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6° Lezione
STATI LIMITE: Esempi di progetto/verifica
SLU – Applicazioni Progetto della sezione in c.a.
40
60
3
M
PROBLEMA N. 1
As
Determinare:
1) Il valore dell’armatura bilanciata.
2) Il momento ultimo a flessione semplice della sezione quando viene armata con 6f20.
3) Il valore dello sforzo assiale necessario a portare la sezione del punto 2 in condizioni di rottura bilanciata.
30ckf MPa= 440ykf MPa=MATERIALI
SLU – Applicazioni Campi di deformazione
ec
es esy
0
0
ecu ec0
esu
1 2 3
4
5
yn-b
yn-lim
lim 0,259cun
cu su
y d dεε ε− = =
+0,657cu
nbyd
cus
y d dfE
ε
ε= =
+440ykf MPa=
h d
d’
d”
yn-2b
esy
SLU – Applicazioni Progetto della sezione in c.a.
0,8Sd cd s s s ydN b y f A A fσ′ ′= + −
( ) 0,8 (0,5 0,4 )(0,5 ) (0,5 )
Rd Sd cd
s s s yd
M N b y f h yA h d A f h dσ
= ⋅ − +′ ′ ′ ′′+ ⋅ − + ⋅ −
0sA′ =3d cm′′ =40b cm= 60h cm=
Flessione semplice: 0SdN =
Equazioni di equilibrio:
d ′y8,0
cdf
yds fA
ssA σ′′
b
G h
d ′′
0,8 cdb y f
SLU – Applicazioni Progetto della sezione in c.a.
0 0,8 nb cd sb ydb y f A f= −
37,49nb cunb
ydcu yd cucu
s
d y y d cmfE
εε ε ε ε
= ⇒ = =+ +
Equazione di congruenza:
20,8 49,97nb cdsb
yd
b y fA cmf
= =
Equazione di equilibrio alla traslazione:
Armatura bilanciata
Quesito n. 1 (valore dell’armatura bilanciata)
SLU – Applicazioni Flessione semplice
Quesito n. 2 (momento ultimo 6f20)
0,8 (0,5 0,4 )(0,5 ) 370,29
Rd n cd n
s yd
M b y f h yA f h d kNm
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +′′+ ⋅ − =
26 20 18,84sA cmφ ⇒ =
0 0,8 14,140,8
s ydn cd s yd n
cd
A fb y f A f y cm
bf= − ⇒ = =
0 0,248 0,259ny d d< = < ROTTURA IN CAMPO 2
SLU – Applicazioni Flessione semplice
Quesito n. 3 (sforzo assiale per avere rottura bilanciata)
218,84sA cm=
0,8 1190,6b nb cd s ydN b y f A f kN= − =
37,49nby cm=
SLU – Applicazioni Verifica di un pilastro in c.a.
40
60
5
M
PROBLEMA N. 2
As = 6 f20
Il pilastro in figura è soggetto ad una forza assiale N = 1500 kN.
Che tipo di rottura ci si attende?
(DUTTILE o FRAGILE ?)
230 /ckf N mm= 440ykf MPa=MATERIALI
A’s = 6 f20
N
5
SLU – Applicazioni Verifica di un pilastro in c.a.
0,81844,72 1500
b nb cd s yd s ydN b y f A f A fkN kN
′= + − =
= >
0,657 37,49nby d cm= =Dall’equazione di congruenza:
Dall’equazione di equilibrio alla traslazione si ricava il valore della Forza assiale corrispondente alla rottura bilanciata:
PROBLEMA N. 2
ROTTURA DUTTILE
Campi di deformazione
SLU – Applicazioni Verifica di un pilastro in c.a.
