmm
11281342
1340920
2
2
2
2
−+
−+×
−+
−+
Solución :
rdenando y factorizando tenemos,
O
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 4 7
7 6 5 8 4 5
281122
40132 −−−−
×−−−−
=+−
×+− mm
mmmm
m
mmmm
y simplificando,
) ( )( ) ( )
41322092 +−+− mmmmm
resolviendo
( ) ( )( ) ( )( 8
6 8 7 4 6 7 4
− 5 5 −
=−−−−−−
mm
mmmmmm , así
−−
=mm
86
11281342
1340920
2
2
2
2
−−
=−+
−+×
−+
−+mm
mmmm
mmmm
Efectúe y simplifique a ♠1515
1296
99424
2
2
24
++
−−×
++
−−
pppp
pppp
Solución :
actorizando tenemos, F
133
= ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 3 34
3 4 3 3
3- 3422
22
++
+−×
+++
pppp
pppp , resolviendo y simplificando
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( ) 3 3
4 3- 3 3 3 3 4 3- 34
2
2
2
22
++
−=
+++
+−+
pppp
pppppppp , así =
34 2 +
( )( )( ) ( ) 3 3
4 3-1515
1296
9942
2
24
2
2
24
++
−=
++
−−×
++
−−
pppp
pppp
pppp
134
EJERCICIOS 2.4 Efectúe las operaciones indicadas y además simplifique:
1. yx
ba
ba
yx3
75
22
43
28
56
64
72 10. ⋅
2. ba
xyyx
ba3
2
2
2
4875
12532
⋅
3. 2
32
32
23
3518
49
27xy
ba
yx
ba÷
−
4. 2
23
46
74
3281
16
27xy
ba
yx
ba÷
5. 273
75
252
34
18
96
63
54
cba
yx
zyx
cba⋅
−
6. ( )
( )
4
33
3
23
23332
8
4
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−÷
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
ax
xa
yxax
yxax
7. 48
75
533
45
bca
yx
zyx
bca ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
×−
8. 8
528
112 ++
+ xx
. 9 132
1 −−
−−
−xx
xx
782
734
−+
−−−
xx
xx
11. 12
5312
4222 ++
++
++
−−
xxx
xxx
233
233
++
−++
xx
xx12.
13. ( )164 2
164
22 −
−+
−
−−
yy
yy
( )( ) ( ) ( )3 27
3 242
−++
−−+
+zz
z14.zz
z
15. 265128
261520
2
2
2
2
−+−−
−−+
++ffff
ffff
4
482
322 −
+−− aaa
a 16.
17. 4
382
62 +
+−+
+xxx
x
294
4154
222 ++
+++
−
yyyyy 18.
245
212
122 −+
−−+
+
xxxxx 19.
20. 992352
5422 +−
−−−
−
xxx
xxx
6
832
2223
4222 −+
++
−+
++
+−
−
xxx
xxx
xxx 21.
2 273
121712
12294
35222 +−
+−
+−
−+
+−
−
xxx
xxx
xxx 2.
135
2 222 212
3 108 2
347
ttt
ttt
ttt
−−
−+
+−+
−+ 3.
24. 222 3512144
4 5610 2
3 72117
ttt
ttt
ttt
−−
−+
−−
−+
++
+
32
7673
14253
57222 −+
+−
−+
++
+−
−
kkk
kkk
kkk 25.
456
3512712
1553108
14222 −−
−+
−−
−+
++
+
xxx
xxx
xxx 26.
27. 1211
734154
17831
7222 2++
++
−++
+− xxx
xxxx
0
28. 22
22
22
22
124124
32369
8219
324
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
+−
+−×
−−
−−
9.2 22
22
22
22
1092
12
12112
672
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
+−
−−×
+−
+−
30. 38335 22 −+
÷−
622
232 22 −−
−
−+
xxxx
xxxx
31. xxxx
xxxx 13 429 20 22 −+
×−+
32.
1182 1340 22 −+−+
xxxxx
xxx 4 6 94 9
4
234
2
2 +−×
− 8 2725 3 ++−
.33 aaaaaa 4 20 254 12
24++
÷++
a 2 - 16 5
22
−
34. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) 4
6 17 3
6 2 2
2
2
−+
−+−+
−+
−+++
yxyxyx
yxyxyx
5.
