Lezione 7Lezione 7

Collisioni

Collisioni Collisioni Il teorema di conservazione dell’ impulso e’ particolarmente utile per studiare l’ azione di forze impulsive. Esistono fenomeni meccanici in cui la forza e’ applicata a un corpo, per un tempo molto breve ∆ted in seguito il moto del corpo prosegue senza forze applicate..

In questi casi, uno studio diretto della forza e’ difficile. E’ piu’ facile misurarla studiandone effetti sul moto di un corpo prima e dopo l’azione della forza, utilizzando i teoremi di conservazione dell’ energia e della quantità di moto

Un esempio tipico di forza impulsiva e’ la collisione (o urto) tra due corpi, come quella che la mazza applica alla palla da golf .

Si dice elastico un urto fra due corpi, in cui l’energia totale dei corpi che si urtano e’ conservata.

Si dice anelastico un urto in cui l’energia totale dei due corpi non e’ conservata.

Quello che succede e’ che, in generale, in una collisione, i corpi si deformano e una parte della energia meccanica e’ spesa nella deformazione del materiale. In un urto elastico l’ energia spesa nella deformazione del corpo viene restituita come energia meccanica. Nell’urto anelastico una parte dell’ energia cinetica dei corpi non viene restituita come energia cinetica ma trasformata e contribuisce a variare l’ energia interna dei corpi. Questo e’ un primo esempio di processo di trasformazione di energia

Collisioni perfettamente Collisioni perfettamente anelasticheanelasticheNel caso di collisioni perfettamente anelastiche la quantità di moto e’ conservata ma non c’è restituzione di energia meccanica dopo l’ urto. I due corpi rimangono deformati e si propagano compenetrati

Condizioni prima della collisionem1 v1 m2 v2

vvv )( 212211 mmmm +=+

22

212

1, 2

1

2

1vmvmE ink +=

)( 21

2211

mm

mm

++= vv

v

Condizioni dopo la collisione

(m1 + m2) v

L’ energia cinetica non si conserva. Infatti prima dell’ urto é:

e si può dimostrare matematicamente che e’ sempre :

Il lavoro compiuto a spese dell’ energia cinetica iniziale per deformare il corpo non e’ recuperato, perché le forze interne che si sviluppano durante l’ urto non sono conservative.

0)(2

1)(

2

12

221

21

221, <+−+= vmvmmm∆E fink v

inkfink Emm

mmmmE ,

21

22

212

1221, )(2

)()(

2

1 <+

+=+= vvvdopo l’ urto è:

L’ impulso si conserva:

Esempio di urto Esempio di urto anelasticoanelastico

• Se l’ostacolo fisso ha massa trascurabile (m1 >> m2) il moto di m1 e’ praticamente indisturbato

• Nel caso di uguali masse si perde la metà dell’ energia cinetica

• Se invece m2 >> m1 (collisione con un ostacolo di grande massa, ad esempio contro un ostacolo fisso) praticamente tutta l’ energia e’ spesa nella deform azione

Un punto di massa m1 e velocità v1 urta in modo anelastico un corpo di massa m2 fermo Calcolare la velocità dopo l’ urto, la variazione di energia cinetica e il rapporto tra energia cinetica iniziale e finale. Dato che v2 = 0

Direzione e verso del moto sono nella stessa direzione del moto del corpo di massa m1

Energia cinetica del sistema iniziale Energia cineti ca del sistema finale

Esempio di collisioni Esempio di collisioni anelastiche anelastiche

• Nello scontro tra un’ auto e un ostacolo fisso la maggior parte dell’ energia cinetica si trasforma in energia interna ed e’ spesa in un tempo brevissimo provocando delle altissime decelerazioni che sono in generale non tollerate dal corpo umano.

• Si cerca in generale di rendere le collisioni il più possibile anelastiche, per evitare collisioni multiplee ribaltamenti della vettura

• Si cerca inoltre di allungare i tempi di decelerazione applicati al guidatore costruendo il frontale dell’auto deformabile, con l’ uso di air bag , in modo la maggior parte dell’ energia cinetica sia assorbita da parti dell’ auto diverse dal corpo del guidatore, e proteggendolo in una “capsula” rigida, attaccandolo solidamente con le cinture alla parte posteriore della vettura in modo da ridurre al minimo trasferimenti di energia cinetica.