40
60 M
PROBLEMA N. 3
As = 6 f20
Calcolare i punti caratteristici del dominio di interazione M-N agli SLU, corrispondenti alle situazioni di:
1) Rottura bilanciata
2) Trazione semplice
3) Compressione semplice
4) Curvatura limite
5) Flessione semplice
230 /ckf N mm= 440ykf MPa=MATERIALI
A’s = 6 f20
5
5
SLU – Applicazioni Punti notevoli del dominio M-N
0,8 1844,62Rd b nb cd s yd s ydN b y f A f A f kN− ′= + − =
0 00,8 (0,5 0,4 )(0,5 ) (0,5 ) 587,01nb cd n
s yd s yd
M b y f h yA f h d A f h d kN m
= ⋅ − +′ ′ ′′+ ⋅ − + ⋅ − = ⋅
0,657 36,17nby d cm= =
1) ROTTURA BILANCIATA
( ) 1202,00Rd s s ydT A A f kN′= + =
2) TRAZIONE SEMPLICE
( )0,8 5027,00Rd b nb cd s s ydN b y f A A f kN− ′= + + =
3) COMPRESSIONE SEMPLICE
SLU – Applicazioni Punti notevoli del dominio M-N
4) Retta Limite: FRONTIERA CAMPO 2 e CAMPO 3
( )limlim
cu su cun
n su
y h dy h dε ε ε
ε−−
′′= ⇒ = ⋅ −′′−
lim
lim
s su ns su s s s
n
y d Ey d h d h d
ε ε ε ε σ ε−
−
′ ′−′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =′ ′′ ′′− − −
lim0,8Rd n cd s s s ydN b y f A A fσ− ′ ′= + −
lim lim0,8 (0,5 0,4 )(0,5 ) (0,5 )
Rd n cd n
s s s yd
M b y f h yA h d A f h dσ
− −= ⋅ − +′ ′ ′ ′′+ ⋅ − + ⋅ −
Campi di deformazione
d
B
y cls compresso
cls teso
0.85 0.44 cd ckf R=
TAs
0.4 y
C
(d-0
.4 y
)
0.8
x
0.45 se 35
0.35 se 35
0.66 per Fe B 44 k
ck
ck
b
y fdy fdyd
≤ ≤
≤ >
=
(0.8 ) (0.85 )cd s ydB y f A f⋅ ⋅ = ⋅NRd = 0
Equazione di equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave:
C = T
0.8 0.85s yd
cd
A fy
B f⋅
=⋅ ⋅ ⋅
( 0.4 ) (0.8 0.9)Rd s yd s ydM A f d y A f d= ⋅ ⋅ − ≈ ⋅ ⋅ ÷ ⋅
SLU – Flessione semplice armatura
D.M. ‘96 Campi di deformazione
SLU – Applicazioni Altri punti notevoli del dominio M-N
0,8Rd cd s ydN bd f A f′= −
0,8 (0,5 0,4 ) (0,5 )Rd cd s ydM bd f h d A f h d′ ′ ′′= ⋅ − + ⋅ −
ny d ′=CAMPO 2: CONTRIBUTO NULLO DELL’ARMATURA COMPRESSSA
Campi di deformazione
0,8Rd cd s ydN bd f A f′= +
ny d=CAMPO 4: CONTRIBUTO NULLO DELL’ARMATURA TESA
0,8 (0,5 0,4 ) (0,5 )Rd cd s ydM b y f h d A f h d′ ′= ⋅ − + ⋅ −
SLU – Applicazioni Punti notevoli del dominio M-N
b 40 cm
h 60 cm fck 30 MPa ynb 36,17 cm yn-lim 14,2592593 cm
d' 5 cm !c 1,6 " 's 0,00302 " 's 0,00227
d'' 5 cm fcd 18,75 MPa #' s 382,61 MPa #' s 382,61 MPa
$ 0,85 Nb 1844,72 kN N2-3 727,22 kN
$ fcd 15,94 MPa Mb 587,01 kN m M 2-3 477,19 kN m
db 20 mm " cu 0,0035
Ab 3,14 cm 2 % 0,8 #' s -382,61 MPa yn0 8,11779818 cm
nb 5 T -1202,00 kN # s 382,61 MPa
As 15,71 cm 2 fy 440 MPa MT 0,00 kN m #' s 119,04 MPa
d' b 20 mm !s 1,15 N0 0,00 kN
A'b 3,14 cm 2 fyd 382,61 MPa & 0,85 M 0 307,76 kN m
n' b 5 Es 210000 MPa #s -382,61 MPa M 0-sempl. 297,50 kN m
A's 15,71 cm 2 " yd 0,00182 #' s 382,61 MPa
" su 0,01000 C 5027,00 kN yn1 5,00 cm
MC 0,00 kN m N1 -346,00 kN
M 1 221,65 kN m
Nd 1500,00 kN & 0,7
db 44,73 cm '& 3518,90 MPa yn1 55,00 cm