11 38 2 2−+÷
−+ yxyx
3 ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 12 5 2
3 7 64 11 3
16 2
2
2
2
−−+−
−−−−×
−−−−
−−
yxyxyxyx
yxyxyx
36. ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) 8 10 312 5 2 −−+−−−+− yxyxyxyx
4 99 3 222
−−÷
−−+− yxyxyx 22
37. 65 - 3 4
12 7 9 10
2
2
24
24
+
++÷
+−
+−
aaaa
aaaa
136
OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS onsiste en resolver problemas con operaciones combinadas de adición, sustracción,
para e e tener presente lo
ui te:
ay que resolver prim lo que se encuentra
dentro de él.
. Si no aparece símbolo de agrupación, hay que efectuar primero las multiplicaciones o
3. Si solamente existen multiplicaciones y divisiones combinadas, indudablemente debe
tar las operaciones.
Resuelva y simplifique a
C
multiplicación y división de fracciones racionales, llo hay qu
sig en
1. Si aparece un símbolo de agrupación h ero
2
las divisiones antes que las sumas o restas.
aparecer un símbolo de agrupación para indicar el orden a ejecu
Algunos ejemplos:
♠132352
3462
125
2
2
2 +−
−+÷
+−
+−
+ xxxx
xxx
x
olución :S
Resolviendo la división,
( )( ) )(
( )( )( )( ) 1 12
3 12 1 3
3 121322
522
34262
15
−−
+−÷
−−−
++−
−+÷
+−
+−
+ xxxx
xxx
xxx
xx
xx
x 2532x
+=
( )( )( )
( )( )(( ) )
( )( )( ) )( )( 3 1 3
1 3 212
5 1 12 3 12
1 3 3 2
125
+−−
−+
+−
+−÷
−−
+−
+ xxxxx
xxxx
xxx
x
−
−==
x
Resolviendo la resta,
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 12
17 3 1224155
3 12 12 2 3 5 2
125
−+
=3 −+
−
−+
−−−
−+
+−−===
− xxx
xxxx
xxxx
x x
No se puede simplificar m ás, así
( )( ) 3 1217
132352
3462
125
22 −+−
=+−
−+÷
+−
+−
+ xxx
xxxx
xxx
x
2
137
♠ Resuelva y simplifique a 12
24582
48333 2 + xx
2
2
2 −−
++
−+×
+− xx
xxxx
xx
Solución :
Resolviendo a ti lic l mul p ación,
( ) ( )( )( )
( )( )( ) 1214
2 2
1 2
5
22
4823
323−
+−
+
−
+−
+
xxx
xx
xxx
x
(
2x 4
2− 3 −x 3
1−242x
8−+x
−+×
+x
+
+× =
xx
x
xxx
( )( ))( )( )
( ) ( )( )( ) 12 x 23 −x
23123
32−
=xx
xxxxx 3 2x 1 −2 x
2−
2x 3x12 −x
2 1+ x 2
2− 13
=x −
−−
−−
−
+=
−xx
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 12 23
12 23
426326 12 23
23 2 12 3−−−−
+−−−−
−−− ===xx
xxx
xxxxxx
xxxx , así
( ) ( ) 12 23 28233 22
=−−+
×+ xxxxxx
124548 22 −−−+++− xxxxxxx
♠ Resuelva y simplifique a
3
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝ ++++ 1220336356 aaaa
⎛
++
++÷
++×
++
41529
1513222
183126181522
2
aa
aaaaaa
olución :S
Factorice todas las expresiones y resuelva primero lo que se encuentra dentro de los
( )
paréntesis,
( ) ( ) ( ) (( ) (( )
))
( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
÷×++++
= 43 13 5 32
32
43 92 6 32
aaaa
aaaa
++++
6 2 23 9
aaaa
138
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 32 6 43 92 +++
32 43 13 92 6 +++×
+ aaaa , resolviendo y simplificando
++ aaaaa+
=a
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( ) 5
13 5 13
5 13 43 92 6 32
++
=++
=+
32 6 43 92 ++++
