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Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
LEZIONE N° 10 – IL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSOPRECOMPRESSO
• DISPOSIZIONE DEI CAVI– Generalità– I concetti di momento utile e momento utile aggiunto– Il fuso del cavo risultante– Definizione dei punti limite inferiore e superiore– Il fuso di Guyon
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08
LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
(GENERALITA’)
Nelle strutture inflesse l’andamento dei cavi di precompressione deve essere progettato inmodo da contrastare efficacemente le azioni flessionali esterne sia in fase iniziale che diesercizio. A tale scopo di consideri la trave semplicemente appoggiata di figura nella qualeper semplicità sia presente un solo cavo di precompressione con configurazione rettilineapassante per il punto di nocciolo inferiore ci della trave (considerata a sezione costante).In assenza di carichi esterni la sezione di mezzeria risulta interamente compressa con l’assepneutro passante per il lembo superiore della trave.Nel caso di precompressione totale, all’atto dell’azione dei carichi esterni la situazione idealeè quella per cui lo sforzo di precompressione N in presenza del momento esterno si spostafino al punto di nocciolo superiore ce. In tal modo la sezione risulterebbe ancorap p einteramente compressa con asse neutro passante per il lembo inferiore.
Stato tensionale in mezzeria
ds
di
cs
ci
Retta limite superiore
Retta limite inferiore
Solo precomp. Precomp.+carichi est.
ci Retta limite inferiore
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
(GENERALITA’)
Per il caso appena esaminato man mano che ci si avvicina agli appoggi il momentodiminuisce fino ad annullarsi nelle sezioni terminali, nelle quali quindi potrebbero nascere, in, q q p ,presenza di precompressione, tensioni di trazioni elevate. Per ovviare a tale inconveniente sipotrebbe pensare di variare il tracciato dei cavi in modo tale che ogni sezione, all’attodell’applicazione dei carichi esterni, risulti interamente compressa. Per una trave a sezionecostante tale condizione si esprime semplicemente (ad es. per lungo termine) :p p ( p g )
[ ] ss dN
)x(M)x(eNd)x(e)x(M −=→+=
Utilizzando tale tracciato, all’attodella applicazione dei sovraccarichi,il centro di pressione nella genericasezione cade sempre nel punto diN sezione cade sempre nel punto dinocciolo superiore.Ad esempio, l’eccentricità del cavoall’appoggio, pari a –ds, garantiscela totale compressione anche nella
ds
la totale compressione anche nellasezione di estremità. Se N e dssono costanti e il carico è costanteil diagramma dei momenti eparabolico così come il diagramma
e(x)
cs
ci parabolico così come il diagrammadelle eccentrictà e(x).x
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LA DISPOSIZIONE DEI CAVI NELLE TRAVI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
(MOMENTO UTILE)
[ ]NddM +=Il momento flettente Mu è detto momento utile della sezione. Unasezione è considerata ben progettata se il massimo momento dovuto[ ]NddM siu += sezione è considerata ben progettata se il massimo momento dovutoai sovraccarichi (permanenti e accidentali) coincide con il momentoMu. In tal modo all’atto della messa in carico la trave rimarrebbeinteramente compressa.La portanza di un trave può essere aumentata incrementando lo
Momento Utile
La portanza di un trave può essere aumentata incrementando losforzo normale (incremento limitato dalle tensione massime al tiro)oppure aumentando la distanza reciproca dei punti di nocciolo di+ds.Per tale motivo le travi in c.a.p. si realizzano normalmente utilizzandosezioni a T o doppio Tsezioni a T o doppio T.
L/2
ds
di
da
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(MOMENTO UTILE AGGIUNTO)
In realtà il cavo, in mezzeria, non è sempre posizionato nel punto dinocciolo inferiore Detta d la distanza tra il cavo e il punto di noccioloNdM nocciolo inferiore. Detta da la distanza tra il cavo e il punto di noccioloinferiore, il momento Mu=daN è detto momento utile aggiunto.Se il momento dovuto al peso proprio coincide con il momento utileaggiunto, all’atto del tiro la trave risulterebbe interamentecompressa Questa condizione costituisce un’ulteriore indicazione di
NdM aua =
Momento utile aggiuntocompressa. Questa condizione costituisce un ulteriore indicazione disezione ben progettata.