hd1 49,73 cm (& 278,19 MPa N2 3406,00 kN
hd2 58,82 cm M 2 374,65 kN m
ynb /d 0,657654
yn-lim /d 0,259259
arm
atur
a te
saar
mat
ura
com
pres
sa
Rottura bilanciata
Trazione semplice
Compressione semplice
calcestruzzo
acciaio
Flessione semplice
Contributo nullo Arm. compressa
Contributo nullo Arm. tesa
GEOMETRIA
ARMATURE
Limitazione N
Retta Limite
MATERIALI PUNTI NOTEVOLI DOMINIO
0,8Sd cd s s s ydN b y f A A f#) )= + *
( ) 0,8 (0,5 0,4 )(0,5 ) (0,5 )
Rd Sd cd
s s s yd
M N b y f h yA h d A f h d#
= + * +
) ) ) ))+ + * + + *
s cus cu
y dy d y y" "
" ") )*
)= , =)*
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 200 400 600 800
0,526d
bcd
Nd
b f=
+ + 0, 4d
dcd
Nh
b f=
+ +
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 100 200 300 400 500 600
MRd (kN m)
NR
d (kN
)SLU – Applicazioni
Punti notevoli del dominio M-N (esempio)
yn = d
Rottura bilanciata
Flessione semplice
yn = yn-lim
Compressione semplice
Trazione semplice
yn = d’
Flessione semplice
approssimato
SLU – Applicazioni Verifica di una sezione pressoinflessa
0,8Rd n cd s yd s ydN b y f A f A f′= + −
( ) 0,8 (0,5 0,4 )(0,5 ) (0,5 )
Rd Sd n cd n
s yd s yd
M N b y f h yA f h d A f h d
= ⋅ − +′ ′ ′′+ ⋅ − + ⋅ −
CAMPO 3, CAMPO 2b
0,8Rd s yd s yd
ncd
N A f A fy
bf′− +
=
( )22
syn bn b
sy su sy su sy
y d h d y d h dε
ε ε ε ε ε−
−′ ′′− − ′ ′′= ⇒ = + −
+ +cu
nbyd
cus
y dfE
ε
ε=
+
2n b n nb s s ydy y y fσ σ− ′≤ ≤ ⇒ = =
Esempio di progettazione della trave di copertura di un edificio per civile abitazione
5 m 5 m
5 m
5 m
Valori caratteristici Gk valore caratteristico delle azioni permanenti Qik valore caratteristico delle azioni variabili (i = 1,…, n)
Valori di calcolo Gd = g Gk azioni permanenti Qid = q Qik i = 1, 2 azioni variabili (solaio di calpestio, carico neve)
g = 1.4 (1.0 se il suo contributo aumenta la sicurezza) q = 1.5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza)
Azioni di calcolo
Azioni di calcolo Combinazioni per le verifiche allo Stato Limite Ultimo
Fd = g Gk + qQ1k + (i>1) q 0i Qik
Gk valore caratteristico delle azioni permanenti Q1k valore caratteristico dell’azione variabile di base di ogni combinazione Qik valore caratteristico delle altre azioni variabili 0i coefficienti di contemp. allo stato limite ultimo (sempre uguale a 0.7)
Combinazioni per le verifiche allo Stato Limite di Esercizio
Combinazioni rare: Fd = Gk + Q1k + (i>1) 0i Qik
Combinazioni frequenti: Fd = Gk + 1i Q1k + (i>1) 2i Qik
Combinazioni quasi permanenti: Fd = Gk + 2i Qik
Combinazioni di carico
Combinazioni di carico per il caso studio trattato
1i 2i Carichi variabili per abitazioni 0.5 0.2 per uffici, negozi e scuole 0.6 0.3 per autorimesse 0.7 0.6 Carichi da vento e neve 0.2 0.0
Coefficienti di combinazione (D.M. 9/1/96 Parte Gen., pt. 7, prospetto 1)
Tensioni ammissibili Stato limite ultimo