Pendolo balisticoPendolo balisticoII pendolo balistico, utilizzato per misurare la velocità di un proiettile, consiste in un blocco di legno, appeso verticalmente. Un proiettile di massa m, che viaggia orizzontalmente con velocità v, urta il pendolo rimanendovi conficcato. Poiché il tempo di collisione (I0-4 s) è piccolo rispetto al periodo di oscillazione del pendolo, il filo che sostiene la massa M resta praticamente verticale durante l'urto. Nessuna forza esterna orizzontale agisce sul sistema e pertanto la componente orizzontale della quantità di moto si conserva.

Terminata la collisione, (figura 8.9b), il pendolo con il proiettile incluso inizia ad oscillare raggiungendo un'altezza massima h, misurata rispetto alla posizione di equilibrio, tale che l'energia potenziale corrispondente eguaglia l'energia cinetica del sistema subito dopo l'urto.

Si può pertanto risalire al valore della velocità del sistema (M+m) e quindi a quella del proiettile prima dell'urto.

Collisioni perfettamente elasticheCollisioni perfettamente elastiche

Condizioni dopo la collisione m1 v1,fin m2 v2,fin

Nel caso di collisioni perfettamente elastiche la quantità di moto e’ conservata e c’é c’è restituzione completa di energia meccanica dopo l’ urto. I due corpi si muovono indipendentemente dopo la collisione

Condizioni prima della collisionem1 v1,in m2 v2in

finfininin mmmm ,22

1,12

1,22

1,12

1 2

1

2

1

2

1

2

1vvvv +=+

finfininin mmmm ,22,11,22,11 vvvv +=+

Risolvendo il sistema di due equazioni si ottengono le velocità dopo l’ urto in funzione di masse e velocità prima dell’urto (vedi dimostrazione nella diapositiva seguente:

Se si prende come positivo il segno di v1, v2 deve essere preso con segno positivo o negativo a seconda che e’ concorde o discorde con v1. Egualmente il segno delle velocità finali calcolate e’ positivo o negativo a seconda che siano concordi o discordi con v1

21

,22,121,1

2)(

mm

mmm ininfin +

+−=

vvv

21

,212,11,2

)(2

mm

mmm ininfin +

−+=

vvv

DimostrazioneDimostrazione

|||

1 m1 v1.fin⋅ m2 v2.fin⋅+ m1.in v1.in⋅ m2 v2.in⋅+

2 m1.in v1.in2⋅ m2.in v2.in

2⋅+ m1.fin V1.fin2⋅ m2.fin V2fin

2⋅+

|||

1 m1 v1.fin v1.in−( )⋅ m2 v2.fin v2.in−( )⋅+ 0

2m1 v1.fin

2v1.in

2−

⋅ m2 v2.fin

2v2.in

2−

⋅+ 0

|||

1 v1.fin v1.in−( )m2 v2.fin v2.in−( )⋅

m1−

2 m1 v1.fin v1.in−( )⋅ v1.fin v1.in+( )⋅ m2 v2.fin v2.in−( )⋅ v2.fin v2.in+( )⋅+ 0

sostituendo 1 in 2 si ottiene: 3 v1.fin v2.fin−+ v1.in− v2.in+

che , insieme con la 12

|||

m1 v1.fin⋅ m2 v2.fin⋅+ m1.in v1.in⋅ m2 v2.in⋅+1

v1.fin v2.fin−+ v1.in− v2.in+3

costituisce un sistema di due equazioni in due incognite con determinante

che risolto per v1.fin v2.fin⋅ dà come risultato

1

m1

1−

m2

m1 m2+

v1.fin

m1 m2−( ) v1.in⋅ 2 m2 v2.in⋅⋅+ m2 m1+( ) v2.fin

2 m1 v1.in⋅⋅ m2 m1−( ) v2.in⋅+

m2 m1+

Le velocità calcolate con queste equazioni assumono che v 1,in e’ una quantità positiva ( concorde con l’ asse delle coordinate)

