Lezione 7_Le Piastre.lineeRottura

Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 2013

Il metodo delle

linee di rottura

Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria, Universit di Basilicata

[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

IL METODO DELLE LINEE DI ROTTURA

Se consideriamo un piastra semplicemente appoggiata soggetta aun carico uniforme questa si infletter dapprima in modo limitatopoi dando luogo ad una serie di lesioni che partono dal centro e sidiffondono via via verso gli spigoli della piastra con un incrementodella ampiezza delle fessure


Il quadro fessurativo che si viene a creare tende ad aprirsi edallargarsi lungo delle strette fasce contenenti le fessure diagonali

Nella teoria delle linee di rottura queste fasce fessurate vengonoassunte di larghezza tendente a zero e costituiscono

le LINEE DI ROTTURA IDEALI della piastra


Inoltre, allaumentare del carico le zone fessurate continuano adestendersi avvicinandosi agli angoli

Se le fessure si estendono allinterno dellangolo o lungo i i lati sirealizza un completo quadro fessurativo


In sostanza il metodo delle linee di rottura un metodo del limitesuperiore che attraverso vari meccanismi di tentativo fornisce ilcarico di collasso pi basso

In tale trattazione sono importanti i concetti di

MOMENTO PLASTICO

e

CONDIZIONE DI MECCANISMO

Tali concetti sono del tutto analoghi a quelli introdotti per le travisalvo la possibilit di subire grandi deformazioni che per le piastre pi limitata


MOMENTO PLASTICO e CONDIZIONE DI MECCANISMO

Analogia con le travi

L

E

E2

L


MOMENTO PLASTICO e CONDIZIONE DI MECCANISMO

Mentre nelle travi possibile verificare la presenza di unmeccanismo grazie allo scorrimento del carrello, nella piastra talecondizione sostanzialmente impedita

Non si pu avere quindi una inflessione che porti al punto E2 ma siparler comunque di un meccanismoparler comunque di un meccanismo

E

E1

E2


Quadro delle linee di rotturaLe deformazioni nei singoli segmenti di piastra rimangono piccolese paragonate a quelle che avvengono in corrispondenza delle lineedi rottura quindi tali segmenti possono essere considerati pianiNella sostanza quando una piastra si trasforma in meccanismociascuna parte della stessa piastra si pu considerare rimanga pianaciascuna parte della stessa piastra si pu considerare rimanga pianae ruoti intorno ad un asse


Quadro delle linee di rotturaNella scelta del quadro di rottura si deve tener conto dei seguentiaspetti:1. Le linee di rottura si possono assumere come rettilinee

2. Un appoggio lineare deve essere un asse di rotazione per unsegmento di piastrasegmento di piastra

3. Un appoggio puntuale deve trovarsi su di un asse di rotazione

4. In corrispondenza di un incastro si deve formare una linea dirottura

5. Una linea di rottura fra due segmenti di piastra passa per ilpunto di intersezione degli assi di rotazione dei due segmenti


Il metodo si utilizza per determinare il carico limite ultimo dicalcolo per una data piastra. La sequenza delle operazioni laseguente:

1. Si considera un possibile quadro delle linee di rottura2. Si calcola il momento resistente di calcolo mRd per unit di

lunghezza per le varie linee di rotturalunghezza per le varie linee di rottura3. Si calcola il carico limite ultimo di calcolo pdu corrispondente

al quadro fessurativo assunto considerando lequilibrio dellastruttura (sia quello generale che quello delle singole porzionidi piastra)

4. Qualora necessario si rivede il quadro fessurativo perminimizzare il valore del carico limite ultimo di calcolo pdu

5. Se necessario si ridefinisce il quadro fessurativo reiterando laprocedura 1 4


Se sono stati considerati tutti i possibili quadri fessurativi, ovverose tutti i possibili meccanismi di collasso sono stati investigati, ilvalore pi basso di pdu, min teoricamente il valore corretto delcarico limite ultimo di calcolo pdu

La teoria non tiene conto ne delleffetto arco ne delleffettomembrana. Tali semplificazioni sono, in genere, a favore dimembrana. Tali semplificazioni sono, in genere, a favore disicurezza

