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LEZIONE N° 4 – STATO LIMITE ULTIMO PER TORSIONE
• Posizione del problema• La torsione di travi in c.a - I° stadio: il comportamento elastico
– la torsione nelle sezioni monoconnesse – La torsione nelle sezioni biconnesse
• La torsione di travi in c.a - III° stadio: SLU– quadro fessurativo di una trave in c.a. soggetta a torsione– Il modello a traliccio– Il progetto delle armature longitudinali– Il progetto delle armature trasversali
• Indicazioni normative– Le prescrizioni del D.M. 14.09.05– Le prescrizioni dell’Eurocodice EC2
• La contemporanea presenza di Torsione e taglio• Esempio: calcolo dell’armatura a torsione di una trave di un solaio con
balcone a sbalzo
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)
Le azioni torcenti sono presenti in molte situazioni strutturali essendo i carichi difficilmente applicati al centro di taglio della trave. Tuttavia, nella pratica progettuale esse vengono in genere trascurate sia perché le strutture sono normalmente considerate piane, sia perché in effetti, a parte casi particolari, esse non producono rilevanti effetti indesiderati.
Torsione Primaria(Balconi, Scale, etc.)
Torsione Secondaria
Mt
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)
Il comportamento di travi in calcestruzzo soggette a torsione è molto differente al variare del livello di sollecitazione. Per bassi livelli di sollecitazione la trave si comporta con buona approssimazione come una trave di De Saint-Venant, dunque con sezione interamente reagente (I° Stadio). Al crescere del momento torcente la trave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza torsionale. La resistenza della trave allo stato limite ultimo è fornita da una parte limitata della sezione e dalle armature presenti.
I° Stadio III° Stadio
Mt crescente
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
La torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Al I° stadio la trave si comporta approssimativamente come una trave di De Saint-Venant soggetta a Momento Torcente. Le tensioni tangenziali presentano un andamento lineare che si annulla a metà dello spessore.
hb
M2
tmax
3b/h
79.41b/h
And
amen
to d
elle
tens
ioni
tang
enzi
ali
hGbM
K 3tt
3/1b/h
41.01b/h
Tensioni Tangenziali
Rigidezza Torsionale
Angolo di torsione: Rotazione tra due sezioni a distanza unitaria
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Nelle travi con sezione decomponibile in più rettangoli, il momento torcente agente nei singoli rettangoli si valuta in proporzione alla rigidezza torsionale dei rettangoli stessi.
i2
i
tiiimax,
hb
M
i
ti
titti K
KMM
Momento Torcente e tensioni tangenziali nel rettangolo i-mo
Mt1
Mt2
Mt3
N.B. il procedimento per la valutazione dei singoli momenti torcenti Mti è in realtà esatta solo per h/b=, ma può essere accettata con tollerabile approssimazione anche in sezioni con spessore non trascurabile.
max,i
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI CAVE (VALUTAZOINE TENSIONI TANGENZIALI)Nelle travi a sezione cava le relazioni precedenti non sono applicabili. Per sezioni di piccolo spessore esiste una teoria approssimata dovuta a Bredt che permette di valutare la tensione media lungo lo spessore.
La forza elementare agente sul tratto di sezione di lunghezza ds risulta essere pari a:
dshdsqdF Il momento esterno Mt dovrà essere equilibrato dalla somma dei momenti che le forze dF hanno rispetto al baricentro della sezione:
q2rdsqrdsqqdsrM t
h2
M t
Formula
di Bredtse h=cost
Costanza flusso delle tensioni
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)
SEZIONI CAVE (VALUTAZIONE RIGIDEZZA TORSIONALE)La rigidezza torsionale di travi cave di piccolo spessore si può trovare facilmente utilizzando il principio di conservazione dell’energia. Uguagliando infatti l’energia di deformazione al lavoro delle forze esterne si ha:
te M2
1L
Lavoro Esterno
dVLi 21
Energia di deformazione
ei LL dVMt 21
21
Ponendo)1(2
EG
G
t
2
t K
hds
G4M
Rigidezza Torsionale
h2
M t
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
(Teoremadi Clapeyron)
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
LINEE ISOSTATICHE DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE
Mt
Fessura
Le linee isostatiche di una trave cava soggetta a momento torcente sono quelle schematicamente indicate nella figura in basso.
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
Riferimento principale
Elementoinfinitesimo
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
STATO FESSURATIVO E MODELLO A TRALICCIO
Nel momento in cui la trave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce solo parzialmente alla sollecitazione. Allo stato limite ultimo è ragionevole adottare un modello a traliccio, considerando come parte reagente della sezione una sezione cava di spessore h. L’andamento delle linee isostatiche prima illustrato suggerisce il modello indicato in figura costituito da bielle compresse di cls e bielle tese rappresentate dall’armatura in ognuna delle quattro facce esterne. Questi quattro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediante armature longitudinali.
h
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TRALICCIODI RAUSCH
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
CALCOLO ARMATURE LONGITUDINALI
Considerata un porzione della sezione di lunghezza unitaria la forza su di esse (scorrimento) vale h dove h è lo spessore della sezione tubolare. Per l‘equilibrio questa forza si scompone in una forza nell’armatura long. (F l) e un’altra nella biella compressa (C). La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componente orizzontale equilibrata dall’armatura longitudinale.
sin2
M
sin
1hC t
tan2
M
tan
1hF t
1l
yd
t
yd
1ll ftan2
pM
f
pFA
p = perimetro sezione tubolare
1.0<cot<2.0
d
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
Armatura Longitudinale
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI
La componente verticale deve essere invece equilibrata da un’armatura trasversale (staffe)
2
MsinCF t
st
d2
MfAn t
ydst,1st
s
cotdn st
2lst tanp
A
s
A
N° staffe intercettare da una biella di cls
tan
p
fA2M ydl
t
tanf2
M
cotd
An
s
A
yd
tst,1stst
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Armatura Trasversale
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
CALCOLO ARMATURE A TORSIONE
2lst tanp
A
s
A
Fissato l’angolo e determinata la quantità di armatura longitudinale Al si può determinare l’area delle staffe per unità di lunghezza della trave. In alternativa, fissata l’armatura trasversale e l’angolo di inclinazione delle fessure si può valutare l’armatura longitudinale. Se poi si valutano indipendentemente armatura longitudinale e trasversale si può ricavare il valore dell’angolo di inclinazione delle bielle
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
VERIFICA BIELLE COMPRESSE
La forza di compressione C deve essere compatibile con la resistenza del cls. In particolare la tensione nella biella di cls compresa tra due fessure a distanza unitaria, la cui area resistente è pari a A=1 x h x cos
2sinh
M
A
C tc
Se = 45°
h
M
A
C tc
2sin, hfM cdCtu
Momento ultimo per schiacciamento delle bielle di cls
cos
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hfM cdC,tu
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
RIFERIMENTI NORMATIVI (EUROCODICE 2)L’eurocodice impone che lo spessore sia pari al rapporto tra l’area racchiusa dal perimetro esterno e il perimetro esterno p stesso.
p
Ah A = area racchiusa dal perimetro esterno p
A
hL’EC2 impone inoltre che per la verifica delle bielle compresse la resistenza a compressione del cls sia ridotta del fattore
35.0200
f7.07.0 ck
Nelle travi a a cassone se le staffe sono disposte su entrambe le facce può essere 0.5
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
Il valore minino di h = 2 c con c=copriferro
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE
Nella maggior parte dei casi gli elementi strutturali sottoposti a torsione sono anche in genere sottoposti anche a taglio. Si pensi ad esempio ad una trave che garantisca l’equilibrio dell’aggetto di un balcone e contemporaneamente garantisca l’equilibrio ai carichi verticali rappresentati dal peso del solaio e della tamponatura, oltre che al preso proprio. La contemporanea azione di taglio e
torsione produce un certo grado di interazione tra le due sollecitazione che tuttavia nella pratica progettuale si ritiene opportuno trascurare. Le armature così calcolate si sommano semplicemente. Occorre però verificare la seguente condizione (Ec2)
122
u
d
tu
td
VV
MM Mtu = momento torcente ultimo
Vu = Taglio ultimo
Mtd
Vd (Taglio di calcolo)
(Momento torcente di calcolo)
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)
LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE (EC2)
122
u
d
tu
td
VV
MM
Mtu = momento torcente ultimo per crisi del cls
Vu = Taglio ultimo per crisi del cls
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
2sinhfM cdtu
dbfV cdu 9.05.0
35.0200
f7.07.0 ck
Vu = Fattore di riduzione della resistenza
a compressione