+++++=
aaa
aaaaaaaaaa , así
a
513
41529
15132218312618152 2⎜⎛ ++
÷++
×++ aaaaaa
12202336352 ++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎝ +++++ a
a
aaaaa
Resuelva y simplifique a
6 +a
3611212
12194
361926
182326
361722
1835212 2
−−
+−×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−÷
+−
+−
kk
kk
kk
kk
kk
kk ♠
Solución :
actorice todas las expresiones y resuelva primero lo que se encuentra dentro de los
aréntesis,
F
p
( ) ( )( ) ( )
( ) ((
)( ) )
( ) ( )( ) ( ) 94 43
4 34 43 23
4 92 23 94
−+−−
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
÷−−−−
kkkk
kkkk
kkkk
9292
−−
=
( )( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )
)(( ) ( )( ) ( )( )( )( ) )) ( ( 94 − 43 23 4 92
4 34 43 23 94 94 43 4 34
23 4 92 43 23 94
++−−−−+−−
=−+
−−×
+−−+−−
kkkkkkkkkk
kkkk
kkkkkk
sí,
=
A
( )( )( ) ( ) 23 92
34 23
3611212
12194
361926
182326
361722
1835212 2
+−−−
=−−
+−×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−÷
+−
+−kkkk
kk
kk
kk
kk
kk
kk
138
♠
312914
2
−
−
x
x Resuelva y simplifique la siguiente fracción compleja
Solución :
e transforma el numerador en una sola fracción al igual que el denominador, luego
iq e la “ doble c” y finalmente aplique el criterio de simplificación.Veamos,
S
apl u
( )
( )
( ) ( )=
−
+−
=−
−
=−
−
=−
12
−
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
369
6 6
369
36
3 3 2
9 9 4
3
9 22
2
2
2
Doble c.
x
x214
( ) ( )( )
( )xx
xx
xxxxx 3
3 6
3 6
6 9 6 6
2+
=+
=−
+− , así =
xx
x 3−
x1292
=
14−
36 +
elva y simplifique a
♠ Resu
11
11
11
11
+−
−−+
+−
+−+
xx
xx
xx
xx
Solución :
e procede de la misma manera que el problema anterior, S
( ) ( ) ( ) ( ))( )(
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) 1 1 12 12
1 1 1212
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
11
11
112
22
+−+−−++
+−+−+++
=
+−−−−++
+−−−+
=
+−
−
+−
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
xxx
1 11 ++−+
+x
xxxx
2xx−x+x
x
139
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ))( )( 2
1 1 1
1 1
1 1 4
1 1 1 2
1 1 1212
1 1 2
2
2
+=
++−
=
+−
+−+
=
+−−+−+
+−+
xx
xx
xxx
xxxx
xxxxxx
xxx
4 −xx 1 2 +xx
2
2 +=
140
JERCICIOS 2.5
elv y simplifique las siguie e resiones:
.
E
Resu a ntes xp
1345
13216
1232
2
2
2
−−
++
++×
−+
+x
xxxxx
xxxx
2. 3128
654124
342
2
2
2
+−
++
−+÷
−+
−x
xxxxx
xxxx
3. 94
3526136
6612
42
2
2
2
−
+−÷
++
−−
− xxx
xxxx
xx
4. 1417 p26
6 923212
101126
3542
26 2
−−
−÷⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎝ −+
−+×
−−
−+
p
p
pp
pp
pp
pp 2− p
4
1⎜⎛
5. 24412 − p12
728 3611212
72722
365224
274228 2
+
+×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ −+
−+÷
−−
+−
p
pp
pp
pp
pp
pp 73+ ⎜
⎝
⎛
6. ⎟⎟⎠
⎞46y⎜⎜⎝
⎛ −−×
+−
+−÷
+−
−−
9210
40515462442436
50125122117 2
2
2
2
2
y
yyy
yyyyyy
−− 9y
30
7. 14
12 2
2
−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
xx
x
8 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
323
292 2 x
xxx
.
9. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝
− x⎛ 5x− 2
4 1 x
xx
10. ⎟⎠2 ⎞3
⎜⎝⎛ −−÷⎟
⎠⎞+ 2
108 6xxxx
⎜⎝
−6 ⎛ 13
11. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+÷⎟
⎠⎞
++
121
126
xx
x ⎜
⎝− 3 x⎛ 6
12. 43 32
3310 ⎜⎝⎛ −÷⎟
⎠⎞
++ x
x
3211
⎟⎠⎞
++
x 3 ⎜
⎝−x⎛
140
13. =
5
2
54
4
159
5y36
zxy
zx
4.
1 =+
+212ww
2ww
15. =−
w3
−12w
1
16. =+ wp −
pw
wp
p
17. =+
ab
ba1
11
18.
=
++
+
433
xx
x
19. =
−−−
−−
32812x
322
x
xx
20.
=+−
−+
+−
+−
+−
22
112
22
1212
aaaaa
aa
21.
111
2a
1
=
+−
−−+
+−
−−+
21
21
22
aa
aa
aa
a
22.
11a
=
−+
++−
−
39
83
92
yyy
yy
y
23. =
++
−+
−+
242
22
22
2
yyy
yyy
y
24. =
+++
−+
+++
++
5770106
3
2874
pppp
p
pp
4p
25. =− 4p
−−
++
164
44
2
2
pp
pp
++− 81682 pp
++
22
p
145
CONSTRUCCION Y USO DEL TRIANGULO DE PASCAL
áginas anteriores se presentaron multiplicaciones de polinomios como 3322 ó hastay ,,, yxxyxyxyxyx ++−+−+ .En algunas de ellas
teníamos algunas fórmulas que permitían resolver tipo de problemas. Ejemplo:
En p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )108 y
este
• ( ) ( ) 2 ó 2 222222 yxyxyxyxyxyx +−=−++=+ , binomio cuadrado perfecto.
binomio al cubo, y además
.
e llas se observa como recurrencia lo siguiente:
eros términos tienen como exponente el mismo que el problema.
sminuye el de la otra aumenta.
ino del problema es negativo, los términos solución serán positivo y negativo
ente de forma alterna.
éricos de los términos varían.
n lo anterior, la solución de la multiplicación debe ser:
yxyxxxyx y ++++++ +=+ ληϕφδβα
Pero, ¿Cuáles son los valores numéricos de
• ( ) ( ) 322333 ó 322333 33 yxyxxyxyxyxxyx yy −+=−++=+ −+
• ( ) 43223444 46 yxyyxxxyx y ++ ++=+
Entr e
1. Los prim
2. Cuando el exponente de una variable di
3. Si un térm
respectivam
4. Los coeficientes num
Segú de ( )8yx +
( ) 876253443526788 yxyyxyxyx +
,,,,, y ληϕφδβα ?
s números son muy fáciles de conseguir con la ayuda del Triángulo de Pascal♣
l aremos la forma de construir este maravilloso triángulo.
Esto
Exp ic
♣ Pascal, Blaise : Matemático,físico , filósofo y escritor francés. Nació en Ferrand en 1623 y murió en París en 1662. Inventó la primera máquina de calcular, fue uno de los iniciadores del cálculo de la probabilidades y combinatorio, él llamaba a este triángulo el “ Triángulo Aritmético ” .
146
Primero constrúyase un triángulo donde los bordes sean solamente unos, así
1
1 1 1 1
Donde queden cuadros vacíos entre número y número se deberán sumar y ese resultado se
ajo de esa respectiva casilla. Por ejemplo:
1
colocará deb
1 .+ 1 1 .+ 2 .+ 1
Agregemósle más filas a este triángulo y complete las casillas según usted considere haga
falta algo. 1 1 .+ 1 1 .+ 2 .+ 1 1 .+ 3 .+ 1 .+ 1 .+ .+ 6 .+ .+ 1 4 1 .+ 5 .+ .+ 10 .+ 1.+ 5
A c tontinuación un riángulo de 10 filas,
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 1 4 1 5 10 10 1 5 1 6 15 20 6 1 15 7 21 35 35 7 1 1 21 1 8 28 56 70 8 1 56 28 1 36 84 126 126 84 36 9 1 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Los números de la fila 8 son los son los valores n ricos deumé ,,,,, y ληϕφδβα , así
s ltado de la multiplicación es: el re u ( )8yx +
147
( 2x + ) 8762534 5y +43526788 82867056 88 yxyyxyxxyxyxxxy y ++++++ += .
ociendo el Triángulo de Pascal y la recurrencia con los exponentes de las variables se
l rá el problema número 13, capítulo 2, ejer s 2.2.
