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ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 4
1. Hallar X para que A.X sea igual que X.A, siendo
21
11A
AX=XA
db
baX
bdcdb
dcadcca
dabbadb
bcbaca
dcdc
baba
dbca
dbca
dc
ba
dc
ba
022
032
032
2
2
2221
11..
21
11
2. Probar si el producto de estas dos matrices es conmutativo:
A=
32
11B=
22
10
BAAB
82
32
32
11.
22
10
46
32
)2.(31.23.20.2
)2.(11.12).1(0.1
En general el producto de matrices no es conmutativo. AB≠BA
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 5
3. Resolver el sistema por reducción: 2A+B=
012
221A-3B=
101
234
A-3B=
101
234(-2) -2A+6B=
202´
468
2A+B=
012
221Sumo
7B=
210
689 B = 1/7.
7
2
7
10
7
6
7
8
7
9
210
689
71
73
1
74
73
71
76
73
0
718
724
727
71
73
1
234
72
71
0
76
78
79
3101
234
A
AA
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 6
4. Calcular la inversa de
10
1 n
10
01
10
01.
10
1
dc
ndbnca
dc
ban
1
0
0
1
d
ndb
c
nca
10
11 nA
5. Hallar nB si:
111
111
111
B
333
333
333
111
111
111
.
111
111
1112B
222
222
222
3
333
333
333
999
999
999
111
111
111
.
333
333
333
B
333
333
333
4
333
333
333
272727
272727
272727
111
111
111
.
999
999
999
B
111
111
111
333
333
333
nnn
nnn
nnn
nB
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 7
6. Hallar la inversa usando adjuntos de la matriz A =
211
310
121
Primero hago el determinante de la matriz A utilizando la regla de Sarrus (mirar la regla en “Determinantespor adjuntos y propiedades”) para los determinantes de 3x3:
A =
211
310
121
= 2 -6 +0 –( +1 +3 +0) = 2 -6 +0 -1 -3 -0 = -8
En segundo lugar hago la traspuesta de la matriz A (cambiando las filas por las columnas)A
231
112
101T
8
1
8
3
8
18
3
8
1
8
38
7
8
5
8
1
8
1
8
3
8
18
3
8
1
8
38
7
8
5
8
1
8
12
01
8
12
11
8
11
108
31
01
8
21
11
8
23
108
31
12
8
31
12
8
23
11
1A
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 8
7. Resolver: AX + B = 2C
Este caso se puede hacer despejando porque A tiene inversa o inventando una matriz
A =
11
02B =
121
013C =
100
2142.C =
200
428
AX + B = 2C32200
428
121
013.
11
02
xfed
cba
A.X =
fcebda
cba
fcebda
fcebda 222
111111
.0.2.0.2.0.2
A.X + B = 2C =
121
013222
fcebda
cba
200
428
121
435222
fcebda
cba
1
2/12/3
2
2/3
2/5
1
2
1
42
32
52
f
ed
c
b
a
fc
cb
da
c
b
a
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
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8. Resolver la siguiente ecuación: A·X+X=B mediante Gauss, siendo
12
11A
32
10B
3:26:121
13121
1
1130
1206
1130
0336
1020
0112
1022
0112)(
.)(22
12
10
01.
12
11
).(
ffff
fffIA
BIAXIA
BXIA
3
13
1106
13
101
31
31
61
31
)( 1IA
3
23
26
53
1
32
10.
31
31
61
31
X
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 10
9. Resolver la ecuación A+BX=I, siendo:
321
012
101
A
231
101
021
B
221
002
102
321
012
101
100
010
001
)(
)(1
AI
AIBX
Inversa de B: 1
231
101
021
B
210
302
111TB
253
121
2431B
1414
125
1412
221
002
102
.
253
121
243
X
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 11
10. Resuelve la ecuación matricial X.A+AT=X.B,
siendo:
101
110
001
A
1123
1121
1023
B
0125
0021
1021
B-AdeinversalaCalculamos
:Despejamos 1BAAX T
2
1
0125
0021
1021
tedeterminanelCalculamos
BA
161
150
011
011
150
020
.
110
010
101
X
011
150
020
B)(A
001
1002
52
12
1
BAtraspuestaLa 1T
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 12
11. Hallar x para que AX=XA siendo
24
01A
dad
aX
bbddb
adcbccabcca
bbb
bbaa
dbc
bba
dc
baAX
dbca
ba
dc
baXA
44
0
004224
440424424
02
04
24
24
24
01..
2424.
24
01.
12. Hallar AA 22
cb
aA
0
cb
aA
cbcb
acb
aAAA
22
0220.
0.
2
22
cb
a
cbcab
aAA
22
02.02
2
22
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 13
2,00)2(022
2
00
2,00)2(022
22
22
cccccccc
bbcab
aaaaaaaa
La tercera ecuación no la hemos usado por lo que miro si las soluciones la verifican:
00224222
2,2)4
22
0,2)3
22
2,0)2
0200
0,0)1
bbbbbbb
ca
bb
ca
bb
ca
bb
ca
2
00)2
00
00)1
b
20
02)4
0
02)3
b
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 14
13. Halla X para B.X = X.B
30
01B
d
aX
dd
cccc
bbbb
aa
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
baB
0
0
0033
0023
0023
00
3
3
33
30
01..
