LEZIONE 3 La frazione è anche un numero - Pearson...LEZIONE 3 In questa lezione vedremo che la frazione è anche un modo per indicare una divisione e quindi il suo quoziente, che

321320A A

LEZIONE

321320A A

3In questa lezione vedremo che la frazione è anche un modo per indicare una divisione e quindi il suo quoziente, che è un numero.Useremo il segmento come modello delle frazioni.

Frazioni sulla retta dei numeri Osserva il disegno e rispondi alle domande.

Il segmento AB rappresenta una unità sulla retta dei numeri. È diviso in quattro parti uguali. Il punto A corrisponde al numero 0 e il punto B al numero 1.

A BC

0 13––4

0,75frazione =

a. Il tratto AC , quale frazione è del segmento AB ?

b. Quale numero corrisponde al punto C ?

Scrivi i risultati anche sul modello.

3 __ 4

0,75

ESPLORA

Nell’Esplora hai visto che la frazione 3 __ 4 dell’unità di misura corrisponde al numero 0,75.

Questo risultato si ottiene con il calcolo 1 : 4 ⋅ 3 o, più semplicemente, con la divisione, 3 : 4 = 0,75 .

Frazione come numero

• La frazione a __ b

indica la divisione a : b tra due numeri interi (il numeratore è il

dividendo e il denominatore è il divisore).

• La frazione a __ b

si usa anche per rappresentare il quoziente della divisione a : b ,

il quale può essere un numero intero o decimale.

CONCETTO CHIAVE

5 __ 8 = 5 : 8 = 0,625

divisione tra numeratore e denominatore

divisione tra numeratore e denominatore

a __ b = a : b

1 Dalla frazione al numero Osserva la figura e rispondi alle domande.a. Quale frazione del segmento AB è il tratto AC ? b. Quale numero corrisponde al punto C ?

a. Il segmento AC è 4 __ 5 di AB perché AB è diviso in 5 parti uguali e AC ne occupa 4.

b. Al punto C corrisponde il numero 4 __ 5 = 4 : 5 = 0,8 .

2 Trasforma in numero Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali.

a. 7 __ 10 = 7 : 10 = 0,7 b. 9 __ 16 = 9 : 16 = 0,5625

CON VIDEO TUTORIALESERCIZI GUIDA

A BC0 1

La frazione è anche un numero

Una frazione può indicare una parte di un segmento o la posizione di un punto nel segmento stesso.

[email protected] 320 29/11/18 11:29

NU

MER

I

Le frazioniUnità

321320A A

A7

ESERCIZI DELLA LEZIONE 3

321320A AAltri esercizi a pag. A343

CONOSCERE CONCETTI E PROCEDURE

1 Dalla frazione al numero Il segmento AB rappresenta una unità sulla retta dei numeri. ESERCIZIO GUIDA 1

7––8

0,875

A C B

0 1

frazione =

a. Quale frazione del segmento AB è il tratto AC ?

b. Quale numero corrisponde al punto C ?Scrivi la frazione e il numero nel modello.

2 Trasforma in numero Trasforma le frazioni in numeri decimali dividendo il numeratore per il denominatore.

ESERCIZIO GUIDA 2

3 __ 10

= 4 __ 5

=

1 __ 2

= 3 __ 4

=

45 ___ 100

= 8 __ 8

=

1 __ 4

= 7 __ 4

=

APPLICARE STRATEGIE, RAPPRESENTAZIONI E MODELLI

3 Dalla frazione al punto Trasforma le frazioni in numeri decimali e segna i punti corrispondenti su ciascuna retta dei numeri.

a. 3 __ 10

= c. 50 ___ 100

=

0 0,50,3 1 0 0,5 1

b. 3 __ 3

= d. 1 __ 5

=

0 1 3 0 0,50,2 1

RAGIONARE IN CONTESTI NUOVI O COMPLESSI

4 Dal punto alla frazione Scrivi nei cartellini le frazioni corrispondenti ai punti collegati.

0 0,5 10,4 0,90,3 0,80,2 0,70,1 0,6

1––105––10

8––10

5 OCOIG Torte in disordine Collega ciascuna frazione a torta con

il corrispondente numero sulla linea.

0 0,5 10,25 0,75

6 Confronta le frazioni In ciascuno dei due casi trasforma le frazioni in numeri decimali e collegale ai punti corrispondenti.

a.

0 0,5 10,4 0,90,3 0,80,2 0,70,1 0,6

4––58––10

b.

0 0,5 10,4 0,90,3 0,80,2 0,70,1 0,6

5––101––2

Cosa osservi nei due casi? Completa.

a.

b.

0,3 0,8

0,5 0,75

0,45 1

0,25 1,75

0,3 0,5

1 0,2

Entrambe le frazioni corrispondono al

numero 0,8

Entrambe le frazioni corrispondono al

numero 0,5

[email protected] 321 29/11/18 11:29

I numeri interi si possono scrivere come frazioni con denominatore uguale a 1:

1 = 1 __ 1 2 = 2 __ 1 3 = 3 __ 1 …

323322A A

LEZIONE

323322A A

4Le frazioni che abbiamo usato finora erano tutte minori dell’unità, ma esistono frazioni maggiori di una unità? Vediamo due esempi.