Per il calcolo del carico limite ultimo di calcolo pdu (fase 3 delprocedimento visto) si utilizza il principio dei lavori virtualiSi adotta quindi un sistema di spostamenti virtuali tale che ledeformazioni interne si verifichino in corrispondenza delle linee dirottura ipotizzate


Gli spostamenti virtuali sono introdotti per semplice convenienzadi calcolo e non devono essere confusi con le inflessioni realidella piastra dovute ai carichi esterni

Il teorema dei lavori virtuali stabilisce che il Lavoro Esterno e ilLavoro Interno sono uguali

Lavoro Esterno: La somma dei prodotti delle forze esterne per iLavoro Esterno: La somma dei prodotti delle forze esterne per iloro spostamenti coniugati dovuti al sistema dispostamenti virtuali introdotti. Non un lavororeale ma semplicemente una quantit astratta

Lavoro interno: La somma dei prodotti delle forze interne per leloro deformazioni coniugate dovute al sistemadi spostamenti virtuali introdotti


Nella fase 3 della procedura per il calcolo del carico limite ultimodi calcolo pdu si pu fare riferimento, in alternativa al principiodei lavori virtuali, alla statica

Le equazioni di equilibrio si ottengono per ciascuna delle porzioniin cui la piastra risulta suddivisa in virt del quadro fessurativoconsideratoconsiderato

Tali equazioni possono essere usate per ridefinire la posizione dellelinee di rottura e quindi determinare il valore corretto del caricolimite ultimo di calcolo pdu

In tale approccio, per individuare le equazioni di equilibrio inmodo corretto necessario tener conto dei momenti torcenti e deitagli che possono essere trasferiti attraverso le linee di rottura

Tali sollecitazioni possono complicare il calcolo di pdu


TEOREMA CINEMATICO O DEL LIMITE SUPERIORE

Il metodo delle linee di rottura dovuto a Johansen

Si basa sul teorema cinematico o del limite superiore

TEOREMA CINEMATICO O DEL LIMITE SUPERIORE

Il carico esterno che si ottiene da ogni assunto (ipotizzato)meccanismo di collasso deve essere maggiore o almeno uguale alcorretto carico limite

Nellapplicazione pratica ci si limita a calcolare le sollecitazioniderivanti dalla posizione di tentativo delle plasticizzazioniverificando poi se la condizione di momento plastico risulta violata


Consideriamo una piastra quadrata appoggiata sui quattro lati ecaricata con un carico uniforme p

l

1

Sia mp il momento plastico per unit di lunghezza

mp


1

Definiamo 0 nel seguente modo

0 =Il lavoro virtuale dissipato nelle linee di rottura

Il lav. virt. di p nel campo di spost. cinem. ammissibile

Il lavoro virtuale dissipato nelle linee di rotturaA

Sez A- A

2l

2l

l2

l2


A

l

l l

l22

pp mllm 82222 =

Rotazione relativa

Sviluppo complessivo delle linee di rottura

Il lavoro virtuale del carico uniforme p nel campo deglispostamenti cinematicamente ammissibili

13

2

lp1


Volume della piramide

22024

3

8plm

lp

m pp==


Piastra quadrata incastrata sui quattro lati

Si ha un momento plastico positivo mp

Ed un momento plastico negativo m

l

Ed un momento plastico negativo mp

Il lavoro virtuale dissipato nelle linee di rottura

B B

Sez B- B

2l

2l

l2

l2


B

l

B l

( )'' 8428pp

mmll

mm pp +=+

Nelle linee di rottura diagonali

Sviluppo contorno

Rotazione

Il lavoro virtuale del carico uniforme p nel campo deglispostamenti cinematicamente ammissibili

13

2

lp1


Volume della piramide

( ) ( )2

'

2

'

0

24

3

8pl

mm

lp

mmpp pp

+=

+=


Consideriamo una piastra rattangolare appoggiata sui quattro lati ecaricata con un carico uniforme p

L

l

Il lavoro virtuale dissipato nelle linee di rotturaSez B- B

2l

2l

l2

l2


C

l l

( )

+=+ 148lL

mlLl

mm pppNelle linee di rottura diagonali Rotazione relativa

C

L - l


Progetto di piastre in c.a. con il metodo delle linee di rottura

Il metodo delle linee di rottura essenzialmente una metodo diverifica mediante il quale si calcola il carico limite di una piastrapartendo dalle sue capacit