L/2
ds
di
da
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(IL FUSO DEL CAVO RISULTANTE)
Con riferimento ad una generica sezione di una trave in c.a.p. e alle due condizioni di verificausualmente considerate (a vuoto e in esercizio) si possono definire due andamenti limite del( ) pcavo risultante. Il primo si riferisce alla condizione a vuoto e alla sezione interamentecompressa con asse neutro tangente alla sezione al lembo superiore. Il secondo si riferisceinvece alle condizioni di esercizio sempre in presenza di sezione interamente compressa macon asse neutro passante per il lembo inferiore. La prima curva (verde) si costruisce conriferimento al momento dovuto al peso proprio MG , la seconda (arancione) con riferimento almomento in servizio (Mp+q+MG). Le distanze rispettivamente dalla rette limite sup. ed inf. Siesprimono come segue
)x(M G )x(MM + N0 = sforzo di precompressione al tiro
0
Gi N
)x(M)x(e =e
qpGs N
)x(MM)x(e ++= Ne = sforzo di precompressione in esercizio
Fuso del cavo risultante
ds
di
d
Fuso del cavo risultante
es(x)
da
ei(x)x
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(PUNTI LIMITE)
L’area compresa tra le due curve è detto fuso del cavo risultante. Essorappresenta l’area entro la quale far cadere il cavo risultante al fine di ottenererappresenta l area entro la quale far cadere il cavo risultante al fine di ottenereper le due condizioni di carico considerate una sezione sempre interamentecompressa. Ammettendo la presenza al lembo superiore e inferiore di trazione(per normativa) le rette limite modificano la loro posizione originaria. I centri di
i h i d i d di i li it d tti ti li itpressione che corrispondono ai due diagrammi limite sono detti punti limite.
σc,meσt,mi
+2
mi,tmi,cmi
σσσ
+=
2me,tme,c
me
σσσ
+=Cs
y
ys
Ci
yi
Cond. iniziali Cond. di esercizio
σc,mi σt,me
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(PUNTI LIMITE)
Indicando con σmi e σme le tensioni medie nella condizione iniziale e di eserciziorispettivamente, le distanze dal baricentro dei due nuovi punti limite si possonorispettivamente, le distanze dal baricentro dei due nuovi punti limite si possonoesprimere in funzione delle distanza dei punti di nocciolo dal baricentro stesso:
N0mi,tmi,c =+
=σσ
σ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+=
mi,tmi,c
mi,tmi,ccii yy
σσσσσc,meσt,mi
A2mi ==σ
C⎠⎝
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ +
= me,tme,cyyσσ
Cs
Cyi
ys
yan
⎟⎠
⎜⎝ − me,tme,c
css yyσσ
Distanze dal baricentro dei σc,mi σt,me
AN
2eme,tme,c
me =+
=σσ
σCi
Distanze dal baricentro dei punti limite Cc e CiCond. iniziali Cond. di esercizio
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(PUNTI LIMITE)
Ad esempio la prima delle due si ricava facilmente come segue:
Dall’equazione dell’asse neutro
i ò i l t l i
012 =+x
ani yyρ
ssxsxx yyWyJ2ρsi può ricavare la seguente relazione:
an
sci
an
s
s
x
s
s
an
x
an
xi y
yyyy
yyy
Ayyy −=−=−=−=
ρ
hy σDal digramma delle tensioni si può ricavare l’asse neutro:
li i i i i i h
hytc
an σσ +=
tc σσσ
−con semplici proporzioni si ricava che:
con la quale si può dimostrare quanto
2tσ =
( )( ) ( )
( )tc
citc
cii yh
hyyσσσσ +
=+
=2/
con la quale si può dimostrare quantoEspresso nella slide precedente ( ) ( )tc
citc
cii yh
yyσσσσ −−
2
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(PUNTI LIMITE)
In tal modo si individua un nuovo fuso (limiti tratteggiati) entro il quale farvariare il cavo senza mai superare i limiti di trazione e/o compressione impostivariare il cavo senza mai superare i limiti di trazione e/o compressione impostidalla normativa. Naturalmente il raggiungimento contemporaneo della resistenzaa trazione e a compressione nei due estremi della sezione è una situazione ideale,di fatto mai realizzabile.
ye
yi
xN0/A Ne/A
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(FUSO DI GUYON)
Generalmente, in fase di progetto vengono in qualche modo predimensionati lasezione e lo sforzo di precompressione; il fuso entro il quale fare variare il cavosezione e lo sforzo di precompressione; il fuso entro il quale fare variare il cavoviene allora individuato mantenendo entro il limiti normativi le tensioni massimedi trazione e compressione ammissibili nel calcestruzzo:
Il limite inferiore del fuso si( ) MeNNNN ΔΔ
( )Gp0p0 MeNNNN
)2Δ−Δ−
Il limite inferiore del fuso sivaluta come la minimaeccentricità ricavabile dallerelazione 1) e 2) (condizioni avuoto). Il limite superiore
( )s
G
s
p0
id
p0mi,t W
MW
eNNA
NN)1 +
Δ−−
Δ−≤σ
( )mi,c
i
G
i
p0
id
p0
WWA)2 σ≤−+ corrisponde alla massima
eccentricità ricavabile dallerelazione 3) e 4) (condizionidi servizio). Il fuso cosìcostruito va sotto il nome di
( ) qpGLp0Lp0 MMeNNNNNN)3 σ≤
++
Δ−Δ−Δ−Δ− +
( ) qpGLp0Lp0 MMeNNNNNN)4 ++
−Δ−Δ−
+Δ−Δ−
≤σ
costruito va sotto il nome difuso di Guyon.N.B. Le tensioni negativevanno considerate conproprio segno (negativo).
me,cssid WWA
)3 σ≤+−
iiidme,t WWA
)4 −+≤σ proprio segno (negativo).