Solo carichi verticali Gk + Qk 1.4 Gk + 1.5 Qk
Carichi verticali + neve Gk + Qk + Qneve,k 1.4 Gk + 1.5 Qk + 0.7 (1.5 Qneve,k) 1.4 Gk + 0.7 (1.5 Qk) + 1.5 Qneve,k
Analisi dei carichi agenti sulla trave di copertura
Peso proprio solaio: Gk = 5.3 x 4.7 = 25 kN/m Gd = G x Gk = 1.4 x 25 = 35 kN/m
Peso proprio trave emergente 3060: Gk = 4.5 kN/m Gd = G x Gk = 1.4 x 4.5 = 6.3 kN/m
Carico variabile (accidentale) per solaio di calpestio: Qk,S = 2.0 x 4.7 = 9.5 kN/m Qd,S = Q x Qk,S = 1.5 x 9.5 = 14 kN/m
Carico neve: Qk,N = 0.75 x 4.7 = 3. 5 kN/m Qd,N = Q x Qk = 1.5 x 3.5 = 5.3 kN/m
qd2 = 1.4 Gk + 0.7 (1.5 Qk )+ 1.5 Qneve,k = 56 kN/m
Combinazioni per lo Stato Limite Ultimo
qd1 = 1.4 Gk + 1.5 Qk + 0.7 (1.5 Qneve,k) = 59 kN/m
Dimensionamento trave
I massimi momenti per la combinazione assumono i valori:
( )1 185 kNmSd d BM q M= = −
( )1 105 kNmSd d A BM q M −= =
Si considerano le combinazioni di carico relative all’azione di progetto agli S.L.U. qd1 = 59 kN/m qd1 = 59 kN/m
5 m 5 m A B C
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Qneve,k = 3.5 kN/m Qneve,k = 3.5 kN/m
5 m 5 m A B C
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Qk = 9.5 kN/m Qk = 9.5 kN/m
Gk = 29.5 kN/m Gk = 29.5 kN/m
, ,
, ,
, ,
, ,
APPOGGIO B92 kNm
30 kNm
11 kNm
k k
k k
neve k neve k
S G B G
S Q B Q
S Q B Q
M M
M M
M M
= = −
= = −
= = −
, ,
, ,
, ,
, ,
CAMPATA A-B52 kNm
17 kNm
6 kNm
k k
k k
neve k neve k
S G A B G
S Q A B Q
S Q A B Q
M M
M M
M M
−
−
−
= =
= =
= =
,, , ,1.4 1.5 0.7 1.5 185 kNmk k neve kSd S G S Q S QM M M M= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = −
,, , ,1.4 1.5 0.7 1.5 105 kNmk k neve kSd S G S Q S QM M M M= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
I cond.
II cond.
III cond.
RESISTENZE DI CALCOLO
Le resistenze di calcolo si valutano mediante l’espressione:
Stato Limite Acciaio s Calcestruzzo c
Ultimo 1.15 1.6
di esercizio 1.0 1.0
In particolare la resistenza di calcolo del calcestruzzo fcd risulta pari a:
kd
m
ffγ
=
0.831.6
ck ckcd
c
f Rfγ
⋅= =
Resistenze di calcolo:
ckcd
c
ffγ
= 1.6cγ =
2 23 0.7 0.7 0.27 ( ) ( / )ctk ctm ckf f R N mm= ⋅ = ⋅ ⋅
Calcestruzzo
0.83ck ckf R= ⋅0.85 0.44 cd ckf R=
ooo2 oo
o5,3ctkf
25700 ( / )c ckE R N mm= ⋅Modulo elastico
Deformazioni limite ooo2 oo
o.53
20.85 0.44 11 /cd ckf R N mm⋅ = ⋅ = 2N/mm 28500=cE
Per un calcestruzzo C20/25 (Rck = 25 N/mm2)
2 1.9 N/mmcfkf =
1.2 cfk ctkf f= ⋅0.85 0.44 cd ckf R=
ooo2 oo
o5,3ctkf
Caratterizzazione dei materiali – D.M. 96
Acciaio
ykyd
s
ff
γ= 151.s =γ
Modulo elastico Es = 206000 N/mm2
Per un acciaio FeB 44 k fyk = 430 N/mm2
2430 374 /1.15
ykyd
s
ff N mm
γ= = =
374 1.82 /206000
yd oyd oo
s
fE
ε = = =
Resistenza di calcolo:
ydyd
s
fE
ε =
Deformazione al limite elastico
fyd
s
y oo
o10
Caratterizzazione dei materiali – D.M. 96
per