Frazioni maggiori dell’unità Colora i modelli delle frazioni 5 __ 4 e 12 __ 4 . Considera un cerchio corrispondente all’unità.

1––44––4

5––4

4––44––4

4––4

12––4

5 __ 4 = una unità + 1 __ 4

1––44––4

5––4

4––44––4

4––4

12––4

12 __ 4 = 3 unità

Dobbiamo disegnare 2 unità e colorare

della prima e della seconda.

La frazione 5 __ 4 è cioè di una unità.

Dobbiamo disegnare 3 unità e colorare di ciascuna di esse.

La frazione 12 __ 4 è cioè a 3 unità.

4 __ 4

1 __ 4

maggiore

4 __ 4

uguale

ESPLORA

Sulla base delle osservazioni fatte nell’Esplora e di quanto hai imparato nelle precedenti lezioni, possiamo dividere le frazioni in due gruppi: proprie e improprie.

Frazione propria, impropria

• Le frazioni proprie hanno il numeratore minore del denominatore perciò sono minori di una unità.

• Le frazioni improprie hanno il numeratore maggiore o uguale al denominatore perciò sono maggiori o uguali a una unità.

CONCETTO CHIAVE

Tra le frazioni improprie ce ne sono alcune che hanno il numeratore multiplo del denominatore e quindi sono uguali a una o più unità. Queste frazioni si chiamano frazioni apparenti.

Frazione propria Frazione impropria Frazione apparente

2––5

una unità

5––2

una unità

= 39––3

una unità

1 Riconosci Indica con una crocetta le frazioni proprie e quelle improprie. Tra le frazioni improprie, cerchia quelle apparenti.

21 __ 20 P I 20 __ 21 P I 14 __ 5 P I 14 __ 7 P I 44 __ 11 P I 1 __

5 P I

ESEMPIO

ESERCIZIO GUIDA

Frazioni proprie e improprie

[email protected] 322 29/11/18 11:29

NU

MER

I

Le frazioniUnità

323322A A

A7




1 Riconosci Nel seguente elenco, riconosci le frazioni proprie e quelle improprie. Tra le frazioni improprie, cerchia quelle apparenti. ESERCIZIO GUIDA 1

13 __ 18

18 __ 13

21 __ 5

20 __ 5

5 __ 10

1 __ 8

12 __ 3

3 __ 4

4 __ 4

4 __ 8

101 ___ 101

Proprie: Improprie:


2 Frazioni apparenti A quante unità equivalgono le seguenti frazioni apparenti?

27 __ 9

= 16 __ 2

= 34 __ 17

=

75 __ 25

= 99 __ 3

= 121 __ 11

=

3 Dal modello alla frazione Scrivi sotto ogni modello, la frazione impropria che esso rappresenta.

una unità una unità

17––811––3

4 Dalla frazione al modello Disegna sul quaderno il modello di ciascuna frazione impropria usando come unità la figura indicata.

7––215––4

15––10

5 Frazioni sulla retta dei numeri Segna sulla retta i numeri che corrispondono alle seguenti frazioni.

0 3210,7 2,50,4

2––57––10

6––35––2


6 Proprie e impropriea. Scrivi tutte le frazioni proprie aventi

come denominatore 7. Quante sono? sei

b. Scrivi tutte le frazioni improprie aventi come numeratore 11. Quante sono?

7 Variabile Considera la frazione 12 __ x . Quali

sono tutti i valori che può avere x affinché la frazione sia apparente?

8 Uniche Rispondi alle seguenti domande.

a. Qual è l’unica frazione impropria che ha come numeratore 1? 1 __

1

b. Qual è l’unica frazione propria che ha come denominatore 2? 1 __

2

c. Quante frazioni apparenti esistono che hanno come numeratore 25?

9 OCOIG Labirinto apparente Il fantasma Formaggino deve

entrare nel labirinto e trovare l’uscita attraversando soltanto stanze in cui è scritta una frazione apparente.Da quale porta uscirà? dalla porta C

33––15 11––22 25––15 6––3

21––363––76––12

22––11 108––––54 6––4 25––3

5––1015––545––7

13––3 42––6 11––11 35––7

25––336––4110––5

12––6 24––14 22––44 10––5

4––319––912––6

4––2 13––9 3––3

71––712––845––6 3––2

9––3 30––15

uscita C

uscita Dentrata

uscita B

uscita A

13 __ 18

, 5 __ 10

, 1 __ 8

, 3 __ 4

, 4 __ 8

18 __ 13

, 21 __ 5

, 20 __ 5

, 12 __ 3

, 4 __ 4

, 101 ___ 101

3 8 2

3 33 11

undici

divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

tre: 25 ___ 1

, 25 ___ 5

, 25 ___ 25

[email protected] 323 29/11/18 11:29

Dire 6 __ 8 di pizza o 3 __ 4 di pizza indica

esattamente la stessa quantità. Sono 6 fette piccole oppure 3 fette grandi il doppio.

