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Lezione 3
Gravità e moti orbitali
AA 2006/2007 Astronomia ➫ Lezione 3
Sommario
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Brevi cenni storici.
Le leggi di Keplero e le leggi di Newton.
La forza di gravitazionale universale e le orbite dei pianeti.
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L’Universo Geocentrico
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La sfera celeste ruota verso Ovest
Stelle fisse sulla sfera celeste
Luna
Terra
Sole
Gli antichi greci e cinesi avevano sviluppato un modello di universo geocentrico.
La Terra era stazionaria mentre la sfera celeste, la luna ed i pianeti ruotavano attorno ad essa.
Il Sole, la luna ed i pianeti erano anche soggetti ad una rotazione in senso opposto più lenta.
Perché questo era necessario?
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Il mistero dei moti retrogradi
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Occasionalmente sembrava che i pianeti si muovessero in senso opposto rispetto alle stelle fisse .Moto Retrogrado: i pianeti si muovono da Est ad Ovest invece che da Ovest ad Est.Il sistema Tolemaico fu sviluppato proprio per spiegare questo moto planetario non uniforme.
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Il Sistema Tolemaico
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Epicicli: introdotti per spiegare il moto retrogrado
Deferenti: orbite attorno alla Terra
Il sistema Tolemaico è il sistema geocentrico più avanzato sviluppato dai filosofi Greci.I moti retrogradi sono la conseguenza del fatto che i pianeti compiono orbite circolari (epicicli) attorno ad un centro che a sua volta compie un’orbita circolare (deferente) attorno alla Terra.
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La Rivoluzione Copernicana
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Nessun bisogno di Epicicli
Niccolò Copernico (1473-1543) introdusse il concetto di universo Eliocentrico (correndo qualche rischio ...).
I pianeti (Terra compresa) compiono orbite circolari attorno al Sole.I pianeti più interni si muovono più velocemente.
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Galileo, l’osservatore
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Galileo Galilei (1564-1642) compie le prime osservazioni sistematiche inventando ed usando un telescopio di sua costruzione.Scopre le macchie solari, i 4 più grandi satelliti di Giove (satelliti Medicei), le fasi di Venere (l’osservazione della fase “piena” è una prova del sistema Copernicano).
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Le leggi di Keplero
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Johannes Kepler (1571-1630) descrisse empiricamente i moti planetari con orbite ellittiche. Si basò sulle osservazioni accuratissime del maestro Tycho Brahe (1546-1601).
Le Leggi di Keplero sui moti planetari
1. Un pianeta descrive un’orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
2. Il raggio vettore che connette il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali.
3. Un’orbita planetaria è caratterizzata da P2 ∝ a3
dove P è il periodo orbitale ed a è la distanza media del pianeta dal Sole.
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Un pianeta descrive un’orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi (il fuoco principale).
Un elllisse è un insieme di punti che soddisfa:r + r′ = 2acirconferenza se F coincide con F′.
Semiasse maggiore: aSemiasse minore: bEccentricità: e (0 < e < 1; e=0 per una circonferenza)
La prima legge di Keplero
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b
a
a×e
r' r
F'
Sole nel fuoco principale
Pianeta
Perielio
Afelio
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La seconda legge di Keplero
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Sole
Stessa area A
B
B’
A’
Il raggio vettore che connette il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali.
Un pianeta si muove più rapidamente al Perielio che all’Afelio.
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La terza legge di Keplero
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Un’orbita planetaria è caratterizzata da P2 ∝ a3 dove P è il periodo orbitale ed a è la distanza media del pianeta dal Sole.
P2/a3 = C; la costante C ha lo stesso valore per tutti i pianeti.
La terza legge di Keplero è lineare con pendenza 2/3 con log a in funzione di log P:
log a = 2/3 log P + log C
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La meccanica di Newton
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I tre principi della Dinamica di Newton
1. Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non è soggetto ad alcuna forza.
2. La forza che agisce su un corpo è uguale al prodotto della sua massa ed accelerazione: F = ma.
3. Ad ogni azione corrisponde un’azione uguale e contraria.
Isaac Newton (1642-1727) ha gettato i fondamenti della fisica moderna (in contrapposizione a quella Aristotelica).
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Newton postulò che due masse M ed m si attraggono con una forza diretta secondo la congiungente le due masse ed il cui modulo è
F è inversamente proporzionale al quadrato della distanza;G è la costante di gravitazione universale.
La legge di gravitazione universale combinata con i 3 principi della dinamica permette di spiegare TUTTE le caratteristiche delle orbite planetarie (ovvero le 3 leggi di Keplero).