Multiplique a
c ón:
Con
reso ve cicio
« ( ) 8 1+x
Solu i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8762534435261788 1181281561701561 288 1 +++++++ +=+x xxxxxxxx
d aparecía la variable “ y ” se colocó el valor de uno, luego Don e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 23456 1 78 1 1 8 1 28 1 56 1 70 1 56 1 288 +++++++ += xxxxxxxx )
828567056 288 ++++++ + xxxxxxx .
« Multiplique a
c ón:
12345678 += x
( ) 9 1−y
Solu i
lternan los signos y se utilizan los valores numéricos de la fila 9,
.
Para finalizar halle las siguientes multiplicaciones:
«
« y
«
Se a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9181712 3661384514 126415126316 84217 3618 99 −+−+−+−+−= yyyyyyyyy
12 363844 12651266 847 368 99 −+−+−+−+−= yyyyyyyyy
( ) 10 2−y
( ) 11 ba +
( ) 12 ba −
148
Hoja de respuestas
149
Capítulo 1
Conjuntos de ejercicios 1.1
1.
2.
3.
4. { } ,,,,,,,,,, uoihgfedcba
{ } , ea
{ } ,,,,, rñmlkh
{ } ,, hea
{ } ,,,,,,, hgfedcba 5.
6. Vacío
7.
8.
9.
10.
11.
13.
{ } ,,,,,,,,,,,,,,,,,, zqprñmlkuoihgfedcba
{ } / Zxx ∈
{ } ,,, dcba
{ } Táchira ULA.la de estudianteun es / xx
{ } Integral Básica de semestreprimer del estudianteun es / xx
AB ⊂
14. AB ⊂
15. BA ⊂
BA = 16.
BA ⊂ 17.
BA ⊂18.
Conjuntos de ejercicios 1.2
1. 1285
2. –50
3. 429
4. 158
5. 3
6. –1
7. – 6
8. 845
319
− 9.
10. 245
2996
11. 29
−
12. 660
162917
499
13. 32
14.
15. 54
187
16. 25
−
17. 57
128
18. 43
2516
− 19.
83 20.
83 21.
22. 1877−
58 23.
Conjuntos de ejercicios 1.3
1. 5000977135655,488 =
25100208,40 −=− 2.
150
500107219438,214 = 3.
2375,18 −=− 4.
5004103206,8 =5.
6. 8
97125,12 =
25
2344684,937 = 7.
8. 100448989,44 =
9. 200
1981905,9 −=−
10. 200
1241205,6 =
11. 254892,1 −=−
12. 2500
230092,0 −=−
13. 100
10282929,1028 −=−
14. 0
15.
16. 1
17.
∞
100
66828383,6682 −=−
19. 151.002
20. 24
21. 200
22. 1016
23. 3000
24. 55 millones
25. 119
26. 1058
27. 83
28. 1887
29. CXI
30. DI
31. XX
32. DCCLXXVI
33. CDXLIIDCXLV
DLXXIV 34.
35. MMCCCXLV
36. CMXCIXCMXCIX
DCLXVII CDXXV XLII 37.
X 38.
MMMCDXXXI 39.
40. VIII VII
CCCXCII− 41.
MCML 42.
43.
44.
45.