LEZIONE

325324A A

5Diverse ma ugualiDue frazioni potrebbero essere scritte con numeri diversi, ma in realtà essere uguali?Vediamo un esempio.

Confronta Colora su una stessa striscia le frazioni 1 __ 2 , 2 __ 4 , 3 __ 6 , 4 __ 8 .

1 Parti da una striscia che rappresenta l’unità.

1––2 Colora 1 __ 2 .

1––41––4 Colora 2 __ 4 e osserva che: 1 __ 2 = 2 __ 4 .

1––61––6

1––6 Colora 3 __ 6 e osserva che: 1 __ 2 = 2 __ 4 = 3 __ 6 .

1––81––8

1––81––8 Colora 4 __ 8 e osserva che: 1 __ 2 = 2 __ 4 = 3 __ 6 = 4 __ 8 .

ESPLORA

Le frazioni 1 __ 2 = 2 __ 4 = 3 __ 6 = 4 __ 8 , anche se sono scritte con numeri diversi, rappresentano

la stessa parte della striscia, perciò sono equivalenti.

Frazioni equivalenti

Due frazioni scritte con numeri diversi, ma che indicano la stessa parte dell’unità, sono equivalenti.

CONCETTO CHIAVE

Per indicare che due frazioni sono equivalenti si usa il simbolo “=”(uguale):

4 __ 8 = 1 __ 2 Se trasformi due frazioni equivalenti in numeri decimali ottieni lo stesso numero.

Per esempio: 4 __ 8 = 0,5 e 1 __ 2 = 0,5 .

1 Modello 1 Dimostra con un modello che 6 __ 8 = 3 __ 4 .

Usiamo come modello due cerchi uguali:

6––83––4

6––83––4

2 Modello 2 Dimostra con un modello che 2 __ 3 = 8 __ 12 .

Usiamo come modello due rettangoli uguali:2––3

8––12

ESERCIZI GUIDA


[email protected] 324 29/11/18 11:29

NU

MER

I

Le frazioniUnità

325324A A

A7

Moltiplicare o dividere numeratore e denominatoreCome si fa per ottenere facilmente frazioni equivalenti, senza disegnare i loro modelli?Riprendiamo gli esercizi che abbiamo appena fatto.

Abbiamo visto che 2 __ 3 = 8 ___ 12 ; osserviamo che 8 ___ 12 si ottiene moltiplicando per 4 il

numeratore e il denominatore di 2 __ 3 .

Quando moltiplichiamo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero si dice che abbiamo espanso la frazione.

2 × 4 ______ 3 × 4 = 8 __ 12

Abbiamo anche visto che 6 __ 8 = 3 ___ 4 ; osserviamo che 3 __ 4 si ottiene dividendo per 2 il

numeratore e il denominatore di 6 __ 8 :

Quando dividiamo entrambi i termini di una frazione per un loro divisore comune si dice che abbiamo ridotto o semplificato la frazione.

6 : 2 ______ 8 : 2 = 3 __ 4

Proprietà invariantiva

Il valore di una frazione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo il numeratore e il denominatore per uno stesso numero diverso da 0 (proprietà invariantiva).• Per espandere una frazione si devono moltiplicare il numeratore e il

denominatore per uno stesso numero maggiore di 1.• Per ridurre (o semplificare) una frazione si devono dividere il numeratore e il

denominatore per un loro divisore comune maggiore di 1.

CONCETTO CHIAVE

3 Espandere una frazione Scrivi tre frazioni equivalenti a 2 __ 3 moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso numero.

2 __ 3 = 2 × 2 _____ 3 × 2 = 4 __ 6 2 __ 3 = 2 × 3 _____ 3 × 3

= 6 __ 9 2 __ 3 = 2 × 4 _____ 3 × 4 = 8 __ 12 quindi: 2 __ 3 = 4 __ 6 = 6 __ 9 = 8 __ 12

4 Ridurre una frazione Scrivi due frazioni equivalenti a 18 __ 24 dividendo il numeratore e il denominatore per uno stesso numero.

18 __ 24 = 18 : 2 ______ 24 : 2 = 9 __ 12 18 __ 24 = 18 : 6 ______ 24 : 6

= 3 __ 4 quindi: 18 __ 24 = 9 __ 12 = 3 __ 4

5 Denominatore assegnato Espandi la frazione 5 __ 6 in modo che abbia come denominatore 18.

18 è il triplo di 6 perciò il numeratore della frazione espansa dovrà essere il triplo di 5, cioè 15:

5 __ 6 = 5 × 3 _____ 6 × 3 = 15 __ 18

In dettaglio, si procede così:

18 : 6 = 3 → 3 ⋅ 5 = 15

Oppure, più brevemente: 18 : 6 ⋅ 5 = 15 .

ESERCIZI GUIDA

[email protected] 325 29/11/18 11:29

327326A A

Lezione 5 Frazioni equivalenti

327326A A



1 Frazioni equivalenti Completa la definizione.Due frazioni scritte con numeri diversi ma

che indicano la dell’ sono equivalenti.

