LezionidiScienz - Parte prima.pdf¢  INDICE 11.3.3 La direzione della tensione tangenziale massima

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  • Lezioni di Scienza delle Costruzioni

    Claudio Franciosi

    30 luglio 2018

  • 2 Lezioni di Scienza delle Costruzioni

  • Indice

    Prefazione xxi

    Introduzione xxiii

    Colophon xxvii

    1 La cinematica del corpo rigido 1

    1.1 Configurazioni e vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Le coordinate Lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 L’ipotesi di piccoli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 L’ipotesi di rigidità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Sistemi di punti con vincoli di rigidità . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Il corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 I vincoli 11

    2.1 I vincoli piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 I vincoli semplici e la loro rappresentazione meccanica . . 11 2.1.2 I vincoli doppi e la loro rappresentazione meccanica . . . 12 2.1.3 I vincoli tripli e la loro rappresentazione meccanica . . . . 13 2.1.4 Sul doppio bipendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.2 Le reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3 La statica del corpo rigido 17

    3.1 Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Le equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Le reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    4 I vincoli interni 21

    4.1 Il solido monodimensionale, o trave . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 La cinematica dei vincoli interni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.2.1 Vincoli semplici (sconnessioni doppie) . . . . . . . . . . . 22 4.2.2 Vincoli doppi (sconnessioni semplici) . . . . . . . . . . . . 23

    4.3 La statica dei vincoli interni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5 Analisi cinematica 27

    5.1 La classificazione cinematica delle strutture . . . . . . . . . . . . 27

    Lezioni di Scienza delle Costruzioni i

  • INDICE

    5.2 Esempi ad una singola trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.3 Un esempio più complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    6 Analisi statica 33

    6.1 La classificazione statica delle strutture . . . . . . . . . . . . . . 33 6.2 La scrittura delle equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3 Un esempio più complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    7 Il concetto di tensione 39

    7.1 Il concetto di materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.1.1 I primi tentativi di formalizzazione . . . . . . . . . . . . . 40 7.1.2 La teoria molecolare di Navier-Cauchy . . . . . . . . . . . 41 7.1.3 La teoria energetica di George Green . . . . . . . . . . . . 42

    7.2 La nozione di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.2.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    7.3 L’assioma di separazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.4 La definizione del solido di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.5 Componenti normali e tangenziali di tensione . . . . . . . . . . . 48 7.6 Componenti speciali di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.7 Riflessioni critiche sul concetto di tensione . . . . . . . . . . . . . 50 7.8 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    8 Il teorema di Cauchy–Poisson 53

    8.1 Il tetraedro elementare e le forze su esso agenti . . . . . . . . . . 53 8.2 Le tensioni normali e tangenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    9 Le equazioni indefinite di equilibrio 61

    9.1 Le forze agenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9.2 Le equazioni di equilibrio alla traslazione . . . . . . . . . . . . . . 63 9.3 Le equazioni di equilibrio alla rotazione . . . . . . . . . . . . . . 63 9.4 La notazione matriciale ed indiciale . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.5 Un approccio alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    10 Tensioni e direzioni principali 67

    10.1 Tensioni normali e tangenziali, rivisitate . . . . . . . . . . . . . . 67 10.2 La ricerca della massima e minima tensione normale . . . . . . . 68 10.3 Le tensioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 10.4 Le direzioni principali di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    11 Le tensioni tangenziali 75

    11.1 Il teorema di Cauchy–Poisson rivisitato . . . . . . . . . . . . . . 75 11.2 L’ellissoide delle tensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11.3 La ricerca della massima e minima tensione tangenziale . . . . . 77

    11.3.1 L’intensità della tensione tangenziale massima . . . . . . 79 11.3.2 La tensione normale associata alla massima tensione tan-

    genziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    ii Lezioni di Scienza delle Costruzioni

  • INDICE

    11.3.3 La direzione della tensione tangenziale massima . . . . . . 79

    12 I cerchi di Mohr 81

    12.1 La convenzione sui segni di Otto Mohr . . . . . . . . . . . . . . . 82 12.2 Il teorema di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 12.3 L’utilizzo del cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    12.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 12.4 Tensioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    13 Il gradiente di deformazione 93

    13.1 Gradiente di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 13.2 Gradiente di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 13.3 Allungamenti percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 13.4 Variazione di angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    14 Il tensore di Green-Lagrange 101

    14.1 Il tensore di Green–Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 14.2 Gli allungamenti percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 14.3 Definizione di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 14.4 Le componenti normali di deformazione . . . . . . . . . . . . . . 104 14.5 Gli angoli taglianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 14.6 Le deformazioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 14.7 La ricerca delle direzioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    15 La teoria lineare 109

    15.1 L’ipotesi di piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 15.2 Piccoli gradienti di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 15.3 La decomposizione dello spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    15.3.1 La rotazione rigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 15.3.2 La deformazione pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    15.4 L’interpretazione fisica delle direzioni principali di deformazione . 113 15.5 Le condizioni di compatibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 15.6 Le identità di Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    16 Le relazioni costitutive 119

    16.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 16.2 La legge di Hooke e la risposta elastica . . . . . . . . . . . . . . . 120 16.3 L’ipotesi molecolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 16.4 L’ipotesi di George Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 16.5 Il materiale linearmente elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 16.6 Il potenziale elastico e la linearità elastica . . . . . . . . . . . . . 128

    17 Il solido anisotropo 131

    17.1 I materiali monoclini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 17.2 I materiali ortotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 17.3 I materiali trasversalmente isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    Lezioni di Scienza delle Costruzioni iii

  • INDICE

    17.4 I materiali isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 17.5 Le costanti ingegneristiche per i materiali anisotropi . . . . . . . 141

    18 Il solido isotropo 145

    18.1 Legge di Hooke per materiale isotropo . . . . . . . . . . . . . . . 145 18.2 Modulo di Young e coefficiente di Poisson . . . . . . . . . . . . . 148 18.3 Relazione tra i moduli di Lamè ed i moduli ingegneristici . . . . 150 18.4 Limitazioni sulle costanti elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    19 L’equilibrio elastico 153

    19.1 I problemi ai limiti dell’elasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 19.2 Le equazioni di Navier–Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    19.2.1 Le equazioni di Navier–Cauchy in notazione matriciale . . 155 19.3 Il principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 19.4 Il principio di unicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    20 Stati piani di tensione e spostamento 159

    20.1 Stati monoassiali di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 20.2 Stati monoassiali di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 20.3 Stato piano di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 20.4 Stato piano di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 20.5 Gli stati piani e la funzione di tensione . . . . . . . . . . . . . . . 166

    20.5.1 Gli stati piani di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 20.5.2 Gli stati piani di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . 168 20.5.3 La funzione di Airy nel caso di forze di massa nulle . . . . 169 20.5.4 Il caso della lastra rettangolare . . . . . . . . . . . .