Il carico plastico corrispondente esprime la resistenza di calcolodella piastra e la verifica di resistenza consiste nel controllare chedella piastra e la verifica di resistenza consiste nel controllare chetale resistenza sia uguale o superiore al carico di calcolo

Il progetto di una piastra con il metodo delle linee di rottura siesegue assumendo dei dettagli di tentativo della piastra edeterminando poi, dalle linee di rottura, le capacit flessionali(momento) necessarie a sopportare i carichi esterni


Progetto di piastre in c.a. con il metodo delle linee di rottura

La sequenza pu essere sintetizzata come:

Scelta dello spessore della piastra in funzione delle limitazionidi inflessione dovute ai carichi di esercizio

Tipologia della disposizione di armatura (armatura ortotropa o Tipologia della disposizione di armatura (armatura ortotropa oisotropa) che pu influenzare la definizione delle linee di rottura

Determinazione del carico di calcolo con le linee di rottura

Determinazione dei momenti relativi al carico di calcolo

Definizione dei quantitativi di armatura in funzione dei momenticalcolati

Per membrana intendiamo un elemento strutturale superficialeavente rigidezza flessionale nulla

Consideriamo una membrana di forma qualsiasi che sia tesauniformemente sul suo contorno

Tale azione esercitata da una forza H per unit di lunghezza

LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

Tutti gli elementi interni sono tesi della stessa quantit (la forza H)

1

H

H


1

H

Supponiamo di applicare un carico p ortogonale alla membrana

Sia il carico p tale da creare abbassamenti w senza alterare lostato tensionale dovuto ad H, ovvero siano gli abbassamenti w(incogniti) piccoli


H

H

H

H

p

Consideriamo nello spessore della membrana un elemento dx, dy

Esaminiamo lo stato di equilibrio di tale elemento in direzionenormale al suo piano

Gli spostamenti v sono determinati nellipotesi che sianoabbastanza piccoli da non provocare sensibile variazioni di H


dy

dx

Lo stato di equilibrio delle forze in direzione normaleallelemento dx dy analizzato considerando:

Il carico pLa componente della forza H lungo il lato dy HdyLa componente della forza H lungo il lato dx Hdx

dxH


dy

dx

H

H

12

H

H

Il carico esterno vale pdxdyLe componenti di H lungo yvalgono:

1sin dyH

2sin+ dyH

dy

dx

H


H

12

Nellipotesi di piccole deformazioni

x

w

11 tansin dxx

w

x

w2

2

2sin

+

=

xwdyH

dy

dx

H1

+

+ww 2

Le componenti di H lungo ydiventano:


H

12

+

+ dxx

w

x

wdyH 22

x

wdyH

+

+ dxx

w

x

wdyH 22

dxdyx

wH 22

=

La somma delle componenti di H lungo y

dy

dx

H1

dxdyywH 2

2

Analogamente le componentilungo il lato dx delle forze Hvalgono

Lequilibrio quindi si


H

12

Lequilibrio quindi sidetermina come

022

2

2

=

+

+ dxdyywHdxdy

x

wHdxdyp

dy

dx

H1

Da cui semplificando

Hp

yw

x

w=

+

2

2

2

2


H

12 Equazione delle superficie

elastica deformata dellamembrana (detta anchesuperficie funicolare)

Hp

w =

dy

dxLa trattazione esposta analoga alla curva funicolare definita perun carico p

H

ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

H

H

12

H

H

Hp

x

y=

2

2

Hp

wyw

x

w==

+

2

2

2

2

ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE

Lanalogia con la piastra comporta inoltre1. Lequazione differenziale del momento invariante di una

piastra caricata con carico p coincide con quella funicolare diuna membrana caricata dal carico p e soggetta ad unatensione uniforme H = 1.Le ordinate della funicolare, nulle sul contorno, coincidonocon il momento M in tutti i casi in cui M risulti nullo sulcon il momento M in tutti i casi in cui M risulti nullo sulcontorno

2. Lequazione differenziale della superficie elastica di unapiastra soggetta al momento invariante M coincide con quelladi una membrana caricata dal carico fittizio p = - M / D esoggetta alla tensione uniforme H = 1Le ordinate delle due superfici coincidono se la piastra vincolata sul contorno dove sar w = 0

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