2 Modello 1 Il seguente modello dimostra l’equivalenza di due frazioni? Quali?

ESERCIZIO GUIDA 1

=

=

3 Modello 2 Colora la figura in modo da

dimostrare che 3 __ 5

= 9 __ 15

. ESERCIZIO GUIDA 2

=

4 Proprietà invariantiva Completa l’enunciato della proprietà.Il valore di una frazione non cambia se si

o si il numeratore e il denominatore per

diverso da 0.

5 Moltiplicare sopra e sotto Scrivi cinque

frazioni equivalenti a 3 __ 5

moltiplicando il

numeratore e il denominatore per uno stesso numero.

6 Dividere sopra e sotto Scrivi cinque

frazioni equivalenti a 24 __ 60

dividendo il

numeratore e il denominatore per uno stesso numero.

7 È possibile? Quale delle seguenti frazioni non si può ridurre? Perché?

6 __ 8

15 __ 20

9 __ 12

14 __ 21

12 __ 25


8 Espansioni Espandi le seguenti frazioni moltiplicando numeratore e denominatore per il numero indicato. ESERCIZIO GUIDA 3

a. 3 __ 5

= 6 ___ 10 (moltiplica per 2)

b. 4 __ 7

= ____ (moltiplica per 5)

c. 2 __ 3


d. 5 __ 8


9 Riduzioni Riduci le seguenti frazioni dividendo numeratore e denominatore per il numero indicato. ESERCIZIO GUIDA 4

a. 4 __ 18

= ____ (dividi per 2)

b. 25 __ 35


c. 1500 ____ 3200

= ____ (dividi per 100)

d. 216 __ 126


10 Riconosci Collega con una freccia le frazioni equivalenti a due a due.

9 __ 15

120 ___ 200

2 __ 9

6 __ 11

3 __ 5

10 __ 45

12 __ 22

6 __ 10

11 Decimi Espandi le seguenti frazioni in modo che abbiano come denominatore il numero 10. ESERCIZIO GUIDA 5

a. 3 __ 2

= ____ 10

c. 1 __ 2

= ____ 10

b. 4 __ 5

= ____ 10

d. 2 __ 5

= ____ 10

stessa parte unità

3 __ 6

1 __ 2

moltiplicano dividono

uno stesso numero

numeratore e denominatore non hanno divisori comuni

2035

200300

6096

29

57

1532

127

15 5

8 4

[email protected] 326 29/11/18 11:29

NU

MER

I

Le frazioniUnità

327326A A

A7



12 Una sola Rispondi alle domande e spiega la tua risposta.a. Una sola delle seguenti frazioni è

equivalente a 1 __ 2

. Quale?

2 __ 6

750 ____ 1500

14 __ 38

6 __ 16

3 __ 9

b. Una sola delle seguenti frazioni non è


. Quale?

10 __ 25

10 __ 15

2 __ 3

100 ___ 150

150 ___ 225

13 Variabili Considera la frazione 3 __ b

.

Quale fra le seguenti operazioni dà come risultato sicuramente una frazione equivalente a essa?

3 + 3 ____ b + 3

3 : 2 ___ b ⋅ 2

3 ⋅ 3 ____ b ⋅ 6 3 ⋅ 3 ____

b ⋅ 3

14 Incognite In ciascuno dei seguenti esercizi trova il valore della x .

3 __ 4

= 9 __ 12

(moltiplicato per x) x =

25 __ 30

= 5 __ 6

(diviso per x) x =

2 __ 7

= x __ 21

x =

6 __ 10

= 3 __ x x =

15 Possibile o impossibile? Rispondi. Se la risposta è no spiega perché. Se la risposta è sì scrivi la soluzione.a. È possibile trovare una frazione con

denominatore 12 che sia equivalente alla

frazione 2 __ 5

? sì no

b. È possibile trovare una frazione con denominatore 12 che sia equivalente alla

frazione 1 __ 4

? sì no

c. È possibile trovare una frazione con numeratore 7 che sia equivalente alla

frazione 1 __ 2

? sì no

d. È possibile trovare una frazione con numeratore 7 che sia equivalente alla

frazione 2 __ 3

? sì no

16 Dimostrazioni Mostra le equivalenze tra le frazioni riportate colorando i modelli.


Colora il modello

2 __ 6 = 1 __ 3 =

8 __ 10 = 4 __ 5 =

10 __ 15 = 2 __ 3 =

17 OCOIG Divisione del terreno Nel disegno è rappresentata la

pianta di un terreno nel quale si trovano quattro pozzi d’acqua indicati con dei cerchi azzurri.

Quattro fratelli si vogliono dividere il terreno in quattro parti che abbiano la stessa forma, la stessa area e che contengano ciascuna un pozzo.I fratelli hanno chiesto proprio a te una consulenza per dividere il terreno. a. Disegna nella figura il contorno delle

quattro parti.b. Scrivi in due modi diversi la frazione di

proprietà che spetta a ciascun

fratello. 1 __ 4

; 4 __ 16

18 SFIDA Cifre da 1 a 9 una sola volta Scrivi tre frazioni equivalenti usando le cifre da 1 a 9 una volta sola. Per esempio, questa è una soluzione:

3 __ 6

7 __ 14

29 __ 58

Trovane altre.