30
01
30
01
14. Halla la X, despejando, mediante la matriz inversa: BAXA 2
002
020
200
A
300
030
003
B
)( 2122 ABAXABXABAXA
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 15
400
040
004
002
020
200
002
020
2002A
100
010
001
400
040
004
300
030
0032AB 8
200
020
0021 AA
002
020
200TA
002
1
02
10
2
100
20
00
00
20
02
2002
00
02
20
00
2002
20
02
00
00
02
8
11A
100
010
001
002
1
02
10
2
100
X
002
1
02
10
2
100
X
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 16
15. Hallar X despejando BXXA · A =
10
21B =
11
21
BXIABXXA )(· BIAX 1)( !!!ojo al orden!!!
DERECHALAPORCOMÚNFACTORSACASEX
XXIRECUERDA ·
A + I =
20
22
10
01
10
21
2/10
2/12/1
2/10
2/12/1
10
01
10
11
20
02
10
01
20
22
1
2:22:121
1
IA
IA
ffff
2/12/1
2/30
11
30
2
1
11
21
10
11
11
21
2/10
2/12/1X
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 17
16. Despejar B con la inversa: A. B = I siendo A=
31
21
La inversa es 1 AB
10
01.
31
21
dc
ba
Calculamos la inversa inventándonos que suponemos
dc
ba
10
01
33
22
3131
2121
dbca
dbca
dbca
dbca
5
115
03
12
Ccca
ca
5
33 Aac
5
115
13
02
Dddb
db
5
22 Bdb
5
1
5
15
2
5
31A
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 18
Por el método de Gauss
Transformaciones:
Multiplicar o dividir una fila por un número. Restar o sumar filas. Si puedo cambiar filas entre sí. No puedo operar columnas. Se intenta conseguir primero los ceros en forma de diagonal.
A . B = I
31
21A
5
1
5
15
2
5
3
5
2
5
110
5
2
5
301
22100
2305
22100
05105
1150
0121
1031
0121
1
5:1
)10(:2
2151
)2(212
A
f
f
ffxf
xfff
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 19
17. Resolver por Gauss
11
32A
A. B = I
21
31
3
6
3
310
2
6
2
201
6330
6202
6330
0132
2110
0132
2022
0132
1011
0132
12:1
)3(:2
21)3.(21222
Af
f
ffffff
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 20
18. Resolver AB = BA (no se puede despejar):
21
11A
cbdcdb
dbabadb
dcadcca
bcbaca
dcdc
baba
dbca
dbca
dc
ba
dc
ba
22
02
02
2
2
2221
11..
21
11
AB
BA
Ejemplobdb
baB
.85
53
21
11.
32
21
.85
53
32
21.
21
11
.
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 21
19. Inversa por Gauss:
010
101
011
A
111
100
101
111100
100010
101001
111100
100010
101001
111100
100110
001011
111100
011110
001011
100010
011110
001011
100010
010101
001011
1
)1(21
3223121
A
A
ff
ffffff
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 22
Método de adjuntos:
1- Primero se hace el determinante de la matriz A.2- Se realiza la traspuesta, es decir, invertir las filas por las columnas.3- Por ultimo se divide el adjunto de cada término de la matriz transpuesta entre el determinante de A.
1
010
101
011
A
010
101
011TA
111
100
101
1
01
11
1
11
01
1
10
011
10
11
1
00
01
1
01
011
10
01
1
00
11
1
01
10
1A
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 23
20. Resolver la siguiente ecuación: A·X+X=B mediante Gauss, siendo
12
11A
32
10B
3:26:121
13121
1
1130
1206
1130
0336
1020
0112
1022
0112)(
.)(22
12
10
01.
12
11
).(
ffff
fffIA
BIAXIA
BXIA
3
13
1106
13
101
31
31
61
31
)( 1IA
3
23
26
53
1
32
10.
31
31
61
31
X
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 24
21. Resolver la ecuación A+BX=I, siendo:
321
012
101
A
231
101
021
B
221
002
102
321
012
101
100
010
001
)(
)(1
AI
AIBX
Inversa de B: 1
231
101
021
B
210
302
111TB
253
121
2431B
1414
125
1412
221
002
102
.
253
121
243
X
ÁLGEBRA-EJERCICIOS DE MATRICES
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009 25
22. Resuelve la ecuación matricial X.A+AT=X.B,
siendo:
101
110
001
A
1123
1121
1023
B
0125
0021
1021
B-AdeinversalaCalculamosº1
:Despejamos 1BAAX T
2
1
0125
0021
1021
BA
161
150
011
011
150
020
.
110
010
101
X
011
150
020
B)(A
001
1002
52
12
1
BA 1T