Esempio di urto elasticoEsempio di urto elastico

21

,22,121,1

2)(

mm

mmm ininfin +

+−=

vvv

21

,212,11,2

)(2

mm

mmm ininfin +

−+=

vvv

Calcolare le velocità finali di un urto perfettamente elastico tra due masse m1 ed m2supponendo che a) m1 = m2 ; b) m1 >> m2 ;c) m1 << m2 con le velocità prima dell’ urto dirette come in figura

infin ,2,1 vv =infin ,1,2 vv = I corpi si scambiano le velocità

infin ,1,1 vv = ininfin ,2,1,2 2 vvv −= Il moto di m1 è indisturbatom2 acquista una velocità maggiore di m1

ininfin ,2,1,1 2vvv +−= infin ,2,2 vv = Il moto di m2 è indisturbato

m1 prosegue con velocità maggiore se

torna indietro jn caso contrario

inin ,2,1 2vv <

Al limite se v2in= 0 e m2 >>m1 (caso di un ostacolo fisso) la velocità di m1 cambia segno ovvero il corpo m1 rimbalza contro l’ ostacolo fisso

infin m ,12,1 vv −=

Trasferimento di energia mediante urti elasticiTrasferimento di energia mediante urti elastici

Energia trasferita Energia rimasta al neutrone

La funzione f 12 è riportata in figura 8.12. Il trasferimento massimo è ottenuto con m1 = m2 (f 12 = 1, f 2 = 0); si osserva che si ottiene un trasferimento di energia superiore al 90% nell'intervallo (0.5 < m1 /m2 , < 2).

Questa proprietà è sfruttata nei reattori nucleari a fissione, in cui neutroni vengono prodotti in un processo di dissociazione, dell'isotopo 235U prodotta da un neutrone. neutroni prodotti nella fissione sono veloci, con velocità = I07 m/s e devono essere rallentati fino a velocità dell'ordine di I03 m/s per poter innescare con maggiore probabilità altri eventi di fissione e instaurare la reazione a catena su cui si fonda il funzionamenti di un reattore.

i :

Una particella di massa m1 urta elasticamente una particella di massa m2

ferma. Calcolare la frazione di energia f12 trasferita nell'urto alla seconda particella in funzione del rapporto delle masse m1/m2 delle due particelle.

Collisioni elastiche nucleariCollisioni elastiche nucleariI neutroni vengono rallentati facendo passare attraverso una sostanza liquida o solida chiamata moderatore. Come moderatore veniva utilizzata, specialmente nei primi reattori, l'acqua pesante D2O; i nuclei leggeri di deuterio di massa mD~ 2mn fungono da bersaglio, (figura 8.13,) per neutroni veloci, per cui in un urto singolo si ha una frazione di energiatrasferita ai nuclei di deuterio di circa f 12 = 8/9 dell’ energia del neutrone, a cui rimane una frazione f1~ 1/9

Se la velocità del neutrone deve essere degradata di un fattore 104 la sua energia cinetica deve, in N urti, diminuire di un fattore 108.

Deve essere pertanto:

81 10)( −=Nf 8)log( 1 −=fN 3.8=N

Facendo collidere i neutroni con materiali pesanti (esempio acciaio) si sfrutta il fenomeno della riflessione elastica per contenere i flussi di neutroni veloci

Esempi di urti non perfettamente elasticiEsempi di urti non perfettamente elastici

Nella figura e’ mostrato un semplice esempio di urto elastico indue dimensioni v = vx ux+ vy uy : Nella collisione la componente in direzione x non cambia. La componente della velocità lungo y invece cambia segno. Il risultato finale e’ unariflessione speculare del corpo (θin = θ out).

Caso di un rimbalzo di un corpo non perfettamente e lasticoIl moto e’ parabolico come studiato nelle lezioni precedenti . La figura mostra che l’energia cinetica non e’ conservata del rimbalzo ovvero l’ urto del corpo non e’ completamente elastico.Calcoliamo il coefficiente di restituzione della collisione:• Come prima la componente della velocità orizzontale non cambia• La componente della velocità in direzione verticale e’ cambia segno dopo l’ urto contro l’ostacolo fisso. Se il rimbalzo non e’ perfettamente elastico e il corpo risalirà ad una altezza massima tale che

Il coefficiente di restituzione e’

v

v

vx

vy

vx

vy

v

v

h1

h2

12ghvin =

infin vv <

22ghv fin −=

1

2

h

h

v

ve

fin

fin ==

Nel rimbalzo mostrato in in figura circa metà dell’ energia cinetica viene restituita. La rimanente viene trasformata in calore

θin θout