3

5

6

5

12 non è un multiplo di 5

3 ___ 12

7 ___ 14

7 non è un multiplo di 2

[email protected] 327 29/11/18 11:29

329328A A

LEZIONE

329328A A

6Una stessa frazione si può scrivere in infiniti modi. Alcuni di essi sono più semplici (numeratore e denominatore sono numeri piccoli), altri più complessi (numeratore e denominatore sono numeri più grandi).

Consideriamo per esempio la frazione 2 __ 3 che possiamo scrivere nelle forme seguenti.

La forma più semplice è detta frazione ridotta ai minimi termini.

frazione ridotta ai minimi termini 2 __ 3 = 4 __ 6 = 6 __ 9 = 8 __ 12 = ... = 150 ___ 225 = ...

Frazione ridotta ai minimi termini

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini (o irriducibile) quando il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni maggiori di 1, cioè sono primi fra loro.

CONCETTO CHIAVE

ESPLORA

Riduzione Riduci la frazione 18 __ 30 .

I numeri 18 e 30 sono entrambi divisibili per , quindi: 18 : ______ 30 : = __

Impossibile Riduci la frazione 8 __ 21 .

I numeri 8 e 21 divisore comune maggiore di 1, perciò la frazione è

6 66

35

non hanno alcun

irriducibile

Ridurre una frazione ai minimi termini

Per ridurre una frazione ai minimi termini si possono seguire due metodi.1) Metodo delle riduzioni successive: si eseguono una o più riduzioni successive

fino a ottenere una frazione irriducibile.2) Metodo del massimo comune divisore: si dividono il numeratore e il

denominatore per il loro MCD.

CONCETTO CHIAVE

1 Riduzioni successive Riduci ai minimi termini la frazione 210 ___ 420 usando il metodo delle riduzioni successive.

210 ____ 420 = 21 ___ 42 = 3 __ 6 = 1 __ 2 Dividiamo il numeratore e il denominatore prima per 10, poi per 7 e infine per 3.

2 Massimo comune divisore Riduci ai minimi termini la

frazione 75 ___ 100 usando il MCD tra numeratore e denominatore.

75 ____ 100 = 3 __ 4 Il MCD (75, 100) = 25 perciò dividiamo il numeratore e il denominatore per 25.


Quando semplifichi una frazione non è obbligatorio scrivere il numero per cui dividi i suoi termini. Basta fare così:

75 ____ 100 = 3 __ 4 3

4

21 3 1

42 6 2

3

4

Ridurre una frazione ai minimi termini

[email protected] 328 29/11/18 11:29

NU

MER

I

Le frazioniUnità

329328A A

A7




1 Riduzione Riduci le seguenti frazioni dividendo numeratore e denominatore per il numero indicato.

35 : 7 _____

28 : 7 = 12 : 3

_____ 15 : 3

= 50 : 2 ______

100 : 2 =

2 A tua scelta Esegui una riduzione in ognuna delle seguenti frazioni.

20 __ 16

18 __ 27

10 __ 15

12 __ 9

25 ___ 100

3 Riduzioni successive Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni usando due riduzioni successive. ESERCIZIO GUIDA 1

12 __ 30

= ___

= ___

20 __ 24

= ___

= ___

63 __ 21

= ___

= ___

4 MCD Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni usando il MCD.

ESERCIZIO GUIDA 2

Calcola mentalmente il MCD del numeratore e del denominatore.

6 __ 9

= ___

14 __ 35

= ___

10 __ 14

= ___

24 __ 30

= ___

5 Spiega Perché non si può ridurre la

frazione 23 __ 19

?

6 Riconosci Fra le seguenti frazioni, sottolinea quelle ridotte ai minimi termini.

5 __ 15

7 __ 15

13 __ 26

13 __ 36

21 __ 10


7 SCIENZE Koala dormiglione Il koala dorme circa 18 ore al giorno. Questo piccolo marsupiale quale parte (frazione) del giorno passa dormendo? Scrivi la frazione nella sua forma più semplice. 3 __

4

8 Riduzioni successive Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni usando riduzioni successive.

42 __ 56

3 __ 4

24 __ 60

2 __ 5

8 __ 24

1 __ 3

10 __ 50

1 __ 5

36 __ 45

4 __ 5

9 MCD Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni usando il MCD.

9 __ 18

1 __ 2

64 __ 60

16 __ 15

72 ___ 88

9 __ 11

120 ___ 360

1 __ 3

100 ___ 150

2 __ 3


10 Parti del giorno Quale frazione di un giorno è ciascuno dei seguenti intervalli di tempo? Completa la tabella scrivendo le frazioni ridotte ai minimi termini.