0.16
0.259
2.5s
c cd
s
d
xd
MB B fM
fd
=
=⋅
≈⋅⋅
⇓
Progetto della trave
per
0.22
.45
4
0
s
c
s
d dc
MdB
xd
B f fM
=
=⋅
≈⋅⋅
⇓
d
B
x
As
0.8
x
0.85 0.44 cd ckf R=
T
0.416 x
C
(0.9
d)
0.01
0.0035
0.25
9 d
0.8
x
0.85 0.44 cd ckf R=
T
0.416 x
C
(0.8
d)
0.0035
0.45
d
yε0.01
y e
2
30 57 A 3 20 9.42 s
B cm d cmcmφ =
===
2
30 47 A 4 20 12.56 s
B cm d cmcmφ= =
= =
( )1 185 kNmSd d BM q M= = −
2
30 57 A 4 20 12.56 s
B cm d cmcmφ= =
= =
Per gli SLE (fessurazione)
S.L.U. per Taglio (elementi armati a taglio) 1) Verifica del conglomerato
compresso )cot1(30,0 2 α+=≤ dbfVV wcdRdSd
2) Verifica dell’armatura trasversale d’anima
wdcdRdSd VVVV 3 +=≤
δ 60.0 dbfV wctdcd =
αα+= sen)cot(fd.sAV ywdsw
wd 190
) 0.2 ( 2/)cot1(9.01 dda ≥−= α
3) Verifica dell’armatura longitudinale L’armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere ad un momento di calcolo M*Sd pari a:
M*Sd = MSd + VSd a1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Sollecitazioni di Taglio
180 SdV kN≈
Combinazioni di carico relative all’azione di progetto agli S.L.U. qd1
Il taglio massimo combinazione assume il valore:
qd1 = 59 kN/m qd1 = 59 kN/m
5 m 5 m A B C
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
kNdbf.V wcdRd 5653002 =⋅⋅⋅=
20.83 20.75 11 /1.6cdf N mm⋅= = 2 1.62 /ctkf N mm=
Sezione 30 x 60 a semplice armatura con staffe f8 passo 20
2 1.01 /ctdf N mm=
2430 373.9 /1.15
ykyd
s
ff N mm
γ= = =
S.L.U. per Taglio: verifica del conglomerato
2180 565 Sd RdkN V V kN= ≤ =
In presenza di sole staffe ( = 90°):
Sezione 30 x 60 a semplice armatura con staffe f8 passo 20
S.L.U. per Taglio: verifica dell’armatura trasversale
0.60 110 cd ctd wV f b d kNδ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
0.9 96 902
sw Sdwd yd
A VV d f kN kNs
= ⋅ ⋅ ⋅ = ≥ =
In assenza di sforzo normale d = 1
cm) 20 (ogni 00.1 2cmAsw =
3180 206 Sd Rd cd wdkN V V V V kN= ≤ = + =
20.83 20.75 11 /1.6cdf N mm⋅= = 2 1.62 /ctkf N mm= 2 1.01 /ctdf N mm=
2430 373.9 /1.15
ykyd
s
ff N mm
γ= = =
S.L.E. (limitazione delle tensioni)
Per il calcolo delle tensioni del calcestruzzo e dell’acciaio, si assume un comportamento elastico lineare con sezione parzializzata. Il coefficiente di omogeneizzazione acciaio–cls si assume convenzionalmente: n=15. Si impongono alle tensioni le seguenti limitazioni:
Tensioni Massime
Materiale Combinazione rara
Combinazione quasi permanente
Calcestruzzo compresso in ambiente aggressivo 0.50 fck 0.40 fck
Calcestruzzo compresso in ambiente ordinario 0.60 fck 0.45 fck
Acciaio teso 0.70 fyk
2430 N/mmykf = 220.75 N/mmckf =
S.L.E. (limitazione delle tensioni)
Sollecitazioni dovute alle combinazioni di carico:
M Appoggio [kN m] M Campata [kN m] Combinazioni rare 129 72 Combinazioni quasi permanenti 98 55
( )2
3cM
B x d xσ =
⋅ ⋅ −T
C
sc
ss / n
B
d
c
x ( )sci
Mn d xI
σ = −