CCLXVI
MCCCXXXI
I
46. CXXV
47. CLI
48. MLX , MX
151
Conjuntos de ejercicios 1.4
1. 500
11627
2. 3
20960
=
3. 10000005212121
−
4. No se puede
5. 935
−
6. 9000
505001
7. 944
8. 3300
7
9. 1000999
−
10. 2
15
11. 4
11−
12. 33
828−
13. 8
1108
14. 67
4014−
15. 2
13
16. 2
11
17. 9
115−
18. 1297
19. 21
2085
20. 58
21. 2
11−
22. 951 )
951)
211
219) 51 ) >−<−−<−< dcba
23. 14 ) 14 ) 100 ) 1020 ) <−−>−>> dcba
24. 3 , 0.5 , 0.2301 , 0.230 , 0.20- , 93- ,
73- ,
43- , 3-
25. ( ) 8, −∞−
26. ( ) 0 , ∞−
27. ( ) 21.0 , −∞−
28. [ ) 3, ∞+
29. [ ] 9 , 7-
30. ( ] 5- , 12-
31. [ )3 , 3−
32. [ ) 10 , 6
33. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
47,
93-
34. ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ 2 ,
51
35. [ ] 0.1 , 0.1-
36. 73
21
<<− x
37. 120 <≤ x
38. 7.723.0 ≤≤ x
39. 6≤x
40. R
152
41. 62 ≤≤ x
42. ( ) [ ]402 ≤≤∪−< xx
43. { }00y 0 −=<< Rxx
44. 1020 ≤<− x
Conjuntos de ejercicios 1.5
1. 11
2. 35,13
3. 12
4. 0,05
5. 2,73
6. 1,42
7. 0,04
8. 111111
9. 11111
10. 1111
11. 111
12. 16, -16, 161
13. 8,81,
81
−
14. 1 ,1 , -1
15. –1, 1 , 1
16. 41
17. 51
18. –260
19. 3572134943
20. 51043,2 −×
21. 71045,3 ×−
22. 9101×
23. 310001,1 ×
24. 31006345,1 −×
25. 8103556,4 ×
26. 12102 −×
27. 16109,8 ×
28. 34560
29. – 0,056
30. 600000
31. 399990
32. 0,0000000015168
33. 906000000
34. 0,000000000040006
35. 0,0003456
36. 5110025,2 ×
37. 6103,2 ×
38. 261004,5 ×
39. 5102,2 −×−
40. 3102,1 −×
Capítulo 2
Conjuntos de ejercicios 2.1
1. Si, binomio de grado 5.
2. Si, binomio de grado 1.
3. Si, polinomio de grado 9.
4. Si, trinomio de grado 5.
5. No.
6. Si, binomio de grado 4.
7. No.
8. xxxx 1238,7213 3511 +−+
153
9. 589 3453 xxx +−
10. 83313,239 234567 ++−−++−− yyyyyyy
11. Según x , yxxyyxyxxy +++−− 4223256 33,43 y según y ,
yxyxyxxyxy ++−+− 2232456 3,433 .
12. Según x , 765243342567 8765432 yxyyxyxyxyxyxx +−+−+−+ y según y,
765243342567 2345678 xyxxyxyxyxyxyy ++−+−+− .
13. wxyx 1262 2 ++
14. 32 043,626,0 qpqp ++−
15. 213
29511 22 +−+ xyxyyx
16. uuu 513,3423 34 −−−
17. δβα 97,31013
1167
+−
18. 2103104 223 ++−+ xyxyyxx
19. puupuppu 223 86,525
746
++−
20. 28,435,2 23 −−+− kkk
21. 444310
526 23 −+−− xxx
22. 621 yy +−
23. Existen infinitas soluciones.
24. Existen infinitas soluciones.
25. Existen infinitas soluciones.
26. 7188,64
529 23 +++ yyy
Conjuntos de ejercicios 2.2
1. 9
5 4 yx−
2. 3
2 989 pty
3. 47 525 wh
4. 59,03,1319,3 23 −+ xx
5. yuyuyuuy 1782 13010 364255 +−+−
6. 455482 21
21 hwhwwh +−
7. 824 235 +++ xxx
8. 2 2 22 +− xx
9. uuuu 12 3 12 3 234 −++−
10. 27279 23 +++ xxx
11. 273
24832 xxx −+−
154
12. 21699221
219 234 −++− pppp
13. 1 8 28 56 70 56 28 8 2345678 ++++++++ xxxxxxxx
14. 1024512021152031536041344058064633607960818092010 +−+−+−+−+− yyyyyyyyyy
15. 22 2 baba ++
16. 22 2 baba +−
17. 22 ba −
18. 33 ba +
19. 33 ba −
20. 6424261111xyxxyy
−−+
21. 1211- )
41 ) 27 ) cba −
22. 9601 )
41 ) ed
23. 63 +x
24. 93 −− y
25. 54
+− x
26. x
x 1536 2 +−
27. 2129 wzw +
28. p
pp11
1221
1123 2 −−−
29. 132 2 −+ xx
30. 932 ++ xx
31. 1
8572−
+++y
yy
32. 12
222 2−
−−+j
jj
33. 322
54
263
abbababba
−
++−
34. 2512
37
328
31
2 +−−
−+
xx
x
35. 33,022314
3405,028,023,015,0201,0307,045,0−−
−−+++−+
xx
xxxxxx
36. 1224
21
14222534182244
−−
+−+++++
ff
ffffff
37. 22 964 yxyx +−
38. 4224 42 ppaa +−
39. 236 ++ nm
155
40. kkkkkk 4644144212 23457 −+−+−
41. b3−
Conjuntos de ejercicios 2.3
1. ( )bb 511 5 3 −
2. 2
212
212
212 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − xxx
3. ( )bccb 34 6 3 −
4. ( )uppu +2 9
5. ( ) ( )12 34 +− xx
6. ( )353224 9 430 2 yxxyyx −+
7. ( ) ( )7 7 +− xx
8. ( ) ( )3 5 +− xx
9. ( ) ( )23 1 ++ xy
10. ( ) ( )yxyx 54 23 +−
11. ( ) ( )yxyx 4 5 +−
12. ( ) ( )mpmp 23 3 +−
13. ( ) ( )12 −− aba
14. ( ) ( )1 1 −+ ba
15. ( ) ( )2 3 −− xx
16. ( ) ( )2 5 ++ yy
17. ( ) ( )4 6 −− xx
18. ( )( )3 7 22 ++ yy
19. ( ) ( )6 2 +− xx
20. ( ) ( )yxyx +− 2
21. ( ) ( )yxyx −− 3
22. ( )( )32 45 22 −− bb
23. ( ) ( ) ( )yxyx 3 43 1 +−−
24. ( )( ) ( )2323232 +=++ xxx
25. ( ) ( )yxyx 65 310 +−
26. ( ) ( )7 38 −+ xx
27. ( ) ( )5 3 34 −− rr
28. ( )( ) ( )2525252 −=−− kkk
29. ( ) ( )yxyx 25 49 ++
30. ( ) ( )2 47 +− yy
31. ( ) ( )1 23 −− xx
32. ( ) ( ) ( )43 43 1 ++− uu
33. ( ) ( )56 56 −+ yy
34. ( ) ( )baba 2 2 −+
35. ( ) ( )12 12 −+ abab
36. ( ) ( )yxyx 87 87 −+
37. ( ) ( ) ( )wuwuwu −++ 22
38. ( )( ) 422422 yyxxyx +−+
39. ( )( )( ) ( )1 1 1 1 22 +−+−++ yyyyyy
40. ( ) ( )ptpt 56 56 +−
41. ( )( )pgpg 8 8 22 −−
42. ( )4223 2 8 yxyx +−
43. ( ) ( )5 5 −+ ggg
44. ( )( )( )( ) ( )1 1 11 1 248 +−+++ ttttt
156
45. ( )( ) 749 7 6323 hwhwhw +−+
46. ( )( ) 416 4 4222 hwhwhw ++−
47. ( ) ( ) 91216 34 2 +−+ www
48. ( )( ) 93 3 2242 mmyymy ++−
49. ( )( ) 253036 56 2423 +−+ nnnn
50. ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
21212122
12 22 yyxxyx
51. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−+−−+
2242424224 yyxxxyxy
52. ( ) ( )22 ó yxxy −−
53. ( ) ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+
2212121221 yyxxxyxy
54. ( )( )( ) ( )1 2 42212 −++−++ xxxxxx
55. ( )( )1 6 55 +− aa
56. ( ) ( )2 3 −− xx
57. 2
3752
375⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− xx
58. ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
61 1 xx
59. 6
19716
1971⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−− xx
60. ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
53 1 xx
61. 2
1122
112 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− xx
62. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
43
35 rr
63. ( ) ( )2 5 ++ yy
Conjuntos de ejercicios 2.4
1. 4
9 353 yba
2. axy
52
3. bxya
1415
−
4. 25
5
3 2yxba
5. zcbayx
732
4
23−
6. ( )16 711 yxax +
−
157
7. 53
42 zayx
8. 2
4+x
9. 3−
10. 7112
−−
xx
11. 1
1+x
12. 23
1+x
13. ( ) ( )4 412
−+−
yyy
14. 2
1+z
15. 1234
−+
ff
16. ( ) ( )2 483−−
−aa
a
17. ( ) ( )2 44
−+ xxx
18. ( )( ) ( )( )21 14
4 +++
+yyy
yy
19. ( )( ) ( ) ( )8 3 4
7 +−+
+xxx
xx
20. ( ) ( )32 1256
−+−
xxx
21. 1
4−x
22. 14
3−x
23. 34
6−t
24. 12
5+t
25. 23
5−k
26. 34
7+x
27. 14
6−x
28. 1
29. yx
yx523
−+
30. 233
++
xx
31. 86
−−
xx
32. 1−x
x
33. ( )( )25 42 ++ aaa
34. ( )( ) 6
3 2−+−+
yxyx
35. 1
36. ( )( ) 2 3
3 +−+−
yxyx
37. ( ) ( )( ) ( ) 3 2
1 3 2
2
−+
−−
aaaa
38. 1443
−−
xx
Conjuntos de ejercicios 2.5
1. ( ) ( )3 138
−−−
xxx
2. ( ) ( )3 25
+− xxx
3. ( ) ( )23 1214
+− xxx
4. 9423
++
pp
5. 8394
−+
pp
6. ( ) ( )( ) ( ) ( ) 45 610
32 35 2
22
+−−
−+
yyyyy
7. 12 +x
x
8. 32 +x
9. ( )3 +xx
10. 1423
+−
xx
11. 5232
+−
xx
12. 1232
+−
xx
158
13. 6
312yx
14. 235w
15. 1213
−−
ww
16. w
wp −
17. ab +
18. 14
++
xx
19. 522
−−
xx
20. 14
42 +
−a
a
21. 1
22. ó 3
922
++−
yyy
22. ( )( )( ) 2793
923323
2
−−+
+−−+
yyyyyyy
23. 2
24. ( )( )( )( )
43511
−+++
pppp
25. 4+p
159
BIBLIOGRAFIA
ALLENDOERFER Carl y OAKLEY Cletus .(1978). Fundamentos de Matemática Universitaria. Ediciones McGrawHill. Tercera Edición. México.
ALLEN, Angel. (1994). Álgebra Elemental. Ediciones Prentice Hall. Tercera Edición. México.
DE OTEYZA, Elena y otros. (1996). Álgebra. Primera Edición. Ediciones Prentice Hall. México.
FLEMING Walter y VARBERG Dale. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Tercera Edición. Ediciones Prentice Hall. México.
GARDNER, Martín. (2000). Los Mágicos Números del Doctor Matriz. Editorial Gedisa.Tercera reimpresión.Barcelona.
GOBRAN, Alfonse. (1990). Álgebra elemental. Grupo Editorial Iberoamérica. México.
Instituto Universitario de Mejoramiento Profesional del Magisterio. (1983). Manual del Estudiante. Modulo “Lógica Moderna ”. Caracas.
REY Pastor J. y BABINI José. (1997). Historia de la Matemática. Editorial Gedisa. Segunda Edición. Volumen 1 y 2. Barcelona.
ROJAS, Lucas. (1987).Polinomios y Razonamiento. Editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de los Andes. Mérida.
SÁNCHEZ, Alfonso. (1998). Lógica de Proposiciones y Teoría de Conjuntos. Trabajo mimeográfico.
SEITER, Charles. (1996). Matemática de uso Diario para DUMMIES. Grupo Editorial Norma. Bogotá.
SWOKOWSKI Earl y COLE Jeffery. (1996). Álgebra y Trigonometría. Tercera Edición.Grupo Editorial Iberoamericana. México.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL). (1985). Matemática I, Fascículo 1 al 4. Caracas.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) y Universidad Nacional Abierta (UNA). (1986). Matemática II, Fascículo 1. Caracas.