4 ore 8 ore 12 ore 6 ore 9 ore

1 __ 6

1 __ 3

1 __ 2

1 __ 4

3 __ 8

11 Parti del kilogrammo Quale frazione di un kilogrammo è ciascuno dei seguenti pesi?Completa la tabella scrivendo le frazioni ridotte ai minimi termini.

100 g 250 g 500 g 750 g 1000 g

1 __ 10

1 __ 4

1 __ 2

3 __ 4

1

12 OCOIG Frazioni romane

Nella figura 1 vedi la frazione 1 __ 7

scritta in

numeri romani con sei stecchini. Sposta un solo stecchino per ottenere una frazione


.

a. Nella figura 2 vedi la frazione 4 __ 12

scritta

in numeri romani con sei stecchini. Sposta un solo stecchino per ottenere una

frazione equivalente a 1 __ 2

.

2

1

2

1

II ___ VI

VI ___ XII

5 __ 4

4 __ 5

25 __ 50

per es.:6

1525

1012

56

217

31

13

25

57

45

numeratore e denominatore sono primi fra loro

[email protected] 329 29/11/18 11:29

331330A A

LEZIONE

331330A A

7ESPLORA

Frazioni equivalenti Completa le seguenti liste di frazioni equivalenti a 1 __ 6 e 2 __ 9 .

1 __ 6 = 2 __ 12 = 3 __ 18 = 4 ____ =

5 ____ = 6 __ 36 = ____ = …

2 __ 9 = 4 __ 18 = 6 ____ = 8 __ 36 = ____ = ____ = 14 __ 63 = …

24 307

42

1254

104527

stesso denominatore

stesso denominatore

Osserviamo che nelle due liste ci sono frazioni che hanno lo stesso denominatore.

In particolare, il numero 18 è il mcm (minimo comune multiplo) dei denominatori 6 e 9 delle frazioni date ed è anche il più piccolo dei denominatori comuni.

Due o più frazioni si possono sempre trasformare in modo che abbiano lo stesso denominatore; questa operazione si chiama riduzione al minimo comune denominatore.

Ridurre al minimo comune denominatore

Per ridurre due o più frazioni al minimo comune denominatore si procede così:1) se possibile, si riducono le frazioni ai minimi termini;2) si calcola il mcm dei loro denominatori;3) si trasformano le frazioni in altre frazioni equivalenti aventi come

denominatore il mcm trovato.

CONCETTO CHIAVE

1 Due frazioni Riduci al minimo comune denominatore le seguenti coppie di frazioni.

Frazionimcm dei denominatori

Riduzione al minimo comune denominatore

5 __ 6 , 2 __ 9 mcm (6, 9) = 18 5 __ 6 = 15 __ 18 2 __ 9 = 4 __ 18

3 __ 4 , 5 __ 8 mcm (4, 8) = 8 3 __ 4 = 6 __ 8 5 __ 8 = 5 __ 8

2 __ 7 , 3 mcm (7, 1) = 7 2 __ 7 = 2 __ 7 3 __ 1 = 21 __ 7

2 Tre frazioni Riduci al minimo comune denominatore le seguenti terne di frazioni.

Frazioni mcm dei denominatoriRiduzione al minimo comune denominatore

1 __ 2 , 3 __ 4 , 5 __ 6 mcm (2, 4, 6) = 12 1 __ 2 = 6 __ 12 3 __ 4 = 9 __ 12 5 __ 6 = 10 __ 12

1 __ 2 , 1 __ 3 , 2 __ 5 mcm (2, 3, 5) = 30 1 __ 2 = 15 __ 30 1 __ 3 = 10 __ 30 2 __

5 = 12 __ 30

2 __ 3 , 1, 5 __ 7 mcm (3, 1, 7) = 21 2 __ 3 = 14 __ 21 1 __ 1 = 21 __ 21 5 __ 7 = 15 __ 21