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(FUSO DI GUYON)
Il limite inferiore fuso di Guyon si individua quindi con le prime due relazioni:
( )p0
G
p0
idmi,t
id
si1
s
G
s
p0
id
p0mi,t NN
M1NN
AAWe
WM
WeNN
ANN
)1Δ−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−−=⇒+
Δ−−
Δ−=
σσ
⎠⎝
( )p0
G
p0
idmi,c
id
ii2mi,c
i
G
i
p0
id
p0
NNM1
NNA
AWe
WM
WeNN
ANN
)2Δ−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Δ−=⇒=−
Δ−+
Δ− σσ
Il limite inferiore del fuso di Guyon è dato da emin = min (e1i, e2i)Il limite inferiore del fuso di Guyon è dato da emin min (e1i, e2i)
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(FUSO DI GUYON)
Il limite superiore del fuso di Guyon si individua con le altre due relazioni:
( )me,c
s
qpG
s
Lp0
id
Lp0
WMM
WeNNN
ANNN
)3 ≤+
+Δ−Δ−
−Δ−Δ− + σ
Il limite superiore del fuso di Guyon è dato da
e = max (e e )
Lp0
qpG
Lp0
idme,c
id
ss1 NNN
MM1
NNNA
AWe
Δ−Δ−
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−Δ−−=⇒ +σ
emin = max (e1s, e2s)
( ) qpGLp0Lp0me,t W
MMW
eNNNA
NNN)3
++
Δ−Δ−−
Δ−Δ−≤ +σ
Lp0
qpG
Lp0
idme,t
id
is2
iiid
NNNMM
1NNN
AAWe
WWA
Δ−Δ−
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Δ−Δ−=⇒ +σ
pp ⎠⎝
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(FUSO DI GUYON)
Esempio: Tracciare il fuso di Guyon per la trave appoggiata di figura
28 m
110
15
15
18020
15
Dati
Materiali: cls Rck=40 MpaA 30 t f li 7φ5 41 23 2180
15
A p = 30 trefoli 7φ5 41.23 cm2
σt,mi 2.993 Mpaσt,me 2.324 Mpaσc,mi 17.76 Mpaσc,me 19.92 Mpa
60
30c,me p
Sezione: Ac,id 0.712 m2
yG 0.973 mWi 0.308 m2
Ws 0.358 m2
Forza di PrecompressioneN0-ΔNp= 5200 kNN0-ΔNp-ΔNL= 4500 kN
Forza di Precompressione
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(FUSO DI GUYON)
Esempio
La condizione per individuare il limite inferiore del fuso di Guyon è
5200)(1
520071202993.0
7120358.01)( ,
1xM
NNM
NNA
AWxe GGidmits
i +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅−−=
Δ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−=
σ
)(00019.02967.0)(
52005200712.0
1
00
xMxe
NNNNA
Gi
ppid
+=
⎠⎝Δ−⎟⎠
⎜⎝ Δ−
)x(M000192.0619.0NN
M1NN
AAW)x(e G
p0
G
p0
idmi,c
id
ii2 +=
Δ−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Δ−=
σ
ei = min (e1i , e2i) Limite inferiore del Fuso di Guyoni ( 1i , 2i) Limite inferiore del Fuso di Guyon
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(FUSO DI GUYON)
Esempio
La condizione per individuare il limite superiore del fuso di Guyon è
)()(171202324.0308.01)(
xMxMMMAW qpGqpGidmeti ++ +⎟⎞
⎜⎛ ⋅−+⎟
⎞⎜⎛ σ
)]()([000222.05927.0)(
4500)()(
14500712.0
1)(
1
00
,1
xMxMxe
NNNNNNAxe
qpGs
qpG
Lp
qpG
Lp
idmet
id
is
+
++
++−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Δ−Δ−+⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
−Δ−Δ−
=
[ ])x(M)x(M00022.0083.1NNN
MM1
NNNA
AWe qpG
Lp0
qpG
Lp0
idme,c
id
ss2 +
+ ++−=Δ−Δ−
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−Δ−−=
σ
e = max (e e ) Limite superiore del Fuso di Guyon
Lp0Lp0id ⎠⎝
es = max (es1 , es2) Limite superiore del Fuso di Guyon
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(FUSO DI GUYON)
Esempio
IL fuso di Guyon della trave considerata è rappresentato nella figura seguente: