Lezione 6: il campo magnetico prodotto da correnti continue il potenziale vettore

Il campo magnetico prodotto da correnti continue

Osservazioni sperimentali: Orsted: correnti elettriche danno

luogo a campi magnetici;

Legge di Biot-Savart: linee di B sono cerchi

concentrici al filo

o= 4 10-7 N/A2

20

2 r

riB

r

iB

r

iB

2

0

rE

o

4

1

relazione simile a quella trovata per il campo elettrico prodotto da un filo uniformemente caricocambia la direzione: campo elettrico E è radiale campo magnetico B è circolare

idsB

rBdsB

0

2

Legge della circuitazione di Ampere

vale per qualsiasi curva

che abbracci la corrente

21

0

iii

idsB

tot

tot

principiosovrapposizione

0

i

dsB

3,2i

1

3

2

se non concatena corrente

concidsB 0 validita` generale

correnti stazionariecircuiti di forma qualsiasi

Correnti stazionarie originano campi magneticiLe linee di campo non hanno origine nè termine (curve chiuse)

conco

l

ildB 0l

ldE

campo conservativo (il lavoro e` nullo)

campo non conservativo(il lavoro dipende dal percorso)

y

H

x

HHrot

x

H

z

HHrot

z

H

y

HHrot

xyz

zxy

yzx

)(

)(

)(

Il rotore del vettore H può essere associato al calcolo di un lavoro, ad una circuitazione.

N.B. Campo conservativo: il lavoro su un qualsiasi circuito chiuso è nullo

il campo e` irrotazionale

Circuitazione e Rotorevettore

dHrotdsH )(

Significato fisico del rotore:

teorema di Stokes

0Hrot

proprieta` del rotore: 0)( Hrotdiv

CSdef

ldHS

limnHnHrot 1

)(0

In coordinate cartesiane:

zyx HHHzyx

kji

Hrot

SC

n

Correnti spaziali

= densita` di corrente

j

dBrotdsB

djdsB

djiconc

0

jBrot

0correnti

stazionarie

Applicazioni della legge di Ampere: Solenoide

avvolgimento cilindrico di filo conduttore n spire per unita` di lunghezza

interno

rl

esterno

inB 0 costante e rettilineo

0B

Sperimentalmente importante:crea campi magnetici rettilinei, costanti e confinati nello spazio(nella NMR si entra in un solenoide!)

Il Potenziale Vettore

campi magnetici stazionari

jBrot

Bdiv

0

0

campi elettrici stazionari

00

Erot

Ediv

gradE

)0)(( gradrotArotB

)0)(( Arotdiv

= potenziale scalare[] = Volt

= potenziale vettore[] = Tesla m

Potenziale vettore: funzione complicata da calcolarenon univocamente determinata (come anche ):

i risultati devono essere indipendenti dalla scelta di :

vincolo sul potenziale

tutto l’elettromagnetismo puo` essere scritto in termini di potenziali ed A,

dimenticandosi dei campi

)( gradArotArotB

0Adiv

dVr

jA

dVr

V

V

12

0

120

4

4

1

simmetria di formalismo potenziale elettrostatico-potenziale vettore magnetico

Il potenziale vettore e` originato dalle correnti

(come il campo B)

jA

jBrot

ArotB

02

0

2

2

2

2

2

22

2)()(

z

A

y

A

x

AA

AAdivgradArotrot

iiii

Il potenziale scalare e` originato dalle cariche

(come il campo E)

0

2

0

Ediv

gradE

2

2

2

2

2

22

2)(

zyx

graddiv

0 j

0

r12i

dl

B ??

Legge di Ampere-Laplace

ArotB

dVr

jA

V

12

0

4

)4

(12

0 dVr

jrotB

V

(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

11111 ),,(

z

A

y

AzyxB yz

x

2/1221

221

221

112 )()()(

zzyyxxr

3

12

120

4 r

rdlIB

dVr

rzyxj

dVr

zzzyxj

r

yyzyxj

dVrz

zyxjry

zyxjzyxB

x

yz

yzx

312

122220

312

212223

12

21222

0

121222

121222

0111

),,(

4

),,(),,(4

1),,(

1),,(

4),,(

correnti in circuiti filiformi:prima legge

di Ampere-Laplace

e` una legge formale: per verificarla sperimentalmente dovrei tagliare il filo! 3

12

120

4 r

rdlIBd

Il dipolo magnetico

dipolo magnetico spira piana di piccole dimensioniil campo B ha stessa forma del campo E di un dipolo elettricocomportamento dipolo magnetico e` analogo a dipolo elettrico

calcolo di A in analogia con elettrostatica:Ax e generato da jx

equivale a potenziale scalare prodotto da xj00

30

30

4)(

4

1)(

r

ybaP

baqp

r

rpP

= densita` di carica lineareS= sezione del filo

SI

S

110

0

qp - +

04

4

30

30

z

y

x

Ar

xabIA

r

yabIA

non ci sono correnti nella direzione z

AreaIabIA

350

)(34

1

r

p

r

rrpE

gradE

304

1)(

r

rpP

qp - +

momento di dipolo elettrico

350 )(3

4

)(

rr

rrB

ArotB

momento di dipolo magnetico

nabI

30

4 r

rA

sorgenti diverse (dipolo e spira) originano campi uguali solo a grandi distanze, lontano dalle sorgenti

Dipolo magnetico in un campo magnetico

hh

dldl

dldl

il circuito non subisce un moto traslatorio (si vede sperimentalmente) ogni tratto di circuito subisce una forza F(in direzione e verso differente)

il circuito risente di una coppia di forze di momento M:

seconda legge di Laplace per un circuito chiuso:

c

BdliBdliBdliF 0

FhM

sendlhBidM

BdiF

BBniSM

BsenSiM

superficie infinitesima racchiusa dai due segmenti di circuito dl. )(senhddS

campo magnetico su un ago magnetizzato:

rotazione dell’ago fino ad allineamento con Bago subisce un momento M:(analogamente a spira percprsa da corrente)

Principio di Equivalenza di Ampere

BM

e` costante caratteristica dell’ago magnetizzato

BniSMBM

azione di un campo magnetico

su ago magnetizzato

con momento

azione di un campo magnetico

su spira percprsa da corrente i

iS

campo magnetico generato dal magnete iS

campo magnetico generato dalla spira