ESERCIZI GUIDA

Il minimo comune denominatore

[email protected] 330 29/11/18 11:29

NU

MER

I

Le frazioniUnità

331330A A

A7




1 Coppia Riduci al minimo comune denominatore le due frazioni usando il denominatore indicato. ESERCIZIO GUIDA 1

2 __ 3

, 4 __ 5

→ ___ 15

, ___ 15

1 __ 2

, 5 __ 4

→ ___ 4

, ___ 4

2 __ 6

, 6 __ 9

→ ___ 18

, ___ 18

9 __ 7

, 4 __ 14

→ ___ 14

, ___ 14

2 Terna Riduci al minimo comune denominatore le tre frazioni usando il denominatore indicato. ESERCIZIO GUIDA 2

1 __ 6

, 4 __ 9

, 2 __ 3

→ ___ 18

, ___ 18

, ___ 18

1 __ 2

, 2 __ 3

, 7 __ 6

→ ___ 6

, ___ 6

, ___ 6

4 __ 15

, 5 __ 3

, 1 __ 5

→ ___ 15

, ___ 15

, ___ 15

2 __ 11

, 3 __ 4

, 1 __ 2

→ ___ 44

, ___ 44

, ___ 44


3 Due frazioni Riduci al minimo comune denominatore le frazioni di ciascuna coppia.

5 __ 7

, 1 __ 5

25 __ 35

, 7 __ 35

2 __ 3

, 5 __ 2

4 __ 6

, 15 __ 6

5 __ 6

, 3 __ 4

10 __ 12

, 9 __ 12

2 __ 9

, 5 __ 6

4 __ 18

, 15 __ 18

8 __ 7

, 11 __ 14

16 __ 14

, 11 __ 14

3 __ 5

, 3 __ 10

6 __ 10

, 3 __ 10

4 Tre frazioni Riduci al minimo comune denominatore le frazioni di ciascun gruppo.

1 __ 2

, 1 __ 3

, 1 __ 4

6 __ 12

, 4 __ 12

, 3 __ 12

2 __ 3

, 1 __ 4

, 3 __ 5

40 __ 60

, 15 __ 60

, 36 __ 60

5 __ 9

, 3 __ 5

, 4 __ 45

25 __ 45

, 27 __ 45

, 4 __ 45

14 __ 15

, 3 __ 10

, 7 __ 30

28 __ 30

, 9 __ 30

, 7 __ 30

5 __ 6

, 2 __ 9

, 13 __ 36

30 __ 36

, 8 __ 36

, 13 __ 36

6 __ 5

, 5 __ 6

, 9 __ 10

36 __ 30

, 25 __ 30

, 27 __ 30

5 Con numeri interi Riduci al minimo comune denominatore le frazioni di ciascun gruppo.

3, 5 __ 6

18 __ 6

, 5 __ 6

3 __ 4

, 1 __ 2

, 8 3 __ 4

, 2 __ 4

, 32 __ 4

4, 7 __ 12

48 __ 12

, 7 __ 12

2, 3, 1 __ 4

8 __ 4

, 12 __ 4

, 1 __ 4


6 Vero o falso? Indica con una crocetta se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a. Le frazioni 3 __ 5

e 3 __ 6

, ridotte al minimo comune denominatore diventano 18 __ 30

e 15 __ 30

. V F

b. Le frazioni 3 __ 4

e 3 __ 6

, ridotte al minimo comune denominatore diventano 18 __ 24

e 12 __ 24

. V F

7 Minimo davvero! Riduci le seguenti coppie di frazioni al minimo comune denominatore.

15 __ 10

, 50 ___ 100

3 __ 2

, 1 __ 2

12 __ 10

, 8 __ 24

18 __ 15

, 5 __ 15

15 __ 60

, 14 __ 20

5 __ 20

, 14 __ 20

13 __ 39

, 35 __ 15

1 __ 3

, 7 __ 3

8 Pizza Sofia e Martina hanno comprato una pizza. Sofia ha mangiato 3 __

4 della pizza e

Martina ne ha

mangiato 1 __ 6

.

a. Quanti dodicesimi di pizza hanno mangiato in tutto? 11 __

12

b. Quanti dodicesimi di pizza sono avanzati?

9 SFIDA Per una non si può Trasforma le seguenti frazioni in altre equivalenti aventi denominatore uguale a 30. Attenzione! Per una di esse non è possibile la trasformazione. Scopri quale e spiega perché.

8 __ 15

16 __ 30

7 __ 7

30 __ 30

3 __ 8

22 __ 55

12 __ 30

10 12 2 5 6 12 18 4

3 8 12 3 4 7

4 25 3 8 33 22

1 __ 12

impossibile

[email protected] 331 29/11/18 11:29

333332A A

LEZIONE

333332A A

8

Più grande, più piccola Quale frazione è più grande: 5 __ 8 o 3 __ 4 ?

Per rispondere, colora i modelli delle due frazioni su due strisce uguali.In quale dei due modelli la parte colorata è maggiore?

3––4

5––8

Dalle figure risulta chiaramente che 3 __ 4 5 __ 8 perché la parte colorata è maggiore in .> 3 __ 4

ESPLORA

Per confrontare due frazioni si possono applicare varie tecniche, a seconda dei casi.Ti presentiamo prima di tutto i tre casi più semplici.• Tra due frazioni che hanno lo stesso denominatore

è maggiore quella che ha il numeratore maggiore.• Tra due frazioni che hanno lo stesso numeratore è maggiore quella che ha il

denominatore minore.• Una frazione impropria è sempre maggiore di una frazione propria.

Stesso denominatore Stesso numeratore Impropria > propria

3 __ 5 > 2 __

5 perché 3 > 2 3 __ 4 > 3 __

5 perché 4 < 5 3 __ 2 > 24 __

25

9 __ 14 < 11 __ 14 perché 9 < 11 1 __ 3 < 1 __ 2 perché 3 > 2 9 __ 10 < 10 __ 9

Metodo generale per confrontare due frazioni

Per confrontare due frazioni qualsiasi si procede così:1) si riducono le frazioni al minimo comune denominatore;2) si confrontano le frazioni ottenute.La frazione maggiore è quella che ha il numeratore maggiore.

CONCETTO CHIAVE

1 Diverse Confrontiamo le frazioni 5 __ 6 e 7 __ 9 .

5 __ 6 = 15 __ 18 , 7 __ 9 = 14 __ 18 Riduciamo le frazioni al minimo comune denominatore: mcm (6, 9) = 18 .