Combinazioni rare: Fd = Gk + Q1k + (i>1) 0i Qik = 41.3 kN/m
Combinazioni quasi permanenti: Fd = Gk + 0.2 x Qk,S = 31.3 kN/m
S.L.E. (limitazione delle tensioni)
Impiegando i metodi e le espressioni della teoria elastica del c.a. si risolve il problema determinando la posizione dell’asse neutro e il momento d’inerzia
( )23 9 4xc
b x 3.2 10 3ci s cI nA d x mm= ⋅ + − =
21 1 200s
s
n A B dx mmB n A
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅= ⋅ − + + =⎢ ⎥⋅⎣ ⎦
Tensioni di esercizio sull’appoggio (in ambiente aggressivo): Calcestruzzo Acciaio
sc [N/mm2]
0.5 fck [N/mm2]
fs [N/mm2]
0.7 fyk [N/mm2]
Combinazioni rare 8 10.4 242 301
fc [N/mm2]
0.4 fck [N/mm2]
Combinazioni quasi permanenti 6.2 8.3
S.L.E. (Controllo della fessurazione) 1. Stato limite di decompressione
E’ lo stato per il quale la minima tensione di compressione raggiunge il valore nullo
2. Stato limite di formazione delle fessure E’ lo stato per il quale la massima tensione di trazione raggiunge il valore caratteristico della resistenza a trazione del conglomerato
3. Stato limite di apertura delle lesioni E’ lo stato per il quale l’apertura delle fessure è pari ad un valore nominale prefissato dalle norme.
I valori nominali per la norma italiana sono: w1 = 0.1 mm w2 = 0.2 mm w3 = 0.4 mm
PROSPETTO 7 -I
Armatura Sensibile Poco sensibile
Gruppi di esigenze
Condizion i ambiente
Combinazi on
e di azioni Stato limite wk Stato limite wk
frequente ap. fessure ! w 2 ap. fessure ! w 3 a
Poco aggressivo quasi
permanente decomp. o ap. fessure
! w 1 ap. fessure ! w 2
frequente ap. fessure ! w 1 ap. fessure ! w 2 b
Moderatamente aggressivo quasi
permanente decompres. " ap. fessure ! w 1
rara ap. fessure e formaz. fessure
! w 1 ap. fessure ! w 2 c
Molto aggressivo
frequente decomp. " ap. fessure ! w 1
La verifica dello stato limite di formazione delle fessure consiste nel controllare che il momento flettente agente risulti ovunque non maggiore del momento di fessurazione MF, ovvero, con riferimento alla sezione, che la tensione agente al lembo teso risulti ovunque non maggiore della resistenza caratteristica a trazione fctk del calcestruzzo.
Il valore medio della resistenza a trazione può essere assunto pari a: - trazione semplice: - trazione per flessione:
In entrambi i casi il valore caratteristico fctk, corrispondente al frattile 5%, può assumersi pari a 0.7 volte il valore medio.
S.L.E. (Stato limite di formazione delle fessure)
2 23= 0.27 ( ) ( / )ctm ckf R N mm⋅ 1.2 cfk ctkf f= ⋅
0.7 ctk ctmf f= ⋅
S.L.E. (Stato limite di formazione delle fessure)
La posizione dell’asse neutro si determina dall’equazione di equilibrio alla traslazione (in assenza di sforzo assiale essa si traduce nell’annullare il momento statico totale della sezione reagente Sn rispetto all’asse neutro ).