La legge di gravitazione universale
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F =G M m
r2
G = 6.67! 10!11 N m2 kg!2
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La legge di gravitazione universale
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Consideriamo ad esempio la massa m e supponiamo che m<<M. In questo modo M si può considerare fissa nello spazio. Si applica il secondo principio della dinamica e la legge di gravitazione universale ottenendo un’equazione vettoriale:
!F = m!a =G M m
r2!ur
M
m!ur
rversore direzione(vettore con modulo unitario)
Si può dimostrare che:1. le traiettorie della massa m sono sempre in un piano che
contiene M e m;2. le traiettorie di m sono delle curve “coniche”.
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La legge di gravitazione universale
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Cerchio Ellisse Parabola Iperbole
Iperbole
Parabola
Ellisse
Cerchio
Orbite slegate
Orbite legate
Le “coniche” sono le curve che originano dall’intersezione di un cono e di un piano . Le coniche sono: ellisse (cerchio), parabola ed iperbole.L’energia totale (Cinetica+Gravitazionale) determina il tipo di orbita.Le orbite legate sono ellissi o circonferenze (Prima Legge di Keplero).
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
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La legge di gravitazione universale
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La Seconda Legge di Keplero (aree uguali spazzate in tempi uguali) è una conseguenza della conservazione del momento angolare ( m × r × v ) del sistema M+m.Quando un sistema non è soggetto a forze esterne il suo momento angolare totale si conserva.
!F = m!a =G M m
r2!ur
m!ur
r
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La legge di gravitazione universale
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r!a
!v1. Velocità ha direzione tangente alla
circonferenza ed è costante in modulo.2. Accelerazione centripeta, costante in
modulo.
a =v2
rT =
2! r
v
Assumiamo che l’orbita di un pianeta sia circolare,
F = ma = mv2
rF =
G M m
r2 ⇒ v2 =G M
r
ma considerato il valore di T si ottiene:r3
T 2=
G M
4!2
Per i pianeti, M è la massa del Sole, per cui r3/T2=cost. ovvero la Terza Legge di Keplero!
Moto circolare uniforme
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Energia Gravitazionale
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L’energia totale di un corpo di massa m in orbita attorno ad un corpo di massa M é:
E =12mv2 ! G M m
r
Energia potenziale gravitazionale(0 per r ➝ ∞)Energia
cinetica
Se non ci sono forze esterne al sistema M+m l’energia si conserva.
E < 0 orbite ellitticheE = 0 orbite parabolicheE > 0 orbite iperboliche
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Il centro di massa
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mB
mA
vA
vB
rB
rAC.d.M.Fino ad ora abbiamo assunto che
M >> m per cui la massa M poteva essere considerata fissa nello spazio (assunzione per cui sono valide le leggi di Keplero). Questo in generale non è sempre vero.
In generale si può dimostrare che i due corpi mA, mB orbitano attorno al loro centro di massa e che valgono le relazioni:
La terza legge di Keplero generalizzata diventa:
dove r = rA+rB
mAvA = mBvB mArA = mBrB
T 2 =4!2r3
G (mA + mB)
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Le masse dei pianeti
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JupiterIo
422 000 km
La massa di un pianeta può essere determinate applicando la 3a legge di Keplero all’orbita di un suo satellite (mS << mP)
Esempio: massa di Giove dall’orbita di Io (T = 177 d, r = 422,000 km):
T 2 =4!2r3
G(mP + mS)! 4!2r3
GmP
mP = 1.90! 1027 kg = 318 M!
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Il centro di massa Terra-Luna
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TerraLuna384 405 km
orbita
rOr⊕
Determiniamo il centro di massa dalla distanza della luna e dal periodo orbitale:T = 27.322 dr = 384,405 kmM⊕♁ = 5.98×1024 kg (massa della Terra)
M = m! + m" =4!2 r3
Gt2M = 1.0123 m!
m!r! = m"r"r = r! + r"
r! =m"M
r =0.01231.0123
r = 4670 km
m! = 0.0123 m"
Ricordando che
si ottiene: circa 1700 km sotto la superficie della Terra!
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Velocità orbitale attorno al C.d.M.
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TerraLuna384 405 km
orbita
rOr⊕
La Terra e la Luna devono avere lo stesso periodo orbitale attorno al centro di massa.
P =2!r!v!
=2!r"v"
Ovvero utilizzando le relazioni precedenti per i raggi si ottiene:
v! = 12m s"1
v! = 32 km s"1
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Conclusioni
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Il moto dei pianeti è descritto dalle leggi di Keplero.
Le leggi di Keplero sono la diretta conseguenza dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale di Newton.
Proprietà delle orbite “Kepleriane”:Le traiettorie sono sezioni coniche (ellissi, parabole, iperboli)Energia e momento angolare si conservano durante l’orbita.Nel caso generale di due masse queste orbitano attorno al loro centro di massa.