15 __ 18 > 14 __ 18 Confrontiamo le frazioni ottenute: 15 __ 8 > 14 __ 18 , quindi 5 __ 6 > 7 __ 9 .

2 Uguali Confrontiamo le frazioni 3 __ 4 e 21 __ 28 .

Riducendo 21 ___ 28 ai minimi termini si ottiene 3 __ 4 . Perciò le frazioni sono uguali.

ESEMPIO


Confronto di frazioni

Confrontare due frazioni significa stabilire quale è maggiore, quale è minore oppure se sono uguali.

[email protected] 332 29/11/18 11:29

NU

MER

I

Le frazioniUnità

333332A A

A7




1 Stesso denominatore o stesso numeratore Confronta le seguenti coppie di frazioni e inserisci i simboli < , = , > .

4 __ 9

5 __ 9

7 __ 4

7 __ 5

1 __ 7

1 __ 6

2 Impropria, propria Confronta le seguenti coppie di frazioni e inserisci i simboli < , = , > .

3 __ 4

5 __ 2

99 ___ 100

10 __ 9

10 __ 9

10 __ 11

3 Metodo generale Riduci le seguenti coppie di frazioni allo stesso denominatore e confrontale inserendo opportunamente i simboli < , = , > . ESERCIZI GUIDA 1, 2

3 __ 5

= ___

, 15 ___ 25

= ___

→ 3 __ 5

15 ___ 25

3 __ 10

= ___

, 5 ___ 20

= ___

→ 3 __ 10

5 ___ 20

6 __ 7

= ___

, 32 ___ 35

= ___

→ 6 __ 7

32 ___ 35


4 Modello Confronta le seguenti frazioni colorando i modelli indicati. Inserisci opportunamente i simboli < , = , > .

Frazioni Modelli

2 __ 5 3 __ 10

1 __ 4 2 __ 8

2 __ 3 3 __ 6

5 La più grande Fra le seguenti frazioni, qual è quella più grande?

7 __ 15

2 __ 3

1 __ 2

2 __ 3

6 La più piccola Fra le seguenti frazioni, qual è quella più piccola?

1 __ 3

2 __ 7

11 __ 30

2 __ 7

7 Confronti Riduci le seguenti coppie di frazioni allo stesso denominatore e confrontale. Segui l’esempio.

7 __ 2

, 21 __ 6

7 __ 10

, 15 __ 20

14 __ 20

< 15 __ 20

5 __ 8

, 7 __ 12

15 __ 24

> 14 __ 24

5 __ 4

, 43 __ 36

45 __ 36

> 43 __ 36

5 __ 6

, 10 __ 12

10 __ 12

= 10 __ 12

2 __ 5

, 1 __ 2

4 __ 10

< 5 __ 10

8 Ordinamenti Riscrivi le frazioni di ciascun gruppo in ordine crescente.

a. 3 __ 11

, 7 __ 11

, 12 __ 11

, 5 __ 11

, 21 __ 11

, 2 3 __ 11

, 5 __ 11

, 7 __ 11

, 12 __ 11

, 21 __ 11

, 2

b. 7 __ 2

, 7 __ 3

, 7 __ 7

, 7 __ 14

, 3, 7 __ 6

7 __ 14

, 7 __ 7

, 7 __ 6

, 7 __ 3

, 7 __ 2

, 3

c. 2 __ 3

, 2 __ 5

, 5 __ 6

, 15 __ 30

, 8 __ 15

, 1 2 __ 5

, 15 __ 30

, 8 __ 15

, 2 __ 3

, 5 __ 6

, 1


9 Problemi aperti Inserisci un valore al posto della lettera a in modo che le seguenti disuguaglianze siano verificate.

3 __ 7

> 2 __ a 2 __ 15

> a __ 15

1 __ 4

> 1 __ a 7 __ 8

< a __ 4

10 Variabile Quali sono tutti i valori che può avere la x affinché la seguente disuguaglianza sia vera?

3 __ 8

> x __ 4

0; 1

11 Più di metà Quali delle seguenti frazioni sono maggiori di 1 __

2 ?

4 __ 7

, 4 __ 8

, 13 __ 26

, 11 __ 23

, 12 __ 23

, 23 __ 50

, 51 ___ 100

12 Quasi uguali Le due frazioni 1 __ 2

e 49 ___ 100

sono diverse. Qual è la più grande?a. Dimostra, con un modello e un

ragionamento, che le frazioni sono “quasi uguali”.

b. Cosa intendi con quasi uguali?

< > <

< < >

1525

1525

=

620

520

>

3035

3235

<

>

=

>

21 __ 6 = 21 __ 6

a 49/100 manca solo 1/100 per essere uguale a 1/2

[email protected] 333 29/11/18 11:29

Documents

LEZIONE 3 La frazione è anche un numero - Pearson...LEZIONE 3 In questa lezione vedremo che la frazione è anche un modo per indicare una divisione e quindi il suo quoziente, che