( ) ( ) 022
22
=−⋅⋅−−⋅⋅−⋅= xHB'nxdAnxBS sn
La sezione è costituita da tre materiali diversi: cls compresso, cls teso, acciaio
d
B
x
cls compresso
cls teso
acciaio n = Ef / Ec=15 n’= Ect / Ec=0.5
Si omogeneizza rispetto al cls compresso introducendo:
MF va calcolato in ipotesi di sezione interamente reagente, ossia portando in conto anche la resistenza a trazione del cls.
( ) ( )3 23 9 4c
b x ' 5.1 10 3ci c s cI n H x nA d x mm⎡ ⎤= + − + − = ⋅⎣ ⎦
Il momento d’inerzia della sezione omogeneizzata risulta:
( )cci
t xHIMn −= 'σLa tensione st al lembo teso della sezione vale :
Il momento di prima fessurazione si ottiene ponendo st = fctk :
( ) 88.8 129 'cfk ci
F slec
f IM kNm M kNmn H x
= = ≤ =−
S.L.E. (Stato limite di formazione delle fessure)
( )( ) ( )
( )
2
2
2 1 ' ' / 2' 1 1 2801 ' '
ss
s
B n n A d n B Hn A n B Hx mmB n n A n B H
⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⎢ ⎥= ⋅ − + + =⋅ − ⎢ ⎥⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦
Risolvendo l’equazione di II grado rispetto ad x e considerando la radice positiva:
VERIFICA NON SODDISFATTA
La deformazione media dell’acciaio risulta:
S.L.E. (Stato limite di apertura delle fessure)
1.7 1.7k sm rmm sw w ε= ⋅ = ⋅ ⋅
Il valore caratteristico di apertura delle fessure non deve superare il valore tabellato (prospetto 7-I) in cui sono indicati i wi in funzione dell’aggressività dell’ambiente, della sensibilità delle armature e della combinazione delle azioni di esercizio:
2
1 21 sfs
s
sm
sEσσ β βεσ
⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦tensione nell'acciaio teso per effetto del momento agente per la combinazione in esame
tensione nell'acciaio teso per effetto di un momento paria a quello di prima fessurazione della sezione
1
s
sf
σσβ
==
= coefficiente dipendente dall'aderenza acciaio-cls ( =acciaio ad ader. miglior. e =acciaio liscio)
coefficiente dipendente dall'azione ( =azione di breve durata, =azione di lunga durata o2β =1.0 0.5
1.0 0.5 ripetute)
modulo elastico dell'acciaiosE =
, distanza media tra le fessurdeformazione media ermsm sε ==
La distanza media tra le fessure risulta:
S.L.E. (Stato limite di apertura delle fessure) Il valore caratteristico di apertura delle fessure non deve superare il valore tabellato (prospetto 7-I) in cui sono indicati i wi in funzione dell’aggressività dell’ambiente, della sensibilità delle armature e della combinazione delle azioni di esercizio:
2 3210rm
r
sc ks k φρ
⎛ ⎞= ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
copriferro, distanza tra le barre, diametro barre
s area di acciaio teso, area di cls che racchiude l'acciaio tesos effeff
coefficiente dipendente dall'aderenza acciaio-cls ( =acc2
A A AAr
c s
k
φ
ρ
= = =
= = =
= 0.4 iaio ad ader. miglior. e =acciaio liscio)
coefficiente dipendente dalla forma del diagramma delle tensioni prima della fessurazione ( =flessione o presso-flex., =trazione) 3k =
0.8
0.125 0.250
1.7 1.7k sm rmm sw w ε= ⋅ = ⋅ ⋅, distanza media tra le fessurdeformazione media ermsm sε ==
S.L.E. (Stato limite di apertura delle fessure) Combinazione delle azioni di esercizio: RARA (M=-129 kNm)
Ambiente: AGGRESSIVO (Wk<0.2 mm)
116.5 rms mm=
(acciaio ad ader. miglior.) 2
(flessione) 3
kk
==0.4
0.125
1.7 1.7 0.18 0.2 smk m rms mm mmw w ε= ⋅ = ⋅ ⋅ <=
, distanza media tra le fessurdeformazione media ermsm sε ==
(acciaio ad ader. miglior.) 1
(azione di breve durata) 2
ββ
==1.0
1.0
0.0009smε =
VERIFICA SODDISFATTA
6° Lezione
FINE